2014-2018聊城中考数学二次函数题

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2014年中考数学真题汇编-二次函数

2014年中考数学真题汇编-二次函数一、选择题1. （2014•上海，第3题4分）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的2. （2014•四川巴中，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（）A．abc＜0B．﹣3a+c＜0 C．b2﹣4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c 考点：二次函数的图象和符号特征．分析：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0．B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y＜0，即可判断；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0；D．把二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式，再求出平移后的解析式即可判断．解答：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a ﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；D．y=ax2+bx+c=，∵=2，∴原式=，向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．3. （2014•山东威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）该抛物线的对称轴是：∴的x、y的部分对应值如下表：x=5. （2014•山东烟台，第11题3分）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的图象与性质．解答：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x 的增大而减小．解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b =﹣4a ，∴a +4a +c =0，即c =﹣5a ，∴8a +7b +2c =8a ﹣28a ﹣10a =﹣30a ， ∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴8a +7b +2c ＞0，所以③正确； ∵对称轴为直线x =2， ∴当﹣1＜x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，所以④错误．故选B ．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．6.（2014山东济南，第15题，3分）二次函数的图象如图，对称轴为1=x ．若关于x 的一元二次方程02=-+t bx x （为实数）在41<<-x 的范围内有解，则的取值范围是A ．1-≥tB ．31<≤-tC ．81<≤-tD ．83<<t 【解析】由对称轴为1=x ，得2-=b ，再由一元二次方程022=--t x x 在41<<-x 的范围内有解，得)4()1(y t y <≤，即81<≤-t ，故选C ．7. （2014•山东聊城，第12题，3分）如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b ﹣2a=0；②4a ﹣2b+c ＜0；③a ﹣b+c=﹣9a ；④若（﹣3，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中正确的是（）=8．(2014年贵州黔东南9．（3分）)已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D． 2015考点：抛物线与x轴的交点．分析：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．解答：解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，解得m2﹣m=1．∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．故选：D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．9. (2014年贵州黔东南9．（4分）)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选B．点评：本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．12. (2014•年山东东营,第9题3分)若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2考点：抛物线与x轴的交点．分析：分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．解答：解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0，解得：m=±2，②当函数时一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，故选D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．13.（2014•山东临沂,第14题3分）在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为14.（2014•山东淄博,第8题4分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2考点：待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．解答：解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，∴A（﹣2，4），将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，解得：b=﹣1，c=﹣2，则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．故选A．点评：此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．15.（2014•山东淄博,第12题4分）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A （0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A． 6 B． 5 C． 4 D． 3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．16．（2014•四川南充，第10题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17.（2014•甘肃白银、临夏,第9题3分）二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）19．（2014•甘肃兰州,第11题4分）把抛物线y=﹣2x先向右平移1个单位长度，再向上平20．（2014•甘肃兰州,第14题4分）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（），得二、填空题1. （2014•浙江杭州，第15题，4分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．=x=2. *(2014年河南9．（4分）)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．若点A 的坐标为（－2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为.答案：8.解析：根据点A到对称轴x=2的距离是4，又点A、点B关于x=2对称，∴AB=8.3. (2014年湖北咸宁15．（3分）)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度t/℃﹣4 ﹣2 0 1 4植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为﹣1℃．考点：二次函数的应用．分析：首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式，在利用二次函数最值公式求法得出即可．解答：解：设y=ax2+bx+c （a≠0），选（0，49），（1，46），（4，25）代入后得方程组，解得：，所以y与x之间的二次函数解析式为：y=﹣x2﹣2x+49，当x=﹣=﹣1时，y有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式，得出二次函数解析式是解题关键．3.4.5.6.7.8.三、解答题1. （2014•上海，第24题12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．∴B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA 的度数．=×∴=，∴．，，的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；．=，∴解得∴5. （2014•山东潍坊，第24题13分）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1；（2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4．（2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米．（3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4．（2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8．（3）解：n =52，n =2511，n =3011．。

山东省聊城市2014年中考数学试卷(解析版)

山东省聊城市2014年中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）（2014•聊城）在﹣，0，﹣2，，1这五个数中，最小的数为（）D=2．（3分）（2014•聊城）如图是一个三棱柱的立体图形，它的主视图是（）B3．（3分）（2014•聊城）今年5月10日，在市委宣传部、市教育局等单位联合举办的“走复4．（3分）（2014•聊城）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2的度数为（）2=6+=﹣=3÷==2×、=，故2）x+））x=，x+）+）），7．（3分）（2014•聊城）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（），取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，所以9．（3分）（2014•聊城）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）2BE==2BF=BE=210．（3分）（2014•聊城）如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）11．（3分）（2014•聊城）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°，得到△A1B1C1，则点A1，B1，C1的坐标分别为（）12．（3分）（2014•聊城）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）=，＜二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）13．（3分）（2014•聊城）不等式组的解集是﹣＜x≤4．，，故此不等式组的解集为：﹣＜14．（3分）（2014•聊城）因式分解：4a3﹣12a2+9a=a（2a﹣3）2．15．（3分）（2014•聊城）如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为300π．=2016．（3分）（2014•聊城）如图，有四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有字母A、B、C、D和一个不同的算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张卡片，这两张卡片上的算式只有一个正确的概率是．=故答案为：．17．（3分）（2014•聊城）如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，…，A n分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点P1，P2，P3，P4，…P n 作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，P n B n﹣1⊥A n﹣1P n﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，B n﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，P n﹣1P n，得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△P n﹣1B n﹣1P n，则Rt△P n﹣1B n﹣1P n的面积为．．×﹣）=（）×（﹣）=[﹣]y=，×，∴，=﹣﹣﹣=[﹣]=（﹣=故答案为三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．（7分）（2014•聊城）解分式方程：+=﹣1．19．（8分）（2014•聊城）为提高居民的节水意识，向阳小区开展了“建设节水型社区，保障用水安全”为主题的节水宣传活动，小莹同学积极参与小区的宣传活动，并对小区300户家庭用水情况进行了抽样调查，他在300户家庭中，随机调查了50户家庭5月份的用水量情况，结果如图所示．（1）试估计该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比；（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～6的中间值为3）来替代，估计改小区5月份的用水量．20．（8分）（2014•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．21．（8分）（2014•聊城）如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带称为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）﹣=100=EB=米，即﹣=100≈≈22．（8分）（2014•聊城）某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？．23．（8分）（2014•聊城）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x （h）的函数图象．（1）求出图中m，a的值；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．，，x=x==，．小时或24．（10分）（2014•聊城）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是半⊙O的切线；（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．AB=5=25．（12分）（2014•聊城）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A （4，3），O（0，0），B（6，0）．点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M（x，0），△PMN的面积为S．（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（1，0）时，点N的坐标；（2）求出S关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出S的最大值；（3）若S：S△ANB=2：3时，求出此时N点的坐标．，x﹣x+b b=﹣x+，得（）xMB NH=×﹣+．∴：∴=x+9﹣×﹣（。

2014年聊城中考数学试题(图片版无答案)

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山东省聊城市中考数学专题复习讲义函数型

中考数学专题：函数型问题(含答案)我们目前所学的函数主要有一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，在解决函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式：“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考函数应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中，抽取靠近课本的数学模型是近年来中考的热点问题，解决次类问题经常使用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相融合.类型之一分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。

在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

1.年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？（3）①求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平．类型之二与二次函数有关的最优化问题二次函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．2.枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。

每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：y（间）关于x（元）的函数关系式．（1）房间每天的入住量（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？类型之四存在探索性函数问题存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注．4.在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。

中考数学《二次函数》专项练习题及答案

中考数学《二次函数》专项练习题及答案一、单选题1．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．对于抛物线y=−13(x−5)2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（－5，3）D．开口向上，顶点坐标（－5，3）3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？()A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒4．已知二次函数y=x2−4x+2，当自变量x取值在−2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（）A．有最大值14，最小值－2B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2D．有最大值14，最小值25．如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，则下列说法正确的有()①abc<0，②2a+b=0，③a−b+c>0，④若4a+2b+c>0．A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④6．在平面直角坐标系中，对于点 P(x ，y) 和 Q(x ，y′) ，给出如下定义：若 y′={y +1 (x ≥0)−y (x <0)，则称点 Q 为点 P 的“亲密点”.例如：点 (1，2) 的“亲密点”为点 (1，3) ，点 (−1，3) 的“亲密点”为点 (−1，−3) .若点 P 在函数 y =x 2−2x −3 的图象上.则其“亲密点” Q 的纵坐标 y′ 关于 x 的函数图象大致正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．对于二次函数 y =2(x −1)2−3 ，下列说法正确的是（）A ．图象开口向下B ．图象和y 轴交点的纵坐标为-3C ．x <1 时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线 x =−18．抛物线 y =−3x 2+12x −3 的顶点坐标是（）A ．（2，9）B ．（2，-9）C ．（-2，9）D ．（-2，-9）9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．−b 2a>1D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a10．已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)交x 轴于点A(1，0)，B(3，0).P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上两个点.若|x 1−2|>|x 2−2|>1，则下列结论一定正确的是（） A ．y 1<y 2B ．y 1>y 2C ．|y 1|<|y 2|D ．|y 1|>|y 2|11．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+312．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF△BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题13．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2 √3个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴左侧的图象上，则点C的坐标为．14．将y=x2的向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得的解析式是．15．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是.16．如果抛物线y=x2﹣6x+c的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于．17．不等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，则实数c的值为．18．用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为x m，则围成长方形的生物的面积S（单位：m2）与x的函数表达式是．（不要求写自变量x的取值范围）三、综合题19．鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？20．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD.（1）求此抛物线的解析式.（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B.（点A在点B的左侧）（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标.23．我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？（2）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围．（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？24．一家超市，经销一种地方特色产品，每千克成本为50元.这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系.下表是其中不同4个月内一天的销量y（kg）与单价x（元/kg）的对应值.单价x（元/kg）55606570销量y（kg）70605040（2）平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是多少？（3）当销售单价为多少时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？参考答案1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】（1﹣ √7 ，﹣3） 14．【答案】y=（x ﹣3）2+5 15．【答案】10% 16．【答案】c=6或12 17．【答案】918．【答案】S =−x 2+8x19．【答案】（1）解：依题意有：y=10x+160；（2）解：依题意有：W=（80﹣50﹣x ）（10x+160）=﹣10（x ﹣7）2+5290，∵-10＜0且x 为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）解：依题意有：﹣10（x ﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．20．【答案】（1）解：当1≤x ＜50时，y=（200-2x ）（x+40-30）=-2x 2+180x+2000当50≤x≤90时y=（200-2x ）（90-30）=-120x+12000综上所述：y= {−2x 2+180x +2000(1≤x <50)−120x +12000(50≤x ≤90)（2）解：当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45 当x=45时，y 最大=-2×452+180×45+2000=6050 当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小当x=50时，y最大=6000综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤50，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x≤60因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元；21．【答案】（1）解：由已知得：C(0, 4)，B(4, 4)把B与C坐标代入y=−12x2+bx+c得：{4b+c=12c=4解得：b=2则解析式为y=−12x2+2x+4；（2）解：∵y=−12x2+2x+4=−12(x−2)2+6∴抛物线顶点坐标为(2, 6)则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=12×4×4+12×4×2=8+4=12. 22．【答案】（1）解：根据题意得△=（-4）2-4（2m-1）＞0解得m＜5 2；（2）解：m的最大整数为2抛物线解析式为y=x2-4x+3当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3所以A（1，0），B（3，0）.23．【答案】（1）解：由题意得：200+30×5=350（台）答：该月可售出350台（2）解：由题意得：y=200+5(400−x)=−5x+2200由供货商对售价和销售量的规定得：{x≥330y≥450，即{x≥330−5x+2200≥450解得：330≤x≤350答：所求的函数关系式为y=−5x+2200，售价x的范围为330≤x≤350（3）解：由题意和（2）可得：w=(x−200)(−5x+2200)整理得：w=−5(x−320)2+72000由二次函数的性质可知：当330≤x≤350时，w随x的增大而减小则当x=330时，w取得最大值，最大值为w=−5×(330−320)2+72000=71500（元）答：当售价定为330元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是71500元24．【答案】（1）解：设y＝kx＋b，由题意得：{55k+b＝70 60k+b＝60解得{k＝−2 b＝180∴y（kg）与x（元/kg）之间的函数关系式为y＝﹣2x＋180.（2）解：由题意得：（x﹣50）（﹣2x＋180）＝600整理，得x2﹣140x＋4800＝0解得x1＝60，x2＝80∵顾客利益也较大∴x＝60∴平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是60元/千克.（3）解：一天的销售利润为：w＝（x﹣50）（﹣2x＋180）＝﹣2x2＋280x﹣9000＝﹣2（x﹣70）2＋800∴当x＝70时，w最大＝800.∴当销售单价为70元/kg时，一天的销售利润最大，最大利润是800元。

