考虑信用风险的亚式期权定价

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【国家自然科学基金】_标的资产_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730

科研热词定价跳扩散过程欧式双向期权权证定价数据选择权鲁棒优化高科技企业风险偏好漂移风险中性测度预算软约束鞅方法集装箱需备量随机贴现因子重随机poisson过程违约相关性违约强度跳跃扩散模型跳分形过程资产配置脆弱期权等价鞅测度矩匹配班轮航线测度变换极大似然杠杆随机波动率模型期权价值缩水幅度有效重要性抽样最大值期权时变t-copula 持续经营拟条件数学期望抵押资产组合抵押外汇契约延展期权平价关系局部支付型权证封闭解实验实物期权多标的资产多变量复合期权因果复合实物期权利差期限结构分数跳扩散过程分数布朗运动几何平均信用风险信用违约信用价差亚式期权
பைடு நூலகம்
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
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knight不确定性 girsanov定理 garch过程 es模型 esscher 转换 copula bsde
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期权定价模型

期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。

在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。

这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。

布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。

利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。

然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。

因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。

其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。

该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。

此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。

总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。

布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。

为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。

在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。

这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。

Heston模型下离散几何平均亚式期权定价

Heston模型下离散几何平均亚式期权定价陈有杰【期刊名称】《《河池学院学报》》【年(卷),期】2019(039)005【总页数】6页(P67-72)【关键词】Heston模型; 亚式期权; Fourier反变换; 几何平均【作者】陈有杰【作者单位】广西师范大学数学与统计学院广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O211.90 引言期权是风险管理的核心工具，如何给期权定价，自然是一个非常重要的问题。

1973年Black与Scholes在股票价格服从几何布朗运动，利率和股票波动率均为常数的假设下，给出了欧式标准期权定价模型，即著名的Black-Scholes公式[1](记为B-S模型)。

后来人们发现从期权市场数据计算出的波动率表现出波动的聚集性和微笑现象，这表明B-S模型计算的期权价格与实际市场表现存在一定偏差。

为了解决这些偏差，许多学者对B-S模型进行了改进，如Merton[2]和Kou[3]等学者在标的资产的动态模型中引入跳跃风险，建立的跳扩散模型(Jump-Diffusion，简记JD模型)，并给出了类似B-S 模型的期权定价公式；另外，Heston[4]、 Hull和 White[5]以及Stein 和Stein[6]等学者设定资产的波动率是随机变化的，以资产波动率的随机变化过程来刻画波动的聚集性和微笑现象，建立了随机波动率模型(Stochastic Volatility，简记SV模型)。

随后，Chen和Scott[7]、Bates[8]、邓国和和杨向群[9]等学者发现把跳跃因素和波动率随机化结合起来能更好地刻画金融市场波动的聚集性和微笑现象。

亚式期权(Asian options)是一种路径依赖型期权(Path-dependent options)，它的最终收益依赖于期权有效期标的资产价格的平均值，该平均值可以是资产价的几何平均和算术平均，记为标的资产价格从0时刻到T时刻的平均值，则算术平均(JT)离散情形连续情形，几何平均(JT)亚式期权可以根据到期日的收益分成两类[10]37-39，218-288：固定执行价格亚式期权：C(S,T)=(JT-K)+或(K-JT)+，浮动执行价格亚式期权：C(S,T)=(ST-JT)+或(JT-ST)+.由于亚式期权的价格比标准化的欧式期权的价格便宜，所以在金融市场上，它倍受投资者的青睐。

《金融风险管理》期末复习试题及答案

外汇头寸管理方法：（1）设立合理的外汇交易头寸限额:总的外汇账面价值限额；总的未抛补的未偿头寸限额;期限不对称头寸限额（2）及时抛补敞口头寸（3）积极建立预防性头寸29.银行管理外汇折算风险的方法:1）缺口法;缺口是指风险资产与风险负债之间的差额，通过资产负债表项目的调整，使缺口为零，从而避免汇率变动带来折算损失的方法。

（2）合约保值法——利用远期交易保值–某欧洲公司预测美元将贬值，其美国子公司资产负债表上存在100万欧元的折算损失，这说明该公司美元受险资产大于受险负债。

该公司可以在期初卖出远期美元，期末再买进即期美元，用于远期合约的交割。

–如果预测正确，美元果真贬值，外汇交易上的收益就可以弥补折算损失；反之，如果预测错误，外汇交易上就会出现损失，同时会出现折算收益。

30.银行管理外汇经济风险的方法:1）财务管理法——构造合理的财务结构，即通过套期保值，构造一个合理的财务结构，使汇率变动导致的现金流入量和现金流出量的变动相互抵消等。

——财务多样化，以多种货币寻求资金来源和资金投向，即实行筹资多样化和投资多样化。

（2）经营管理法：–经营全球化–业务多样化31.发生对外债务危机的国家的特征有：（1）出口不断萎缩，外汇来源主要依靠举借外债。

（2）国际债务条件对债务国不利，如外债期限缩短，外债成本上升等。

（3）大多数债务国缺乏外债管理经验。

（4）外债投向效率不高，创汇能力低。

32.金融租赁主要风险分类:信用风险:第一，承租人违约的风险。

主要表现为承租人因本身经营不善或恶意欺诈而发生延付甚至不付租金的行为。

第二，出租人违约的风险。

主要表现为租赁公司本身资金不足或工作疏忽、失误而导致供货人拒绝或推迟交货,使得租赁物不能如期交给承租人而使之蒙受损失。

第三，供货人违约的风险。

主要表现为供货人未能按合同规定按时交货,或未能达到约定的要求。

利率风险:是指租赁公司向银行或其他融资机构筹借的资金利率发生不利变动而提高租赁公司的融资成本、降低收益水平的风险。

《商业银行资本管理办法》附件9——交易对手信用风险加权资产计量规则

附件9:交易对手信用风险加权资产计量规则一、总体要求（一）交易对手信用风险是指针对衍生工具、证券融资交易的交易对手在交易相关的现金流结算完成前，因为交易对手违约所导致的风险。

当违约发生时，若与该交易对手相关的交易或涉及该交易的资产组合市场价值为正数，则会产生损失。

与发放贷款所产生的单向信用风险不同，交易对手信用风险产生双向的损失风险，相关交易的市场价值对于交易双方来说具有不确定性和双向性。

（二）商业银行应制定与其交易活动的特征、复杂程度和风险暴露水平相适应的交易对手信用风险管理政策和程序。

（三）商业银行应计算交易对手信用风险暴露的风险加权资产，包括与交易对手的衍生工具交易和证券融资交易形成的交易对手信用风险。

（四）本规则所指的衍生工具包括场外衍生工具、交易所交易的衍生工具和长期限结算交易。

长期限结算交易的认定标准为：金融工具结算日远于交易日后五个交易日，或远于其市场惯例结算日。

衍生工具的资产类别包括：利率类工具、汇率类工具、信用类工具、股票类工具和商品类工具。

资产分类的依据是衍生工具的主要风险因子，由其参考标的工具决定。

当一个衍生工具同时包含不同类型的风险因子时，商业银行应根据不同风险因子的敏感性和波动率来确定主要风险因子，并保持主要风险因子判断方法的一致性。

若商业银行难以辨别主要风险因子，则应按照监管因子孰高的原则审慎认定。

（五）本规则所指的证券融资交易包括证券回购、证券借贷和保证金贷款等交易，其价值取决于风险暴露与押品的市场价值，押品收取方收到即占有该押品，押品所有权发生转移。

（六）与非中央交易对手交易的衍生工具和证券融资交易的交易对手信用风险加权资产包括交易对手违约风险加权资产与信用估值调整风险加权资产两部分。

信用估值调整风险是指交易对手信用状况恶化、信用利差扩大导致商业银行衍生工具和证券融资交易发生损失的风险。

对信用估值调整风险加权资产计量规则见本办法附件17。

（七）对中央交易对手风险暴露的风险加权资产计量规则见本办法附件IOo二、与非中央交易对手交易的衍生工具的交易对手违约风险加权资产的计量（一）商业银行可采用权重法或内部评级法计算与非中央交易对手交易的衍生工具的交易对手违约风险加权资产。

ICBRR市场风险管理课程精华要点

市场风险管理1.银行风险管理风险被定义为造成银行不利后果的一切可能事件。

银行的风险管理具体包括：风险识别、风险计量、风险监督以及风险报告。

银行的风险经理除了在极端情况下以外，并不经常管理风险。

风险识别是风险经理们与银行业务团队的合作中实现的，并不是所有风险都是显而易见的。

风险计量是风险经理最困难的任务之一。

风险模型是基于过去的数据，他们只能部分提供对于未来风险的评估。

许多风险能够在日常活动中被监控，但是一些风险以非常低的频率出现。

2.风险分类风险的分类通常被分为市场风险（价格风险）、信用风险（银行客户或交易对手履约风险）和操作风险（人、流程和系统），其中资产负债管理风险被认为是存在于银行账户中的一类市场风险，仅限于银行投资组合。

3.风险管理的目标风险管理的目标是：合规、风险控制、组合管理、沟通和规划。

被监管银行向监管机构报告风险并且保持足以覆盖不利结果的资本，这被称为“合规性需求”；最小化银行可控制的不利结果，例如：贷款诈骗，这被称为“控制需求”；根据为银行带来最大综合正收益活动来分配银行风险承担的能力，这被成为“组合需求”；向监管机构公开内部报表以协助信用评级机构和交易对手评估银行可信度，以及向其他利益相关者提示银行风险，被称为“沟通需求”；帮助银行规划不利事件发生时的应急措施，被称为“规划需求”。

