湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题(无答案)

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湖南省长郡中学高一数学上学期期末试卷(含解析)

湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则∁U A=（） A ． φ B ． {0，2，4} C ． {1，3} D ． {﹣1，1，3}2．（3分）函数f （x ）=的定义域为（）A ． [1，2）∪（2，+∞）B ．（1，+∞）C ． [1，2）D ． [1，+∞） 3．（3分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体 D ．三棱柱 4．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cos α=（）A ．B ．C ． ﹣D ． ﹣5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（） A ． f （x ）=B ． f （x ）=x 2+1C ． f （x ）=x 3D ． f （x ）=2﹣x6．（3分）函数y=lg （﹣x 2+2x+8）的增区间为（） A ．（﹣∞，1] B ． [1，+∞） C ．（﹣2，1] D ． [1，4）7．（3分）下列各式中值等于的是（）A ． sin15°cos15°B ．C ． cos2﹣sin2D ．8．（3分）下列向量中，可以作为基底的是（）A ． =（0，0），=（1，﹣2）B ． =（2，﹣3），=（﹣，）C ． =（3，5），=（6，10）D ．=（1，﹣2），=（5，7）9．（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）10．（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线x=对称D．f（x）的图象关于点（，0）对称11．（3分）函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜112．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．4πB．C．4πD．13．（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）D．[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）14．（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A．39 B．40 C．41 D．4315．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x ﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）求值：tan40°+tan20°+tan40°•tan20°=．17．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为．18．（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=．若||=，则•=．19．（3分）已知函数f（x）=+log a（a＞0且a≠1），且f（m）=7（m≠0），则f（﹣m）=．20．（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin （3x﹣π）+1在上的面积为．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，α∈（，），求cosα的值．22．（8分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．23．（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为∠COA=60°．记该梯形内部位于直线x=t（t＞0）左侧部分的面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象．24．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（﹣）•f（+）的单调递增区间．25．（8分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则∁U A=（）A．φB．{0，2，4} C．{1，3} D．{﹣1，1，3}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U及A，求出A的补集即可．解答：解：∵全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，∴∁U A={1，3}．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）D． [1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．解答：解：由题意解得x∈[1，2）∪（2，+∝）故选A点评：本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键．3．（3分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱考点：由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可．解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．4．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．解答：解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．6．（3分）函数y=lg（﹣x2+2x+8）的增区间为（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．（﹣2，1] D．[1，4）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=﹣x2+2x+8＞0，求得函数的定义域为（﹣2，4），函数y=lgt，本题即求函数t=﹣（x﹣1）2+9在（﹣2，4）上的增区间．再利用二次函数的性质可得结论．解答：解：令t=﹣x2+2x+8＞0，求得﹣2＜x＜4，故函数的定义域为（﹣2，4），函数y=lgt，故本题即求函数t=﹣（x﹣1）2+9在（﹣2，4）上的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t 在（﹣2，4）上的增区间为（﹣2，1]，故选：C．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．（3分）下列各式中值等于的是（）A．sin15°cos15°B．C．cos2﹣sin2D．考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：利用二倍角公式化简所给的各个式子的值，从而得出结论．解答：解：∵sin15°cos15°=sin30°=，故排除A．∵==tan45°=，故B满足条件．∵cos2﹣sin2 =cos=，故排除C．∴=cos=，故排除D，故选：B．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．8．（3分）下列向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（1，﹣2）B．=（2，﹣3），=（﹣，）C．=（3，5），=（6，10）D．=（1，﹣2），=（5，7）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，判断各个徐昂项中的两个向量是否共线，从而得出结论．解答：解：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，由于向量（1，2）和向量（5，7）不共线，故可以作为基底，而其它选项中的2个向量的坐标对应成比例，故其它选项中的2个向量是共线向量，不能作为基底，故选：D．点评：题主要考查基地的定义，两个向量是否共线的判定方法，属于基础题．9．（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．解答：解：∵函数满足 f（2）=＞0，f（3）=1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．10．（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线x=对称D．f（x）的图象关于点（，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）=sin[2（x ﹣）+]=sin（2x﹣）的图象，令x=，可得函数f（x）取得最大值为1，故f（x）的图象关于直线x=对称，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．（3分）函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜1考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a，b的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的（0，﹣1）点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系．解答：解：∵函数f（x）=log a（2x+b﹣1）是增函数，令t=2x+b﹣1，必有t=2x+b﹣1＞0，t=2x+b﹣1为增函数．∴a＞1，∴0＜＜1，∵当x=0时，f（0）=log a b＜0，∴0＜b＜1．又∵f（0）=log a b＞﹣1=log a，∴b＞，∴0＜a﹣1＜b＜1．故选：D．点评：本题考查对数函数的图象性质，考查学生的识图能力．考查学生的数形结合能力和等价转化思想．12．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．4πB．C．4πD．考点：球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，相当于一个长，宽，高分别均为2的正方体的外接球，故外接球的半径R=，故球的体积V==4，故选：A．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13．（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）D．[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得sinx+cosx≥0，即sin（x+）≥0，解三角不等式可得．解答：解：∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx≥0，即sin（x+）≥0，∴2kπ≤x+≤2kπ+π，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z故选：C点评：本题考查和差角的三角函数公式，属基础题．14．（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A．39 B．40 C．41 D．43考点：对数的运算性质．分析：现有细胞1000个，先求出经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，得到细胞总数y 与时间x（小时）之间的函数关系为y=1000×（）x，由1000×（）x＞1010，得x＞，由此能求出经过40小时，细胞总数超过1010个．解答：解：现有细胞1000个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=，2小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，3小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，4小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=1000×（）x，x∈N*由1000×（）x＞1010，得（）x＞107，两边取以10为底的对数，得xlg＞7，∴x＞，∵=≈39.77，∴x＞39.77．即经过40小时，细胞总数超过1010个．故选：B．点评：本题考查对数函数在生产生活中的具体应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘数量间的等量关系，合理地建立方程．15．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）求值：tan40°+tan20°+tan40°•tan20°=．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角和的正切公式变形可得可得tan40°+tan20°=tan（40°+20°）（1﹣t an40°tan20°），代入要求的式子化简可得．解答：解：由两角和的正切公式可得tan（40°+20°）=，∴tan40°+tan20°+tan40°•tan20°=tan（40°+20°）（1﹣tan40°tan20°）+tan40°•tan20°=（1﹣tan40°tan20°）+tan40°•tan20°=．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正切公式，正确变形是解决问题的关键，属基础题．17．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为3π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是π×12=π，圆柱的高是3，用底面积乘以高做出几何体的体积．解答：解：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是π×12=π圆柱的高是3，∴几何体的体积是3π故答案为：3π点评：本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体的形状和各个部分的长度．18．（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=．若||=，则•=．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：连接AP，可得AP⊥OP，Rt△APO中，AOcos∠AOP=OP，则有•==可求．解答：解：连接AP，则可得，AP⊥OP，∵=，||=，Rt△APO中，AOcos∠AOP=OP=∴•===故答案为：点评：本题主要考查了向量数量积的定义的应用，解题的关键是锐角三角函数定义的灵活应用．19．（3分）已知函数f（x）=+log a（a＞0且a≠1），且f（m）=7（m≠0），则f（﹣m）=﹣5．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣2，得到f（x）=﹣g（﹣x），代入即可得到f（﹣m）的值．解答：解：设g（x）=f（x）﹣2=+log a﹣2=+log a，∴g（﹣x）=+log a=﹣﹣log a=﹣f（x），∴f（x）=﹣g（﹣x），g（x）=f（x）﹣2，∴f（﹣m）=﹣g（m）=﹣f（m）+2=﹣7+2=﹣5，故答案为：﹣5点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，关键是构造函数g（x）=f（x）﹣2，属于中档题．20．（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin （3x﹣π）+1在上的面积为．考点：正弦函数的图象．专题：新定义．分析：根据三角函数的面积的定义，利用三角函数的关系即可得到所求函数的面积．解答：解：对于函数y=sin3x而言，n=3，∴函数y=sin3x在[0，]上的面积为：，将y=sin3x向右平移得到y=sin（3x﹣π）=sin3（x﹣）的图象，此时y=sin（3x﹣π）在上的面积为，将y=sin（3x﹣π）向上平移一个单位得到y=sin（3x﹣π）+1，此时函数在上上的面积为，故答案为：．点评：本题主要考查曲线面积的求法，根据三角函数面积的定义以及三角函数的图象关系是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，α∈（，），求cosα的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）正弦函数y=Asin（ωx+θ）的周期T=，初相是φ；（2）把f（）=代入函数解析式求得sin（α+）=，然后利用公式sin2α+cos2α=1和α的取值范围得到cos（α+）=﹣，所以cos=cos[（α+）﹣]，利用两角和与差的余弦将其展开，并代入相关数值进行求值即可．