2018年山东省各地市中考《二次函数》压轴题精编(含答案)

2018年山东省各地市中考《二次函数》压轴题精编（解析版）（地市排序不分先后）1．（日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c 上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．2．（东营）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（济宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（淄博）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，3），点B（3，﹣3），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．5．（临沂）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12 DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．（德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP 为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．（菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．8．（枣庄）如图1，已知二次函数y=ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+32x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．9．（聊城）如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N 位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N 位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t （0≤t≤5）．（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当t=0时，求S△OBN的值；（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？10．（泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．11．（烟台）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．12．（潍坊）如图1，抛物线y1=ax2﹣12x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，34），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．13．（莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．14．（威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．2018年山东省各地市中考《二次函数》压轴题精编解析（地市排序不分先后）1．（日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c 上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【学会思考】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=﹣13x+1，设点P（x，﹣13x2+23x+1），则D（x，﹣13x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．【解】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣13，∴抛物线的解析式为y=﹣13x2+23x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣13，∴直线BC的解析式为y=﹣13x+1．设点P（x，﹣13x2+23x+1），则D（x，﹣13x+1）∴PD=（﹣13x2+23x+1）﹣（﹣13x+1）=﹣13x2+x，∴S△PBC =12OB•DP=12×3×（﹣13x2+x）=﹣12x2+32x．又∵S△PBC=1，∴﹣12x2+32x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，43）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．∵∠BQC=∠BAC=45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：5，∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣5．2．（东营）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可．【解】（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，∴OC2=OA•OB=3，则3（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，∴OC=BC ，∴点C 的横坐标为32，又OC=3，点C 在x 轴下方，∴C （32，﹣32），设直线BM 的解析式为y=kx +b ，把点B （3，0），C （32，﹣32）代入得：，解得：b=3k=33， ∴y=33x 3 又∵点C （323）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：23， ∴抛物线解析式为y=33x 2﹣33x +3 （3）点P 存在，设点P 坐标为（x ，233x 2﹣833x +3，过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BM 于点Q ，则Q （x 33）， ∴3323x 283+3=23x 2+3﹣3 当△BCP 面积最大时，四边形ABPC 的面积最大，S △BCP =12PQ （3﹣x ）+12PQ （x ﹣32）=34PQ=﹣32x 2+34x ﹣34，当x=﹣2b a =94时，S △BCP 有最大值，四边形ABPC 的面积最大，此时点P 的坐标为（94，﹣538）．3．（济宁）如图，已知抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （3，0），B （﹣1，0），C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，求切点M 的坐标；（3）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）把A ，B ，C 的坐标代入抛物线解析式求出a ，b ，c 的值即可；（2）由题意得到直线BC 与直线AM 垂直，求出直线BC 解析式，确定出直线AM 中k 的值，利用待定系数法求出直线AM 解析式，联立求出M 坐标即可；（3）存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．【解】（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，解得：，则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线BC解析式为y=kx﹣3，把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，∴直线AM解析式为y=13x+m，把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，∴直线AM解析式为y=13x﹣1，联立得：，解得：，则M（﹣35，﹣65）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况考虑：设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，解得：m=17x=27，当m=17时，m2﹣2m﹣3=8+7﹣2﹣73=3，即P（17，2）；当m=17时，m2﹣2m﹣3=8﹣7﹣2+73=3，即P（17，2）；当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），根据平移规律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，解得：m=0或2，当m=0时，P（0，﹣3）（舍去）；当m=2时，P（2，﹣3），当四边形BQCP是平行四边形时，由平移规律得：﹣1+0=m+x，0﹣3=m2﹣2m﹣3，解得：m=0或2，x=﹣1或﹣3，当m=0时，P（0，﹣3）（舍去）；当m=2时，P（2，﹣3），综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+7，3）或（1﹣7，3）或（2，﹣3）．4．（淄博）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，3），点B（3，﹣3），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．【学会思考】（1）将已知点坐标代入即可；（2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，3），点B（3，﹣3）求出相关角度．【解】（1）把点A（1，3），点B（3，﹣3）分别代入y=ax2+bx得解得∴y=﹣（2）由（1）得m=﹣n=m﹣n=﹣43﹣（）=当n＜m时，由图象可知，t＞4或t＜﹣3 2（3）如图，设抛物线交x轴于点F分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E∵AC≥AD，BC≥BE∴AD+BE≤AC+BC=AB∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．∵A（13，点B（33）∴∠AOF=60°，∠BOF=30°∴∠AOB=90°∴∠ABO=30°当OC⊥AB时，∠BOC=60°点C坐标为（32，32）．5．（临沂）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12 DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB的解析式为：y=﹣2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），根据PE=12DE，列方程可得P的坐标；②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．【解】（1）∵B（1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴，∴，∴AC=6，∴A（﹣2，6），把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：34bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），∵PE=12 DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2），x=1（舍）或﹣1，∴P（﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=311，∴M（﹣1，311）或（﹣1，311）；ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．6．（德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP 为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．【解】（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y=x ﹣1得：m=1，n=3，∴A （1，0），B （4，3），∵y=﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ， ∴，解得：，则二次函数解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D （5，0），即DA=5﹣1=4，设AP=m ，则有DP=4﹣m ，∴PM=22m ，PN=22（4﹣m ）， ∴S △MPN =12PM•PN=12×22m ×22（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m=﹣14（m ﹣2）2+1， ∴当m=2，即AP=2时，S △MPN 最大，此时OP=3，即P （3，0）；（3）存在，易得直线CD 解析式为y=x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，当△ABD ∽△DAQ 时，=，即=，解得：AQ=，由两点间的距离公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=809，解得：x=73（不符合题意舍去），此时Q （73，﹣83）；当△ABD ∽△DQA 时，=1，即10∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2（不符合题意的舍去），此时Q（2，﹣3），综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（73，﹣83）．7．（菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．【学会思考】（1）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的表达式；（2）根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；（3）根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【解】（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C （1，0），∴，得，∴此抛物线的表达式是y=x2+4x﹣5；（2）∵抛物线y=x2+4x﹣5交y轴于点A，∴点A的坐标为（0，﹣5），∵AD∥x轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，∴点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10，当y=﹣5时，﹣5=x2+4x﹣5，得x=0或x=﹣4，∴点D的坐标为（﹣4，﹣5），∴AD=4，∴△EAD的面积是：=20；（3）设点P的坐标为（p，p2+4p﹣5），如右图所示，设过点A（0，﹣5），点B（﹣5，0）的直线AB的函数解析式为y=mx+n，，得，即直线AB的函数解析式为y=﹣x﹣5，当x=p时，y=﹣p﹣5，∵OB=5，∴△ABP的面积是：S==，∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点，∴﹣5＜p＜0，∴当p=52-时，S取得最大值，此时S=1258，点p的坐标是（52-，﹣354），即点p的坐标是（52-，﹣354）时，△ABP的面积最大，此时△ABP的面积是1258．8．（枣庄）如图1，已知二次函数y=ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+32x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．【学会思考】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=25（n+2），然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解】（1）∵二次函数y=ax2+32x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣14x2+32x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣14x2+32x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==45，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣45，0）或（8+45，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣45，0）、（3，0）、（8+45，0）．（4）如图，AB==25，BC=8﹣（﹣2）=10，AC=5，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴BM BA =BN BC ， ∴MN AC =BN BC ， BM==， MN==，AM=AB ﹣BM=25﹣= ∵S △AMN =12AM•MN =12×2545n =﹣15（n ﹣3）2+5，当n=3时，△AMN 面积最大是5，∴N 点坐标为（3，0）．∴当△AMN 面积最大时，N 点坐标为（3，0）．9．（聊城）如图，已知抛物线y=ax 2+bx 与x 轴分别交于原点O 和点F （10，0），与对称轴l 交于点E （5，5）．矩形ABCD 的边AB 在x 轴正半轴上，且AB=1，边AD ，BC 与抛物线分别交于点M ，N ．当矩形ABCD 沿x 轴正方向平移，点M ，N 位于对称轴l 的同侧时，连接MN ，此时，四边形ABNM 的面积记为S ；点M ，N 位于对称轴l 的两侧时，连接EM ，EN ，此时五边形ABNEM 的面积记为S ．将点A 与点O 重合的位置作为矩形ABCD 平移的起点，设矩形ABCD 平移的长度为t （0≤t ≤5）．（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当t=0时，求S △OBN 的值；（3）当矩形ABCD 沿着x 轴的正方向平移时，求S 关于t （0＜t ≤5）的函数表达式，并求出t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？【学会思考】（1）根据点E 、F 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）找出当t=0时，点B 、N 的坐标，进而可得出OB 、BN 的长度，再根据三角形的面积公式可求出S △OBN 的值；（3）分0＜t ≤4和4＜t ≤5两种情况考虑：①当0＜t ≤4时（图1），找出点A 、B 、M 、N 的坐标，进而可得出AM 、BN 的长度，利用梯形的面积公式即可找出S 关于t 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S 的最大值；②当4＜t ≤5时，找出点A 、B 、M 、N 的坐标，进而可得出AM 、BN 的长度，将五边形分成两个梯形，利用梯形的面积公式即可找出S 关于t 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S 的最大值．将①②中的S 的最大值进行比较，即可得出结论．【解】（1）将E （5，5）、F （10，0）代入y=ax 2+bx ，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣15x 2+2x ．（2）当t=0时，点B 的坐标为（1，0），点N 的坐标为（1，95）， ∴BN=95，OB=1， ∴S △OBN =12BN•OB=910．（3）①当0＜t ≤4时（图1），点A 的坐标为（t ，0），点B 的坐标为（t +1，0），∴点M 的坐标为（t ，﹣15t 2+2t ），点N 的坐标为（t +1，﹣15（t +1）2+2（t +1））， ∴AM=﹣15t 2+2t ，BN=﹣15（t +1）2+2（t +1）， ∴S=12（AM +BN ）•AB=12×1×[﹣15t 2+2t ﹣15（t +1）2+2（t +1）]，=﹣15t2+95t+910，=﹣15（t﹣92）2+9920，∵﹣15＜0，∴当t=4时，S取最大值，最大值为49 10；②当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），∴点M的坐标为（t，﹣15t2+2t），点N的坐标为（t+1，﹣15（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣15t2+2t，BN=﹣15（t+1）2+2（t+1），∴S=12（5﹣t）（﹣15t2+2t+5）+12（t﹣4）[5﹣15（t+1）2+2（t+1）]，=12（15t3﹣3t2+5t+25）+12（﹣15t3+125t2+25t﹣1365），=﹣310t2+2710t﹣1110，=﹣310（t﹣92）2+19940，∵﹣310＜0，∴当t=92时，S取最大值，最大值为19940．∵4910=19640＜19940，∴当t=92时，S有最大值，最大值是19940．10．（泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．【学会思考】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．【解】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，，所以二次函数的解析式为：y=233642x x --+，（2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y=122x --，过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图设D （m ，），则点F （m ，）， ∴DF=﹣（）=，∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（） =，∴当m=23-时，△ADE 的面积取得最大值为503．（3）y=233642x x --+的对称轴为x=﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求29n +21+n+2（）16425+=，当PA=PE时，29n+=21+n+2（），解得，n=1，此时P（﹣1，1）；当PA=AE时，29n+=16425+=，解得，n=，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE=AE时，21+n+2（）=16425+=，解得，n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．11．（烟台）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D的坐标，过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴，分P1D⊥P1C、P2D ⊥DC、P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．【解】（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x +c ，得，解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx +23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣；（2）由得交点坐标为D （﹣5，4），如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P 1D ⊥P 1C 时，△P 1DC 为直角三角形，则△DEP 1∽△P 1OC ，∴=，即4t =，解得t=，当P 2D ⊥DC 于点D 时，△P 2DC 为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，即152t=526，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴=，即=，解得：t=49，∴t的值为49、、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．则△EOF∽△NHD′设点N坐标为（a，﹣），∴=，即=，解得：a=﹣2，则N点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线N D′的解析式为y=32x+1，当x=﹣32时，y=﹣54，∴M点坐标为（﹣32，﹣54），此时，DM+MN的值最小为==213．12．（潍坊）如图1，抛物线y1=ax2﹣12x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，34），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．【学会思考】（1）应用待定系数法求解析式；（2）设出点T坐标，表示△TAC三边，进行分类讨论；（3）设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．【解】（1）由已知，c=34，将B（1，0）代入，得：a﹣12+34=0，解得a=﹣14，抛物线解析式为y1=﹣，∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），∴y2=﹣14（x﹣1）2，即y2=﹣．（2）存在，如图1：抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t），已知A（﹣3，0），C（0，34），过点T作TE⊥y轴于E，则TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2﹣325 216t+，TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，AC2=153 16，当TC=AC时，t2﹣325216t+=15316解得：t1=，t2=；当TA=AC时，t2+16=15316，无解；当TA=TC时，t2﹣325216t+=t2+16，解得t3=﹣778；当点T坐标分别为（1，），（1，），（1，﹣778）时，△TAC为等腰三角形．（3）如图2：设P（m，﹣），则Q（m，﹣）∵Q、R关于x=1对称∴R（2﹣m，﹣），①当点P在直线l左侧时，PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，∵△PQR与△AMG全等，∴当PQ=GM且QR=AM时，m=0，∴P（0，34），即点P、C重合．∴R（2，﹣14），由此求直线PR解析式为y=﹣，当PQ=AM且QR=GM时，无解；②当点P在直线l右侧时，同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，则P（2，﹣54），R（0，﹣14），PQ解析式为：y=﹣；∴PR解析式为：y=﹣或y=﹣13．（莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案．【解】（1）由题意，得，解得，抛物线的函数表达式为y=﹣34x2+94x+3；（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，，解得∴y=﹣34x+3，设D（a，﹣34a2+94a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，如图1，M（a，﹣34a+3），DM=（﹣34a2+94a+3）﹣（﹣34a+3）=﹣34a2+3a，∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，∴△DEM∽△BOC，∴=，∵OB=4，OC=3，∴BC=5，∴DE=45 DM∴DE=﹣35a2+125a=﹣（35（a﹣2）2+125，当a=2时，DE取最大值，最大值是125，（3）假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，∵点F为AB的中点，∴OF=32，tan∠CFO=OCOF=2，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，如图2，①若∠DCE=∠CFO，∴tan∠DCE==2，∴BG=10，∵△GBH∽BCO，∴==，∴GH=8，BH=6，∴G（10，8），设直线CG的解析式为y=kx+b，∴，解得∴直线CG的解析式为y=12x+3，∴，解得x=73，或x=0（舍）．②若∠CDE=∠CFO，同理可得BG=52，GH=2，BH=32，∴G（112，2），同理可得，直线CG的解析是为y=﹣211x+3，∴，解得x=10733或x=0（舍），综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为7 3或107 33．14．（威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）利用待定系数法问题可解；（2）依据垂直平分线性质，利用勾股定理构造方程；（3）由题意画示意图可以发现有两种可能性，确定方案后利用锐角三角函数定义构造方程，求出半径及点P坐标；（4）通过分类讨论画出可能图形，注意利用平行四边形的性质，同一对角线上的两个端点到另一对角线距离相等．【解】（1）∵抛物线过点A（﹣4，0），B（2，0）∴设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x﹣2）把C（0，4）代入得4=a（0+4）（0﹣2）∴a=﹣1 2∴抛物线表达式为：y=﹣12（x+4）（x﹣2）=﹣12x2﹣x+4。

