管理运筹学 第8章——整数规划
智慧树答案管理运筹学(山东联盟)知到课后答案章节测试2022年
第一章1.运筹学的主要分支包括（）答案:非线性规划;整数规划;图论;线性规划;目标规划2.运筹学是应用系统的、科学的、数学分析的方法，通过建模、检验和求解数学模型而获得最优决策的科学。
答案:对3.运筹学是用数学方法研究各种系统中最优化问题的科学，它主要用数学模型来求得合理运用现有条件的最优方案，为决策者提供科学决策的依据。
答案:对4.运筹学着重以管理、经济活动方面的问题及解决这些问题的原理和方法作为研究对象。
答案:对5.制定决策是运筹学应用的核心，而（）则是运筹学方法的精髓。
答案:建立模型6.运筹学可用（）来进行概括。
答案:寻优科学7.运筹学的简称是（）。
答案:OR8.下列哪一项不是运筹学的特点（）。
答案:主观的9.下列哪一项不是运筹学的研究步骤（）。
答案:实施模型10.运筹学模型是以（）模型为其主要形式。
答案:数学第二章1.线性规划问题的一般模型中不能出现等式约束。
答案:错2.用图解法求最优解时，只需求出可行域顶点对应的目标值，通过比较大小，就能找出最优解。
答案:对3.线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
答案:对4.单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量,则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
答案:对5.单纯形法的迭代运算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。
答案:错6.检验数λj表示非基变量xj增加一个单位时目标函数值的改变量。
答案:对7.利用单纯形法求解线性规划问题的过程中，所有基变量的检验数必为零。
答案:对8.若某个bk≤0, 化为标准形式时原不等式( )。
答案:两边同乘负19.将线性规划问题转化为标准形式时，下列说法不正确的是：答案:若约束条件为＝，则要增加一个人工变量10.标准形式的线性规划问题，其可行解（）是基本可行解，最优解一定是可行解。
答案:不一定11.关于线性规划问题的图解法，下面（）的叙述正确。
运筹学答案_第_8_章__整数规划
3 3
*=1,
或 x11 *=0,x1 *=1,x1 *=0,x14 *=0, x 2 3 x 34 *=0, x
41 21
*=0,x 2 *=0,x 2 *=0,x 2 *=1,x 3 *=0, 2 3 4 1 x
32
*=0, x
3 3
*=1,
*=1,x 42 *=0, x
4 3
*=0,x 44 *=0,z*=71
b.该目标函数的数学模型为： minz=100y1+300y2 +200y3 +7x1+2x2 +5x3 s.t. x1+x2 +x3 =2000， 0.5x1+1.8x2 +1.0x3 ≤ 2500， x1 ≤ 800， x2 ≤ 1200， x3 ≤ 1400， x ≤ yM，
1 1
x2 ≤ y2M， x3 ≤ y3M ， x1，x2，x3 ≥ 0，且为整数，y1，y2，y3 为 0-1 变量。 目标函数最优解为 : x1*=0,x2*=625,x3*=1375,y1=0,y 2 =1,y3=1,z*=8625
1, 当 第 i 项 工 程 被 选 定 时， xi = 0，当第 i 项工程没被选定时。 根据给定条件，使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为： maxz = 20x 1 + 40x2 + 20x3 +15x 4 + 30x 5 s.t. 5x +4x +3x +7x +8x ≤ 25，
1 2 3 4 5
max z=7x1+9x2 +3x3 -x1 +3x2 +x3 ≤ 7, 7x1+x2 +x3 ≤ 38, x1,x2,x3 ≥ 0,且 x1 为整数，x3 为 0-1 变量。
运筹学钱颂迪答案
运筹学钱颂迪答案【篇一： 803 运筹学】class=txt>运筹学考试大纲一、考试性质运筹学是我校航空运输管理学院硕士生入学考试的综合考试科目之一，它是我校为招收交通运输规划与管理学科硕士研究生而实施的水平考试，其评价标准是普通高等院校优秀本科毕业生能够达到的及格以上水平，以保证被录取者较好地掌握了必备的专业基础知识。
本门课程主要考试内容包括：线性规划及其对偶理论、运输问题、目标规划、整数规划、动态规划、图与网络分析，注重考察考生是否已经掌握运筹学最基本的理论知识与方法。
二、考试形式与试卷结构1.答卷方式：闭卷、笔试2.答卷时间： 180 分钟3.题型比例：满分 150 分，基本概念 20% ，计算及证明题 80%三、考查要点1.线性规划及对偶理论：单纯形法，改进单纯形法。
