矩阵特征值的计算

0 1 2 0.4472
2 1.3416 0.41472
10
Givens 变换
由
A2，令
i 2, j 4, tan a14 2 0.8944 ，得sin 0.6667, cos 0.7454 则
a12 2.2361
1
0
0 0
G(2,4,
换 H，使得
Hx = e1
其中 = sgn(x1)||x||2, e1= (1, 0, ..., 0)T ， H uuT I
u x e1
( x1)
的选取是为了防止在实际计算中 与 x1 互相抵消 若 x1=0, 则取 = ||x||2
同理，得
1
A4

3

0 0
3 2.3333 0.4714
0
0 0.4714 1.1667 1.5000
0 0 10..55000000
11
源自文库
Householder变换
12
Householder 变换
1985年，A.S.Householder提出用初等 Hermite阵代替Givens阵将对称阵约化为三 对角阵，只需要（n-2）次变换（Givens方 法需要（1/2(n-1)(n-2)）次变换）就能达到 简化目的。
x 2
(5) det(Hw) 1
15
Householder 变换
定理：设 x, y Rn, x y 且 ||x||2 = ||y||2，则存在 n 阶 Householder 变换 H，使得
y = Hx
16
Householder 变换
定理：对任意的非零向量 x Rn，存在 Householder 变
(n
1)(n

2)
次变换，可以约化为三对角阵。
9
Givens 变换
例 1 应用Givens方法把矩阵
1 2 1 2
A
2

1 2
2 1 1
1 1 1
1
1 1

约化为三对角阵。
解：设A A1，令 i 2, sin 0.4772,cos
j 3 ，tan
0.8944 ，则
a13 a12
1 2
得
1
0
0 0
G(2,3,
)


0 0 0
0.8944 0.4772
0
0.4772 0.8944
0
0 10
1

A2

G(2,3, ) A1G T
(2,3, )

2.2361

0 2
2.2361 1 1
1.3416
(2) 正交： G1 GT
(3) 如果A是对称阵，则GAGT也是对称阵
(4) 用 G 左乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两行的值 (5) 用 G 右乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两列的值
7
Givens 变换
定理：设 x = (x1, ..., xi , ... , xj , ... , xn)T，且 xi , xj 不全为零，
)


0 0 0
0.7475 0
0.6667
0 1 0
0.6667 0.70475
1

A3

G2,4,
A2GT
(2,4, )

3

0 0
3 2.3333 0.4472 0.1491
0 0.4472
2 1
0 0.1491 0.13333
数值分析
第七章 矩阵特征值的计算
—— 正交变换与QR 算法
王伟
1
主要内容
正交变换
Givens 变换 Householder 变换
Sturm序列与二分法 QR 算法
基本算法 具有移位的QR算法
2
实对称阵特征值的计算
通过正交变换，将实对称矩阵约化为三 对角阵，利用Sturm定理隔离特征值，最后 用二分法求出所需特征值。
13
Householder 变换
定义：设 w R n 且 wT w 1 ，称矩阵
Hw I 2wwT
为Householder变换。
14
Householder 变换
性质
(1) 对称：HwT Hw (2) 正交：Hw1 HwT Hw
(3) 对合：Hw2 I
(4) 保模： Hw x 2
0 a12 sin a13 cos
a22 sin a23 cos a23 sin a33 cos
令 tan a13
a12
5
Givens 变换
定义：称矩阵
i
j
为 Givens 变换，或 旋转变换。
i j
6
Givens 变换
性质
(1) 只有四个元素与单位矩阵不同
3
Givens变换
4
引例
a1 1 a12 a13 A a12 a22 a23
a13 a23 a33
1 G(2,3, ) 0
0
0 cos sin
0 sin cos

a11
GA a12 cos a13 sin
0 a12 sin a13 cos
a12 a22 cos a23 sin a22 sin a23 cos
a13

a23 cos a33 sin
a23 sin a33 cos
a11 AGT a12
a13
a12 cos a13 sin a22 cos a23 sin a23 cos a33 sin
ai ( i 1)
(2) Givens变换：Ak1 G AkGT 。经过变换可以把
(i 2,i),(i,i 2),(i 3,i),(i,i 3),...,(n,i),(i, n) 上的元素化为0。
k

1,2,,
1 2
(n
1)(n

2)
•
通过
1
2 (n
2)

1 2
则存在 Givens 变换 G = G (i, j, )，使得 Gx ( x1, ..., xi , ..., 0, ..., xn )T
8
Givens 变换
计算步骤
(1) 构造G(i, j, )矩阵。一般地，对第i行Givens变换，构造
G(i 1,i m, ),(i 1,2,, n 2, m 2,3,, n i) ，其中tan ai(im)