聊城市初中数学二次函数难题汇编及答案

聊城市初中数学二次函数难题汇编及答案一、选择题1．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（）A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】【分析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )A ．﹣4＜P ＜0B ．﹣4＜P ＜﹣2C ．﹣2＜P ＜0D ．﹣1＜P ＜0【答案】A【解析】【分析】【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a-＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0． ∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2．把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4，∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0．故选A ．本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．3．如图，二次函数()200y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有一个根为1a-，其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1a 代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案.【详解】由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣2b a＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣1a ，把﹣1a 代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0，即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.4．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（）A ．-12＜t ≤3B ．-12＜t ＜4C ．-12＜t ≤4D ．-12＜t ＜3【答案】C【解析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2−2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解.【详解】解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1，∴b ＝−2，∴y ＝－x 2−2x ＋3，∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，∵当x ＝−1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4，∴－12＜t≤4，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．5．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①②③④【答案】A【解析】【分析】 ①抛物线与x 轴由两个交点，则240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，所以0abc >，故②错误；③对称轴：直线12b x a=-=-，2b a =，所以24a b c a c +-=-，240a b c a c +-=-<，故③错误；④对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，则抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．解：①∵抛物线与x 轴由两个交点，∴240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，∴0abc >，故②错误；③∵对称轴：直线12b x a=-=-， ∴2b a =，∴24a b c a c +-=-，∵0a <，40a <， 0c >，0a <，∴240a b c a c +-=-<，故③错误；④∵对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，∴抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a +b ＝0；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定解答．①由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，∴ab ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②∵﹣＝1， ∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确．③∵（0，c ）关于直线x ＝1的对称点为（2，c ），而x ＝0时，y ＝c ＞0，∴x ＝2时，y ＝c ＞0，∴y ＝4a +2b +c ＞0，故③正确；④由图象可知：△＞0，∴b 2﹣4ac ＞0，故②正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．7．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a ＋b ＝0；④4ac ＞b 2．其中错误的是( )A ．②④B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】C【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到0a >，利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <，则可对A 进行判断；利用当1x =时，0y <可对B 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，则可对C 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断．【详解】解：Q 抛物线开口向上，0a ∴>，Q 对称轴在y 轴的右侧，a ∴和b 异号，0b ∴<，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，0bc ∴>，所以①错误；Q 当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，所以②错误；Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0)，∴抛物线的对称轴为直线1x =，即12b a-=， 20a b ∴+=，所以③正确；Q 抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，即24ac b <，所以④错误．综上所述：③正确；①②④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定．8．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a -b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.9．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ，设新数与原数的差为y 则2211100100y m mm m =-=-+，易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确．当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．10．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【解析】【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】由图象可得，a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确，故选C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．11．如图，抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc ＞0；②3a +b ＜0；③﹣43≤a ≤﹣1；④a +b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标（1，n ），∴对称轴为直线x =1，∴2b a - =1，∴b =﹣2a ＞0，∵与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c ≤4，∴abc ＜0，故①错误；3a +b =3a +（﹣2a ）=a ＜0，故②正确；∵与x 轴交于点A （﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，∴a ﹣（﹣2a ）+c =0，∴c =﹣3a ，∴3≤﹣3a ≤4，∴﹣43≤a ≤﹣1，故③正确； ∵顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，函数有最大值n ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确；一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1，故⑤错误．综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B ．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a 、b 的关系．12．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选项C与D；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意．【详解】根据题意得，点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项C 与选项D不合题意；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，∴选项B符合题意，选项A不合题意．故选B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．13．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A ．5B ．453C ．3D ．4【答案】A 【解析】【分析】【详解】过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ， ∴BF ∥DE ∥CM ． ∵OD=AD=3，DE ⊥OA ， ∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：5设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ， ∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ．∴BF OF CM AMDE OE DE AE ==，x 2x 2255-，，解得：)52x 5BF ?x CM 22-==，． ∴5．故选A ．14．已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )A ．该图象的顶点坐标为()1,4a -B ．该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-C ．若该图象经过点()2,5-，则一定经过点()4,5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：y=a（x2-2x-3）=a（x-3）（x+1）令y=0，∴x=3或x=-1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B成立；∴抛物线的对称轴为：x=1，令x=1代入y=ax2-2ax-3a，∴y=a-2a-3a=-4a，∴顶点坐标为（1，-4a），故A成立；由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C成立；当x＞1，a＞0时，y随着x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；故选：D．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系16．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线1122y x=+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜98C．1≤a＜98或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜98【答案】C【解析】【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令1122x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0∴△＝9﹣8a＞0∴a＜9 8①当a＜0时，110111 aa++≤⎧⎨-+≤⎩解得：a≤﹣2∴a≤﹣2②当a＞0时，110111 aa++≥⎧⎨-+≥⎩解得：a≥1∴1≤a＜9 8综上所述：1≤a＜98或a≤﹣2故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD→方向运动，当P运动到B点时，P Q、点同时停止运动．设P点运动的时间为t秒，APQ∆的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线；当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．18．若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，对于以下说法：①b 2﹣4ac ＞0②x ＝x 0是方程ax 2+bx +c ＝y 0的解③x 1＜x 0＜x 2④a （x 0﹣x 1）（x 0﹣x 2）＜0其中正确的是（） A ．①③④ B ．①②④C ．①②③D ．②③【答案】B 【解析】【分析】①根据二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b 2-4ac ＞0，①正确；②由点M （x 0，y 0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x 0是方程ax 2+bx+c=y 0的解，②正确；③分a ＞0和a ＜0考虑，当a ＞0时得出x 1＜x 0＜x 2；当a ＜0时得出x 0＜x 1或x 0＞x 2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M （x 0，y 0）在x 轴下方即可得出y 0=a （x 0-x 1）（x 0-x 2）＜0，④正确．【详解】①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，∴方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴△=b 2-4ac ＞0，①正确； ②∵图象上有一点M （x 0，y 0）， ∴a+bx 0+c=y 0，∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③当a＞0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x1＜x0＜x2；当a＜0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x0＜x1或x0＞x2，③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），∴y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），∵图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，∴y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确；故选B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键．19．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线92t ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，故选B．20．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1．下列结论： ①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③abc ＜0；④b 2+8a ＜4ac ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断【详解】由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣2ba＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确；②已知x=﹣2ba＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确； ④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：244ac b a＞2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确；因此正确的结论是①②④．故选：C ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．。

