变形体系的虚功原理-完整版
变形体系的虚功原理
It is applicable to work report, lecture and teaching
重A
庆l
大l 学R
6.2 变形体系的虚功原理
土i
木g
工h
程t 学s
6.2.1 功、实功与虚功
院R
®e
s e
1、功
r
v
功包含了力和位移两个因素。
e
d
2、静力荷载所做的功
静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地 增加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内 力始终保持平衡。
给定的，则可虚设位移，式（6-7）便称为变形体系的虚
位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中
的某未知力；如果位移是实有的，则可虚设力系，式
（6-7）便称为变形体系的虚力方程，它代表几何协调方
程，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章即
主要介绍虚力方程及其应用。
演讲结束，谢谢大家支持
附PPT常用图标，方便大家提高工作效 率
略去，因此微段上各力在其变形上所做的虚功为
dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv
重A
庆l
大l
学R
土i
木g
工h
程t
学s 院R
dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv
®e
s e
假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为
r v
它们作用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做
e
功。总之，仅考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚
生活
图标元素
医疗
图标元素
重A
庆l
领会变形体虚功原理和互等定理
F B MP
(b) FSP
F
(c)
1 B
(d) 1 FS M
R
FNP
"实际状态"
FN
"虚拟状态"
A R
A
图6-8 取分离体分别如图6-8源自b)、(d)所示。 M P = -FRsinφ M = Rsinφ, 且ds = Rdφ 3.代入式(6-7)计算ΔBy。
By M M P ds 1 EI EI
EA kFSP P ds ds GA MP d P ds EI
P
(b)
式中FNP、FSP、MP为“实际状态”中荷载引起的微段内力，
E为材料的弹性模量，I、A分别为杆件截面的惯性矩和面 积，G为剪切弹性模量，k为截面上剪应力分布不均匀系 数，它与截面的形状有关。如矩形截面k = 6/5，圆形截面k = 32/27，工字形截面k≈A/Af，Af是腹板的面积。将(b)式 代入(a)式得 F S FS P F N FN P MM P KP ds k ds ds(6-6) EI GA EA 在计算梁和刚架时，因剪切及轴向变形的影响比弯曲变形 小得多，可以略去不计，故式(6-6)可简化为 (6-7) MM P
图6-1
图6-2
l
2．计算结构位移的目的 （1）验算结构的刚度 结构在外因影响下如果变形太大，同样会影响结构的正常使 用，为此在各种结构的设计规范中，对结构的刚度都有一定的要 求。 （2）结构在施工过程中需要计算位移 结构在施工过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，而 这种变形与结构正常使用时完全不同。如图6-3为悬臂拼装架梁 的示意图。在正常使用时，该简支梁的最大挠度在跨中，而在施 工时悬臂端B处的挠度最大，该挠度值也成为在结构设计时的控 制因素之一。
变形体的虚功原理
一、虚功
: 实功
: 实功 : 虚功
虚位移 虚功
P P1 P P2 P P1
11
22
12
虚: 并不是假的、不存在的，而源自真的、 存在的。它只是表示位移 与力 之间不存在因果关系。
二、虚功原理
根据能量守恒原理有：
由于
改写为 外力虚功
，
， 因此
虚功原理 ！
外力虚功在杆件中产生的变形能 ，关键是求
较好求，例如对本例
§5-2 变形体的虚功原理
三、 的求法
力状态（由P1引起） 微段力状态: + +
相对于P1
虚位移状态（由P2引起）
微段虚位移状态:
+
+
各微段力状态在相应微段虚位移状态所作的虚功
各微段中所产生的变形能
：轴向虚应变 ：平均虚剪切角 ：虚曲率 虚功原理
代入虚功方程 We U 得 We ( FN FQ 0 M )ds Wi 外力虚功 内力虚功
