河北省枣强中学2020-2021学年高一上学期第三次月考数学(理)试题 答案和解析

河北省枣强中学【最新】高一上学期第三次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果角α的终边过点(2sin30,2cos30)︒-︒，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．D ．2．已知函数1,0,()(1)(2),0,x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩则(3)f 的值等于（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125B ．125-C ．512D ．512-5．已知sin cos αα-=， ()0,απ∈，则tan α的值是（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．1 6．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是（ ）A ．sin 2y x =B ．2|cos |y x =C ．cos 2xy =D ．tan()y x =-7．已知a =sin153°，b =cos62°，c =log 1213，则（ ）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．c >b >a 8．函数cos tan y x x =⋅的值域是（ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．[]1,1-C ．(1,1)-D ．[1,0)(0,1)-9．将函数cos()3y x π=-的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．6x π=C ．x π=D ．2x π=10．已知cos 1sin αα=+cos sin 1αα-的值为（ ）A B ．-C D ．11．已知()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2πϕ≤）是定义域为R 的奇函数，且当2x =时，()f x 取得最大值2，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=…（ ）A ．2+B ．2-C ．2±D ．012．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2−|x −4|，则下列不 等式成立的是（ ）A ．f(sin π6)<f(cos π6) B ．f(sin1)>f(cos1) C ．f(sin2π3)<f(cos2π3) D ．f(sin2)>f(cos2)二、填空题13．函数()f x =__________．14．已知角α的终边经过点(3,4)a a （0a <），则sin α=__________. 15．函数2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间是________. 16．对函数()2sin()126x f x π=+-，有下列说法： ①()f x 的周期为4π，值域为[]3,1-； ②()f x 的图象关于直线23x π=对称； ③()f x 的图象关于点(,0)3π-对称； ④()f x 在2(,)3ππ-上单调递增； ⑤将()f x 的图象向左平移3π个单位，即得到函数cos 12x y =-的图象. 其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）三、解答题17．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0>ω，πϕπ-<<）的部分图象如图所示.（1）求()f x 的表达式； （2）求函数()f x 在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．已知幂函数()y f x =的图象过点(8,)m 和(9,3). （1）求m 的值；（2）若函数()log ()a g x f x =（0a >，1a ≠）在区间[]16,36上的最大值比最小值大1，求实数a 的值.19．已知函数()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心；（3）若当70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()1f x m =+ 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．20．已知1sin(2)cos()cos()cos()22()cos(2)9sin(3)cos()sin()22f πππαπααααπαπππααα1-+--=+--++. （1）化简()f α；（2）若()f α=11sin cos αα+的值.21．已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时， ()23x xf x =--. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.22．已知函数253()sin cos 82f x x a x a =++-，在[0,]2x π∈上最大值为1，求实数a 的值.参考答案1．C 【分析】由题知，角α的终边过点(1, ，求出此点到原点的距离，再有任意角三角函数的定义直接求出sin α的值即可选出正确选项 【详解】解：由题意()(2sin30,2cos301,︒-︒= ，点(1,到原点的距离 2r ==，由定义知sin 2y r α==-故选：C ． 【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，解题的关键是理解任意角三角函数的定义，由定义直接得出三角函数值，属于基础题. 2．B 【解析】由分段函数可知()()()321f f f =- 而()()()210f f f =-()()()()()()()321?10101f f f f f f f ∴=-=--=-=-故选B 3．B 【分析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则根据周长及面积联立方程可求出,r l ，再根据=lrα即可求出. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ,则24112r l rl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1,2r l ==，所以 ==2lrα, 故选B. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，弧度角的定义，属于中档题. 4．D 【解析】∵sin a =513-,且a 为第四象限角,∴1213cosa ==，则512sina tana cosa ==-， 故选D. 5．A【解析】sin cos αα-= ()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα=1tan α∴=-故选A 6．D 【解析】A 选项，函数在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故排除；B 选项，函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故排除； C 选项，函数的周期是4π，故排除；故选D 7．