最优化方法(试题+答案)

一、 填空题1.若()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121312112)(x x x x x x x f ，则=∇)(x f ，=∇)(2x f .2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。

3.向量T)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题：)(01)(..)(min 212121≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f的K-K-T 条件为：. 7.以下约束优化问题：1..)(min 212221=++=x x t s x x x f的外点罚函数为（取罚参数为μ） .二、证明题（7分+8分）1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h ni ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题：},,1{,0)(},1{,0)(..)(min 1112m m E j x h m I i x g t s x x f j i nk k+=∈==∈≥=∑=是凸规划问题。

2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题：},1{,0}2,1{,0..)(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i Ti +=∈=-=∈≥-设d 是问题1||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a Ii d a t s d x f Ti Ti T的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。

三、计算题（每小题12分）1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）：22212)(m in x x x f +=2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：21222121)(min x x x x x f -+=3.用有效集法求解下面的二次规划问题：.0,001..42)(min 2121212221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()0(=x,计算到)2(x 即可)：.0,033..221)(min 21211222121≥≥≤+-+-=x x x x t s x x x x x x f参考答案一、填空题 1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4224 2. 0)(<∇d x f T 3. T )0,1,2(-，T)1,0,3(-（答案不唯一）。

4. )()(12x f x f ∇∇--5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）6.)(,0,0010021),,(21212121=-≥-≥=+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=∇x x x x x x x x L x λλμλμλμλ 7. 2212221)1(21)(-+++=x x x x x F μμ 二、证明题1.证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。

一方面，由于f 二次连续可微，I x f 2)(2=∇正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。

另一方面，约束条件均为线性函数，若任意D y x ∈,可行域，则Ei y h x h y x h I i y g x g y x g j j j i i i ∈=-+=-+∈≥-+=-+0)()1()())1((0)()1()())1((αααααααα故D y x ∈-+)1(αα，从而可行域是凸集。

2.证明：要证d 是f 在x 处的一个可行方向，即证当D x ∈，nR d ∈时，0>∃δ，使得D d x ∈+α，],0(δα∈当I i ∈时，0≥-i T i b x a ，0≥d a T i ，故0)(≥+-=-+d a b x a b d x a Ti i T i i T i αα； 当E i ∈时，0=-i T i b x a ，0=d a T i ，故0)(=+-=-+d a b x a b d x a Ti i T i i T i αα. 因此，d 是f 在x 处的一个可行方向。

三、计算题1.解：222211)(2)()()(d x d x d x f ααααφ+++=+= 令0)('=αφ 得2221221122d d x d x d ++-=α；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇2142)(x x x f第一次迭代： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇42)()0(x f ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-∇=42)()0()0(x f d ， )()()0()0(d x f ααφ+=，令0)('=αφ，求得18/50=α；第二次迭代：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=9194)0(0)0()1(d x x α，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇9298)()1(x f ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∇=9298)()1()1(x f d ， )()()1()1(d x f ααφ+=，令0)('=αφ，求得2/11=α，故⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=00)1(1)1()2(d x x α，由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇00)()2(x f ，故)2(x为最优解。

2.解：取T x)1,1()0(= I B =0⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∇12212)(x x x x x f第一步迭代：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇10)()0(x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-=-10)()0(10)0(x f B d ，ααααφ+-+=+=2)0()0()1(21)()(d x f ，令0)('=αφ，求得2/10=α；第二步迭代：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=211)0(0)0()1(d x x α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇021)()1(x f ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=210)0()1()0(x x s⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∇-∇=121)()()0()1()0(x f x f y⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112/32112/1100010011B -=)1(d ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∇-4121)()1(11x f B ，)()()1()1(d x f ααφ+=，令0)('=αφ，求得21=α。

故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=00)1(1)1()2(d x x α，由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇00)()2(x f ，故)2(x 为最优解。

3. 解：取初始可行点(0)(0)0(0,0),(){2,3}.xA A x ===求解等式约束子问题22121212min 24..0,0d d d d s t d d +--==得解和相应的Lagrange 乘子(0)(1)(0)10(0,0),(2,4)(0,0),\{3}{2}T TT d x x A A λ==--====故得转入第二次迭代。

求解等式约束子问题 2212121min 24..0d d d d s t d +--=得解(1)(1)(1)(1)111(1)(1)(0,2)01min{1,1,3,0}2T T T T i i i T T i i d b a x b a x i a d a d a d α=≠--==<==计算令(2)(1)(1)121(0,1),{1}{1,2}T xx d A A α=+===转入第三次迭代。

求解等式约束子问题221212121min 22..0,0d d d d s t d d d +--+==得解和相应的Lagrange 乘子(2)(0,0),(2,0)T Td λ==由于(2)0λ≥，故得所求二次规划问题的最优解为(2)(0,1)T x x *==，相应的Lagrange 乘子为 (2,0,0)Tλ*=4.解：计算梯度得T x x x x x f )2,22()(1221---=∇当0=k 时，)0,0()0(=x，T x f )0,2()(-=∇.)0(y 是下面线性规划问题的解：.0,033..2)(min 21211)0(≥≥≤+-=∇y y y y t s y y x f解此线性规划（作图法）得T y )0,3/2()0(=，于是T x y d )0,3/2()0()0()0(=-=.由线性搜索t t td x f t 3492)(min 2)0()0(10-=+≤≤ 得10=t .因此，T d t x x)0,3/2()0(0)0()1(=+=.重复以上计算过程得下表：（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。