统计学 第七章 抽样推断

第二节
第三节
抽样推断中的几个基本概念
抽样分布和抽样误差
第四节
第五节
抽样估计
抽样推断误差的控制
第一节
抽样推断的基本问题
一、抽样推断的概念： 抽样包括抽样调查和抽样推断两部分。 抽样推断包括两个有联系但又具有一定差别的方面， 即估计和检验 二、特点： 1、样本单位是按随机原则抽取的 2、抽样推断是一种从数量上由部分推断总体的研究方法 3、抽样推断是采用概率估计的方法 4、抽样推断的误差可以事先计算并加以控制 三、抽样推断的应用 （一）调查具有破坏性的场合 （二）对无限总体或总体规模非常大的场合进行调查
1、在总体为正态分布，且总体方差已知
抽样平均数的允许误差为 抽样成数的允许误差
x z
1

2
x
p z
1

2
p

2 、在任意一个总体中抽样，总体方差已知，如果样本容量 n≥30时：
平均数的极限误差
x z
1

2
x
成数的极限误差
p z
1

2
p
3 、在正态分布总体中抽样，样本容量 n≺30，且总体方差未知的
情况下： 平均数的极限误差
x t
1

2
ˆx
ˆp
成数的极限误差
p t
1

2
第四节
一、点估计方法
抽样估计
总体参数的估计方法有两种：即点估计和区间估计。 点估计，就是将样本指标直接作为未知的总体指标的估计值。 一个优良的估计量要求满足： （一）无偏性
（二）一致性
（三）有效性 点估计给出的只是总体指标的一个估计数值，既没有给出准确 度，也没有给出可靠程度。因此，在实际工作中不单独使用。
Nn
n CN
五、抽样调查的理论基础
（一）大数定律 大数定理是关于大量的随机先行的均值具有稳定性的定理。 1、贝奴里大数定理 2、契比雪夫大数定理 （二）中心极限定理
证明某一分布的极限分布为正态分布的定理为中心极限定理。
正态分布？
第三节：抽样分布和抽样误差
一、抽样分布
（一）样本平均数的抽样分布
1、在简单随机重复抽样时； 样本平均数的抽样分布.doc
已知： 2 0.09, 或 0.3，n 4， 1 0.95， 0.05 所以，Z x Z 而x
1

2
Z 0.975 1.96 0.09 0.294 4
1
x 1.96
2
15.7 16.3 15.9 16.1 16 4 16 0.296 16 0.296 即（ 15.706 ， 16.294 ）为总体平均数的置信 区间，置信度为 95%
第七章
抽样推断

教学目的：通过本章的学习使学生掌握 抽样推断的基本原理和方法，理解抽样 分布的理论和样本容量的确定方法。

教学重点：重点介绍抽样误差的概念、 抽样平均误差的计算、参数估计的基本 方法和必要样本容量的确定方法。

教学学时：本章将用9个学时介绍。
第七章
第一节
抽样推断
抽样推断的基本问题
1

2
ˆx
p p P p p或p z
1

2
p P pz
1

2
p
从一批产品中随机抽取100件，测得一级品为95件，试以95%的 置信度推断该批产品的一级品率。
依资料：n 100 ，样本一级品率 p s2 5 95%, 0.025, Z 1.96, 1 100 2 2
p
i 1
r
i
r
例分类抽样的区间估计.doc
二、样本容量的确定
（一）概念 必要样本容量又称必要样本单位数