线性规划的对偶理论，对偶单纯形法，灵敏度分析；2.运输问题：运输问题的数学模型；用表上作业法求解运输问题；产销不平衡的运输问题及其求解方法；3.目标规划：目标规划的数学模型，目标规划的图解法与单纯形法；4.整数规划：0－1 型整数规划，分支定界解法，割平面解法，指派问题；5.动态规划：动态规划的基本概念和基本方法，动态规划的最优性原理与最优性定理，动态规划与静态规划的关系，动态规划的应用；6.图与网络分析：图与树的基本概念，最短路问题，网络最大流问题，最小费用最大流问题，中国邮路问题，网络计划。
四、主要参考书目1、郭耀煌，李军 .运筹学原理与方法. 成都：西南交通大学出版社，2004 ；2 、钱颂迪主编. 运筹学（修订版）. 北京：清华大学出版社，1991 。
【篇二：运筹学大纲(13 、 14 级使用)2014.9 】（理论课程）开课系（部）：数理教研部课程编号：380020 、 381703课程类型：专业必修课或学科必修课总学时： 48 或 32学分：3或2适用专业：信息管理与信息系统、投资学、工业工程、工程管理、经济统计学、物流管理开课学期： 3 或 4 或 5先修课程：高等数学、线性代数一、课程简述本课程是以经济活动方面的问题以及解决这类问题的原理和方法作为研究的对象，把经济活动中的问题归结为对应的某种数学模型，运用数学知识等工具求得最合理的工作方案。
管理运筹学讲义：整数规划
福建师范大学经济学院
第一节
• 步骤：
整数规划问题
二、 整数规划的图解法
在线性规划的可行域内列出所有决策变量可能取的整数值， 求出这些变量所有可行的整数解， 比较它们相应的目标函数值，最优的目标函数值所对应的 解就是整数规划的最优解。 x2
• 实用性：
只有两个决策变量， 可行的整数解较少。
x2
5
4
3 2 1
•
• • •
1
• • •
2
x2=3
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35 2x1 + x2 =9
x2 =2
x1
10
福建师范大学经济学院
第二节
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题4相应的线性规划的最优解： x1=3，x2 =2，Z4=28 问题5相应的线性规划的最优解：x1=14/5，x2 =3，Z5=159/5
11
福建师范大学经济学院
第二节
问题6：maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1≤3 x2 ≥3 x1≤2 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
分枝定界法
问题7： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1 ≥ 3 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
第6章
整数规划
• 线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但许多
实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才有意义。
例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人 数等，分数或小数解显然是不合理的。
《管理运筹学》复习题及参考答案管(新排)
D．满足非负约束条件的基本解为基可行解
9.线性规划问题有可行解，则A
A 必有基可行解
10.线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时C
C 有无界解
11.若目标函数为求，一个基可行解比另一个基可行解更好的标志是A
A使Z更大
12.如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足D
16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。
17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。
18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。
19.如果某个变量Xj为自由变量，则应引进两个非负变量Xj′,Xj〞,同时令Xj＝Xj′－Xj。
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。 问如何安排生产计划，使总利润最大。
2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?
