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2015年高考湖南理科数学试卷(含解析)

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2015年湖南高考数学理科卷带详解

2015年湖南高考数学理科卷带详解

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.(15湖南高考)已知2(1i)1i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 【参考答案】D【测量目标】复数的计算.【试题分析】由题意得，2(1i)2i1i 1i 1iz --===--++，故选D. 2. (15湖南高考)设A ,B 是两个集合，则”A B A = ”是“A B ⊆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【参考答案】C【测量目标】集合的关系.【试题分析】由题意得，A B A A B =⇒⊆ ，反之，A B A B A ⊆⇒= ，故为充要条件，选C. 3. (15湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S = ( ) A.67 B.37 C.89 D.49第3题图【测量目标】程序框图、裂项相消法求数列的和. 【参考答案】B【试题分析】由题意得，输出的S 为数列1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前三项和，而1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，3113(1)221217n n S S n n ∴=-=⇒=++，故选B.4. (15湖南高考)若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B. -1C.1D.2 【参考答案】A 【测量目标】线性规划.【试题分析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当2x =-，1y =时，3z x y =-的最小值是7-，故选A.第4题图5. (15湖南高考)设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 【参考答案】A【测量目标】函数的性质.【试题分析】显然，()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称，又()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=- ，()f x ∴为奇函数，显然，()f x 在(0,1)上单调递增，故选A.6. (15湖南高考)已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D.-6【参考答案】D【测量目标】二项式定理. 【试题分析】5215C (1)r rrrr T a x -+=-，令1r =，可得5306a a -=⇒=-，故选D.7. (15湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772第7题图【参考答案】C【测量目标】正态分布.【试题分析】根据正态分布的性质，1(01=12P x P x ≈＜＜）（-1＜＜）0.34，故选C.8. (15湖南高考)已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为（2,0），则PA PB PC ++的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9【测量目标】圆的性质、平面向量数量积. 【参考答案】B【试题分析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设(,),(,),(,),(6,),A m n C m n B x y PA PB PC x y --∴++=-而22(6)371249x y x PA PB PC -+=-∴++≤，的最大值为7，故选B. 9. (15湖南高考)将函数()sin 2f x x =的图象向右平移π(0)2ϕϕ＜＜个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12minπ3x x -=，则ϕ=（ ） A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6【参考答案】D【测量目标】三角函数的图象和性质.【试题分析】向右平移ϕ个单位后，得到()sin(22)g x x ϕ=-，又12()()2f x g x -= ，∴不妨令1212πππ22π,222π,()π222x k x n x x k n ϕϕ=+-=-+∴-=-+-，又12min π3x x -= ， πππ236ϕ∴-=⇒，故选D. 10. (15湖南高考)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）A.89πB.169π第10题图【测量目标】圆锥的内接长方体和基本不等式求最值.【参考答案】A【试题分析】分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体的长，宽，高分别为x ，y ，h ，长方体上底面截圆锥的截面半径为a ，则2222(2)4x y a a +==，如下图所示，则可知22212a h h a -=⇒=-，而长方体的体积 22223221622(22)2()2327x y a a a V xyh h a h a a +++-===-⨯=≤≤，当且仅当x y=，2223a a a =-⇒=时，等号成立，此时利用率为21682719ππ123=⨯⨯，故选A.第10题图二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. (15湖南高考)2(1)d x x -=⎰.【参考答案】0【测量目标】定积分的计算. 【试题分析】222001(1)()02x dx x x -=-=⎰.12. (15湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示. 若将运动员按成绩由好到差编为135 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.第12题图【参考答案】4【测量目标】系统抽样；茎叶图.【试题分析】由茎叶图可知，在区间[]139,151的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为720435⨯=人. 13. (15湖南高考)设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 . 【测量目标】双曲线的标准方程及其性质.【试题分析】根据对称性，不妨设(,0)F c ，短轴端点为(0,)b ，从而可知点(,2)c b -在双曲线上，222241c b ce a b a∴-=⇒==. 14. (15湖南高考)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = . 【测量目标】等差数列与等比数列的性质. 【参考答案】13n -【试题分析】1233,2,S S S 成等差数列，1211233222()333a a a a a a a a q ∴⨯+=+++⇒=⇒=，又等比数列{},n a 1113n n n a a q --∴==.15. (15湖南高考)已知32,(),x x a f x x x a⎧=⎨⎩≤＞，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 . 【参考答案】(,0)(1,)-∞+∞【测量目标】函数与方程；分类讨论的数学思想.【试题分析】分析题意可知，问题等价于方程3()x b x a =≤与方程2()x b x a =＞的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组13b a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤有解，从而1a ＞；若方程3()x b x a =≤无解，方程2()x b x a =＞有2个根：则可知关于b的不等式组13b aa ⎧⎪⎨⎪⎩＞有解，从而0a ＜，综上，实数a 的取值范围是(,0)(1,)-∞+∞ .三、解答题16. ( Ι) (15湖南高考)如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB 、CD 的中点分别是M 、N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明： （1）°180MEN NOM +=∠∠； （2）FE FN FM FO ⋅=⋅.第16题图【测量目标】（1）垂径定理和四点共圆；（2）割线定理.【试题分析】（1）如图所示，因为分别M ，N 是弦AB ，CD 的中点，所以OM AB ⊥，ON CD ⊥，即°90OME =∠，°90ENO =∠，°180OME ENO -=∠∠又四边形的内角和等于°360，故°180MEN NOM -=∠∠；（2）由（1）知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅.第18题图（Ⅱ）(15湖南高考)已知直线52:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB 的值. 【测量目标】(1)极坐标与直角坐标的互相转化；(2)直线与圆的位置关系.【试题分析】（1）2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=①，将222=x y ρ+， cos x ρθ=代入①，即得曲线C的直角坐标方程为2220x y x +-=②；（2）512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将代入②，得2180t ++=，设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1218MA MB t t == .（Ⅲ）(15湖南高考)设0a ＞，0b ＞，且11a b a b+=+. （1）2a b +≥；（2）22a a +＜与22b b +＜不可能同时成立.【测量目标】(1)基本不等式；(2)一元二次不等式,反证法.【试题分析】（1）由基本不等式及1ab =，有2a b +=≥，即2a b +≥；（2）假设22a a +＜与22b b +＜同时成立，则由22a a +＜及0a ＞得01a ＜＜，同理01b ＜＜，从而1ab ＜，这与1ab =矛盾，故22a a +＜与22b b +＜不可能同时成立.17. (15湖南高考)设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：π2B A -=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【测量目标】(1)正弦定理；(2)三角恒等变形；三角函数的性质. 【试题分析】（1）由t a n a b A =及正弦定理，得s i n s i n c o s c o sA b BA aB ==,所以s i nc o s B A =，即πs i n s i n ()2B A =+.又B 为钝角，因此ππ(,π)22A +∈，故π2B A =+，即π2B A -=；（2）由（I ）知，πππ(2)2022C A A =-+=-＞，所以π(0)4A ∈，，于是2219sin sin sin sin(2)sin cos 22sin sin 12(sin )248A C A A A A A A A π+=+-=+=-++=--+，因为π04A ＜＜，所以0sin A ＜21992(sin )488A --+≤由此可知sin sin A C +的取值范围是928⎛⎤⎥ ⎝⎦， 18. (15湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【测量目标】(1)概率的加法公式；(2)离散型随机变量的概率分布与期望.【试题分析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ 1B = ｛顾客抽奖1次获一等奖｝2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝.由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，C =1B +2B . 因124251()()105102P A P A ====，，所以11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以1~(3)5X B ，.于是00331464(0)C ()()55125P X ===，11231448(1)C ()()55125P X ===，22131412(2)C ()()55125P X ===，3303141(3)C ()()P X ===故X 的分布列为X 的数学期望为13()355E X =⨯=. 19. (15湖南高考)如图，已知四棱台1111ABCD A BC D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P 、Q 分别在棱1DD 、BC 上. （1）若P 是1DD 的中点，证明1AB PQ ⊥；（2）若PQ ∥平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.第19题图【测量目标】(1)空间向量的运用；线面垂直的性质；(2)空间几何体体积计算.【试题分析】解法一 由题设知1AA ，AB ，AD ，两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图b 所示的空间直角坐标系，则相关个点的坐标为(000)A ，，，1(306)B ，，，(060)D ，，，1(036)D ，，，(60)Q m ，，，其中m BQ =，（1）若P 是1DD 的中点，则9(03)2P ，，，1(306)AB = ，，，于是118180AB PQ =-= ，所以1AB PQ ⊥ ，即1AB PQ ⊥；（2）由题设知，(660)DQ m =- ，，，1(036)DD =-，，是平面PQD 内的两个不共线向量.设1()x y z ，，n 是平面PQD 的一个法向量，则111DQ DD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0n n ，即6(6)0360x m y y z +-=⎧⎨-+=⎩， 取6y =，得1(663)m =-，，n .又平面AQD 的一个法向量是1(001)=，，n ，所以121212cos ⋅===，n n n n n n 而二面角P QD A --的余弦值为37，37=，解得4m =，或者8m =（舍去），此时(640)Q ，，. 设1(01)DP DD λλ= ＜≤,而1(036)DD =-，，，由此得点(0636)P λλ-，，， 因为PQ ∥平面11ABB A ,且平面11ABB A 的一个法向量是3(010)=，，n ，所以3PQ ⋅=0n ，即320λ-=，亦即23λ=，从而(044)P ，，，于是，将四面体ADPQ 视为以ADQ △为底面的三棱锥P ADQ -，则其高4h =，故四面体ADPQ 的体积，11166424332ADQ V S h =⋅=⨯⨯⨯⨯=△.B 第19题图解法二 （1）如图c ，取1AA 的中点R ，连结PR ，BR ，因为1AA ，1DD 是梯形11A AD D 的两腰，P 是1DD 的中点，所以PR AD ∥，于是由AD BC ∥知，PR BC ∥，所以P ，R ，B ，C 四点共面.由题设知，BC AB ⊥，1BC A A ⊥，所以BC ⊥平面1ABB A ,因此1BC AB ⊥① 因为11113tan tan 6AB AR ABR A AB AB A A====∠∠，所以11tan tan ABR A AB =∠∠，因此 °111190ABR BAB A AB BAB +=+=∠∠∠∠，于是1AB BR ⊥，再由○1即知1AB ⊥平面PRBC ，又PQ ⊂平面PRBC ，故1AB PQ ⊥.c d第19题图（2）如图d ，过点P 作PM //1A A 交AD 于点M ，则PM //平面11ABB A .因为1AA ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ,过点M 作MN ⊥QD 于点N ，连结PN ，则PN ⊥QD ，PNM ∠为二面角P -QD -A 的平面角，所以3cos 7PNM =∠，即37MN PN =,从而3PM MN =. ○3连结MQ ，由PQ //平面11ABB A ，所以MQ //AB ，又ABCD 是正方形，所以ABQM 为矩形，故MQ =AB =6. 设MD =t ，则 MN○4过点1D 作11D E A A ∥交AD 于点E ，则11AA D E 为矩形，所以1D E =1A A =6，AE =11A D =3，因此ED =AD -AE =3，于是1623D E PM MD ED ===,所以PM =2MD =2t ，再由○3○4得3，解得t =2，因此PM =4.故四面体ADPQ 的体积11166424332ADQ V S h =⋅=⨯⨯⨯⨯=△.20. (15湖南高考)已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=＞＞的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A 、B 两点，与2C 相交于C 、D 两点，且AC 与BD同向（ⅰ）若AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD △总是钝角三角形. 【测量目标】(1)椭圆的标准方程及其性质；(2)直线与椭圆位置关系.【试题分析】（1）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为（0,1），因为F 也是椭圆2C 的一焦点，所以 221a b -=○1又1C 与2C 的公共弦的长为1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为24x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为（32，），所以229614a b+=○2，联立○1，○2得2a =9，2b =8，故2C 的方程为22198x y += ○3；（2）如图f ，设A （11x y ，）B （22x y ，）C （33x y ，）D （44x y ，）.（i ）因AC 与BD 同向，且|AC |=|BD |,所以AC =BD，从而31x x -=42x x -，即12x x -=34x x -，于是2212123434()4()4x x x x x x x x +-=+-○3 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y =kx +1.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得216640x kx +-=.而1x ，2x 是这个方程的两根.所以124x x k +=，124x x =- ○4 ，由221189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(98)16640k x kx ++-=.而3x ，4x 是这个方程的两根.所以3421698k x x k +=-+， 3426498x x k =-+○5，将○4○5带入○3 ，得22221646416(1)(98)98k k k k ⨯+=+++,即22222169(1)16(1)(98)k k k ⨯++=+，所以22(98)169k +=⨯，解得k=4±l的斜率为4±.第20题图（ii ）由24x y =得2xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为111()2x y y x x -=-，即 2114x y x x =-.令y =0得x =12x ，即M （12x ,0）,所以FM =(12x ,-1).而FA =(11,1x y -).于是FA ⋅FM =221111024x x y -+=+＞，因此AFM ∠是锐角，从而°180MFD AFM =-∠∠是钝角.故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形.21. (15湖南高考)已知0a ＞，函数[)()e sin (0,)axf x x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n *(N )n ∈个极值点,证明：（1）数列{}()n f x 是等比数列； （2）若a ，则对一切*N n ∈，()n n x f x ＜恒成立.【测量目标】(1)三角函数的性质,导数的运用；(2)恒成立问题.【试题分析】（1）()e sin e cos e (sin cos )sin()ax ax ax ax f x a x a x a x x x ρ'=+=+=+ 其中1tan a ρ=，π02ρ＜＜.令()0f x '=，由0x ≥得x mx ρ+= 即πx m ρ=-，*N m ∈ 对k ∈N ，若2π(21)πk x k ρ++＜＜,即2π(21)πk x k ρρ-+-＜＜,则()f x '>0； 若(21)π(22)πk x k ρ+++＜＜,即21)π(22)πk x k ρρ+-+-（＜＜，则()f x '<0. 因此，在区间((1)π,π)m m ρ--与(π,π)m m ρ-上，()f x '的符号总相反.于是 当πx m ρ=- (*m ∈N )时，()f x 取得极值，所以πn x n ρ=-*()n ∈N . 此时，(π)1(π)()e sin(π)(1)e sin a n n a n n f x n ρρρρ-+-=-=-.易知()0n f x ≠，而[](1)π211(π)()(1)e sin e ()(1)e sin a n n ax n n a n n f x f x ρρρρ+-+++--==--是常数，故数列{}()n f x 是首项为(π)1()e sin a n f x ρρ-=，公比为e ax -的等比数列；（2）由（1）知，sin ρ=*n ∈N ,()n n x f x ＜恒成立，即(π)πa n n ρρ--(π)e (π)a n a n ρρ--＜（*）恒成立（因为a >0）， 设g （t ）=e t t （t ＞0），则2e (1)()t t g t t -'=.令()g t '=0得t =1，当0<t <1时，()0g t '＜，所以g （t ）在区间（0,1）上单调递减； 当t >1时，()0g t '＞，所以g （t ）在区间（0,1）上单调递增. 从而当t =1时，函数g （t ）取得最小值g （1）=e因此，要是（*(1)e g =，即只需a .而当a =时，1tan a ρ==π02ρ＜＜.于是2ππ3ρ-＜n ≥2时，3ππ2π2n ρρ--≥≥因此对一切 *n ∈N，1n ax =≠，所以g （n ax）(1)e g ==.故（*）式亦恒成立.综上所述，若a ，则对一切*n ∈N ，()n n x f x ＜恒成立.。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)