风险管理的目标不一定是要消除风险，而是要帮助银行确定最佳的方式使风险可控，从而最大化与该风险相关的收益。

4.风险管理失败通过研究风险管理的失败能够学习到许多东西。

银行倒闭可能源于对已知风险的错误评估，未能将风险纳入考虑，未能将风险信息传达，未能检测风险，未能管理风险和未能选择合适的风险指标。

银行倒闭的比率很高，但是由于大部分银行在违约之前都得到第三方的救助，这一事件对社会的影响并不大。

5. 银行风险管理的组织架构银行的只能被分为前台（业务线）、中台（风险报告和财务报告）和后台（文书、支付管理、文档管理）中台的风险职能是向首席风险官报告。

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价是金融市场中的一个重要问题。

近年来，蒙特卡洛模拟方法在期权定价中得到了广泛的应用。

蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，通过生成大量的随机样本来估计某些数量的数值。

下面将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的基本原理及应用。

蒙特卡洛模拟方法采用随机数生成器生成大量的随机数，并利用这些随机数进行模拟计算。

在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法可以用来估计期权的价格以及其他相关的风险指标，例如风险价值和概率分布等。

在蒙特卡洛模拟方法中，首先需要确定期权定价模型。

常用的期权定价模型包括布朗运动模型和风险中性估计模型等。

然后，根据期权定价模型，生成一个或多个随机数来模拟期权价格的变动。

通过对多个随机样本进行模拟计算，我们可以获得期权价格的分布情况及其他相关指标的估计值。

在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法的精确度主要取决于两个方面：模拟路径的数量和模拟路径的长度。

路径的数量越多，模拟结果的精确度越高。

路径的长度越长，模拟结果的稳定性越好。

蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛。

例如，在欧式期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计期权的风险价值和概率分布等指标。

在美式期权定价中，由于存在提前行权的可能性，蒙特卡洛模拟方法可以用来模拟期权的提前行权时机并确定最佳行权策略。

此外，在一些复杂的期权定价中，例如亚式期权和障碍期权等，蒙特卡洛模拟方法也可以提供有效的定价方法。

总之，蒙特卡洛模拟方法是期权定价中一种重要的数值计算方法。

它通过生成大量的随机样本来估计期权的价格及相关指标，具有较高的灵活性和精确度。

蒙特卡洛模拟方法在期权定价中广泛应用，为金融市场中的投资者和交易员提供了重要的决策工具。

蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛，下面将进一步介绍其在不同类型期权定价中的具体应用。

首先是欧式期权定价。

欧式期权是指在未来某个特定时间点（到期日）才能行使的期权。

蒙特卡洛模拟方法可以用来估计欧式期权的价格和概率分布等指标。

《衍生金融工具》(第二版)习题及答案第13章

1.试着找出一些本章没有讨论到的奇异期权或者自己设计几类奇异期权。

答：巴拉期权/巴黎期权/重置期权/可参见专著：《奇异期权》张光平(Peter G.Zhang)著这里可以介绍几张近年创新出来的奇异期权。

奇异期权是在常规期权(标准的欧式或美式期权)基础上，通过改变合约条款，满足私人定制收益结构或者路径依赖的场外期权产品。

比如2016年，我国券商推出的结构化收益凭证，同时嵌套了挂钩特定指数的敲入和敲出期权组合，敲入和敲出的观察时间不一致，敲入为每天观察日，敲出为每月特定一个观察日。

另外，当标的指数走势表现出趋势后，还设计了阶梯障碍的敲出期权。

这类“理财产品”受到高净值人群的追捧。

看似高票息的背后，潜藏的市场风险也非常大。

2.为什么奇异期权主要在场外交易?它们可能在交易所交易吗?答：场内交易的期权通常是标准化的金融期权。

而大多数的奇异期权条款都是定制化，挂钩的标的和收益结构都没有统一的标准，往往是金融机构根据客户的具体需求开发出来的，其灵活性和多样性是常规期权所不能比拟的，因此多只能在场外交易的。

相应地，奇异期权流动性也比较差，定价和保值往往也更加困难，奇异期权对模型设定正确与否的依赖性常常很强，合约中潜在的风险通常比较模糊，很容易导致非预期的损失，无论是用标的资产进行保值还是用相应的期权进行保值，都需要很小心。

当然，也有很少的一些流行的（参与这多了，就可以标准）奇异期权在交易所交易。

3.有一类定义在两个资产S(t)和Ŝ(t)上的奇异期权,在到期日T该期权持有者的收益是min[S(T),Ŝ(t)]。

请问该期权应该如何定价?答：这个属于支付两资产中最优或者最差回报的奇异期权。

大致的定价思路为，在S(t)和Ŝ(t)构成的相图以及45度线S(t)=Ŝ(t)，利用双变量正态分布密度函数，可以表示出期权价格的积分表达式。

定价推导可参见专著：《奇异期权》张光平(Peter G.Zhang)著，第14章，第26章。

亚式期权的一种定价方法

ｎｍａｓｒｇｉｎ．ｏｒｌｄｉｔｉｕｔｏ
ＫｅｗｏｄｓｎｒｌｄｓｒｂｔｏＡｓａｐｉｎｇｏｔｖｒｇｙｒｏｍａｉｔｉｕｉｎｉｎｏｔｅｍｅｉａｅａｅｏｃ
１引言
亚式期权是一强路径有关期权，它在期权到期日的收益依赖于整个有效期内原生资产所
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ｅ｛ｉｔｔ（）｛－￣ｔ）ｐＴ｝ｘ一Ｉ（ｄＪ）ｘｆｔ（ｅ－ｏ｝ｐｆ）｝ＴＩｐＴｄＴｘｆ）・ｌｅｏ｝＜｛Ｋ｛（Ｊ）０ｒ
假设风险中性市场中有资产，一种是无风险资产债券在时刻ｔ格为Ｐ（）并满足价￡
ＤｄＰ（）＝Ｐ（）（）ｔｔｔｒｔｄ（．）２１
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ｅｐ一Ｊｆｔｔ（）ｘ｛Ｉ（ｄ｝ｘ｛ｌ（ｄ｝Ｔ＞ｅｐ一ｔｔ）Ｊｌｒ）Ｋ一（ｐ一Ｉ（ｄ｝（）ｅ｛ｔｔＴｘｌｆ）Ｊ
０Ｊ０Ｊ０
＜ｅｐ一ｌ（）ｔＫ）ｘ｛ｆｄ）ｒ其中ｒｆ（）为银行债券的无风险利率，据定义可以得到亚式看涨期权当前价格Ｃ（丁）根Ｋ，和看跌期权的当前价格Ｐ（丁）的定义式，Ｋ，
维普资讯
第２第３期７卷２００７年９月
数学理论与应用ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＡＬＴＨＥＹＣＯＲＡＮＤＡＰＬＣＡ０ＮＳＰＩＴ１
Ｖｏ．．Ｉ２７Ｎｏ３
Ｓ２０ｅ０７

亚式期权的一种定价方法

期权种类介绍

期权种类介绍【实验任务1 信用价差期权和基差期权】查阅资料，介绍什么是信用价差期权、基差期权实验结果与分析：信用价差期权（Credit Spread Option）：是用以向投资者补偿参照资产违约风险的、高于无风险利率的利差。

信用价差增加表明贷款信用状况恶化，减少则表明贷款信用状况提高。

其计算公式为：信用价差=贷款或证券收益率- 相应的无风险收益率信用价差增加表明贷款信用状况恶化，减少则表明贷款信用状况提高。

信用价差期权假定市场利率变动时，信用敏感性债券与无信用风险债券的收益率是同向变动的，信用敏感性债券与无信用风险债券之间的任何利差变动必定是对信用敏感性债券信用风险预期变化的结果。

信用保护买方，即信用价差期权购买者，可以通过购买价差期权来对冲信用敏感性债券由于信用等级下降而造成的损失。

信用价差期权分为看涨价差期权和看跌价差期权，允许到期时协议的买方单方面选择支付或不支付依据相应条款而事先约定的利差。

到期时当信用风险利差增大超过依据相应条款而事先约定的利差时，期权买方可以行权要求卖方按约定方式支付因利差增大而的金额。

价差期权(Spread Options)：价差期权是一种简单相关期权，这类期权的结算支付额是两种基础资产之间的差价。

例如以精炼石油与原油间的价差为标的资产的价差期权就为炼袖厂商提供了对毛利进行套期保值的途径；又如以长期国债与短期国债之间的利差为标的资产的价差期权为投资于利率产品的投资者提供了保值的机会。

经典的期权是定义在一个基础资产之上的，而价差期权则可以看作是对经典期权的简单推广，定义在两个基础资产上。

而这两个基础资产，可以是任何两个指数。

价差在金融市场中是普遍存在的，不管是权益、固定收益债券、外汇，还是商品、能源市场、商业银行的房地产贷款，都可以将其差异视作价差。

本文之前提到的所有价差，都可以作为价差期权的基础。

【实验任务2 奇异期权】奇异期权市场报告：查阅资料，列举出你能够查到的每一种奇异期权的详细介绍，包括：该期权的定义、期权的种类、每一种类的到期损益公式。

期权定价理论知识

2023-11-04CATALOGUE目录•期权定价模型概述•经典期权定价模型•期权定价的随机过程基础•期权定价理论的扩展与应用•期权定价的风险与回报分析•期权定价理论的发展趋势与挑战01期权定价模型概述期权定义期权是一种合约，赋予其持有人在一定时期内以指定价格买卖标的资产的权利。