当有多根杆件时， We
( FN ds FQ 0 ds M ds )
( F F
N Q
0
M )ds
结构力学位移法
M=1 C
M=1
若求结构两个截面的相对角位移 在两个截面上加两个方向相反单 位力偶
1 d
1 d
A
求结构两个截面的相对角位移 B
d
C 求AB杆的角位移 杆的角位移
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力偶 的两个集中力取 1/d，垂直作 用于杆端
1 d1
1 d1
A
B 求AB、AC杆的角位移 、 杆的角位移
式中k—考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 式中k 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数 与截面形状有关
∆ = ∑∫
FQ FQP FN FNP MMP ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ k ds EI EA GA
式中 F N FQ M ——虚设单位荷载引起的内力 虚设单位荷载引起的内力
l
q
A B
L
∆Q ∆M
∆Q ∆M
EI = 4.8 GAl 2
= 4.8
E 8 = 2(1 + µ ) = G 3
I h2 = A 12
EI h = 1.067( ) 2 GAl 2 l
∆Q ∆M h = 1.067( ) 2 = 1.067% l
当 h= 1 时 l 10 h 1 当 = 时 l 2
FN FQ FQ
ds ds
M
M
ds dθ=κds
γ0 dη= γ0 ds dλ=εds
ds微段 微段 整根杆 变形体系
dwi12=FN εds+FQ γ0ds +M κds w’i12= ∫ (FN εds+FQ γ0ds +M κds) wi12= ∑∫(FN εds+FQ γ0ds +M κds)
变形体虚功原理
变形体虚功原理在物理学中，变形体虚功原理是一种重要的物理原理，它在研究弹性体和变形体的力学性质时起着至关重要的作用。
变形体虚功原理是指在弹性体或变形体受到外力作用下发生形变时，外力所做的虚功等于内能的增量。
这一原理的提出和应用，为我们理解和分析弹性体和变形体的力学性质提供了重要的理论基础。
首先，我们来看一下什么是虚功。
虚功是指在力学系统中，某些力在系统发生微小位移时所做的功。
对于一个系统在平衡状态下的微小位移，外力所做的虚功等于零。
而在变形体中，外力所做的虚功等于内能的增量，这就是变形体虚功原理的核心内容。
在实际的物理问题中，我们经常会遇到弹簧、弹性体等受力而发生形变的情况。
利用变形体虚功原理，我们可以很好地分析这些问题。
例如，当一个弹簧受到外力拉伸或压缩时，外力所做的虚功等于弹簧内能的增量，这可以用公式表示为：W = ΔU。
其中，W表示外力所做的虚功，ΔU表示内能的增量。
这个公式可以帮助我们计算弹簧的形变和受力情况，为工程设计和实际应用提供了重要的理论支持。
除了弹簧，变形体虚功原理还可以应用于其他形变体的研究中。
例如，在材料力学中，我们经常需要分析材料的拉伸、压缩、弯曲等变形情况。
利用变形体虚功原理，我们可以建立相应的力学模型，研究材料的力学性质，为材料的设计和选用提供理论依据。
总之，变形体虚功原理是物理学中一个重要的理论工具，它为我们理解和分析弹性体和变形体的力学性质提供了重要的理论基础。
通过应用这一原理，我们可以更好地分析和解决实际的物理问题，为工程设计和科学研究提供重要的理论支持。
希望通过本文的介绍，读者能对变形体虚功原理有一个更清晰的认识，进一步深入学习和研究相关领域的知识。
关于变形体虚功原理
未知力数 > 有效平衡方程数
内力不可求
二者之差 —— 静不定度
多余未知力
多余约束
• 与静定问题的根本区别 • 求解的关键
外部 三
内部 种
混合
类 型
静不定问题类型
仅在结构外部存在多余约束 －外力静不定结构
仅在结构内部存在多余约束 －内力静不定结构
在结构内外部均存在多余约束 －混合型静不定结构
几度静不定？
力法求解思路 解除多余约束
多余约束力 相当系统 原有外载荷
静不定 结构
静定结构 基本系统
受力、变形与 原结构相当的
静定结构
结构的应力、位移
多余约束力
计算多余约 束处的位移
利用基本系统 静定分析
静不定 问题得解
力法要点
力法求解步骤
判断静不定度与问题所属类型 选择与解除多余约束，建立相当系统 建立补充方程（找位移边界条件或变形协调条件） 由补充方程确定多余未知力 利用基本系统计算原结构位移等
Pd
P
Dst
Dd
P1
v
EA gPl
d
Pd A
P A
1
v
EA gPl
§1 引 言
