人教A版高中数学选修2-1课件【11】椭圆的定义及标准方程的求法
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椭圆标准方程课件-高二上学期数学人教A版选修2-1
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样 的呢
椭圆的标准方程
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
它表示:
① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ c2= a2 - b2
y
F2
P
ox
F1
填表
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0 y2 + x2 = 1a > b > 0
因此, 所求椭圆的标准方程为x2 y2 1 .
10 6
求椭圆标准方程的方法： （1）定义法； （2）待定系数法； 注意先判断焦点的位置. 探究8、本节课你都学到了哪些知识？
1、椭圆的标准方程
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0 y2 + x2 = 1a > b > 0
a2 b2
a2 b2
a2 b2
a2 b2
y
不
图形
同
点
y P
F1 O F2
x
F2 P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
并且经过点
, 求它的标准方程.
解： 由椭圆的定义知
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10
高中数学人教A版选修2-1课件：2.2.1 椭圆及其标准方程
满足
当椭圆的焦点在 y 轴上时,
������2 设椭圆的方程为 2 ������
������2 ������2 a>b>0,∴所求椭圆的标准方程为 + 15 5
( 3)2 (-2)2 + 2 = 1, 2 ������ ������2 = 15, ������ ∴ ∴ 2 2 2 ������ = 5, (-2 3) 1 + 2 = 1. 2 ������ ������
③将x',y'代入f(x,y)=0, 即得所求的轨迹方程.
题型一
题型二
题型三
题型四
用待定系数法求椭圆的标准方程
【例 1】 已知椭圆经过点( 3, −2)和(−2 3, 1), 求椭圆的标准方程. 分析:因为不确定焦点所在的坐标轴,故可设椭圆方程为
������2 mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求解;也可设 2 ������ ������2 ������2 1 和 2 + 2 = 1(������ > ������ > 0), 分别求解. ������ ������
∴动圆圆心 M
������2 ������2 的轨迹方程是 + 25 16
= 1.
题型一
题型二
题型三
题型四
椭圆定义的应用
【例 3】 点 P
F1PF2=30°,求△F1PF2 的面积.
分析:可以先利用 a,b,c 的关系求出|F1F2|,再利用余弦定理求出 |PF1|· |PF2|,最后可求出������△������1 ������������2 .
利用椭圆的定义求轨迹方程 【例2】 已知B,C是两定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求这个 三角形顶点A的轨迹方程. 分析:本题可先建立直角坐标系,再利用椭圆的定义得出点A的轨 迹是椭圆,利用待定系数法求出方程即可.
第二章第二节第一小节椭圆及其标准方程 课件-人教版高中数学选修2-1
例 1 如图，P 为圆 B：(x＋2)2＋y2＝36 上一动
点，点 A 坐标为(2,0)，线段 AP 的垂直平分
线交直线 BP 于点 Q，求点 Q 的轨迹方程.
跟踪训练 1
2.1.1(二）
已知圆 A：(x＋3)2＋y2＝100，圆 A 内一定点 B(3，0)，
圆 P 过 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程.
例 2 如图，在圆 x2＋y2＝4 上任取一点2.1P.1，(二）过 点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足.当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是 什么？为什么？
相关点法求轨迹方程
问题 从例 2 你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
答案 圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.
直接法求轨迹方程
小结 通过例 3 的学习，体会椭圆的另一种生成方法： 一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数 (不等于－1)，轨迹即为椭圆， 但要注意除去不符合题意的点.
1.解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是 2.注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.x2 来自21ab
0
F(±c，0)
F(0，±c)
a2=b2+c2
特点1：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
特点2：焦点在x轴的椭圆 焦点在y轴的椭圆
x2 y2
项分母较大. 项分母较大.