解答：解：（1）函数f（x）的最小正周期T==π，初相φ=；（2）由f（）=，得3sin（α+）=，则sin（α+）=，又α∈（，），∴α+∈（，π），∴cos（α+）=﹣因此，cos=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣×+×=﹣．点评：本题考查了正弦函数的图象，熟记公式的解题的关键，难度不大，属于基础题．22．（8分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）因为∥，所以设==（2λ，λ），再由||=3，得到λ．（2）+2与2﹣垂直得到数量积为0，求出，再由数量积公式求出向量的夹角θ．解答：解：（1）因为||=3，且∥，设==（2λ，λ），则==3，解得λ=±3，所以=（6，3）或（﹣6，﹣3）；（2）因为||=，且+2与2﹣垂直，所以（+2）•（2﹣）=0 即2=0，∴2×5﹣2×﹣3=0，解得=…（10分）所以cosθ==﹣1，又θ∈[0，π]，所以θ=π，与的夹角为π．点评：本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答23．（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为∠COA=60°．记该梯形内部位于直线x=t（t＞0）左侧部分的面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，讨论P∈OD、DE、EA以及Ax时，求出函数f（t）的解析式，利用分段函数写出f（t）的解析式并画出函数的图象．解答：解：如图所示，过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，则|OD|=|DE|=|EA|=1，|C D|=|BE|=；所以，①当P∈OD，即t∈（0，1]时，f（t）=•t•t=t2；②当P∈DE，即t∈（1，2]时，f（t）=•[（t﹣1）+t]•=（2t﹣1）；③当P∈EA，即t∈（2，3]时，f（t）=•（1+3）•﹣•（3﹣t）2=（﹣t2+6t﹣5）；④当P∈Ax，即t∈（3，+∞）时，f（t）=•（1+3）•=2；综上，f（t）=；画出函数f（t）的图象如图2所示．点评：本题考查了求分段函数的解析式、画分段函数的图象的应用问题，是基础题目．24．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（﹣）•f（+）的单调递增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（2）求出g（x）的表达式，利用三角函数的单调性即可求出单调递增区间．解答：解：（1）由图象知函数的周期T=2（）=π，即ω==2，则f（x）=Asin（2x+φ），∵0＜φ＜，∴由五点对应法知2×+φ=π，解得φ=，即f（x）=Asin（2x+），∵f（0）=Asin==1，∴A=2，即函数f（x）的解析式f（x）=2sin（2x+）；（2）g（x）=f（﹣）•f（+）=2sin（x﹣+）•2sin（x++）=4sinxsin（x+）=4sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣）+1，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即g（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．综合考查三角函数的性质．25．（8分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（0）=0求出k的值，分离参数得到t＞2sinθ+2cosθ=2sin（θ+），根据三角形函数的性质即可求出t范围．（2）由f（1）=，可解得a=2，于是可得f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），通过对m范围的讨论，结合题意h（t）min=﹣1，即可求得m的值解答：解：（1）∵函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，解得k=2，∴f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=a﹣＞0，且a＞0且a≠1，∴a＞1，∴f（x）是定义域为R的奇函数且单调递增，∵f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立，∴sin2θ+cos2θ+1﹣tcosθ＜0，即tcosθ＞sin2θ+cos2θ+1=2sinθcosθ+2cos2θ，∵θ∈（0，），∴cosθ（0，1），则t＞2sinθ+2cosθ=2sin（θ+），又当θ=时，2sin（θ+）的最大值为2，∴t＞2，∴t的取值范围为（2，+∞）；（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=，∴a﹣=，解得a=2．故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），∴g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），当m≥时，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣1，解得m=，或m=（舍去），当m＜时，当t=，h（t）min=﹣3m=1，解得m=（舍去）．综上，m的值是2．点评：本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，函数恒成立的问题，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合U＝{1, 3, 4, 5, 7, 9}，A＝{1, 4, 5}，则∁U A＝（）A.{3, 9}B.{7, 9}C.{5, 7, 9}D.{3, 7, 9}2. 函数y=√x−1+lg(3−x)的定义域为（）A.(1, 3)B.[1, 3)C.(3, +∞)D.[1, +∞)3. 若函数f(x)＝x2+mx−4m在区间[−1, 4]上单调，则实数m的取值范围为（）A.(−∞, −8]∪[2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, −8]D.(−∞, −2]∪[8, +∞)4. 函数y=3x3x+2x的值域为（）A.(0, +∞)B.(−∞, 1)C.(1, +∞)D.(0, 1)5. 已知函数f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，对于任意实数x，y∈(0, +∞)都满足f(xy)＝f(x)+f(y)，若f(3)＝1且f(m)<f(1−m)+2，则实数m的取值范围为（）A.(0, 1)B.(0, 2)C.(910,1) D.(0,910)6. 设a＝log1314，b＝(14)14，c＝(13)13，则a，b．c的大小关系是（）A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b7. 幂函数的图象经过点(12,2)，若0<a<b<1，则下列各式正确的是（）A.f(a)<f(b)<f(1b )<f(1a) B.f(1a)<f(1b)<f(b)<f(a)C.f(a)<f(b)<f(1a )<f(1b) D.f(1a)<f(a)<f(1b)<f(b)8. 对于一个声强为I为（单位：W/m2）的声波，其声强级L（单位：dB）可由如下公式计算：L＝10lg II0（其中I0是能引起听觉的最弱声强），设声强为I1时的声强级为70dB，声强为I 2时的声强级为60dB ，则I 1是I 2的（）倍 A.10 B.100C.1010D.100009. 已知函数f(x)=3sin (2x −π3)，下列结论中正确的是（） A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于直线x =π6对称 C.函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称 D.函数f(x)在(−π12,5π12)内是增函数10. 为了得到函数y ＝3sin 2x +1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点（） A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B.横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D.横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度11. 扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（） A.1或5 B.1或2 C.2或4 D.1或412. 若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cos B −sin A, sin B −cos A)在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限13. 已知函数f(x)=3sin (π2x +2)，若对于任意的x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1−x 2|的最小值为（） A.4 B.1 C.12D.214. 已知平面向量a →=(1, −3)，b →=(4, −2)，若λa →−b →与a →垂直，则实数λ＝（） A.−1 B.1 C.−2 D.215. 如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP →⋅CQ →的最小值为（）A.−6B.−3−2√2C.−3−√2D.−4二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）计算：(−8125)−23+log 3√2743−log 29⋅log 32=________．若f(x)对于任意实数x 都有2f(x)−f(1x )=2x +1，则f(12)=________．已知sin α+2cos αsin α−2cos α=5，则cos 2α+12sin 2α=________．已知sin (α2−π4)=√210，则sin α＝________．若存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin 2(ωx +φ)的部分图象如图所示，则ω的值为________．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）若函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，f(2)<3．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数f(x)在(−∞, −1]上的增减性，并证明．设向量a →=(cos α, λsin α)，b →=(cos β, sin β)，其中λ>0，0<α<β<π2，且a →+b →与a →−b →相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若a →⋅b →=45，且tan β＝2，求tan α的值．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点N 、M 满足AN →=λAB →，AM →=(1−λ)AC →，λ∈R ，设AC →=a →，AB →=b →．（1）试用向量a →和b →表示BM →，CN →；（2）若BM →⋅CN →=−32，求λ的值．将函数g(x)=4sin x cos (x +π6)的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)的图象．（1）若f(x)为偶函数，求f(φ)的值；（2）若f(x)在(π,76π)上是单调函数，求φ的取值范围．已知函数f(x)＝|x −a|−1，（a 为常数）．（1）若f(x)在x ∈[0, 2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知g(x)＝x ⋅f(x)+a −m ，若存在实数a ∈(−1, 2]，使得函数g(x)有三个零点，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】 D 14. 【答案】 B 15.【答案】 B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）【答案】 4【答案】 3【答案】 25【答案】2425【答案】 2三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【答案】根据题意，函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，则f(−1)＝−2，又由f(2)<3，则有{ a+1b+c =2a+1−b+c =−24a+12b+c <3 且a 、b 、c ∈N ，解可得a ＝1，b ＝1，c ＝0；由（1）可得：f(x)=x 2+1x=x +1x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数，设x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1x 2−1)(x 1−x 2)x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0且(x 1x 2−1)>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数．【答案】由a →+b →与a →−b →互相垂直，可得(a →+b →)⋅(a →−b →)=a →2−b →2＝0，所以cos 2α+λ2sin 2α−1＝0，又因为sin 2α+cos 2α＝1，所以(λ2−1)sin 2α＝0，因为0<α<π2，所以sin 2α≠0，所以λ2−1＝0，又因为λ>0，所以λ＝1．由（1）知a →=(cos α, sin α)，由a →⋅b →=45，得cos αcos β+sin αsin β=45，即cos (α−β)=45，因为0<α<β<π2，所以−π2<α−β<0，所以sin (α−β)=−√1−cos 2(α−β)=−35，所以tan (α−β)=sin (α−β)cos (α−β)=−34，因此tan α＝tan (α−β+β)=tan (α−β)+tan β1−tan (α−β)tan β=12．【答案】BM →=AM →−AB →=(1−λ)AC →−AB →=(1−λ)a →−b →； CN →=AN →−AC →=λAB →−AC →=λb →−a →； BM →⋅CN →=−32，即[＝(1−λ)a →−b →]•(λb →−a →)＝[λ(1−λ)+1]a →⋅b →−λb →2−(1−λ)a →2＝(λ−λ2+1)⋅2⋅2⋅12−4λ−4(1−λ)=−32，化为4λ2+1−4λ＝0，解得λ=12．【答案】∵ g(x)=4sin x(√32cos x −12sin x)=√3sin 2x −(1−cos 2x)=2sin (2x +π6)−1， ∴ 函数g(x)＝2sin (2x +π6)−1的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)=2sin (2x +π6+2φ)−1的图象，又f(x)为偶函数，则π6+2φ=π2+kπ(k ∈Z)，∵ 0<φ≤π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝2sin (2x +π2)−1＝2cos 2x −1，f(φ)＝f(π6)＝2cos π3−1＝0． ∵ x ∈(π,7π6)，∴ 2x +π6+2φ∈(2π+π6+2φ,2π+π2+2φ)， ∵ 0<φ≤π2，∴ π6+2φ∈(π6,7π6]，π2+2φ∈(π2,3π2]，∵ f(x)在(π,7π6)上是单调函数．∴ π6+2φ≥π2，且0<φ≤π2，∴ φ∈[π6,π2]．【答案】f(x)={x −a −1,x ≥a−x +a −1,x <a，当a ≥1时，f(x)max ＝f(0)＝3，∴ a ＝4；当a <1时，f(x)max ＝f(2)＝3，∴ a ＝−2；综上：a ＝4或−2．g(x)＝x|x −a|−x +a −m ＝0有三个零点，等价于ℎ(x)＝x|x −a|−x +a 和y ＝m 有三个不同的交点， ℎ(x)={x 2−ax −x +a,x ≥a−x 2+ax −x +a,x <a ，当1≤a ≤2时，ℎ(x)在(−∞, a−12)上递增，在(a−12, a+12)递减，在(a+12, +∞)递增；∴ 0<m <ℎ(a−12)，即0<m <(a+1)24∈(1, 94]，∴ 0<m <94．当−1<a <1时，ℎ(x)在(a−12, a+12)上递减，在(−∞, a−12)(a+12, +∞)上递增；∴ ℎ（(a+12)<m <ℎ(a−12)即−(a−1)24<m <(a+1)24，∴ −1<m <94．。