D【解析】因a =sin27°,b =sin28°⇒a <b <1,c =lg3lg2>1，故选D.8．C 【解析】2x k ππ≠+时，sin y cosx tanx x =⋅=()sin 1,1y x ∴=-y cosx tanx =⋅的值域是()1,1-故选C 9．D 【解析】将函数3y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的解析式为：123y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位得到函数为11cos 26324y cos x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令124x k ππ-=，解得22x k ππ=+ 故函数的对称轴为22x k k Z ππ=+∈，结合选项可得函数图象的一条对称轴为2x π=故选D点睛：这是一道关于三角函数对称轴以及三角函数平移的题目， 解答本题的关键是掌握三角函数的平移规律．由函数3y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得123y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向左平移6π个单位可得1cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由余弦函数的对称性即可解答． 10．B 【解析】1cos sin αα=+又1sin 1cos cos sin αααα-=+则1cos sin αα=- 故选B 点睛：本题考查同角的三角函数关系，在熟记公式的基础上注意本题所需要的变形，cos 1sin αα+与cos sin 1αα-的关系，利用已知条件求得结果11．A 【解析】()f x 是奇函数，0ϕ∴= ()sin f x A x ω=当2x =时，()f x 取最大值2则2222A k k Z πωπ==+，，4k πωπ∴=+()2sin 4f x k x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭284T ππ∴==()()()()12380f f f f ∴+++⋯+=()()()()()()()12310012322f f f f f f f ∴+++⋯+=++=+故选A点睛：由条件利用正弦函数的奇偶性求得0ϕ=，再根据当2x =时，()f x 取得最大值2，求出24A k πωπ==+，，可得()f x 的解析式，再根据它的周期性，即可求得所给式子的值． 12．C 【解析】试题分析：因为f(x +2)=f(x)，所以函数的周期为2．设，则，所以，可知该函数在上为偶函数且在上单调递减．因为，所以f(sin π6)>f(cos π6)，即选项A 错误；因为1>sin1>cos1>0，所以f(sin1)<f(cos1)，即选项B 错误；因为f(sin2π3)=f(√32),f(cos 2π3)=f(−12)=f(12)，，所以f(sin2π3)<f(cos 2π3)，故选项C 正确；同例，选项D 错误．考点：利用函数性质比大小．【思路点睛】本题是利用函数性质比大小．先根据周期性求出时的解析式，并判断出函数f(x)在上为偶函数且在上单调递减，所以应利用奇偶性及周期性将变量统一到同一个单调区间内，然后利用函数单调性比大小即可．如选项C ，f(sin 2π3)=f(√32),f(cos2π3)=f(−12)=f(12)，，所以即f(sin2π3)<f(cos 2π3)．13．(【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤<故函数()f x 的定义域为：(． 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 14．45-【解析】由题意：34x a y a ==，，55r a a ∴==-45sin α∴=-15．()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】πππ3π2sin(2)2π22π()4242y x k x k k =--∴+≤-≤+∈Z3π7πππ()88k x k k +≤≤+∈Z ，即单调增区间是()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴 (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间; 16．①②④ 【解析】对函数()2126x f x sin π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，它的周期为412ππ=，值域为[]3,1-，故①正确，当23x π=时，()1f x =为最大值，故()f x 的图象关于直线23x π=对称，故②正确，当3x π=-时，()1f x =-，不是函数的最值，故函数()f x 的图象不关于直线23x π=对称，故③错误；在2,3ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，2632x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，，故()2126x f x sin π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭单调递增，故()f x 在2,3ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故④正确， 将()f x 的图象向左平移3π个单位，即得到函数2123x y sin π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，故⑤不正确； 综上所述，正确的有①②④17．(1)33()2sin()24x f x π=-；(2)，最小值为2-. 【解析】试题分析：()1通过函数图象，求出函数的周期求出32ω=，利用函数经过的特殊点，求出34πϕ=-，得到函数的解析式； ()2由3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3339,2424x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，进而即可求出()f x 在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解析：（1）由题意得325466πππω⎛⎫⨯=-- ⎪⎝⎭，32ω=， 因此()32sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又526f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即35sin 126πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，而πϕπ-<<， 故34πϕ=-， 故()332sin 24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）由（1）可知，()332sin 24x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3339,2424x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，2-.18．(1)(2)23或32. 