谁的分母大，焦点就在谁的轴上
定义法求轨迹方程
2.1.1(二）
跟踪训练 2
2.1.1(二）
如图，设 P 是圆 x2＋y2＝25 上的动点，
点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点， 且|MD|＝45|PD|.当 P 在圆上运动时，
人教A版高中数学选修212.椭圆及其标准方程(1)PPT课件
人教A版高中数学选修212.椭圆及其标 准方程 （1）P PT课件
人教A版高中数学选修212.椭圆及其标 准方程 （1）P PT课件
焦点在y轴上的椭圆的标准方程
y2x21(ab0) a2 b2 焦 :F 1 ( 0 , 点 c )F 2 ,( 0 ,c )
O
y F2
x M F1
a2c2b2
人教A版高中数学选修212.椭圆及其标 准方程 （1）P PT课件
x2 (2)
y2
1
144169
a 1 , b 1 3 , c 5 2 , F 1 ( 0 , 5 ) F 2 ( 0 , , 5 )
( 3 ) 3 x 2 2 y 2 6 a 3 , b 2 ,c 1 ,F 1 ( 0 , 1 ) F 2 ( , 0 , 1 )
人教A版高中数学选修212.椭圆及其标 准方程 （1）P PT课件
M 1 F M2 FF 1F 2 M点的轨迹为 椭圆 M 1 F M2 FF 1F 2 M点的轨迹为 线段 F1F2 M 1 F M 2 FF 1F 2 M点的轨迹为 不存在
M
F1
F2
F1
F2
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1 36 32
当堂训练
2.写出适合下列条件的椭 圆的标准方程： （2）焦点坐标分别为（ 0,4）, (0,4), a 5;
解：由题意知 c： 4,a5
b 2 a 2 c 2 2 1 5 9 6
因为焦点在y轴上， 所以，椭圆的标准方程为：
y2 x2 1 25 9
当堂训练
2.写出适合下列条圆件的的标椭准方程：
人教A版高中数学选修2-1课件椭圆中的“圆周角”定理
k AM k BM
2 a b 5 2 e 2 a 9
4 9 2
-1=e2-1
4 2 e 1 9
x2 y2 1( x 5) 2 10 2 5 ( ) 3
点A，B坐标
椭圆的顶点坐标 椭圆的半实轴长
4 e 1 9
2
OA/OB的长度
k AM k BM
4 9
x y 2 （ 1 R 0） 2 R R
2
2
x2 y2 1( x 5) 2 10 2 5 ( ) 3
c a 2 b2 c a 2 b2 圆：e 0 椭圆：e 1 2 2 a a a a
斜率之积=-1
2 2 a b e2 0 2 a
4 9
想一想？？？
2 2
x y 设椭圆的标准方程为 2 2 1 (a b 0), a b
点M为椭圆上的任意一点， 点Ａ，Ｂ为椭圆的左右 顶点， 请问直线AM与BM的斜率之积是否为定值 ？ 该定值是多少？
k AM kBM e 1
2
x2 y2 2 （ 1 R 0） 2 R R
椭圆中的“圆周角”定理
圆周角定理在椭圆中的推广
一、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点的距离的和 1 2
F ,F
等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭 F1F2
圆.