长沙市长郡中学2022-2023学年高一上数学期末含解析

C.1D.
12．若方程x2+2x+m2+3m=mcos(x+1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m的值为（）
A.2B.-2
C.4D.-4
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知，则的最小值为_______________.
14．已知点是角终边上任一点，则 __________
15．在平行四边形中，为上的中点，若与对角线相交于，且，则 __________
（1）当时，求的最值；
（2）设，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数为偶函数
（1）求a的值，并证明在上单调递增；
（2）求满足的x的取值范围
22．2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.
【点睛】关键点点睛：构造函数，求出的对称轴，利用对称的性质得出 .
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、 ##2 25
【解析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为 .
故答案为： .
14、 ##
【解析】将所求式子，利用二倍角公式和平方关系化为，然后由商数关系弦化切，结合三角函数的定义即可求解.
则这个试验的样本空间可记为，共包含个样本点，
记事件选出的名同学中恰有一名同学身高在内.
则事件包含的基本事件有、、，共种，故 .
19、（1）；（2） .
【解析】（1）时，求出集合，，从而求出，由此能求出

2020-2021学年长沙市长郡中学高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年长沙市长郡中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.已知集合A ={0,1,2}，B ={x|x 2+x −2≤0}，则A ∩B =( )A. {0}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}2.下列语句不是全称量词命题的是( )A. 任何一个实数乘以零都等于零B. 自然数都是正整数C. 高一(1)班绝大多数同学是团员D. 每一个实数都有大小3.若tanα=3，则4sin 2α−sinαcosα+cos 2α的值为( )A. −175B. 175C. 3D. −34.已知条件p:不等式的解集为R ；条件q:指数函数为增函数，则p 是q 的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件5.与函数y =x 是同一函数的函数是( )A. y =√x 2B. y =√x 33C. y =(√x)2D. y =x2x6.函数g(x)=lnx −1x 的零点所在区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7.若角的终边上有一点，则的值是( )A.B.C.D.8.函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )A. 12B. 32C. 2D. 49.函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，要得到函数g(x)=2sin(2x +π4)的图象，只需将函数f(x)的图象( )A. 向右平移π12长度单位 B. 向左平移π24长度单位 C. 向左平移π12长度单位D. 向右平移π24长度单位10. 设，且，则= ( )A. 100B. 20C. 10D.11. 已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致是( )A.B.C.D. 图象大致形状是( )12. 若x +4x−1≥m 2−2am −3对所有的x ∈[2,4]和a ∈[−1,1]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. [−4,2]B. [−2,4]C. [−2,2]D. [−4,4]二、多选题（本大题共3小题，共9.0分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点B (x,y )的轨迹方程是y =f (x )，则对函数y =f (x )的判断正确的是( )A. 函数y =f (x )是奇函数B. 对任意的x ∈R ，都有f (x +4)=f (x −4)C. 函数y =f (x )的值域为[0,2√2]D. 函数y =f (x )在区间[6,8]上单调递增14. 已知实数a ，b ，c 满足a >b >c 且abc <0，则下列不等关系一定正确的是( )A. ac >bcB. c a >cbC. b a +ab >2D. aln|c|>bln|c|15. 下列关于函数y =tan(−2x +π3)的说法正确的是( )A. 在区间(−π3,−π12)上单调递增 B. 最小正周期是π2C. 图象关于点(5π12,0)成中心对称D. 图象关于直线x =−π12成轴对称三、单空题（本大题共5小题，共15.0分）16. 计算2log 214−(827)23+lg 1100+(√2−1)lg1的值为______． 17. 周长为6的等腰△ABC 中，当顶角A =π3时，S △ABC 的最大值为√3，周长为4的扇形OAB 中，则当圆心角α，|α|=∠AOB = ______ (弧度)时，S 扇形△AOB 的最大值是1． 18. 设4a =5b =m ，且1a +2b =1，则m =______．19. 广州市出租车收费标准如下：在3km 以内路程按起步价9元收费，超过3km 以外的路程按2元/km收费，另每次收燃油附加费1元，则收费额Q 关于路程s 的函数关系是______ ．20. 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2−x −1=0的两实数根，则x 12+x 22= ______ ．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21. (1)1.513×(−76)0+80.25×√24+(√23×√3)6−√(23)23； (2)12lg3249−43lg8+lg √245．22. 为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．23. (本小题满分12分) 向量(1)若a 为任意实数，求g(x)的最小正周期； (2)若g(x)在[o,)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值，24. 某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB ⏜、CD ⏜所在圆的半径分别为f(x)、R 米，圆心角为θ(弧度)．(1)若θ=π3，r 1=3，r 2=6，求花坛的面积；(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？25.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=log2x.(1)求当x<0时函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2−1)>2．参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵集合A={0,1,2}，B={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，∴A∩B={0,1}．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：C解析：根据全称量词命题与存在量词命题的定义，直接判断即可．本题考查了全称量词命题与存在量词命题的定义，属于基础题．解：A，B，D中含有“任何一个”“都是”“每一个”，是含有全称量词的全称量词命题，而C中命题可以改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，所以C不是全称量词命题，故选：C．3.答案：B解析：先利用同角三角函数的基本关系把1换成sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2α，最后把tanα的值代入即可求得答案．本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．解：∵tanα=3，则4sin2α−sinαcosα+cos2α=4sin2α−sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=4tan2α−tanα+1 tan2α+1=4×9−3+19+1=175故选B．4.答案：C。

【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题

【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学【最新】高一上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}13A =，，集合{}1245B =，，，，则集合A B =（）A ．{1,3，1，2，4，5}B ．{}1C ．{1,2，3，4，5}D ．{2,3，4，5}2．已知tan α=2παπ<<，则sinα的值为（）A ．12B C ．12-D ． 3．已知4a =，3b =，且a 与b 不共线，若向量k +a b 与-a kb 互相垂直，则k 的值为（）A ．43±B ．34±C ．D ．±4．如果奇函数()f x 在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则()f x 在区间[-8，-2]上是（）A ．增函数且最小值为6-B ．增函数且最大值为6-C ．减函数且最小值为6-D ．减函数且最大值为6-5．函数237x f x x =+-（）的零点所在的区间是（） A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,36．ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222a c b ab -+=，则C =（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．60°或120°7．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 0a A b B -=，则ABC ∆的形状一定是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．已知集合26112x x A x ＜--⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,(){}41B x log x a =+<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（） A ．12a <<B ．12a ≤≤C ．D ．12a <≤9．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝（）. A ．43-B ．34C ．43D ．34-10．化简()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭πππαπαααππαπαπαα的结果是（）A ．1B ．sin αC ．tan α-D ．tan α11．先把函数()sin()6f x x π=-的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()y g x =的图象，当3(,)44x ππ∈时，函数()g x 的值域为（）A．( B ．1(,1]2-C．( D ．[1,0)-12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知[23]x ∈，时，()f x x =，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（） A ．4x +B ．2x -C ．31x -+D ．21x -+13．若函数()sin f x x x ωω=，0>ω，x ∈R ，又1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值为32π，则ω的值为 A ．13B ．23C ．43D ．214．如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP x ∠=（0≤x ≤2π），向量OP 在()=1,0a 方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．15．已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，()()121021222x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨-⎪⎩，＜，＞则关于x 的方程()()2610--=⎡⎤⎣⎦f x f x 的实数根个数为（） A ．6 B ．7C ．8D ．9二、填空题16．0lg 2lg 5π++=______． 17．已知tan 3α=，则2sin cos cos 3sin αααα-+=______．18．已知向量a ，b 满足2b =，a 与b 的夹角为60︒，则b 在a 上的投影是_________． 19．若函数()223=--f x x kx 在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是______．上的一点，且CA CBCP x y CACB =⋅+⋅，则11x y+的最小值为______．三、解答题21．已知集合()(){}|320A x x x =+-≤，{}|14B x x =≤≤．（1）求AB ；（2）求()R A B ．22．设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b Aa B=．（1）求角B 的大小；（2）若b =sin 2sin C A =，求a ，c 的值．23．已知函数()23cos cos 2=-+f x x x x ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且()()f f αβ=，求()tan αβ+的值． 24．已知向量()25cos ,sin ,(cos ,sin ),5a b a b ααββ==-=. （1）求cos()αβ-的值；（2）若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α. 25．已知二次函数()2f x x x =+，若不等式()()2f x f x x -+≤的解集为C ．（1）求集合C ；（2）若函数()()11xxg x f a a=--（a ＞0且a ≠1）在集合C 上存在零点，求实数a的取值范围．参考答案1．C 【解析】【分析】集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A B ⋃，由此利用集合{}13A =，，集合{}1245B ，，，=，能求出集合A B ⋃．【详解】解：∵集合{}13A =，，集合{}1245B ，，，=， ∴集合{}12345A B ⋃=，，，，．故选C ．【点睛】本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2．B 【解析】【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解．【详解】解：∵tan α=∴22sin cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得212sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或212sin cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∵π2απ<<，∴sin α=．故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3．A 【分析】由向量a kb +与a kb -互相垂直，得()()22221690a kb a kb ak b k +-=-=-=，由此能求出k ．【详解】解：∵4a =，3b =，且a 与b 不共线，向量a kb +与a kb -互相垂直， ∴()()22221690a kba kb ak b k +-=-=-=，解得43k =±．故选：A ．【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 4．D 【分析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即()86f =，且()6f x ≥，又由()f x 为奇函数，则()f x 在区间[-8，-2]上是减函数，且()86f -=-，则有()6f x ≤-，故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题． 5．C 【分析】判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．【详解】解：函数()237xf x x =+-，因为2xy =是增函数，37y x =-是增函数，所以函数()237xf x x =+-是增函数．()111002f -=-<． ()0170f =-<．()12370f =+-<. ()24670f =+->．．函数()237xf x x =+-的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C ．【点睛】一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点. 6．B 【解析】【分析】直接由已知结合余弦定理求解．【详解】解：在ABC 中，由222a c b ab -+=，可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，∵0180C ︒<<︒， ∴60C =︒．故选：B ．【点睛】本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题． 7．D 【分析】由已知等式结合正弦定理，可得sin 2sin 2A B =，再结合三角形中角的范围分析角,A B 的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】由cos cos 0a A b B -=结合正弦定理，可得sin cos sin cos 0A A B B -=，则sin 2sin 2A B =. 所以22A B =或22πA B +=.所以A B =或π2A B +=. 所以ABC △是等腰三角形或直角三角形.故选D. 【点睛】本题考查解三角形问题，应用正弦定理判断三角形的形状.若已知等式中各项都含有边(或角的正弦)，可以直接利用正弦定理实现边角的转化. 解三角形的问题中经常需要用到三角恒等变换，这就需要牢记并熟练运用诱导公式、和差角公式、二倍角公式等，还要结合三角形内角的取值范围，合理地进行取舍，做到不漏解也不增解. 8．B 【解析】【分析】解指数不等式求得A ，解对数不等式求得B ，再根据A B ⋂=∅，求得实数a 的取值范围．【详解】解：由2611122x x --<⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得260x x -->，解得3x >，或2x <-，故()()23A =-∞-⋃+∞，，．由()44log 1log 4x a +<=，可得04x a <+<，解得4a x a -<<-，∴B=（-a ，4-a ）．若A B ⋂=∅，则有243a a -≥-⎧⎨-≤⎩，解得12a ≤≤，故选：B ．【点睛】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题． 9．A 【分析】由1cos 5x α==，可求得x 的值，利用正切函数的定义即可得到结果. 【详解】1cos 5x α==, 因为α是第二象限角,0x ∴≠,5=,解得3x =±,又α是第二象限角,3x ∴=-,44tan 33α∴==--，故选A . 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,属于基础题. 10．C 【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【详解】解：()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭=()()()()()sin cos sin sin cos sin sin cos αααααααα----- tan α=-．故选：C ．【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 11．A 【解析】试题分析：把函数()sin()6f x x π=-的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），可得函数sin(2)6y x π=-；再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()sin[2(]36y g x x ππ==--）5sin(2)6x π=-的图象，当3(,)44x ππ∈时，522(,)633x πππ-∈-，故当526x π-趋向于3π-时，()g x 的最小值趋向于526x π-趋向于2π时，()g x 的最大值趋向于1，故选A. 考点：三角函数的图象与性质. 12．C 【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合[]2,3x ∈时，()f x x =，可得答案．【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，[]2,3x ∈时，()f x x =，∴[]21x ∈--，时， []20,1x +∈，[]42,3x +∈，此时()()44f x f x x =+=+，[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，[]22,3x -∈，此时()()()22f x f x f x x =-=-=-，综上可得：[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+ 故选：C ．【点睛】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档． 13．A 【解析】1π()2(sin )2sin 23f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为12||x x -的最小值为3π42T =，所以26π=T πω=，所以13ω=，故选A ． 14．C【解析】试题分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点时的值，再研究点P 从点向点运动时的变化规律，由此即可得出正确选项,设边与轴交点为点，由已知可得因而可得，由此正三角形的边长为连接，可得即则，由图可知当时，射影取到最小值，其大小为由此可排除选项；又当点P 从点向点运动时，变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图像趋于平缓，由此可排除，故选．考点：1、函数的综合应用；2、、排除法；3、特殊值法． 15．B 【解析】【分析】先设()t f x =，求出方程()()2610f x f x ⎡⎤--=⎣⎦的解，利用函数的奇偶性作出函数在0x >时的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：设()t f x =，则关于x 的方程()()2610f x f x ⎡⎤--=⎣⎦，等价2610t t --=，解得12t =或13t =-，当0x =时，()00f =，此时不满足方程．若24x <≤，则022x <-≤，即()()()31122122x f x f x -=-=-，若46x <≤，则224x <-≤，即()()()51122124x f x f x -=-=-，作出当0x >时，()121,0212,22x x f x x -⎧-<≤⎪⎨->⎪⎩的图象如图：当12t =时，()12f x =对应3个交点． ∵函数()f x 是奇函数， ∴当0x <时，由()13f x =-，可得当0x >时，()13f x =，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B ．【点睛】本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 16．2 【解析】【分析】利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．【详解】解：0lg2lg5π++lg101=+，2=．故答案为：2．【点睛】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 17．12【解析】【分析】直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【详解】解：∵tan 3α=，∴2sin cos 2tan 12311cos 3sin 13tan 1332αααααα--⨯-===+++⨯．故答案为：12．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 18．1 【解析】试题分析：根据已知条件可知2b =，那么由a 与b 的夹角为60︒，可知cos 60︒=·1?1?1222·a ba b a b a a a b=∴=∴=,故b 在a 上的投影是1，答案为1. 考点：本试题主要考查了向量的数量积概念和性质，理解其几何意义的运用．点评：解决该试题的关键是求解投影转化为求解数量积·a b 除以a 得到结论．注意数量积的几何意义的运用．19．(][),816,-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】若函数()223f x x kx =--在区间[]2,4-]上具有单调性，则24k ≤-，或44k≥，解得答案. 【详解】解：若函数()223f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性，则24k ≤-，或44k≥ 解得(][),816,k ∈-∞-⋃+∞ 故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20．712+【分析】设AB c =，BC a =，AC b =，由sin cos sin B A C =⋅结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求90C =︒，再由9AB AC ⋅=，6ABCS=，可求得5c =，3b =，4a =，考虑建立直角坐标系，由P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤，设出单位向量1CA e CA=，2CB e CB=，()11,0e =，()20,1e =推出3x λ=，44y λ=-则4312x y +=，而利用11x y+，利用基本不等式求解最小值．【详解】解：ABC 中设AB c =，BC a =，AC b = ∵sin cos sin B A C =⋅∴()sin sin cos A C C A += 即sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=∴sin cos 0A C =∵sin 0A ≠∴cos 0C =，90C =︒ ∵9AB AC ⋅=，6ABCS =∴cos 9bc A =，1sin 62bc A = ∴4tan 3A =，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc = ∴5c =，3b =，4a =以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得()0,0C ，()3,0A ，()0,4B .P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤ 设1CA e CA=，2CB e CB=则121e e ==，()11,0e =，()20,1e = 由CP x =，()()(),00,,CA CB yx y x y CACB+=+=，∴3x λ=，44y λ=-，则4312x y +=．（也可以直接利用P 为线段AB 上的一点，三点共线，可得：134x y+=，）()111111347437+1212123y x x u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故所求的最小值为7123+故答案为：712+【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x ，y 与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由3x λ=，44y λ=-发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值． 21．（1）{}|12A B x x ⋂=≤≤（2）(){|3UA B x x ⋃=<-或2}x >【分析】（1）求出集合A ，B ，由此能求出A∩B ；（2）求出{}|32UA x x x 或=-，由此能求出()R AB ⋃．【详解】解：（1）∵集合()(){}|320A x x x =+-≤，{}|14B x x =≤≤，． ∴{}|12A B x x ⋂=≤≤．（2）{}|32RA x x x =-或，∴(){}|32RA B x x x ⋃=-或．【点睛】本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题． 22．（1）3B π=（2）2a =，4c =【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tan B 的值，结合范围B ∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B 的值；（2）由已知及正弦定理可得2c a =，利用余弦定理可求229a c ac =+-，联立即可解得a ，c 的值. 【详解】解：（1）∵sin cos b Aa B=．又∵由正弦定理sin sin a b A B =，可得：sin sin b A B a =，∴可得：sin tan cos BB B== ∵B ∈（0，π）， ∴3B π=．（2）由sin 2sin C A =及正弦定理sin sin a bA B=，得c =2a ，①．又b =3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2212a c ac =+-，②由①②得2a =，4c =．【点睛】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23．（1）63k k ，ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈（2）()tan αβ+=【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间；（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．【详解】解：（1）函数()23cos cos 2f x x x x =-+．1cos23222x x +=-+， sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈，解得：63k x k ππππ-+≤≤+()k Z ∈，故函数的单调递增区间为：63k k ，ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈．（2）由于()πsin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()sin 216f παα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()sin 216f πββ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，角α，β的终边不共线，所以223παβπ+-=，整理得23παβ+=，所以()tan αβ+= 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用． 24．（1）35；（2）3365.（1）对等式25a b -=进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出sin()αβ-的值，再由同角三角函数关系式结合sin β的值求出cos β的值，最后利用两角和的正弦公式求出sin α的值即可. 【详解】（1）22225443()2555a b a b a b a b a b -=⇒-=⇒+-⋅=⇒⋅= 33cos cos sin sin cos()55αβαβαβ⇒+=⇒-=；（2）因为0,022ππαβ<<-<<，所以0αβπ<-<，而3cos()5αβ-=，所以4sin()5αβ-==，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==. 因此有33sin sin[()]sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-=. 【点睛】本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.25．（1）[]1,1C =-（2）103a ≤＜或11a ≥ 【解析】【分析】（1）把函数()2f x x x =+代入不等式，化简解答即可；（2）先把函数()2f x x x =+代入方程()1110xx f aa+--=（0a >且1a ≠），方程()1110x x f a a +--=（0a >且1a ≠）在C 上有解，转化为x a 在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．解：（1）()()22f x f x x +-=当0x ≥时，22201x x x ≤⇒≤≤，当0x <时，22210x x x ≤-⇒-≤＜， ∴集合[]1,1C =-．（2）()()()211101110x x xxf a a a a a+--=⇒---=，令x a u =则方程为()()21110h u u a u =---=，()011h =-，x u a =，[]1,1x ∈-，对称轴12a x -= 当2a >时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴112a a a -<< 函数在区间1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内先单调递减，再单调递增此时()11002a h h h a -⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()110h a a =-≥即可解得：11a ≥当12a <≤时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴112a a a-<< 函数在区间1,a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增则()()221111110111110h a a a a h a a a a ⎧⎛⎫=-+-≤⎪ ⎪⇒≥⎝⎭⎨⎪=---≥⎩，又12a <≤ 此时无解当01a <<时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴1102a a a-<<< 函数在区间1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增则()212111110103110h a a a a h a a ⎧⎛⎫=-+-≥⎪ ⎪⇒≤⎝⎭⎨⎪=-≤⎩＜，∴当103a ≤＜或11a ≥时，方程在C 上有解，且有唯一解．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

