非周期信号的傅里叶变换

第4章 连续时间信号的傅立叶变换
常数
试求 X ( w ) ( w ) 的傅立叶反变换
1 x( t ) 2 1 ( w )e dw 2
jwt
1
2
(w)
1 2 ( w ) A 2A ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.8 傅立叶级数与傅立叶变换的关系
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.7 非周期信号的表示，连续时间傅立叶变换 一.非周期信号傅立叶变换的导出
1.由傅立叶级数到傅立叶积分
~(t ) 由非周期信号 x( t ) 以T0为周期拓展为周期信号 x
T0
~ ( t ) x(t ) lim x
k T0 2 T 0 0 2 T0 2 T 0 2 jk 0 t C e k
dt e ( a jw ) t dt
2a X ( ) 2 2 a
( ) 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
门函数
AT1
2 / T1
常用 GT (t ) 表示高度为1,脉宽为T1的门函数。 AGT (t ) 的傅立叶变换为：
1 1
X (w)
T1 / 2
X( w ) 0 0 X ( w) AT1 Sinc(wT1 / 2) arg X ( w ) X( w ) 0
~(t ) x
1 Ck T

~(t )e jk0t dt x
CkT0
~(t )e jk0t dt x
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
当 T0 时 0 d , k0
T0
~ ( t ) x( t ) x
limCkT0 lim




x(t ) dt
1 2




X ( w )e jwt1 dw x( t1 )
jwt 2
若x(t)在t2点不连续,则: 1
2
X ( w )e
1 dw [ x( t 2 ) x( t 2 )] 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
三、常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 信号表达式

第4章 连续时间信号的傅立叶变换
x(t)
0
t
X ( )
1
arg X ( )

2
1 2a

3a

2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
双边指数信号
x(t ) e

a t
( t )
e
jwt
a0
0
X ( ) e
a t
dt e

0
( a jw ) t
1 X(kw0 ) T0
证明：
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
二、周期信号的傅立叶变换
1.虚指数函数e j0 t的傅立叶变换
e
j 0t
2 ( 0 )

0
1 1 F [2 ( 0 ] 2 2

证明：用傅立叶反变换来证明
j t j t ( ) e d e 0
cos0 t [ ( 0 ) ( 0 )]
1 j 0 t j 0 t si n 0 t (e e ) 2j
sin0t j [ ( 0 ) ( 0 )]
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
5. 周期单位冲激串的傅立叶变换
T1 / 2
jwt Ae dt AT1 Sinc( wT1 / 2)
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
单位冲激函数
X ( w ) F [ ( t )]



( t )dt 1
t

( t )e

jt
dt
(t )
X ( )
1

(t ) 1
T0 2 T T0 0 2
~(t )e jk0t dt x
x(t )e jwt dt
用x(w)来表示上述积分:
x( w) limCkT0 limCk / f x(t )e jwt dt
T0 T0

X(w)=Ck/f表示单位频率上的振幅大小,简称为频谱密度或 频谱函数,x(t)称为X(w)的原函数.
| X ( ) | a 2 ( ) b 2 ( )
为 X ( )的振幅。
为X ( ) 的相位。
b( ) arg( ) arctg a( )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
二.傅立叶变换的收敛条件
(1) x(t)绝对可积,即: (2) 在任何有限区间内,x(t)只有有限个极大值和极小值. (3) 在任何有限区间内,x(t)的不连续点个数有限,而且在不 连续点处,x(t)的值是有限的. 满足上述条件的x(t),其傅立叶积分将在所有连续点收敛 于x(t),而在各个不连续点处收敛于x(t)的左极限和右极限 的平均值. 若x(t)在t1点连续,则:

0
)
X ( ) FT [ T (t )] 0
( k )
0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
作业： 4-32
0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2.一般周期信号的傅立叶变换
x( t )
k
C
jk 0 t

kபைடு நூலகம்
e
jk 0 t
e
F [ x( t )]

j0t

2( 0 )
k
k
C
jk 0 t
F [e
] 2

k
c ( k
k

0
)
k
T (t )
x( t )
1
T0 2T0 3T0
k
(t kT )
0

X (w)
w0
t
w0 2w0 3w0
w
(t ) 1
1 FT [ x( t )] 2 T0
1 1 ck X ( kw0 ) T0 T0
k
( k
k

e at x (t ) 0
j t 0
(t 0) (t 0)
X ( ) x(t )e 1 a j
–幅频
–相频
dt e at e j t dt
(a 0)
X ( ) 1 a
2 2
arg X ( ) arctg ( ) a
一、傅立叶系数与傅立叶变换的关系
~( t ) c x x( t ) X ( w ) k ~ ( t ) 是 x( t ) 的周期拓展。 其中 x
1 ck X ( kw0 ) T0 1 T0 / 2 ~ jkw0 t ck x ( t )e dt T0 T0 / 2 1 T0 / 2 jkw0 t x( t )e dt T / 2 T0 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
对周期信号，其频谱是用实际振幅 ck 作出的。 对非周期信号，其频谱是用密度函数 X ( ) 作出的。 a. X(w)代表了信号中各频率分量振幅的相对大小。 b.各频率分量的实际振幅为是无穷小量。 c. X(w)具有单位角频率振幅的量纲。
d . X ( ) | X ( ) | e j arg( ) a( ) jb( )
X ( w ) x( t )e


jwt
dt
傅立叶变换
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
jkw0 t ~ x( t ) lim x ( t ) lim ck e T0 T0 k
……(1)
2 lim C kT0 lim C k X (w) T0 T0 w0
X ( w )w0 lim C k lim T0 T0 2
X ( w )w0 jkw t 代入(1)式,得: x( t ) lim e T 2 k ~ x ( t ) x( t ) T0 时 0 d , k 0
0 0

1 x( t ) 2
ck AT1 / T0 Sinc(kw0T1 / 2)
X ( w) AT1w0 Sinc(kw0T1 / 2) ( w kw0 )
k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4. sin w0 t和cos w0 t的傅立叶变换
1 j 0 t j 0 t cos 0 t (e e ) 2
x( t ) X ( w )
2.几点说明： (1).正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。反变 换表示时间函数x(t)可以表示为频率在区间( ) 内的指数函数的连续和。 傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之间相互 变换的工具。正变换通常叫做分析运算，反变换通常叫 做综合运算。 (2).周期信号与非周期信号都可以分解为许多不同频率的 正弦分量。
C
k
e
2
k
c ( k
k
0
)
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3.周期矩形脉冲的FS和FT x0 ( t )
A
X 0 ( )
AT1
2 T1
FT
t
周 期 重 复
T1 2
0
0
T1 2
ck

AT1 T0
x( t )
A
FS
t
T1
X ( )
k0
AT10
FT


T1



X ( w )e jwt dw
傅立叶反变换
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
X ( w ) x( t )e


jwt
dt
傅立叶变换
X ( w ) F[ x( t )]
1 x( t ) 2



X ( w )e jwt dw 傅立叶反变换 x(t ) F -1 [ X ( w )]