期权特性期权具有非线性收益特性，买方收益曲线为非线性，卖方收益曲线为线性。

期权定义与特性期权所涉及的资产，可以是股票、商品、外汇等。

标的资产期权的到期时间，一般为未来某一具体日期。

到期日期权的行权价格，即买卖标的资产的价格。

行权价期权的行权方式，包括美式和欧式两种。

行权方式期权定价模型的基本概念期权定价模型的种类与分类期权的持有者只能在到期日行权。

欧式期权美式期权看涨期权看跌期权期权的持有者可以在到期日及之前任何时间行权。

赋予持有者在未来某一时期以指定价格购买标的资产的权利。

赋予持有者在未来某一时期以指定价格出售标的资产的权利。

02经典期权定价模型Black-Scholes模型通过构造一个包含股票和债券的组合，推导出欧式期权价格所满足的微分方程。

利用已知的债券价格和股票价格，通过求解微分方程得到期权价格。

假设股票价格服从几何布朗运动，且无风险利率和波动率均为常数。

二叉树模型基于离散时间框架，模拟股票价格的变化过程。

假设股票价格只能向上或向下移动，且移动的幅度和概率均已知。

通过反向推导的方式，计算出期权的预期收益，并利用无风险利率折现得到期权的现值。

期权定价的数值方法有限差分法通过求解偏微分方程的数值近似解，得到期权价格。

网格法通过在期权收益函数中构造网格，计算网格点对应的期权价值，并利用无风险利率折现得到期权的现值。

蒙特卡洛模拟法通过模拟股票价格的随机过程，计算出期权的预期收益，并利用无风险利率折现得到期权的现值。

03期权定价的随机过程基础随机过程一组随机变量，每个变量对应一个时间点。

随机过程的分类根据性质不同，随机过程可分为平稳和非平稳、确定性和随机性等。

国开一体化平台02328《金融风险管理》形考任务(1-4)试题及答案

国开一体化平台《金融风险管理》形考任务(1-4)试题及答案（课程代码：02328，整套相同，Ctrl+F查找更快捷，李老师祝同学们取得优异成绩！）----------------------------------------------------------------形考任务（1）----------------------------------------------------------------一、名词解释：（每题6分，共30分）1、汇率风险答：汇率风险：一定时期的国际经济交易当中，以外币计价的资产与负债，由于汇率的变化而引起其价值涨跌的不确定性2、（金融风险管理的）预防策略答：（金融风险管理的）预防策略：金融风险尚未发生时，人们预先采取一定的防备性措施，以防止金融风险发生的策略3、（金融风险管理的）规避策略答：（金融风险管理的）规避策略：人们根据一定的原则，采用一定的技巧，来自觉地规避开各种金融风险，以减少或避免这些金融风险所引起的损失4、法律风险答：法律风险：因为法规不明确或交易不受法律保障，从而使合约无法履行而给交易商带来损失的风险5、国家风险答：国家风险：在国际经济活动中，由于国家的主权行为所引起的造成损失的可能性二、判断题：（每题5分，共30分）1、只要是金融活动，都面临着风险。

（V）2、程序控制不完备引发的风险被称为系统风险。

（X）3、遭受国家风险的主体一定是主权国家。

（X）4、广义的保值策略不仅包括套期保值策略，还包括其他种类的金融风险管理策略。

（V）5、因市场价格发生变化而产生的金融风险被称为市场风险。

（V）6、企业和个人产生的风险属于狭义的金融风险。

（X）三、简答题：（共3题，共40分）1、简述金融风险的含义，及金融风险都有哪些性质（16分）答：（1）金融风险的含义：金融风险有广义和狭义之分。

任何从事资金融通的经济主体都存在受损失的可能。

包括政府风险、金融机构风险、企业风险、个人风险和国际风险的金融风险一般称为广义的金融风险。

金融衍生产品中美式与亚式期权定价的数值方法研究

金融衍生产品中美式与亚式期权定价的数值方法研究一、概述金融衍生产品是现代金融市场的重要组成部分，其定价问题一直是金融数学、金融工程领域的研究热点。

美式期权与亚式期权作为两种常见的金融衍生产品，其定价问题具有广泛的应用背景和重要的理论价值。

美式期权赋予持有人在期权有效期内任何时间执行合约的权利，而亚式期权则以其有效期内某一特定方式确定的平均价格为基础进行定价。

这两种期权因其独特的性质和复杂的定价机制，在金融市场中占据重要地位。

随着计算机技术的飞速发展和数值方法的不断完善，越来越多的学者开始关注并使用数值方法来研究美式与亚式期权的定价问题。

数值方法不仅可以处理复杂的金融模型，还可以提高定价的准确性和效率。

对美式与亚式期权定价的数值方法进行研究，不仅有助于推动金融衍生产品定价理论的发展，还能为金融机构提供有效的风险管理工具和投资决策支持。

本文旨在探讨美式与亚式期权定价的数值方法，并对比分析各种方法的优缺点。

我们将对美式与亚式期权的基本概念、性质及定价原理进行简要介绍。

我们将重点介绍几种常用的数值方法，包括有限差分法、蒙特卡洛模拟法、二叉树法等，并详细阐述这些方法在美式与亚式期权定价中的应用。

我们将通过实际案例或仿真实验来验证这些数值方法的有效性和实用性，并给出相应的结论和建议。

通过对美式与亚式期权定价的数值方法研究，我们期望能够为金融机构提供更准确、高效的定价工具，同时也为金融衍生产品定价理论的发展做出贡献。

1. 金融衍生产品概述金融衍生产品，作为现代金融市场的重要组成部分，其出现与发展极大地丰富了投资与风险管理的工具。

它们是基于传统金融工具如股票、债券、货币、利率等派生出来的金融产品，其价值依赖于这些基础资产的价格变动。

衍生产品主要包括远期、期货、期权和互换等四大类，它们具有杠杆效应、高风险性、灵活性等特点，能满足投资者不同的风险偏好和收益需求。

期权作为一种特殊的衍生产品，在金融市场中具有广泛的应用。

城投债信用风险的压力测试：基于优化后的KMV模型

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2023.6
已知 z t: N (0,1)，违约概率估算为，结合式（2），可得：
（5）
直观观测出城投债违约概率的变化，也可为地方政府管理城投债信用风险提供一定思路。
（一）估算未来三年的财政一般预算收入目前，预测财政一般预算收入的有方法多
中国社会经济发展战略
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2023.6
优化空间二：之前多数研究都假定了城投债到期是完全偿还而当期不再有融资行为，现实中在 t 时刻，城投债的到期规模为 B t 没有必要全部偿还，可以通过债券市场续发 D t 规模的城投债。
如果 D t> B t，则不会出现城投债违约（这里的理论分析我们忽略了需要偿付的利息）；如果 Dt<Bt，但 kAt+Lt>Bt-Dt，即地方财政收入用于偿还城投债务的部分可补足这部分债务融资的缺口，也不会出现城投债的违约；如果 Dt<Bt，且 kAt+Lt<Bt-Dt，即地方财政收入用于偿还城投债务的部分无法补足这部分债务融资的缺口，则会出现城投债的违约。因此我们主要研究在 Dt<Bt 且 kAt+Lt<Bt-Dt 情形下，城投债违约的概率。假定城投债务融资缺口的 dt=Bt-Dt，违约的概率为：
三基于优化后 KMV 模型的城投债违约风险压力测试
因我国行政体制中的地方政府有省、市、区县的层级划分，所以评估城投债违约风险分别对应省级层面、市级层面、区县级层面，也有城投公司个体的信用风险评估。本文主要从省级层面评估各省份的城投债违约风险，通过式（9）中的违约概率对城投债违约风险进行压力测试。城投债再融资缺口 d t、土地出让收入的政府基金净收入 Lt 和地方政府一般财政收入的支付意愿 k 采用情景假设引入压力测试。多情景组合能更

金融衍生工具名词解释2

期权的时间‎价值:p232 是指期权购‎买者为购买‎期权而支付‎的费用超过‎该期权内在‎价值的部分‎，这部分价值‎源于期权到‎期前标的资‎产价格波动‎可能给投资‎者带来的收‎益，即期权购买‎者希望在期‎权到期前，标的股票的‎市场价格会‎向有利的方‎向变动，执行期权将‎获得更好的‎收益.期权的内在‎价值:p232是‎指期权购买‎者立即执行‎该期权能够‎获得的收益‎。

