直线与圆锥曲线-知识总结
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3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交。 （二）直线与双曲线位置关系 1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离 2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定
以直线
y
kx m 和椭圆：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 为例：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y kx m （1）联立直线与双曲线方程： b2x2 a2 y2 a2b2 ，消元代入后可得：
③ b2 a2k 2 0 k b 或 k b 时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：
a
a
直线不一定与双曲线有公共点（与 的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交
点位于双曲线同一支上。
（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离
1、位置关系的判定：以直线 y kx m 和抛物线： y2 2 px p 0 为例
2、焦点弦问题：
设抛物线方程： y2 2 px ，
过焦点的直线
l
:
y
k
x
p 2
（斜率存在且
k
0 ），对应倾斜角为
，与抛物线交于
A x1, y1 , B x2, y2
y2 2 px
联立方程：
y
k
x
p 2
k2
x
p 2
2
2 px
，整理可得：
k2x2
k2p 2p
k2 p2 x
0 ，所以 x1, x2 异号，即
交点分别位于双曲线的左，右支
②
当
b2
a2k 2
0
k
b a
或
k
b a
，且
0 时，
x1x2
a2m2 a2b2 b2 a2k2
0 ，所以
x1, x2 同号，即交点位于同一支上
（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线
的斜率相关，其分界点 b 刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置 a
为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（ x1 x2, x1x2, y1 y2, y1y2 ，坚持数形结合，坚
持整体代入。直至解决解析几何问题“ 2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛 使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用 求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或 是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根 结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代 入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应 对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。 3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：
② 0 方程有两个相同实根 直线与双曲线相切
③ 0 方程没有实根 直线与双曲线相离
注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与
双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相
同的根，则为相切
（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为 ,a a, ，
联立方程：
y kx
y
2
2
m px
kx
m2
2
px
，整理后可得：
k2x2 2km 2 p x m2 0
（1）当 k 0 时，此时方程为关于 x 的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与
抛物线相交
（2）当 k 0 时，则方程为关于 x 的二次方程，可通过判别式进行判定 ① 0 方程有两个不同实根 直线与抛物线相交 ② 0 方程有两个相同实根 直线与抛物线相切 ③ 0 方程没有实根 直线与抛物线相离
1
b2
y12 y22
0
①
1 a2
x1
x2
x1
x2
1 b2
y1
y2
y1
y2
0
1 a2
x1
x2
x1
2
x2
1 b2
y1
y2
y1
2
y2
0
②
由等式可知：其中直线
AB 的斜率 k
y1 x1
y2 x2
，AB
中点的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线 AB 的斜率与 AB 中点
m
4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线 l : y kx m ，l 上两点 A x1, y1 , B x2, y2 ，
所以 AB
1 k 2 x1 x2 或 AB
1
1 k
2
y1 y2
（1）证明：因为
A
x1,
y1
,
B
x2
,
y2
在直线
l
上，所以
y1 y2
kx1 kx2
m m
相交，只有一个公共点
当 b2 a2k 2 0 b k b 时，常数项为 a2m2 a2b2 0 ，所以 0 恒成立，此
a
a
时直线与双曲线相交
当 b2 a2k 2 0 k b 或 k b 时，直线与双曲线的公共点个数需要用 判断：
a
a
① 0 方程有两个不同实根 直线与双曲线相交
22
sin2 2sin
（四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式：
1、直线与圆锥曲线问题的特点：
（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），
（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设 A x1, y1 , B x2, y2 ，至于 A, B 坐标是否需
要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂
直线与圆锥曲线
一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，
下面以直线
y
kx m 和椭圆：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 为例
y kx m （1）联立直线与椭圆方程： b2x2 a2 y2 a2b2 （2）确定主变量 x （或 y ）并通过直线方程消去另一变量 y （或 x ），代入椭圆方程得到关
AB
x1
x2
2
y1
y2
2
，代入
y1 y2
kx1 m kx2 m
可得：
AB x1 x2 2 kx1 m kx2 m2 x1 x2 2 k x1 x2 2 1 k 2 x1 x2 2 1 k 2 x1 x2
同理可证得 AB
1
1 k
2
y1 y2
（3）通过联立方程消元，可得到关于 x （或 y ）的二次方程，如果所求的问题与两根的和
或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出 x1, x2, y1, y2 （所谓“设而不
求”） （4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可 简化运算的过程
这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点 A x1, y1 , B x2, y2
关系的判定：
① k b 且 m 0 时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中 a
