杭州电子科技大学《线性代数A》试题A卷
线性代数试题A及答案

线性代数试题(A )一、选择题:(每小题3分,共18分)2、2、A 、B 均为n 阶方阵,则以下表达正确的是__ _ (A ) AB=BA (B ) AB=0,则A=0或B=0 (C ) ()111---=B A AB (D ) ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则(A )A 中没有等于零的1-r 阶子式 (B )A 中至少有一个r 阶子式不等于零 (C )A 中有不等于零的1+r 阶子式 (D )A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ,且b a T A = 则4A =(A ) 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211(B )÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 (C )9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题:(每小题4分,共20分)1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时,向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。
12-13-1《线性代数试卷A》第一学期期末考试试卷

河南理工大学 2012-2013 学年第 1 学期《线性代数》试卷(A 卷)1.设()()(),,,,,,,,t 3,1321111321===βββ若321βββ,,线性相关,则t =.2.矩阵()nn ija ⨯=A 的全体特征值的和等于 , 全体特征值的积等于.3.设A 为4阶方阵,2-=A ,则A 3-= .4.()234321,,B ,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,则=AB.5.设三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120350002A ,则A 的逆矩阵1-A =.6.设3阶方阵A 按列分块为()321ααα,,A =,且Ad e t =5,又设()231215432ααααα,,B ++=,则B =.7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221xA ,x 为某常数,B 为3阶非零矩阵,且0AB =,则x = . 8.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2,已知21ηη,是它的两个解向量.且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42232121ηη,该方程组的通解为.1.设A 与B 均为n 阶方阵,则下列结论中成立的为().(A) det(AB ) = 0,则0A =或0B =; (B) det(AB ) = 0,则det A = 0或det B = 0; (C) AB = 0,则0A =或0B =; (D) AB ≠ 0,则det A ≠ 0或det B ≠ 0.2. 设n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,*A 是A 的伴随矩阵,则( ).(A) 2-=n *A A ; (B) 1+=n *A A ; (C) 1-=n *AA ;(D) 2+=n *AA .3. 已知A 、B 均为3阶方阵,且A 与B 相似,若A 的特征值为1,2,3,则()12-B 的特征值为( )(A) 2312,,; (B) 614121,,; (C) 321,,;(D) 3212,,.4. 向量组321,,βββ线性无关,324,,βββ线性相关,则有 .(A)1β可由324,,βββ线性表示; (B)3β可由42ββ,线性表示 ;(C)2β可由43ββ,线性表示;(D)4β可由32ββ,线性表示 .三、计算题1.(7分)计算行列式211112111121=n D .一、填空题,每小题4分二、选择题,每小题5分2.(7分)设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=121011332A ,求1-A .3.(7分)求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1401131********12211A 的列向量组的一个最大线性无关组.4.(12分)λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ,,(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解?5.(15分)已知二次型()322221321434x x x x x ,x ,x f ++=,求一个正交变换Py x =,把二次型()321x ,x ,x f 化为标准型.。
《线性代数》-期终A卷

杭州电子科技大学继续教育学院学生考试卷( A )卷A 表示方阵A 的行列式,r (A )表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.3阶行列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余子式A 21=( ) A .-2 B .-1 C .-1D .22.若120231101λλ=0,则12λλ、必须满足( )A .1220λλ==,B 122λλ==C 122λλ=,可为任意数D 12λλ、均可为任意数 3.有矩阵3223,33,A B C ⨯⨯⨯,下列矩阵运算可行的是( ) A AC B ABC C BAC D AB BC -4.如果线性方程组12323331223(1)(3)(1)x x x x x x x λλλλλλ++=-⎧⎪-=-⎪⎨=-⎪⎪-=---⎩有唯一解,则λ=( )A 1或2B —1或3C 1或3D 1-或3- 5.设向量组α1, α2, α3, α4线性相关,则向量组中( ) A .必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B .必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C .必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D .每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6.设A=1243⎛⎫⎪⎝⎭, B=12x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则A 与B 可交换的充分必要条件是( ) A 1x y -= B 1x y -=- C x y = D 2x y = 7.下列矩阵不是初等矩阵的是( )A 100001010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B001010100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ C 1001002001⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D100014001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭8.已知向量组 123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--,的秩为2,则t =( ) A 3 B 3- C 2 D 2-9.四元线性方程组 1421400x x x x x ⎧+=⎪=⎨⎪-=⎩的基础解系是( )A (0,0,0,0)TB (0,0,2,0)TC (1,0,1)T- D (0,0,2,0)T和 (0,0,0,1)T10.三阶矩阵A 的特征值为 2,1,3.-则下列矩阵中非奇异矩阵是( ) A 2I -A B 2I+A C I -A D A -3I 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A试卷解答