6．下列模型中，属于线性规划问题的标准形式的是ACD
7．下列说法错误的有_ABD_。
A．基本解是大于零的解B．极点与基解一一对应
D．满足约束条件的解就是线性规划的可行解
8.在线性规划的一般表达式中，变量xij为ABE
A 大于等于0 B 小于等于0 E 等于0
9.在线性规划的一般表达式中，线性约束的表现有CDEC ≤D ≥ E =
A．观察环境
4.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B）B变量5.模型中要求变量取值（D）D非负
运筹学复习资料
试题结构：1、判断题（10×2`）2、单选题（10×2`）3、多选题（5 ×2`）4、计算题（5×10`）（第三、五、七、十一、十三章有计算题）第一张：绪论1.定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为管理者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
2.研究内容：线性规划、整数线性规划、目标规划、图与网络模型、存储论、排队论、对策论、排序与统筹方法、决策分析、动态规划、预测3.运用运筹学解决问题的一般过程（课件答案）（课本答案）规定目标和明确问题认清问题收集数据和建立模型找出一些可供选择的方案求解模型和优化方案确定目标或评估方案的标准检验模型和评价方案评估各个方案方案实施和不断改进选出一个最优的方案执行此方案进行最后评估：问题是否得到圆满解决第二章：线性规划的图解方法1.怎样辨别一个模型是线性模型？其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。
2.线性规划三个要素建模步骤决策变量、目标函数、约束条件3.LP 问题的标准型11max .1,2,,0,1,2,,nj jj nij ji j j Z c x a x b s t i m x j n ===⎧=⎪=⎨⎪≥=⎩∑∑ 特点：(1)目标函数求最大值(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项b i 都大于或等于零 (3)决策变量x j 为非负。
一般形式目标函数： max （min ） z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n ≤ （ =, ≥ ）b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n ≤ （ =, ≥ ）b 2…… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n ≤ （ =, ≥ ）b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0 标准形式目标函数： max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n 约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b 2 …… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0，b i ≥04.线性问题的性质与判断 （1 ）线性规划可行域为凸集（2）最优解在凸集上某一顶点达到（特殊情况下为凸集的某条边）（3 ）可行域有界，则一定有最优解5.图解法与解的状况（1）图解法使用范围：仅有两个决策变量的LP（2）基本步骤：a.建立平面直角坐标系；b.将约束条件图解，求得满足约束条件的解的集合；c.作出目标函数的等值线，并根据优化要求，平移目标函数等值线，求出最优解。
管理运筹学案例演示混合整数规划
? ?
1 1
? ?
y4
?
1
??x1, x2, x3, x4 ? 0, yj ? 0 , j ? 1,2,3,4
用QM软件求解结果如下：
最优方案 :装配线A生产100件,装配线 B生产1400件,装配线 C 生产1000件,装配线D生产1500件;
例3.(固定成本问题)高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属 容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所 需所需的各种资源的数量如下表：
?8x1 ? 15x2 ? 6x3 ? 3x4 ? 160 ??30x1 ? 40x2 ? 20x3 ? x4 ? 200
???8x1x1??315x2 ? 100
? ?
x2
?
2
?5 ? ?5
? ?
x3 x4
? 10 ? 10
?? xj ? 0 , j ? 1,2,3,4 , 整数
用QM软件求解结果如下：
使用计算机软件包求解(附件1)
A Linear Programming
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 J CPM/PERT
B Integer Programming
1234567
K Inventory Models
C Zero One Programming
1234567
L Queueing Theory
每个广告的费用（千元）
电
白昼时间
8
视
热门时间
15
广杂 播志
63
每个广告影响总人数（千人）
40
90
50 2
每个广告影响妇女数（千人）
30
40
20 1
解：设电视白昼时间的广告个数为 x1、电视热门时间的广告个 数为 x2、广播的广告个数为 x3、杂志的广告个数为 x4。
管理运筹学期末复习资料【韩伯棠】
运筹学（Operational Research）复习资料第一章绪论一、名词解释1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