如果立即执‎行期权不能‎产生正的期‎权价值，则内在价值‎为零。

因此，期权的内在‎价值就是下‎列两者中较‎大的一个：(1)期权处于实‎值状态的量‎，(2)零。

期权的内在‎价值由标的‎股票的现价‎和期权的执‎行价格决定‎.逆日历价差‎期权:是指投资者‎购买期限短‎的期权，同时出售期‎限长的期权‎。

展期：指的是将证‎券的到期期‎限向前延展‎。

展期包括两‎个交易：在期权到期‎前买入同样‎的一份先前‎出售的期权‎将空头平仓‎，再出售一份‎标的物和执‎行价格相同‎但到期期限‎更晚的期权‎。

无套利原理‎P42：套利是这样‎一个投资策‎略，即保证在某‎些偶然情况‎下获取正报‎酬而没有负‎报酬的可能‎性，也无需有净‎投资。

换句话讲，套利是一个‎可以以零成‎本建立投资‎组合并能够‎保证组合的‎价值增加或‎者保持为零‎的一个机会‎。

无风险套利‎有如下几点‎前提：1）无卖空限制‎2）无交易成本‎3）无买入价和‎卖出价之间‎的差别 4）收益和损失‎的税率相同‎5）借款利率等‎于贷款利率‎。

套利有两个‎核心特征：第一，存在一个无‎风险的收益‎，即所谓“保证获取正‎报酬而没有‎负报酬”，我们以V(t)表示投资组‎合在时点的‎t价值，P表示事件‎出现概率，P[V(t)]=0+P[V(t)]>0=1；第二，存在一个自‎融资策略，即所谓的“无需有净投‎资”V(0)=0，或者如美国‎著名金融工‎程学家约翰‎•马歇尔所言‎，是指“头寸”完全可以用‎贷款来融资‎（即无资本）。

几何型亚式期权的定价研究

作无风险资产），其价格过程记为ＢＯ＞，它满足（，ｔ０如下常微分方程：
值：‘ ．，
，
：
ｔ旬
ｆ，对应的期权称之为Ｓｄ算术型亚式 ‘
１
期权，也叫算术平均亚式期权；另一种为几何平均
值：．：ｘ｛ｆＳ，，ｅ－Ｉ，ｌ对应的期权称之为几ｐｌｎｄ
前的市场信息．关．词：几何型亚式期权；方法；ｉａｏ定理ｔ鞅Ｇｒｎｖｓ
考虑了无风险利率、股票平均收益率和波动率均为时间的确定性函数的情形，得出了期权在任意有效时刻的价格公式．
பைடு நூலகம்
１市场模型及风险中性定价原则
摘要：研究了具有固定敲定价格的几何型亚式期权在任
定价也是值得研究的问题．文研究的几何型亚式本
期权，其敲定价格为常数．文献［＇】在３的基础上，４
意有效时刻的定价问题．根据高斯随机变量的和及其极限仍然服从高斯分布的性质，得出股票价格的几何平均值仍服从高斯分布，然后用鞅方法得出了几何型亚式期权在任意有效时刻的定价公式，而且最重要的是公式中反映了以
‘
刻的价格．但是一般而言无风险利率、股票平均收益率和
波动率均与时间有关，而且到ｆ时刻ｆ以前的资产价格都己知道，因此在期权价格公式里面如何反映ｔ以前的价格信息，或者期权有效期内的其它时刻的

O-U过程下不确定执行价格的亚式期权定价

第３３卷第１期１２１００年１１月
Байду номын сангаас
合肥工业大学学报（自然科学版）
ＪＯＵＲＮＡＬ０ＦＨＥＦＥＩＵＮＩＲＳＴＹＶＥＩＯＦＴＥＣＨＮＯＬ）（ＧＹ
Ｖｏ．３ＮＯ１１３．１
ＮＯ．２ＯＶ０１
格的变化规律；在无风险利率依赖于时问参数的情况下，利用鞅方法和随机微分方程，研究ｒ具有不确定执行价格的几何平均亚式期权的定价问题，得到了股票遵循指数（ｕ过程且具有不确定执行价格的几何平均）Ｉ
亚式看涨及看跌期权的定价公式。
关键词：数（ｕ过程；权定价；指ＪＩ期鞅方法；亚式期权中图分类号：８Ｏ９Ｆ３．ｌ文献标志码：Ａ文章编号：０３５６（００１７７０１０００２１）卜１５４
Ａｓａｐｔｏｉｉｔｈｎｉｘｒｉｅｐｒｃｉｎｏｉｎｐｒｃｎｇｗｉｈｃａｇｎｇｅｅｃｓｉｅ
本文选取了能反映股票预期收益率波动变化的指数Ｕ过程，描述股票价格的变化规律，来
但实践表明股票的预期收益率往往是波动变化
的，能是依赖于时问和股票价格的函数，Ｊ许可Ｌ此人
在无风险利率依赖于时间函数的情况下，用等利
ＡｂｔａｔＴｈｒｃｇｏｔｎｏｔｃｓｃｎｉｅｅｙｔｅｅｐｎｎｉｌＯｒｓｅｌｂｃｒｃｓ，ｗｈｃｓｒｃ：ｅｐｉｉｐｉｎａｓｏｋｉｏｓｒｄｂｈｘｏｅｔｎｔｉＵｈｅａｋｐｏｅｓｎｏｄａｎｎｉｈｃｎｒｆｃｌｃｕｔｎｎｔｅａｐｅｉｔｎｒｔｆｔｅｕｄｒｙｎｔｃＳｐｉｅＩａｅｔａｈｉｋｆｅａｅａｅｌｔｆｔａｉｓｉｈｐｒｃｉａｅｏｈｎｅｌｉｇｓｏｋ’ ｒ．ｎｃｓｈｔｔｅｒ－ｒｅｒｔｅｕｏａｏｃｓｄｐｎｓｏｈｉａａｅｅ，ｔｅｐｉｉｇｍｅｈｄｆｒｔｅｇｏｔｉｖｒｇｉｎｏｔｎｗｉｈｎｉｇｅ — ｅｅｄｎｔｅｔｍｅｐｒｍｔｒｈｒｃｔｏｈｅｍｅｒａｅａｅＡｓａｐｉｔｃａｇｎｘｎｏｃｏｈｅｃｓｒｃｓｉｓｕｉｄｂａｓｏｈｔｃａｔｉｅｅｔｌｑａｉｎａｄｔｅｍａｔｇｌｔｏ．ＴｈｒｉｇｒｉｅｐｉｅｔｄｅｙｍｅｎｆｅｓｏｈｓｉｄｆｒｎｉｕｔｎｈｒｉａｅｍｅｈｄｓｔｃｆａｅｏｎｅｐｉｎｃｆｒｌｓｆｅｍｅｒｃａｅａｅＡｓｎｐｔｐｉｎｐｉｉｇａｄｃｌｏｔｎｐｉｎｔｈｎｉｇｅｅｃｓｒｅｒｏｍｕａｏｔｉｖｒｇｉｕｔｒｎｎａｌｐｉｒｉｇｗｉｃａｇｎｘｒｉｅｐｉｓｅｏｇａｏｏｃｏｃｈｃａｏｔｉｅｂａｎｄ，ｗｈｃｂｙｔｅｅｐｎｎｉｌｉｏｅｉｘｏｅｔｈｌａＯｍｓｅｎ－ｌｎａｋｐｏｅｓｔｉＵｈｅｂｃｒｃｓ．Ｋｅｒｓｅｐｎｎｉｌｙｗｏｄ：ｘｏｅｔａＯｍｓｅｎＵｈｅｂｃｒｃｓ；ｏｔｏｒｃｎ；ｍａｔｎａｅｍｅｈｄｔｉ－ｌｎａｋｐｏｅｓｐｉｎｐｉｉｇｒｉｇｌｔｏ；Ａｓａｐｉｎｉｎｏｔｏ