北 方 交 通 大 学2000-2001学年第二学期线性代数期末考试试卷(A 卷)一.填空题(本题共10道小题,每小题3分,满分30分)1.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121xA ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ,且BA AB =,则=x _______;=y _______. 解:由BA AB =,得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121012012121xy y x , 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2142124y xy xy x y . 即112,4=--=x y y ,解方程组,得2,1==y x .且当2,1==y x 时,矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1121A , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0122B , 验证:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=212401221121AB ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212411210122BA 此时有BA AB =. 应填:2,1==y x .2.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ,其中0,0≠≠i i b a ()3,2,1=i ,则()=A r _______.解:由该矩阵的构造,以及行列式的运算性质,可知该矩阵的任意一个1阶子式均不为0,而任意一个二阶子式都为0.因此该矩阵的秩()1=A r . 应填:()1=A r .3.设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ,且0≠=a A ,则=*A _______.解: 由E A AA=*,两端取行列式,得nAE A AA==*.由于两个n 阶矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积,因此有 nA A A =*,即na a =*A.由题设,0≠=a A ,得11*--==n n aA A.应填:1-n a . 4.设向量()3,2,11-=α,()5,2,02-=α,()2,0,13-=α,()8,5,44=α,则4321,,,αααα线性_______关.解:根据向量线性相关的性质:1+n 个n 维向量必然线性相关.可知4321,,,αααα线性相关.应填:相关.5.设A 是3阶矩阵,A 有特征值1,1,0321=-==λλλ,其对应的特征向量分别为1ξ,2ξ,和3ξ,设[]321,,ξξξP =,则=-AP P 1___________.解:根据矩阵的相似标准形的理论,我们有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1101AP P 应填:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11. 6.设A 是n m ⨯矩阵,则齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是___________. 解:根据齐次线性方程组解的结构理论,得齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是()n r =A .应填:()n r =A . 7.已知:()()3122232132124,,x x x x x x x x f +++=β是正定二次型,则β的取值范围是___________. 解:此二次型所对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=40001βββA . 则此二次型为正定二次型的充分必要条件为矩阵A 是正定二次型.而A 是正定二次型的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式皆大于零.即001>=ββ; ()04400012>-=βββββ.因此有不等式组⎩⎨⎧>->0402ββ,解之得20<<β. 应填:20<<β.8.设3阶方阵A 的列分块矩阵为[]321,,αααA =,a 、b 是数,若213αααb a +=,则=A ___________.解:根据行列式的运算性质,得 [][]2121321,,,,αααααααA b a +==[][][]0,,,,,,2211212121=+=+=ααααααααααb a b a .应填:0.9.设不含零向量的n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组,则m 与n 的大小关系为______. 解:因为n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组,所以向量组m ααα,,,21 是线性无关的向量组.因此n m ≤. 应填:n m ≤.10.设有一个四元非齐次线性方程组 b AX =,()3=A r ,321,,ααα为其解向量,且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=79911α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+899132αα, 则此方程组的一般解为____________. 解:由于四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵的秩()3=A r ,因此齐次线性方程组b AX =的导出组0AX =的基础解系中有一个解向量.由于2α与3α都是非齐次线性方程组b AX =的解向量,所以()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+42929212132αα也是非齐次线性方程组b AX =的解向量.因此()13221ααα-+是齐次线性方程组0AX =的解向量.所以()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-+69917991289912132ααα或者⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6991是齐次线性方程组0AX =的基础解系中的一个解向量.因此,非齐次线性方程组b AX =的通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k , (其中k 是任意常数). 应填:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k .二.(本题满分8分)计算n 阶行列式1111111332211------=n n a a a a a a a a D .解:将行列式按第1列展开,得1111111332211------=n n n a a a a a a a a D ()1211114433221111111-+---+-----=n n n n a a a a a a a a a a a a()1211111-+--+-=n n n a a a D a由此得递推公式:()1211111-+--+-=n n n n a a a D a D于是,()[]()121113222111-+---+-+--=n n n nn n a a a a a a D a a D()()12112212121-+--+-=n n n a a a D a a== ()()()121122212121-+----+-=n n n n a a a n D a a a而1112211----=-=n n n a a a D所以,()()()()1211122121221-+-----+-⋅-=n n n n n n a a a n a a a a D()()122111221111--+----=-=n n n n n n a a a na a a a na .三.(本题满分8分)已知矩阵X 满足关系式:X B XA 3+=T ,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1234A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41032B , 求X . 解:由X B XA 3+=T ,得T B X XA =-3,即()T B E A X =-3 而 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-2231300312343E A , 所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---1232412231311E A . 在等式()T B E A X =-3两端右乘()13--E A ,得()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-12212314884644112324140130231E A BX T. 四.(本题满分10分)设向量组[]Tk ,1,0,01=α,[]Tk 0,1,,02=α,[]T0,0,1,13=α,[]Tk 1,0,0,4=α,问:⑴ k 为何值时,向量组4321,,,αααα线性无关.⑵ k 为何值时,向量组4321,,,αααα线性相关,并求其秩及一个极大无关组.解:⑴ 4维向量组4321,,,αααα线性无关当且仅当4阶行列式0,,,4321≠αααα.而 11000100011101000100011100011010100,,,4321kk k kk k kk k --=-==αααα()1101000100011111000100011-=--=-=k k kk k k k所以,当且仅当0≠k 而且1≠k 时,0,,,4321≠αααα此时向量组4321,,,αααα线性无关.⑵ 当0=k 或者1=k 时,向量组4321,,,αααα线性相关.当0=k 时,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001101000100,,,4321αααα, 此时向量组4321,,,αααα的秩为3,432,,ααα是其一个极大线性无关组.当1=k 时,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101001101101100,,,4321αααα, 此时向量组4321,,,αααα的秩为3,432,,ααα是其一个极大线性无关组.五.(本题满分14分)对参数λ,讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=-+λλλλλ3213213211x x x x x x x x x 的解.在有解时,求出其无穷多解. 解:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0110111011111100110111111111122λλλλλλλλλλλλλλλλλ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+----→λλλλλλλλ11101110111⑴ 若0=λ,则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10111011011111111λλλλλ此时方程组的系数矩阵的秩为2,而其增广矩阵的秩为3,故此时线性方程组无解. ⑵ 若1=λ,则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100101102020011111111111λλλλλ此时线性方程组有无穷多组解.其解为⎩⎨⎧=-=01321x x x .⑶ 若1-=λ,则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001010010100202011111111111λλλλλ 此时线性方程组有无穷多组解.其解为⎩⎨⎧-=-=1231x x x .⑷ 若0≠λ,且1±≠λ,线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是3,其秩与未知变量的个数相等,故此时线性方程组有唯一解.六.(本题满分16分)设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=122232221A ,求可逆矩阵P ,使得AP P Λ1-=为对角矩阵,并求kA . 解:⑴ 矩阵A 的特征多项式为()1221102211122110221122232221---+=--++-=--+--=-λλλλλλλλλλλA E()()()111221002112-+=+--+=λλλλλ所以,矩阵A 的特征值为1,1321=-==λλλ.对121-==λλ,由⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=++-022202220222321321321x x x x x x x x x ,得解向量[][]TT0,1,1,1,0,121==αα.对13=λ,由⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=+02202420222132132x x x x x x x ,得解向量[]T1,1,13-=α.令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101110111P ,则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P . ⑵ 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ,得1111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P A 所以,()()111111111111---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P P PP PAkk kkk若k 是奇数,则 A P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111k; 若k 是偶数,则 E P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1111k. 七.(本题满分8分)设321,,ααα为线性空间V 的一个基, 3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=.证明:321,,βββ也是线性空间V 的一个基.并求32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量.解:⑴ 由3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=,得[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=22331121,,,,321321αααβββ 由于022245012122331121≠==-,所以矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-220331121是可逆矩阵,因此向量组321,,ααα与321,,βββ等价.这表明,321,,βββ也是线性空间V 的一个基.⑵ []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=312,,32321321ααααααα.由[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=220331121,,,,321321αααβββ,得 [][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-52242232021,,22331121,,,,3211321321ββββββααα 所以,[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2135211,,31252242232021,,312,,321321321ββββββαααα即32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量为T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-213,5,211. 八.(本题满分6分)已知矩阵A 与B 相似,其中2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A 卷解答 第 11 页 共 11 页 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x 10100002A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10010002y B , 求x 和y .解:由于相似矩阵有相等的行列式,即100100021*******-===y x B A因此,有y 22-=-,所以有1=y . 再由相似的矩阵有相等的迹,即有 1202-+=++y x ,因此,有0=x .由此得1,0==y x .。
(完整版)线性代数测试试卷及答案