二、选择题1.运筹学的主要分支包括（ABDE ）A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划2. 最早运用运筹学理论的是（ A ）A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上第二章线性规划的图解法一、选择题/填空题1.线性规划标准式的特点：（1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位：（1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。
（2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。
（3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。
3.LP模型（线性规划模型）三要素：（1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。
5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。
6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。
7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A【解析】：如何判断是凸集？凸集：两点之间连线在图内凹集：两点之间连线在图外8. 线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时CA没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解9. 对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ）A. 线性规划问题可能没有可行解B. 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域C. 线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达D. 上述说法都正确第三章线性规划问题的计算机求解一、名词解释1.相差值：相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值。
运筹学 第八章(二)
所需时间 工人 工作 小时） （小时） A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
甲 乙 丙 丁
8
引入0—1变量 x ij，并令 解： 引入 变量 当指派第 i 个人去完成第 j 项工作时 ; 1 , x ij = 0 , 当不指派第 i 个人去完成第 j 项工作时 . 使总消耗时间最少，则目标函数为： 使总消耗时间最少，则目标函数为： min z = 15 x11 + 18 x12 + 21x13 + 24 x14 + 19 x21 + 23 x22 + 22 x23 + 18 x24 + 26 x31 + 17 x32 + 16 x33 + 19 x34 + 19 x41 + 21x42 + 23 x43 + 17 x44 . 每人只能干一项工作的约束条件可以写为： 每人只能干一项工作的约束条件可以写为： x11 + x12 + x13 + x14 = 1, （甲只干一项工作） 甲只干一项工作）
项任务的成本（如所需时间， 并设 c ij 第 i 个人去完成 j 项任务的成本（如所需时间，费用 等），则一般指派问题的数学模型为： ），则一般指派问题的数学模型为： 则一般指派问题的数学模型为
运筹学 整数规划( Integer Programming )
检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
割平面法的内涵:
Page 18
通过找适当的割平面,使得切割后最终得到这样的可行域( 不一定一次性得到), 它的一个有整数坐标的顶点恰好是 问题的最优解.
－Gomory割平面法
例: 求解
max z x1 x2 s.t. x1 x2 1
3x1 x2 4 x1 , x2 0, 整 数
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4 0
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4 0
0 x5 -3 0 0 -3 -1 1
0 0 -1/2 -1/2 0
由对偶单纯形法, x5为换出变量, x3为换入变量, 得Page 29
cj CB XB b 1 x1 1 1 x2 1 0 x3 1
1 100 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 1/3 1/12 0 1 0 0 1/4 0 0 1 -1 -1/3 0 0 0 -1/2 -1/6
收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
也是有效的.
分支定界法
Page 33
分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下
一步； 2）分支与定界：
任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1
管理运筹学教学内容
管理运筹学Ⅰ一．教学目的运筹学是一门应用数学理论和方法研究社会经济问题的课程，是管理专业一门重要的方法论课程。
通过本课程的学习，使学生获得线性规划、动态规划、网络规划、系统决策等方面的基本技能和方法，为解决实际问题和进行更高层次的学习奠定必要的方法论基础。