二、椭圆的标准方程
焦点在x轴上：
x y 1 ( a b 0 ) 2 2 a b
2
2
焦点在y轴上： y x 1 ( a b 0 ) 2 2 a b
x y 2 1 2 a b
2
2
圆的直径
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
数学：2.2.1《椭圆的标准方程》PPT课件(新人教A版选修2-1)
自己动手试试看: 自己动手试试看 取一条定
长为6cm的细绳，把它的两 的细绳， 长为 的细绳 端固定在画板上的F 端固定在画板上的 1 和F 2 两点，用铅笔尖把细绳拉紧, 两点，用铅笔尖把细绳拉紧 使铅笔尖在图板上缓慢移动, 使铅笔尖在图板上缓慢移动 仔细观察,你画出的是一个 仔细观察 你画出的是一个 什么样的图形呢? 什么样的图形呢
√(x+c)2+y2 +√(x-c)2+y2 =2a
将这个方程移项，两边平方，得 (x+c)2 + y2=4a2-4a √(x - c)2+y2 +(x - c)2+y2 , a2-cx = a √(x-c)2+y2 . 两边再平方，得 4-2a2cx+c2x2 = a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 , a 整理得 2-c2)x2+a2y2 = a2(a2-c2) . （a
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
x y 两 同 以 b ， 得 2 + 2 =1 边 除 a a b
x y (1)焦 在 上: 2 + 2 =1(a > b > 0) 点 x轴 a2 b2 y x (2)焦 在 上: 2 + 2 =1(a > b > 0) 点 y轴 a b
2
2
椭圆方程有特点 系数为正加相连 分母较大焦点定 右边数“ 记心间 右边数“1”记心间
x y ( 2.椭 圆 + =1 焦距为 ,则m的值 C) 的 2 等于 m 4
2 2
A 5 B 3 C 3或5 D 以上都不对
二、填空题： 填空题： 1.已知 2 已知a+b=10,c= 2 5 ,则椭圆的标准 已知 则椭圆的标准 2 2 2 x y y x 方程为_______________________________________ + =1 或 + =1 36 16 36 16
人教A版高中数学选修2-1课件椭圆中的“圆周角”定理.pptx
x2 b2
1(a
b
0)
名称：椭圆圆ax22
y2 b2
1(a
b
0)
x2 R2
y2 R2
（1 R
0）
范围 a x a,b y b R x R,R y R
对称性
关于x轴，y轴， 原点对称
关于任意一条直径 对称
顶点 a,0,0,b R,0, 0,R
的任一点，则直线斜率一kA定M ,存kB在M ，且
kAM kBM e2 1
（2012年天津卷理科第19题）
19、设椭圆的ax左22 、by22右 1顶(a点 b分别0) 为A，B，点P在 椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.
（Ⅰ）若直线ＡＰ与ＢＰ的斜率之积为 ，
求椭圆的离心率；
x2 R2
y2 R2
（1 R
0）
x2 a2
y2 b2
1
圆的直径
过原点的线段作为椭圆的直径
圆上一点与圆直径
椭圆上一点与椭圆
的顶点组成的直线
直径的顶点组成的直线
圆周角定理
圆周角定理 在椭圆中的推广
斜率之积=-1
kAM kBM e 2 1
（圆周角定理在椭圆中的推广） 若AB为椭圆的直径，点M为椭圆上异于点A、B
离心率
e c a
a2 b2 a2
1
c a2 b2
e a
a2 0
椭圆与圆是否有类似的性质或定理？
在圆中，我们有直径所对圆周角为 直角.
那么请大家想一想： 在椭圆中，我们是否有类似的定理？
我们又该如何叙述呢？
2012高中数学 第2章2.2.1椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修2-1
思路点拨】 解答本题可先利用a， ， 三 【 思路点拨 】 解答本题可先利用 ， b，c三 者关系求出|F 者关系求出 1F2|， 再利用定义及余弦定理求 ， 出|PF1|、|PF2|，最后求出 △F1PF2. 、 ，最后求出S△
x y 【解】 在椭圆 ＋ ＝1 中，a＝4，b＝3，所 ＝ ， ＝ ， 16 9 以 c＝ 7. ＝ 在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝8，① ＋ ＝ ， 因为点 P 在椭圆上，所以 ∵∠F 在△PF1F2 中，∵∠ 1PF2＝60°，根据余弦定理 ， 可得： 可得： |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2 ＝ ＝28，② ，
