matlab软件欧拉算法教程1
欧拉方法matlab
欧拉方法matlab欧拉方法matlab是数值计算中常用的一种方法，通过一系列的计算来逼近函数的解，并与真实解进行比较。
下面分步骤阐述欧拉方法在matlab中的实现过程。
第一步，定义微分方程。
首先需要明确待求解的微分方程，以y'=f(x,y)为例。
f为函数，表示自变量x和因变量y的关系。
在matlab中可以写成一个函数或者匿名函数的形式，如f=@(x,y)-2*x*y。
第二步，确定初始条件。
欧拉方法需要确定初始条件y0和初始值x0，以便进行迭代计算。
在matlab中，可以直接赋值给y0和x0，如y0=1和x0=0。
第三步，定义步长和迭代次数。
步长h表示每个小步长的大小，步数N表示需要到达的最终的x值，通常可以根据需要自行设定。
在matlab中，可以通过输入变量N和h来实现，如N=10,h=0.1。
第四步，进行欧拉方法的迭代计算。
具体的计算公式为y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i))，其中i表示当前的小步长编号。
在matlab中，可以通过for循环来实现，如下所示：for i=1:Ny(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));x(i+1)=x(i)+h;end第五步，绘制函数的图像。
通过上述计算可以获得欧拉方法逼近的函数值，可以使用plot函数将其描绘成一条曲线。
在matlab中，可以通过以下语句来实现：plot(x,y,'-ro')其中，'-ro'表示使用红色圆点曲线来描绘函数的图像。
综上所述，欧拉方法在matlab中的实现过程需要分别确定微分方程、初始条件、步长和迭代次数，进行迭代计算，并绘制函数的图像。
通过这些步骤的实现，可以更全面地理解欧拉方法的计算原理，更好地应用于实际问题的求解。
欧拉法matlab一阶常微分方程
欧拉法(matlab)一阶常微分方程一、概述微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用。
而欧拉法是求解微分方程的一种数值计算方法，通过利用微分方程的切线近似曲线上的点，来逼近微分方程的解。
在matlab中，欧拉法是求解微分方程的常用方法之一。
本文将介绍欧拉法在matlab中求解一阶常微分方程的具体步骤和实现过程。
二、欧拉法的原理欧拉法是一种基本的数值方法，用于求解形如y' = f(x, y)的一阶常微分方程初值问题。
其基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过逐步逼近微分方程的解。
具体步骤如下：1. 确定初值条件，即确定微分方程的初始值(x0, y0)2. 根据微分方程y' = f(x, y)计算斜率f(x, y) = dy/dx3. 根据斜率计算下一个点的坐标，即y1 = y0 + h*f(x0, y0)，其中h 为步长4. 更新坐标，即(x0, y0) = (x0+h, y1)5. 重复上述步骤直至达到所需的精度或特定的终止条件通过以上步骤，可以得到微分方程的近似解。
在matlab中，可以利用欧拉法求解一阶常微分方程，具体步骤如下。
三、欧拉法在matlab中的实现1. 编写求解函数我们需要编写一个求解一阶常微分方程的函数。
这个函数的输入参数包括微分方程的函数表达式、初始值、步长和终止条件等。
函数的基本框架如下：```matlabfunction [x, y] = euler_method(f, x0, y0, h, x_end)x = x0:h:x_end; 生成x的序列y = zeros(size(x)); 初始化y的序列y(1) = y0; 设置初始值for i = 2:length(x)y(i) = y(i-1) + h*f(x(i-1), y(i-1)); 根据欧拉法更新y值endend```在上述函数中，f表示微分方程的函数表达式，x0和y0表示初始值，h表示步长，x_end表示终止条件。
用MATLAB程序生动地演示欧拉公式