长沙市长郡中学2022-2023学年高一上数学期末达标检测模拟试题含解析

【小问1详解】
解：当时，，或，
∴
【小问2详解】
解：∵ 或，∴ ，
∵“ ”是“ ”的充分不必要条件，
∴ 是的真子集，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故实数的取值范围为
19、（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）根据的定义域列出不等式即可求出；
（2）可得，即可求出最值.
【小问1详解】
的定义域是，，
2、C
【解析】如图所示，直线额倾斜角为，故斜率为，由点斜式得直线方程为 .
考点：直线方程.
3、A
【解析】将写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出的取值范围.
【详解】因为，所以，
当在上单调递增时，，所以，
当在上单调递增时，，所以，
当时，
．
【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质、三角形及矩形形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18、（1）
（2）
【解析】（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；
（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
【点睛】本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题
10、C
【解析】①当，，且，则，反之当，必有 .
②当，，且，则，反之，若，则，
，所以 .
③当，则；反之，， .
综上所述，“存在集合使得是“ ”的充要条件.
考点：集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题.
11、D
【解析】从集合A到集合B的函数，即定义域是A，值域为B，逐项判断即可得出结果.

长郡高一期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $\frac{1}{3}$D. $\sqrt[3]{8}$2. 如果 $a > b$，那么下列不等式中正确的是（）A. $a + 2 > b + 2$B. $a - 2 < b - 2$C. $2a > 2b$D. $-2a < -2b$3. 已知函数 $f(x) = 2x - 3$，则 $f(2x - 1)$ 的值为（）A. $4x - 5$B. $4x - 7$C. $2x - 5$D. $2x - 7$4. 在 $\triangle ABC$ 中，$a = 5$，$b = 7$，$c = 8$，则 $\sin A$ 的值为（）A. $\frac{8}{15}$B. $\frac{7}{15}$C. $\frac{5}{7}$D.$\frac{5}{8}$5. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前三项分别为 $1$，$4$，$7$，则该数列的公差为（）A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$6. 下列命题中，正确的是（）A. 若 $a > b$，则 $a^2 > b^2$B. 若 $a > b$，则 $a - b > 0$C. 若$a^2 > b^2$，则 $a > b$D. 若 $a^2 > b^2$，则 $a > b$ 或 $a < -b$7. 若复数 $z = a + bi$（$a$，$b$ 是实数）满足 $|z| = 1$，则 $z$ 在复平面上的对应点一定在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 已知 $x^2 - 5x + 6 = 0$，则 $x^3 - 5x^2 + 6x$ 的值为（）A. $-1$B. $1$C. $0$D. $6$9. 下列函数中，定义域为实数集的是（）A. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$B. $f(x) = \frac{1}{x}$C. $f(x) =\log_2(x - 1)$ D. $f(x) = x^2 + 1$10. 在 $\triangle ABC$ 中，$a = 6$，$b = 8$，$c = 10$，则 $\cos A$ 的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{6}$D.$\frac{6}{5}$二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若 $a^2 - 4a + 3 = 0$，则 $a^3 - 6a^2 + 9a - 3$ 的值为______。

湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)

湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数1()ln(2)f x x x=-+的定义域是（）A ．(],2-∞B ．()0,2C ．()(),00,2-∞ D ．()(],00,2-∞⋃2．命题“2R,330x x x ∃∈-+≤”的否定是（）A ．2R,330x x x ∀∈-+>B ．2R,330x x x ∀∈-+≥C ．2R,330x x x ∃∈-+>D ．2R,330x x x ∃∈+≥3．用二分法求函数()y f x =在区间[]2,4上零点的近似值，经验证有()()240f f ⋅<，取区间的中点12432x +==，计算得()()120f f x ⋅<，则此时零点0x 满足（）A ．01x x =B ．01x x >C ．023x <<D ．02x <4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈）A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.65．若π3cos()25α-=，且π(,π)2α∈，则5πtan()4α+=（）A ．34-B ．34C ．17D ．76．若正实数x ，y 满足121x y+=，则x +2y 的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数()[]22ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．若函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +偶函数，()1f x -关于点()3,3成中心对称，则下列说法正确的个数为（）①()f x 的一个周期为2②()223f =③()f x 的一条对称轴为5x =④()19157i f i ==∑A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．设函数21,2()2log (1),2xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，若()1f x =，则x 的取值可能是（）A ．0B ．3C ．1-D ．210．下列各式中，值为12的是（）A ．5sin6πB ．2sin15cos15︒︒C ．22cos 151︒-D︒11．生活经验告诉我们，a 克糖水中有b 克糖（a >0，b >0，且a >b ），若再添加c 克糖（c >0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：b c ba c a+>+.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）A ．若0,0a b m >>>，则b m a m ++与ba的大小关系随m 的变化而变化B ．若00a b m >><，，则b b m a a m+<+C ．若00a b c d >>>>，，则b db ca d a c++<++D ．若0,0a b >>，则一定有1111a b a ba b a b a b +<+++++++12．已知函数()121xmf x =-+是奇函数，下列选项正确的是（）A ．2m =B ．函数()f x 在[)1,2-上的值域为13,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．12,x x ∀∈R ，且12x x ≠，恒有()()()()1212x x f x f x -->D ．若x ∀∈R ，恒有()()2212f x f ax x -<-充分不必要条件为5a >三、填空题13．半径为2cm ，圆心角为2π3的弧长为___________cm .14．已知常数0a >，1a ≠，假设无论a 为何值，函数()log 21a y x =-+的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是______．15．已知3R341,R 8E x m x m m ⎧⎫=∈-<<+∈⎨⎬⎩⎭∣，若“a E ∈”是“函数()()23417f x ax a x =--+在区间[]0,1上为增函数”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为___________.16．已知函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>，若至少存在两个不相等的实数[]12,,2x x ππ∈，使得()()122f x f x A +=，则实数ω的取值范围是________．四、解答题17．已知集合{}413A x x =-≤-≤，{}2434B x m x m =-<<+．(1)若0m =，求A B ⋂；(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围．18．已知3π是函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x =++的一个零点.(1)求实数a 的值；(2)求()f x 单调递减区间.19．设函数()()()4f x x x a =--，R a ∈．(1)解关于x 的不等式，()0f x <；(2)当()4,x ∞∈+时，不等式()16f x ≥-恒成立，求a 的取值范围．20．已知()g x 是定义在()2,2-上的奇函数，且()()2f x g x =+.(1)若()4f a =，求()f a -的值；(2)对任意的1x ，()22,2x ∈-，12x x ≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，解关于x 的不等式()()214f x f x -+>.21．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y （元）与时间x （天）的关系在ABC 段可近似地用函数sin()20(0,0,0)y a x a ωϕωϕπ=++>><<的图像从最高点A 到最低点C 的一段来描述（如图），并且从C 点到今天的D 点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF 段所示，且DEF 段与ABC 段关于直线:34l x =对称，点B 、D 的坐标分别是(12,20)、(44,12)．（1）请你帮老张确定a ωϕ、、的值，写出ABC 段的函数表达式，并指出此时x 的取值范围；（2）请你帮老张确定虚线DEF 段的函数表达式，并指出此时x 的取值范围；（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？22．已知0a >且1a ≠，函数()4,02,0x a x x f x x -⎧≥=⎨<⎩满足()()11f a f a -=-，设()xh x a =．(1)求函数()()21y h x h x =-+在区间[]22-,上的值域；(2)若函数()y h x m =+和()y h x m =-+在区间[]1,2023上的单调性相同，求实数m 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据对数中真数大于零，分式中分母不等于零列不等式，解不等式即可得到定义域.【详解】由20x ->可得2x <，又因为0x ≠，所以函数()f x 的定义域为()(),00,2-∞ .故选：C.2．A【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“2R,330x x x ∃∈-+≤”的否定是2R,330x x x ∀∈-+>.故选：A.3．C【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案.【详解】解：由题意，因为()()120f f x ⋅<，所以函数()f x 在区间()12,x 上一定存在零点，即函数的零点0x 满足023x <<.故选：C.4．C【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解.【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈.故选：C.5．C【分析】先根据诱导公式化简cos π2α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再运用平方关系求出cos ,α进而得到tan ,α最后运用两角和的正切公式可求出5πtan()4α+的值.【详解】依题意ππ34,π,cos()sin ,cos ,2255αααα⎛⎫∈-==∴==- ⎪⎝⎭5π5π14tan()tan tan3tan 4tan ta 4n .5π471αααα++∴=-∴==-⋅故选：C 6．C【分析】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为x ，y 是正数，所以有()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=时取等号，即当且仅当3x y ==时取等号，故选：C 7．D【分析】构造函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可求解.【详解】设函数()22ln g x x =，()[]33h x x =-，则()()222ln()2ln g x x x g x -=-==，所以函数()g x 为定义域上的为偶函数，作出函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-的图象，如图所示，当10x -<<时，()6h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当01x <<时，()3h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当1x =时，()()0g x h x ==，两函数有1个交点，即1个零点；当23x ≤<时，()3h x =，()4ln 24ln 3g x ≤<，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数()[]22ln 33f x x x =-+共4个零点.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及函数的图象的应用，其中解答中构造新函数，作出函数的图象，结合两个函数的图象的交点个数进行判定是解答的关键，着重考查构造思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.8．C【分析】由题意，根据函数的对称性，可得()()11f x f x -=+，()()262f x f x -=-+，且()23f =，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得()()136f f +=，()()246f f +=，可判④的正误.【详解】因为()21f x +偶函数，所以()()1212f x f x -=+，则()()11f x f x -=+，即函数()f x 关于直线1x =成轴对称，因为函数()f x 的图象是由函数()1f x -的图象向左平移1个单位，所以函数()f x 关于点()2,3成中心对称，则()()262f x f x -=-+，且()23f =，对于①，()()()()()()2626116116f x f x f x f x f x +=--=---=-+-=-，()()()()()()4226226611f x f x f x f x f x +=++=---=--=--+()()6112f x f x =-++=-()()()1111f x f x f x =+-=-+=，则函数()f x 的周期4T =，故①错误；对于②，()()()2224523f f f =+⨯==，故②正确；对于③，()()()()()()51411145f x f x f x f x f x f x +=++=+=-=-+=-，故③正确；对于④，()()()121621f f f =-=-+，则()()136f f +=，()()()()()40111123f f f f f ==-=+==，则()()246f f +=，由19443÷= ，则()()()()1911219i f i f f f ==+++∑ ()()()()()()()()41234171819f f f f f f f =++++++()()()()466123486357f f f =⨯++++=++=，故④正确.故选：C.9．AB【分析】根据分段函数的定义分类讨论求值即可.【详解】若2x <，则1()1,2xf x ⎛⎫== ⎪⎝⎭解得0x =，满足题意；若2x ≥，则2()log (1)1,f x x =-=解得3x =，满足题意；故选:AB.10．ABD【分析】根据诱导公式sin(-)sin παα=可判断A ；由二倍角的正弦公式sin22sin cos ααα=可计算B ；由二倍角的余弦公式2cos22cos 1αα=-可判断C ；由诱导公式tan()tan παα+=可计算D.【详解】对于A ：51sinsin(-)sin 6662ππππ===，所以A 正确;对于B ：12sin15cos15sin302==，所以B 正确;对于C ：22cos 151cos302-== ，所以C 不正确;对于D 1302))=+=== ，所以D 正确，故选：ABD.11．CD【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A ；举反例，如3,1,2a b m ===-，即可判断B ；若00a b c d >>>>，，则0,0c d a d b d ->+>+>，再根据“糖水不等式”即可判断C ；利用不等式的性质即可判断D.【详解】解：对于A ，根据“糖水不等式”，若0,0a b m >>>，则b m a m +>+ba，故A 错误；对于B ，当3,1,2a b m ===-时，1,13b b m b a a m a+==-<+，与题设矛盾，故B 错误；对于C ，若00a b c d >>>>，，则0,0c d a d b d ->+>+>，根据“糖水不等式”，b dcd b d a d c d a d++-+>++-+，即b d b c a d a c ++<++，故C 正确；对于D ，若0,0a b >>，则110,110a b a a b b ++>+>++>+>，所以1111,1111a b a a b b<<++++++，所以1111ababa b a b a b +<+++++++，故D 正确.12．ACD【分析】对于A ，根据()00f =可求m 的值，验证即可；对于B ，由()2121x f x =-+，可得()f x 为增函数，从而可求值域；对于C ，根据函数()f x 的单调性即可判断；对于D ，根据函数()f x 的单调性可转化为2410ax x -+>对于x ∀∈R 恒成立，求出其成立的充要条件，根据集合间的包含关系及充分不必要条件的定义即可判断.【详解】因为函数()121x mf x =-+是奇函数，且定义域为R ，所以()0102mf =-=，解得2m =.当2m =时，()22112121x x x f x -=-=++，则()()21122112x xx xf x f x -----===-++，故函数()f x 是奇函数，故A 正确；因为()2121x f x =-+在[)1,2-上单调递增，且()()131,235f f -=-=，所以函数()f x 在[)1,2-上的值域为13,35⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故B 错误；因为()2121x f x =-+单调递增，所以12,x x ∀∈R ，且12x x ≠，恒有()()()()12120x x f x f x -->，故C 正确；因为()2121xf x =-+单调递增，所以()()2212f x f ax x -<-可转化为2212x ax x -<-，即2410ax x -+>对于x ∀∈R 恒成立.当0a =时，410x -+>不恒成立，不符合题意；当0a ≠时，可得()20,440a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得4a >.故x ∀∈R ，恒有()()2212f x f ax x -<-的充要条件为4a >.因为{}5a a >{}4a a >，所以x ∀∈R ，恒有()()2212f x f ax x -<-充分不必要条件为5a >，故D 正确.故选:ACD.13．4π3##4π3【分析】根据弧长公式l r α=⋅(α：扇形圆心角，r ：扇形的半径)【详解】2π4π233l r α==⋅=故答案为：4π314．(3,1)【分析】利用对数函数性质可知，令21x -=即可求出()log 21a y x =-+的图象恒过的定点的坐标.【详解】因为log a y x =的图象必过(1,0)，即log 10a =，当21x -=，即3x =时，1y =，从而()log 21a y x =-+图象必过定点(3,1).故答案为：(3,1).15．726m -<<【分析】先求出函数()f x 在区间[]0,1上为增函数时a 的范围，再由必要不充分条件求解m 的范围．【详解】函数()()23417f x ax a x =--+在区间[]0,1上为增函数，0a =时，()7f x x =+符合题意；0a >时，4106a a -≤，104a <≤，a<0时，4116a a -≥，102a -≤<，综上1124a -≤≤，即11[,]24a ∈-，又“a E ∈”是“11[,]24a ∈-”的必要不充分条件，所以134231184m m ⎧-<-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得726m -<<．故答案为：726m -<<．16．9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【分析】当2T π>时，易知必满足题意；当2T π<时，根据[],2x ππ∈可得[],2x ωπωπω∈，由最大值点的个数可构造不等式组，结合0ω>确定具体范围.【详解】至少存在两个不相等的实数[]12,,2x x ππ∈，使得()()122f x f x A +=，∴当42T ππω>=，即4ω>时，必存在两个不相等的实数[]12,,2x x ππ∈满足题意；当2T π<，即04ω<<时，[],2x ωπωπω∈，()225222k k Z k ππωπππωπ⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩，()12254k k Z k ωω⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩；当0k ≤时，解集为∅，不合题意；令1k =，则9542ω≤≤；令2k =，则1344ω≤<；综上所述：实数ω的取值范围为9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据πω的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.17．(1){|24}A B x x =-≤< ；(2)113m <<.【分析】（1）解一元一次不等式求集合A ，应用集合交运算求结果；（2）由题意A B ⊆，列不等式组求参数范围.【详解】（1）由题设，{|25}A x x =-≤≤，{|44}B x x =-<<，所以{|24}A B x x =-≤< .（2）由题意A B ⊆，则242345m m -<-⎧⎨+>⎩，可得113m <<.18．(1)(2),,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】（1）利用函数的零点的定义，求得实数a 的值．（2）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得()f x 的单调递减区间．【详解】（1）解：因为2()2sin cos 2cos 1f x a x x x =++，所以()sin 2cos 22f x a x x =++由题意可知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即22sin cos 20333f a πππ⎛⎫⎪⎭= +⎝+=，即120322f π⎛⎫⎭- ⎪+⎝==，解得a =（2）解：由（1）可得()cos 2222cos 223f x x x x π=-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭++，函数cos y x =的递减区间为[]2,2,k k k Z πππ+∈．令222,3k x k k ππππ<+<+∈Z ，得,63k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为,,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．19．(1)答案见解析；(2)12a ≤.【分析】（1）讨论,4a 的大小关系分别求解集即可；（2）将不等式化为164a x x ≤+-在()4,x ∞∈+上恒成立，利用基本不等式求右侧最小值，即可得a 的取值范围．【详解】（1）当4a <时，不等式()(4)()0f x x x a =--<的解集为(),4a ，当4a =时，不等式()(4)()0f x x x a =--<的解集为∅，当4a >时，不等式()(4)()0f x x x a =--<的解集为()4,a ．（2）因为(4,)x ∈+∞，由()16f x ≥-可得：164x a x --≥-，即164a x x ≤+-，因为16164441244x x x x +=-++≥+=--，当且仅当1644x x -=-，即8x =时等号成立，所以12a ≤．20．(1)0；(2)13,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据函数的奇偶性计算()()f a f a +-即可得解；（2）由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦可推出函数()f x 单调递减，可得()()2g x f x =-单调递减，不等式可转化为()()21g x g x ->-，利用单调性求解即可.【详解】（1）因为()g x 是奇函数，所以()()0g a g a +-=，则()()()()224f a f a g a g a +-=++-+=，因为()4f a =，所以()0f a -=；（2）不妨设1222x x -<<<，则120x x -<，又因为()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，所以()()120f x f x -<，则()f x 在()2,2-上单调递增，所以()()2g x f x =-在()2,2-上单调递增；因为()()214f x f x -+>，所以()()21220f x f x --+->，所以()()210g x g x -+>，又因为()g x 为奇函数，所以()()21g x g x ->-，又因为()g x 在()2,2-上单调递增，所以221222,21x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩132213223213x x x x ⎧-<<⎪⎪⇒-<<⇒<<⎨⎪⎪>⎩，则不等式()()214f x f x -+>的解集为13,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.21．（1）8a =，24πω=，2ϕπ=，()8cos 2024f x x π=+，[]0,24x ∈（2）()8cos 682024y x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，[]44,68x ∈（3）16天.【分析】（1）由已知图中,B D 两点的坐标求得a 与T ，进而可得ω的值，再由五点法作图的第三个点求解ϕ，即可得函数的解析式，并求得x 的范围；（2）由对称性求解DEF 段的函数表达式，以及x 的取值范围；（3）由()8cos 68202424x π⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦解得：60x =，减去44即得答案.【详解】（1）由图以及,B D 两点的纵坐标可知：20128a =-=，124T =，可得：48T =，则24824ππω==，由()3242242k k Z ππϕπ⨯+=+∈解得：()22k k Z πϕπ=+∈，所以0k =，2ϕπ=，所以ABC 段的函数表达式为()8sin 208cos 2024224f x x x πππ⎛⎫=++=+ ⎝⎭，[]0,24x ∈（2）由题意结合对称性可知：DEF 段的函数解析式为：()8cos 682024y x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，[]44,68x ∈（3）由()8cos 68202424x π⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦解得：60x =，所以买入604416-=天后，股票至少是买入价的两倍.22．(1)3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先对01a <<和1a >进行分类讨论，再利用题目所给的等式关系可求出a 的值，将所要求的函数换元后得到二次函数求出值域即可.（2）先得到两个函数解析式12xy m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭和2x y m =+，分别对[]1,2023上单调递增和单调递减进行分类讨论，得到关于m 的不等式组，进而求出m 的取值范围即可.【详解】（1）当01a <<时，1142a -=，解得12a =；当1a >时，()1124a a a ---=，无解，故a 的值为12．故()()()111,211242x x xh x y h x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为[]2,2x ∈-，所以令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2213124y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．当12t =时，min 34y =，当4t =时，max 13y =．故函数()()21y h x h x =-+在区间[]22-,上的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由题意，函数()12x h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，函数()2x h x -=在R 上单调递增．由题可知函数12x y m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2x y m =+在区间[]1,2023上同增或者同减．①若两函数在区间[]1,2023上均单调递增，则10220xx m m ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩在区间[]1,2023上恒成立，故1110220m m ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩，解得122m -≤≤-．②若两函数在区间[]1,2023上均单调递减，则10220xx m m ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩在区间[]1,2023上恒成立，故2023202310220m m ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩，该不等式组无解．综上，实数m 的取值范围是12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。