与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点
② b k b 时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，
a
a
直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。
程
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 为例，设直线
y
kx m 与椭圆交于
A x1, y1 , B x2, y2 两点，
则该两点满足椭圆方程，有：
x12 a2
y12 b2
1
x22
a2
y22 b2
1
考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：
1
a2
x12 x22
（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果 A, B 为直线与曲线的交点（即 AB
为 曲 线 上 的 弦 ） ， 则 x1 x2 （ 或 y1 y2 ） 可 进 行 变 形 ：
x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 ，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。
5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方
所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当 x a 时，点位于双曲线的右支；当 x a 时，点位于双曲线的左支。对于方程：
b2 a2k 2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0 ，设两个根为 x1, x2
①
当 b2
a2k2
0b a
k
b a
时，则
x1x2
a2m2 a2b2 b2 a2k2
的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及 A, B 坐标的平方差问
题中也可使用点差法。
b2 a2k2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0
（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为 a2k 2 b2 0 ，所以消元后的方程一定是二次方程，但
双曲线中，消元后的方程二次项系数为 b2 a2k 2 ，有可能为零。所以要分情况进行讨论
当 b2 a2k 2 0 k b 且 m 0 时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线 a
（1）斜截式： y kx m ，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去 y 则此形式比较好
用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是 否符合条件
（2） x my b ，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方
程后消去 x 时使用，多用于抛物线 y2 2 px（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直 接体现斜率，当 m 0 时，斜率 k 1
于主变量的一元二次方程： b2x2 a2 kx m2 a2b2 ，整理可得：
a2k 2 b2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0
（3）通过计算判别式 的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0 方程有两个不同实根 直线与椭圆相交 ② 0 方程有两个相同实根 直线与椭圆相切 ③ 0 方程没有实根 直线与椭圆相离
0
4
（1） x1 x2
p2 4
y1y2 p2
（2）
AB
x1
x2
p
k2p 2p k2
p
2k 2 p 2 p k2
2 p1
1 k2
2 p1
1 tan2
2
p 1
cos2 sin2
2p sin2
（3） S
AOB
1 2 dOl
AB
1 2
OF sin
AB 1 p sin 2 p p2
以直线
y
kx m 和椭圆：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 为例：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y kx m （1）联立直线与双曲线方程： b2x2 a2 y2 a2b2 ，消元代入后可得：
③ b2 a2k 2 0 k b 或 k b 时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：
a
a
直线不一定与双曲线有公共点（与 的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交
点位于双曲线同一支上。
（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离
1、位置关系的判定：以直线 y kx m 和抛物线： y2 2 px p 0 为例
2、焦点弦问题：
设抛物线方程： y2 2 px ，
过焦点的直线
l
:
y
k
x
p 2
（斜率存在且
k
0 ），对应倾斜角为
，与抛物线交于
A x1, y1 , B x2, y2
y2 2 px
联立方程：
y
k
x
p 2
k2
x
p 2
2
2 px
，整理可得：
k2x2
k2p 2p
k2 p2 x
0 ，所以 x1, x2 异号，即
交点分别位于双曲线的左，右支
②
当
b2
a2k 2
0
k
b a
或
k
b a
，且
0 时，
x1x2
a2m2 a2b2 b2 a2k2
0 ，所以
x1, x2 同号，即交点位于同一支上
（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线
的斜率相关，其分界点 b 刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置 a
为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（ x1 x2, x1x2, y1 y2, y1y2 ，坚持数形结合，坚
持整体代入。直至解决解析几何问题“ 2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛 使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用 求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或 是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根 结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代 入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应 对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。 3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：
② 0 方程有两个相同实根 直线与双曲线相切
③ 0 方程没有实根 直线与双曲线相离
注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与
双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相
同的根，则为相切
（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为 ,a a, ，
联立方程：
y kx
y
2
2
m px
kx
m2
2
px
，整理后可得：
k2x2 2km 2 p x m2 0
