考虑信用风险的亚式期权定价
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（ 一１＜Ｐ ＜ １ 。 ）
（） （） ￡， １ 及 （） （） ｆ， ｚ 分别为资产和企业价值 的平均 回报率和波动率 ， （） ｇ ‘ 为资 产的连续红利率 ， 企业债务 Ｄ ｔ 为时问 ｔ （） 的确定函数。
设 是 概率 Ｐ下 与 Ｂ 独立 的标 准 布 朗 运 动 ， Ｂ （）可 以表 示 成 ｄ ￡ ＝ｐ Ｂ （）＋ ， ｄ Ｂ （） ｄ ，ｆ
１ 引言
亚式期权是一种新型期权 ， 它的报酬依赖于执行时刻 以前 的资产价格 的整个样本轨道 性质。由于亚式期权主要在场外交易 ， 故易遭受信用风险。 对于信用风险模型 ， 主要采用结 构化模 型 ， 又称 为企业 价值模 型。它首先 由莫 顿（ ９４ １７ 年） 提出 ， 利用企业价值与企业 债务的关 系来决定企业是 否违约 ， 并确定相应 的违约赔偿率。 本文在结构化模型下分别给出了企业债务为确定和随机两种情况下信用风险几何平均亚式期
关键词
Ｔｈ ｉｉ ｇ ｏ ｉ ｎ Ｏ ｐ ｉ ｎ Ｗ ｈ ｎ Ｃｏ ｓｄ ｒｎ ｈ ｅ ｉ ｓ ｅ Ｐｒ ｃ ｎ ｆＡｓａ ｔｏ ｅ ｎ ｉ ｅ ｉ ｇ ｔ ｅ Ｃｒ ｄ ｔＲｉｋ
Ｉｉ ｉｕｉ Ｘｕ Ｙａ Ｊ Ｒｕ ｒ ｕ ｎ
（ ｏ ｅｅ ｆ ｔｅ ｔｓａｄＳｓ ｍ Ｓｉｎｅ Ｘｎｉ ｇＵ ｉ ｒ ｔ，Ｕｕ ｉ ８ ０４ ） Ｃ ｌ ｇ ｈｍａｃ ｎ ｙｔ ｃ ｃ ， ｉｊ ｎ ｎ ｅｓｙ ｒｍｑ， ３ ０ ６ ｌ ｏ Ｍａ ｉ ｅ ｅ ａ ｖ ｉ
Ｆ Ｒ Ｈ Ｘ ２０ １９资助 Ｓ Ｐ Ｅ Ｊ０ ８０ 收稿 日期 ：０ ０年 ７月 ５日 ２１
数学理论与应用
含的信息。 ［ ］ Ｅ Ｘｌ 表示随机变量 Ｘ的条件期望。 假设某个在市场上交易的风险资产价格为 ｓ ｔ ， （） 该资产所属企业的价值为 ｖ ｔ ， （） 分别满
足 随机微分 方程 ：
ｄ （）＝Ｓ ｔ［ （）一ｑ ￡ ］ｔ ，ｔＳ ｅｄ ，ｔ， Ｓｆ （） ｔ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ） ｄ ＋ （） （） Ｂ（）
ｄ （） ＝ （） （） ｔ （） （）Ｂ （） Ｖ ｔ ￡ ｔｄ ＋ ￡Ｖ ｔｄ ￡
其中 ， ．￡ ， ｔ 为概率空间 （ Ｆ （ ， ） Ｂ（） Ｂ（） ， ，Ｆ） Ｐ 上的标准布 朗运动 ， Ｂ （）Ｂ （）＝ｐ ｄ。 ｄ 。ｔｄ ￡ 抑ｌ
权 的定 价公 式 ， 公式具 有 Ｂａｋ—Ｓｈｌ 平 价关 系 。 且 ｌｃ ｃｏｅ ｓ
２ 债 务确 定 时 信用 风 险亚 式 期 权 的定 价
２ １ 模 型 的建立 ．
设 （ Ｆ （ ） ，） ， ， 伽 Ｐ 为市场概率空间， ） 为 一域流 ， （ 表示到 ‘ 时刻为止市场所包