⽤MATLAB程序⽣动地演⽰欧拉公式下⾯的MA TLAB 程序⽣动地演⽰欧拉公式Exp(t) = cos(t) + j sin(t)% Henry-104% 本程序演⽰欧拉公式% Jan.25th,2012%h_fig1 = figure;set(h_fig1, 'unit', 'normalized', 'position', [0.1, 0.1, 0.9, 0.9]);set(h_fig1, 'defaultuicontrolunits', 'normalized');h_text1 = uicontrol(h_fig1, 'Style', 'text', 'Position', [0.71, 0.73, 0.25, 0.05],... % 创建⽂本框'String', '▲是cos 曲线的起点', 'ForegroundColor', 'r', 'FontName', '⿊体',...'FontSize', 12, 'FontWeight', 'Bold', 'BackgroundColor', [1, 1, 1]);h_text2 = uicontrol(h_fig1, 'Style', 'text', 'Position', [0.71, 0.78, 0.25, 0.05],... % 创建⽂本框'String', 'Δ是sin 和exp 曲线的起点', 'ForegroundColor', 'r', 'FontName', '⿊体',...'FontSize', 12, 'FontWeight', 'Bold', 'BackgroundColor', [1, 1, 1]);h_pushbutton1 = uicontrol(h_fig1, 'Style', 'PushButton', 'Position', [0.82, 0.12, 0.07, 0.06],...'string', '退出', 'BackgroundColor', [0.8 0.9 0.8], 'ForegroundColor', 'r', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'Bold',...'callback', 'delete(h_fig1),')h_axes0 = axes('Box', 'on', 'Position', [0.15, 0.18, 0.56, 0.68], 'FontSize', 8)set(gcf,'color','w');w = 0.1*pit = 0:40; % 在前进⽅向绕了2 圈%a = -ones(1,length(t));plot3(cos(w*t),t,sin(w*t),'b', 'LineWidth', 2);grid on; hold on;hc = plot3(cos(w*t),t,a,'k--'); hold on;set(hc, 'Color', 'r', 'LineWidth', 2);a=-a;hs = plot3(a,t,sin(w*t),'r-.'); hold on;set(hs, 'Color', 'k', 'LineWidth', 2);text(0.7,0.3,0.6, ' <-- CCW', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'Bold'); text(1,0,-1, ' ▲Cos', 'Color', 'r', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'Bold'); text(1,0,0, ' Δ Sin', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'Bold');%xlabel('x', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'Bold');ylabel('t', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'Bold');zlabel('y', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'Bold');title('演⽰欧拉公式y = exp(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)', 'Color', 'b', …'FontSize', 18, 'FontWeight', 'Bold');%line([-1,-1],[39.9,39.9],[-1,1],'LineWidth',3, 'Color', 'r');line([1,1],[39.9,39.9],[-1,1],'LineWidth',3, 'Color', 'r');line([-1,-1],[0,0],[-1,1],'LineWidth',3, 'Color', 'r');line([1,1],[0,0],[-1,1],'LineWidth',3, 'Color', 'r');line([-1,-1],[0,40],[-1,-1],'LineWidth',3, 'Color', 'k');line([-1,1],[0,0],[-1,-1],'LineWidth',3, 'Color', 'b')line([-1,1],[40,40],[1,1],'LineWidth',3, 