静不定问题概念 静不定度判断
静不定问题概念
静定问题 未知力数＝有效平衡方程数
可求内力
静不定问题 （Statically Indeterminate）
单位载荷法
D l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
D －广义位移，施加相应单位广义载荷
变形体的虚功原理
点的竖向位移
Δ
，可虚拟一力状态如图所示。
CV
应用虚力原理建立虚功方程为 FΔCV FBy c=0
F
A
FAy
l
F
CV
a
b
l
FBy
a l
F
B
c
令F=1。得 ΔCV=
a c l
沿所求位移方向虚设单位荷载F=1的方法称为单位 荷载法，或称为单位力法。
当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单位荷 载法来求解，其计算步骤如下：
1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出 在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
2. 令虚拟力系在相应实际位移上作功，写出虚功方 程
3. 由虚功方程解出欲求位移。如果求得的位移为正 值，表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向 一致；如果求得的位移为负值，表明位移的实际 方向与所设单位荷载的方向相反。
注意：在推导变形体的虚功方程时，并未涉及到材料 的物理性质，只要在小变形范围内，对于弹性、 塑性、线性、非线性的变形体系，上述虚功方 程都成立。
结构力学
FB
δB=1
图4.8
(a)
(2)虚拟力状态，求未知位移 在虚拟力状态和给定的实际位移状态之间应用虚 功原理，这种形式的虚功原理又称为虚力原理 。 【例4.2】 已知图4.9(a)所示静定梁的支座B向下移 动距离c，试用虚力原理求梁上点C的竖向位移。
图4.9
【解】静定结构在支座移动时只产生刚体位移。欲求C
三、 变形体的虚功原理
对于变形体系，如果力状态中的力系满足平衡条件， 位移状态中的位移和变形彼此协调、并与约束几何相 容，则体系的外力虚功等于体系的内力虚功，即
We= Wi We——外力虚功，即力状态的外力在位移状态的相 应位 移上所作的虚功总和； Wi——内力虚功，即力状态的内力在位移状态的相 应变形上所作的虚功总和。
关于变形体虚功原理
6 PEI gl 3
2. 冲击应力与位移分析
d,max
M d,max Wz
Fdl Wz
v Wz
6PEI gl
wB
Fdl 3 3EI
v
2Pl 3 3 gEI
例12-2 旋转轴在A端突然被刹停，求轴内应力。轴径为 d，飞轮转动惯量为J。
解：1. 冲击惯性力偶矩计算
16 M d2 l
Gd 4
未知力数 > 有效平衡方程数
内力不可求
二者之差 —— 静不定度
多余未知力
多余约束
• 与静定问题的根本区别 • 求解的关键
外部 三
内部 种
混合
类 型
静不定问题类型
仅在结构外部存在多余约束 －外力静不定结构
仅在结构内部存在多余约束 －内力静不定结构
在结构内外部均存在多余约束 －混合型静不定结构
几度静不定？
多余约束、多余约束力不唯一 基本系统、相当系统不唯一
外静不定问题分析
分析图示小曲率杆的支反力与内力，EI 为常数。
1. 问题分析 一度外静不定 选支座 B 为多余约束，FBy为多余力 变形协调条件为 DBy 0
2. 位移计算
D By
1 EI
/2
M ( )M ( )Rd
单位载荷法
D l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
D －广义位移，施加相应单位广义载荷
当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向
载荷状态：实际位移D（待求） 实际微段变形 用实际内力表示；
单位状态：施加与D对应的单位载荷，确定内力
§1 梁的剪切位移 §2 冲击应力分析
4.1 虚功原理
4-1-2 虚功原理 (Principle of Virtual Work)
虚功——作功的力与其相应的位移彼此独立无关。 作功的力与其相应的位移彼此独立无关。 虚功 作功的力与其相应的位移彼此独立无关 外力虚功——作用在结构上的外力所作的虚功。 作用在结构上的外力所作的虚功。 外力虚功 作用在结构上的外力所作的虚功
§4-1 变形体系的虚功原理
必须非常清楚的是： 必须非常清楚的是： 虚功方程 位移原理 原理） （虚位移原理） 虚功方程 （虚力原理） 原理） 实际受力 实际受力状态的 平衡方程 平衡方程 实际位移状态的 实际位移状态的 位移 几何方程 几何方程