【解析】 试题分析:()1由题意()y f x =是幂函数，设()f x x α=，图象过点()8,m 和()9,3，即可求解m 的值()2函数()()a g x log f x =在区间[]16,36上的最大值比最小值大1，对底数进行讨论，利用单调性求最值，可得实数a 的值解析：（1）由题意，()y f x =是幂函数，设()f x x α=，图象过点()8,m 和()9,3，可得93α=，所以12α=，故()12f x x =，∴()8m f ==故得m 的值为（2）函数()()log a g x f x =，即为()log g x =∵x 在区间[]16,36上，[]4,6，①当01a <<时，()min log 6a g x =，()max log 4a g x =， 由2log 4log 6log 13a a a -==，解得23a =； ②当1a >时，()min log 4a g x =，()max log 6a g x =， 由3log 6log 4log 2a a a-= 1=，解得32a =. 综上可得，实数a 的值为23或32. 19．（1）()3sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）52?2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，+1?()3k k Z ππ∈（，）（3）3 32⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】试题分析：()1由最值求出A B ，的值，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出3πϕ=-，可得函数的解析式； ()2令22232k x k πππππ-≤-≤+（k Z ∈），求得x 的范围，可得函数()f x 的单调递增区间，令3x k ππ-=（k Z ∈），求得x 的值，可得对称中心的坐标()3将方程()1f x m =+进行转化，利用正弦函数的定义域和值域求得实数m 的取值范围 解析：（1）设()f x 的最小正周期为T ， 得11266T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 由2T πω=，得1ω=，又4,2,B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得3,1,A B =⎧⎨=⎩ 令5262k ππωϕπ⋅+=+（k Z ∈）， 即5262k ππϕπ+=+（k Z ∈），解得3πϕ=-， ∴()3sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （2）当22232k x k πππππ-≤-≤+（k Z ∈）， 即52,266x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈），函数()f x 单调递增. 令3x k ππ-=（k Z ∈），得3x k ππ=+（k Z ∈）， 所以函数()f x 的对称中心为,13k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈. （3）方程()1f x m =+可化为3sin 3m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由正弦函数图象可知，实数m 的取值范围是3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭.点睛：20．(1)sin cos αα+；(2).【分析】()1利用诱导公式即可化简求值得解；()2将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sin cos αα的值，即可化简所求计算得解.【详解】（1）1sin(2)cos()cos()cos()22()cos(2)9sin(3)cos()sin()22f πππαπααααπαπππααα1-+--=+--++ ()()()()sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos αααααααααα---=+=+-. （2）∵()sin cos f ααα=+=， ∴212sin cos 5αα+=，∴3sin cos 10αα=-，∴11sin cos sin cos sin cos αααααα++==【点睛】本题需要熟练运用诱导公式进行化简，熟记化简方法：奇变偶不变，符号看象限，在求同角三角函数值时注意公式的运用，以及对已知条件的化简.21．(1) ()2,0,3{0,0, 2,0.3x x x x f x x x x --->==-+<；(2) 13k <-. 【解析】试题分析: ()1由定义域为R 的函数()f x 是奇函数，知()00f =，当0x <时， ()23x x f x --=-，由函数()f x 是奇函数，知()23x x f x -=-+，由此求出()f x 的解析式 ()2由()f x 在R 上奇函数，得()()2222f t t f t k -<--， ()()2222f t t f k t -<-，再利用单调性解不等式即可求出取值范围解析：（1）∵定义域为R 的函数()f x 是奇函数，∴()00f =，当0x <时， 0x ->， ()23x x f x --=-， 又∵函数()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()23x x f x -=-+. 综上所述()2,0,3{0,0, 2,0.3x x x x f x x x x --->==-+<（2）由减+减=减得，又因为()f x 为奇函数，∴()f x 在R 上单调递减，由()()22220f t t f t k -+-<，得()()2222f t t f t k -<--，∵()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t -<-，又∵()f x 是减函数，∴2222t t k t ->-，即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立.∴4120k ∆=+<得13k <-即为所求.点睛：本题综合性较强，运用奇偶性求函数的解析式，注意不要漏掉自变量等于零的情况，并证得函数的单调性，结合奇偶性解决不等式问题22．32a =. 【解析】试题分析：本题通过换元转化为二次函数问题，但对称轴变化，区间给定，故需要对a 进行分类讨论，分别利用函数的最大值为1，求出符合题意的a 的值．解析：()215sin sin 28f x x a x a =-+-+，令sin t x =，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]0,1t ∈， 则2221551282482a a a y t at a t ⎛⎫=-+-+=--++- ⎪⎝⎭； （1）当02a <，即0a <时，0t =时，max 51182y a =-=，1205a =>（舍去）；（2）当012a ≤≤，即02a ≤≤时，2a t =时，2max 511482a a y =+-=， 32a =或4a =-（舍去）； （3）当12a >，即2a >时，1t =时，max 511182y a a =-++-=， 20213a =<（舍去）. 综上所述，32a =. 点睛：本题中的二次函数对称轴不确定，因此需要对对称轴的位置分情况讨论，找到各种情况下的最值，各种情况下求得的参数值要看是否满足分情况讨论的前提条件，二次函数求最值问题一般结合函数图象不易出错．。