中考数学《二次函数》复习练习题及答案

年级数学中考专题复习二次函数一、选择题：1、将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2 B．y=（x﹣2）2+6 C．y=x2+6 D．y=x22、已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞33、已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=34、函数y=（x﹣1）2﹣k与y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致为（）A. B. C. D.5、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个6、在同一平面直角坐标系中，函数y=mx＋m和函数y=-mx2＋2x＋2(m是常数,且m≠0)图象可能是( )7、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A．3 B．2C．3D．28、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A.5月B.6月C.7月D.8月9、已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y=x2﹣2的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y310、在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象顶点为A，与y轴交于点B．若在该二次函数图形上取一点C，在x轴上取一点D，使得四边形ABCD为平行四边形，则D点的坐标为（）A．（﹣9，0） B．（﹣6，0） C．（6，0） D．（9，0）11、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴x=﹣1，下列五个代数式ab、ac、a﹣b+c、b2﹣4ac、2a+b 中，值大于0的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．212、根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.2613、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC=60°，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N 的上方），若△OMN的面积S，直线的运动时间为秒（）,则能大致反映S与的函数关系的图像是( )14、如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0)，对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在（0,2）和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:①当x＞3时,y＜0;②3a+b＜0;③-1≤a≤;④4ac-b2>8a.其中正确的结论是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④15、已知二次函数y＝x2－2x－3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．设d=d1+d2,下列结论中：①d没有最大值；②d没有最小值；③；－1＜x＜3时， d随x的增大而增大；④满足d=5的点P有四个．其中正确结论的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题:16、如图，点E是抛物线y=a（x﹣2）2+k的顶点，抛物线与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点B，与对称轴交于点D．点A是对称轴上一点，连结AC、AB．若△ABC是等边三角形，则图中阴影部分图形的面积之和是．17、如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在CD边上留一个1m宽的门，若设AB为y（m），BC为x（m），则y与x之间的函数关系式为．18、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的表达式：．（答案不惟一）19、二次函数y=x2-6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2= ___________.20、如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为________．21、若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=______．22、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是m．23、如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为米．24、已知抛物线y=﹣与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,若D为AB中点,则CD长为．25、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C，则BC的长为．26、如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．27、如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少个时，网球可以落入桶内．28、如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当x=0时，；④AB+AC=10；⑤，其中正确结论的个数是：．29、如图,平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则= ．30、如图，抛物线的对称轴是．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）三、简答题:31、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）请判断以B、C、D为顶点的三角形的形状；（3）若点Q是y轴上的动点，在抛物线上是否存在点P使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．32、如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A、B两点．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）在抛物线上存在点P（不与点D重合），使得S△PAB=S△ABD，请求出P点的坐标．33、某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看做一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？34、某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为6元/千克，若以9元/千克的价格销售，则每天可售出200千克；若以11元/千克的价格销售，则每天可售出120千克．通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（2）当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到280元？（利润=销售量×（销售单价﹣进价））（3）该水果店在进货成本不超过720元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？35、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．36、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y=ax2+c的形式．请根据所给的数据求出a，c的值．（2）求支柱MN的长度．（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．37、某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？38、九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．39、已知：抛物线y=x2+bx+c经过点（2，﹣3）和（4，5）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．40、如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC 相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1、D．2、B．3、B．4、C.5、B．6、D.7、B.8、C.9、C．10、D．11、C．12、C．13、C.14、D.15、B.16、答案为:2．17、答案为:y=13﹣x．18、答案为：y=x2﹣x+3．19、答案为:520、答案为:(，2) 21、答案是：9．22、答案为：4.5．23、答案为：2米．24、答案为：．25、答案为:6．26、答案为:_1 27、答案为：8． 28、答案为:4．29、答案为：3﹣．30、答案为:①③⑤．31【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y=x2+bx+c得：，解得：b=﹣2，c=﹣3，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图1，连接BC、CD、BD，DM⊥x轴，DN⊥y轴，垂足分别为M、N，∵y=x2﹣2x﹣3与y轴的交点C（O，﹣3），A（﹣1，0）、B（3，0），D（1，4），∴BC==3，CD==，BD==2，∵（3）2+（）2=（2）2∴BC2+CD2=BD2∴△BCD是直角三角形；（3）如图2，①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为﹣4或4，当x=﹣4时，y=21；当x=4时，y=5；所以此时点P1的坐标为（﹣4，21），P2的坐标为（4，5）；②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q 点，过点P3作x轴的垂线交于点H，可证得△P3HB≌△Q3OA，∴AO=BH，∴GO=GH，∵线段AB的中点G的横坐标为1，∴此时点P横坐标为2，由此当x=2时，y=﹣3，∴这是有符合条件的点P3（2，﹣3），∴所以符合条件的点为：P1的坐标为（﹣4，21），P2的坐标为（4，5）；P3（2，﹣3）．32、【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的函数关系式为y=a（x﹣1）2﹣4，又∵抛物线过点C（0，﹣3），∴﹣3=a（0﹣1）2﹣4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；（2）∵S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，∴点P的纵坐标一定为4．令y=4，则x2﹣2x﹣3=4，解得x1=1+2，x2=1﹣2．∴点P的坐标为（1+2，4）或（1﹣2，4）．33、【解答】解：（1）由题意得，z=y（x﹣18）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800．故答案是：z=﹣2x2+136x﹣1800；（2）设月销售利润为w，则w=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2（x﹣35）2+450，当x=35时，w取得最大，最大利润为450万元．答：当销售单价为35元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是450万元；（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，当25≤x≤43时z≥350，又由限价32元，得25≤x≤32，根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，故当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），因此，所求每月最低制造成本为648万元．34、【解答】解：（1）设y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式为：y=kx+b，根据题意可得：，解得：．故y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式为：y=﹣40x+560；（2）∵W=280元，∴280=（﹣40x+560）×（x﹣6）解得：x1=7，x2=13．答：当销售单价为7元或13元时，每天可获得的利润达到W=280元；（3）∵利润=销售量×（销售单价﹣进价）∴W=（﹣40x+560）（x﹣6）=﹣40x2+800x﹣3360=﹣40（x﹣10）2+640，当售价为10元，则y=560﹣400=160，160×6=960（元）＞720元，则当（﹣40x+560）×6=720，解得：x=11．即当销售单价为11元时，每天可获得的利润最大，最大利润是600元．35、【解答】方法一：解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；∵点A、B关于直线l对称，∴PA=PB，∴BC=PC+PB=PC+PA设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．（2）连接BC，∵l为对称轴，∴PB=PA，∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x=1代入l BC：y=﹣x+3，得P（1，2）．（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），∵△MAC为等腰三角形，∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=±，（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去，综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，作HG⊥AO，垂足为G，∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，∴∠GHO=∠GAH，∴△GHO∽△GAH，∴HG2=GO•GA，∵A（﹣1，0），C（0，3），∴l AC：y=3x+3，H（﹣，），∵H为OO′的中点，∴O′（﹣，），∵D（1，4），∴l O′D：y=x+，l AC：y=3x+3，∴x=﹣，y=，∴Q（﹣，）．36【解答】解：（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．将B、C的坐标代入y=ax2+c，得解得．所以抛物线的表达式是；（2）可设N（5，y N），于是．从而支柱MN的长度是10﹣4.5=5.5米；（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则G点坐标是（7，0），（7=2÷2+2×3）．过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH=﹣×72+6=3+＞3．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．37、【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，则，解得：，故函数解析式为：y=﹣x+8；（2）根据题意得出：z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（﹣x+8）﹣40=﹣x2+10x﹣200，=﹣（x2﹣100x）﹣200=﹣[（x﹣50）2﹣2500]﹣200=﹣（x﹣50）2+50，故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．如上图，通过观察函数y=﹣（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．而y与x的函数关系式为：y=﹣x+8，y随x的增大而减少，因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．38、【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=；（2）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000，y=﹣2（x﹣45）2+6050．∴a=﹣2＜0，∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）①当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得：20≤x＜70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；②当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得：x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在整个销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．39、【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）根据题意，﹣y=x2﹣2x﹣3，所以y=﹣x2+2x+3．（3）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4），当x=﹣2时，y=5，抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点（1，4），当x=﹣2时，y=﹣5．∴当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，则4＜m＜5或﹣5＜m＜﹣4．40、解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）上，∴a﹣5a+2=0，∴a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；（2）抛物线的对称轴为直线x=，∴点B（4，0），C（0，2），设直线BC的解析式为y=kx+b，∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得，解得k=﹣，b=2，∴直线BC的解析式y=﹣x+2；（3）设N（x，x2﹣x+2），分两种情况讨论：①当△OBC∽△HNB时，如图1，=，即=，解得x1=5，x2=4（不合题意，舍去），∴点N坐标（5，2）；②当△OBC∽△HBN时，如图2，=，即=﹣，解得x1=2，x2=4（不合题意舍去），∴点N坐标（2，﹣1）；综上所述点N坐标（5，2）或（2，﹣1）．。

2018年中考数学真题汇编-二次函数

中考数学真题汇编：二次函数、选择题1.给出下列函数：①y= - 3x+2 :②y=:③y=2x 2;④y=3x ，上述函数中符合条作“当 x > 1时，函数值y 随自变量x 增大而增大"的是（）A. ①③B.③④C.②④D.②③【答案】B 2.如图，函数 ' —处：一 H 和買厂心一1叫是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是3. 关于二次函数 ' 八'），下列说法正确的是（）A.图像与轴的交点坐标为像的对称轴在轴的右侧【答案】D 4. 二次函数「-/—心 °）的图像如图所示，下列结论正确是（）C.B.图C •当时，的值随值的增大而减小 D.1A.D. 泳门有两个不相等的实数根【答案】C5. 若抛物线 D 与轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移 2个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线过点B. :一「二D.【答案】B【答案】B1.则下列说法中正确的是(落于地面C.点火后10s 的升空高度为D.火箭升空的最大高度为145m【答案】_____________ 2若二次函数 y=ax +bx+c (a * 0)图象的对称轴为 x=1，与y 轴交于点C,与x 轴交于点A 、点B6.若抛物线y=x 2+ax+b 与x 轴两个交点间的距离为 2,称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线再向下平移 3个单位，得到的抛物线过点(A. (-3 , -6 )B. (-3 ,C. D.(-3 ， -1 )7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h(罚与飞行时间t (s )满足函数表达式 h =- t 2+ 24t + A.点火后9s 和点火后13s 的升空高度相同B.点火后24s 火箭139m 8.如图, (-1,B. C.D. 40),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a - b+c v 0:③b - 4ac v 0;④当y >0时，-1v x v 【答案】B11. 四位同学在研究函数 I - d' - f （b , c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发3 ;丁发现当•二一时』•已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ A.甲C. D.9.如图是二次函数「一出讥「I 叫—｛（,, 是常数,）图象的一部分，与轴的交点在点仓念和之间，对称轴是艺M [•对于下列说法：①「「伽（为实数）；⑤当时，於丈3；②二[二二③召:④，其中正确的是（B.①②⑤【答案】AD.③④⑤. .2. .10. 如图，二次函数 y=ax+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点C.②③④P .若点P 的横坐标为-1，则一次函现是方程「辽心-扱-一厂：「的一个根；丙发现函数的最小值为【答案】B12. 如图所示，△ DEF 中，/ DEF=90 , / D=30 ,DF=16,B 是斜边 DF 上一动点，过B 作AB 丄DF 于B,交边DE （或边EF ）于点A,设BD=x,△ ABD 的面积为y,则y 与x 之间的函数图象大致为（）【答案】B:■、填空题【答案】增大三、解答题C.13.已知二次函数当x >0时，y 随x 的增大而（填“增大”或“减小”）14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加图1A.15. 学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图 1 ），顺次输入点P l , P2 , P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。