几何平均亚式期权定价模型及其VaR计算

几何平均亚式期权定价模型及其VaR计算胡攀【摘要】针对现实世界中存在的模糊性,在标的股票价格服从几何Liu过程的模型假设下,给出了几何平均亚式看涨、看跌期权的定价模型及其VaR计算公式.数值计算的结果表明,随机条件下的期权价值与VaR值完全被低估.【期刊名称】《西华师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(036)004【总页数】6页(P345-349,354)【关键词】几何Liu过程;模糊环境;定价模型;VaR计算【作者】胡攀【作者单位】四川文理学院数学与财经学院,四川达州635000【正文语种】中文【中图分类】F830.9在现实世界中存在着大量的随机性和模糊性等不确定性.随机性是一种客观的不确定性,随机变量的分布函数可以通过统计方法很容易得到.然而,模糊性是一种主观的不确定性,刻画模糊性的隶属函数由有经验的专家给出.为了处理模糊过程,1965年Zadeh用隶属函数引入模糊集合的概念[1].Liu在2002年定义了可信性测度与模糊事件的自对偶性,由此建立起可信性理论,使之成为研究模糊理论的一个数学分支[2];为了描述动态模糊,2008年Liu在模糊环境下提出了与布朗运动相对应的Liu 过程的概念,同时建立了Liu股票价格模型[3];2008年Qin与Li在上述模型基础之上建立了欧式期权定价公式[4]; 2009年Qin与Gao又提出了分数Liu过程[5].基于上述理论,2010年谭英双借助Liu过程,Liu公式等不确定性理论建立的模糊欧式看涨期权推导出模糊环境下的净现值流公式[6];2013年胡华给出了标的股票服从几何分数Liu过程的幂期权定价模型[7];同年林亮、吴帅给出了模糊过程下不同死力假设的增额寿险精算模型[8].亚式期权作为一种强路径依赖性期权,可分为算术平均和几何平均两种.随机条件下亚式期权的定价模型是在理想化的市场假设条件下得到的结果,其完全忽略了像战争、恐怖袭击、公司破产等模糊因素对金融市场的影响,因而期权价值被低估.随机条件下几何平均亚式期权的定价问题参见文献[9-12].由于现实的金融市场中存在大量的模糊性,因而考虑模糊环境下几何平均亚式期权的定价问题似乎更符合市场的实际情况.现有的研究成果中,对于亚式期权VaR的讨论,都是在随机条件下进行的,存在风险价值被低估的可能.而对于模糊条件下期权的VaR研究,迄今为止还是空白.因此,本文在金融市场受模糊性因素影响的基础上,在标的股票价格服从几何Liu过程的模型假设下,首先利用可信性理论给出几何平均亚式看涨、看跌期权的定价公式及其证明过程;其次利用定价公式给出几何平均亚式看涨、看跌期权的VaR计算方法;最后通过数值计算比较随机和模糊条件下几何平均亚式看涨、看跌期权的价值和VaR值.期望能为期权投资者或金融炒家提供一种更加符合实际市场的投资决策或规避风险的工具.1.1 可信性理论定义1[3] Liu过程Ct的正态隶属函数为∞.特别,当e=0,σ=1时称Ct为标准Liu过程.定义2[13] 假设Ct是一个标准Liu过程,则称模糊过程Csds为Liu过程的积分.引理1[13] 对任意t>0,It的正态隶属函数为.引理2[14] (可信性反演定理) 假设ξ是隶属函数为μ的模糊变量,对于任意实数集合B,ξ的可信性测度(x)).定义3[15] 假设ξ是一个模糊变量,则ξ的期望值为≥{ξ≤r}dr.1.2 Liu股价模型假设模糊金融市场中仅存在两种证券:一种为债券, t时刻的价格记为Bt;另一种为股票,t时刻的价格记为Xt.文献[2]给出了股票价格服从几何Liu过程的一般模型其中r表示无风险利率,e为股票的漂移项,σ为股票的扩散项,Ct为标准Liu过程.1.3 VaR的定义及计算方法1996年, J.P.Morgan[16]在随机条件下提出了度量金融衍生工具或投资组合市场风险的VaR方法, 自此VaR便成为金融市场上管理和控制风险的重要工具.定义4[16] VaR是指在给定置信水平和一定持有期内某一金融衍生工具或投资组合所面临的最大可能损失.其含义是风险价值.考虑投资组合Π,假设θ0表示该组合的初始价值,R表示持有期内组合的收益率,则其期末价值θ=θ0(1+R);记投资组合的最低收益率为R*,则其最低价值θ*=θ0(1+R*)；模糊环境下与给定置信水平α对应的最低收益率可表示为:Cr{R<R*}=1-α记μR和σR分别表示R的期望回报和波动率.依定义4,模糊环境中投资组合的相对VaR为:VaRrel=ECr(θ)-θ*=θ0(μR-R*)绝对VaR为:VaRabs=θ0-θ*=-θ0R*其中ECr表示依赖于可信性测度Cr的数学期望.亚式期权作为强路劲依赖型期权,分为看涨和看跌两种.看涨(看跌)期权赋予期权持有者在到期时间按既定价格购买(销售)一定量的股票的权利而不是义务.执行价格为K,到期时间为T的几何平均亚式看涨期权在t=0时刻的价值为lnXtdt)-K)+;看跌期权的价值为lnXtdt))+.定理1 记C=C(X0,K,e,σ,r),P=P(X0,K,e,σ,r),则Liu股价模型下, 执行价格为K,到期时间为T的几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻t=0的价值为证明：以几何平均亚式看涨期权定价模型的推导为例, 几何平均亚式看跌期权的定价模型可以类似证明.依据模糊变量的期望值定义,有C(X0,K,e,σ,r)将(5)式变形后代入上式并化简得:原式当x≥0时,由可信性反演定理可知结合引理.于是当x<0时,.于是综合(12)、(13)两式有将(14)式代入(11)式可得(9)式成立.定理2 记C(X0,K,e,σ,r)=C,P(X0,K,e,σ,r)=P由定理1给出,则①Liu股价模型下,几何平均亚式看涨期权的相对风险为:,绝对风险为:.②Liu股价模型下,几何平均亚式看跌期权的相对风险为:,绝对风险为:.其中由(16)式给出,-1,μC、μP分别为看涨、看跌期权的期望回报率.证明: ①几何平均亚式看涨期权在[0,T]时间段内的收益率为当≤K时,R≡-1，所以当时,.依据VaR的定义,模糊环境下与给定置信水平α对应的最低收益率为从中可解得.于是根据期权的相对风险与绝对风险的定义即可得结论.②几何平均亚式看跌期权的绝对风险价值与相对风险价值可类似证明,这里从略. 下面通过数值计算比较模糊条件下和随机条件下几何平均亚式期权的价值与VaRrel值,计算结果见表1、表2.随机条件下几何平均亚式看涨、看跌期权的解析定价公式采用2001年章珂、周文彪、沈荣芳给出的定价模型[17].随机条件下几何平均亚式期权的VaRrel计算公式采用2009年董洪坤[18]的结果.分别记随机条件下几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻的价值为C(t,Bt)和P(t,Bt);模糊条件下几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻的价值记为C(t,Ct)和P(t,Ct).模型中各参数取值如下:X0=K=100,T=1,μc=μp=e=0.0325,σ=0.2,r=0.0225.表1 的计算结果显示,模糊环境下几何平均亚式看涨、看跌期权的价值均高于随机条件下的对应价值.原因在于随机条件下的几何平均亚式期权定价完全忽略了像战争、恐怖袭击、公司破产等突发因素对金融市场的影响,从而导致价值被低估.模糊因素的忽略将导致短期内期权市场出现套利机会,这使得大量的期权投资者或金融炒家涌向期权市场,从而抬高期权价格,直到套利机会消失.以看涨期权为例,如果模糊条件下的期权价值9.5561被定价为随机条件下的5.3319,这时期权价值存在4.2242的套利机会,于是期权投资者或金融炒家将涌向市场直到4.2242的套利机会消失为止.表2给出了几何平均亚式期权在不同置信水平下的VaRrel值.数据显示几何平均亚式期权的VaRrel均是置信水平α的减函数;其次由于受模糊因素的影响,相同置信水平下几何平均亚式看涨、看跌期权的VaRrel值高于随机条件下的对应值;再次在模糊金融市场中仍然是高风险对应高回报.以5%的置信水平为例,模糊条件下看涨期权的VaRrel值为30.7575,而随机条件下的VaRrel值只有16.0365.若忽略模糊因素的影响,则期权的风险值被低估14.721,低估率高达47.86%.这对于期权投资者来讲是非常危险的,因为其获得的收益与承担的风险完全不匹配.【相关文献】[1] ZADEH L A.Fuzzy Sets [J].Information and Control, 1965(8):338-353.[2] LIU B D.Foundation of Uncertainty Theory [M].Beijing: Tsinghua University, 2006:81-96.[3] LIU B D.Fuzzy process, Hybrid Process and Uncertain Process [J].Journal of Uncertain Systems, 2008, 2(1): 3-16.[4] QIN Z F, LI X.Option Pricing Formula for Fuzzy Financial Market [J].Journal of Uncertain Systems, 2008, 2(1):17-21.[5] QIN Z F, GAO X.Fractional Liu Process with Application to Finance [J].Mathematical and Computer Modeling, 2009, 50(9/10):1538-1543.[6] 谭英双.基于模糊不确定环境的高新技术项目价值评估模型[J].系统工程理论与实践，2010,30(6):1021-1026.[7] 胡华.标的股票服从几何分数Liu过程的幂期权定价模型[J].河南师范大学学报(自然科学版),2013,41(2):1-5.[8] 林亮,吴帅.模糊过程下不同死力假设的增额寿险精算模型[J].桂林理工大学学报,2013,33(1):160-163.[9] 郑小迎,陈金贤.关于亚式期权及其定价模型研究[J].系统工程,2000,18(2):335-379.[10] 赵建忠.亚式期权定价的模拟方法研究[J].上海金融学院学报,2006(5):58-61.[11] 薛红.分数跳-扩散过程下亚式期权定价模型[J].工程数学学报,2010,27(6):1009-1015.[12] 胡攀.有交易费的分数型几何平均亚式期权的定价公式[J].绵阳师范学院学报,2013,32(11):21-26.[13] QIN Z F, LI X.Fuzzy Calculus for Finance [M].Beijing: Tsinghai University, 2008:1-54.[14] LIU B D.Uncertainty Theory [M].Berlin: Springer-Verlag, 2007:48.[15] LIU B D, LIU Y K.Expected Value of Fuzzy Variable and Fuzzy Expected Value Models[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2002, 10(4): 445-450.[16] MORGAN J P.Measuring the risk in Value at risk [J].Financial Analysis Journal, 1996, Nov./Dec.47-55.[17] 章珂,周文彪,沈荣芳.几何平均亚式期权的定价方法[J].同济大学学报(自然科学版),2001,29(8):924-927.[18] 董洪坤.几类奇异期权的VaR度量[D].长沙:湖南大学硕士学位论文,2009:22-28.。