问题探究
平面内动点M满足 平面内动点 满足|MF1|＋ |MF2|＝ 2a， 当 2a＝ 满足 ＋ ＝ ， ＝ |F1F2|时 ， 点 M的轨迹是什么 ？ 当 2a<|F1F2|时呢 ？ |时 M的轨迹是什么 的轨迹是什么？ |时呢 时呢？ 的轨迹是线段F 提示： 时 的轨迹是线段 提示 ： 当 2a＝|F1F2|时， 点 M的轨迹是线段 1F2 ； ＝ 当2a<|F1F2|时，不表示任何轨迹． 时 不表示任何轨迹．
利用椭圆的定义求轨迹方程 用定义法求椭圆方程的思路是： 先观察、 用定义法求椭圆方程的思路是 ： 先观察 、 分 析已知条件， 析已知条件 ， 看所求动点轨迹是否符合椭圆 的定义， 若符合椭圆的定义， 的定义 ， 若符合椭圆的定义 ， 则用待定系数 法求解即可． 法求解即可． 例2 已知动圆 过定点 － 3,0)， 并且内切 已知动圆M过定点 过定点A(－ ， 于定圆B： － 于定圆 ： (x－ 3)2 ＋ y2 ＝ 64， 求动圆圆心 的 ， 求动圆圆心M的 轨迹方程． 轨迹方程．
高中数学选修2-1课件2.2 椭圆及其标准方程 (共15张PPT)
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2
哪个分母大，焦点就在哪个轴上
课后作业
1、课后反思与体验
１、本节课我学到了哪些知识，是用什么方法学 会的？ ２、我还有什么知识没有掌握，是什么原因导致 的？ ３、我从老师和同学那儿学到了哪些好的学习方 法？ ４、通过上述的回顾评价一下自己本节课的表现。
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一个轴上。
1、根据椭圆的标准方程，快速填空：
x2 y 2 1. 2 2 1， 则a＝ 5 ，b＝ 3 ； 5 3 x2 y 2 2. 2 2 1， 则a＝ 6 ，b＝ 4 ； 4 6 x2 y 2 则a＝ 3 ，b＝ 2 ； 3. 1， 9 4 x2 y 2 4. 1， 则a＝ 3 7
2、基础题：作业本第17－18页1－8题
课后作业
3、探究与拓展： 介绍一种画椭圆的仪器. 登陆网页 http///xiaolu31/jieji/2-1， 阅读有关“达.芬奇椭圆仪”的介绍.
根据所学知识完成下表：
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2
P x
不 同 点
图
形
F1
人教A版高中数学选修2-1课件高二《2.2.1椭圆及其标准方程》
练 习：
（1） 点 A，B 的坐标是 (1,0),(1,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率 与直线 BM 的斜率的商是 2，点 M 的轨迹是 什么？
练 习： （1） 点 A，B 的坐标是 (1,0),(1,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率 与直线 BM 的斜率的商是 2，点 M 的轨迹是 什么？
例 1. 在圆 x2+y2=4 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足.当点 P 在圆上运 动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？
例 2．已知动圆 M 过定点 A (3,0) ，并且在 定圆 ( x 3)2 y2 64 的内部与其相切，求动 圆圆心 M 的轨迹方程。
例 2．已知椭圆两个焦点的坐标分别是 (2,0), (2,0), 并且经过点 ( 5 , 3) ，求它的标准方程.
22
举例分析
例 3．已知 B、C 是两个定点，|BC|=8，且△ ABC 的周长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨 迹方程。
巩固练习
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴ 焦点在 x 轴上，焦距等于 4，并且经过点
讲授新课
1. 定义椭圆： 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之
和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距.
2. 椭圆标准方程的推导：
讲授新课
1. 定义椭圆： 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之
和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距.