线性代数(A 卷)一﹑选择题(每小题3分,共15分)1。
设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A )AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D )A B B A +=+2。
如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )(A) n (B) s (C ) n s - (D) 以上答案都不正确 3。
如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。
设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( )(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ (B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ (C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭(D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =,则( ) (A ) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B )A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D )A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ;2。
设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ; 5。
设A 为正交矩阵,则A = ;6。
设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ; 7。
2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准

A卷2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准《线性代数》期末试卷答案(32学时必修)专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项:1.请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题(请勿用铅笔答题),反面及附页可作草稿纸;2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁;3.本试卷共七道大题,满分100分;试卷本请勿撕开,否则作废;4. 本试卷正文共7页。
说明:试卷中的字母E 表示单位矩阵;*A 表示矩阵A 的伴随矩阵;)(A R 表示矩阵A 的秩;1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题(请从下面6个题目中任选5个小题,每小题3分;若6个题目都做,按照前面5个题目给分)1.5阶行列式中,项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ,)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式,则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3.设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,A 为34⨯矩阵,且()2A =R ,则()AB =R 【 2 】.4.若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关,则=t 【 1 】.5.设A 是3阶实的对称矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解,则常数=m 【 1 】.6.设A 和B 是3阶方阵,A 的3个特征值分别为0,3,3-,若AB B E =+,则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题(共5个小题,每小题3分)1. 设A 为3阶矩阵,且21||=A ,则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-; (B) 21-; (C) 1-; (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】.(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (C) 110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3.设A 是n 阶非零矩阵,满足2A A =,若A E ≠,则【 A 】.(A) ||0A =; (B) ||1A =; (C) A 可逆; (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ,则1C -的第3行第1列的元素为【D 】.(A) 4; (B) 8; (C) 0; (D) 1-.5.设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=,a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数,则必有【 B 】.(A) 2=a ; (B) 1=a ; (C) 3=a ; (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题,每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关,2,αβ+2k βγ+,3βγ+线性相关,求k . 解:因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关,所以必定存在不全为零的数321,,λλλ,使得0=3+++2+2+321)()()(γβλγβλβαλk ----------2分 整理得:0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ)()(k 由于,,αβγ线性无关,因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321,,λλλ不全为零,即上述齐次线性方程组有非零解,因此0=30122001k ,由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ,若2)(=+B AB R ,求a .解:由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ,由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且,A B 相似,求a 与t 的值.解:由,A B 相似可知,A B 的特征值相同,而易知B 的特征值为 -1,t ,3,因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分四、(共2小题,每小题8分)1.求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα的一个最大无关组,并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解:令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换,化为行最简形, ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421,,βββ是C 的列向量组的一个最大无关组,且421303ββββ++=, 故421,,ααα是A 的列向量组的一个最大无关组,且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件,才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量?解:由0=30030412=λλλλ----a E A ,得A 的特征值:3==2=321λλλ, 要使A 有两个线性无关的特征向量,则特征值3对应一个线性无关的特征向量, 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1,则2=)3(E A R -, ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时,线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解,有无穷多解,并在有无穷多解时求出其通解.解:记方程组的增广矩阵为,则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ,对其进行行变换,化为行阶梯形:101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭,易知,当1≠λ时,3)(2)(=≠=B R A R ,方程组无解;当1=λ时,2)()(==B R A R ,方程组有无穷多解; ----------6分当1=λ时,101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭,与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩,由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩,并求正交变换Py x =,化二次型为标准形.解:记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ,可得:0,9321===λλλ,当,91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ,单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当,032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-,01232ξξ,正交化:[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--,012222323322ηηηξηξηξη,单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35,0125132p p , ----------12分令()321p p p P =,则可得正交变换Py x =,二次型的标准形为:232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、(请从下面2个题目中任选1个,若2个题目都做,按照第1题给分)1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵,则对于任何n 维实的列向量α,α和αA 正交,且E A -可逆”.您认为该结论成立吗?请说明理由. 解:该结论成立。
完整版)线性代数试卷及答案