ｂ ｉ ，ｈｃ ｅ ｎ ｅ ｒｓ ｃａｔ ． ｙａ ｐ ｎ ｑｉａ ｎ ｍ ｒｎａ ａｕｅｔ ｎｆｒａｉ ， ｅｄｒ ｅ ｅｐ ｃｎ ｉｔ ｗ ｉ ｉ ｄｆ ｉ ｔ ｈ ｉ Ｂ ｐ ｌ ｇｅｕｖｌ ｔ ａｔ ｇｌ ｍｅ ｒ ａｓ ｍ ｔｎ ｗ ｅ ｖｄｔ ｒ ｉｇ ｌ ｙ ｈ ｓ ｉ ｔｏ ｏ ｓ ｃ ｉ ｙ ｅ ｉ ｅ ｓ ｒ ｏ ｏ ｉ ｈ ｉ
＾１一 （） ／ ｐ ／ ｔ。
定 义
＝ｘ ０ ｕ一０秀 一 （ 叫 ｅ卜 。 ） ） ＋ ） ｐ （ ｄ
删 ： 。 Ｇｒ ｎｖ 由 ｉａｏ 删 ｓ Ｑ
为 风险 中性概率 测度 。 （） Ｖ ｔ ｓ ｔ， （）在 Ｑ下遵循 的过 程分 别为
ｄ （）＝ｓ ｔ ［（）一 （） ｄ ＋ （） （） ｌ ｃ Ｓ￡ （） ｒｔ ｑ ｔ］ ｔ ，ｔｓ ｔｄ Ｖ（）
ｄ （） ＝ Ｖ ￡ｒ ｔ ｄ ＋ ，ｔ Ｖ ｔｄ （ ） Ｖ‘ （） （） ｔ （ ） （） ￡
第３ Ｏ卷 第 ３期 ２ １ ９月 ０ ０年
数 学理 论 与 应 用
ＭＡＴ ＨＥＭＡ ＣＡＬ ＴＨＥ０ＲＹ Ｉ １ ＡＮＤ ＡＰＰ Ｃ ｎＯＮＳ Ｕ Ａ’
Ｖ０． ０ Ｎｏ ３ １３ ．
Ｓ ｐ ０１ ｅ ．２ ０
考 虑 信 用 风 险 的 亚 式 期 权 定 价
刘 蕊蕊 徐 云
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｕ ｄ ｒ ｈ ｔｕ ｔ ｒｌｍｏ ｄ ， ｏ ｓｄ ｒ ｈ ｉｉ ｅ ｄｏ ｕ ｄ ｒ ｉ ｇ ａ ｓｔａ ｄｔ ｅｔ ａ ｅ ｆ ｎ ｅｐ ｉ ｉ － ｓｒ ｃ ｎ ｅ ｔ ｅ ｓ ｃｕ ａ ｒ ｄ ｗｅｃ ｎ ｉ ｅ ｔ ｅ ｄ ｖｄ ｎ ｆ ｎ ｅ ｌ ｎ ｓ ｅ ｎ ｈ ｗｏＣ ｓ ８ｏ ｅ ｔｒ ｒ ｅｌａ ｙ ｓ
（ 新疆大学数学与 系统科 学学院， 鸟鲁木齐， ０４ ） ８ ０ ６ ３
摘 要 在结构化模型下 ， 考虑标的资产 的红利 收益及 企业债务 为确定和 随机 两种情 况， 用鞅方法得到 有 采
信 用风 险 脆 弱 期 权 亚 式 期 权 几 何 平 价
信 用风险的连续几何平均亚式看涨和看跌期权的定价公式 。且公式具有 Ｂａｋ ｅ ｏ ｓ ｌｃ —Ｓｈ ｌ 平价 关系。 ｅ
ｆｒ ｌ ｆｄ ｆｕ ｔｃ ｎ ｉｕ ｕ ｅ ｍｅｒ ｖ ｒ ｇ ｓ ａ ｐ ｏ ， ｄ ｔ ｅｆ ｒ ｌ ａ ｅ Ｂ ａ ｋ－Ｓ ｈ ｓ ｐ ｙｒ ｌｔ ｎ ｏｍｕ ａ ｏ ｅａ ｌ ｏ ｔ ｏ ｓｇ ｏ ｔ ｃ ａ ｅ ａ ｅ Ａ ｉｎ ｏ ｔ ｎ ａ ｏ ｍｕ ａ ｈ ｖ ｌｃ ｎ ｉ ｉ ｎ ｈ ｓ ｅ ｄｅ ａ ｔ ｅ ｉ ． ａ ｏ Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｃ ｅ ｉ ｒｓ Ｖｕ ｎ ｒ ｂ ｅ ｏ ｔ ｎ ｙ ｒｓ ｒｄｔ ｋ ｉ ｌ ｅ ａ ｌ ｐ ｉ Ａｓａ ｐ ｏ Ｇ ｏ ｔ ｃ ａ ｅ ａ ｅ ｏ ｉｎ ｏ ｔ ｎ ｉ ｅ ｍｅ ｒ ｖ ｒｇ ｉ