2．教材 P42 面 1、3 题
巩固练习
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.2.1椭圆及其标准方程》 t课件
2 2 x y 所以所求的椭圆方程为： 1. 15 5
【方法技巧】 1.求椭圆方程的方法 方法 内容 适合题型或条件
分析条件判断出点 的轨迹是椭圆,然 动点满足|MA|+|MB|= 定义法 后根据定义确定方 2a,且2a>|AB| 程
由题设条件能确定 方程类型,设出标 待定 准方程,再代入已 系数法 知数据,求出相关 参数
2 2 x y 故所求椭圆的标准方程为 1. 25 9
②由于椭圆的焦点在y轴上,
2 2 y x 所以设它的标准方程为 2 2 1 (a＞b＞0). a b
由于椭圆经过点(0,2)和(1，0),
4 0 2 1, 2 2 a 4, 所以 a b 2 b 1. 0 1 1 a 2 b2
焦点的椭圆的方程是(
x 2 y2 A. 1 15 10 x 2 y2 C. 1 10 15
)
x2 y2 B. 1 225 100 x2 y2 D. 1 100 225
(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5， 0). ②焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1,0). ③经过点 A( 3， 2) 和点 B 2 3,1 .
2 2 y x (3)椭圆的方程为 1，则a= 9 4
. . ,b= ,
c=
.
【解析】(1)由a2=b2+c2，得b2=52-32=42=16,
2 2 x y 所以椭圆的方程为 1. 25 16 2 2 答案：x y 1 25 16 2 2 1 1 5 x y 2 2 (2)由4x +9y =1，得 所以 c . 1, 1 1 4 9 6 4 9 所以焦点坐标为 ( 5 ,0). 6 答案：( 5 ,0) 6
【方法技巧】 1.求椭圆方程的方法 方法 内容 适合题型或条件
分析条件判断出点 的轨迹是椭圆,然 动点满足|MA|+|MB|= 定义法 后根据定义确定方 2a,且2a>|AB| 程
由题设条件能确定 方程类型,设出标 待定 准方程,再代入已 系数法 知数据,求出相关 参数
2 2 x y 故所求椭圆的标准方程为 1. 25 9
②由于椭圆的焦点在y轴上,
2 2 y x 所以设它的标准方程为 2 2 1 (a＞b＞0). a b
由于椭圆经过点(0,2)和(1，0),
4 0 2 1, 2 2 a 4, 所以 a b 2 b 1. 0 1 1 a 2 b2
焦点的椭圆的方程是(
x 2 y2 A. 1 15 10 x 2 y2 C. 1 10 15
)
x2 y2 B. 1 225 100 x2 y2 D. 1 100 225
(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5， 0). ②焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1,0). ③经过点 A( 3， 2) 和点 B 2 3,1 .
2 2 y x (3)椭圆的方程为 1，则a= 9 4
. . ,b= ,
c=
.
【解析】(1)由a2=b2+c2，得b2=52-32=42=16,
2 2 x y 所以椭圆的方程为 1. 25 16 2 2 答案：x y 1 25 16 2 2 1 1 5 x y 2 2 (2)由4x +9y =1，得 所以 c . 1, 1 1 4 9 6 4 9 所以焦点坐标为 ( 5 ,0). 6 答案：( 5 ,0) 6
人教A版高中数学选修2-1课件椭圆
1(a
b
0)
这个也是椭圆的标准的方程
F2
M
o
x
F1
YM
F1 O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
椭圆的标准方程的再认识：
Y
F2(0 , c)
M X
O
F1(0,-c)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
y M (x,y)
o F2 x
(c,0)
设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一
点，则有F1(-c，0)，F2(c，0)，且M到F1，F2
的距离和为2a.
由椭圆的定义, 可知：|MF1|+|MF2|=2a
由两点间的距离公式，可知： (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a F1
② a 4, c 15 ，焦点在Y轴上； (2) y2 x2 1
16
③a+b=10， c 2 5。
(3) x2 y2 1或 y2 x2 1
36 16
36 16
小结
定义 图形 方程
︱MF1 ︱+ ︱MF2 ︱=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
反思
（1）在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端 的位置是固定的还是运动的？
（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？ 说明了什么？
（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离 大小有怎样的关系？
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1椭圆及其标准方程 课件(22张ppt)
人教高中数学选修2-1 第二章 2.2.1 椭圆及标准方程
想一想
生活中或是
自然界中有哪些 常见的椭圆图形？
观察以下几组图片
我们了解了生活中的椭圆后，再进一步学习数 学中的椭圆及其标准方程
椭圆定义：
第一定义：
平面内于两定点F1、F2距离之和等于 常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距 离叫做椭圆的焦距。
x2 a2
y2 a2 5
1
.