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题(A卷)试卷类别:闭卷考试时间:120分钟考试科目:线性代数学号:______ 姓名:______题号得分阅卷人一.单项选择题(每小题3分,共30分)1.设A经过初等行变换变为B,则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B);(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=,则(C)。
A) A中有一行元素全为零;(B) A中必有一行为其余行的线性组合;(C) A有两行(列)元素对应成比例;(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是(A)A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O;(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s;(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=,若矩阵A的秩为n-1,则a必为()。
11;(C) -1;(D)。
(A) 1;(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于()。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4;(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4);(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4;(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b,则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O,In为n阶单位矩阵,则A=−A−3In。
(C)9.设A,B是两个相似的矩阵,则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
《线性代数》试卷A及答案

《线性代数》试卷A适用专业: 试卷类型:闭卷 考试时间:120分钟 总分100分 考试日期: 一.选择题(2分×6=12分)1.排列4 1 3 2 5 的逆序数为( ) A.4 B.1 C.3 D.22. 设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值,则13-A 必有特征值( )A.021λ B. 023λ C.30λ D. 20λ 3. 设A 为n 阶可逆阵,则下列成立的是( ) A.112)2(--=A A B. 11)2()2(--=T T A AC. [][]1111)()(----=TTA A D.[][]TTT AA 111)()(---=4.如果333231332221131211a a a a a a a a a =d,则行列式131211232221333231222333a a a a a a a a a ---=( )A. –6dB. 6dC. 4dD. –4d5.设A 为3阶方阵,且2=A ,则A 2=( ) A.4 B.8 C.16 D.216.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a α,且αA 与α线性相关,则=a ( )。
A.1-B.1C. 2D.3二.填空题(2分×11=22分)1.设A 、B 均为3阶方阵,且|A |=3,|B |=-2,则|AB |=2. 设A 为方程组⎩⎨⎧=+=+02121x x x x λλ有非零解,则λ=3.已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-,则方阵2A 的特征值是 、 、4.向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,211的正交化向量为5. A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,B=[1,2,3],则BA= 6.设32212221321424),,(x x x x x x x x x f -++-=,则二次型矩阵为7.设y x ,为实数,则当=x , 且=y 时,010100=---yx y x8.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x A 112与⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ31相似,则=x 三. 计算题:(总共66分)1.计算 600300301395200199204100103=D (6分) 2.求13211A -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=(4分)院系________________ 姓名_____________ 班级________________ 序号_______________3.设3351110243152113-----=D ,(1)求行列式D的值 ,(2)求4443424123A A A A +-+ (12分)4.讨论λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 有:1)唯一解; 2)无解; 3)无穷多解?此时求出其通解(12分)5.求矩阵E A 2-的逆矩阵,其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300041003 ( 10分)7.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101121002A 。
2020-2021(1)《线性代数A》A卷参考答案

3 ,1)T . 2
(3) 当 k 1时 R( A) 1; 当 k 2 时 R( A) 2; 当 k 1且 k 2 时 R( A) 3.
(12 分) (15 分)
P5
x1 3x2 2x3 x4 3
得 分
六、(12
分)求非齐次线性方程组
x1 x1
x2 x2
x4 x3
1 2
五
六
七
八
得分
阅卷人
得
一、 填空题(共 24 分,每小题 3 分)
分
1. n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 1n .
n
3 5 2 1
2. 已 知 4 阶 行 列 式 D 1 1 1 3
0 5 1 3 ,D 的 (i, j) 元 的 代 数 余 子 式 记 作 Aij , 则
2 4 1 3
学院
考 专业 装
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
集 美 大 学 试 卷 纸参考答案与评分标准
2020 — 2021 学年 第 一 学期
课程名称
适用 学院、专业、
年级
线性代数 A
试卷 卷别
考试 方式
A
闭卷 □√ 开卷 □
备注
1.本试卷共 8 页,答题前请检查;2.考试时间 120 分钟。
总分
题号
一
二
三
四
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
1 2 3k
得
五、(15
分)设矩阵
A
1 k
2k 2
3 3
,
分
(1)求行列式 A ;
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A 、B 试卷)A 卷一、填空题 (将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)。
1、设1D =3512, 2D =345510200,则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、,已知A =116,且=B ()1-12A 2A --,则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,且32B=A -5A ,则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =,若其中E 是单位阵,那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=,()21,2,3α=,()31,3,t α=线性相关,则t=_____________。
二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案的番号填入下表内,每小题2分,共20分)。
1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立,则x 是:课程代码: 适用班级:命题教师:任课教师:(A )-2或3; (B )-3或2; (C )-2或-3; (D )3或2; 2、设A 、B 均为n 阶方阵,则下列正确的公式为: (A )()332233A B+3AB +B A B A +=+; B )()()22A B A+B =A B --; (C )()()2A E=A E A+E --; (D )()222AB =A B ; 3、设A 为可逆n 阶方阵,则()**A=?(A )A E ; (B )A ; (C )nA A ; (D )2n A A -;4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵:(A )100002⎛⎫ ⎪⎝⎭; (B )100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭; (C )011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (D )010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;5、下列命题正确的是:(A )如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=,则1,α2α,,m α 线性无关; (B )向量组1,α2α,,m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示,则1,α2α,,m α线性相关;(C )向量组1,α2α,,m α 的一个部分组线性相关,则原向量组本身线性相关; (D )向量组1,α2α,,m α线性相关,则每一个向量都可由其余向量线性表示。
线代A期末考试题及答案

