高二数学寒假作业试题 理(三)

湖北省武汉市黄陂区2016-2017学年高二数学寒假作业试题理(三)

一．填空题（共3小题）

1．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为．

2．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．

3．“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765），若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第20个数为．

二．解答题（共3小题）

4．设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．

（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；

（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a 的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．

5．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．

（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

6．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F 的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且

与同向．

（Ⅰ）求C2的方程；

（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．

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寒假作业（三）参考答案

1．昆虫活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为5，12，13，是直角三角形，

∴面积为30，而“恰在离三个顶点距离都小于2”正好是一个半径为2的半圆，面积为

π×22=4π×，

∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于2的地方的

概率为=．

2．设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，

且点A与圆心O之间的距离为OA=，

圆的半径为r=，

∴sinθ=，∴cosθ=，tanθ=，∴tan2θ==，

3．当首位是4时，只有1个结果43210

当首位是5时，有C54=5种结果，53210 54210 54310 54320 54321

当首位是6时，有C64=15种结果，先从小到大列举出来：63210 64210 64310 64320 64321 65210 65310 65320

65321 65410 65420 65421 65430 65431

故第20个渐减数是65431

4．（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R ∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，

∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2，

若q真，则a≥﹣1，

∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真

∵或，解得：﹣2＜a＜﹣1或a≥2．

（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2）

∴，解得：2≤m≤3．

5．（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，

在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，

BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，

所以EG=，且EG⊥AC，

在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，

在直角三角形FDG中，可得FG=，

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得

EF=，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可

得EG⊥平面AFC，

由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，

建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），

F（﹣1，0，），C（0，，0），

即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），

故cos＜，＞===﹣．

则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．

6．（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，

又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，

∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），，

又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C 2的方程为+=1；

（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，

y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，

∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2

﹣4x3x4，

设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，

由，可得x2﹣4kx﹣4=0，可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，

化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，

即直线l的斜率为±．