'Color', 'b')line([-1,1],[40,40],[-1,-1],'LineWidth',3, 'Color', 'b')line([-1,1],[0,0],[1,1],'LineWidth',3, 'Color', 'b')line([-1,1],[0,0],[0,0],'LineWidth',2, 'Color', 'k');line([0,0],[0,0],[-1,1],'LineWidth',2, 'Color', 'k');line([0,0],[40,40],[-1,1],'LineWidth',2, 'Color', 'k');line([0,0],[0,40],[0,0],'LineWidth',2, 'Color', 'k');line([-1,1],[40,40],[0,0],'LineWidth',2, 'Color', 'k');line([0,0],[0,40],[0,0],'LineWidth',2, 'Color', 'k');text(0,0,0.12,'O', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'Bold', 'Color', 'r') text(0,40,0.12,'O', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'Bold', 'Color', 'b')程序运⾏结果如下所⽰。
欧拉法求解一阶微分方程matlab
为了更好地理解欧拉法求解一阶微分方程在Matlab中的应用，我们首先来了解一些背景知识。
一阶微分方程是指只含有一阶导数的方程，通常表示为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是关于x和y的函数。
欧拉法是一种常见的数值解法，用于求解微分方程的近似数值解。
它是一种基本的显式数值积分方法，通过将微分方程转化为差分方程来进行逼近。
在Matlab中，我们可以利用欧拉法求解一阶微分方程。
我们需要定义微分方程的函数表达式，然后选择合适的步长和初始条件，最后使用循环计算逼近解。
下面我们来具体讨论如何在Matlab中使用欧拉法来求解一阶微分方程。
我们假设要求解的微分方程为dy/dx=-2x+y，初始条件为y(0)=1。
我们可以通过以下步骤来实现：1. 我们需要在Matlab中定义微分方程的函数表达式。
在Matlab中，我们可以使用function关键字来定义函数。
在这个例子中，我们可以定义一个名为diff_eqn的函数，表示微分方程的右侧表达式。
在Matlab中，这个函数可以定义为：```matlabfunction dydx = diff_eqn(x, y)dydx = -2*x + y;end```2. 我们需要选择合适的步长和初始条件。
在欧拉法中，步长的选择对于数值解的精度非常重要。
通常情况下，可以先尝试较小的步长，然后根据需要进行调整。
在这个例子中，我们可以选择步长h=0.1，并设置初始条件x0=0，y0=1。
3. 接下来，我们可以使用循环来逼近微分方程的数值解。
在每一步，根据欧拉法的迭代公式y(i+1) = y(i) + h * f(x(i), y(i))，我们可以按照下面的Matlab代码计算逼近解：```matlabh = 0.1; % 步长x = 0:h:2; % 定义计算区间y = zeros(1, length(x)); % 初始化y的值y(1) = 1; % 设置初始条件for i = 1:(length(x)-1) % 欧拉法迭代y(i+1) = y(i) + h * diff_eqn(x(i), y(i));end```通过上述步骤，在Matlab中就可以用欧拉法求解一阶微分方程。
matlab使用欧拉法求解二阶微分代码
欧拉法是一种简单的数值方法，用于求解微分方程。
以下是使用MATLAB求解二阶微分方程的欧拉法代码：
```matlab
定义参数和初始条件
a = 0; 区间左端点
b = 1; 区间右端点
h = 0.01; 步长
x = a:h:b; 生成离散点
y = zeros(size(x)); 初始化y数组
y(1) = 1; 初始条件
y(2) = 0;
使用欧拉法进行迭代
for i = 2:length(x)
y(i) = y(i-1) + h * f(x(i-1), y(i-1)); f 是二阶微分方程的右端函数
end
定义微分方程的右端函数
f = @(x, y) x^2 - y;
绘制结果图
plot(x, y);
xlabel('x');
ylabel('y');
```
注意，这个代码只适用于简单的二阶微分方程，例如`y'' = f(x, y)`。