由点(－3,2)在椭圆上知
9 a2
4 a2 5
1，所以
a ＝2 15.所以所
求椭圆的标准方程为
x2 y2 1
15 10
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a
（1）+（2）得：
（xc)2 y2
=
xc a
+a
（3）
对（3）两边平方可得椭圆的标准方程。
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几何性质
椭圆方程 图形特征
范围
几何 性质
顶点
焦点
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12
12
e
c a
(0e1)
e
c a
(0e1)
|M 1| F ae0,x |M 2| F ae0x|M 1| a F e y 0 ,|M 2| a F e y 0
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自然界中有哪些 常见的椭圆图形？
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椭圆定义：
第一定义：
平面内于两定点F1、F2距离之和等于 常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距 离叫做椭圆的焦距。
x2 a2
y2 a2 5
1
.
由点(－3,2)在椭圆上知
9 a2
4 a2 5
1，所以
a ＝2 15.所以所
求椭圆的标准方程为
x2 y2 1
15 10
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a
（1）+（2）得：
（xc)2 y2
=
xc a
+a
（3）
对（3）两边平方可得椭圆的标准方程。
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几何性质
椭圆方程 图形特征
范围
几何 性质
顶点
焦点
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12
12
e
c a
(0e1)
e
c a
(0e1)
|M 1| F ae0,x |M 2| F ae0x|M 1| a F e y 0 ,|M 2| a F e y 0
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解析：焦点在 y 轴上，c＝8,2a＝20，a＝10，∴b2＝36. y2 x2 ∴椭圆方程为100＋36＝1.
答案：C
二、填空题：每小题 5 分，共 15 分． 7． 已知椭圆的中心在原点， 一个焦点为(0， －2 3)且 a＝2b， 则椭圆的标准方程为__________．
解析：∵c＝2 3，a2＝4b2， ∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，b2＝4，a2＝16. y2 x2 又∵焦点在 y 轴上，∴标准方程为16＋ 4 ＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上， y2 x2 ∴可设它的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)． ∵P(0，－10)在椭圆上， ∴a＝10. 又∵P 到离它较近的一焦点的距离等于 2， ∴－c－(－10)＝2，故 c＝8. ∴b2＝a2－c2＝36. y2 x2 ∴所求椭圆的标准方程是100＋36＝1.
2 x2 y D.13＋y2＝1 或 x2＋13＝1
)
解析：a＝ 13，c＝2 3， ∴b2＝( 13)2－(2 3)2＝1，a2＝13，而由于焦点不确定， ∴D 选项正确．
答案：D
4．椭圆 mx2＋ny2＋mn＝0(m＜n＜0)的焦点坐标是( A．(0，± m－n) B．(± m－n，0) C．(0，± n－m) D．(± n－m，0)
12．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，并且经过点(5,0)； (2)焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为 P(0，－10)，P 到离 它较近的一个焦点的距离等于 2.
解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， x2 y2 ∴设它的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)． ∴2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3. ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. x2 y2 ∴所求椭圆的方程为25＋16＝1.
解析：由已知 c＝4，∴a＝ b2＋c2＝ 41. 又根据椭圆定义可得： △ABF2 的周长为 4a＝4 41.
答案：4 41
三、解答题：每小题 15 分，共 45 分． 10．求经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)的椭圆的标准方 程．
x2 解： 方法一： ①当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)．
2 2 － 2 3 2 ＋ 2 ＝1， b a 依题意有 2 －2 3 1 ＋b2＝1， 2 a 2 a ＝15， 解得 2 b ＝5.
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为15＋ 5 ＝1.