2015年湖南省高考数学试卷(理科)

2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣67．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．七、标题19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（1）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．5．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣6【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．另解：设B（cosα，sinα），|2+|=|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|=|（cosα﹣6，sinα）|==，当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7．故选：B．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x﹣2φ），设2x1=2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，x1﹣x2=﹣φ+（k﹣m）π，由|x1﹣x2|min=，可得﹣φ=，解得φ=，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A．【点评】本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=0．【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} ．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b 有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．【点评】本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．七、标题19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A 1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A 1，A2相互独立，，，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）互斥，B=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：E（X）=3×=．【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；A1的一个法向量为；平面ABB∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；=V三棱锥P﹣ADQ=．∴V四面体ADPQ【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（1）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（1）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（2）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（1）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（2）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)及答案

2015年湖南省高考数学试卷(理科)及答案

2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣67．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣6【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=0．【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} ．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b 有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X0123PE（X）=3×=．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（ⅰ）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（ⅰ）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（ⅱ）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (理科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (理科)解析版

2015年高考湖南卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运 算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数 的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.2.设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C.【考点定位】1.集合的关系；2.充分必要条件.【名师点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件，属于容易题，高考强调集合作为工具与其他知 识点的结合，解题的关键是利用韦恩图或者数轴求解，充分，必要条件的判断性问题首要分清条件 和结论，然后找出条件和结论之间的推出或包含关系.3.执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( )A.67 B.37 C.89 D.49【答案】B.【考点定位】1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题， 解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图 问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规 律，若循环次数较少可以全部列出.4.若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.而可知当2-=x ，1=y 时，min 3(2)17z =⨯--=-的最小值是7-，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.5.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A .奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 【答案】A.【考点定位】函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的 判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函 数单调性的判断，即可求解.6.已知5x x 的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）33- D .-6【答案】D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解.7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386B.2718C.3413D.4772 附：若2(,)XN μσ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P【答案】C.【考点定位】1.正态分布；2.几何概型.【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结 合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知 识点的基本概念.8.已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则P A P B P C ++的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中 档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的 最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.9.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以 )sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三 角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）A.89πB.169πC.34(21)πD.321)π【答案】A.【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.20(1) x dx⎰-= .【答案】0.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .【答案】4.【考点定位】1.系统抽样；2.茎叶图.【名师点睛】本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念，属于容易题，高考对统计相关知识的考查，重点在于其相关的基本概念，如中位数，方差，极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方面的理解与记忆.13.设F是双曲线C：22221x ya b-=的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 . 【答案】5.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行 等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222b a c +=，焦点坐标，渐近线方程等性质， 也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = . 【答案】13-n .【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列 基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.15.已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（Ⅰ）如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）180MEN NOM ∠+∠=； （2）FE FN FM FO ⋅=⋅【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.垂径定理；2.四点共圆；3.割线定理.【名师点睛】本题主要考查了圆的基本性质等知识点，属于容易题，平面几何中圆的有关问题是高考考查 的热点，解题时要充分利用圆的性质和切割线定理，相似三角形，勾股定理等其他平面几何知识点的交汇.（Ⅱ）已知直线35:132x l y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M 的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值. 【答案】（1）0222=-+x y x ；（2）18.的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1821==⋅|t |t |MB||MA|. 【考点定位】1.极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系，属于容易 题，在方程的转化时，只要利用θρcos =x ，θρsin =y 进行等价变形即可，考查极坐标方程与参数方程， 实为考查直线与圆的相交问题，实际上为解析几何问题，解析几何中常用的思想，如联立方程组等，在极 坐标与参数方程中同样适用.（Ⅲ）设0,0a b >>，且11a b a b+=+. （1）2a b +≥；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.【名师点睛】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子 作等价变形，再利用基本不等式即可求解，第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明， 否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）9]8. 【解析】【考点定位】1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）107；（2）详见解析.【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一 直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计 的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以 关注.19.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.【答案】（1）详见解析；（2）24.【考点定位】1.空间向量的运用；2.线面垂直的性质；3.空间几何体体积计算. 【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的性质以及空间几何体体积计算，属于中档题，由于空间向量工具的引入，使得立体几何问题除了常规的几何法之外，还可以考虑利用向量工具来解决，因此有关立体几何的问题，可以建立空间直角坐标系，借助于向量知识来解决，在立体几何的线面关系中，中点是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线而线线平行是平行关系的根本，在垂直关系的证明中线线垂直是核心，也可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直.20.已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为（1）求2C 的方程； （2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形【答案】（1）22198y x+=；（2）（i）6±，（ii）详见解析.【考点定位】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此 类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，222c b a +=等；（2）当看到题目中出现 直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条 件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整 体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.21.已知0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点，证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列（2）若21a e ≥-，则对一切*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)(含解析版)