二．教学内容第一章线性规划基础第一节运筹学发展简史及其现代社会中的应用第二节线性规划问题的一般模型第三节线性规划问题的标准型第四节线性规划问题的图解法第二章单纯形法第一节线性规划问题的几何意义第二节单纯形法第三节对单纯形法的进一步讨论第四节对线性问题解的讨论第五节改进单纯形法及计算机程序设计第三章线性规划模型的建立第一节线性规划问题建模技巧第二节用线性规划方法求解的实际问题的类型第四章对偶问题及应用第一节对偶问题第二节对偶问题的建立第三节对偶问题的基本性质第四节对偶性质的应用第五节对偶单纯形法第六节对偶单纯形法的应用第五章线性规划问题的灵敏度分析第一节边际值及其应用第二节对C值的灵敏度分析j值的灵敏度分析第三节对aij第四节对 b 值的的灵敏度分析第五节灵敏度分析的应用示例第六章运输问题第一节运输问题的线性规划模型第二节初始基本可行解的求法第三节求检验数的方法第四节方案的调整第五节表上作业法应用举例第六节指派问题第七章整数规划第一节基本概念第二节整数规划问题的图解法第三节整数规划建模第四节割平面算法第五节分枝定界算法第六节 0—1 规划算法第八章动态规划第一节引例第二节动态规划的基本概念和基本原理第三节背包问题第四节生产计划问题第五节购销量计划问题第六节复合系统可靠性问题第七节设备更新问题第八节投资问题第九节计算机算法设计第九章线性多目标规划规划第一节例子第二节建模方法第三节求解方法第四节在决策中的应用三．教学课时安排章名称主要内容课时安排备注1线性规划基础介绍一般线性规划问题的特征、标准形及简单规划问题的图解法6课时包括习题课时间2单纯形法单纯形法的思想与求解过程、线性规划解的讨论63线性规划建模从三个方面讲述建立线性规划模型的方法34对偶问题及应用对偶问题的一般理论及应用65灵敏度分析灵敏度分析方法与应用56运输问题运输问题表上作业法的建模、求解方法、应用，指派问题的求解67整数规划求解整数规划的方法——割平面、分支定界、隐枚举法58动态规划动态规划的概念、基本原理与应用59线性多目标规划多目标规划及其在决策中的应用3总复习3总课时4855运筹学Ⅱ一．教学目的运筹学是一门应用数学理论和方法研究社会经济问题的课程，是管理专业一门重要的方法论课程。
管理运筹学案例演示混合整数规划
yi
当 选 择 Ai 地 建 厂 时; 当 不 选 择 Ai 地 建 厂 时 。
约束条件: A1产量限制条件;及A2、 A3、 A4、 A5准备建设的新厂, 其产量约束条件；
满足销量的约束条件；
目标函数: 总的固定成本和总的运费之和最小。
（2）在上述模型的基础上加上一个约束条件，即：
y2 ? y3 ? 1
每个广告的费用（千元）
电
白昼时间
8
视
热门时间
15
广杂 播志
63
每个广告影响总人数（千人）
40
90
50 2
每个广告影响妇女数（千人）
30
40
20 1
解：设电视白昼时间的广告个数为 x1、电视热门时间的广告个 数为 x2、广播的广告个数为 x3、杂志的广告个数为 x4。
该广告计划模型为：
max z ? 40x1 ? 90x2 ? 50x3 ? 2x4
D Goal Programmingmic Programming
E Transportation Programming
1 2 3 4 5 6 7 N Simulation
F Assignment
123456
8 9 10 11 12 O Forecasting
G Break-Even Analysis
x1 ? y1M x2 ? y2 M x3 ? y3 M
目标函数： 为扣除固定费用的利润最大化，即：
4x1 ? 5x2 ? 6x3 ? 100y1 ? 150y2 ? 200y3
该生产计划整数规划模型为：
max z ? 4x1 ? 5x2 ? 6x3 ? 100 y1 ? 150 y2 ? 200 y3
《管理运筹学》课件
目标函数是最大化或最小化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n$。
约束条件
约束条件是决策变量必须满足的条件，通常表示为$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n leq b$或$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n
PART 05
动态规划
动态规划的基本概念
动态规划是一种通过将原问 题分解为相互重叠的子问题 ，并存储子问题的解以避免
重复计算的方法。
它是一种优化策略，适用于 多阶段决策问题，其中每个 阶段的决策都会影响后续阶
段的决策。
动态规划的基本思想是将一 个复杂的问题分解为若干个 相互重叠的子问题，并逐个 求解子问题，以获得原问题 的最优解。
对偶算法
对偶算法是一种基于对偶理论的求解线性规划问题的算法，其基本思想是通过构造对偶问题来求解原问题。对偶算法 可以在某些情况下比单纯形法更高效，尤其是在处理大规模问题时。
内点法
内点法是一种求解线性规划问题的迭代算法，其基本思想是通过不断逼近问题的最优解来寻找最优解。 内点法在处理大规模问题时非常有效，因为它可以利用问题的结构来加速收敛速度。
= b$。
线性规划的数学模型
• 线性规划的数学模型由决策变量 、目标函数和约束条件组成，可 以表示为
线性规划的数学模型01Βιβλιοθήκη $begin{aligned}
02
text{maximize} & f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n
03
运筹学第10讲：整数规划(一)
x14-80y4<=0
x14-0.01y4>=0
x24-x14<=15
x34-x24<=15
x44-x34<=15 x54-x44<=15
取L=0.01，M=10000
x16-60y16>=0 x26-60y26>=0
最优值: Z*=1752.19
x36-60y36>=0 x46-60y46>=0
最优解：
x34+320y5+x36+x37-120y1-28y2-0.25x24-1.2x26-1.15x27=150
x44+x46+x47-140y1-28y2-65y3-0.25x34-1.2x36-1.15x37=0
x54+x56+x57-140y1-28y2-65y3-0.25x44-180y5-1.2x46-1.15x47=0
x6 + x7 + x8 ≥ 1 x1 + x4 + x6 ≤ 2 x2 + x8 ≤ 1 ∑xi = 5 xi=0或1, i =1,2,…,8
最优值: 9.32 最优解：
x2 = x3= x4=
x5= x6=1
其余xi = 0.