聊城市中考数学二次函数和几何综合专题

聊城市中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 及抛物线的解析式，并求出D 点的坐标；（2）若P 为线段BD 上的一个动点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，求四边形PMAC 的面积的最大值和此时点P 的坐标；（3）若点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线1∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）交直线AC ：443y x =--于点A ，点C 两点，且过点()4,0B ，连接AC ，BC .（1）求此抛物线的表达式与顶点坐标；（2）点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q .设点P 的横坐标为m ，试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，E ，F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由.3．基本模型如图1，点A ，F ，B 在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE ∽△BCF ．（1）模型拓展：如图2，点A ，F ，B 在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC ，求证：△AFE ∽△BCF ；（2）拓展应用：如图3，AB 是半圆⊙O 的直径，弦长AC=BC=4，E ，F 分别是AC ，AB上的一点，若∠CFE=45°．若设AE=y，BF=x，求出y与x的函数关系式及y的最大值；（3）拓展提升：如图4，在平面直角坐标系柳中，抛物线y=﹣（x+4）（x﹣6）与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，抛物线的对称轴交线段BC于点E，探求线段AB上是否存在点F，使得∠EFO=∠BAO？若存在，求出BF的长；若不存在，请说明理由．4．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，x＝﹣x+1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）下列关于该函数图像的性质正确的是；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图像关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；④该函数图像不经过第三象限．（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图像；②若关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图像，直接写出c的取值范围是；＜[a]≤2，则b的取值范围是．（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图像上，且﹣125．综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴分别交于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点P是线段OA上的一个动点，沿OA以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，过点P作DP⊥x轴，交抛物线于点D，交直线AC于点E，连接BE．（1）求直线AC的表达式；（2）在点P运动过程中，运动时间为何值时，EC＝ED？（3）在点P运动过程中，△EBP的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），①试确定抛物线的解析式；②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，若M点是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM≥3，求M点横坐标的取值范围；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于点D，将抛物线y＝x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点D是抛物线上第一象限内的一动点，设点D的横坐标为m，连接CD，BD，BC，AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）如图2，若点N为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x 2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y 轴交于点C ．直线BC 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1，请探究在平移的过程中是否存在点 O 1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O 1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连结AC ，请探究在抛物线上是否存在一点F ，使直线EF ∥AC ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由．9．综合与探究如图，已知直线y mx n =+与抛物线2y x bx c =++分别相交于A 、B 两点，1,0A ，()0,3B -，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合）．（1）求抛物线的解析式及直线y mx n =+的解析式；（2）求ABC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使ABM 周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标．（4）如果对称轴上有一动点H ，在平面内是否存在点N ，使A 、B 、H 、N 四点构成矩形？若存在，直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由10．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．二、中考几何压轴题11．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD 中，∠C=∠D=90°，点E 在边CD 上，∠AEB=90°，求证：AE EB =DE CB．（探究）（2）如图②，在四边形ABCD 中，∠C=∠ADC=90°，点E 在边CD 上，点F 在边AD 的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且EF EG =AE EB，连接BG 交CD 于点H ．求证：BH=GH ．（拓展）（3）如图③，点E 在四边形ABCD 内，∠AEB+∠DEC=180°，且AE EB =DE EC ，过E 作EF 交AD 于点F ，若∠EFA=∠AEB ，延长FE 交BC 于点G ．求证：BG=CG ．12．如图1，已知ABC EBD △≌△，90ACB EDB ∠=∠=︒，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ，（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为_____；（2）探究：若将图1的EBD △绕点B 顺时针方向旋转，当CBE ∠小于180︒时，得到图2，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG CB ⊥，垂足为点G ．当ABC ∠的大小发生变化，其它条件不变时，若EBG BAE ∠=∠，6BC =，直接写出AB 的长．13．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．（问题理解）(1)如图1，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，连接AD 、CD ．求证：四边形ABCD 是等补四边形；（拓展探究）(2)如图2，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，连接AC ，AC 是否平分∠BCD ？请说明理由；（升华运用）(3)如图3，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，其外角∠EAD 的平分线交CD 的延长线于点F ．若CD ＝6，DF ＝2，求AF 的长．14．（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空：①∠AEB 的度数为；②线段AD ，BE 之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．15．如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，5AB =，D 为底边BC 上一动点，连接AD ，以AD 为斜边向左上方作等腰直角ADE ，连接BE ．观察猜想：（1）当点E 落在线段AB 上时，直接写出EB ，ED 的数量关系：EB _______ED ．类比探究：（2）如图2，当点D 在线段BC 上运动时，请问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：（3）在点D 运动过程中，当7BE =时，请直接写出线段CD 的长．16．综合与实践动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰Rt AEF 的直角顶点A 与正方形ABCD 的顶点A 重合（AE AD >），按如图（1）所示重叠在一起，使点E 在CD 边上，连接BF ．则可证：ADE ≌△△______，______三点共线；发现问题：（1）如图（2），已知正方形ABCD ，E 为DC 边上一动点，DC nDE =，AF AE ⊥交CB 的延长线于F ，连结EF 交AB 于点G ．若2n =，则AG BG=______，AGE BGF S S =△△______；尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若3n =，求证：5AG GB =；拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当n =______时，AG 为GB 的6倍（直接写结果，不要求证明）．17．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ ⊥AE 于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF ⊥AE ．①求证：DQ ＝AE ；②推断：GF AE 的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BC AB ＝k （k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当k ＝23时，若tan ∠CGP ＝34，GF ＝210，求CP 的长．18．（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．如图，G ，H 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG =CH ，E ，F 分别是边AB 和CD 的中点求证：四边形EHFG 是平行四边形证明：连接EF 交AC 于点O∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB =CD ，AB ∥CD又∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点∴AE =CF又∵AB ∥CD∴∠EAO =∠FCO又∵∠AOE =∠COF∴△AOE ≌△COF请补全上述问题的证明过程．（探究）如图①，在△ABC 中，E ，O 分别是边AB 、AC 的中点，D 、F 分别是线段AO 、CO 的中点，连结DE 、EF ，将△DEF 绕点O 旋转180°得到△DGF ，若四边形DEFG 的面积为8，则△ABC 的面积为．（拓展）如图②，GH 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG ＝CH ，GH ＝AB ，E 、F 分别是AB 和CD 的中点．若正方形ABCD 的面积为16，则四边形EHFG 的面积为．19．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．20．（问题发现）（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合）将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连结EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是，位置关系是；（探究证明）（2）如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一直线时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，并说明理由；（拓展延伸）（3）如图3，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝2CD ＝4，将△ACD 绕顺时针旋转，点C 对应点E ，设旋转角∠CAE 为α（0°＜α＜360°），当点C ，D ，E 在同一直线时，画出图形，并求出线段BE 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．D解析：（1）y =3x +3，y =﹣x 2+2x +3，顶点D 的坐标为(1，4)；（2）四边形PMAC 的面积的最大值为10516，此时点P 的坐标为(94，32)；（3）点Q 的坐标为(2，3)或(173)或(17-3)．【分析】（1）先求出点C 坐标，然后利用待定系数法即可求出直线AC 及抛物线的解析式，把抛物线的一般式转化为顶点式即可求出D 点的坐标；（2）先根据待定系数法求出直线BD 的解析式，设点P 的横坐标为p ，然后根据S 四边形PMAC =S △OAC +S 梯形OMPC 即可得出S 四边形PMAC 与p 的关系式，再根据二次函数的性质解答即可；（3）由题意得PQ ∥AC 且PQ =AC ，设点P 的坐标为(x ，0)，当点Q 在x 轴上方时，则点Q 的坐标为(x +1，3)，把点Q 的坐标代入抛物线的解析式即可求出x ，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，则点Q 的坐标为(x ﹣1，﹣3)，同样的方法求解即可．【详解】（1）∵抛物线y =﹣ax 2+bx +3与y 轴交于点C ，∴点C (0，3)，设直线AC 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)．∵点A (﹣1，0)，点C (0，3)，∴11103k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：1133k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y =3x +3．∵抛物线y =﹣ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B (3，0)两点，∴309330a b a b --+=⎧⎨-++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+2x +3．∵y =﹣x 2+2x +3=﹣(x ﹣1)2+4，∴顶点D 的坐标为(1，4)；（2）设直线BD 的解析式为y =kx +b ．∵点B (3，0)，点D (1，4)，∴304k b k b +=⎧⎨+=⎩，得26k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的解析式为y =﹣2x +6．∵P 为线段BD 上的一个动点，∴设点P 的坐标为(p ，﹣2p +6)．∵OA =1，OC =3，OM =p ，PM =﹣2p +6，∴S 四边形PMAC =S △OAC +S 梯形OMPC 111326322p p =⨯⨯+-++⨯（）=﹣p 292+p 32+=﹣(p 94-)210516+， ∵1＜p ＜3，∴当p 94=时，四边形PMAC 的面积取得最大值为10516，此时点P 的坐标为(94，32)；（3）∵直线l ∥AC ，以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ ∥AC 且PQ =AC ．设点P 的坐标为(x ，0)，由A (﹣1，0)，C (0，3)，当点Q 在x 轴上方时，则点Q 的坐标为(x +1，3)，此时，﹣(x +1)2+2(x +1)+3=3，解得：x 1=﹣1(舍去)，x 2=1，∴点Q 的坐标为(2，3)；当点Q 在x 轴下方时，则点Q 的坐标为(x ﹣1，﹣3)，此时，﹣(x ﹣1)2+2(x ﹣1)+3=﹣3，整理得：x 2﹣4x ﹣3=0，解得：x 1=27x 2=27-∴点Q 的坐标为(173)或(17，﹣3)，综上所述：点Q 的坐标为(2，3)或(17+3)或(17，﹣3)．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质和一元二次方程的解法等知识，综合性强、具有一定的难度，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用相关知识是解题的关键．2．A解析：（1）顶点坐标为149,212⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）存在， ()11,3Q -，252528Q -⎝⎭；（3）11974F ⎫+⎪⎪⎝⎭或21974F ⎫-⎪⎪⎝⎭或()31,4F -. 【分析】（1）根据一次函数解析式求出A 、C 两点的坐标，把A 、B 、C 三点代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化为顶点式可求得结果.（2）先求出BC 所在直线的解析式，设出P 、Q 两点的坐标，根据勾股定理求出AC ，根据以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形可分类讨论，分为AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ 三种情况.（3）分两种情况讨论，一是F 在抛物线上方，过点F 作FH x ⊥轴，可得FH=4，设211,433F n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得2114433n n --=，求出n 代入即可；二是F 在抛物线下方，可得2114-433--=n n ，求出n 的值即可，最后的结果综合两个结果即可. 【详解】解：（1）443y x =-- ∵当0y =时，4403--=x , ∴3x =-;∴()30A -,，()0,4C -; 二次函数过点A 、B ，设()()34y a x x =+-;∵过点()0,4C -,∴124a -=-;∴13a =; ∴()()1343y x x =+- 211433x x =--; ∵211493212y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∴顶点坐标为149,212⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）存在.设BC y kx b =+过B 、C ,440b k b =-⎧⎨+=⎩; 设解得：14k b =⎧⎨=-⎩; ∴4BC y x =-; 设21)1,433(P w m m --、(),4Q m m -; 在Rt AOC ∆中，解得5AC =;①当AQ AC =时;()()222345m m ++--=⎡⎤⎣⎦; 解得：10m =（不合题意舍去），21m =;∴()11,3Q -;②当CQ AC =时;()222445m m +---=⎡⎤⎣⎦;解得：1m =2m =;∴2Q ⎝⎭; ③当AQ CQ =时;()()()22223444m m m m ++--=+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦; 解得：2542m =>（不合题意舍去）;∴()11,3Q -，2Q ⎝⎭; （3）当F 在抛物线上方时，//BC EF ，BC EF =时;过点F 作FH x ⊥轴，FEH ∆与BCOQ ∆全等;则4FH =; 设211,433F n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭; 则2114433n n --=; 解得；11972n +=，21972n -=； 1197,42F ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或2197,42F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭; 当F 在抛物线下方时，2114433n n --=-; 30n =（不合题意舍去），41n =;∴()31,4F -;∴1197,42F ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或2197,42F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()31,4F -. 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，准确分析题目条件，利用了等腰三角形、直角三角形的性质进行求解.3．F解析：（1）证明详见解析；（2）y=﹣x 2+x （0≤x≤8），当x=4时，y 最大=2；（3）存在一点F ，使得∠EFO=∠BAO ；或．【解析】试题分析：（1）利用已知得出∠E=∠CFB ，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；（2）利用（1）得出△AFE ∽△BCF ，则，进而求出y 与x 的函数关系式及y 的最大值；（3）首选求出A ，C 点坐标，再得到△CEH ∽△CBO ，求出BE 的长，再利用△AFO ∽△BEF ，求出BF 的长．