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2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．25．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数第 1 页共 32 页 1D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6D．﹣67．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386B．2718C．3413D．47728．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6B．7C．8D．99．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min=，则φ=（）A．B．C．D．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）2第 2 页共 32 页A．B．C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．第 3 页共 32 页 3三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO 与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．4第 4 页共 32 页选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．七、标题19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．第 5 页共 32 页 520．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ 的体积．6第 6 页共 32 页22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（1）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．第 7 页共 32 页72015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B ．1﹣i C．﹣1+i D ．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5J：集合；5L：简易逻辑．【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．8第 8 页共 32 页3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力第 9 页共 32 页94．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．5．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数10第 10 页共 32 页B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】53：导数的综合应用．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6D．﹣6【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；第 11 页共 32 页11展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386B．2718C．3413D．4772【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．12第 12 页共 32 页8．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】9D：两向量的和或差的模的最值；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC 为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．另解：设B（cosα，sinα），|2+|=|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|=|（cosα﹣6，sinα）|==，当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7．故选：B．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．（5分）将函数f（x）=sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．第 13 页共 32 页13【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x ）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min =，不妨x1=，x2=，即g（x）在x 2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x ）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．另解：f（x）=sin2x ，g（x）=sin（2x﹣2φ），设2x1=2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，x1﹣x2=﹣φ+（k﹣m）π，由|x1﹣x2|min=，可得﹣φ=，解得φ=，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）14第 14 页共 32 页A ．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】2：创新题型；5F：空间位置关系与距离；5I：概率与统计．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=第 15 页共 32 页15∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A．【点评】本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=0．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图16第 16 页共 32 页如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．【考点】BA：茎叶图．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），第 17 页共 32 页17设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} ．18第 18 页共 32 页【考点】51：函数的零点．【专题】11：计算题；2：创新题型；51：函数的性质及应用．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意第 19 页共 32 页19④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．20第 20 页共 32 页【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】17：选作题；5M：推理和证明．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．【点评】本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】17：选作题；5S：坐标系和参数方程．第 21 页共 32 页21【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【考点】R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（ⅰ）由a ＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，22第 22 页共 32 页当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a ＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a ＜2及a ＞0，可得0＜a＜1，由b 2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．七、标题19．设△ABC的内角A 、B、C 的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）第 23 页共 32 页23=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA ﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱24第 24 页共 32 页中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B 1=A1A2，B2=+，C=B1+B 2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P （）=+==，故所求概率为：P （C ）=P（B1+B2）=P（B1）+P （B 2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X0123PE（X）=3×=．【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ 的体积．第 25 页共 32 页25【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q 在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q 点坐标变成Q （6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD 的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；26第 26 页共 32 页∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y 1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；第 27 页共 32 页27又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=．【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（1）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，第 28 页共 32 页28△MFD总是钝角三角形．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（1）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（2）根据导数的几何意义得到C1在点A 处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C 2的一个焦点，∴a 2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C 1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C 2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y 1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（1）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，第 29 页共 32 页29由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（2）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y 1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．30第 30 页共 32 页23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n ＜|f（x n）|恒成立．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N *，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x ）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，第 31 页共 32 页31故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g （t）递减，当t ＞1时，g′（t）＞0，g（t ）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．32第 32 页共 32 页。