例2
混合整数规划问题
工厂A1 和 A2生产某种物资。由于该物资供不应求，故需再建一家工厂。
工厂A3 或 A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3 还是 A4，才能使今后每年的总费用（即全部物 资运费和新工厂生产费用之和）最少。
运筹学
二、Ip问题的求解
第10讲：整数规划(一)
例：max
北京交通大学管理运筹学0-1整数规划
第五步 将子域固定变量的值代入第一个不等式约束条件方程，并令 不等式左端的自由变量当系数为负时取值为1，系数为正时取值为0， 这就是左端所能取的最小值。若此最小值大于右端值，则称此子域 为不可行子域，不再往下分枝，若子域都检验过，转第七步，否则， 不可行子域， 不可行子域 转第六步；若此最小值小于右端值，则依次检验下一个不等式约束 方程，直至所有的不等式约束方程都通过，若子域都检验过，转第 七步，否则，转第六步。 第六步 定出尚未检验过的另一个子域的解，进行第三步至第五步， 若所有子域都停止分枝，计算停止，目标函数值最小的可行解就是 最优解；否则，转第七步。 第七步 检查有无自由变量。若有，转第二步；若没有，计算停止。
目标函数值最小的可行解就是最优解。
现举例说明上述计算步骤。 例8 min z=
8 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 7 x4 + 5 x5
满足：
−3 x1 − 3 x2 + x3 + 2 x4 + 3 x5 ≤ −2 −5 x1 − 3 x2 − 2 x3 − x4 + x5 ≤ −4 x = 0或1 对一切j j
第四节 0-1整数规划 整数规划
•
问题的提出：
0-1整数规划是线性规划及整数规划的一种特殊形式。 模型结构和形式是线性规划，只是决策变量取0或1。 例1：投资场所的选定——相互排斥的计划
某公司拟在城市的东、西、南三区建立分公司，拟议中有七 个位置Ai（i=1, 2,…,7), 规定在东区A1,A2,A3个点中至多选二个; 在 西区A4,A5两点中至少选一个; 在南区A6,A7中至少选一个, 如选用Ai 点,设备投资估计为bi元, 每年可获利润估计为ci元, 但投资总额不能 超过B元, 问应选择那几个点可是年利润为最大?
管理运筹学 第8章 整数规划
Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+16x33 +19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44
s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干) xij 为0-1变量，i,j = 1,2,3,4
x1 -3x2 + 2x3 ≤3 x1,x2,x3 ≥ 0
x1为整数,x3为0-1变量
用《管理运筹学》软件求解得：
x1 = 5， x2 = 2， x3 = 2
用《管理运筹学》软件求解得：
x1 = 4， x2 = 1.25，x3 = 1，
z = 16.25
管理运筹学
5
§3 整数规划的应用
一、投资场所的选择 例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门
管理运筹学课件
将多目标问题分解为若干层次，逐层进行分析和比较 ，确定各目标的优先级。
进化算法
借鉴生物进化原理，通过种群进化、基因交叉、变异 等操作，寻找多目标问题的非劣解集。
多目标规划的应用案例
生产计划问题
在生产过程中，需要平衡产量、成本、交货期等多个目标 ，通过多目标规划进行优化。
ห้องสมุดไป่ตู้
01
金融投资组合
投资者需要在风险和收益之间进行权衡 ，通过多目标规划选择最优的投资组合 。
02
03
城市交通规划
城市交通规划需要考虑交通流量、道 路建设成本、环境影响等多个目标， 通过多目标规划进行优化。
06
动态规划
动态规划的基本概念
1
动态规划是一种通过将原问题分解为相互重叠的 子问题，并存储子问题的解以避免重复计算的方 法。
2
它是一种优化技术，用于解决多阶段决策问题， 其中每个阶段的决策都会影响后续阶段的决策。
