城市用水量预测模型(数学建模论文)

城市供水量预测模型摘要水是生命之源，地球上水的总量虽然巨大，但能够被人类利用的淡水资源却极其匮乏，而且分布极不平衡。

淡水资源的短缺给人们的生产生活带来了诸多不变，因此我们应该珍惜水资源，对水资源要合理且可持续的利用。

本文以两个自来水厂2001—2007年间每天的供水量为依据，运用灰色系统理论、模糊线性回归、二元线性回归、组合预测等数学方法对所给问题建立模型并对结果进行了分析。

关键词：灰色系统理论模糊线性回归组合预测 matlab问题分析该问题是根据日供水量记录估计未来一时间段的用水量，只有一些数据内部机理不明确属于灰色系统问题。

我们需要在一定的假设下，对已知数据统计分析，并运用一些方法完成对未来一时间段用水量的预测。

1)对问题（1）的分析：为预测2008年上半年日用水量，我们考虑到温度与用水量的正相关性，需先对温度进行预测。

由于我们只需预测出2008年上半年的日用水量，并且通过对2005-2007年每年相应时段内的日用水量及温度的散点图观察分析，我们知道这几年里相应时段内温度及用水量均稳定在某一值附近。

故我们可以以三年内相应时间段温度及相应的日用水量的平均值作为数据基础建立数学模型，所建模型可以很好的表征用水量在一年中（此模型只考虑上半年）随时间的变化趋势及相关制约因素的作用，故我们用其进行预测是合理有效的。

首先，我们建立一年内上半年温度随时间（天）变化的线性回归模型，得到上半年温度与时间序列（天）的关系，进而可以预测出2008年上半年每天的温度。

然后，为找出温度与用水量的关系，以所求得的用水量与温度的均值为基础，分别建立了二元线性回归模型和模糊线性回归模型，表示出了每天最高温度、最低温度与用水量的关系。

通过观察2001-2007年用水量整体随时间变化的关系图，我们很明显的看到用水量变化总体来说是呈增长趋势的。

以上模型只是以2005-2007年三年的相关数据为基础，没有考虑到温度、用水量长时期内整体随时间（年）的变化规律。

为弥补这个缺陷我们建立了GM（1，1）模型单独对2008日用水量进行预测。

但该模型没有表示出温度对用水量的影响。

以上模型各有利弊，为了综合上述模型的优点，我们以它们为基础又建立了组合预测模型，很好的提高了预测精度。

2)对问题（二）的分析：通过对所给数据观察，我们可以得出任何时段内该城市的日用水量与两水厂的供水量之和均相等的结论。

以这个结论为前提，利用问题（一）所求结果，我们只需对一号水厂或是二号水厂2008年上半年日供水量进行预测，从而可以得到另一水厂2008年上半年日供水量。

3) 对问题（三）的分析：为确定能使2008年8月份的总用水量不超过5045万吨的水价调整方案，只需找出各年8月份用水量与对应水价之间的关系，通过这个关系即可以确定满足上述条件的水价调整方案。

但本题所给数据较少，我们利用GM （1，1）理论分别对8月份用水量及相应水价进行了预测扩充，得出了2008~2010年的相关数据。

接着，我们根据那些数据建立了一元直线回归模型，得出了8月份用水量与相应水价的关系，继而得到相应的水价调整方案。

模型假设与符号说明模型假设：1) 自来水厂提供的七年来每天的供水量数据是真实可靠的 2) 每天的自来水的需求量与当天的温度有关3) 人们对自来水的价格有一定的敏感性，既提高价格能抑制自来水的需求量4) 每天的温度是相对独立的5) 自来水厂有足够的水资源来满足用户的需求6) 该城市的用水量仅有一号和二号这两个水厂供应。

符号说明：(,)q i j --------------表示第i 年第j 天的用水量。

（1,2,...,7i =，1,2,...,180j =） 1(,)T i j -------------表示第i 年第j 天的最高温度。

（1,2,3i =，1,2,...,180j =） 2(,)T i j ------------表示第i 年第j 天的最低温度。

（1,2,3i =，1,2,...,180j =） 1()T t ---------------表示2005~2007年相应天数的平均最高温度。

（t=1,2,...,180） 2()T t ---------------表示2005~2007年相应天数的平均最低温度。

（t=1,2, (180)1(,)Q i j ------------表示第一个水厂第i 年第j 天的供水量（1,2,...,7i =，1,2,...,180j =） 2(,)Q i j -----------表示第二个水厂第i 年第j 天的供水量（1,2,...,7i =，1,2,...,180j =） ()p i ----------------表示第i 年八月份水价（1,2,...,7i =） ()q i ----------------表示第i 年八月份用水总量（1,2,...,7i =） 0(,)A i j ------------表示第i 年第j 天用水量的实际值(1)(,)A i j -----------表示第I 个模型第i 年第j 天供水量的预测值()(,)i A i j -----------表示第II 个模型第i 年第j 天供水量的预测值模型的建立与求解问题（一）的求解： i. 数据准备：通过对如图（一）所示2005~2007年日用水量的分布可知：2005~2007年各个对应时段的日用水量q 浮动不大。