2015年高考数学(理科)湖南卷

2015年高考数学(理科)湖南卷

2015年高考数学（理科）湖南卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.已知（i为虚数单位），则复数z=（ ）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i2.设A,B是两个集合，则“A∩B=A”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=( )A.<<\frac{6}{7}>>B.<<\frac{3}{7}>>C.<<\frac{8}{9}>>D.<<\frac{4}{9}>>4.若变量x,y满足约束条件$\equ3{x+y≥-1}{2x-y≤1}{y≤1}$，则z=3x-y的最小值为（ ）A.-7B.-1C.15.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则f(x)是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数6.已知的展开式中含的项的系数为30，则a=( ) A. B.C.6D.-67.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） 附：若X～N(μ，σ 2)，则P(μ-σ＜X≤μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ＜X≤μ+2σ)=0.9544A.2386B.2718C.3413D.47728.已知点A,B,C在圆x 2+y 2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则$|\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}|$的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.99.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足|f(x 1)-g(x 2)|=2的x 1,x 2，有$|\sub{`x}{1}-\sub{`x}{2}|`m`i`n=\frac{`π}{3}$，则φ=( )A.<<\frac{5`π}{12}>>B.<<\frac{`π}{3}>>C.<<\frac{`π}{4}>>D.<<\frac{`π}{6}>>10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ）A.<<\frac{8}{9π}>>B.<<\frac{16}{9π}>>C.<<\frac{4\sup{(\sqrt{2}-1)}{3}}{π}>>D.<<\frac{12\sup{(\sqrt{2}-1)}{3}}{π}>>二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.$\ud {2}{0}(`x-1)`d`x=_________$12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为1～35 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________.13.设F是双曲线C:的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________.14.设Sn 为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1,2S2,S3成等差数列，则an=________.15.已知$`f(`x)=\equ2{\sup{`x}{3},x≤`a}{\sup{`x}{2},`x＞`a}$，若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点，则a的取值范围是__________.三．解答题：本大题共6小题，共75分，16.（Ⅰ）如图，在圆O中，相交于点E 的两弦AB,CD的中点分别是M,N，直线MO与直线CD相交于点F，点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ. （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C 的交点为A,B，求|MA|•|MB|的值. （Ⅲ）设a＞0,b＞0，且 （1）a+b≥2； （2）a 2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立.17.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角. （1）证明：； （2）求sinA+sinC的取值范围.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率； （2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.19.如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P,Q分别在棱DD1，BC上. （1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ; （2）若PQ//平面ABB1A1，二面角P-QD-A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.20.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为. （1）求C2的方程； （2）过点F的直线l与C1相交于A,B两点，与C2相交于C,D两点，且$\onu{`A`C}{→}与\onu{`B`D}{→}$同向 （ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率 （ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形21.已知a＞0，函数f(x)=e axsinx(x∈[0,+∞])，记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N+)极值点，证明： （1）数列{f(xn )}是等比数列 （2）若< >，则对一切n∈N+,xn＜|f(xn)|恒成立.参考答案 1.D 解析：，故选D. 2.C 解析：由题意得，，反之，，故为充要条件，选C.3.B 解析：由题意得，输出的S为数列<<{\frac{1}{(2`n-1)(2`n+1)}}>>的前三项和，而 <<\frac{1}{(2`n-1)(2`n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2`n-1}-\frac{1}{2`n+1}),∴\sub{`S}{`n}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2`n+1})=\frac{`n}{2`n+1}\sub{`S}{3}=\frac{3}{7}>>，故选B.4.A 解析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l:3x-y=0，平移l,，从而可知当x=-2,y=1时，z min =3×(-2)-1=-7的最小值是-7，故选A.5.A 解析：显然，f(x)定义域为(-1,1)，关于原点对称，又∵f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数，显然，f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.6.D 解析：<<\sub{`T}{`r+1}=\udC{r}{5}\sup{(-1)}{`r}\sup{`a}{`r}\sup{`x}{\frac{5}{2}`r}>>，令r=1，可得-5a=30 a=-6，故选D.7.C 解析：根据正态分布的性质，< >，故选C.8.B 解析：由题意得，AC为圆的直径，故可设A(m,n),C(-m,-n),B(x,y),<<∴\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}=(`x-6,`y),∴|\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}|=\sqrt{\sup{(`x-6)}{2}+\sup{`y}{2}}>>的最大值为圆x 2+y 2=1上的动点到点(6,0) 距离的最大值，从而易得当<<\equ2{`x=-1}{`y=0}>>时<<|\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}|>>的最大值为7，故选B. 【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.9.D 解析：向右平移φ个单位后，得到g(x)=sin(2x-2φ)，又∵|f(x 1)-g(x 2)|=2，∴不妨<<2\sub{`x}{1}=\frac{π}{2}+2k`π>>,<<2\sub{`x}{2}-2`φ=-\frac{`π}{2}+2`m`π>>,<<∴\sub{x}{1}-\sub{x}{2}=\frac{`π}{2}-`φ+(`k-`m)`π,又∵\sub{|\sub{x}{1}-\sub{`x}{2}|}{`m`i`n}=\frac{`π}{3}>>, <<∴\frac{`π}{2}-`φ=\frac{`π}{3} `φ=\frac{`π}{6}>>故选D.，圆锥的轴截面如图所示，则可知<<\frac{`a">{1">=\frac{2-`h">{2"> `h=2-2`a>>，而长方体的体积<<`V=`x`y`h≤\frac{\sup{`x">{2">+\sup{`y">{2">">{2">`h=2\sup{`a">{2">`h=2\sup{`a">{2">(2-2`a)>> <<≤2×\sup{(\frac{`a+`a+2-2`a">{3">)">{3">=\frac{16">{27">>>，当且仅当<<`x=`y,`a=2-2a `a=\frac{2">{3">>>时，等号成立，此时利用率为<<\frac{\frac{16">{27">">{\frac{1">{3">`π×\sup{1">{2">×2">=\frac{8">{9`π">>>，故选A.11.0 解析：<<\ud {2}{0}(`x-1)`d`x=(\frac{1}{2}\sup{`x}{2}-`x\ud){2}{0}=0>>12.4 解析：由茎叶图可知，在区间[139,151]的人数为20,，再由系统抽样的性质可知人数为<<20×\frac{7}{35}=4>>人. 【考点定位】1.系统抽样；2.茎叶图.13.<<\sqrt{5}>> 解析：根据对称性，不妨设F(c,0)，短轴端点为(0,b)，从而可知点(-c,2b)在双曲线上， <<∴\frac{\sup{`c}{2}}{\sup{`a}{2}}-\frac{\sup{4`b}{2}}{\sup{`b}{2}}=1`e=\frac{`c}{`a}=\sqrt{5}>>14.3 n-1 解析：∵3S 1,2S 2,S 3成等差数列，∴ 2×2(a 1+a 2)=3a 1+a 1+a 2+a 3 a 3=3a 2 q=3. 又∵等比数列{a n },∴a n =a 1q n-1=3 n-1.15.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析：分析题意可知，问题等价于方程x 3=b(x≤a)与方程x 2=b(x＞a)的根的个数和为2， 若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组<<\equ3{\sup{`b}{\frac{1}{3}}≤`a}{\sqrt{`b}＞`a}{-\sqrt{`b}≤`a}>>有解，∴a 2＜b＜a 3，从而a＞1; 若方程x 3=b(x≤a)无解，方程x 2=b(x＞a)有2个根：则可知关于b的不等式组<<\equ2{\sup{`b}{\frac{1}{3}}＞`a}{-\sqrt{`b}＞`a}>>有解，从而a＜0，综上，实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).16.（Ⅰ）（1）详见解析；（2）详见解析. （Ⅱ）（1）x 2+y 2-2x=0；（2）18. （Ⅲ）（1）详见解析；（2）详见解析. 解析：（Ⅰ）（1）首先根据垂径定理可得∠OME=90º,∠ENO=90º，再由四边形的内角和即可得证； （2）由（1）中的结论可得O,M,E,N四点共圆，再由割线定理即得FE•FN=FM•FO. 试题解析：（1）如图a所示， ∵M,N分别是弦AB,CD的中点，∴OM⊥AB,ON⊥CD, 即∠OME=90º,∠ENO=90º,∠OME+∠ENO=180º，又四边形的内角和等于360º，故∠MEN+∠NOM=180º； （2）由（I）知，O,M,E,N四点共圆，故由割线定理即得FE•FN=FM•FO.（Ⅱ）（1）利用ρ 2=x 2+y 2,ρcosθ=x即可将已知条件中的极坐标方程转化直角坐标方程； （2）联立直线的参数方程与圆的直角方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解. 试题解析：（1）ρ=2cosθ等价于ρ 2=2ρcosθ①，将ρ 2=x 2+y 2,ρcos θ=x代入①，记得曲线C的直角坐标方程为x 2+y 2-2x=0②； （2）将<<\equ2{`x=5+\frac{\sqrt{3">">{2">`t">{`y=\sqrt{3">+\frac{1">{2">`t">>>代入②，得<<\意义即知,|MA|•|MB|=|t 1t 2|=18. （Ⅲ）（1）将已知条件中的式子可等价变形为ab=1，再由基本不等式即可得证； （2）利用反证法,假设假设a 2+a＜2与b 2+b＜2同时成立，可求得0＜a＜1,0＜b＜1，从而与ab=1矛盾，即可得证 试题解析：由<<`a+`b=\frac{1">{`a">+\frac{1">{`b">=\frac{`a+`b">{`a`b">,a＞0,b＞0,>>得ab=1， （1）由基本不等式及ab=1，有<<`a+`b≥2\sqrt{`a`b">=2>>，即a+b≥2; （2）假设a 2+a＜2与b 2+b＜2同时成立，则由a 2+a＜2及a＞0得0＜a＜1，同理0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab=1矛盾，故a 2+a＜2与b 2+b＜2不可能成立.17.（1）详见解析；（2）<<(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{9}{8}]>> 解析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为<<`s`i`n`B=`s`i`n(\frac{`π}{2}+`A)>>，再结合条件从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将sinA+sinC转化为只与A有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解. 试题解析：（1）由a=btanA及正弦定理，得<<\frac{`s`i`n`A}{`c`o`s`A}=\frac{`a}{`b}=\frac{`s`i`n`A}{`s`i`n`B},∴`s`i`n`B=`c`o`s`A>>，即<<`s`i`n`B=`s`i`n(\frac{`π}{2}+`A)>>,又B为钝角，因此<<\frac{`π}{2}+`A∈(\frac{`π}{2},`π)>>，故<<`B=\frac{`π}{2}+`A>>,即<<`B-`A=\frac{`π}{2}>>；（2）由（1）知，<<`C=`π-(`A+`B)`π-(2`A+\frac{`π}{2})=\frac{`π}{2}-2`A＞0,∴`A∈(0,\frac{`π}{4})>>,于是<<`s`i`n`A+`s`i`n`C=`s`i`n`A+`s`i`n(\frac{`π}{2}-2`A)>> <<=`s`i`n`A+`c`o`s2`A=-2\sup{`s`i`n}{2}`A+`s`i`n`A+1=-2\sup{(`s`i`n`A-\frac{1}{4})}{2}+\frac{9}{8},∴0＜`A＜\frac{`π}{4},∴0＜`s`i`n`A＜\frac{\sqrt{2}}{2}>>，因此<<\frac{\sqrt{2}}{2}＜-2\sup{(`s`i`n`A-\frac{1}{4})}{2}+\frac{9}{8}≤\frac{9}{8}>>，由此可知sinA+sinC的取值范围是<<(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{9}{8}]>>.18.（1）<<\frac{7}{10}>>；（2）详见解析. 解析：（1）记事件A 1=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，A 2=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ B 1=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，B 2=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C=｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知A 1与A 2相互独立，<<\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">与\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>互斥，B 1与B 2互斥，且B 1=A 1A 2,<<\sub{`B">{2">=\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">+\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>,C=B 1+B 2，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知<<`X～`B(3,\frac{1">{5">)>>，分别求得<{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{0">\sup{(\frac{4">{5">)">{3">=\frac{64">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{1">\sup{(\frac{4">{5">)">{2">=\frac{48">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{2">\sup{(\frac{4">{5">)">{1">=\frac{12">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{3">\sup{(\frac{4">{5">)">{0">=\frac{1">{125">>>,即可知X的概率分布及其期望. 