对于更复杂的微分方程，你可能需要修改`f` 函数以适应你的需求。
同时，这个代码没有包含任何错误处理或边界检查，所以在实际使用时可能需要添加这些内容。
matlab实例讲解欧拉法求解微分方程
欧拉法是数值分析中常用的一种方法，用于求解常微分方程的数值解。
在MATLAB中，可以通过编写相应的代码来实现欧拉法求解微分方程。
下面我们将通过具体的实例来讲解MATLAB中如何使用欧拉法求解微分方程。
我们要了解欧拉法的基本原理。
欧拉法是一种通过迭代逼近微分方程解的方法，它基于微分方程的定义，通过离散化的方法逼近微分方程的解。
其基本思想是利用微分方程的导数定义，将微分方程以差分形式进行逼近。
具体而言，欧拉法通过将微分方程转化为差分方程的形式，然后通过迭代逼近得到微分方程的数值解。
接下来，我们通过一个具体的实例来讲解MATLAB中如何使用欧拉法求解微分方程。
假设我们要求解以下的一阶常微分方程：(1) dy/dx = x + y(2) y(0) = 1现在我们来编写MATLAB代码来实现欧拉法求解这个微分方程。
我们需要确定微分方程的迭代步长和迭代范围。
假设我们将x的范围取为0到10，步长为0.1。
接下来，我们可以编写MATLAB代码如下：```matlab欧拉法求解微分方程 dy/dx = x + y定义迭代步长和范围h = 0.1;x = 0:h:10;初始化y值y = zeros(1,length(x));y(1) = 1;使用欧拉法迭代求解for i = 1:(length(x)-1)y(i+1) = y(i) + h * (x(i) + y(i));end绘制图像plot(x,y,'-o');xlabel('x');ylabel('y');title('欧拉法求解微分方程 dy/dx = x + y');```在这段MATLAB代码中，我们首先定义了迭代的步长和范围，并初始化了微分方程的初始值y(0) = 1。
然后通过for循环使用欧拉法进行迭代求解微分方程，最后绘制出了微分方程的数值解的图像。
通过以上的实例讲解，我们可以看到，在MATLAB中使用欧拉法求解微分方程是非常简单而直观的。
用欧拉方法求初值问题matlab
欧拉方法是一种常用的数值求解方法，可以用于解决微分方程初值问题。
在MATLAB中，我们可以利用欧拉方法对初值问题进行求解，得到数值解的近似值。
在本文中，我将深入探讨欧拉方法在MATLAB中的应用，从简单的原理和基本操作开始，逐步深入讨论其在不同情况下的适用性和局限性。
1. 欧拉方法的基本原理欧拉方法是一种数值逼近方法，用于求解微分方程的初值问题。
它基于微分方程的定义，通过将微分方程进行离散化处理，然后利用迭代的方式逐步逼近真实解。
欧拉方法的基本原理是利用微分方程的导数来估计下一个时间步长的值，从而逼近微分方程的解。
2. 在MATLAB中应用欧拉方法在MATLAB中，我们可以编写脚本或函数来实现欧拉方法对初值问题的求解。
我们需要将微分方程离散化，得到差分方程的形式。
然后利用循环结构和递推关系，逐步计算出微分方程在离散时间点上的近似解。
我们可以将这些近似解绘制成图表，以便更直观地了解微分方程的行为。
3. 欧拉方法的适用性和局限性尽管欧拉方法是一个简单易用的数值求解方法，但它也有其适用性和局限性。
在某些情况下，欧拉方法可能会产生较大的误差，特别是在微分方程的解具有较大变化率或非线性特性时。
此时，我们需要考虑其他高阶的数值求解方法，如改进的欧拉方法或Runge-Kutta方法。
4. 个人观点和理解在我看来，欧拉方法是一个非常好的入门级数值求解方法，能够帮助我们快速了解和掌握微分方程的数值求解技巧。
通过在MATLAB中实际应用欧拉方法，我们可以更深入地理解微分方程的求解过程，以及数值方法的适用性和局限性。
在实际工程和科学计算中，我们需要根据具体情况选择合适的数值求解方法，以确保结果的准确性和稳定性。
回顾总结通过本文的讨论，我们全面地了解了欧拉方法在MATLAB中的应用。
从基本原理到具体操作，再到其适用性和局限性，我们都对欧拉方法有了深入的认识。
在以后的学习和工作中，我将更加灵活地运用欧拉方法，并根据需求选择合适的数值求解方法。
matlab用欧拉法求常微分方程初值
Matlab中欧拉法求解常微分方程初值问题一、概念介绍在数学和工程领域，常微分方程初值问题是一个广泛应用的数学概念。
它描述了一个未知函数在给定初始条件下的行为。
而欧拉法则是一种常用的数值方法，用来解决常微分方程初值问题。
在Matlab中，我们可以利用欧拉法来求解常微分方程问题，从而得到函数在给定初始条件下的近似解。
二、欧拉法的基本原理欧拉法的基本思想是通过离散化微分方程，将其转化为递推的差分方程。