由经验可知，相邻年份各个时段的温度T 相差不大。

故我们对数据做如下处理：75(,)(),3i q i j q j ==∑33111(,)2(,)1(),2()33i i T i j T i j T j T j ====∑∑时间（天）用水量（吨）注：青线、绿线、蓝线分别表示2005、2006、2007年上半年日用水量的变化曲线图（一） 2005~2007年上半年日用水量的分布图ii ．温度的预测：为了说明温度对日用水量的影响，我们需对2008年上半年的温度进行预测。

首先，我们分别做出温度1()T j ，,2()T j （j=1,2,…,180）随时间（天）变化的散点图如图（二）所示，可以看出温度在这半年内随时间的变化呈线性增长趋势，故我们用线性回归分别对1()T j ，,2()T j （j=1,2,…,180）进行线性拟合，所求得的曲线如图（二）中直线所示：时间（天）温度（摄氏度）时间（天）温度（摄氏度）图（二） 对最高温度、最低温度的拟合曲线的回归方程分别为1()0.20182 2.3651T t t =-，2()0.184711.143T t t =-，它们的相关系数分别为：可以看出该回归方程的预测精度较高，我们可以用它们完成对2008年上半年最高、最低温度预测，预测结果见附表1。

iii.模型建立模型I ：二元线性回归模型[1]为了表现出最高温度、最低温度对日用水量的影响，我们首先建立日用水量()q j 对最高、最低温度1()T j ，,2()T j （j=1,2,…,180）的二元线性回归模型，所求得的回归方程为：(1,2)14457001770.911857.82Q T T T T =+-，先把2005~2007年上半年的相关数据按月（30天）进行累加（方便作图），然后对其进行误差检验，见图（四），得到每年每个月平均误差系数分别为：0.051176、0.028478、0.018252。

由此可以看出该模型的预测精度比较高。

模型II ：模糊线性回归模型[3]由于模糊线性回归模型能够很好的处理影响用水量变化的各种不确定性因素，在这里我们也建立了日用水量()q j 对最高、最低温度1()T j ，,2()T j （j=1,2,…,180）的模糊线性回归模型，所得结果一般形式为: 012(1,2)12Q T T A AT A T =++---------------------------------------------（1）其中01428240A =， (,)j j j j A A a c =(j=1,2),1122=5939.071,=4061.909,0,=24734.92 a c a c =由于20a =,说明最低温度与日用水量的相关度很低，这与实际生活中客观规律是一致的即当温度高于一定的程度时才会对日用水量产生明显的影响。

之后，先把2005~2007年上半年的相关数据按月（30天）进行累加（方便作图），然后对其进行误差检验，见图（四），得到各年每个月平均误差系数分别为：0.031268、0.033255、0.043079。

通过与模型I 预测精度比较，该模型误差精度要稍微差一些。

模型III ：灰色微分方程模型[2]以上两个模型均只建立在2005~2007年相关数据基础上，没有考虑这几年相应时间段内日用水量的变化趋势，观察图（三）可知各年用水量在相应时间段内呈递增趋势，因此我们建立此模型予以弥补前两个模型的缺陷。

时间（天）用水量（吨）图（三） 2001~2007年日用水量的变化曲线我们先把2001~2007年上半年的日用水量(,)q i j （i=1,2,…,7 j=1,2,…,180）的j 列(0)(0)(0)(0)()((1,),(2,),...,(7,)),(1,2,...,180)q j q j q j q j j ==进行累加生成得到累加生成序列27(1)(0)(0)(0)11()((1,),(,),...,(,)),(1,2,...,180)m m q j q j q m j q m j j ====∑∑，然后按照模型准备部分的步骤得到该列对应的灰微分方程为(1)(0)()()()(1,)((1,))()()a j ib j b j q i j q j e a i a j -+=-+（j=1,2,…,180） 其中1()()()()T T N a j B B B Y j b j -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，(0)(0)(0)()((2,),(3,),...,(7,))TN Y j q j q j q j =（j=1,2, (180)(1)(1)(1)(2,)1(3,)1(7,)1z j z j B z j ⎛⎫- ⎪- ⎪= ⎪ΛΛ ⎪ ⎪-⎝⎭,(1)(1)(1)(,)0.5(,)0.5(1,),2,3,...,7z k j q k j q k j k =+-= 对(1)(,)q i j 数列进行累减还原得到原始数列拟合序列为：(0)(0)()()()ˆ(1,)((1,))(1)()a j a j ib j q i j q j e e a j -+=--然后利用matlab 编程循环即可预测出每一年前180天的日用水量。

我们用2005~2007年上半年的相关数据按月（30天）进行累加（方便作图），然后对其进行误差检验，见图（四），得到2005~2007年上半年每个月平均误差系数分别为：0.0069587、0.010846、0.00036306。