线代A期末考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) 线性无关的充分必要条件是:A. 向量组中任意向量不能由其他向量线性表示B. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到C. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到,且向量组中向量个数等于空间的维数D. 向量组中向量个数等于空间的维数答案:A2. 矩阵 \(A\) 可逆的充分必要条件是:A. \(A\) 的行列式不为零B. \(A\) 的秩等于其行数C. \(A\) 的秩等于其列数D. \(A\) 的秩等于其行数且等于其列数答案:D3. 对于实对称矩阵 \(A\),下列说法正确的是:A. \(A\) 一定可以对角化B. \(A\) 一定可以正交对角化C. \(A\) 的所有特征值都是实数D. \(A\) 的所有特征值都是正数答案:C4. 矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相似的充分必要条件是:A. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征多项式B. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征值C. \(A\) 和 \(B\) 有相同的秩D. \(A\) 和 \(B\) 有相同的迹答案:B5. 矩阵 \(A\) 为正定矩阵的充分必要条件是:A. \(A\) 的所有特征值都大于零B. \(A\) 的所有特征值都大于等于零C. 对于任意非零向量 \(x\),都有 \(x^TAx > 0\)D. 对于任意非零向量 \(x\),都有 \(x^TAx \geq 0\)答案:C二、填空题(每题4分,共20分)6. 若向量 \(\alpha = (1, 2, 3)^T\) 和 \(\beta = (4, 5, 6)^T\),则向量 \(\alpha + \beta\) 等于 \(\boxed{(5, 7, 9)^T}\)。
7. 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)的行列式为 \(\boxed{-2}\)。
杭州电子科技大学《线性代数A》试题A卷

杭州电子科技大学2007~2008学年第一学期《线性代数A 》期末考试试题(A 卷)题号一二三四总分1 2 3 4 5 6 得分签名一、单项选择题(每小题3分,共3824´=分)1.若行列式12043l l -=-, 则()l =. (A) 1-(B) 5(C) 1-且5(D) 1-或52.若A 为n 阶矩阵,且03=A ,则矩阵=--1)(A E (). (A )2AA E +-(B )2AA E ++(C )2AA E -+(D )2AA E --3.设A 为n 阶矩阵,且2A A =,则()成立. (A)A O =(B )若A 不可逆,则A O =(C)A E =(D )若A 可逆,则A E =4.矩阵A 在()时,其秩改变. (A )转置(B )初等变换(C )乘以奇异矩阵(D )乘以非奇异矩阵5.若向量组m a a a ,,,21 线性相关,则向量组内()可由向量组其余向量线性表示. (A )至少有一个向量(B )没有一个向量(C )至多有一个向量(D )任何一个向量6.设矩阵1234124511012A æöç÷=-ç÷ç÷èø,其秩=)(A R (). (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 7.在线性方程组b AX =中,方程的个数小于未知量的个数,则有(). (A )b AX =有无穷多解(B )b AX =有惟一解(C )0=AX 有非零解(D )0=AX 只有零解8.n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的(). (A )充分但非必要条件(B )必要但非充分条件(C )充分必要条件(D )既非充分也非必要条件二.填空题(每空3分,共3824´=分)1.110112202232032=. 2.设010002300A æöç÷=ç÷ç÷èø,则1A -=. 3.设A 为n 阶正交阵,且0>A ,则=A . 4.设向量组()()()1231,1,2,2,,5,1,6,1k a a a =-==-线性相关,则=k . 5.设三元非齐次线性方程组AX b =,()2R A =,且12111,101h h æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø是其两个不同的解,则该方程组的通解是X = . 6.设三阶方阵A 有特征值1,2,3,且A 与B 相似,则B = . 7.设向量1111a æöç÷=ç÷ç÷èø与211t a æöç÷=ç÷ç÷èø正交,则t = .8.二次型222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵的秩是的矩阵的秩是 .三.计算题(6分+6分+10分+8分+7分+5分=42分)1.设,A B 为三阶矩阵,已知2AB A B =+,且002040200B æöç÷=ç÷ç÷èø,求A E -. 2.设0110A -æö=ç÷èø,1B P AP -=,求200822B A -. 3.设有向量组123410311302,,,217242140a a a a æöæöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷--ç÷ç÷ç÷ç÷====ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø,求该向量组的秩和一个极大线性无关组,并把其余向量用该极大线性无关组线性表示. 4.当l 取何值时,非齐次线性方程组取何值时,非齐次线性方程组1231231232342231x x x x x x x x x l l ++=ìï++=íï+-=î有无穷多解,并求出此时线性方程组的通解. 5.设1221A æö=ç÷èø,求一个正交矩阵U ,使得1U AU -=L ,其中L 为对角矩阵. 6.设实二次型22212312323(,,)22f x x x x x tx x x =+++为正定二次型,求常数t . 四.证明题(10分)向量组1a 与向量组11b a =有相同的线性相关性;给定向量组12,a a ,显然向量组112221,b a a b a a =+=+线性相关;相关;(1)证明:向量组123,,a a a 与向量组112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+有相同的线性相关性;有相同的线性相关性; (2)给定向量组1234,,,a a a a ,说明向量组,说明向量组112223334441,,,b a a b a a b a a b a a =+=+=+=+必线性相关;必线性相关;(3)由以上结论,请你归纳出相应的结论,并证明之. 。
线性代数A模拟卷