∆
X
(c)
HB VB
∆X
∆c
单位位移法(Unit-Displacement Method) 单位位移法
§4-1 变形体系的虚功原理
几点体会： 几点体会： (1) 由虚位移原理建立的虚功方程，实质 由虚位移原理建立的虚功方程 虚功方程， 上是实际受力状态的平衡方程，即 上是实际受力状态的平衡方程， 实际受力状态的平衡方程 ∑MB = 0 (2) 虚位移状态与实际力系无关 故可设 δ x = 1 虚位移状态与实际力系无关, (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关 系, 由此得到实际力状态力的静力平衡关系。 由此得到实际力状态力的静力平衡关系。 特点: 是用几何法来解静力平衡问题。 特点 是用几何法来解静力平衡问题。
第四章 静定结构的位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
本章主要内容： 本章主要内容： § 4-1 变形体系的虚功原理 § 4-2 位移计算的一般公式 § 4-3 图乘法及其应用 § 4-4 温度变化情况下的位移计算 § 4-5 支座移动情况下的位移计算 § 4-6 线弹性结构的互等定理 § 4-7 静定结构的特性
变形体的虚功原理
变形体的虚功原理变形体是工程力学中的重要概念，它指的是在受力作用下形状或尺寸发生变化的物体。
在研究变形体的力学特性时，虚功原理是一种常用的分析方法。
虚功原理是指，在变形体受力作用下，通过引入虚位移，将受力和虚位移的乘积对整个系统进行求和，从而得到系统的平衡方程。
本文将详细介绍变形体的虚功原理及其应用。
首先，我们来了解一下虚功原理的基本概念。
虚功原理是基于能量守恒定律的，它认为在平衡状态下，外力对系统所做的虚功等于内力所做的实功。
虚功原理的应用需要引入虚位移，虚位移是指在系统受力作用下，假设系统中的某一部分发生微小位移，而其他部分不发生位移。
通过引入虚位移，我们可以得到系统的平衡方程，从而分析系统的受力情况。
在实际工程中，虚功原理常常用于分析结构体系的受力情况。
以梁结构为例，当外力作用于梁上时，梁会产生弯曲变形。
通过引入虚位移，我们可以得到梁的弯曲方程，进而分析梁的受力情况。
虚功原理的应用不仅可以简化受力分析的过程，还可以得到更为准确的结果。
除了在静力学中的应用，虚功原理在弹性力学、材料力学等领域也有着重要的应用。
在弹性力学中，虚功原理可以用于分析材料的应力-应变关系，从而得到材料的力学性能参数。
在材料力学中，虚功原理可以用于分析材料的变形情况，进而指导工程设计和材料选择。
总之，虚功原理是工程力学中的重要分析方法，它通过引入虚位移，得到系统的平衡方程，从而分析系统的受力情况。
虚功原理不仅在静力学中有着重要的应用，还在弹性力学、材料力学等领域发挥着重要作用。
掌握虚功原理的基本原理和应用方法，对于工程力学的学习和工程实践都具有重要意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解变形体的虚功原理，同时也希望读者能够在工程实践中灵活运用虚功原理，为工程设计和分析提供有力的支持。
04-课件：6.2 虚功原理
原理
原理
力系平衡 位移相容
实 虚
实
虚位移原理
虚 虚力原理
u 变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构
和三维块体）
u 实际或虚设的力状态（内外力） 均应满足的静力平衡条件。
u 杆件结构的每一个杆件的位移状态 （实际或虚设）均应满足：①任一 微段满足应变～位移关系；②边界 位移满足约束边界条件。
Ø3、虚功原理的两种应用
虚位移原理
对于给定的力状态（实力状态）， 另虚设一个位移状态（虚位移状 态），利用虚功方程来求解力状态
中的未知力
虚力原理
对于给定的位移状态（实位移 状态），另虚设一个力状态 （虚力状态），利用虚功方程 来求解位移状态中的位移
Ø4、变形体系虚功原理的几点说明
功 能 力与位移无关 虚功
u单位位移法
总结利用刚体体系的虚位移原理求解静定结构的支反力 和内力的求解步骤：单位位移法
①取实际力状态 ：撤除与待求力相应约束，用约束力X 代替
②取虚位移状态：沿X正方向产生单位位移X=1；与荷载 F处对应位移记为P(由几何关系求得)
③列虚功方程：X.1+(F.P)=0 ④ X=-F.P
例3：一伸臂梁，支座A向下移动距离c1，求C点的竖向位移△。
A
c1
a
A
F RA F. b a
A
F RA b a
c
B
C
实位移状态
b
F
B
C
虚力状态
F 1
B
C
说明：①实位移状态：给 定的实际状态
②虚力状态：沿所求位移 方向假设一外力
③虚功方程：
F.