市场流动性影响下的亚式期权近似定价

第３８卷第１期２０２４年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３８N o ．１J a n ．２０２４收稿日期:２０２３Ｇ０７Ｇ２１作者简介:曹圣云(２００１Ｇ),女,河南辉县人,在读硕士,研究方向为金融数学．E Ｇm a i l :１６９０６５２５２９＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２４)０１Ｇ０００１Ｇ０８市场流动性影响下的亚式期权近似定价曹圣云,李㊀鹏(华北水利水电大学数学与统计学院,河南郑州４５００４６)摘要:将具有固定执行价格的亚式期权转换为欧式期权,从近似解的角度考虑算数平均和几何平均的亚式期权在流动性影响下的定价问题．引入贴现因子对流动性进行建模,利用傅里叶变换推导出流动性影响下的亚式期权无穷级数形式的近似定价公式,最后通过数值实验验证了近似公式解的高效性㊁准确性等性质．关键词:亚式期权;流动性风险;贴现因子;傅里叶变换;特征函数中图分类号:O ２９;F ２２４．９㊀㊀㊀文献标志码:AA p p r o x i m a t eP r i c i n g o fA s i a nO p t i o n sw i t h M a r k e tL i q u i d i t y Ri s k C A OS h e n g Ｇy u n ,L IP e n g(C o l l e ge o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o fW a t e rR e s o u r c e s a n dE l e c t r i cP o w e r ,Z h e n gz h o u４５００４６,C h i n a )A b s t r a c t :T h i s p a p e rc o n v e r t sA s i a no p t i o n sw i t hf i x e ds t r i k e p r i c e s i n t oE u r o p e a no pt i o n s ,a n d c o n s i d e r s t h e p r i c i n gp r o b l e mo f a r i t h m e t i c a v e r a g e a n d g e o m e t r i c a v e r a g eA s i a no pt i o n s u n d e r t h e i n f l u e n c eo f l i q u i d i t y f r o mt h e p e r s p e c t i v eo f a p pr o x i m a t es o l u t i o n s ．T h ed i s c o u n t f a c t o r i s i n t r o d u c e d t om o d e l t h e l i q u i d i t y ,a n d t h eF o u r i e r t r a n s f o r mi s u s e d t o d e r i v e t h e a pＧp r o x i m a t e p r i c i n g f o r m u l ao f t h e i n f i n i t e s e r i e s f o r m o fA s i a no pt i o n su n d e r t h e i n f l u e n c eo f l i q u i d i t y ．F i n a l l y ,t h e e f f i c i e n c y a n d a c c u r a c y o f t h e a p p r o x i m a t e f o r m u l a s o l u t i o n a r e v e r i f i e d b y n u m e r i c a l e x pe r i m e n t s ．K e y wo r d s :A s i a no p t i o n ;l i q u i d i t y r i s k ;d i s c o u n tf a c t o r ;F o u r i e rt r a n s f o r m ;c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n0㊀引言市场流动性对期权定价的影响与金融学领域中的很多问题关系密切．亚式期权作为金融衍生品中的一种,具有广泛的应用价值,因此研究流动性影响下的亚式期权定价问题至关重要．多项研究表明市场流动性对标的资产收益产生显著影响[１Ｇ２],许多学者深入研究流动性下的定价问题,发现流动性贴现因子可以有效地捕捉流动性不足对衍生品价格的影响[３Ｇ６]．大量研究通过不同的方法解决亚式期权的定价问题．对于算数平均亚式期权定价,由于目前尚未找到算数平均资产价格的精确概率分布,许多学者对其进行了近似定价[７Ｇ１０];对于可以确定概率分布的几何平均亚式期权,研究者给出了其确定的定价公式[９,１１]．然而,目前没有流动性条件下的亚式期权定价的相关研究．鉴于此,本文借鉴P A S R I C H A P 等[４]研究市场流动性影响下欧式期权封闭式定价公式的思路,构建出一种基于流动性调整的亚式期权的近似定价模型,准确高效地估计出具有固定执行价格的亚式期权的价格．实验结果表明,本文使用的方法在稳健性和高效性方面表现出显著的优势,这将有助于期权交易中的投资者㊁交易员和决策者更快速地估计亚式期权的价格．本文主要是将亚式期权的近似定价模型推广到流动性市场下的定价研究中,并针对具有固定执行价格的亚式期权,推导出流动性影响下的封闭式近似定价公式．1㊀模型框架本文在有限时间范围T ＞０和过滤概率空间Ω,F ,Q ,F t ɪ[０,T ]()下对经济中存在的不确定性进行建模,Q 为风险中性测度．假设标的资产由于市场供需不平衡而导致流动性不足,现考虑将流动性风险通过流动性贴现因子γt 纳入标的资产价格的动态变化过程中[３]．假设某标的资产的供给是固定的且等于S －,该标的资产的需求函数为D S t ,γt ,I t ()＝g I vtγt S t æèçöø÷,其中:S t 是标的资产价格;γt 表示贴现因子;I t 是信息过程;g 是一个平滑的严格递增的函数;v 是一个大于０的常数．在市场清算条件下,标的资产的市场清算价格S 应满足:g I vt γt S t æèçöø÷＝S －．使用g 的可逆性[３],得到标的资产的市场清算价格S 为S ＝１γt Ivt g －１(S －)æèçöø÷．显然,γ＝１表示没有市场流动性不足的贴现情况,此时S 的动态退化为B ＧS 模型,即S B S t＝I v tg －１(S －),这里S B St表示B ＧS 模型下的标的资产价格,满足如下随机过程:d S B StS B S t＝μd t ＋σd W St ,(１)其中W St 表示风险中性测度Q 下的维纳过程．因此,受市场流动性影响的标的资产价格可以表示为S t ＝１γtS B St ．(２)亚式期权在期权到期日的收益依赖于在整个期权有效期内标的资产的价格平均值．这里的平均值有两种类型:算数平均和几何平均．在连续情形下,资产价格的算术平均值为A T ＝１TʏT ０S tdt ,(３)几何平均值为G T ＝e １T ʏT０ln (S t )d t ,(４)其中,S t ＝S ０ e ζ,ζ~N r －１２σ２æèçöø÷t ,σ２t éëêêùûúú．由于难以确定资产价格算术平均值的概率分布,考虑用对数正态分布作为资产价格的近似概率分布,来获得此类期权的近似价格[１２]．假设S －t是A t 的近似,若S －t B S为B ＧS 模型下完全流动的算术平均资产近似价格,S －tB S 满足随机微分方程d S －tB SS－t B S＝μ－A dt ＋σ－A d W St ．(５)利用随机变量S －T 和A T 的一阶矩和二阶矩分别相等,可得参数μ－A 和σ－A 为μ－A ＝１T ln e r T－１r T æèçöø÷,(６)σ－２A ＝１T l n ２r ２(r ＋σ２)(e r T －１)２e (２r ＋σ２)T －１２r ＋σ２－e r T －１r æèçöø÷{}．(７)则受市场流动性影响的算数平均亚式期权的近似价格S －t 可以表示为S －t ＝１γtS －tB S ．(８)几何平均的资产价格服从对数正态分布．洪义成等[１１]指出,离散条件下,几何平均的亚式期权满足以G ０＝S ０e x p μ－G －r －１２σ－２G æèçöø÷éëêêùûúúT {}为初值的随机微分方程d G B St G B S t＝r d t ＋σ－G d W St ,(９)其中:μ－G ＝n ＋１２n r －１２σ２æèçöø÷,(１０)σ－２G ＝(２n ＋１)(n ＋１)σ２６n ２,(１１)n 为离散条件下分成若干区间的个数．则受市场流动性影响的几何平均亚式期权的近似价格G t 可以表示为G t ＝１γtG B St ．(１２)流动性贴现因子γt 可以捕捉市场流动性对资产价格的影响,满足随机微分方程d γt γt＝－βL t ＋１２β２L ２t æèçöø÷d t －βL t d W γt ,(１３)２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷其中:L t 表示市场流动性水平;β为资产价格对市场流动性水平L t 的敏感性程度．进一步假设市场流动性水平L t 遵循均值回归随机过程d L t ＝αθ－L t ()d t ＋ξd W Lt ,(１４)其中:α为市场流动性的均值回归速度;θ为市场流动性的均衡水平;ξ为市场流动性的波动率;WLt为风险中性测度Q 下的一个维纳过程．通过式(５)㊁(８)㊁(１３)与(１４)可以得到受市场流动性影响的算术平均资产价格的随机过程为S －t＝１γtS －tB S＝eβʏt ０L s d s ＋βʏt ０L s dW γs S －tB S ＝S ０e βʏt ０L s d s ＋βʏt ０L s dW γs ＋(μ－A －１２σ－２A )t ＋σ－A W S t ．(１５)通过式(９)㊁(１２)㊁(１３)与(１４)可以得到受市场流动性影响的几何平均资产价格的随机过程为G t ＝１γtG B St ＝eβʏt０L s d s ＋βʏt０L s dW γs G B St＝G ０e βʏt ０L s d s ＋βʏt ０L s dW γs ＋(r －１２σ－２G )t ＋σ－G W S t ．