试题解析：（1）记事件A 1=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，A 2=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ B 1=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，B 2=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C=｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意， A 1与A 2相互独立，<<\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">与\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>互斥，B 1与B 2互斥，且B 1=A 1A 2,<<\sub{`B">{2">=\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">+\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>,C=B 1+B 2，<<∵`P(\sub{`A">{1">)=\frac{4">{10">=\frac{2">{5">,`P(\sub{`A">{2">)=\frac{5">{10">=\frac{1">{">+\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">)=`P(\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">)+`P(\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">)=`P(\sub{`A">{1">)(1-`P(\sub{`A">{2">))+(1-`P(\sub{`A">{1">))P(\sub{`A">{2">)>> <<=\frac{2">{5">×(1-\frac{1">{2">)+(1-\frac{2">{5">)×\frac{1">{2">=\frac{1">{2">>>，故所求概率为<<`顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为<<\frac{1">{5">>>,<<∴`X～`B(3,\frac{1">{5">)>>,于是 <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{0">\sup{(\frac{4">{5">)">{3">=\frac{64">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{1">\sup{(\frac{4">{5">)">{2">=\frac{48">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{2">\sup{(\frac{4">{5">)">{1">=\frac{12">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{3">\sup{(\frac{4">{5">)">{0">=\frac{1">{125">>>,，故X的分布列为 X的数学期望为<<`E(`X)=3×\frac{1">{5">=\frac{3">{5">>>19.（1）详见解析；（2）24. 解析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明<<\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">•\onu{`P`Q">{→">=0>>； （2）根据条件二面角P-QD-A 的余弦值为<<\frac{3">{7">>>，利用空间向量可将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ，其高h=4，从而求解 试题解析：解法一 由题设知，AA1,AB,AD两两垂直，以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0)，其中m=BQ,0≤m≤6, （1）若P是DD1的中点，则<<`P(0，\frac{9">{2">,3),\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">=(3,0,6)>>，于是<<\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">•\onu{`P`Q">{→">=18-18=0,∴\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">⊥\onu{`P`Q">{→">,>>即AB1⊥PQ; （2）由题设知，<<\onu{`D`Q">{→">=(6,m-6,0),\onu{\sub{`D`D">{1">">{→">=(0,-3,6)>>是平面PQD内的两个不共线向量. 设<<\onu{\sub{`n">{1">">{→">=(`x,`y,`z)>>是平面PQD的一个法向量，则<<\equ2{\onu{\sub{`n">{1">">{→">•\onu{`D`Q">{→">=0">{\onu{\sub{`n">{1">">{→">•\onu{\sub{`D`D">即<<\equ2{6`x+(`m-6)`y=0">{-3`y+6`z=0">>>, 取y=6，得<<\onu{\sub{`n">{1">">{→">=(6-`m,6,3)>>，又平面AQD的一个法向量是<<\onu{\sub{`n">{2">">{→">=(0,0,1)>>,<<∴cos<\onu{\sub{`n">{1">">{→">,\onu{\sub{`n">{2">">{→">>=\frac{\onu{\sub{`n">{1">">{→">•\ `m)">{2">+\sup{6">{2">+\sup{3">{2">">">=\frac{3">{\sqrt{\sup{(6-`m)">{2">+45">">>>，而二面角P-QD-A的余弦值为<<\frac{3">{7">>>，因此<<\frac{3">{\sqrt{\sup{(6-`m)">{2">+45">">=\frac{3">{7">>>，解得m=4，或者m=8（舍去），此时Q(6,4,0). 设<<\onu{`D`P">{→">=`λ\onu{\sub{`D`D">{1">">{→">(0＜`λ≤1)>>，而<<\onu{\sub{`D`D">{1">">{→">=(0,-3,6)>>，由此得点P(0,6-3λ,6λ), <<\onu{`P`Q">{→">=(6,3`λ-2,-6`λ)>>,∵PQ//平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是<<\onu{\sub{`n">{3">">{→">=(0,1,0)，∴\onu{`P`Q">{→">•\onu{\sub{`n">{3">">{→">=0>>，即3λ-2=0，亦即<<`λ=\frac{2">{3">>>，从而P(0,4,4)，于是，将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ，则其高h=4，故四面体ADPQ的体积<<`V=\frac{1">{3">\sub{`S">{△`A`D`Q">•`h=\frac{1">{3">×\frac{1">{2">×6×6×4=24>>.， 由题设知，BC⊥AB,BC⊥A 1A，∴BC⊥平面ABB 1A 1，因此BC⊥AB 1①,<<∵`t`a`n∠`A`B`R=\frac{`A`R">{`A`B">=\frac{3">{6">=\frac{\sub{`A`B">{1">">{\sub{`A">{1">`因此∠ABR+∠BAB 1=∠A 1AB 1+∠BAB 1=90º，于是AB 1⊥BR，再由①即知AB 1⊥平面PRBC，又PQ 平面PRBC，故AB 1⊥PQ; （2）如图d，过点P作PM//A 1A交AD于点M，则PM//平面ABB 1A 1, ∵A 1A⊥平面ABCD,∴OM⊥平面ABCD，过点M作MN⊥QD于点N，连结PN，则PN⊥QD,∠PNM为二面角P-QD-A的平面角，<<∴`c`o`s∠`P`M`N=\frac{3">{7">>>，即<<\frac{`M`N">{`P`N">=\frac{3">{7">>>，从而<<\frac{`P`M">{`M`N">=\frac{\sqrt{40">">{3">>>③ 连结MQ，由PQ//平面ABB 1A 1，∴MQ//AB,，又ABCD是正方形，所以ABQM为矩形，故MQ=AB=6，设MD=t，则<<`M`N=\frac{`M`Q•`M`D">{\sqrt{\sup{`M`Q">{2">+\sup{`M`D">{2">">">>>④，过点D 1作D 1E//A 1A交AD于点E，则AA 1D 1E为矩形，∴D 1E=A 1A=6,AE=A 1D 1=3，因此ED=AD-AE=3，于是<<\frac{`P`M">{`M`D">=\frac{\sub{`D">{1">`E">{`E`D">=\frac{6">{3">=2,∴`P`M=2`M`D=2`t>>,再由③④得<<\frac{\sqrt{36+\sup{`t">{2">">">{3">=\frac{\sqrt{40">">{3">>>，解得t=2，因此PM=4故四面体ADPQ的体积<<`V=\frac{1">{3">\sub{`S">{△`A`D`Q">•`h=\frac{1">{3">×\frac{1">{2">×6×6×4=24>>.20.（1）<<\frac{\sup{`y}{2}}{9}+\frac{\sup{`x}{2}}{8}=1>>；（2）（i），（ii）详见解析. 解析：（1）根据已知条件可求得C 2的焦点坐标为(0,1)，再利用公共弦长为<<2\sqrt{6">>>即可求解；（2）（i）设直线l斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由<<\equ2{`y=`k`x+1">{\sup{`x">{2">=4`y">>>得x 2+16kx-64=0，根据条件可知<<\onu{`A`C">{→">=\onu{`B`D">{→">>>，从而可以建立关于k的方程，即可求解； （ii）根据条件可说明<<\onu{`F`A">{→">•\onu{`F`M">{→">=\frac{\udx{2">{1">">{2">-\sub{`y">{1">+1=\frac{\udx{2">{1">">{4">+1＞0>>，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180º-∠AFM 是钝角，即可得证 试题解析：（1）由C 1:x 2=4y知其焦点F的坐标为(0,1)，∵F也是椭圆C 2的一焦点， ∴a 2-b 2=1①，又C 1与C 2的公共弦的长为<<2\sqrt{6">>>，C 1与C 2都关于y轴对称，且C 1的方程为x 2=4y, 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为<<(±\sqrt{6">,\frac{2">{3">),∴\frac{9">{\sup{4a">{2">">+\frac{6">{\sup{b">{2">">=1>>②，联立①，②，得a 2=9,b 2=8，故C 2的方程为<<\frac{\sup{`x">{2">">{9">+\frac{\sup{`y">{2">">{8">=1>>； （2）如图f,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4) （i）∵<<\onu{`A`C">{→">与\onu{`B`D">{→">>>同向，且|AC|=|BD|,<<∴\onu{`A`C">{→">=\onu{`B`D">{→">,>>从而x 3-x 1=x 4-x 2，即x 1-x 2=x 3-x 4，于是(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=(x 3+x 4) 2-4x 3x 4③，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由<<\equ2{`y=`k`x+1">{\sup{`x">{2">=4`y">>>得x 2+16kx-64=0，而x 1,x 2是这个方程的两根，∴x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4④，由<<\equ2{`y=`k`x+1">{\frac{\sup{`x">{2">">{8">+\frac{\sup{`y">{2">">{9">=1">>>得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0，而x 3,x 4是这个方程的两根，<<∴\sub{`x">{3">+\sub{`x">{4">=-\frac{16`k">{9+8\sup{`k">{2">">,\sub{`x">{3">\sub{`x">{4">=-sup{`k">{2">+1)=\frac{\sup{16">{2">\sup{`k">{2">">{\sup{(9+8\sup{`k">{2">)">{2">">+\frac{4×64即<<16(\sup{`k">{2">+1)=\frac{\sup{16">{2">×9(\sup{`k">{2">+1)">{\sup{(9+8\sup{`k">{2">)">{2">">>>, ∴(9+8k 2) 2=16×9，解得<<`k=±\frac{\sqrt{6">">{4">>>，即直线l的斜率为<<±\frac{\sqrt{6">">{4">>>. （ii）由x 2=4y得<<`y'=\frac{`x">{2">>>，∴C 1在点A处的切线方程为<<`y-\sub{`y">{1">=\frac{\sub{`x">{1">">{2">(`x-\sub{`x">{1">)>>，即<<`y=\sub{`x">{1">`x-\frac{\udx{2">{1">">{4">>>，令y=0，得<<`x=\frac{\sub{`x">{1">">{2">>>，即<<`M(\frac{\sub{`x">{1">">{2">,0)>>，<<∴\onu{`F`M">{→">=(\frac{\sub{`x">{1">">{2">,-1)>>，而<<\onu{`F`A">{→">=(\sub{`x">{1">,\sub{`y">{1">-1)>>，于是<<\onu{`F`A">{→">•\onu{`F`M">{→">=\frac{\udx{2">{1">">{2">-\sub{`y">{1">+1=\frac{\udx{2">{1">">{4">+1＞0>>，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180º-∠AFM 是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形.21.（1）详见解析；（2）详见解析. 解析：（1）求导，可知<<`f'(`x)=\sup{`e}{`a`x}(`a`s`i`n`x+`c`o`s`x)=\sup{`e}{`a`x}(`a`s`i`n`x+`c`o`s`x)=\sqrt{\sup{`a}{ρ)>>，利用三角函数的知识可求得f(x)的极值点为x n =nπ-ρ(n∈N +)，即可得证； （2）分析题意可知，问题等价于<<\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}＜\frac{\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}}{`a(`n`π-`ρ)}>>恒成立，构造函数<<`g(`t)=\frac{\sup{`e}{`t}}{`t}>>，利用导数判断其单调性即可得证. 试题解析：（1）<<`f'(`x)=\sup`{a`e}{`a`x}`s`i`n`x+\sup{`e}{`a`x}`c`o`s`x=\sup{`e}{`a`x}(`a`s`i`n`x+`c`o`s`x)=\sq ρ)>>. 其中<<`t`a`n`ρ=\frac{1}{`a},0＜`ρ＜\frac{`π}{2}>>,令f'(x)=0，由x≥0得x+ρ=m π，即x=mπ-ρ,m∈N +,对k∈N，若2kπ＜x+ρ＜(2k+1)π，即2kπ-ρ＜x＜(2k+1)π-ρ，则f'(x)＞0, 若(2k+1)π＜x+ρ＜(2k+2)π，即(2k+1)π-ρ＜x＜(2k+2)π-ρ，则f'(x)＜0, 因此，在区间((m-1)π,mπ-ρ)与(mπ-ρ,mπ)上，f'(x)的符号总相反，于是当x=mπ-ρ(m∈N +)时,f(x)取得极值，∴x n =nπ-ρ(n∈N +), 此时，<<`f(\sub{`x}{`n})=\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}`s`i`n(`n`π-`ρ)=\sup{(-1)}{`n+1}\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}`s`i`n`ρ>>，易知f(x n )≠0，而 <<\frac{`f(\sub{`x}{`n+1})}{`f(\sub{`x}{`n})}=\frac{\sup{(-1)}{`n+2}\sup{`e}{`a[(`n+1)`π-`ρ]}`s`i`n`ρ}{\sup{(-1)}{`n+1}\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}`s`i`n`ρ}=-\sup{`e}{`a`x}>>是非零常数，故数列{f(x n )}是首项为f(x 1)=e a(nπ-ρ)sinρ,公比为-e ax 的等比数列； （2）由（1）知，<<`s`i`n`ρ=\frac{1}{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}>>，于是对一切n∈N +,x n ＜|f(x n )|恒成立，即<<`n`π-`ρ＜\frac{1}{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}>>恒成立，等价于<<\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}＜\frac{\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}}{`a(`n`π-`ρ)}>>（•）恒成立（∵a＞0）， 设<<`g(`t)=\frac{\sup{`e}{`t}}{`t}(`t＞0)>>，则< >，令g'(t)=0，得t=1, 当0＜t＜1时，g'(t)＜0，∴g(t)在区间(0,1)上单调递减； 当t＞1时，是（•）式恒成立，只需<<\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}＜`g(1)=`e>>，即只需<<`a＞\frac{1}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}>>，而当<<`a=\frac{1}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}>>时，<<`t`a`n`ρ=\frac{1}{`a}=\sqrt{\sup{`e}{2}-1}＞\sqrt{3}>>，且<<0＜ρ＜\frac{π}{2}>>，于是<<`π-`ρ＜\frac{2`π}{3}＜\sqrt{\sup{`e}{2}-1}>>，且当n≥2时,<<`n`π-`ρ≥2`π-`ρ≥\frac{3`π}{2}＞\sqrt{\sup{`e}{2}-1}>>，因此对一切n∈N +, <<\sub{`a`x}{`n}=\frac{`n`π-`ρ}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}≠1,∴g(\sub{`a`x}{`n})＞`g(1)=`e=\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}>>，故（•）式亦恒成立.综上所述，若<<`a≥\frac{1}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}>>，则对一切n∈N +,x n ＜|f(x n )|11/11。