2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一上数学期末复习检测试题含解析

A.134217728 C.536870912
B.268435356 D.513765802
3． f x 2x 4x 3零点所在的区间是（）
A. 2,3
B. 1,2
C. 0,1
D. 1,0
4．已知圆 x2 y2 1 与圆 x2 y2 6x 8y m 0 相离，则 m 的取值范围（）
数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算 64×256 的值，就可以先查第一行的对应数字:64 对应 6，
256 对应 8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的 14，对应第二行中的 16384，所以有：64×256
＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=
25 m 0
本题选择 D 选项.
点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法
5、C
【解析】利用扇形弧长公式进行求解.
【详解】设扇形弧长为 l cm，半径为 r cm，则 l 3，即 l 3r 且 l 2r 15，解得： l 9 （cm），故此扇形的弧长 r
13．经过 P(1,3) ， Q3,5 两点的直线的倾斜角是__________ .
1 x 1 , x 1
14．已知
x
，则函数
1
g(x)
(x
2)
f
(x)
2x
1的零点个数为__________
15．已知函数
f
x 的定义域为 0, ，当 x2
x1
0 时，
f
x1
x2
f
C(x) 1 x2 10x （万元）.当年产量不小于 80 件时， C(x) 51x 10000 1450 （万元）.每件商品售价为 50 万元.