考虑一个一阶常微分方程初值问题：\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0 \]在欧拉法中，我们采用递推的方式，根据已知的初始条件和微分方程的性质，通过迭代来得到逼近解的数值结果。
具体地，我们首先将自变量$x$的范围进行等间距分割，得到$x_0, x_1, x_2, ..., x_n$，并将步长记为$h$。
根据微分方程的性质，我们可以根据已知的初始条件$y(x_0) = y_0$，通过迭代计算得到近似解$y(x_1), y(x_2), ..., y(x_n)$。
三、Matlab中的欧拉法求解在Matlab中，我们可以利用欧拉法来求解常微分方程初值问题。
以求解一阶常微分方程为例，假设我们需要求解以下的常微分方程初值问题：\[ \frac{dy}{dx} = -2xy, \quad y(0) = 1 \]我们可以利用欧拉法的思想，将自变量$x$的范围进行离散化，然后根据欧拉法的递推公式，利用迭代的方式得到近似解的数值结果。
具体地，在Matlab中，我们可以编写如下代码来实现欧拉法的求解过程：```matlabfunction y = euler_method(f, x0, y0, h, n)% 初始化存储结果的数组x = zeros(1, n+1);y = zeros(1, n+1);% 将初始条件存入数组x(1) = x0;y(1) = y0;% 利用欧拉法进行迭代for i = 1:nx(i+1) = x(i) + h;y(i+1) = y(i) + h * f(x(i), y(i));end% 返回近似解的数值结果plot(x, y); % 绘制解的图像end```在上述代码中，我们定义了一个名为`euler_method`的函数，其中包含了欧拉法的计算过程。
matlab软件欧拉算法教程
y( xn1 ) y( xn ) hK
*
寻求计算平均斜率的算法
考察欧拉法，以xn的斜率值
K1 f ( xn , yn )
作为平均斜率
考察改进的欧拉法，可以将其改写为：
1 1 yi 1 yn h K1 K 2 2 2 K1 f ( x n , yn ) K 2 f ( xn h, yn hK1 )
Step 1: 将 K2 在 ( xn , yn ) 点作 Taylor 展开
K 2 f ( xn ph , yn phK1 ) f ( xn , yn ) phf x ( xn , yn ) phK1 f y ( xn , yn ) O( h2 )
y( xn ) phy( xn ) O(h2 )
Euler法
xn Yn
0.1 1.1 0.2 1.1918
改进Euler法
0.0046 1.0959 0.0086 1.1841 0.0005 0.0009
准确解
1.0954 1.1832
|yn-y(xn)| Yn
|yn-y(xn)| y(xn)
0.3 1.2774
0.4 1.3582 0.5 1.4351 0.6 1.5090 0.7 1.5803 0.8 1.6498 0.9 1.7178 1.0 1.7848
Y
x1 b
N 结束
例题3
例2
求解初值问题 步长h 0.1) ( 2x y y y y ( 0) 1 (0 x 1)
解
f ( x, y) y 2 x / y
y p yn hf ( xn , yn ) 改进Euler格式 yc yn hf ( xn1 , y p ) yn1 1 ( y p yc ) 2
matlab 向量的欧拉角
在MATLAB中，处理向量的旋转问题时，我们经常涉及到从旋转矩阵或旋转向量（也称作轴角向量）求解欧拉角。
但是直接从一个简单的三维向量本身并不能直接获得欧拉角，因为欧拉角通常用于描述一个三维空间中的旋转序列，而不是单个向量的方向。
如果有一个向量代表了某个坐标轴上的旋转轴，并且具有特定长度表示旋转的角度（即它是经过标准化后的旋转轴向量，其长度代表了绕此轴的旋转角度），那么可以通过一系列的计算步骤将其转换为欧拉角。
然而，更常见的情况可能是你需要从一个旋转矩阵或旋转向量计算欧拉角。
例如，假设你有一个3x3的旋转矩阵R，你可以使用MATLAB内置的函数rotm2eul来求解欧拉角：Matlab1%假设 R 是一个给定的旋转矩阵2[R, T] = rpy2r(EulerOrder, roll, pitch, yaw); % 如果你知道旋转矩阵是由哪些欧拉角构建的3[eulerAngles] = rotm2eul(R, EulerOrder); % 求解欧拉角这里的EulerOrder是一个字符串，表示欧拉角的旋转顺序，比如'ZYX'表示先绕Z 轴旋转，然后绕新坐标系的Y轴旋转，最后绕再次变换后坐标系的X轴旋转。