试题解析：（1）证明：如图2，∵∠A=∠EFC ，∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB ，∴∠E=∠CFB，∵∠A=∠B，∴△AFE∽△BCF；（2）解：如图3，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==8，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∴∠A=∠B=∠CFE=45°，由（1）可得△AFE∽△BCF，∴，即，∴y=﹣x2+x（0≤x≤8），当x=4时，y最大=2；（3）解：如图4，存在一点F，使得∠EFO=∠BAO，理由：连接EF，FO，抛物线y=﹣（x+4）（x﹣6），对称轴为x==1，把x=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6），得y=8，∴B（0，8），即OB=8把y=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6）得x1=﹣4，x2=6，∴A（﹣4，0），C（6，0），∴OC=6，OA=4，AC=10，∴BC===10，∴AB===4，∵EH∥BO，∴△CEH∽△CBO，∴，即，解得：BE=，∵BC=AC=10，∴∠CAB=∠CBA∴∠CAB=∠CBA=∠EFO ，由（1）可得△AFO ∽△BEF ， ∴，设BF=x ，则，化简得：x 2﹣4x+=0，解得：x 1=，x 2=， ∴当BF=或时，∠EFO=∠BAO ．考点：二次函数综合题．4．（1）③④；（2）①见解析；②1c >或21c -<-；（3）43b -<-或2333b <-【分析】（1）画出图象，根据函数的性质即可判断．（2）①根据题意列表、描点、连线即可．②将2x c +看成是一次函数2y x c =+，此函数与y 轴的交点是c ，因此要与[]x 图像有两个交点，则需要分情况讨论．当1c >时，满足两个交点的要求；当11c -<≤时，与图像没有两个交点；当1c -≥时，可以有两个交点，此种情况要代入221x c x +=-，根据根的判别式求出c 的范围即可．（3）因为1[]22a -<≤，所以根据分段函数的图像，求解取值在12-到2之间的自变量的范围，分情况讨论即可．再根据点(,)a b 在函数3y x =-图象上，则3b a =-，即3a b =+，代入到a 的取值范围中求解即可．【详解】解：（1）画出图象，根据图象可知，①当0x 时，y 随x 的增大而增大，故错误；②该函数图象关于y 轴不对称，故错误；③当0x =时，函数有最小值为1-，正确；④该函数图象不经过第三象限，正确；故答案为：③④．（2）①在平面直角坐标系xOy 中画出该函数图象，②关于x 的方程2[]x c x +=有两个互不相等的实数根，∴可以看成是[]y x =和2y x c =+有两个交点．2y x c =+是一次函数，与y 轴的交点为c ，∴当1c >时，满足两个交点的条件．若将2y x c =+向下平移与图像有两个交点，则1c -．∴方程为221x c x +=-，即22(1)0x x c --+=．∴△44(1)0c =++>，2c ∴>-，21c ∴-<-．故答案为：1c >或21c -<-．（3）1[]22a -<，∴当0a <时，1[]2a <，112a <-+，解出10a -<．当0a 时，1[]22a -<，21122a -<-23a ．10a ∴-<23a <．点(,)a b 在函数3y x =-图象上，3b a ∴=-，3a b ∴=+，43b ∴-<-2333b <-．故答案为：43b -<-2333b -<-．【点睛】此题考查的是分段函数，用数形结合的思想是解此题的关键．5．A解析：（1）直线AC 的表达式为y ＝x +4；（2）运动时间为0或（42EC ＝ED ；（3）3(,0)2P -【分析】（1）由抛物线的解析式中x ，y 分别为0，求出A ，C 的坐标，再利用待定系数法确定直线AC 的解析式；（2）设出运动时间为t 秒，然后用t 表示线段OP ，CE ，AP ，DE 的长度，利用已知列出方程即可求解；（3）利用等量代换求出△EBP 的周长为AB +BE ，由于AB 为定值，BE 最小时，△EBP 的周长最小，根据垂线段最短，确定点E 的位置，解直角三角形求出OP ，点P 坐标可求．【详解】解：（1）∵ 抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于A ，B ，交y 轴于点C ，∴ 当x ＝0时，y ＝4．∴ C （0，4）．当y ＝0时，﹣x 2﹣3x +4＝0，∴ x 1＝﹣4，x 2＝1，∴ A （﹣4，0），B （1，0）．设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴ -404k b b +=⎧⎨=⎩解得：14k b =⎧⎨=⎩ ∴ 直线AC 的表达式为y ＝x +4．（2）设点P 的运动时间为t 秒，∵点P 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，∴ OP ＝t ．∴ P （﹣t ，0）．∵ A （﹣4，0），C （0，4），∴ OA ＝OC ＝4．∴ Rt △AOC 为等腰直角三角形．∴ ∠CAO ＝∠ACO ＝45°，AC＝．∵ DP ⊥x 轴，在Rt △APE 中，∠CAP ＝45°，∴ AP ＝PE ＝4﹣t ，AE AP 4﹣t ）．∴ EC ＝AC ﹣AE．∵ E ，P 的横坐标相同，∴ E （﹣t ，﹣t +4），D （﹣t ，﹣t 2+3t +4）．∴ DE ＝（﹣t 2+3t +4）﹣（﹣t +4）＝﹣t 2+4t ．∵ EC ＝DE ，∴﹣t2+4t ．解得：t ＝0或t ＝4∴ 当运动时间为0或（4）秒时，EC ＝ED ．（3）存在．P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △AEP 中，∠OAC ＝45°，∴ AP ＝EP ．∴ △AEB 的周长为EP +BP +BE ＝AP +BP +BE ＝AB +BE ．∵ AB ＝5，∴ 当BE 最小时，△AEB 的周长最小．当BE ⊥AC 时，BE 最小．在Rt △AEB 中，∵∠AEB ＝90°，∠BAC ＝45°，AB ＝5，BE ⊥AC ，∴ PB ＝12AB ＝52． ∴ OP ＝PB ﹣OB ＝32． ∴ P （﹣32，0）．【点睛】本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 6．A解析：（1）①223y x x =-+，②11m -≤≤；（2）12x ≤≤；（3）四边形OABC 是矩形，证明见详解．【分析】（1）利用顶点P 的横坐标求出b =-2,然后把b =-2和B 点的坐标代入求出抛物线的解析式；（2）先求出A 点坐标，然后得出直线AB 的解析式，设M 点坐标为（x ，x 2-2x +3），根据S △ABM =3列出方程，并解方程，从而得出M 点坐标，再根据S △ABM ≥3求出M 横坐标的范围即可；（3）根据抛物线的图象可求出A 、P 、D 的坐标，利用抛物线与直线相交求出B 点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，然后求出C 点坐标，然后求出BC 的长度，从而得出四边形OABC 是平行四边形，再根据∠AOC =90︒得出四边形OABC 是矩形.【详解】解：（1）①依题意, 121b -=⨯, 解得b =-2，将b =-2及点B (3, 6)的坐标代入抛物线解析式2y x bxc =++，得 26323c =-⨯+，解c =3，所以抛物线的解析式为223y x x =-+，②当2236y x x =-+=，解得1,3x x =-=，当m ≤x ≤3时，y ＝x 2+bx +c 的最小值为2，最大值为6， ∴11m -≤≤；（2）∵抛物线 223y x x =-+与y 轴交于点A ， ∴ A (0, 3)，∵ B (3, 6)，可得直线AB 的解析式为3y x ，设直线AB 下方抛物线上的点M 坐标为（x ，223x x -+），过M 点作y 轴的平行线交直线AB 于点N , 则N (x , x +3). (如图)，∴ 132ABM AMN BMN B A S S S MN x x ∆∆∆=+=⋅-=， ∴()21323332x x x ⎡⎤+--+⨯=⎣⎦，解得 121,2x x ==，∴点M 的坐标为(1, 2) 或 (2, 3)，∵S △ABM ≥3，12x ≤≤；（3）结论是：四边形OABC 是矩形，理由如下：如图，由 PA =PO , OA =c , 可得2c PD =，∵抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为 24,24b c b P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴ 2442c b c -=， ∴22b c =，∴ 抛物线2212y x bx b =++， A （0，212b ），P （12b -，214b ）, D （12b -，0）， ∴直线OP 的解析式为12y bx =-， ∵ 点B 是抛物线2212y x bx b =++与直线12y bx =-的图象的交点，令 221122bx x bx b -=++，解得12,2b x b x =-=-，可得点B 的坐标为（-b ，212b ），由平移后的抛物线经过点A , 可设平移后的抛物线解析式为2212y x mx b =++，将点D (12b -，0)的坐标代2212y x mx b =++入，得32m b =， ∴ 平移后的抛物线解析式为223122y x bx b =++，令y =0, 即2231022x bx b ++=，解得121,2x b x b =-=-，依题意, 点C 的坐标为（-b ，0），∴ BC =212b ， ∴ BC = OA ，又BC ∥OA ，∴ 四边形OABC 是平行四边形，∵ ∠AOC =90︒，∴ 四边形OABC 是矩形．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，并与几何图形相结合的综合题，难度较高，解题的关键在于灵活运用二次函数的性质及待定系数法，并注重点的坐标与线段长的互相转化． 7．A解析：（1）224233y x x =-++；（2）1或2；（3）存在，点M 的坐标为()2,2或102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭或104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入二次函数解析式进行求解即可；（2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，由题意易得C 点坐标是（0，2），然后可得直线BC 的解析式，然后可表示点E 坐标，进而可根据铅垂法进行表示△BCD 的面积，最后问题可进行求解；（3）设点M 的坐标为：（x ，y ），点N （1，s ），点B （3，0）、C （0，2），根据题意易得当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，可分①当BC 是平行四边形的边时，②当BC 为对角线时，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可求解．【详解】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +2中，得：209320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为224233y x x =-++；（2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，把x ＝0代入224233y x x =-++中，得：y ＝2， ∴C 点坐标是（0，2），又∵B （3，0），∴直线BC 的解析式为y ＝23-x +2， ∵点D （m ，224233m m -++），∴E （m ，23-m +2），∴DE ＝（224233m m -++）﹣（23-m +2）＝23-m 2+2m ，由S △BCD ＝2S △AOC 得：12×DE ×OB ＝2×12×OA ×OC ，∴12（23-m 2+2m ）×3＝2×12×1×2，整理得：m 2﹣3m +2＝0解得：m 1＝1，m 2＝2∵0＜m ＜3∴m 的值为1或2；（3）存在，理由：设点M 的坐标为：（x ，y ），y ＝224233x x -++，则有点N （1，s ），点B （3，0）、C （0，2），①当BC 是平行四边形的边时，当点C 向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B ，同样点M （N ）向右平移3个单位，向下平移2个单位N （M ），故：x +3＝1，y ﹣2＝s 或x ﹣3＝1，y +2＝s ，解得：x ＝﹣2或4，故点M 坐标为：（﹣2，103-）或（4，103-）； ②当BC 为对角线时，由中点公式得：x +1＝3，y +s ＝2，解得：x ＝2，故点M （2，2）；综上，M 的坐标为：（2，2）或（﹣2，103-）或（4，103-）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，关键是根据题意得到函数解析式，然后利用平行四边形的存在性问题可进行分析． 8．F解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1)3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)．【分析】（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可．【详解】解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3得：{309330a b a b ++=-+= 解得：{12a b =-=-∴抛物线解析式为 223y x x =--+∴2(1)4y x =++ ∴1x =-（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y x =根据题意得 223x x x --+=整理得 2330x x +-=解得 13212x -+= 23212x --= ∴O 1(3212-+,3212-+ )或)（3212--，3212--）解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3∴23(23)3x x x +---+=整理得 2330x x +-=解得 13212x -+= 23212x --= ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y=x∴O 1(3212-+,3212-+ )或（3212--，3212--）(3)∵抛物线对称轴与x 轴交于点E,则点E 的坐标为E(-1,0),过点C 作CF ∥x 轴根据抛物线的对称性得F 的坐标为F(-2,3)∴AE=CF=2 ∵CF ∥AE ∴四边形CFEA 为平行四边形∴EF ∥CA设直线EF 的解析式为y kx b =+得：{320k b k b =-+=-+ 解得：{33k b =-=- ∴直线EF 解析式为 33y x =--根据题意得 22333x x x --+=--解得12x =- 23x =满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题． 9．A解析：（1）33y x =-，223y x x =+-；（2）6；（3）存在点M 使ABM 周长最短，其坐标为()1,2--；（4）存在，10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()2,1-，()2,2- 【分析】（1）把A 、B 两点的坐标分别代入抛物线2y x bx c =++和直线y mx n =+中，解之即可；（2）由图可知，12ABC S AC OB =⋅，所以只需求出AC ，OB 的长即可，因为C 点为抛物线与x 轴的一个交点，令y=0即可求出C 点坐标，根据已知可得A 点坐标，从而得到AC 的长，根据已知得到B 点坐标，可得OB 的长，从而求出ABC 的面积；（3）由题意知，A 、C 关于对称轴对称，则可知MA MC =，故当B 、M 、C 三点在同一条直线上时MB MC +最小，此时ABM 的周长最小，连接BC 交对称轴于点M ，则M 即为满足条件的点，设直线BC 的解析式为y kx m =+，将B ，C 的坐标代入即可求出该解析式，令x=-1，即可求出点M 的坐标；（4）在平面内是否存在点N ，使A 、B 、H 、N 四点构成矩形，求N 点坐标时，需分情况讨论，当HB ⊥AB 时，根据互相垂直的两直线的斜率之积为-1，互相平行的两直线的斜率相等求出直线HB ，直线HN ，直线AN 的解析式，根据N 点为直线HN 和直线AN 的交点，联立方程组解之即可；同理可得当HA ⊥AB 时，N 点的坐标；而当AB 为对角线时，可得HA ⊥AB ，从而可求出直线AH 的解析式，设H 点坐标为()1,y -，根据△AHB 为直角三角形，利用勾股定理求出H 点的坐标，然后在利用互相垂直的两直线的斜率之积为-1，互相平行的两直线的斜率相等求出N 点的坐标．【详解】解：（1）把A 、B 两点的坐标分别代入2y x bx c =++得103b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为223y x x =+-．把A 、B 两点的坐标分别代入y mx n =+得03m n n +=⎧⎨=-⎩，解得33m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为33y x =-．（2）由（1）得，抛物线解析式为223y x x =+-，令0y =得2023x x =+-，解得11x =，23x =-，()3,0C ∴-，∵1,0A ，∴4AC =，∵()0,3B -，∴OB=3， 1143622ABC S AC OB ∴=⋅=⨯⨯=；（3）()222314y x x x =+-=+-，∴抛物线的对称轴为1x =-，A 、C 关于对称轴对称，MA MC ∴=，MB MA MB MC ∴+=+，∴当B 、M 、C 三点在同一条直线上时MB MC +最小，此时ABM 的周长最小 ∴连接BC 交对称轴于点M ，则M 即为满足条件的点，设直线BC 的解析式为y kx m =+，直线BC 过点()0,3B -，()3,0C -，303k m m -+=⎧∴⎨=-⎩，解得13k m =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式3y x =--，当1x =-时，2y =-，()1,2M ∴--，∴存在点M 使ABM 周长最短，其坐标为()1,2--．（4）存在，①当HB ⊥AB 时，如图所示由（1）得直线AB 的解析式为33y x =-，∵HB ⊥AB ，∴设直线HB 的解析式为13y x b =-+，将B(0,-3)代入得3b =-，∴直线HB 的解析式为133y x =--，当x=-1时，y=13-×(-1)-3=83-， ∴H 点的坐标为81,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵四边形ABHN 为矩形，∴HN ∥AB ，AN ∥HB ，∴设直线HN 的解析式为y=3x+m ，把H 点坐标代入，得3×(-1)+m=83-，解得m=13, ∴直线HN 的解析式为y=3x+13, ∴设直线AN 的解析式为13y x n =-+，把A 点坐标代入，得103n -+=，解得n=13, ∴设直线AN 的解析式为1133y x =-+， ∵N 点为直线HN 和直线AN 的交点，∴1331133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得013x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴N 点坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． ②当HA ⊥AB 时，如图由（1）得直线AB 的解析式为33y x =-，∵HA ⊥AB ，∴设直线HA 的解析式为13y x b =-+，将A(1，0)代入得13-+b=0，解得b=13， ∴直线HA 的解析式为1133y x =-+，当x=-1时，()1121333y =-⨯-+=， ∴H 点的坐标为21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵四边形ABNH 是矩形，∴AB ∥NH ，BN ∥AH ，∴设直线HN 的解析式为y=3x+m ，把H 点坐标代入，得()2313m =⨯-+，解得m=113， ∴设直线HN 的解析式为y=3x+113， ∴设直线BN 的解析式为13y x n =-+，把B 点坐标代入，得 n=-3，∴设直线BN 的解析式为133y x =--， ∵N 点为直线HN 和直线BN 的交点， ∴1133133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得273x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴N 点坐标为72,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ③当AB 为对角线时，如图设H 点坐标为()1,y -，∵四边形AHBN 为矩形，∴△AHB 为直角三角形，∠AHB=90°，∴AH 2+BH 2=AB 2，即()()()2222111313y y --+++--=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得121,2y y =-=-，∴H 点坐标为(-1,-1)，(-1,-2)，（a ）当H 点坐标为(-1,-1)时，设直线AH 的解析式为y=kx+b ，把A ，H 点坐标代入，得01k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AH 的解析式为1122y x =-， ∵AH ∥BN ， ∴设直线BN 的解析式为12y x b =+，把B 点坐标代入，得b=-3，∴直线BN 的解析式为132y x =-，∵AN ⊥BN ，∴设直线AN 的解析式为y=-2x+m ，把A 点坐标代入，得-2+m=0，解得m=2，∴直线AN 的解析式为y=-2x+2，∵N 点为直线AN 与BN 的交点，∴22132y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得22x y =⎧⎨=-⎩， ∴N 点坐标为(2,-2);（b ）当H 点坐标为(-1,-2)时，设直线AH 的解析式为y=kx+b ，把A ，H 点坐标代入，得02k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AH 的解析式为y=x-1，∵AH ∥BN ，∴设直线BN 的解析式为y=x+n ，把B 点坐标代入，得n=-3，∴直线BN 的解析式为y=x-3，∵AN ⊥BN ，∴设直线AN 的解析式为y=-x+m ，把A 点坐标代入，得-1+m=0，解得m=1，∴直线AN 的解析式为y=-x+1，∵N 点为直线AN 与BN 的交点，∴13y x y x =-+⎧⎨=-⎩ 解得21x y =⎧⎨=-⎩， ∴N 点坐标为(2,-1)．综上所述，存在点N ，使A 、B 、H 、N 四点构成矩形，N 点坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 72,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()2,1- ()2,2-．【点睛】本题为二次函数的综合运用，涉及待定系数法，轴对称的性质，勾股定理，三角形的面积等知识．在（2）中求得点C 是解题的关键，在（3）中确定出M 点是解题的关键，在（4）中分情况讨论是解题的关键．10．A解析：（1）211433y x x =-++；（2）)22PN m =-m ＝2时，PN 的最大值；（3）Q (1，3)或。