FR .c1
0
变形体虚功原理
变形体虚功原理
变形体虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它在分析和计算结构变形时起
着至关重要的作用。
虚功原理是指在结构受力变形过程中，外力所做的虚功等于内力所做的虚功，即外力和内力之间的平衡关系。
通过虚功原理，我们可以更加简洁地分析结构的受力情况，从而得出结构的变形情况和受力分布。
在应用虚功原理时，我们通常会利用虚位移的概念。
虚位移是指结构在受力变
形过程中，假设某一部分结构发生微小位移，而其他部分不发生位移。
通过引入虚位移，我们可以将结构的受力分析问题转化为能量平衡问题，从而更加方便地进行计算和分析。
虚功原理的应用范围非常广泛，几乎涉及到结构力学的各个方面。
在静力学中，我们可以利用虚功原理来分析梁、柱、桁架等结构的受力情况；在变形分析中，虚功原理也可以帮助我们计算结构的变形情况和受力分布；在动力学中，虚功原理同样可以用于分析结构的振动和冲击响应。
虚功原理的应用不仅仅局限于理论分析，它在工程实践中同样具有重要意义。
例如，在工程设计中，我们可以通过虚功原理来优化结构设计，减小结构的变形和应力集中；在结构监测中，虚功原理也可以用于评估结构的安全性和稳定性。
总的来说，虚功原理作为结构力学的基本原理之一，对于分析和计算结构的受
力和变形具有重要的意义。
通过深入理解和应用虚功原理，我们可以更加准确地把握结构的受力行为，为工程实践提供可靠的理论支持。
希望本文对虚功原理的理解和应用有所帮助，谢谢阅读！。
第二节虚功原理
n
m
× a m • ζ cos ϕ t = 0
桁架杆件在轴向荷载作用下虚功原理的推导
qx ( x)
i j
∂N + qx ( x) = 0 ∂x
qx ( x)
N ( x)
N ( x + ∆x )
∆x
x
∂u = ε ( x) ∂x
桁杆的虚位移原理
∂N ∫ δu( x )( ∂x + q x ( x ))dx = 0 0
n n virtul _ work = ∑ P m • δ η + ∑ P m × a m • δ ζ m =1 m =1 virtul _ work = 0
m =1
∑P
n
m
• δ η cos ϕ t +
n
m =1
∑P
n
m
× a m • δ ζ cos ϕ t = 0
n
m =1
∑P
m
=0
m =1
∑P
m
× am = 0
n n virtul _ work = ∑ δ P m • η + ∑ δ P m × a m • ζ = 0 m =1 m =1
m =1
∑δ P
n
m
• η cos ϕ t +
m =1
∑δ P
W = P∆
通常将上述状态图形分画在两个图中，称为力状态和位移状态。 通常将上述状态图形分画在两个图中，称为力状态和位移状态。
三、虚功原理 Ⅰ.虚功原理
变形体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于符合变形体系约束条件的任意微小的连续虚位移，变 形体系上所有外力所做的虚功总和W，等于变形体系各微 段截面上的内力在其虚变形上所做的虚功U。即外力虚功 等于变形虚功（或称虚应变能）。
一级结构基础辅导：变形体系的虚功原理
变形体系的虚功原理
变形体系的虚功原理可表述为：变形体系处于平衡的必要和充分条件是：在满⾜体系变形协调条件和位移边界条件的任意微⼩虚位移过程中，变形体系上所有外⼒所做虚功的总和(W外)，等于变形体系中各微段截⾯上的内⼒在其变形上所做虚功的总和(W变)，即
W外＝W变 (11－3—1)
（11－3—2)
上式也称为变形体系的虚功⽅程。
式中P为作虚功的⼴义⼒，Δ为与P相应的⼴义位移；C是⽀座的线位移或⾓位移，R是与C 相应的作虚功的⽀座反⼒或反⼒矩；M、N、V分别表⽰作虚功的平衡⼒系中微段上的弯矩、轴向⼒、剪⼒；dθ、du、dη分别表⽰虚位移状态中同⼀微段的弯曲变形、轴向变形、平均剪切变形。
对变形体系虚功⽅程(3—2)应注意理解以下⼏点：
(1)刚体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的⼀种特殊情况，对刚体系来讲，W变＝0，式(3—2)即成为刚体系虚功⽅程。