（） （） ￡， １ 及 （） （） ｆ， ｚ 分别为资产和企业价值 的平均 回报率和波动率 ， （） ｇ ‘ 为资 产的连续红利率 ， 企业债务 Ｄ ｔ 为时问 ｔ （） 的确定函数。
设 是 概率 Ｐ下 与 Ｂ 独立 的标 准 布 朗 运 动 ， Ｂ （）可 以表 示 成 ｄ ￡ ＝ｐ Ｂ （）＋ ， ｄ Ｂ （） ｄ ，ｆ
１ 引言
亚式期权是一种新型期权 ， 它的报酬依赖于执行时刻 以前 的资产价格 的整个样本轨道 性质。由于亚式期权主要在场外交易 ， 故易遭受信用风险。 对于信用风险模型 ， 主要采用结 构化模 型 ， 又称 为企业 价值模 型。它首先 由莫 顿（ ９４ １７ 年） 提出 ， 利用企业价值与企业 债务的关 系来决定企业是 否违约 ， 并确定相应 的违约赔偿率。 本文在结构化模型下分别给出了企业债务为确定和随机两种情况下信用风险几何平均亚式期
关键词
Ｔｈ ｉｉ ｇ ｏ ｉ ｎ Ｏ ｐ ｉ ｎ Ｗ ｈ ｎ Ｃｏ ｓｄ ｒｎ ｈ ｅ ｉ ｓ ｅ Ｐｒ ｃ ｎ ｆＡｓａ ｔｏ ｅ ｎ ｉ ｅ ｉ ｇ ｔ ｅ Ｃｒ ｄ ｔＲｉｋ
Ｉｉ ｉｕｉ Ｘｕ Ｙａ Ｊ Ｒｕ ｒ ｕ ｎ
（ ｏ ｅｅ ｆ ｔｅ ｔｓａｄＳｓ ｍ Ｓｉｎｅ Ｘｎｉ ｇＵ ｉ ｒ ｔ，Ｕｕ ｉ ８ ０４ ） Ｃ ｌ ｇ ｈｍａｃ ｎ ｙｔ ｃ ｃ ， ｉｊ ｎ ｎ ｅｓｙ ｒｍｑ， ３ ０ ６ ｌ ｏ Ｍａ ｉ ｅ ｅ ａ ｖ ｉ
Ｆ Ｒ Ｈ Ｘ ２０ １９资助 Ｓ Ｐ Ｅ Ｊ０ ８０ 收稿 日期 ：０ ０年 ７月 ５日 ２１
数学理论与应用
含的信息。 ［ ］ Ｅ Ｘｌ 表示随机变量 Ｘ的条件期望。 假设某个在市场上交易的风险资产价格为 ｓ ｔ ， （） 该资产所属企业的价值为 ｖ ｔ ， （） 分别满
足 随机微分 方程 ：
ｄ （）＝Ｓ ｔ［ （）一ｑ ￡ ］ｔ ，ｔＳ ｅｄ ，ｔ， Ｓｆ （） ｔ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ） ｄ ＋ （） （） Ｂ（）
ｄ （） ＝ （） （） ｔ （） （）Ｂ （） Ｖ ｔ ￡ ｔｄ ＋ ￡Ｖ ｔｄ ￡
其中 ， ．￡ ， ｔ 为概率空间 （ Ｆ （ ， ） Ｂ（） Ｂ（） ， ，Ｆ） Ｐ 上的标准布 朗运动 ， Ｂ （）Ｂ （）＝ｐ ｄ。 ｄ 。ｔｄ ￡ 抑ｌ
权 的定 价公 式 ， 公式具 有 Ｂａｋ—Ｓｈｌ 平 价关 系 。 且 ｌｃ ｃｏｅ ｓ
２ 债 务确 定 时 信用 风 险亚 式 期 权 的定 价
２ １ 模 型 的建立 ．
设 （ Ｆ （ ） ，） ， ， 伽 Ｐ 为市场概率空间， ） 为 一域流 ， （ 表示到 ‘ 时刻为止市场所包
ｂ ｉ ，ｈｃ ｅ ｎ ｅ ｒｓ ｃａｔ ． ｙａ ｐ ｎ ｑｉａ ｎ ｍ ｒｎａ ａｕｅｔ ｎｆｒａｉ ， ｅｄｒ ｅ ｅｐ ｃｎ ｉｔ ｗ ｉ ｉ ｄｆ ｉ ｔ ｈ ｉ Ｂ ｐ ｌ ｇｅｕｖｌ ｔ ａｔ ｇｌ ｍｅ ｒ ａｓ ｍ ｔｎ ｗ ｅ ｖｄｔ ｒ ｉｇ ｌ ｙ ｈ ｓ ｉ ｔｏ ｏ ｓ ｃ ｉ ｙ ｅ ｉ ｅ ｓ ｒ ｏ ｏ ｉ ｈ ｉ