02
线性规划
线性规划的基本概念
01
线性规划是一种数学优化技术，用于在有限资源约 束下最大化或最小化线性目标函数。
02
它通过建立和解决线性等式或不等式约束下的优化 问题，来找到最优解决方案。
03
线性规划问题具有可加性、齐次性和凸性的特点。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是解决线性规划问题的 经典算法，通过迭代过程逐步改 进可行解，直到找到最优解。
管理运筹学主要研究如何运用定量方 法对组织中的各种资源进行最优配置 和有效利用，以实现组织的目标和战 略。
管理运筹学的应用领域
01
生产与运作管理
涉及生产计划、调度、质量控制等 方面的优化问题。
“管理运筹学”教学大纲
“管理运筹学”教学大纲一、课程简介“管理运筹学”是一门研究企业管理中决策与优化问题的课程。
本课程旨在让学生掌握运筹学的基本理论和方法，学会运用运筹学工具解决企业管理中的实际问题，提高决策效率和创新能力。
二、课程目标1、掌握运筹学的基本概念和原理，了解运筹学在企业管理中的应用。
2、掌握线性规划、整数规划、动态规划等常用运筹学方法，能够运用相关软件进行求解和分析。
3、理解运筹学在决策分析、资源优化配置、风险管理等方面的应用，能够运用运筹学方法解决实际问题。
4、培养学生的创新思维和综合分析能力，提高其在实际工作中运用运筹学的能力。
三、课程内容1、运筹学概述：介绍运筹学的定义、发展历程和应用领域，阐述运筹学在企业管理中的重要性。
2、线性规划：介绍线性规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解线性规划在生产计划、资源分配等问题中的应用。
3、整数规划：介绍整数规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解整数规划在排班安排、仓库管理等问题中的应用。
4、动态规划：介绍动态规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解动态规划在最优路径选择、生产策略制定等问题中的应用。
5、决策分析：介绍决策分析的基本概念和方法，包括风险决策、不确定决策和多目标决策等，重点讲解如何运用运筹学方法进行决策分析。
6、资源优化配置：介绍资源优化配置的基本概念和方法，包括供应链优化、库存管理和排班安排等，重点讲解如何运用运筹学方法进行资源优化配置。
7、风险管理：介绍风险管理的基本概念和方法，包括风险识别、评估和控制等，重点讲解如何运用运筹学方法进行风险管理。
本课程总计36学时，分为理论授课和实践操作两个环节。
理论授课主要讲解运筹学的基本理论和常用方法，实践操作则通过案例分析和软件操作等方式加深学生对运筹学应用的理解和实践能力。
具体安排如下：1、理论授课：32学时，每周2学时，共16周。
2、实践操作：4学时，集中安排在学期末进行。
运筹学——0-1整数规划
(1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
0’’ -2 3 1 6
1
.2
.3
Z .4 足 值 no no no no
最优解(X2,X1,X3) =（0，1，1） Z=8 实际只计算了16次
例2
求下列问题：
Max Z=3x1+ 4x2 + 5x3 + 6x4 s.t. 2x1+ 3x2 + 4x3 + 5x4 15
0-1规划应用
华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目 的投资额和期望的投资收益见下表： 项目 投资额(万元) 投资收益(万元) 1 210 150
2
3 4 5
300
100 130 260
210
60 80 180
该公司只有600万元资金可用于投资， 由于技术原因，投资受到以下约束： 在项目1、2和3中必须有一项被选中；
0-1 规划及其解法
0-1 规划在线性整数规划中具有重要地位。 定理：任何整数规划都可以化成0-1规划。 一般地说，可把整数x变成(k+1)个0-1变量公 式为：x=y0+2y1+22y2+….2kyk 若x上界为U，则对0<x<U,要求k满足2k+1 U+1.