2015年湖南省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年湖南省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年湖南省高考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分,共50分1．（5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位）,则复数z=(）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点: 复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．解答：解:∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i,故选:D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合；简易逻辑．分析:直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．解答：解：A、B是两个集合，则“A∩B=A"可得“A⊆B"，“A⊆B"，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A"是“A⊆B”的充要条件．故选：C．点评：本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法,基本知识的应用．3．（5分）（2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．考点：程序框图．分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：判断前i=1，n=3,s=0，第1次循环，S=,i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选:B点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1D．2考点：简单线性规划．专题: 不等式的解法及应用．分析:由约束条件作出可行域,由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答:解：由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A，联立,解得C(0，﹣1）．由解得A（﹣2，1)，由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选:A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x)=ln（1+x）﹣ln(1﹣x）,则f(x)是(）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0,1）上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析:求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．解答：解:函数f（x）=ln(1+x）﹣ln(1﹣x）,函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x)﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x)﹣ln（1﹣x）］=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C,D，正确结果在A，B,只需判断特殊值的大小，即可推出选项,x=0时,f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+)﹣ln（1﹣)=ln3＞1，显然f（0）＜f(），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力．6．（5分)（2015•湖南)已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6D．﹣6考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析:根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式,令x 的指数为求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项,T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴,∴r=1，并且,解得a=﹣6．故选：D．点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）(2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2)，则P(μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)