长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题与答案

长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{2430,A x x x B x y =-+≤==∣∣，则A B = （）A.[]4,3- B.[]1,3 C.[]4,4- D.[]3,1-- 2.“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()5,12P ，则cos α=（）A.513-B.513C.1213-D.12134.如图，在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b == ，E 是CD 边上一点，且2DE EC =，则AE =（）A.13a b+ B.23a b+ C.13a b+ D.23a b + 5.若函数(0x y a a =>，且1)a ≠的图象过点11,23⎛⎫⎪⎝⎭，则函数log a y x =的大致图象是（）A. B.C. D.6.已知()()()()23,33xf x m x m x mg x =-++=-，若命题“R x ∀∈，()0f x <或()0g x <”为真命题，则m 的取值范围是（）A.14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()4,0- C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()0,∞+7.已知定义在()0,∞+上的()f x 是单调函数，且对任意()0,x ∈+∞恒有()13log 4f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的零点为（）A.127 B.19C.9D.278.若ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎣⎦且sin x α=，则可以记arcsin x α=；若[]0,πα∈且cos x α=，则可以记arccos x α=.实数()0,1y ∈，且22(arccos )(arcsin )y y a -=，则221y -=（）A.2cos πa ⎛⎫⎪⎝⎭B.2sin πa ⎛⎫-⎪⎝⎭C.4cos πa ⎛⎫⎪⎝⎭D.4sin πa ⎛⎫-⎪⎝⎭二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{3xx <-∣，或2}x >，则（）A.0a > B.不等式0bx c +>的解集是{6}xx <-∣C.0a b c ++> D.不等式20cx bx a -+<的解集是12x x ⎧<-⎨⎩，或13x ⎫>⎬⎭10.设正实数,a b 满足1a b +=，则（）A.14ab ≥B.≤ C.2212a b +≥D.114113a b +≥++11.已知函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数()g x 的图象由()f x 图象向右平移π4个单位长度得到，则下列关于函数()g x 的说法正确的有（）A.()g x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.()g x 的图象关于直线π3x =对称C.()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减12.定义在R 上的函数()f x 满足()()()4,21f x f x f x -=-+为偶函数，()12f =，函数()()g x x ∈R满足()()2g x g x =-，若()y f x =与()y g x =恰有2023个交点，从左至右依次为()()1122,,,,x y x y ，()20232023,x y ，则下列说法正确的是（）A.()f x 为奇函数B.2为()y f x =的一个周期C.10122y = D.12320232023x x x x ++++= 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知幂函数()()1mf x m x =-的图象过点()2,M a ，则=a __________.14.已知向量,a b满足||||2,()1a b a a b ==⋅-= ，则2a b -= __________.15.若π10cos 65α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________.16.已知121,,a x x >分别是函数()e xf x x a =+-与()lng x x x a =+-的零点，若12e xm x =+，则m 的取值范围为__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.213203880.51)27-⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭；（2）()()2log 548393log 3log 3log 2log 2log 2+++.18.解下列不等式：（1）241xx ≥-；（2）2323x x -+-≤.19.如图，一个半径为3m 的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为m 2.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：s ）之间的关系为()ππsin 0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？20.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设()π,πx ∈-，求不等式()1f x ≥的解集.21.已知函数()f x ，对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且()112f =-.（1）判断()f x 的奇偶性和单调性；（2）设函数()()()22g x f x m f x =--，若方程()0g x =有4个不同的解，求m 的取值范围.22.已知函数()e exxf x k -=-⋅是偶函数.（1）求k 的值；（2）设函数()()()2e 28x g x a f x f x -⎡⎤=---⎣⎦，若不等式()0g x <对任意的()1,x ∈+∞恒成立.求实数a 的取值范围；（3）设()()2log h x f x =，当m 为何值时，关于x 的方程()()211420h x m h x m m m ⎡⎤⎡⎤-+⋅--++=⎣⎦⎣⎦有实根？长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题答案1.B【分析】先求出每个集合，后求交集即可.【详解】令2430x x -+≤，解得[]1,3x ∈，令2160x -≥，解得[]4,4x ∈-，所以[]1,3A B ⋂=.2.A【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合三角函数的性质求解即可.【详解】若π2π3x k =+，k ∈Z ，则π3sin sin 2π32x k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，充分性成立；若3sin 2x =，则π2π3x k =+或2π2π3x k =+，k ∈Z ，必要性不成立，所以“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的充分不必要条件.3.B【分析】根据题意，结合三角函数的定义，即可求解.【详解】由角α终边经过点()5,12P ，可得13r OP ===，根据三角函数的定义，可得5cos 13α=.4.D【分析】由题意结合平面向量的线性运算法则、向量的数乘即可得解.【详解】由题意2233DE DC AB ==，所以232323AE AD DE AD DC AD AB a b +=+=+=+= .【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量数乘的应用，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.5.B【分析】根据题意求出a 的值，可得log a y x =的具体表达式，判断其图象性质，结合选项，即可得答案.【详解】由于函数(0x y a a =>，且1)a ≠的图象过点11,23⎛⎫⎪⎝⎭，故121,913a a =∴=，则191199log ,0log log log (),0a x x y x x x x >⎧⎪===⎨-<⎪⎩，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称，且(0),+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增，只有B 中图象符合该函数图象特点，6.B【分析】分段讨论x 的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案.【详解】当1x <时，()33,330xxg x <∴=-<，无论()f x 取何值，均符合题意；当1x =时，()330xg x =-=，只需()()(1)1240f m m m =-+<，解得12m >或40m -<<；当1x >时，()330xg x =->，由题中条件可得，只需()0f x <对于(1,)x ∈+∞恒成立，当0m =时，()0f x =不符合题意；当0m >时，()()()23f x m x m x m =-++图象为开口向上的抛物线，不能满足()0f x <对(1,)x ∈+∞恒成立，不符合题意；当0m <时，()0f x =的2个根为122,3x m x m ==--，需满足12121,2314x m m x m m ⎧=≤≤⎧⎪∴⎨⎨=--≤⎩⎪≥-⎩，结合0m <，可得40m -≤<，综合上述可知m 的取值范围是()4,0-，7.A【分析】根据题意，利用换元法，结合对数的运算法则和运算性质，即可求解.【详解】设()13log f x x a +=，即()13log f x x a =-+，因为()13log 4f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得()4f a =，所以13log 4a a -+=，解得3a =，所以()13log 3f x x =-+，令()0f x =，可得13log 30x -+=，即13log 3x =，解得127=x .8.B【分析】根据题设信息，结合三角函数的诱导公式和二倍角公式，准确计算，即可求解.【详解】设arccos ,arcsin y y θϕ==，因为()0,1y ∈，所以ππ(0,),(0,)22θϕ∈∈，即22,cos ,sin a y y θϕθϕ-===，因为ππ22θϕ-<-<，所以πsin cos sin()2ϕθθ==-，所以π2ϕθ=-，即π2θϕ+=，所以2222((arccos )(arc n π)()(si ))2a y y θϕθϕθϕθϕ-==+-=-⋅-=，所以2πa θϕ-=，所以π22()()2πaϕθϕθϕ=+--=-，则22π22212sin 1cos 2cos(sin 2ππa a y ϕϕ-=-=-=--=-.9.AD 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定0a >，可判断A；结合根与系数关系可得,,a b c 的关系式，由此化简B，C，D 选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案.【详解】由关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或2}x >，知-3和2是方程20ax bx c ++=的两个实根，且0a >，故A 正确；根据根与系数的关系知：3210,3260b ca a-=-+=-<=-⨯=-<，,6,0b a c a a ∴==->，选项B：不等式0bx c +>化简为60x ->，解得：6x >，即不等式0bx c +>的解集是{6}xx >∣，故B 不正确；选项C：由于0a >，故640a b c a a a a ++=+-=-<，故C 不正确；选项D：不等式20cx bx a -+<化简为：2610x x +->，解得：12x x x ⎧∈<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭，故D 正确；10.BCD【分析】利用基本不等式判断各选项．【详解】对于A 选项，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取得等号，故A 错误；对于B 选项，()222a b a b =+++=+≤，当且仅当12a b ==时取得等号，故B 正确；对于C 选项，2222211,2242a b a b a b ++⎛⎫≥=∴+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取得等号，故C 正确；对于D 选项，()()111111111311a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭111423113b a a b ++⎛⎫=++≥ ⎪++⎝⎭，当且仅当12a b ==时取得等号成立，故D 正确．11.ABC【分析】根据三角函数的图象变换求得函数()π3sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数为()πππ3sin 23sin 2436g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于A 中，当π12x =，可得()0g x =，所以()g x 关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以A 正确；对于B 中，当π3x =时，可得π33g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()g x 关于直线π3x =对称，所以B 正确；对于C 中，当π5π,2424x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，可得πππ2,644x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质，可得()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以C 正确；对于D 中，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，可得πππ2,622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质，可得()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以D 不正确.12.ACD【分析】根据题意，推得()()()()2202f x f x f x f x ⎧++-=⎪⎨-=⎪⎩，得到()()20f x f x ++=，结合函数的基本性质，逐项判定，即可求解.【详解】由()21f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称，又由()()4f x f x -=-，则函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则()()()()2202f x f x f x f x ⎧++-=⎪⎨-=⎪⎩，可得()()20f x f x ++=.对于A 中，由()()20f x f x ++=，可得()()2f x f x -=--，所以()()f x f x =--，所以()f x 为奇函数，所以A 正确；对于B 中，由()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，可得()()()12,312f f f ==-=-，显然()()31f f ≠，所以B 错误；对于C 中，由()()2g x g x =-，所以函数()g x 的图象关于直线1x =对称，因此函数()f x 与()g x 的交点也关于1x =对称，则()101212y f ==，所以C 正确；对于D 中，由函数()f x 与()g x 的交点也关于1x =对称，可得202312023ii x==∑，故D 正确.13.【分析】根据幂函数的定义可得2m =，再根据函数图象过点()2,M a ，可得a .【详解】由函数()()1mf x m x =-为幂函数，得10m -=，即2m =，所以()2f x x =，又函数()f x 过点()2,M a ，则()2224a f ===，故答案为：414.【分析】把模平方转化为数量积进行计算．【详解】()241a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=，则3a b ⋅= ，∴2a b -==== ，故答案为：15.【分析】将2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭化为cos π6π2α⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用诱导公式以及二倍角余弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得2πππcos 2cos π2cos2366ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22π112cos 12556α⎛⎫⎛⎫=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1516.【分析】12,x x 分别为e ln x y y x ==､与y a x =-图象交点的横坐标，而e x y =与ln y x =的图象关于直线y x =对称，直线y a x =-与直线y x =垂直，从而可得12e xx =，再得出2x 的范围后即可得结论．【详解】由题意，12,x x 分别为e ln x y y x ==､与y a x =-图象交点的横坐标，而e x y =与ln y x =的图象关于直线y x =对称，直线y a x =-与直线y x =垂直，因此这两个交点关于直线y x =对称，如图所示：12e x x ∴=，∵1a >，∴21x >，()122e 22,x m x x ∞∴=+=∈+.故答案为：(2,)+∞．17.【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简求值，即得答案；（2）根据对数的运算法则，化简求值，即得答案.【详解】213203880.51)27-⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭()231333313π2124⨯⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭()91π321π244=-++-+=+；（2）()()2log 548393log 3log 3log 2log 2log 2+++3322433223log 2log 3log 3log 2log 35log 4log 8log 9⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231113log 31log 252324⎛⎫⎛⎫=+⨯++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭53353624=⨯+-=-.18.【分析】（1）将分式不等式化为()()2210x x --≤且1x ≠，求出解集；（2）将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式.【小问1详解】不等式241x x ≥-，移项得2401x x -≥-，通分得4201xx -≥-，可转化为()()2210x x --≤且1x ≠，解得12x <≤，不等式解集为{}12x x <≤.【小问2详解】令35,2,32321,2,2335,,2x x y x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-+-=-<<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩当2x ≥时，353x -≤，解得83x ≤，即82,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦；当322x <<时，13x -≤，解得4x ≤，即3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当32x ≤时，353x -+≤，解得23x ≥，即23,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述：不等式解集为2833xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.19.【分析】（1）依题意，设函数表达式为()sin 2d A t ωϕ=++，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意，令πππ2042t -=，即可求解.【小问1详解】解：依题意，设函数表达式为()32sin 2d A t ωϕ=++，水轮半径为3m ，所以振幅3A =，水轮每分钟按逆时针方向转动1.5圈，故角速度为 1.52ππ6020ω⨯==，水轮上点P 从水中浮现时开始计时，所以π323sin 00202ϕ⎛⎫⨯++=⎪⎝⎭，且ππ22ϕ-<<，解得π4ϕ=-，所以函数表达式为ππ323sin 2042d t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故ππ323,,,2042A K ωϕ===-=.【小问2详解】解：根据题意，令πππ2042t -=，可得()15s t =.所以盛水筒出水后至少约15s 就可到达最高点.20.【分析】（1）化简得到()2sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭π，根据最小正周期得到2ω=，利用整体法求解函数单调区间；（2）结合函数图象，利用整体法解不等式，得到解集.【小问1详解】由题意，函数()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为0ω>，()f x 的最小正周期2ππω=，所以2ω=，所以函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2223πππππ,22k x k k -+≤-≤+∈Z ，解得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 单调递增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；【小问2详解】因为()1f x ≥，所以π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以111ππ5π2π22π,636k x k k +≤-≤+∈Z ，解得111π7πππ,412k x k k +≤≤+∈Z ，因为()π,πx ∈-，当11k =-时，3π5π,412x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，当10k =时，π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以原不等式的解集为3π5π412x x ⎧-≤≤-⎨⎩或π7π412x ⎫≤≤⎬⎭.21.【分析】（1）利用赋值法判断抽象函数的奇偶性和单调性即可.（2）合理分析，作出图象，转化为交点问题求解即可.【小问1详解】令0x y ==，代入()()()f x y f x f y +=+可得()00f =，令y x =-，代入()()()f x y f x f y +=+，可得()()()00f x f x f +-==，所以()()f x f x -=-，可得函数()f x 为奇函数；任取12,x x ∈R ，且1221,0x x x x <->，因为()()()f x y f x f y +-=，即()()()()f x y f x f x y x f y ⎡⎤+-=+-=⎣⎦，令21,x x y x x =+=，则21y x x =-，可得()()()2121f x f x f x x -=-，又因为0x >时，()0f x <，且210x x ->，所以()210f x x -<，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 是R 上的减函数.【小问2详解】()()f x f x -=-，即()()22f x f x -=-，所以()()()()()()()()22222g x f x m fx f xm f x f x m f x f x =--=-+-=-+-+-()22f x x m =--，令()0g x =，即()()2200f x x m f --==，因为函数()f x 是R 上的减函数，所以220x x m --=，即22m x x =-，令()2222,0,22,0,x x x h x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩则函数()h x 的图象，如图所示，结合图象，可得：当()1,0m ∈-时，函数()g x 有4个零点，即实数m 的取值范围为()1,0-.22.【分析】（1）根据函数为偶函数，列式求解，即得答案；（2）分离参数，将不等式()0g x <对任意的()1,x ∞∈+恒成立转化为()22min e e 8e e x x x x--⎡⎤++⎢-⎢⎥⎣⎦,利用换元，即e exxt -=-，可得10t t+的最小值，即可求得答案；（3）利用换元，即()1p h x =-，将()()211420h x m h x m m m ⎡⎤⎡⎤-+⋅--++=⎣⎦⎣⎦有实根转化为22320p mp m m --+=的根的问题，继而转化为()2232F p p mp m m =--+的零点问题，分类讨论，结合二次函数的零点分布，即可求得答案.【小问1详解】由函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，则对于x ∈R ，都有()()f x f x -=，即e e e e x x x x k k ---⋅=-⋅，即对于x ∈R ，都有()()1e 1e xxk k -+⋅=+⋅，即()1(e e )0xxk -+⋅-=，由于e e x x --不恒等于0，故10k +=，得1k =-.【小问2详解】结合（1）可得()e exxf x -=+，则()()()()2222e e2e e e 8e e e e 8xxx x x x x x x g x a a -----=+----=--+-，令e e x x t -=-，由e x y =在R 上单调递增，e x y -=在R 上单调递减，所以e e x x t -=-在()1,x ∞∈+上单调递增，得1e et >-，则不等式()0g x <对任意的()1,x ∞∈+恒成立等价于()22e e 8e exx xxa --++<-在()1,x ∞∈+上恒成立，所以a <()22mine e 8e e x x x x--⎡⎤++⎢-⎢⎥⎣⎦即可，又()()222e e 8e e 101010e e e e e e e e x x x xx x x xx xx x t t------++-+==-+=+---，由对勾函数的性质可得当1e e t -=>时，10t t+取得最小值，所以()22e e 10e exx xx--++-的最小值为，即a <，所以实数a的取值范围为(,∞-.【小问3详解】令e ,0x u u =>，由对勾函数的性质可得当1u =时，1u u+取得最小值2，所以()e e2xxf x -=+≥，当且仅当0x =时取等号，则()()2log 1h x f x =≥，令()1p h x =-，则0p ≥，则原问题转化为关于p 的方程()()22242320p m p m m m p mp m m +-++=--+=的根的问题，由于0p ≥，令()2232F p p mp m m =--+，则()F p 的图象为开口向上的抛物线在y 轴右侧部分（含y轴），()222Δ(3)42174m m m m m =---+=-，①当2Δ1740m m =-=时，417m =或0m =，此时对称轴302mp =≥，函数()F p 在[)0,∞+有唯一零点；②当Δ0≠且()F p 在[)0,∞+有唯一零点时，()2020F m m =-+<，可得：0m <或12m >；③当()F p 在[)0,∞+有两个不相等零点时，设零点为12,p p ，则()()22212212Δ341217403020m m m m m p p m p p m m ⎧=--⨯⨯-+=->⎪⎪+=>⎨⎪⋅=-+≥⎪⎩，可得：41172m <≤.综上：0m ≤或417m ≥.【点睛】关键点睛：本题综合考查了函数奇偶性、不等式恒成立以及方程的解的问题，综合性较强，解答的关键是（3）中要将方程有解问题转化为函数零点问题，然后分类讨论，结合二次函数零点的分布，即可求解.。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精编含解析)

