3.2 第1课时 利用向量证明空间中的平行关系

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于是������������ =
1 2
,0,
1 2
, ������������1=(1,0,1),������������=(1,1,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),

������·������������1 = 0, 得 ������·������������ = 0,
������ + ������ = 0, ������ + ������ = 0.
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探究一
探究二
探究三
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变式训练1如图所示,已知四边形ABCD是直角梯 形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,12试建立适当
的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量; (2)求平面SAB的一个法向量; (3)求平面SCD的一个法向量.
解以点 A 为原点,AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D
明������������与平面 A1BD 中的������������1是共线向量;思路三:可通过平面 A1BD 的法向量来证明.
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证明方法一:∵������������
=
������1������

������1������
=
1 2
������������

1 2
������1������
12,0,0 ,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面 ABCD, ∴������������=(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量.
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(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面 SAB,
∴������������= 12,0,0 是平面 SAB 的一个法向量.
(3)在平面 SCD 中,������������= 12,1,0 ,������������=(1,1,-1). 设平面 SCD 的法向量是 n=(x,y,z),
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1.空间中点、直线、平面的向量表示 (1)点的位置向量 在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 的 位置就可以用向量������������来表示.我们把向量������������称为点 P 的位置向量. 如图①.
图①
图②
(2)直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定 方向确定,如图②,点 A 是直线 l 上一点,向量 a 表示直线 l 的方向(方
设两个不重合的平面 α,β 的法向量分别为 n1,n2,则 (1)α∥β⇔n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R); (2)当 n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2)时,α∥ β⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2)
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【做一做2】 若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),
所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.
答案平行
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探究一平面法向量及其求法 例1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底 面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.
思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平 面法向量的求解步骤进行求解.
方法二:∵������������
=
������1������

������1������
=
1 2
������1������1


1 2
������1������
=12 (������1������1 − ������1������)=12 ������������1,
∴������������ ∥ ������������1.
=12
������������

1 2
������������

1 2
������1������
+
1 2
������1������1
=
1 2
������������

1 2
������1������,
∴������������, ������������, ������1������是共面向量.
又∵MN⊄平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.
图③ (4)平面的法向量 对于直线l和平面α,若l⊥α,取l的方向向量a,则向量a叫做平面α的 法向量.
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【做一做1】 下列说法中正确的是( ) A.直线的方向向量是唯一的 B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 C.直线的方向向量有两个 D.平面的法向量是唯一的 解析由平面法向量的定义可知,B项正确. 答案B 【思考2】设v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2)分别是直线l1,l2的方向向 量.若直线l1∥l2,则向量v1,v2应满足什么关系. 答案由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2,则直线l1,l2的方向向 量共线,即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1=λv2(λ∈R).
向向量),在直线 l 上取������������=a,那么对于直线 l 上任意一点 P,一定存在
实数 t,使得������������=t������������.
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(3)平面的向量形式 空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.如图③,设 这两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α上任 意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得 ������������ =xa+yb.这样,点O与向量a,b不仅可以确定平面α的位置,还可 以具体表示出平面α内的任意一点.
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2.空间中平行关系的向量表示
线线 平行
线面 平行
面面 平行
设两条不重合的直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,则 (1)l∥m⇔a∥b⇔a=λb(λ∈R); (2)当 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)时,l∥m⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2)
设直线 l 在平面 α 外,l 的方向向量为 a,α 的法向量为 n,则 (1)l∥α⇔a⊥n⇔a·n=0; (2)当 a=(a1,b1,c1),n=(a2,b2,c2),l∥α⇔a1a2+b1b2+c1c2=0
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延伸探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一
个法向量吗?它们之间的关系如何? 解如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),
平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.
且两条直线平行,则x=
,y=
.
解析因为两条直线平行,所以 a∥b.
于是 2
-6
=
4 ������
=
-���5��� ,解得
x=-12,y=15.
答案-12 15
【做一做3】 若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平
面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是
.
解析因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,
������·������������
=
1 2
������
+
1 2
������
=
0,
������·������������ = ������ + ������ = 0,
取 x=1,则 y=-1,z=1,
故平面 EDB 的一个法向量为 n=(1,-1,1).
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反思感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤
2 2
,
2 2
,0
,(0,0,1).
所以������������ =
-
2 2
,-
2 2
,1
.
又点 A,M 的坐标分别是(
2,
2,0),
2 2
,
2 2
,1
,
所以������������ =
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解如图所示建立空间直角坐标系.
依题意可得 D(0,0,0),P(0,0,1),E
0,
1 2
,
1 2
,B(1,1,0),
于是������������ =
0,
1 2
,
1 2
, ������������=(1,1,0).
设平面 EDB 的法向量为 n=(x,y,z),

n⊥������������ ,n⊥������������ ,于是
(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
������·������ = 0, ������·������ = 0.
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
取 x=1,得 y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1).
∵������������ ·n=
1 2
,0,
1 2
·(1,-1,-1)=0,∴������������ ⊥n.
又∵MN⊄平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.
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反思感悟利用空间向量证明线面平行的方法 (1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共 线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而 可证直线与平面平行. (2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向 量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行. (3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方 向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
令 y=-1,得 x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).
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探究二利用向量方法证明线面平行 例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中 点.求证:MN∥平面A1BD.
思路分析思路一:可证明������������与������1������, ������������是共面向量;思路二:可证
又∵MN⊄平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.
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方法三:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系,如图.
设正方体的棱长为 1,则可求得
M
0,1,
1 2
,N
1 2
,1,1
,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).
则 n⊥������������,n⊥������������,∴ ������·������������ = 0,
������·������������ = 0,
得方程组
1 2
������
+
������
=
0,

������ = -2������,
������ + ������-������ = 0, ������ = -������,
3.2 立体几何中的向量方法
-1-
第1课时 利用向量证明空间中的平行关系
-2-
课标阐释
思维脉络
1.理解直线的方向向量与 利用向量证明平行关系
平面的法向量. 2.掌握用待定系数法求平 面法向量的方法. 3.掌握利用向量证明空间 中的平行关系的基本方
直线的方向向量 平面的法向量
线线平行 平行关系的证明 线面平行
法.
面面平行
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【思考1】怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置? 答案(1)点:在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意 一点P的位置就可以用向量 ������������来表示.我们把向量 ������������ 称为点P的 位置向量. (2)直线:①直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量. ②对于直线 l 上的任一点 P,存在实数 t,使得������������=t ������������,此方程称 为直线的向量参数方程. (3)平面:①空间中平面α的位置可以由α内两条相交 直线来确定.对于平面α上的任一点P,a,b是平面α内两个不共线向 量,则存在有序实数对(x,y),使得 ������������ =xa+yb. ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量 表示.
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变式训练2如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相 垂直,AB= 2 ,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.
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证明建立如图所示的空间直角坐标系.
设 AC∩BD=N,连接 NE,则点 N,E 的坐标分别是
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