2015年湖南省高考数学试卷(理科)

高考注意事项1．进入考场时携带的物品。

考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。

严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。

考场内不得自行传递文具等物品。

由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。

2．准确填写、填涂和核对个人信息。

考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。

填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定严肃处理。

监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员要求更正。

3．考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间参考。

考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以考点统一发出的铃声信号为准。

2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位）,则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）,则f（x）是（）A．奇函数,且在（0,1）上是增函数B．奇函数,且在（0,1）上是减函数C．偶函数,且在（0,1）上是增函数D．偶函数,且在（0,1）上是减函数6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30,则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣67．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ,a2）,则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．（5分）已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为（2,0）,则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=（）A． B．C．D．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11．（5分）（x﹣1）dx=．12．（5分）在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b,使函数g（x）=f（x）﹣b 有两个零点,则a的取值范围是．三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO 与直线CD相交于点F,证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5,）,直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0,b＞0,且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．七、标题19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖；若没有红球,则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X 的分布列和数学期望．21．如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点,证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向．（1）若|AC|=|BD|,求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明：直线l绕点F旋转时,△MFD 总是钝角三角形．23．（13分）已知a＞0,函数f（x）=e ax sinx（x∈[0,+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥,则对一切n∈N*,x n＜|f（x n）|恒成立．2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位）,则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位）,∴z===﹣1﹣i,故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题．2．（5分）设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”,“A⊆B”,可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法,基本知识的应用．3．（5分）执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,i＞n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果：S===故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力4．（5分）若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得C（0,﹣1）．由解得A（﹣2,1）,由,解得B（1,1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．易错点是图形中的B点．5．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）,则f（x）是（）A．奇函数,且在（0,1）上是增函数B．奇函数,且在（0,1）上是减函数C．偶函数,且在（0,1）上是增函数D．偶函数,且在（0,1）上是减函数【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）,函数的定义域为（﹣1,1）,函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x）,所以函数是奇函数．排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f（0）=0；x=时,f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1,显然f（0）＜f（）,函数是增函数,所以B错误,A正确．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力．6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30,则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣6【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为求得r,再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项,T r+1==；展开式中含x的项的系数为30,∴,∴r=1,并且,解得a=﹣6．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ,a2）,则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413,即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413,∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413,故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题．8．（5分）已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为（2,0）,则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题意,AC为直径,所以||=|2+|．B为（﹣1,0）时,|2+|≤7,即可得出结论．【解答】解：由题意,AC为直径,所以||=|2+|所以B为（﹣1,0）时,|2+|≤7．所以||的最大值为7．另解：设B（cosα,sinα）,|2+|=|2（﹣2,0）+（cosα﹣2,sinα）|=|（cosα﹣6,sinα）|==,当cosα=﹣1时,B为（﹣1,0）,取得最大值7．故选：B．【点评】本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础．9．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=（）A． B．C．D．【分析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=,不妨x1=,x2=,即g（x）在x2=,取得最小值,sin（2×﹣2φ）=﹣1,此时φ=,不合题意,x1=,x2=,即g（x）在x2=,取得最大值,sin（2×﹣2φ）=1,此时φ=,满足题意．另解：f（x）=sin2x,g（x）=sin（2x﹣2φ）,设2x1=2kπ+,k∈Z,2x2﹣2φ=﹣+2mπ,m ∈Z,x1﹣x2=﹣φ+（k﹣m）π,由|x1﹣x2|min=,可得﹣φ=,解得φ=,故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是好题,题目新颖．有一定难度,选择题,可以回代验证的方法快速解答．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．【分析】根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形,高为x,利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣）,0＜x＜2,求解体积式子,利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥,∵底面半径为1,高为2,∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,∴此长方体底面边长为n的正方形,高为x,∴根据轴截面图得出：=,解得；n=（1﹣）,0＜x＜2,∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x,Ω′=x2﹣4x+2,∵,Ω′=x2﹣4x+2=0,x=,x=2,∴可判断（0,）单调递增,（,2）单调递减,Ω最大值=2（1﹣）2×=,∴原工件材料的利用率为=×=,故选：A．【点评】本题很是新颖,知识点融合的很好,把立体几何,导数,概率都相应的考查了,综合性强,属于难题．二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11．（5分）（x﹣1）dx=0．【分析】求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．12．（5分）在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4．【分析】根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据,得；成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．【点评】本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了系统抽样方法的应用问题,是基础题目．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为．【分析】设F（c,0）,P（m,n）,（m＜0）,设PF的中点为M（0,b）,即有m=﹣c,n=2b,将中点M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到．【解答】解：设F（c,0）,P（m,n）,（m＜0）,设PF的中点为M（0,b）,即有m=﹣c,n=2b,将点（﹣c,2b）代入双曲线方程可得,﹣=1,可得e2==5,解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,同时考查中点坐标公式的运用,属于中档题．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=3n﹣1．【分析】利用已知条件列出方程求出公比,然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q,S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,可得4S2=S3+3S1,a1=1,即4（1+q）=1+q+q2+3,q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,基本知识的考查．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b,使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点,则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} ．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点,即y=f（x）与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点,∴f（x）=b有两个零点,即y=f（x）与y=b的图象有两个交点,由x3=x2可得,x=0或x=1①当a＞1时,函数f（x）的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a＞1满足题意②当a=1时,由于函数f（x）在定义域R上单调递增,故不符合题意③当0＜a＜1时,函数f（x）单调递增,故不符合题意④a=0时,f（x）单调递增,故不符合题意⑤当a＜0时,函数y=f（x）的图象如图所示,此时存在b使得,y=f（x）与y=b有两个交点综上可得,a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}【点评】本题考察了函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合、分类讨论的数学思想．三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO 与直线CD相交于点F,证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【分析】（1）证明O,M,E,N四点共圆,即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON,即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点,∴ON⊥CD,∵M为AB的中点,∴OM⊥AB,在四边形OMEN中,∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°,∴O,M,E,N四点共圆,∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中,∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°,∴△FEM∽△FON,∴=∴FE•FN=FM•FO．【点评】本题考查垂径定理,考查三角形相似的判定与应用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5,）,直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ,根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x,即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数）,普通方程为,（5,）在直线l上,过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18,由切割线定理,可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0,b＞0,且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【分析】（ⅰ）由a＞0,b＞0,结合条件可得ab=1,再由基本不等式,即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0,b＞0,以及二次不等式的解法,可得0＜a＜1,且0＜b＜1,这与ab=1矛盾,即可得证．【解答】证明：（ⅰ）由a＞0,b＞0,则a+b=+=,由于a+b＞0,则ab=1,即有a+b≥2=2,当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0,可得0＜a＜1,由b2+b＜2及b＞0,可得0＜b＜1,这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【点评】本题考查不等式的证明,主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法,属于中档题．七、标题19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0,）,可得0＜sinA＜,化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA ﹣）2+,由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==,∴sinB=cosA,即sinB=sin（+A）又B为钝角,∴+A∈（,π）,∴B=+A,∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0,∴A∈（0,）,∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+,∵A∈（0,）,∴0＜sinA＜,∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（,]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用,涉及二次函数区间的最值,属基础题．20．某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖；若没有红球,则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X 的分布列和数学期望．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件A2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},利用A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,判断X～B．求出概率,得到X的分布列,然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件B2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},由题意A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,且B1=A1A2,B2=+,C=B1+B2,因为P（A1）=,P（A2）=,所以,P（B1）=P（A1）P（A2）==,P（B2）=P（）+P（）=+==,故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,由（1）可知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是,P（X=0）==,P （X=1）==,P（X=2）==,P（X=3）==．故X的分布列为：X0123PE（X）=3×=．【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一,是反映随机变量取值分布的特征数,学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫,它在市场预测,经济统计,风险与决策等领域有着广泛的应用,为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点,证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积．【分析】（1）首先以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出一些点的坐标,Q在棱BC上,从而可设Q（6,y1,0）,只需求即可；（2）设P（0,y2,z2）,根据P在棱DD1上,从而由即可得到z2=12﹣2y2,从而表示点P坐标为P（0,y2,12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直,从而得出y1=y2,从而Q点坐标变成Q（6,y2,0）,设平面PQD的法向量为,根据即可表示,平面AQD的一个法向量为,从而由即可求出y2,从而得出P点坐标,从而求出三棱锥P﹣AQD的高,而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积,从而求出四面体的体积．【解答】解：根据已知条件知AB,AD,AA1三直线两两垂直,所以分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则：A（0,0,0）,B（6,0,0）,D（0,6,0）,A1（0,0,6）,B1（3,0,6）,D1（0,3,6）；Q在棱BC上,设Q（6,y1,0）,0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点,则P；∴,；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0,y2,z2）,y2,z2∈[0,6],P在棱DD1上；∴,0≤λ≤1；∴（0,y2﹣6,z2）=λ（0,﹣3,6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0,y2,12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6,y2,0）；设平面PQD的法向量为,则：；∴,取z=1,则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4,或y2=8（舍去）；∴P（0,4,4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4,且；∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=．【点评】考查建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法,共线向量基本定理,直线和平面平行时,直线和平面法向量的关系,平面法向量的概念,以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系,三棱锥的体积公式．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向．（1）若|AC|=|BD|,求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明：直线l绕点F旋转时,△MFD 总是钝角三角形．【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同,得到a2﹣b2=1,再根据C1与C2的公共弦长为2,得到=1,解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标,（1）根据向量的关系,得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4,设直线l的方程,分别与C1,C2构成方程组,利用韦达定理,分别代入得到关于k 的方程,解得即可；（2）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程,求出点M的坐标,利用向量的乘积∠AFM是锐角,问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0,1）,因为F也是椭圆C2的一个焦点,∴a2﹣b2=1,①,又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2的都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±,）,所以=1,②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,D（x4,y4）,（1）因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3﹣x1=x4﹣x2,即x1﹣x2=x3﹣x4,于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4,③设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由,得x2﹣4kx﹣4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,④由,得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=,x3x4=﹣,⑤将④⑤代入③,得16（k2+1）=+,即16（k2+1）=,所以（9+8k2）2=16×9,解得k=±．（2）由x2=4y得y′=x,所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1）,即y=x1x﹣x12,令y=0,得x=x1,M（x1,0）,所以=（x1,﹣1）,而=（x1,y1﹣1）,于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角,故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形．【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系,关键是联立方程,构造方程,利用韦达定理,以及向量的关系,得到关于k的方程,计算量大,属于难题．23．（13分）已知a＞0,函数f（x）=e ax sinx（x∈[0,+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥,则对一切n∈N*,x n＜|f（x n）|恒成立．【分析】（Ⅰ）求出导数,运用两角和的正弦公式化简,求出导数为0的根,讨论根附近的导数的符号相反,即可得到极值点,求得极值,运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜,①设g（t）=（t＞0）,求出导数,求得最小值,由恒成立思想即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ）,tanφ=,0＜φ＜,令f′（x）=0,由x≥0,x+φ=mπ,即x=mπ﹣φ,m∈N*,对k∈N,若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π,即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ,则f′（x）＜0,因此在（（m﹣1）π﹣φ,mπ﹣φ）和（mπ﹣φ,（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ,n∈N*,f（x）取得极值,所以x n=nπ﹣φ,n∈N*,此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ,易知f（x n）≠0,而==﹣e aπ是常数,故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ,公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜,①设g（t）=（t＞0）,g′（t）=,当0＜t＜1时,g′（t）＜0,g（t）递减,当t＞1时,g′（t）＞0,g（t）递增．t=1时,g（t）取得最小值,且为e．因此要使①恒成立,只需＜g（1）=e,只需a＞,当a=,tanφ==,且0＜φ＜,可得＜φ＜,于是π﹣φ＜＜,且当n≥2时,nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞,因此对n∈N*,ax n=≠1,即有g（ax n）＞g（1）=e=,故①亦恒成立．综上可得,若a≥,则对一切n∈N*,x n＜|f（x n）|恒成立．【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间,主要考查三角函数的导数和求值,同时考查等比数列的定义和通项公式的运用,考查不等式恒成立问题的证明,属于难题．。

数学-2015年高考真题——湖南卷(理)部分(word版含解析)

数学-2015年高考真题——湖南卷(理)部分(word版含解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分. 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 2.设A,B 是两个集合，则”AB A =”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =()A.67 B.37 C.89 D.494.若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.2 5.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数6.已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-67.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386B.2718C.3413D.4772附：若2(,)XN μσ，则()0.6826P μσμσ-≤+=，(22)0.9544P μσμσ-≤+=8.已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为（2,0），则PA PB PC ++的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9 9.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 （材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）A.89πB.169π 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.20(1)x dx ⎰-= .12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示. 若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .13.设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段P F 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .14.设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = .15.已知函数32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是 . 三、解答题16.（本小题满分12分）本小题设有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。

2015年湖南高考理科数学试题及答案word精校版(湖南卷)

2015年湖南高考理科数学试题及答案word精校版(湖南卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）
本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知
1i2
z
1i（i为虚数单位），则复数z=（
）
A.1iB.1iC.1iD.1i
A.2386B.2718C.3413D.4772
附：若XN(,2)，则
A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数
C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数
a53
x
A.3B.3C.6D-6
7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲
线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）
2.设A,B是两个集合，则”ABA”是“AB”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.执行如图1所示的程序框图，如果输入n3，则输出的S()
384
B.C.D.
7799
xy1
y1
A.-7B.-1C.1D.2
5.设函数f

普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理数答案解析(正式版)(原卷版).docx

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --2.设A,B 是两个集合，则”A B A =”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A.67 B.37 C.89 D.494.若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.25.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数6.已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ） A.3 B.3- C.6 D-67.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386B.2718C.3413D.47728.已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为（2,0），则PA PB PC ++的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.99.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512π B.3π C.4π D.6π 10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ） A.89π B.169π C.34(21)π- D.312(21)π-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.20(1)x dx ⎰-= .12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一 个端点，则C 的离心率为 .14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = .15.已知32,(),x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围 是 .三、解答题16.(Ⅰ)如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB 、CD 的中点分别是M 、N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）0180MEN NOM ∠+∠=；（2）FE FN FM FO ∙=∙（Ⅱ）已知直线352:132x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M 的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ∙的值.（Ⅲ）设0,0a b >>，且11a b a b +=+. （1）2a b +≥；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角》(1)证明：2B A π-=（2）求sin sin A C +的取值范围18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望..19.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P 、Q 分别在棱1DD 、BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若PQ//平面11ABB A ，二面角P-QD-A 的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.20.已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为26.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A 、B 两点，与2C 相交于C 、D 两点，且AC 与BD 同向 （ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形21.已知0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点,证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列（2）若211a e ≥-，则对一切*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立.。