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．要得到二次函数y=−x2图象，可将y=−(x−1)2+2的图象如何移动（）A．向左移动1单位，向上移动2个单位B．向右移动1单位，向上移动2个单位C．向左移动1单位，向下移动2个单位D．向右移动1单位，向下移动2个单位2．若二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（0，1）和（1，0），则m=a-b+c的值的变化范围是（）A．0<m<1B．0<m<2C．1<m<2D．-1<m<13．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1−(x−a)(x−b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b4．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④若当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等，则当x=6时的函数值为﹣3．其中正确的说法是（）A．①②③B．①④C．②④D．①②④5．已知二次函数y=x2+2mx+m的图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且满足，4≤a+b≤6.当1≤x≤3时，该函数的最大值H与m满足的关系式是（）A．H=3m+1B．H=5m+4C．H=7m+9D．H=−m2+m6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣1），且顶点在第三象限，则a的取值范围是（）A．a＞0B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．﹣1＜a＜17．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．y=(x+3)2B．y=x2+9C．y=x2+6x D．y=3x2+12x9．若将抛物线y=2x2+1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y=2(x−1)2−2B．y=2(x+1)2−2C．y=2(x−1)2+3D．y=2(x+1)2+310．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a−b<0；②abc<0；③a+b+c<0；④a−b+c>0；⑤4a+2b+c>0.其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣312．已知某种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间t(s)的关系式是ℎ=−52t2+20t+1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（）A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s二、填空题13．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，x2−2x+3)图象上的最低点是.14．有一个角是60°的直角三角形，它的面积S与斜边长x之间的函数关系式是．15．如图，点P是双曲线C：y=4x（x>0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y=12x−2于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△ POQ面积的最大值是.16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣4617＜3时，x的取值范围是．18．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2ax与直线y=x+2的图象在-1≤x≤1的范围有且只有一个公共点P，则a的取值范围是．三、综合题19．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，74）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤ 74时，直接写出x的取值范围是.20．已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点(1，0)，(0，32).（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=−12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.21．如图，有一个长为24米的篱笆，一面有围墙（墙的最大长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2.（1）求S与的函数关系式及x的取值范围.（2）如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？22．如图，二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D（1）求点A，B，C的坐标．（2）求△BCD的面积23．给出两种上宽带网的收费方式：收费方式月使用费/元包月上网时间/h超时费/（元/ min）A30250.05B50500.0512（1）直接写出y1,y2与x之间的函数关系式；（2）x为何值时，两种收费方式一样？（3）某用户选择B方式宽带网开网店.若该用户上网时间x小时，产生y=−x2+ax+1950（元）（a>103）的经济收益.若某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，直接写出a的值.（上网利润=上网经济收益－月宽带费）24．已知抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)的图象过点A（3，m）.（1）当a＝－1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；（2）若P（t，n）为该抛物线上一点，且n＜m，求t的取值围；（3）如图，直线l：y=kx+c(k<0)交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD△x轴交直线l于点D，作QE△y轴于点E，连接DE.设△QED＝b，当2≤x≤4时，b 恰好满足30°≤β≤60°，求a的值.参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】B13．【答案】（1，2）14．【答案】√38x 215．【答案】3 16．【答案】①③④ 17．【答案】－1＜x ＜3 18．【答案】a≥0或a≤-119．【答案】（1）解：把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+3解得：a ＝﹣1，b ＝2抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3（2）解：把点D 的y 坐标y ＝ 74，代入y ＝﹣x 2+2x+3解得：x ＝ 12 或 32则EF 长 =32−(−12)=2 （3）x ≤12 或 x ≥32.20．【答案】解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32，解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）将抛物线y =−12x 2+bx +c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.【答案】解：抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2.（1）解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32解得：{b =−1c =32则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）解：抛物线解析式为y=−12x2−x+32=−12(x+1)2+2将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=−12x2.21．【答案】解：AB为xm，则BC就为（24-3x）m，S=(24-3x)x=24x-3x2，∵x＞0，且10≥24-3x＞0，∴143≤x＜8. (2)如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？解：45=24x-3x2，解得x=5或x=3；故AB的长为5米.（1）解：AB为xm，则BC就为（24-3x）mS=(24-3x)x=24x-3x2∵x＞0，且10≥24-3x＞0∴143≤x＜8.（2）解：45=24x-3x2解得x=5或x=3；故AB的长为5米.22．【答案】（1）解：令y=0，可得x=3或x=﹣1．令x=0，可得y=3．∴A（-1，0）B（3，0）C（0，3）（2）解：依题意，可得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4．∴顶点D（1，4）．令y=0，可得x=3或x=-1．∴令x=0，可得y=3．∴C（0，3）．∴OC=3，∴直线DC的解析式为y=x+3．设直线DE交x轴于E．∴BE=6．∴S△BCD=S△BED-S△BCE=3．∴△BCD的面积为3．23．【答案】（1）解：由题意可得：A、B两种收费超时收费都为0.05×60=3元/小时A种上网的月收费为y1=30+3(x−25)=3x−45；B种上网的月收费可分①当25≤x≤50时，y2=50，②当x>50时，y2=50+3(x−50)=3x−100综上所述：y2={50,25≤x≤503x−100,x>50.（2）解：由（1）可分：①当25≤x≤50时，两种收费一样，则有3x−45=50解得：x=953②当x>50时，两种收费一样，则有3x−45=3x−100，方程无解，故不成立∴综上所述：当上网时间为953小时，两种上网收费一样；答：当上网时间x为953小时，两种上网收费一样.（3）解：设上网利润为w元，则由题意得：①当上网时间25≤x≤50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−50=−x2+ax+1900∵a>103∴x=a2>50∵该二次函数的图象开口向下，在25≤x≤50，y随x的增大而增大∴该用户上网获得的利润最大值为5650元，所以当x=50时，则有：−2500+50a+1900=5650，解得：a=125；②当x>50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−3x+100=−x2+(a−3)x+2050∴该二次函数的图象向下，对称轴为直线x=a−3 2∵a>103∴x=a−32>50∴y随x的增大而减小∴当x=a−32时，y有最大值，即−(a−32)2+(a−3)(a−32)+2050=5650解得：a1=123,a2=−117（不符合题意，舍去）综上所述：当某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，则a=125或123. 24．【答案】（1）解：当a＝－1，m＝0时，y=−x2+2x+c，A点的坐标为（3，0）∴－9＋6＋c＝0.解得c＝3∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3.即y=−(x−1)2+4.∴抛物线的顶点坐标为（1，4）.（2）解：∵y=ax2−2ax+c的对称轴为直线x=−2a−2a=1∴点A关于对称轴的对称点为（－1，m）.∵a<0∴当x<1，y随x的增大而增大；当x>1，y随x的增大而减小.又∵n ＜m∴当点P 在对称轴左边时，t ＜－1；当点P 在对称轴右边时，t ＞3.综上所述：t 的取值范围为t ＜－1或t ＞3；（3）解：∵点Q （x ，y ）在抛物线上 ∴y =ax 2−2ax +c .又∵QD△x 轴交直线 l ：y =kx +c(k <0) 于点D ∴D 点的坐标为（x ，kx ＋c ）.又∵点Q 是抛物线上点B ，C 之间的一个动点 ∴QD =ax 2−2ax +c −(kx +c)=ax 2−(2a +k)x . ∵QE ＝x∴在Rt△QED 中， tanβ=QD QE =ax 2−(2a+k)x x=ax −2a −k . ∴tanβ 是关于x 的一次函数 ∵a ＜0∴tanβ 随着x 的增大而减小.又∵当 2≤x ≤4 时， β 恰好满足 30°≤β≤60° ，且 tanβ 随着 β 的增大而增大 ∴当x ＝2时， β ＝60°；当x ＝4时， β ＝30°. ∴{2a −2a −k =√34a −2a −k =√33解得 {k =−√3a =−√33∴a =−√33.。