(１６)另外,流动性贴现因子与特定标的资产相关联,需要进一步加强这二者之间的相关性;由于整个市场的流动性风险是衡量市场总流动性的指标,市场流动性因子可以视为资产特定流动性的整体,因此市场流动性的过程与标的资产的价格过程密切相关,这两者之间的相关性也需进一步加强;然而在式(１３)中,流动性贴现因子γt 与市场流动性水平L t 之间的依赖关系已得到体现,因此无需增强相应的两个维纳过程之间的相关性．为了使模型更贴近金融现实,故假设三个维纳过程的相关结构为d W γtd W S t＝ρ１d t ,d W L t d W S t ＝ρ２d t ,d W γt d W L t ＝０．(１７)2㊀封闭式定价公式如果不考虑期权是看涨期权还是看跌期权,具有固定执行价格的亚式期权可以分为两类:具有固定执行价格的算数平均亚式期权和具有固定执行价格的几何平均亚式期权．本文用C A 和C G分别表示上述两种亚式看涨期权的价格,并在本节给出在市场不是完全流动的情况下,两种亚式期权价格的近似解析公式．2.1㊀算数平均亚式期权在风险中性鞅测度Q 下,到期日为T ,执行价为K ,具有固定执行价格的算数平均亚式看涨期权的价格可以表示为C A ＝E e－r T A T －K ()＋()ʈE e－r T S －T －K ()＋()＝e －r T E {{S ０e x p [βʏT０L sd s ＋βʏT０L sd W γs＋μ－A －１２σ－２A æèçöø÷T ＋σ－AW S T]－K }＋}．(１８)令g (t )＝L ０e －αt ＋e－αt ʏt ０αθe αsd s ,且Y t ＝ʏt ０e －α(t －s )d W L s ,根据随机微分方程(１４)得L t ＝g (t )＋ξe －αt ʏt０e αs d W Ls,(１９)ʏt ０L sd s ＝ʏt ０g (s )d s ＋ξʏt０ʏs０e －α(t －u )d W Lud s ＝ʏt０g (s )d s ＋ξʏt０Y sd s ,(２０)ʏt０L sd W γs＝ʏt０g (s )d W γs＋ξʏt ０ʏs０e －α(s －u )d W Lu d W γs＝ʏt０g (s )d W γs＋ξʏt０Y sd W γs．(２１)因此C A ʈe －r T E S ０e x p(H A (T )＋M A (T ))－K []＋{}＝e －r T S ０e x p(H A (T )) E (e x p(M A (T ))－K ~A )＋(),(２２)其中H A (T )＝βʏT ０g (s )d s ＋(μ－A －１２σ－２A )T ,M A(T )＝βξʏT０Y td t ＋βʏT０g (s )d W γs＋βξʏT０Y sd W γs＋σ－AW S T,K ~A ＝KS ０e x p(－H A (T ))．然而M A (T )中涉及多个随机积分,直接求解比较复杂,故从M A (T )整体的特征函数着手,对特征函数进行傅里叶逆变换求解期权价格．用f A (m )表示M A (T )的概率密度函数,可得C A ʈe －r T S ０e x p (H A (T ))P A ,１－K ~A P A ,２(),(２３)其中３第１期曹圣云等:市场流动性影响下的亚式期权近似定价P A ,１＝ʏ＋¥l n (K ~A )e mf A (m )d m ,P A ,２＝ʏ＋¥l n (K ~A )f A (m )d m ．若要进一步写出P A ,１和P A ,２,则需先写出P A ,２的傅里叶形式,进而通过测度变换得到P A ,１．定义ΦA (η,T )为M A (T )的特征函数,则ΦA (η,T )＝ʏ＋¥－¥e i ηm f A (m )d m ．对ΦA (η,T )进行傅里叶逆变换可得f A (m )＝１２πʏ＋¥－¥e －i ηm ΦA (η,T )d η,则P A ,２＝ʏ＋¥l n (K ~A )f A (m )d m ＝ʏ＋¥l n (K ~A )１２πʏ＋¥－¥e －i ηm ΦA (η,T )d ηæèçöø÷d m ＝１２πʏ＋¥－¥ΦA (η,T )ʏ＋¥l n (K ~A)e －i ηm d m ()d η＝１２＋１πʏ＋¥０R e e －i ηl n (K ~A )ΦA (η,T )i ηæèçöø÷d η．(２４)根据测度变换,有P A ,１＝ΦA (－i ,T ){１２＋１πʏ＋¥０R e (e －i ηl n (K ~A )ΦA (η－i ,T )i ηΦA (－i ,T ))d η}．(２５)其中:i 为虚数单位．显然,要得到期权价格的闭式近似定价公式,需要求出特征函数ΦA (η,T )．2.2㊀几何平均亚式期权在风险中性鞅测度Q 下,到期日为T ,执行价为K ,具有固定执行价格的几何平均亚式看涨期权的价格可以表示为C G ＝E e－r T G T －K ()＋()＝e －r T E {{G ０e x p [βʏT ０L s d s ＋βʏT０L s d W γs＋r －１２σ－２G æèçöø÷T ＋σ－G W ST ]－K }＋}．(２６)令n ң＋¥,可得μ－G 和σ－G的近似为μ－Gʈ１２r －１２σ２æèçöø÷,σ－G ʈ１３σ．(２７)上式即可用于本文所研究的连续情形．根据式(１９)㊁(２０)与(２１),有C G ＝e －r T E G ０e x p(H G (T )＋M G (T ))－K []＋{}＝e －r T G ０e x p (H G (T ))E (e x p(M G (T ))－K ~G )＋[]．(２８)其中H G (T )＝βʏT ０g (s )d s ＋r －１２σ－２G æèçöø÷T ,M G(T )＝βξʏT０Y td t ＋βʏT０g (s )d W γs＋βξʏT０Y sd W γs＋σ－GW S T,K ~G ＝KG ０e x p(－H G (T ))．考虑M G (T )的特征函数ΦG (η,T ),用f G (m )表示M G (T )的概率密度函数,可得C G ＝e －r T G ０e x p (H G (T ))P G ,１－K ~G P G ,２(),(２９)其中:P G ,１＝ʏ＋¥l n (K ~G )e mf G (m )d m ,P G ,２＝ʏ＋¥l n (K ~G )f G (m )d m ．P G ,１和P G ,２可以进一步写为P G ,１＝ΦG (－i ,T ){１２＋１πʏ＋¥０R e e －i ηl n (K ~G )ΦG (η－i ,T )i ηΦG (－i ,T )æèçöø÷d η},(３０)P G ,２＝１２＋１πʏ＋¥０R e e －i ηl n (K ~G )ΦG (η,T )i ηæèçöø÷d η．(３１)此时,需要求出特征函数ΦG (η,T )．2.3㊀求解特征函数本文所研究的亚式期权近似定价公式与P a s r i c h aP 等[４]研究的欧式期权在市场流动性影响下的闭式定价公式的思路几乎一致,且推导过程中涉及到的M A (T )和M G (T )与文献[４]中的M (T )具有相似的结构．根据文献[４]中定理３．１可得,M A (T )和M G (T )的特征函数解析形式分别为E ei ηM A (T )()＝e A １(T )ᵑ¥n ＝１１－２E n (T )()－１２e F ２n ,A (T)２１－２E n (T)(),(３２)E ei ηM G (T )()＝eA ２(T )ᵑ¥n ＝１１－２E n (T )()－１２eF ２n ,G (T )２１－２E n(T )(),(３３)其中:４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷A １(T )＝－η２１－ρ２２()σ－A ２T ２－η２β２２ʏT ０g ２(t )d t －η２σ－A ρ１βʏT ０g (t )d t ,A ２(T )＝－η２１－ρ２２()σ－G２T２－η２β２２ʏT ０g ２(t )d t －η２σ－G ρ１βʏT ０g (t )d t ,E n (T )＝c ２λn ,c ２＝－β２ξ２η２２,c ５＝－η２β２ξ,F n ,A (T )＝λn c ３,A e n (T )＋h n ,A (T )(),F n ,G (T )＝λn c ３,G e n (T )＋h n ,G (T )(),c ３,A ＝i ησ－A ρ２,c ４,A ＝i ηβξ－η２σ－A ρ１βξ＋i ησ－A ρ２α,c ３,G ＝i ησ－G ρ２,c ４,G ＝i ηβξ－η２σ－G ρ１βξ＋i ησ－G ρ２α,并且ωn ()n ȡ１是方程αs i n ωn T ()＋ωn c o s ωn T ()＝０的严格正解,有λn ＝１α２＋ω２n,e n (t )＝s i n ωn t ()/T ２－s i n２T ωn ()４ωnæèçöø÷,h n ,A (T )＝c ４,A ＋θc ５()ʏT ０e n(t )d t ＋c ５L ０－θ()λn ωn []/T ２－s i n２T ωn ()４ωnæèçöø÷,h n ,G (T )＝c ４,G ＋θc ５()ʏT ０e n (t )d t ＋c ５L ０－θ()λn ωn []/T ２－s i n２T ωn ()４ωnæèçöø÷．需要指出,这里得到的特征函数是无穷级数的形式,在数值模拟过程中需要对n 进行截断．2.4㊀定价公式综合上述推导过程,可以得到具有固定执行价格的亚式看涨期权有以下定价公式:C １ʈe －r T B ０e x p(H (T ))P １－K ~P ２(),(３４)其中,对于算术平均亚式期权和几何平均亚式期权,分别有B ０＝S ０,H (T )＝H A (T ),K ~＝K ~A ,P １＝P A ,１,P ２＝P A ,２．B ０＝G ０,H (T )＝H G (T ),K ~＝K ~G ,P １＝P G ,１,P ２＝P G ,２．3㊀数值实验与讨论数值实验的结果展示了亚式期权近似定价公式的收敛速度,并通过比较近似公式解的价格和蒙特卡洛模拟得到的价格,验证了近似公式解的稳健性与高效性．所选择的参数值如下:市场流动性水平的均值回复速度α＝０．３,长期均值θ＝０２,波动率ξ＝０．９,控制标的资产对市场流动性的敏感性系数β＝０．５,期权的无风险利率r ＝００１,相关系数ρ１＝０．２５,ρ２＝０．３５,初始值L ０＝０．３,γ０＝１．所得到的特征函数是无穷级数的形式,需要进行截断．以算术平均亚式期权为例,固定K ＝１１０,近似公式解的收敛速度如图１所示．在n 和n ＋１处截断无穷级数得到的期权价格,其绝对差值如图１(a )所示．可以明显地观察到,期权价格的绝对差值随着n 值的增加急剧减小到０,这表明近似公式解快速收敛．此外,在初始价格S ０＝１００的情形下,使用n ＝７０与n ＝７１计算的期权价格一致,如图１(b )所示．