如果你有一个旋转向量omega，它是一个三维向量，表示绕单位向量旋转的角度，可以先将其转换为旋转矩阵，然后再转换为欧拉角：Matlab1%假设 omega 是一个旋转向量2theta = norm(omega); % 计算旋转角度3axisOfRotation = omega / theta; % 获取单位旋转轴4R = axis2rotmat(axisOfRotation, theta); % 将旋转轴和角度转换为旋转矩阵5[eulerAngles] = rotm2eul(R, EulerOrder); % 再次使用rotm2eul函数求欧拉角请注意，由于旋转表示的多解性和万向节死锁问题，从旋转矩阵到欧拉角的转换可能不是唯一的，尤其是在接近某些特殊角度组合时。
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K 2 f ( xn ph , yn phK1 ) f ( xn , yn ) phf x ( xn , yn ) phK1 f y ( xn , yn ) O( h2 )
y( xn ) phy( xn ) O(h2 )
在区间[xn ,xn+q ]已知两个斜率值K1,K2，对K1,K2加权 平均得出此区间的平均斜率,从而得到y(xn+q )的预报 值yn+q
ynq yn qh(1 )K1 K2
K 3 f ( x n q , yn q )
因此K 3为:
利用Taylor展开法选择参数p, q, , , ，使此计算格式 具有三阶精度这类格式统称为三阶Runge-Kutta格式
Euler法
xn Yn
0.1 1.1 0.2 1.1918
改进Euler法
0.0046 1.0959 0.0086 1.1841 0.0005 0.0009
准确解
1.0954 1.1832
|yn-y(xn)| Yn
|yn-y(xn)| y(xn)
0.3 1.2774
0.4 1.3582 0.5 1.4351 0.6 1.5090 0.7 1.5803 0.8 1.6498 0.9 1.7178 1.0 1.7848
斜率 一定取K1 K2 的平均值吗？
步长一定是一个h 吗？
用xn , xn1两个点的斜率值K1 , K 2的算术平均作为平均 斜率K *；xn 1处的斜率值K 2，由已知信息y n 通过Euler 公式预报
Runge-Kutta方法的设计思想 设法在[xn,xn+1]区间内多预报几个点的斜率值， 利用这些斜率值，将他们加权平均作为平均斜率 的近似，有可能构造出更高精度的计算格式
预测—校正系统称作改进的欧拉公式。
单步显式格式
改进的Euler方法
改进Euler格式的嵌套形式
h yn1 yn f ( xn , yn )+f ( xn1 , yn +hf ( xn , yn ) 2
平均化形式： y p yn hf ( xn , yn ) yc yn hf ( xn 1 , y p ) 1 yn 1 ( y p yc ) 2 y ( x 0 ) y0
Step 3: 将 yn+1 与 y( xn+1 ) 在 xn 点的泰勒展开作比较
yn1 yn (1 2 )h y( xn ) 2 ph2 y( xn ) O(h3 )
h2 y( xn1 ) y( xn ) hy( xn ) y( xn ) O( h3 ) 2
xn
h f ( x , y( x ))dx f ( xn , y( xn )) f ( xn1 , y( xn1 )) O( h3 ) 2
h yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 梯形格式 2
梯形格式是显式Euler格式与隐式Euler格式的 算术平均 Euler格式是显式算法，计算量小，但精度低 梯形格式，精度较高，但是隐式算法，需要通过 迭代过程求解，计算量大
二、二阶Runge-Kutta方法
推广改进的Euler方法，在区间[xn , xn1 ]内任取一点 xn p xn ph,
* *
0 p 1
希望用xn，xn p两个点的斜率K1 , K 2加权平均得到平 均斜率K ，即 K =1 K1 2 K 2 , 1 ,2为待定参数
经典R-K公式 每一步计算需 要四个函数值
注意的问题
Runge-Kutta法的主要运算在于计算 Ki 的值，即计算 f 的值。计算量与可达到的最高精度阶数的关系：
每步须算Ki 的个数
2 3 4 5 6 7
n8
O(hn2 )
4 3 4 5 可达到的最高精度 Oபைடு நூலகம்h2 ) O(h ) O(h ) O(h ) O(h )
四、四阶Runge-Kutta方法
继续上述过程，可以进一步导出四阶Runge-Kutta 格式
yn1 yn h K1 2 K 2 2 K 3 K 4 , 6 K f x , y , n n 1 h K 2 f x n 1 , yn K1 , 2 2 h K f x n 1 , yn K 2 , 3 2 2 K 4 f xn1 , yn hK 3 .