山东数学中考分类汇编--有关二次函数综合题

二次函数综合题1.（2019年滨州）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠P AD的值．2．（2021年滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．3．（2020年滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F （2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P （m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．4．（2022年滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当P A＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．5．（2017年滨州）如图，直线y＝kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y＝kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF 的最小值．6.（2018德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2019德州）如图，抛物线y＝mx2﹣mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．8.（2017年东营）如图，直线y＝﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．（2018年东营）如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019年东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2020年东营）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021年东营）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△AOC∽△ACB；（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．13．（2022年东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B （3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．14.（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．15.．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．16．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．17.（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18.（2018•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．19.（2017•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．20.（2020济南）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．21.（2019济南）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．22.（2018济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+4过A（2，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．（1）求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；（2）如图2，若∠ACP=45°，求m的值；（3）如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．23.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．24.如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OE⊥AB；（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．25.已知抛物线()2211:1(1)12C y m x m x =-+-+-与x 轴有公共点．（1）当y 随x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；（2）将抛物线1C 先向上平移4个单位长度，再向右平移n 个单位长度得到抛物线2C （如图所示），抛物线2C 与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．当OC ＝OA 时，求n 的值；（3）D 为抛物线2C 的顶点，过点C 作抛物线2C 的对称轴l 的垂线，垂足为G ，交抛物线2C 于点E ，连接BE 交l 于点F ．求证：四边形CDEF 是正方形．26.抛物线2y ax bx c =++过A （2，3），B （4，3），C （6，﹣5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，抛物线上一点D 在线段AC 的上方，DE ⊥AB 交AC 于点E ，若满足2DE AE ，求点D 的坐标；（3）如图②，F 为抛物线顶点，过A 作直线l ⊥AB ，若点P 在直线l 上运动，点Q 在x 轴上运动，是否存在这样的点P 、Q ，使得以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABF 相似，若存在，求P 、Q 的坐标，并求此时△BPQ 的面积；若不存在，请说明理由．27、（2018年莱芜）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．28、（2019年莱芜）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△P AC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．29.（2017年聊城）如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠P AB＝75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形P AMB 的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？30．（2018年聊城）如图，已知抛物线y＝ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB＝1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）．（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当t＝0时，求S△OBN的值；（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？31．（2019年聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x 轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．32．（2020年聊城）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点．（1）求出二次函数y ＝ax 2+bx +4和BC 所在直线的表达式；（2）在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标；（3）连接CP ，CD ，在动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，C ，F 为顶点的三角形与△DCE 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．33. （2021年聊城）如图，抛物线y ＝ax 2＋32x ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，已知A ，C 两点坐标分别是A （1，0），C （0，﹣2），连接AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式和AC 所在直线的表达式；（2）将ABC 沿BC 所在直线折叠，得到DBC ，点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上，若点D 在对称轴上，请求出点D 的坐标；若点D 不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP 交BC 于点Q ，连接BP ，BPQ 的面积记为S 1，ABQ 的面积记为S 2，求12S S 的值最大时点P 的坐标． 34. （2022年聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，对称轴为直线1x =-，顶点为点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA ，DC ，CB ，CA ，如图①所示，求证：DAC BCO ∠=∠；（3）如图②，延长DC 交x 轴于点M ，平移二次函数2y x bx c =-++的图象，使顶点D 沿着射线DM 方向平移到点1D 且12CD CD =，得到新抛物线1y ，1y 交y 轴于点N ．如果在1y 的对称轴和1y 上分别取点P ，Q ，使以MN 为一边，点M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q 的坐标．35.（2017临沂）如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣3经过点A （2，﹣3），与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC=3OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 在y 轴上，且∠BDO=∠BAC ，求点D 的坐标；（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．36.．（2018•临沂）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠P AD的值．37..（临沂2019）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．38. （2020年临沂）已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；(3)设点()1,P m y ，()23,Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围．39.（2022•青岛）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△ADE ，连接CD ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动、速度为1cm /s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1cm /s ．PQ 交AC 于点F ，连接CP ，EQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：（1）当EQ ⊥AD 时，求t 的值；（2）设四边形PCDQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使PQ ∥CD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．40.．（2018年青岛市）（12分）已知：如图，四边形ABCD ，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，CD ＝8cm ，动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2cm /s ．点P 和点Q 同时出发，以QA 、QP 为边作平行四边形AQPE ，设运动的时间为t （s ），0＜t ＜5．根据题意解答下列问题：（1）用含t的代数式表示AP；（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）当QP⊥BD时，求t的值；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．41.（2017年青岛市）（本小题满分12分）已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。

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1.如图，已知抛物线2y ax bx =+与x 轴分别交于原点O 和点(10,0)F ，与对称轴l 交于点(5,5)E .矩形ABCD 的边AB 在x 轴正半轴上，且1AB =，边AD ，BC 与抛物线分别交于点M ，N .当矩形ABCD 沿x 轴正方向平移，点M ，N 位于对称轴l 的同侧时，连接MN ，此时，四边形ABNM 的面积记为S ；点M ，N 位于对称轴l 的两侧时，连接EM ，EN ，此时五边形ABNEM 的面积记为S .将点A 与点O 重合的位置作为矩形ABCD 平移的起点，设矩形ABCD 平移的长度为(05)t t ≤≤.
（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当0t =时，求OBN S ∆的值；
（3）当矩形ABCD 沿着x 轴的正方向平移时，求S 关于(05)t t ≤≤的函数表达式，并求出t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？
2．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB 上方抛物线上的一个动点．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；
（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M 移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿
对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时
Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到
Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S
与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
4．（12分）（2015•聊城）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
5．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，3），O（0，0），B （6，0）．点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M（x，0），△PMN的面积为S．
（1）求OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（1，0）时，点N的坐标；
（2）求出S关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）若S：S
=2：3时，求出此时N点的坐标．
△ANB。