（1）当 k 0 时，此时方程为关于 x 的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与
抛物线相交
（2）当 k 0 时，则方程为关于 x 的二次方程，可通过判别式进行判定 ① 0 方程有两个不同实根 直线与抛物线相交 ② 0 方程有两个相同实根 直线与抛物线相切 ③ 0 方程没有实根 直线与抛物线相离
1
b2
y12 y22
0
①
1 a2
x1
x2
x1
x2
1 b2
y1
y2
y1
y2
0
1 a2
x1
x2
x1
2
x2
1 b2
y1
y2
y1
2
y2
0
②
由等式可知：其中直线
AB 的斜率 k
y1 x1
y2 x2
，AB
中点的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线 AB 的斜率与 AB 中点
m
4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线 l : y kx m ，l 上两点 A x1, y1 , B x2, y2 ，
所以 AB
1 k 2 x1 x2 或 AB
1
1 k
2
y1 y2
（1）证明：因为
A
x1,
y1
,
B
x2
,
y2
在直线
l
上，所以
y1 y2
kx1 kx2
m m
相交，只有一个公共点
当 b2 a2k 2 0 b k b 时，常数项为 a2m2 a2b2 0 ，所以 0 恒成立，此
a
a
时直线与双曲线相交
当 b2 a2k 2 0 k b 或 k b 时，直线与双曲线的公共点个数需要用 判断：
a
a
① 0 方程有两个不同实根 直线与双曲线相交
22
sin2 2sin
（四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式：
1、直线与圆锥曲线问题的特点：
（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），
（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设 A x1, y1 , B x2, y2 ，至于 A, B 坐标是否需
要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂
直线与圆锥曲线
一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，
下面以直线
y
kx m 和椭圆：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 为例
y kx m （1）联立直线与椭圆方程： b2x2 a2 y2 a2b2 （2）确定主变量 x （或 y ）并通过直线方程消去另一变量 y （或 x ），代入椭圆方程得到关
AB
x1
x2
2
y1
y2
2
，代入
y1 y2
kx1 m kx2 m
可得：
AB x1 x2 2 kx1 m kx2 m2 x1 x2 2 k x1 x2 2 1 k 2 x1 x2 2 1 k 2 x1 x2
同理可证得 AB
1
1 k
2
y1 y2
（3）通过联立方程消元，可得到关于 x （或 y ）的二次方程，如果所求的问题与两根的和
或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出 x1, x2, y1, y2 （所谓“设而不
求”） （4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可 简化运算的过程
这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点 A x1, y1 , B x2, y2
关系的判定：
① k b 且 m 0 时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中 a
与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点
② b k b 时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，
a
a
直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。
程
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 为例，设直线
y
kx m 与椭圆交于
A x1, y1 , B x2, y2 两点，
则该两点满足椭圆方程，有：
x12 a2
y12 b2
1
x22
a2
y22 b2
1
考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：
1
a2
x12 x22
（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果 A, B 为直线与曲线的交点（即 AB
为 曲 线 上 的 弦 ） ， 则 x1 x2 （ 或 y1 y2 ） 可 进 行 变 形 ：
x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 ，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。
5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方
所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当 x a 时，点位于双曲线的右支；当 x a 时，点位于双曲线的左支。对于方程：
b2 a2k 2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0 ，设两个根为 x1, x2
①
当 b2
a2k2
0b a
k
b a
时，则
x1x2
a2m2 a2b2 b2 a2k2
的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及 A, B 坐标的平方差问
题中也可使用点差法。
b2 a2k2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0
（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为 a2k 2 b2 0 ，所以消元后的方程一定是二次方程，但
双曲线中，消元后的方程二次项系数为 b2 a2k 2 ，有可能为零。所以要分情况进行讨论
当 b2 a2k 2 0 k b 且 m 0 时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线 a
（1）斜截式： y kx m ，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去 y 则此形式比较好
用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是 否符合条件
（2） x my b ，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方
程后消去 x 时使用，多用于抛物线 y2 2 px（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直 接体现斜率，当 m 0 时，斜率 k 1
于主变量的一元二次方程： b2x2 a2 kx m2 a2b2 ，整理可得：
a2k 2 b2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0
（3）通过计算判别式 的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0 方程有两个不同实根 直线与椭圆相交 ② 0 方程有两个相同实根 直线与椭圆相切 ③ 0 方程没有实根 直线与椭圆相离
0
4
（1） x1 x2
p2 4
y1y2 p2
（2）
AB
x1
x2
p
k2p 2p k2
p
2k 2 p 2 p k2
2 p1
1 k2
2 p1
1 tan2
2
p 1
cos2 sin2
2p sin2
（3） S
AOB
1 2 dOl
AB
1 2
OF sin
AB 1 p sin 2 p p2