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定 义
＝ｘ ０ ｕ一０秀 一 （ 叫 ｅ卜 。 ） ） ＋ ） ｐ （ ｄ
删 ： 。 Ｇｒ ｎｖ 由 ｉａｏ 删 ｓ Ｑ
为 风险 中性概率 测度 。 （） Ｖ ｔ ｓ ｔ， （）在 Ｑ下遵循 的过 程分 别为
ｄ （）＝ｓ ｔ ［（）一 （） ｄ ＋ （） （） ｌ ｃ Ｓ￡ （） ｒｔ ｑ ｔ］ ｔ ，ｔｓ ｔｄ Ｖ（）
ｄ （） ＝ Ｖ ￡ｒ ｔ ｄ ＋ ，ｔ Ｖ ｔｄ （ ） Ｖ‘ （） （） ｔ （ ） （） ￡
第３ Ｏ卷 第 ３期 ２ １ ９月 ０ ０年
数 学理 论 与 应 用
ＭＡＴ ＨＥＭＡ ＣＡＬ ＴＨＥ０ＲＹ Ｉ １ ＡＮＤ ＡＰＰ Ｃ ｎＯＮＳ Ｕ Ａ’
Ｖ０． ０ Ｎｏ ３ １３ ．
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考 虑 信 用 风 险 的 亚 式 期 权 定 价
刘 蕊蕊 徐 云
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｕ ｄ ｒ ｈ ｔｕ ｔ ｒｌｍｏ ｄ ， ｏ ｓｄ ｒ ｈ ｉｉ ｅ ｄｏ ｕ ｄ ｒ ｉ ｇ ａ ｓｔａ ｄｔ ｅｔ ａ ｅ ｆ ｎ ｅｐ ｉ ｉ － ｓｒ ｃ ｎ ｅ ｔ ｅ ｓ ｃｕ ａ ｒ ｄ ｗｅｃ ｎ ｉ ｅ ｔ ｅ ｄ ｖｄ ｎ ｆ ｎ ｅ ｌ ｎ ｓ ｅ ｎ ｈ ｗｏＣ ｓ ８ｏ ｅ ｔｒ ｒ ｅｌａ ｙ ｓ
（ 新疆大学数学与 系统科 学学院， 鸟鲁木齐， ０４ ） ８ ０ ６ ３
摘 要 在结构化模型下 ， 考虑标的资产 的红利 收益及 企业债务 为确定和 随机 两种情 况， 用鞅方法得到 有 采
信 用风 险 脆 弱 期 权 亚 式 期 权 几 何 平 价
信 用风险的连续几何平均亚式看涨和看跌期权的定价公式 。且公式具有 Ｂａｋ ｅ ｏ ｓ ｌｃ —Ｓｈ ｌ 平价 关系。 ｅ
ｆｒ ｌ ｆｄ ｆｕ ｔｃ ｎ ｉｕ ｕ ｅ ｍｅｒ ｖ ｒ ｇ ｓ ａ ｐ ｏ ， ｄ ｔ ｅｆ ｒ ｌ ａ ｅ Ｂ ａ ｋ－Ｓ ｈ ｓ ｐ ｙｒ ｌｔ ｎ ｏｍｕ ａ ｏ ｅａ ｌ ｏ ｔ ｏ ｓｇ ｏ ｔ ｃ ａ ｅ ａ ｅ Ａ ｉｎ ｏ ｔ ｎ ａ ｏ ｍｕ ａ ｈ ｖ ｌｃ ｎ ｉ ｉ ｎ ｈ ｓ ｅ ｄｅ ａ ｔ ｅ ｉ ． ａ ｏ Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｃ ｅ ｉ ｒｓ Ｖｕ ｎ ｒ ｂ ｅ ｏ ｔ ｎ ｙ ｒｓ ｒｄｔ ｋ ｉ ｌ ｅ ａ ｌ ｐ ｉ Ａｓａ ｐ ｏ Ｇ ｏ ｔ ｃ ａ ｅ ａ ｅ ｏ ｉｎ ｏ ｔ ｎ ｉ ｅ ｍｅ ｒ ｖ ｒｇ ｉ