=(-1,1,五、(16分)设向量组α1=(1,2,3,4)T, α2=(-1,1,-1,0)T, 分 设向量组α α3=(2,-1,3,1)T, α4=(0,3,2,4)T,求L=L(α1,α2,α3,α4)的维数dim L =(2,L=L( 的维数dim 的一组基,并写出其余向量在这组基下的坐标. 及L的一组基,并写出其余向量在这组基下的坐标.
.
.
3.设矩阵 3.设矩阵
1 2 2 1 2 3 B= A= 4 5 6 4 5 10
. 关.
初等矩阵P满足: 初等矩阵 满足:AP=B,则P= 满足 则
4. α1,α2,α3,α4均为3维向量,则向量组α1,α2,α3,α4必线性 均为3维向量,则向量组α 5. R [ x ]2 中的基
.
,
二、(15分)选择题: 、( 分 选择题:
1.设α=(1,2,3)T, β=(1,1/2,1/3)T,A=αβT,则A10=( 设 αβ 则 (
).
1 1/ 2 1/ 3 9 (A)310; (B) 3 2 1 2 / 3 ) 3 3/ 2 1
1
;(C)
1 210 1 3 ( )10 2
210 310
(C)
a1 D = b1 c1
a2 b2 c2
.
x3 a1 y 3 + b1 z 3 c1
x2 y2 z2
a3 x1 b3 + y1 c3 z1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
2.设矩阵 的秩 设矩阵A的秩 设矩阵 的秩R(A)=r,则( 则 ). (A)A中只有一个 阶子式不为零,其余的 阶子式全为零; 中只有一个r阶子式不为零 阶子式全为零; 中只有一个 阶子式不为零,其余的r阶子式全为零 (B) A中存在一个 阶子式不为零,其余的 中存在一个r阶子式不为零 阶子式( 中存在一个 阶子式不为零,其余的r+1阶子式(若有)全为零; 阶子式 若有)全为零; (C) A中所有的 阶子式均不为零,而高阶子式全为零 中所有的r阶子式均不为零 中所有的 阶子式均不为零,而高阶子式全为零. ax1 + x 2 + x3 = 1 3. 设线性方程组 x1 + ax 2 + x3 = a 有唯一解,则( 有唯一解, ). x + x + ax = a 2 2 3 1 (A)a=1;(B)a=-2;(C)a≠1且a≠-2. 且 4.设 向量组α1,α2,…,αs线性相关,则( 线性相关, 4.设 向量组α ). 一定可由α 线性表示; (A) α1一定可由α2,α3,…,αs线性表示; 一定不可由α 线性表示; (B) α1一定不可由α2,α3,…,αs线性表示; 其中至少有一个向量可由其余s 个向量线性表示. (C) 其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示. 5.n阶方阵 与对角阵相似,则( 阶方阵A与对角阵相似 阶方阵 与对角阵相似, ). (A)A有n个不同的特征值;(B) A有n个相同的特征值;(C) A有n 个不同的特征值; 个相同的特征值; 有 个不同的特征值 有 个相同的特征值 有 个线性无关的特征向量. 个线性无关的特征向量
(完整版)线性代数试题套卷及答案

(线性代数) ( A 卷)专业年级: 学号: 姓名:一、单项选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件。
2.已知32121,,,,αααββ为四维列向量组,且行列式 4,,,1321-==βαααA ,1,,,2321-==βαααB ,则行列式 =+B A(A) 40; (B) 16-; (C) 3-; (D) 40-。
3.设向量组s ααα,,,21)2(≥s 线性无关,且可由向量组s βββ,,, 21线 性表示,则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ,,,21线性无关; (B) 对任一个j α,向量组s j ββα,,,2线性相关; (C) 存在一个j α,向量组s j ββα,,,2线性无关; (D) 向量组s ααα,,,21与向量组s βββ,,, 21等价。
4.对于n 元齐次线性方程组0=Ax ,以下命题中,正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关,则0=Ax 有非零解; (B) 若A 的行向量组线性无关,则0=Ax 有非零解; (C) 若A 的列向量组线性相关,则0=Ax 有非零解; (D) 若A 的行向量组线性相关,则0=Ax 有非零解。
5.设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ,*A 为A 的伴随矩阵,则√√(A) A A A 11||)(-*-=; (B) A A A ||)(1=*-;(C) 111||)(--*-=A A A ; (D) 11||)(-*-=A A A 。
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ= ,a = ,b = 。
电子科技大学 线性代数试题

一. 填空题(21 分): 1. 设 3 阶矩阵 A 满足| A | = 2, 则 | −(3A* )−1 |= ________.
→
→
2. 设三角形的顶点为原点 O 及 A = (1, 2, − 1), B = (1, 1, 0), 则 OA× OB = _____
___,
面积 SΔOAB = ________.
⎛ 0 1 0 ⎞2005 ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ 0 0 1 ⎞2006
3.
⎜ ⎜
1
0
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
4
5
6
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
=_______.
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 8 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 0⎟⎠
4. R3 中, 方程 z − x2 − y2 = 0 所确定的曲面形状称为____ 22
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电子科技大学
学院
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学号
任课老师
选课号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
注意: 在第七、第八题中任选做一题!
七 (7 分 ). 在 R3 中 , 求 线 性 变 换 σ (x1, x2 , x3 ) = (2x1 − x2 , x2 + x3, x1) 在 基 ε1 = (1, 0, 0),
_____.
⎛k 1 1⎞
5.
设矩阵A
=
⎜ ⎜
1
k
1 ⎟⎟的秩R( A) < 3, 则 k = _________.
⎜⎝ 1 1 k ⎟⎠
6. 若二次型 2x12 + x22 + x32 + 2x1x2 + tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围是________.
线性代数a期末考试题及答案

