杭州电子科技大学《线性代数A》试题A卷

杭州电子科技大学2007~2008学年第一学期《线性代数A 》期末考试试题(A 卷)

1．若行列式

1

2

04

3

λλ-=-, 则()λ=.

(A) 1- (B) 5 (C) 1-且5 (D) 1-或5

2．若A 为n 阶矩阵，且03

=A ，则矩阵=--1

)

(A E （ ）.

（A ）2A A E +- （B ）2

A A E ++ （C ）2

A A E -+ （D ）2

A A E -- 3．设A 为n 阶矩阵，且2

A A =，则（ ）成立.

(A)A O = （B ）若A 不可逆，则A O = (C)A E = （D ）若A 可逆，则A E = 4．矩阵A 在（ ）时，其秩改变.

（A ）转置 （B ）初等变换 （C ）乘以奇异矩阵 （D ）乘以非奇异矩阵 5．若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量

6．设矩阵1234124511012A ⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭

，其秩=)(A R （ ）.

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

7．在线性方程组b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A ）b AX =有无穷多解 （B ）b AX =有惟一解 （C ）0=AX 有非零解 （D ）0=AX 只有零解 8．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的（ ）.

（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件

二．填空题（每空3分，共3824⨯=分）

1．11011

2

202232032

= .

2．设010002300A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，则1

A -= .

3．设A 为n 阶正交阵，且0>A ，则=A .

4．设向量组()()()1231,1,2,2,,5,1,6,1k ααα=-==-线性相关，则=k .

5．设三元非齐次线性方程组AX b =，()2R A =，且12111,101ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

是其两个不同的解，则该方程组的通解是

X = .

6．设三阶方阵A 有特征值1,2,3，且A 与B 相似，则B = .

7．设向量1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与211t α⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

正交，则t = .

8．二次型222

123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵的秩是 .

三．计算题（6分+6分+10分+8分+7分+5分=42分）

1．设,A B 为三阶矩阵，已知2AB A B =+，且002040200B ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，求A E -.

2．设0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭

，1B P AP -=，求20082

2B A -.

3．设有向量组123410311302

,,,217242140αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量

用该极大线性无关组线性表示.

4．当λ取何值时，非齐次线性方程组

1231231

232342231

x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪

++=⎨⎪+-=⎩ 有无穷多解，并求出此时线性方程组的通解.

5．设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，求一个正交矩阵U ，使得1

U AU -=Λ，其中Λ为对角矩阵.

6．设实二次型222

12312323(,,)22f x x x x x tx x x =+++为正定二次型，求常数t .

四．证明题（10分）

向量组1α与向量组11βα=有相同的线性相关性；给定向量组12,αα，显然向量组112221,βααβαα=+=+线性相关；

（1）证明：向量组123,,ααα与向量组112223331,,βααβααβαα=+=+=+有相同的线性相关性； （2）给定向量组1234,,,αααα，说明向量组

112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+

必线性相关；

（3）由以上结论，请你归纳出相应的结论，并证明之.