0.0125 1.2662
0.0166 1.3434 0.0209 1.4164 0.0257 1.4860 0.0311 1.5525 0.0373 1.6165 0.0445 1.6782 0.0527 1.7379
0.0013
0.0018 0.0022 0.0028 0.0033 0.0040 0.0049 0.0058
Y
x1 b
N 结束
例题3
例2
求解初值问题 (步长h 0.1) 2x y y y y ( 0) 1 (0 x 1)
解
f ( x, y) y 2 x / y
y p yn hf ( xn , yn ) 改进Euler格式 yc yn hf ( xn1 , y p ) yn1 1 ( y p yc ) 2
O(h6 )
R-K(高阶)方法不唯一,选择不同的参数能得到 不同的R-K公式 R-K方法的推导是基于Taylor展开法，因而要求 解具有较好的光滑性，如果光滑性较差精度可 能不如改进Euler方法,最好采用低阶算法而将 步长h 取小。
四阶R-K方法实现
开始
输入 x 0, y 0, h, N
n N 1; x1 x0 , y1 y0
改进的Euler方法
综合两种方法，先用Euler法得到一个初步的近似值
yn1称为预报值，预报值yn1的精度不高,利用预报 值替代右端的yn1再直接计算，得到校正值yn1
建立预报-校正系统 预报：yn1 yn hf xn , yn h f xn , yn f xn1 , yn1 校正：yn1 yn 2
1.2649
1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321
改进的Euler方法
第三节
Runge-Kutta方法
拉格朗日中值定理
如果函数f ( x )满足 (1)在闭区间[a , b]上连续， ( 2)在开区间(a , b)上可导；那么, 至少存在一点 (a , b), 使得f (b) f (a ) f ( )(b a )成立
R-K法的常用公式
常用的三阶R-K方法.
h yn 1 yn 6 K1 4 K 2 K 3 , K1 f x n , yn , K 2 f x 1 , yn h K1 , 2 n+ 2 K 3 f xn +1 , yn +h( K1 2 K 2 ) .
将改进Euler法推广 y n+1 =y n +h 1 K1 2 K 2 K1 f ( x n , yn ) K f ( x , y phK ) n p n 1 2
（ 1）
d f ( x, y) 首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有 2阶 dx 精度，即在 yn y( xn ) 的前提假设下，使得 dy f3x ( x , y ) f y ( x , y ) Ri y( xn1 ) yn1 O(h ) dx f x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) y( x )
要求 Rn y( xn1 ) yn1 O(h3 ) ，则必须有：
1 1 2 1 , 2 p 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶 龙格 - 库塔格式。
1 (1) p 1, 1 2 为改进Euler 格式 2 1 (2)p , 1 0, 2 1为变形的Euler 格式 中点格式 2 yn h K1是Euler 法预报的中点xn 1 的近似值，K 2 近似 2 2
利用数值积分求积分项的方法离散
(1)左矩形法
xn1
xn
f ( x , y( x ))dx hf ( xn , y( xn )) O( h2 )
y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
Euler格式 一阶方法
改进的Euler方法
(2)梯形法
xn1
x1 x0 h; h h K1 f ( x0 , y0 ), K 2 f ( x0 , y0 K1 ) 2 2 h h K 3 f ( x0 , y0 K 2 ), f ( x0 h, y0 hK 3 ) 2 2 h y1 y 0 ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6
改进的Euler方法
第二节 改进的Euler方法
已知初值问题的一般形 式为: dy f ( x, y) dx y ( x 0 ) y0 a xb (1)
将方程两端从xn到xn+1求积分，得 y( xn1 ) y( xn )
xn1
xn
f ( x , y( x ))dx
改进Euler方法计算框图 开始
输入x0 , y0 , h, b
n 1
x1 x0 h y p y0 hf ( x0 , y0 ) yc y0 hf ( x1 , y p ) 1 y1 ( yc y p ) 2