(2)式(3—2)是⼀个既可作为⼏何⽅程(变形协调⽅程)，⼜可作为平衡⽅程的综合性⽅程。
例如当受⼒平衡状态为实际状态，位移状态为虚设状态时，变形体系的虚功原理就称为变形体系的虚位移原理，可利⽤它来求解受⼒平衡状态中的未知⼒，这时的虚功⽅程，实质上代表平衡⽅程；当位移状态为实际状态，受⼒平衡状态为虚设状态时，变形体系的虚功原理就称为变形体系的虚⼒原理，可利⽤它来求解位移状态中的未知位移，此时的虚功⽅程，实质上代表⼏何⽅程。
本章的结构位移计算，就是以变形体系的虚⼒原理作为理论依据的。
(3)变形体系的虚功原理适⽤于弹性、⾮弹性、线性、⾮线性等变形体系的结构分析。
变形体的虚功原理
F 表示由零增加到 Fi 过程中的某一数值，以 表示相应位移，则当 F 增加 dF 时，
位移 也相应增加 d iF ，则在此微小阶段荷载 F 所做的元功为
dW (F d F )d F d d F d (a) 略去高阶微量，则元功又可表示为
dW F d
(b)
图10-4
图10-5
从几何角度上看，元功 dW 就是如图10-5 所示的窄条阴影面积。由于F 与 d iF 成 线性关系，若设 α 为比例常数，则有
W内 W内 l M d FQ d v FN du
(10-7)
1. 4 变形体的虚功原理
变形体处于平衡状态的必要和充分条件为：变形体上所有外力在其对应位移 上所做的外力虚功的总和等于各微段上内力在其对应变形上所做的内力虚功 W内 的 总和 ( 证明从略 )，即
W外 W内 将式 (10-6) 和式 (10-7) 代人式 (10-8)，于是得
① 虚设位移，求力，故称为虚位移原理。若虚设单位位移，应用虚位移原 理求力的方法称为虚拟单位位移法。
② 虚设力系，求位移，故称为虚力原理。若虚设单位荷载，应用虚力原理 求位移的方法称为虚拟单位荷载法。
建筑力学
1. 2 实功与虚功
1. 实功与虚功的概念 力在某位移上所做的功根据位移产生的原因可分为如下两类： ① 实功：力在其自身引起的位移上所做的功； ② 虚功：力在其他因素引起的位移上所做的功。
2. 实功与虚功的计算
设图10-6 所示的简支梁，在其梁上 1 点作用由零增加至 F1 时，使梁产生弯 曲变形如虚线Ⅰ所示，则 1 点发生竖向 位移 Δ 11 是由 F1 上作用所引起的；当 F1 平稳后，又在其梁上 2 点作用力 F2 使梁 继续产生弯曲变形如实线Ⅱ所示，由于 F2 作用，则1点又发生竖向位移 Δ 12 。
11.4 变形体的虚功原理[6页]
![11.4 变形体的虚功原理[6页]](https://img.taocdn.com/s3/m/121d3d52bf23482fb4daa58da0116c175f0e1e9f.png)
2. 虚位移原理
令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立 的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实 际力系中的未知力。这就是虚位移原理。
例如：应用虚位移原理求支座C的反力FC。
A F yA
1
C B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚
功方程
Δ 1 c1 F yA 0
求得
Δ
c1 F yA
c1 (
b) a
b a
c1 ( )与单位力方向相同。
注意：虚力原理写出的虚功方程是一个几何方 程，可用于求解几何问题。
3. 虚力原理
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所 建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出 位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理(也称 为余虚功原理)。
例：当A支座向上移动一个 A'
c1
已知位移c1，求点B产生的竖向
位移⊿。
A
a
C
B
△
b
在拟求线位移的方向加单位力
由平衡条件 F yA b a
11.4 变形体的虚功原理
1. 虚功原理：