由于这个原因，数学界曾纷纷寻找“背包问 题”解的方法，但进展缓慢。
xi=1或0
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解：由于目标函数中变量x1, x2 , x4 的系数均为负数， 可作如下变换：
令 x1 ＝1－ x1′ , x2 =1- x2′, x3= x3′, x4 =1- x4′带入原题 中，但需重新调整变量编号。令 x3′ = x1′, x4′ = x2′得到下式。
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解： b) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选 中时)或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5。这可以表示为一个整数规 划问题： Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+ 3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10x51 +4x52+2x53 s.t. x11+ x12+ x13 ≤ 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 ≤ 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 ≤ 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 ≤ 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 ≤ 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) y2+y3 = 1 (A2，A3地建一个厂) xij ≥0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0--1变量，k =2,3,4,5。 * * * 求解可用《管理运筹学》软件中整数规划方法。
8.1 整数规划的特点及应用
投资场所的选择
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）: Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720 x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2 xi ≥ 0,且xi 为0-1变量,i = 1,2,3,……,10 把上述模型输入管理运筹学软件,即得到此问题的最优解如下: 最优目标函数值为245. 最优解为: x1=1,x2=1,x3=0,x4=0,x5=1,x6=1,x7=0,x8=0,x9=1,x10=1
3 2 1 1 2
2x1+3x2 =14.66
(4 , 2)
2x1+3x2 =14 3 2x1+3x2 =6 4
性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目标 函数值小于或等于相应的线性规划的最大目标函数值；任何求最小目标函
数值的纯整数规划或混合整数规划的最小目标函数值大于或等于相应的线
A1 投资额 利润 100 36 A2 40 A3 50 A4 80 22 A5 70 20 A6 90 30 A7 80 25 A8 140 48 A9 160 58 A10 180 61 120 150
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预 测情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择 哪几个销售点，可使年利润为最大?(P166E4)
若该松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性 规划。Integer Linear Programming
max Z (或 min Z )
c
j 1
n
j
xj
n ( i 1.2 m ) a ij x j bi j 1 x j 0 (j 1.2 n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
销地 产地 A1 A2 A3 A4 A5 销量(千吨) B1 8 5 4 9 10 30 B2 4 2 3 7 4 20 B3 3 3 4 5 2 20 产量(千吨) 30 10 20 30 40
解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选 中时)或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5。这可以表示为一个整数规 划问题：
目标函数： Max Z = 2x1 +3 x2
约束条件： s.t. 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140 x1 ≤4 x1，x2 ≥ 0 ,且为整数。
5
8.1 整数规划的特点及应用
如果去掉最后一个约束，就是一个线性规划问题。利用图解法，
x2
(2.44 , 3.26)
例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制如表所示。
货物 甲 乙 托运限制 每件体积 （立方英尺） 195 273 1365 每件重量 （百千克） 4 40 140 每件利润 （百元） 2 3
甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大？ 解：设x1 、 x2分别为甲、乙两种货物托运的件数，建立模型
种容器即 xi = 0 时）； 引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大， 以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300
x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大
xi ≥ 0 且为整数， yi 为0-1变量，i = 1,2,3源自8.1 整数规划的特点及应用
指派问题
有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由于 每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。 现假设必须指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项任务的总的效率最高，这就是指派问题。 例6．有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做 各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使 总的消耗时间为最少。
8.1 整数规划的特点及应用
四、分布系统设计
例7．某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱，为了 扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂。已知 在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固定成本分别为175千元、300千元、 375千元、500千元，另外， A1产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量 ，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所 示。 a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成 本和总的运输费用之和最小? b) 如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂?
工作 工人 甲 乙 丙 丁
A 15 19 26 19
B 18 23 17 21
C 21 22 16 23
D 24 18 19 17
8.1 整数规划的特点及应用
解：引入0-1变量 xij，并令 xij = 1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0（当不指派第 i人去完 成第j项工作时)．这可以表示为一个0--1整数规划问题： Min z =15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+16x33 +19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44 s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能做一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能做一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能做一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能做一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能由一人来做) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能由一人来做) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能由一人来做) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能由一人来做) xij 为0-1变量，i,j = 1,2,3,4
8.1 整数规划的特点及应用
固定成本问题 例5．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源 为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数 量如表所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别 为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人 月，机器有100台月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要 支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200 万元。现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大。
Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+ 3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10x51 +4x52+2x53 s.t. x11+ x12+ x13 ≤ 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 ≤ 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 ≤ 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 ≤ 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 ≤ 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij ≥0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0--1变量，k =2,3,4,5。 * * * 求解可用《管理运筹学》软件中整数规划方法。