2
2
10.
化简��(��
‒
��)��(3��
‒
��)��(
‒
��
‒
��)��(9��
2
+
��)的结果是（）
解析式为 f（x）=（）
A. �� + 4
B. 2 ‒ ��
C. 3 ‒ |�� + 1|
D. 2 ‒ |�� + 1|
3��
13. 若函数��(��) = �� ‒ 3��，ω＞0，x∈R，又 f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为 2 ，则 ω
2017-2018 学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共 15 小题，共 45.0 分）
1. 设集合 A={1，3}，集合 B={1，2，4，5}，则集合 A∪B=（）
A. {1,3，1，2，4，5}
B. {1}
C. {1,2，3，4，5}
D. {2,3，4，5}
a、b、c，若��
=
��
��，则△ABC
的形状是（）
A. 等腰三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形

高一长郡期末数学试卷

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. 0.1010010001…B. √2C. πD. 2.252. 函数y=2x+1在下列哪个区间上单调递减？（）A. （-∞，0）B. （0，+∞）C. （-∞，+∞）D. （0，1）3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，S5=55，则公差d=（）A. 5B. 4C. 3D. 24. 在三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C=（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°5. 下列函数中，奇函数是（）A. y=x²B. y=x³C. y=|x|D. y=1/x6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，6），则向量a与向量b的夹角θ=（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°7. 已知函数f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=3，f(2)=7，f(3)=13，则a=（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 若复数z=3+4i，则|z|=（）A. 5B. 7C. 9D. 119. 下列命题中，正确的是（）A. 所有的平行四边形都是矩形B. 所有的等腰三角形都是等边三角形C. 所有的等边三角形都是等腰三角形D. 所有的等腰三角形都是直角三角形10. 已知函数f(x)=log₂x，则f(x)的值域为（）A. （0，+∞）B. （-∞，0）C. （0，1）D. （1，+∞）二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的第一项a1=2，公差d=3，则第10项a10=__________。

12. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则sinC=__________。

2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题

2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.“，”是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（）A．B．C．D．4.如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（）A．B．C．D．5.若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（）A．B．C．D．6.已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（）A．B．C．9D．278.若且，则可以记；若且，则可以记.实数，且，则（）A．B．C．D．9.已知关于的不等式的解集为，或，则（）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是，或10.设正实数满足，则（）A．B．C．D．11.已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位长度得到，则下列关于函数的说法正确的有（）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．在上单调递增D．在上单调递减12.定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（）A．为奇函数B．2为的一个周期C．D．13.已知幂函数的图象过点，则__________.14.已知向量满足，则__________.15.若，则的值为__________.16.已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________.17.（1）；（2）.18.解下列不等式：(1)；(2).19.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.(1)求的值；(2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？20.已知函数的最小正周期为，(1)求函数的单调递增区间；(2)设，求不等式的解集.21.已知函数，对于任意的，都有，当时，，且.(1)判断的奇偶性和单调性；(2)设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围.22.已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)设函数，若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围；(3)设，当为何值时，关于的方程有实根？。

长郡高一上学期末数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -√3D. 0.1010010001……2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(2)的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 83. 下列各点中，不在直线y = 2x - 1上的是（）A. (1, 1)B. (2, 3)C. (3, 5)D. (4, 7)4. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 3, 5，那么该数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z + 2| = 3，那么复数z的实部a的取值范围是（）A. -1 ≤ a ≤ 1B. -2 ≤ a ≤ 2C. -3 ≤ a ≤ 3D. -4 ≤ a ≤ 46. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^57. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 3^n - 2^n，那么S5的值为（）A. 243B. 255C. 257D. 2638. 下列各对数中，正确的是（）A. log2(4) = 2B. log3(9) = 2C. log5(25) = 3D. log7(49) = 29. 若等比数列{bn}的公比q = 2，且b1 = 3，那么该数列的前5项和S5为（）A. 63B. 95C. 127D. 15910. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，那么f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x - 4C. 3x^2 - 6x + 2D. 3x^2 - 6x - 2二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 3，那么f(2)的值为______。

12. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，那么第10项an的值为______。

长郡高一期末考试数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其图像的对称轴为：A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 02. 下列各数中，属于无理数的是：A. √4B. √9C. √16D. √253. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 100，a1 = 1，则公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 在△ABC中，若a = 3，b = 4，c = 5，则cosA的值为：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/55. 下列函数中，在定义域内单调递减的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = 2xC. f(x) = -xD. f(x) = x^36. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a4 = 16，则q的值为：A. 2B. 4C. 8D. 167. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z的取值范围是：A. |z| = 3B. |z| = 2C. |z| = 1D. |z| = 08. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 若a、b、c是△ABC的三边，且满足a + b + c = 12，a^2 + b^2 + c^2 = 36，则△ABC的面积S为：A. 6B. 9C. 12D. 1810. 下列命题中，正确的是：A. 两个等差数列的和也是等差数列B. 两个等比数列的积也是等比数列C. 两个等差数列的积也是等差数列D. 两个等比数列的和也是等比数列二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(3) = 5，则x的值为______。

12. 若复数z满足|z + 1| = 3，则z的取值范围是______。

13. 在△ABC中，若a = 5，b = 7，c = 8，则sinB的值为______。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题长郡中学2017-2018学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题：1.设集合$A=\{1,3\}$，集合$B=\{1,2,4,5\}$，则集合$A\cup B=$（）。

A。

$\{1,3,1,2,4,5\}$B。

$\{1\}$C。

$\{1,2,3,4,5\}$D。

$\{2,3,4,5\}$2.已知$\tan\alpha=-3$，$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$，则$\sin\alpha$的值为（）。

A。

$\frac{1}{2}$B。

$-\frac{3}{2}$C。

$-\frac{1}{2}$D。

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$3.已知$a=4$，$b=3$，且$\vec{a}$与$\vec{b}$不共线，若向量$\vec{a}+k\vec{b}$与$\vec{a}-k\vec{b}$互相垂直，则$k$的值为（）。

A。

$\pm\frac{4}{3}$B。

$\pm\frac{3}{4}$C。

$\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$D。

$\pm2$4.如果奇函数$f(x)$在区间$[2,8]$上是减函数且最小值为6，则$f(x)$在区间$[-8,-2]$上是（）。

A。

增函数且最小值为-6B。

增函数且最大值为-6C。

减函数且最小值为-6D。

减函数且最大值为-65.方程$2x+3x-7=0$的解所在的区间为（）。

A。

$(-1,0)$B。

$(0,1)$C。

$(1,2)$D。

$(2,3)$6.$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$所对的边分别是$a,b,c$，若$a^2-c^2+b^2=ab$，则$\angle C=$（）。

A。

$30^\circ$B。

$60^\circ$C。

$120^\circ$D。

$60^\circ$或$120^\circ$7.$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$所对边的长分别为$a,b,c$，若$\frac{\cos A}{\cos B}=\frac{b}{a}$，则$\triangle ABC$为（）。

高一长郡期末考数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像的对称轴是：A. x = 1B. x = 0C. y = 1D. y = 02. 若a > b，则下列不等式中正确的是：A. a + 1 > b + 1B. a - 1 < b - 1C. a^2 > b^2D. a^3 > b^33. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则第10项an的表达式是：A. an = a1 + 9dB. an = a1 + 10dC. an = a1 - 9dD. an = a1 - 10d4. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 函数y = log2(x - 1)的图像与直线y = x相交于点P，则点P的坐标是：B. (3, 1)C. (1, 2)D. (1, 3)6. 若sinA + sinB = 1，则cosA + cosB的最大值是：A. 2B. 1C. 0D. -17. 已知等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，若b1 + b2 + b3 = 6，则b4 =：A. 18B. 12C. 9D. 68. 函数y = |x| + |x - 2|的图像是：A. V形B. W形C. X形D. 无规律9. 若复数z = a + bi（a，b∈R），且|z| = 1，则z的辐角θ是：A. 0°B. 90°C. 180°10. 函数y = e^x的图像与直线y = kx相交于点Q，则k的取值范围是：A. (0, +∞)B. (0, 1]C. (0, 1)D. (0, +∞)或(0, -∞)11. 已知三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 75°B. 120°C. 135°D. 150°12. 若函数y = f(x)在区间[0, 2]上单调递增，则下列不等式中正确的是：A. f(1) < f(0)B. f(2) > f(1)C. f(0) > f(2)D. f(1) > f(2)二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。