1.2导数的计算

x－1′x＋1－x－1x＋1′ ＝ x＋12 x＋1－x－1 2 ＝ ＝ . x＋12 x＋12 x－1 x＋1－2 2 法二：∵y＝ ＝ ＝1－ ， x＋1 x＋1 x＋1
2 2 ∴y′＝1－x＋1′＝－x＋1 ′
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求导公式及导数运算法则
[例 2] 求下列函数的导数：
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； x－ 1 (3)y＝ ；(4)y＝x3· ex；(5)y＝x2＋log3x. x＋ 1
[解]
(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′
＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x.
Δy 1 ∴ ＝ 1－ ， Δx xx＋Δx
1 Δy lim 1 lim 1 － ∴Q′(x)＝Δx→0 ＝ ＝1－x2. x x ＋ Δ x Δx Δx→0
1 同理 H′(x)＝1＋ 2. x
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问题 3： Q(x)， H(x)的导数与 f(x)， g(x)的导数有何关系？
fx f′x gx′＝g′x 这样想当然的错误；其次还要特别注意两个
函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是 “＋”，商的导数法则中分子上是“－”．
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[类题通法] 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，运算比较繁杂； (2) 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难 度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调 整，再选择合适的求导公式．
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• 例 1 ．一个物体的运动方程为 s(t) ＝ 1 － t＋ t2 ，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物 体在3秒末的瞬时速度是( ) • A．7米/秒 B．6米/秒 • C．5米/秒 D．8米/秒 • [答案] C • [解析] v(t)＝s′(t)＝－1＋2t， • ∴v(3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.
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[化解疑难] 导数的运算法则的认识 (1)对于和差的导数运算法则，此法则可推广到任意有限 个可导函数的和或差，即[f1(x)± f2(x)±…±fn(x)]′＝ f1′(x)± f2′(x)± „± fn′(x)． (2)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数 积与商的导数运算中， 不能出现[f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及
lim fx＋Δx－fx ___________________. Δx→0 Δx
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2.如何求函数y=f(x)的导数
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
( 2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x ) f ( x ) ; x x
2x 解：∵y＝ 2 ， x ＋1
2x2＋1－2x· 2x 2－2x2 ∴y′＝ ＝ ， 1＋x22 1＋x22 2－8 6 ∴y′|x＝2＝ ＝－ . 25 1＋42
1 x
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[化解疑难] 几个基本初等函数的导数的区别 (1)注意区别 y＝ax(a＞0)与 y＝xα(α∈Q*)的导数的区别： y′＝(ax)′＝ax· ln a(a＞0)， y′＝(xα)′＝αxα－1(α∈Q*)． (2)y＝sin x 与 y＝cos x 导数的区别与联系： y′＝(sin x)′＝cos x，y′＝(cos x)′＝－sin x.
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
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[化解疑难] 函数 y＝f(x)“在点 x0 处的导数”“导函数”“导数”之间 的区别与联系： (1)“函数在点 x0 处的导数”，就是在该点的函数改变量与 自变量改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数． (2)导函数也简称导数，所以
α *
导函数 f′(x)＝___ 0
α－1 αx f′(x)＝_______
cos x f′(x)＝______ －sin x f′(x)＝_______ axln a(a＞0) f′(x)＝____________ ex f′(x)＝____ 1 f′(x)＝ xln a(a＞0 且 a≠1)
f′(x)＝
Δy fx＋Δx－fx c－c 提示：∵ ＝ ＝ ＝0， Δx Δx Δx Δy ∴y′＝ lim ＝0. Δ x → Δx 0
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问题 2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？
1 提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x )′＝2x，(x)′＝
2
1 1 － 2，( x)′＝ . x 2 x
提示：f′(x)＝－2x，说明 f′(x)不是常量，而是关于 x 的函数．
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[导入新知] 导函数的定义 对于函数 y＝f(x)， 当 x＝x0 时， f′(x0) 是一个确定的数， 当 x 变化时，f′(x) 便是一个关于 x 的函数，我们称它为函 数 y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即 f′(x)＝
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[解]
(1)y′＝(x20)′＝20x20 1＝20x19；
－
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5；
π (3)y′＝sin3 ′＝
3 ′ ＝ 0； 2
1 (4)y′＝(log6x)′＝ ； xln 6 1 2 2 7 － － － 1 － 2 2 (5)y′＝ 5 ′＝(x 5 )′＝－ x 5 ＝－ x 5 . 5 5 2 x
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导数的运算法则
[提出问题] 1 已知 f(x)＝x，g(x)＝x. 问题 1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？
1 提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－ 2. x
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1 1 问题 2：试求 Q(x)＝x＋x，H(x)＝x－x的导数．
－ Δx 1 1 提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋ －x＋x＝Δx＋ ， x＋ Δ x xx＋Δx
a 1×－2＝－1，解得
a＝2.