线性代数a期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\)线性无关的充分必要条件是()。
A. 它们中任意一个向量不能由其余向量的线性组合表示B. 它们中任意两个向量不能由其余向量的线性组合表示C. 它们中任意三个向量不能由其余向量的线性组合表示D. 它们中任意四个向量不能由其余向量的线性组合表示答案:A2. 矩阵\(A\)的行列式为0,则矩阵\(A\)()。
A. 可逆B. 不可逆C. 秩小于行数D. 秩等于行数答案:B3. 矩阵\(A\)和\(B\)满足\(AB = BA\),则称\(A\)和\(B\)()。
A. 可交换B. 可逆C. 相似D. 合同答案:A4. 矩阵\(A\)的秩等于其行秩,也等于其列秩,这是矩阵的()。
A. 秩的性质B. 行列式的性质C. 特征值的性质D. 特征向量的性质答案:A5. 向量\(\beta\)是齐次线性方程组\(Ax = 0\)的解,则\(\beta\)()。
A. 与矩阵\(A\)的列向量线性无关B. 与矩阵\(A\)的列向量线性相关C. 与矩阵\(A\)的行向量线性无关D. 与矩阵\(A\)的行向量线性相关答案:B二、填空题(每题3分,共15分)1. 若矩阵\(A\)的行列式为1,则\(\det(A^{-1}) = ________\)。
答案:12. 矩阵\(A\)的特征值\(\lambda\)满足方程\(\det(A - \lambda I)= 0\),其中\(I\)是单位矩阵,\(\lambda\)是矩阵\(A\)的______。
答案:特征值3. 若向量\(\alpha\)和\(\beta\)正交,则它们的点积\(\alpha\cdot \beta = ________\)。
答案:04. 矩阵\(A\)的迹是其主对角线上元素的和,记作\(\text{tr}(A)\),若\(A\)是\(n \times n\)矩阵,则\(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}\),其中\(a_{ii}\)是矩阵\(A\)的第\(i\)行第\(i\)列的元素,\(\text{tr}(A)\)也等于矩阵\(A\)的______。
《线性代数》样卷A及答案

《线性代数》样卷A一、选择题(本题共10小题,每小题2分,共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排 列134782695的逆序数为( ) (A )9 (B )10 (C )11 (D )12 2、已知110104a D aa=-则D>0的充要条件是( )(A )a<2 (B)a>-2 (C)2a > (D) 2a <3、设A 、B 为n 阶可逆矩阵,0λ≠,则下列命题不正确的是( ) (A )11()A A --= (B )11()A A λλ--= (C )111()AB B A ---= (D )11()()T T A A --=4、以初等矩阵001010100⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭左乘矩阵001100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相当于对A 施行初等变换为( ) (A )23r r ↔ (B )23C C ↔ (C )13r r → (D )13C C ↔ 5、齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( )(A )A 的行向量组线性无关; (B )A 的列向量组线性无关; (C )A 的行向量组线性相关; (D )A 的列向量组线性相关; 6、已知方程有,,mxn AX b A m n =<,且A 的行向量线性无关,则( ) (A )A 的列向量组线性无关 (B )增广矩阵的行向量组线性无关(C )方程组有唯一解 (D )无法判断增广矩阵到向量组的线性相关性 7、 如果3阶方阵33)(⨯=ij a A 的特征值为1,3,4- ,那么332211a a a ++及A 分别等于( ) (A )6,12(B )-6,12 (C )6,-12 (D )-6,-128、 关于x 的一次多项式10213111()2543111f x x --=----,则式中一次项的系数为( )(A )2 (B )—2 (C )5 (D )—59、已知x 是3维列向量,且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=963642321Txx ,则=x x T ( ) (A )1 (B )4 (C )9 (D )14 10、设向量组12,,...,s ααα的秩为r ,则( )(A )必有r<s (B )向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关 (C )向量组中任意r 个向量线性无关 (D )向量组中任意r+1个向量线性相关二、填空题(本题共10空,每空2分,共20分) (请将正确答案填入括号内)1、 四阶行列式展开项中12233441a a a a 的符号是 (填正或负)2、已知6734325352127321D --=--,则21222324522A A A A +-+= .3、设A 为三阶可逆矩阵,3A =,则13A -=4、已知向量(1,1,2)T a =-,(7,6,4)T b =,(0,0,0)T c =,则向量组a ,b ,c 线性 (填相关或无关)5、 125=13-⎛⎫ ⎪⎝⎭6、410253020A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的行最简形为:7、设c b a ,,是互不相同的三个数,则行列式=222111c b a c b a8、 若向量组123(,1,1),(1,,1),(1,1,)a αλαλλ===线性相关,则λ= 9、已知(6,3,2),(1,4,3)TTx y =-=-,则[],x y = .10、已知(1,2,3),(2,1,0)T Tαβ=-=-,且αλβ+与β正交则λ=三、计算题(本题共2小题,每小题6分,共12分) (要求写出主要计算步骤及结果)1、计算7333373333733337n D =2、已知2()21f x x x =-+,120210002A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,求()f A .四、综合应用题(本题共4小题,共48分) (要求写出主要计算步骤及结果)1、(8分)已知向量组()()()1231,2,3,2,2,1,3,1,5,7,6,7,TTTααα=--=-=--, (1)求该向量组的秩. (2)求该向量组的一个最大无关组.(3)将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 2、(8分)验证123(2,1,1),(3,2,2),(1,0,2)T T T ααα=-==--为R 3的一个基 并求12(2,1,3),(4,0,2)T T ββ=-=--在这个基下的坐标。
线性代数课程期末考试试卷(A卷)1