（二）样本容量n的确定 在简单随机重复抽样下：
根据 x z
1

2
x zBaidu Nhomakorabea


2
2
Z 2 2 , 可得n
1
1
n

2 2 x
根据 p z
1

2
p z
1

n (1 ) n N
2
PQ N n ( ) n N 1
PQ n (1 ) n N
其中：
2
N i
i 1
k
2 i
N
k i 1 i i

2 n i i i 1
k
n
k
PQ
N PQ n PQ
i
N

i 1
i i
i
n
4、分层抽样下的区间估计 分类抽样的区间估计.doc 5、分层抽样的优点 分类的原则：扩大组间差异，缩小组内差异。

5、等距抽样的估计区间 分类抽样的区间估计.doc 6、等距抽样的优点 （五）整群抽样 1、概念 “群”的划分原则：群内差异性，群间同质性 2、抽样平均误差 样本平均数的抽样误差
x
2 Rr
r (
R 1 其中， 2为总体的群间方差，总 体的群间方差可用样本 的群间 方差代替, 2
总体时
x x x x 或x z
1

2
x x z
1

2
x

例如：已知某一正态总体的平均数未知，总体方差为 0.09 ，现 简单随机抽取 4 个单位，其样本单位的标志值为 15.7 、 16.3 、 15.9、16.1，要求以95%的概率保证程度，确定总体平均数的置 信区间。
2、在简单随机不重复抽样时： 样本平均数的抽样分布.doc （二）样本成数的抽样分布 1、 在重复抽样时，
p E ( p) P
2 p
P(1 P) 或 p n
P(1 P) n
2、在简单随机不重复抽样时
p E ( p) P
2 p
P(1 P) N n 或 p n N 1

（三）分层抽样 1、概念 2、分层抽样的具体形式： （1）等数分配 （2）等比例分配 （3）最优分配 3、分层抽样下的抽样平均误差 如果是等比例抽样，抽样平均误差可用下式计算： 在重复抽样时
x
x p


2
n
2
或 p
PQ n
在不重复抽样时
N n ( ) n N 1
P(1 P) N n n N 1
二、抽样分布定理


（一）样本平均数的抽样分布定理 1、正态分布的再生定理 （一）正态分布的再生定理.doc 2、中心极限定 （一）正态分布的再生定理.doc 3、小样本条件下的t分布定理

（二）样本成数的抽样分布定理


三、抽样误差与抽样平均误差
（一）抽样误差
由抽样随机性所产生的样本指标与总体指标之间的离差叫做抽
样误差。如
x 或p P
（二）抽样平均误差

抽样平均误差可以表示为：
2 ( x ) 2 ( x x )
x
p
样本的可能数目
2 ( p P )

样本的可能数目
2 ( p p )
x x x x p p P p p

第五节 抽样推断误差的控制
一、抽样组织形式的选择
（ 一）抽样设计
（二）简单随机抽样
1、概念 简单随机抽取样本单位的做法有抽签法和随机数表法。

2、简单随机抽样的抽样平均误差 计算抽样平均误差时，同样也需要用到总体方差 当它们未知时，其处理方法为： (1)利用以往的历史资料来估计； (2)通过小规模试验资料来估计； （3)通过样本方差去估计。 3、简单随机抽样条件下的区间估计 简单随机抽样例题.doc
n 100 0.048 ˆp pq 0.95 0.05 0.048 ， 0.022 n 1 99 100 95% 1.96 2.2% P 95% 1.96 2.2%即90.4% P 99.3%
抽样估计的主要步骤：

第一步，抽取样本，计算出样本平均数或样本成数 第二步，计算出抽样平均误差 第三节，根据给定的置信度要求，查正态分布表找出相 应的临界值 第四步，计算出抽样限误差 第五步，求出置信区间
K
i
F
i 1
K

(X
i 1
K
i
) 2 Fi
i
F
i 1
K
对于属性总体，其平均数和方差或标准差为：
P
2 PQ
PQ
二、样本 （一）样本的概念
样本容量n≥30为大样本，n≺30为小样本 （二）反映样本特征的主要指标 对于样本变量总体：
x
x
i 1
n
i
n
或x