[答案]
2
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[类题通法] 根据导数的几何意义， 可直接得到曲线上一点处的切线 的斜率． 需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特 征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐 标，然后根据已知条件求出切点坐标．
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[活学活用]
4 2x 求曲线 y＝ 2 在点2，5处的切线方程． x ＋1
(3)函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 点 x＝x0 处的函数值.
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练习：已知函数y x 求（1)f(x) (2)f (2), f (1), f (0)
' ' ' '
3
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基本初等函数的导数
[提出问题] 已知函数： (1)y＝f(x)＝c，(2)y＝f(x)＝x，(3)y＝f(x)＝x2， 1 (4)y＝f(x)＝x，(5)y＝f(x)＝ x. 问题 1：函数 y＝f(x)＝c 的导数是什么？
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[导入新知] 导数的运算法则
f′(x)± g′(x) ； (1)[f(x)± g(x)]′＝_______________
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； (2)[f(x)g(x)]′＝_______________________ f′xgx－fxg′x fx (g(x)≠0) 2 [ g x ] (3) ′＝_____________________________； g x cf′(x) (4)[cf(x)]′＝___________．
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(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)· 3 ＝18x2－8x＋9. 法二：∵y＝(2x2＋3)· (3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
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x－1 (3)法一：y′＝ ′ x＋1
2′x＋1－2x＋1′ 2 ＝－ ＝ 2 2. x＋1 x＋1
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(4)y′ ＝ (x3)′ex ＋ x3(ex)′ ＝ 3x2ex ＋ x3ex ＝ x2(3 ＋ x)ex. (5)y′＝(x2＋log3x)′ 1 ＝(x )′＋(log3x)′＝2x＋ . xln 3
2
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[类题通法] 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点， 选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合 了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简， 然后求导，以减少运算量．
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π x＋1 已知函数 f(x)＝ ，则 f′ 2＝________. sin x
x＋1′sin x－x＋1sin x′ 解析：f′(x)＝ sin2x sin x－x＋1cos x ＝ ， sin2x
π π π π sin2 －2 ＋1cos 2 则 f′2 ＝ ＝1. π sin2 2
12
x x x (5)y＝2sin cos . （6）y 2 2 3
2、求过曲线 y＝cosx 上点 的直线方程．
2
x7
π 1 ， P 3 2且与在这点的切线垂直
3、已知y log 2 x，求曲线在点x 2处的切线方程.
4、若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的 值. 返回
答案：1
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求曲线的切线方程
[例 3] π 若曲线 f(x)＝xsin x＋1 在 x＝ 处的切线与直线 2
π π π f′ 2 ＝sin ＋ 2 2
ax＋2y＋1＝0 相互垂直，则实数 a＝________.
[解] 因为 f′(x)＝sin x＋xcos x，所以
Hale Waihona Puke Baidu
π a cos ＝1.又直线 ax＋2y＋1＝0 的斜率为－ ，所以根据题意 2 2 得
提示：Q(x)的导数等于 f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数 等于 f(x)，g(x)导数的差．
问题 4：[f(x)g(x)]′＝f′(x)· g′(x)对吗？
提示：不对，因为 f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0， 而
1 1 f′(x)· g′(x)＝1× －x2 ＝－ 2. x
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算一算 ：求下列函数的导数
(1) y x
12
(2) y x
1 3
1 (3) y 4 (4) y x x x 1 5 3 (5) y x (6) y 3 x
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利用导数公式求函数的导数
[例 1] 求下列函数的导数：
20
1 (1)y＝x ；(2)y＝ 4； x π 1 (3)y＝sin ；(4)y＝log6x；(5)y＝ . 3 5 2 x
问题 3：函数(2)(3)(5)均可表示为 y＝xα(α∈Q*)的形式， 其导数有何规律？
提示：∵(x)′＝1· x1－1，(x2)′＝2· x2－1，( x)′＝(x )′
－1 1 1 1 2 ＝ x ＝ ，∴(xα)′＝αxα－1. 2 2 x
1 2
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[导入新知] 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c f(x)＝x (α∈Q ) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
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1 2.已知 f(x)＝ , x
1 g(x)＝mx,且 g(2)＝ , f′（ 2）
则 m＝ ________.
解析:f′(x)＝－
1 , x2
1 ∴ f′ (2)＝－ ,g(2)＝ 2m. 4 又∵g(2)＝ 1 , f′（ 2）
∴ 2m＝－ 4, ∴ m＝－2.
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作业：1、求下列函数的导数： 1 5 3 (1)y＝x ；(2)y＝ 4；(3)y＝ x ；(4)y＝2x； x
3.2
导数的计算
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导函数
[提出问题] 已知函数 f(x)＝－x2＋2. 问题 1：如何求 f′(x0)? －x0＋Δx2＋2－－x2 0＋2 提示：f′(x0)＝ lim Δx Δx→0
＝ lim (－2x0－Δx)＝－2x0.
Δx→0
问题 2：若 x0 是一变量 x，f′(x)是常量吗？