设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变 形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位 移时，则外力系在位移上做的虚功的总和δWe，等于 变形体的内力在变形上做的虚功的总和δWi，即，
δWe δWi
——此即为虚功方程。
需注意：
⑴ 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；
⑵ 位移必须满足虚位移的条件——满足约束条件 的非常微小的连续位移；
变形体虚功原理
变形体虚功原理变形体虚功原理是工程力学中的重要理论之一，它是研究物体在受力作用下的变形规律的基础。
在实际工程中，我们经常需要对各种结构进行分析和设计，而变形体虚功原理则为我们提供了一种有效的方法来解决这些问题。
首先，让我们来了解一下什么是虚功原理。
虚功原理是指在静力学中，如果一个系统处于平衡状态，那么在系统的任意虚位移下，系统内的所有内力和外力的虚功之和为零。
虚位移是指系统中某一点的位移，它是一个虚拟的位移，不是真实的位移。
而虚功则是指在虚位移下各个力的功的总和，如果系统处于平衡状态，虚功总和为零。
在变形体虚功原理中，我们将虚功原理应用到弹性体的变形分析中。
当一个弹性体受到外力作用时，会发生形变，而根据虚功原理，我们可以通过对系统施加虚位移来分析弹性体的变形规律。
通过对虚功的计算，我们可以得到弹性体在受力作用下的位移、应变等重要参数，从而为工程设计提供依据。
变形体虚功原理在工程实践中有着广泛的应用，特别是在结构分析和设计中。
例如，在桥梁设计中，我们可以利用虚功原理来分析桥梁在受力作用下的变形情况，从而确定桥梁的合理结构和尺寸。
在机械设计中，虚功原理也可以用来分析零件的变形情况，从而保证机械零件的稳定性和可靠性。
除此之外，变形体虚功原理还可以应用于材料力学、土木工程、航空航天等领域。
通过对虚功原理的理解和运用，我们可以更加深入地理解物体在受力作用下的变形规律，为工程实践提供科学的分析方法。
总之，变形体虚功原理作为工程力学中的重要理论，为我们提供了一种有效的方法来分析物体在受力作用下的变形规律。
通过对虚功原理的理解和应用，我们可以更好地进行结构分析和设计，保证工程的安全性和稳定性。
希望本文对读者对变形体虚功原理有所帮助。
变形体虚功原理
变形体虚功原理
变形体虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它在分析和计算结构变形过程中起着重要作用。
变形体虚功原理是从能量角度出发，利用虚功原理来推导出结构的变形方程，从而可以通过能量方法来求解结构的变形和内力分布。
在工程实践中，变形体虚功原理被广泛应用于各种结构的分析和设计中。
首先，我们来了解一下虚功原理。
虚功原理是说，当一个结构处于平衡状态时，对这个结构施加一个微小的虚位移，所做的虚功等于零。
这个原理可以用数学公式表示为，δW=0，其中δW表示虚功，当结构受到外力和内力的作用时，对结构施加一个微小的虚位移，所做的虚功等于零。
在结构力学中，变形体虚功原理是指，在结构受力平衡的情况下，对结构进行微小的虚位移，所做的虚功等于零。
通过变形体虚功原理，我们可以得到结构的变形方程，从而可以求解结构的变形和内力分布。
变形体虚功原理的应用非常广泛，可以用于各种结构的分析和设计。
例如，在桥梁工程中，可以利用变形体虚功原理来分析桥梁
的变形和内力分布，从而指导桥梁的设计和施工。
在建筑工程中，可以利用变形体虚功原理来分析建筑结构的变形和内力分布，从而指导建筑结构的设计和施工。
在机械工程中，可以利用变形体虚功原理来分析机械结构的变形和内力分布，从而指导机械结构的设计和制造。
总之，变形体虚功原理是结构力学中的重要概念，它通过能量方法来分析和计算结构的变形和内力分布。
在工程实践中，变形体虚功原理被广泛应用于各种结构的分析和设计中，对于提高结构的安全性和经济性具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能对变形体虚功原理有一个更加深入的理解，从而在工程实践中更好地应用这一理论。