2
PQ , 可得n n
Z 2 PQ
二、区间估计
区间估计是在一定的可靠度要求下，根据样本观测值将总体 指标真值估计在某个可能的范围内。

根据前面极限误差的讨论：
x x p P p
容易导出：
x x x x p p P p p
（一）总体平均数的置信区间
1总体方差已知，如果样本容量n≥30，或n≺30，且来自正态
i
2 ( x x ) i i 1 R
)
x 而x r
r 1

样本成数的抽样平均误差为：
p
2 Rr
r (
R 1 其中： 2为总体成数的方差，但 总体成数的方差未知， 可用 2 样本成数的方差代替 i 1
r
)
( pi p) r 1
2
，而样本成数为 p
x f
i 1 k
k
i i
f
i 1
s2
(x x)
i 1 i
n
2
n 1
或s 2
(x x)
i 1 i
k
2
fi
i
f
i 1
k
i
1
s
(x
i 1
n
i
x)
2
n 1
或s
(x
i 1 k i 1
k
i
x )2 fi
i
f
1
对于属性样本总体
xp
n s pq n 1
2
s
n pq n 1
需指出：n-1称为变量的自由度，也就是变量自由取值的个数 。
三、抽样方式
讲顺序 重复抽样 不讲顺序 抽样方式 讲顺序 不重复抽样 不讲顺序
四、样本的可能数目 在讲顺序的重复抽样的条件下，样本的可能数目为 在不讲顺序的不重复抽样下，样本的可能数目为：

2、总体方差未知时，样本容量n≥30时，用样本方差代替总体 方差，用上述方法确定总体平均数的置信区间。 若n≺30，且总体服从正态分布，需用t分布理论确定总体平均 数的置信区间。

x x x x 或x t
（二）总体成数的区间估计
1

2
ˆx x t
（四）系统抽样
1、概念 系统抽样的关键是在第一个抽样距离内抽取第一个调查单位，第 一个单位抽到后，其他单位就好确定了。 抽样距离k=N/n。 2、等距抽样的形式 （1）随机起点的等距抽样 (2）半距起点的等距抽样 （3）对称起点的等距抽样 3、等距抽样排队的标志 （1）有关标志排队 （2）无关标志排队 4、等距抽样的抽样平均误差 如果是按无关标志排队的等距抽样，其抽样平均误差可按简单随 机不重复抽样的公式近似计算；如果是按有关标志排序的等距抽 样，抽样平均误差就可以按类型抽样的公式近似计算。
（三）不必要进行全面调查但又需要知道总体的全面情况时
（四）对全面调查的结果进行核查和修正
（五）对资料时效性要求很强的场合
第二节
一、总体
（一）总体的概念 （二）分类
抽样推断中的几个基本概念
1、按照全及总体所包含总体单位个数的多少，可以分为有限总 体和无限总体 2、按照全及总体中各单位标志的性质不同，可以分为属性总体 和变量总体 3、按照样本单位的来源不同，可将总体分为目标总体和被抽样 总体
样本的可能数目
样本的可能数目
由此可见，抽样平均误差就是样本平均数或样本成数的标准差。 在实际中，重复抽样的抽样平均误差为：
x
2
n
或 p
PQ n

不重复抽样的情况下，样本平均数或样本成数的标准差为：
x p
2
N n ( ) n N 1
2
n
(1
n ) N
PQ N n ( ) n N 1
PQ n (1 ) n N
可见，影响抽样误差大小的因素有：
1、总体各单位的差异程度
2、样本容量的大小 3、抽样方法
4、抽样的组织形式

（三）抽样极限误差

抽样极限误差就是指样本指标与全及总体指标之间误差的最大
可能范围，通常用“△”表示： 平均数的极限误差 成数的极限误差
x x
p P p
(三）反映总体特征的主要指标 对于变量总体，反映总体集中分布趋势的算术平均数

X
i 1
N
i
N

X
i 1 K i 1
K
i
Fi
i
F
反映总体离中分布趋势的方差或标准差
2
(X
i 1
N
i
)
2
N

) Fi
2 i
(X
i 1
N
i
)2
N
2
(X
i 1