信息学院本科生2009-2010学年第一学期线性代数课程期末考试试卷(A 卷)专业: 年级: 学号: 姓名: 成绩:说明:A T 表示矩阵A 的转置,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,O 是零矩阵, A −1表示可逆矩阵A 的逆矩阵, |A |表示方阵A 的行列式, 〈α, β〉表示向量α, β的内积.一、 客观题:1−3小题为判断题,在对的后面括号中填“√”,错的后面括号中填“⨯”,4−8为单选题,将正确选项前的字母填在括号中. (每小题2分,共16分)1. 方阵,A B 满足,则必有)AB BA =22()(A B A B A B -=+-。
( )2. 若方阵A 有0k A =(0k >为整数), 则必有||0A =。
( )3. ,A B 为同型矩阵,且秩(A)=秩(B),则0AX = 与0是同解方程组。
( )BX =4. n 阶实对称矩阵A 正定,则以下结论错误的是( ) (A) 可以找到一个正交矩阵F ,使T F AF 为对角矩阵。
(B) 的所有的特征值均为正值。
A (C) 是不可逆矩阵。
A (D) 对某个12(,,,)0T n X x x x =≠ ,必有。
0T X AX >5. n 维向量,αβ正交,则内积,β=( ) (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 0 6. 下列说法不正确的是 ( )(A) 存在满足的两个非零阶矩阵和。
0PQ =(1n n >)P Q (B) 维实线性空间V 中任何个线性无关的向量都构成V 的一个基底。
(1)n n >n (C) 设V 是一个任意的维欧式空间,T 是V 中一个任意的线性变换,则V 中的零向量在T 作用下的象一定也是零向量。
n (D) 是线性空间V 中线性变换,向量组T 12,,,m ααα 线性无关,则12,,,T m T T αα α线性无关。
)7. 下列说法不正确的是 ( )(A) 相似矩阵有完全相同的特征多项式。
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杭州电子科技大学2007~2008学年第一学期《线性代数A 》期末考试试题(A 卷)
1.若行列式
1
2
04
3
λλ-=-, 则()λ=.
(A) 1- (B) 5 (C) 1-且5 (D) 1-或5
2.若A 为n 阶矩阵,且03
=A ,则矩阵=--1
)
(A E ( ).
(A )2A A E +- (B )2
A A E ++ (C )2
A A E -+ (D )2
A A E -- 3.设A 为n 阶矩阵,且2
A A =,则( )成立.
(A)A O = (B )若A 不可逆,则A O = (C)A E = (D )若A 可逆,则A E = 4.矩阵A 在( )时,其秩改变.
(A )转置 (B )初等变换 (C )乘以奇异矩阵 (D )乘以非奇异矩阵 5.若向量组m ααα,,,21 线性相关,则向量组内( )可由向量组其余向量线性表示. (A )至少有一个向量 (B )没有一个向量 (C )至多有一个向量 (D )任何一个向量
6.设矩阵1234124511012A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
,其秩=)(A R ( ).
(A )1 (B )2 (C )3 (D )4
7.在线性方程组b AX =中,方程的个数小于未知量的个数,则有( ). (A )b AX =有无穷多解 (B )b AX =有惟一解 (C )0=AX 有非零解 (D )0=AX 只有零解 8.n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的( ).
(A )充分但非必要条件 (B )必要但非充分条件 (C )充分必要条件 (D )既非充分也非必要条件
二.填空题(每空3分,共3824⨯=分)
1.11011
2
202232032
= .
2.设010002300A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,则1
A -= .
3.设A 为n 阶正交阵,且0>A ,则=A .
4.设向量组()()()1231,1,2,2,,5,1,6,1k ααα=-==-线性相关,则=k .
5.设三元非齐次线性方程组AX b =,()2R A =,且12111,101ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是其两个不同的解,则该方程组的通解是
X = .
6.设三阶方阵A 有特征值1,2,3,且A 与B 相似,则B = .
7.设向量1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与211t α⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
正交,则t = .
8.二次型222
123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵的秩是 .
三.计算题(6分+6分+10分+8分+7分+5分=42分)
1.设,A B 为三阶矩阵,已知2AB A B =+,且002040200B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,求A E -.
2.设0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭
,1B P AP -=,求20082
2B A -.
3.设有向量组123410311302
,,,217242140αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,求该向量组的秩和一个极大线性无关组,并把其余向量
用该极大线性无关组线性表示.
4.当λ取何值时,非齐次线性方程组
1231231
232342231
x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪
++=⎨⎪+-=⎩ 有无穷多解,并求出此时线性方程组的通解.
5.设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,求一个正交矩阵U ,使得1
U AU -=Λ,其中Λ为对角矩阵.
6.设实二次型222
12312323(,,)22f x x x x x tx x x =+++为正定二次型,求常数t .
四.证明题(10分)
向量组1α与向量组11βα=有相同的线性相关性;给定向量组12,αα,显然向量组112221,βααβαα=+=+线性相关;
(1)证明:向量组123,,ααα与向量组112223331,,βααβααβαα=+=+=+有相同的线性相关性; (2)给定向量组1234,,,αααα,说明向量组
112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+
必线性相关;
(3)由以上结论,请你归纳出相应的结论,并证明之.。