因此,将截断n ＝７０得到的价格作为近似公式解的收敛期权的价格．接下来考虑对定价公式中涉及的中间项P A ,１和P A ,２,P G ,１和P G ,２进行截断．以算数平均亚式期权的P A ,１和P A ,２为例,P G ,１和P G ,２的截断与此一致．在初始价格S ０＝１００㊁执行价格K ＝１１０情形下,用M １和M ２分别表示P A ,１和P A ,２中无穷积分的截断项数,通过M a t l a b 模拟,相应的期权价格如表１所列．不难发现,当M １和M ２分别大于３０时,得到的期权价格都相等．本文保守选择对P A ,１和P A ,２截断４０项,即M １＝４０和M ２＝４０,这样得到的期权价格具有较高的准确性和效率．为确保推导过程中没有代数错误,并验证亚式期权近似公式解的有效性,现将两种亚式期权的近似公式解价格和蒙特卡洛价格做出比较,如图２所示．由于蒙特卡洛方法需要进行大量的模拟路径以保证高精度的结果,本文对于每个期权值,均采用５０００００条路径的平均值作为蒙特卡洛的价格[４]．可以清楚地观察到,所有类型的期权,包括实值期权㊁虚值期权和平值期权,其近似公式解的价格均逐点地接近相应的蒙特卡洛价格．进一步比较算术平均亚式期权的两种方法所需的计算时间,发现计算图２(a )中的１１个期权价格,近似公式解法仅需３．１７秒,而蒙特卡洛法要３４６．８９秒．因此,近似公式解法可靠性很强,并且５第１期曹圣云等:市场流动性影响下的亚式期权近似定价与传统的蒙特卡洛法相比,近似公式解法在效率上表现出明显的优势．(a)截断n与n＋１项期权价格绝对差值㊀(b)截断７０与７１项的期权价格图１㊀特征函数的截断表１㊀P A,１和P A,２的截断项数对价格的影响M１\M２１０２０３０４０５０６０７０１０２８．７６８２９．２９６２９．３０９２９．３０９２９．３０９２９．３０９２９．３０９２０２８．３９７２８．９２５２８．９３８２８．９３８２８．９３８２８．９３８２８．９３８３０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４４０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４５０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４６０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４７０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４㊀㊀为了证明两种方法的结果高度一致,进一步分析其各自得到的数据,结果如表２－表５所列．对于固定的初始价格S０＝１００,不同执行价格K 得到的两种期权价格如表２和表４所列．在给出的所有执行价格K下,两种方法的绝对误差都小于０．０１,相对误差低于０．０２％．而对于固定的执行价格K＝１１０,不同初始价格S０得到的期权价格如表３和表５所列．尽管当S０的值与K的值差距较大时,对应的相对误差也较大,但两种方法呈现出来的绝对误差仍然小于０．０１,相对误差控制在０．０５％以内．这进一步证实了亚式期权近似公式解的可行性．(a)算术平均亚式期权固定S０＝１００㊀(b)算数平均亚式期权固定K＝１１０６㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷(c)几何平均亚式期权固定S０＝１００㊀(d)几何平均亚式期权固定K＝１１０图２㊀近似公式解价格与蒙特卡洛价格对比表２㊀算数平均亚式期权C A 固定S０＝１００K近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０４１．４２４１３４１．４１８８５０．００５２８０．０１３％９２３９．９４１５４３９．９３８６８０．００２８７０．００７％９４３８．５０８６２３８．５０７９５０．０００６７０．００２％９６３７．１２７０４３７．１２８２２－０．００１１８０．００３％９８３５．７９７９８３５．８００６５－０．００２６７０．００７％１００３４．５２２０３３４．５２５４３－０．００３４００．０１０％１０２３３．２９９２３３３．３０３１８－０．００３９５０．０１２％１０４３２．１２９１３３２．１３２９７－０．００３８４０．０１２％１０６３１．０１０８１３１．０１４６３－０．００３８３０．０１２％１０８２９．９４２９４２９．９４６５５－０．００３６００．０１２％１１０２８．９２３９４２８．９２６９３－０．００３０００．０１０％表３㊀算数平均亚式期权C A 固定K＝１１０S０近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０２１．２７８４６２１．２７３７００．００４７６０．０２２％９２２２．６９１９８２２．６８９０１０．００２９７０．０１３％９４２４．１６３１９２４．１６２０１０．００１１７０．００５％９６２５．６９２３２２５．６９２９０－０．０００５８０．００２％９８２７．２７９３５２７．２８１４２－０．００２０７０．００８％１００２８．９２３９４２８．９２６９３－０．００３０００．０１０％１０２３０．６２５４１３０．６２９１３－０．００３７２０．０１２％１０４３２．３８２７３３２．３８６６６－０．００３９３０．０１２％１０６３４．１９４５２３４．１９８６２－０．００４１００．０１２％１０８３６．０５９０３３６．０６３２７－０．００４２３０．０１２％１１０３７．９７４２３３７．９７７９７－０．００３７５０．０１０％㊀㊀最后分析相关系数对期权价格的影响．以算数平均亚式期权为例,给出５组实例,分别为:ρ１＝０,ρ２＝０;ρ１＝－０．５,ρ２＝－０．５;ρ１＝－０．５,ρ２表４㊀几何平均亚式期权C G 固定S０＝１００K近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０４１．３３００６４１．３２１８６０．００８２１０．０２０％９２３９．８４９２５３９．８４３４４０．００５８１０．０１５％９４３８．４１８２０３８．４１４５４０．００３６６０．０１０％９６３７．０３８６１３７．０３６７２０．００１９００．００５％９８３５．７１１６２３５．７１１１１０．０００５１０．００１％１００３４．４３７８０３４．４３７８８－０．００００８０．０００％１０２３３．２１７１８３３．２１７６５－０．０００４７０．００１％１０４３２．０４９２８３２．０４９４７－０．０００１９０．００１％１０６３０．９３３１６３０．９３３２０－０．００００４０．０００％１０８２９．８６７４８２９．８６７０８０．０００４１０．００１％１１０２８．８５０６３２８．８４９４３０．００１２１０．００４％表５㊀几何平均亚式期权C G 固定K＝１１０S０近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０２１．２２３３３２１．２１３８００．００９５３０．０４５％９２２２．６３３４０２２．６２５７３０．００７６６０．０３４％９４２４．１０１０５２４．０９５２８０．００５７７０．０２４％９６２５．６２６５４２５．６２２６４０．００３８９０．０１５％９８２７．２０９８４２７．２０７５８０．００２２６０．００８％１００２８．８５０６３２８．８４９４３０．００１２１０．００４％１０２３０．５４８２６３０．５４７９１０．０００３５０．００１％１０４３２．３０１７１３２．３０１７３－０．００００２０．０００％１０６３４．１０９６１３４．１０９８７－０．０００２６０．００１％１０８３５．９７０２４３５．９７０７４－０．０００５００．００１％１１０３７．８８１５８３７．８８１６７－０．００００９０．０００％＝０．５;ρ１＝０．５,ρ２＝－０．５;ρ１＝０．５,ρ２＝０．５,其对价格的影响如图３所示．与预期结果相同,近似公式解得到的价格随着相关系数ρ１和ρ２的增加７第１期曹圣云等:市场流动性影响下的亚式期权近似定价而增加．这主要归因于两方面的原因:一方面,当ρ１变大时,标的资产价格增加会促使贴现因子γt 降低,从而导致更高的看涨期权价格;另一方面,较大的ρ２在标的资产价格增加时会产生更低的市场流动性,进而增加看涨期权的价格．因此,本文采用的相关性结构更贴近金融市场．图３㊀相关系数对价格的影响4㊀结语本文研究了标的资产流动性不足时的亚式期权的定价问题．从近似解角度出发,将亚式期权的定价近似转换为欧式期权的定价,将具有均值回归模型的市场流动性因子纳入贴现因子满足的动态随机过程,通过求解整个复杂随机过程的特征函数,得到了亚式期权无穷级数形式的闭式近似定价公式．通过数值实验验证了近似公式的收敛速度和精度,保证了近似公式解的实际有效性．参考文献:[１]MA D A N D B ,C H E R N Y A．I l l i qu i d M a r k e t sa sa C o u n t e r p a r t y:A nI n t r o d u c t i o nt oC o n i cF i n a n c e [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a lo fT h e o r e t i c a l a n d A p p l i e dF i Ｇn a n c e ,２０１０,１３(８):１１４９Ｇ１１７７．[２]A L B R E C H E R H ,G U I L L A UM E F ,S C HO U T E N SW．I m p l i e d l i q u i d i t y :M o d e l s e n s i t i v i t y[J ]．J o u r n a l o f E m pi r i c a l F i n a n c e ,２０１３,２３:４８Ｇ６７．[３]B R U N E T T IC ,C A L D A R E R A A．A s s e tP r i c e sa n dA s s e tC o r r e l a t i o n s i nI l l i qu i d M a r k e t s [J ]．S S R N E Ｇl e c t r o n i c J o u r n a l ,２００４,１Ｇ２４．[４]P A S R I C HAP ,Z HUSP ,H EXJ ．Ac l o s e d Ｇf o r m p r i Ｇc i n g f o r m 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