②当焦点在 y 轴上时， y2 x2 设椭圆的标准方程为a，b＝ 3， ∴c＝ a2－b2＝3. ∴F1(－3,0)，F2(3,0)． ∵线段 PF1 的中点在 y 轴上， ∴P 点横坐标为 xP＝3. 3 ∴P 点纵坐标 yP＝± ， 2 且 PF2⊥x 轴．
3 7 3 ∴|PF2|＝ 2 ，|PF1|＝2a－|PF2|＝ 2 . |PF2| 1 在 Rt△PF2F1 中，cos∠F1PF2＝|PF |＝7. 1
y2 x2 答案：16＋ 4 ＝1
x2 y2 8．已知16＋m2＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值 范围为__________．
解析：由题意知 0＜m2＜16，即 0＜m＜4 或－4＜m＜0.
答案：(－4,0)∪(0,4)
x2 y2 9．已知椭圆的方程是a2＋25＝1(a＞5)，它的两个焦点分别 为 F1，F2，且|F1F2|＝8，弦 AB 过焦点 F1，则△ABF2 的周长为 __________．
解析：由题意知 2a＝3＋7＝10，∴a＝5，a2＝25. ∴m＝25.
答案：D
6．椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为 20 ，则此椭圆的标准方程为 ( ) x2 y2 A.100＋36＝1 y2 x2 C.100＋36＝1 y2 x2 B.400＋36＝1 y2 x2 D.20＋12＝1
2 2 － 2 3 2 ＋ 2 ＝1， b a 依题意有 2 1 －2 3 2＋ b2 ＝1， a 2 a ＝5， 解得 2 b ＝15.
∵a＜b，所以方程无解． x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 15 5
方法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且 m≠n)，
3m＋4n＝1， 依题意有 12m＋n＝1，
1 m＝15， 解得 n＝1. 5 x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 15 5
x2 y2 11．已知椭圆12＋ 3 ＝1 的左、右焦点分别为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上，若 PF1 的中点在 y 轴上，试求∠F1PF2 的余弦值．
第二章
圆锥曲线与方程
2． 2
椭
圆
课时作业(11)
椭圆的定义及标准方程的求法
作业 目标 作业 设计
①理解椭圆的定义，掌握椭圆的标 准方程；②能根据给定的条件求椭 圆的标准方程． 限时：40 分钟 满分：90 分
一、选择题：每小题 5 分，共 30 分． 1．命题甲：动点 P 到两定点 A，B 的距离之和|PA|＋|PB|＝ 2a(a＞0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
x2 y2 2．设 P 是椭圆25＋16＝1 上的点．若 F1，F2 是椭圆的两个 焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( A．4 B．5 ) C ．8 D．10
x2 y2 解析：∵椭圆25＋16＝1，得 a＝5， ∴|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.
答案：D
3．已知 a＝ 13，c＝2 3，则该椭圆的标准方程为( x2 y2 A.13＋12＝1 x2 y2 x2 y2 B. ＋ ＝1 或 ＋ ＝1 13 25 25 13 x2 C.13＋y2＝1
解析： 利用椭圆定义． 若 P 点轨迹是椭圆， 则|PA|＋|PB|＝2a(a ＞0，常数)，∴甲是乙的必要条件． 反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)是不能推出 P 点轨迹 是椭圆的． 这是因为：仅当 2a＞|AB|时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a＝ |AB|时，P 点轨迹是线段 AB；当 2a＜|AB|时，P 点无轨迹，∴甲 不是乙的充分条件． 综上，甲是乙的必要不充分条件．
)
x2 y2 解析：化为标准方程是 ＋ ＝1， －n －m ∵m＜n＜0，∴0＜－n＜－m. ∴焦点在 y 轴上， 且 c＝ －m－－n＝ n－m.
答案：C
x2 y2 5． 已知椭圆m＋16＝1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，到另一焦点的距离为 7，则 m 等于( A．10 B．5 C．15 D．25 )