2015年湖南理科数学解析版

2015年湖南理科数学解析版
【答案】 B ( )
x y 1 4.若变量 x, y 满足约束条件 2 x y 1 则 z 3x y 的最小值为 y 1
A. 7 B. 1 C.1 D.2
x y 1 【解析】作出变量 x, y 满足约束条件 2 x y 1 的可行域为 y 1
2 2
1 p( 1 x 1) 0.3413 2
PC 的最大值为
A.6 B.7 C.8
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( D.9
)
【解析】因为 AB BC ,不妨设 A( 1,0), C (1,0) , B 在圆 x 2 y 2 1 除去 A, C 两点
的圆周上，设 B (sin , cos ) . PA PB PC ( 3,0) ( 1,0) (sin 2, cos )
2 2 cos
将 2 x 2 y 2 , cos x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为
①
x2 y2 2 x 0
②
(ii)将直线 l 的参数方程化为一般方程得: 3 y x 2 0
③
1 3 ), B ( 2,0) . 将③代入②,得 A( , 2 2
(i)证明 : B A

2
(ii)求 sin A sin C 的取值范围. 【答案】(i)由 a b tan A 及正弦定理,得 sin A sin B
sin B sin(

2
sin A ,所以 sin B cos A ,即 cos A
A)
又 B 为钝角,因此

若将运动员按成绩由好到差编为 1-35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人 , 则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数为________. 【答案】 4 13.设 Sn 为等比数列 an 前 n 项和， 若 a1 1, 且3S1 ,2 S2 , S3 成等差数列， 则 an 【解析】因为 3S1 ,2 S2 , S3 成等差数列 所以 4 S2 3S1 S3 即 4( a1 a2 ) 3a1 a1 a2 a3 即 3a2 a3 即q .

2015年湖南省高考理科数学试卷和答案(分开

2015年湖南省高考理科数学试卷和答案(分开

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．1．已知2(1)1i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =( ) A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --2．设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A ．76B ．73C ．98D ．944．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则y x z -=3的最小值为( )A ．7-B ．1-C ．1D ．25． 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是( )A ． 奇函数，且在)1,0(是增函数B ． 奇函数，且在)1,0(是减函数C ． 偶函数，且在)1,0(是增函数D ． 偶函数，且在)1,0(是减函数 6．已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=a ( )A ．3B ．3-C ．6D ．6-7． 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为( )A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ．8． 已知点A ，B ，C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ ． 若点P 的坐标为)0,2(, 则||PC PB PA ++的最大值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．99． 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||min 21π=-x x ，则=ϕ( )A ．125πB ．3πC ．4πD ．6π10． 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=）( )A ．π98B ．π916C ．π2124）－（D ．π21212）－（二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．⎰=-2)1(dx x __________．12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________．13．设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．14．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________．15．已知函数32,,(),x x a f x x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题．．．．作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分． Ⅰ．（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ．证明：（i ）180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅．FⅡ．（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=．（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值． Ⅲ．（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲 设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： （i ）2≥+b a ；（ii ）22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．17．(本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角． (Ⅰ)证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围．18．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(Ⅱ)若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．19． (本小题满分13分) 如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上． (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1；(Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积．20． (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62． (Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且与BD 同向． （i ） 若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．21． (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点． 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立．BD1.【解析】由题意得，得2(1)2111i iz i i i--===--++．故选D ． 考点：复数的运算．2.【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件．故选C ． 考点：集合的关系．3.【解析】由题意得，输出的S 为数列1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前三项和，而1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，所以11(1)22121n n S n n =-=++，从而337S =．故选B ． 考点：程序框图，裂项相消求数列的和．4.【解析】如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当2x =-，1y =时，y x z -=3的最小值是7-．故选A ．考点：线性规划．5.【解析】试题分析：显然，()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称，又∵()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，∴()f x 为奇函数，显然()f x 在(0,1)上单调递增．故选A ． 考点：函数的性质． 6.【解析】5215(1)r r rrr T C a x -+=-，令1r =，可得530a -=，从而6a =-．故选D ．考点：二项式定理．7.【解析】根据正态分布的性质，1(01)(11)0.34132P x P x <<=-<<=．故选C ． 考点：正态分布．8.【解析】由题意得AC 为圆的直径，故可设(,)A m n ，(,)B m n --，(,)C x y ，∴(6,)PA PB PC x y ++=-，而22(6)371249x y x -+=-≤，∴||PC PB PA ++的最大值为7．故选B ． 考点：圆的9.【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨设ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-．故选D ．考点：三角函数的图象和性质．10.【解析】问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如下图所示，则有212x h-=，∴22h x =-， ∴长方体的体积为22(2)(22)x h x x =-4(22)x x x =-3224()3x x x ++-≤3227=，当且仅当2223x x x =-=即时，等号成立， ∴利用率为232162719123ππ=．故选A ． 考点：圆锥内接长方体，基本不等式求最值． 11.【解析】⎰=-2)1(dx x 2201|02x x -=．考点：定积分的计算． 12.13.【解析】根据对称性，不妨设(,0)F c ，短轴端点为(0,)b ，从而可知点(,2)c b -在双曲线上，∴222241c b a b -=，从而ce a==．考点：双曲线的标准方程及其性质．14.【解析】等比数列}{n a 中2111S a a q q =+=+，231S q q =++，∴24(1)31q q q +=+++，解得3q =，∴13n n a -=．考点：等比、等比数列的通项公式及其前n 项和．15.【解析】分析题意可知问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数为2，俯视图侧视图正视图若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，从而1>a ；若方程)(3a xb x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab ab 31有解，从而0<a ； 综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ ． 考点：函数与方程，分类讨论的数学思想．16.Ⅰ．【解析】(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即90=∠=∠ONE OME ，因此180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于360，故 180=∠+∠NOM MEN ．(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅．17.【解析】（Ⅰ）由A b a tan =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π． 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B ．(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A ． 于是 )22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(sin 2sin 21sin 22+--=-+=A A A因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A ． 由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(． 16.Ⅱ．【解析】 (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=，将 222y x +=ρ，x=θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x ．(ii )将5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入0222=-+x y x 得018352=++t t ．设这个方程的两个实根16.Ⅲ．【解析】 由abba b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab (i )由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ．(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理10<<b ，从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t t18.【解析】（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}．由题意1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=．又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ， 所以512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ，)()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P ,故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P ．(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验． 由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ， 于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KKK．X 的数学期望为553)(=⨯=X E ．19.【解析】 解法一：（Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,,因为1AA ,1DD 是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //， 于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面．由题设知AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以 ⊥BC 平面11A ABB , 又⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥．因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠, 所以11AB A ABR ∠=∠，因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BAB ABR , 于是 1AB BR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC ,显然有⊂PQ平面BRPC , 故PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ，D因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ， 过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，从而PNM ∠是二面角A QD P --的平面角．所以73cos =∠PNM ，即73=PN MN ，从而340=MN PM ． 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知， 平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6． 设MD ＝t ，则.366222ttMDMQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形，所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE ．于是21==DE ED MD PM , 所以t MD PM 22==， 从而tt t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM ． 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D ,)0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m ．(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅, 所以AB ⊥1，即PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n DQ n即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=． 又平面AQD 的一个法向量是)1,0,0(2=n ， 所以 45)6(336)6(3||||,cos 2222212121+-=++-=⋅>=<m m n n n n ，而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q ．BD再设)10(1≤<=λλDD DP ，而)6,3,0(1-=DD ， 由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=PQ ．因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn ，32=λ，从而)4,4,0(P ． 于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．20.【解析】(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba （2） 联立（1）、（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y ． (Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D ．(i )因与BD 同向，且||||BD AC =， 所以 BD AC =，从而 2413x x x x -=-， 即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+． （3） 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y ．由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12 得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x （4） 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以2212438964,8916k x x k k x x +-=+-=+ （5） 将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+， 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±． (ii )由 y x 42=得 2'x y =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1xM ， 所以)1,2(1-=x ，而)14,(211-=x x ，2015年湖南省高考理科数学试卷和答案(分开11 / 11 于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x ， 因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠ 180是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．21.【解析】(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<． 令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ．对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f ． 因此，在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反，于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ．此时，()1()()sin()(1)sin a n n a n n f x e n e πφπφπφϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ， 且2[(1)]11()()(1)sin ()(1)sin n a n a n n a n n f x e e f x e πφππφϕϕ++-++--==--是常数， 故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a ex f ，公比为πa e -的等比数列． (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立， 即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a >0）． 设)0()(>=t t e t g t ，则2(1)'()t e t g t t -=，由'()0g t =得1=t ， 当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增．从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(．因此，要使（*）式恒成立，只需e g aa =<+)1(12，即只需112->e a ． 而当112-=e a 时，由311tan 2>-==e a ϕ且20πϕ<<知，23πϕπ<<． 于是1322-<<-e πϕπ，且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ， 因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以a a e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立． 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n xf x <恒成立．。

15年高考真题——理科数学(湖南卷)

15年高考真题——理科数学(湖南卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i --2．设,A B 是两个集合，则“AB A =”是“A B ⊆”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =（ ） （A ）67 （B ）37 （C ）8 （D ）494．若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（ ） （A ）7- （B ）1- （C ）1 （D ）25．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（ ） （A ）奇函数，且在()0,1上是增函数 （B ）奇函数，且在()0,1上是减函数 （C ）偶函数，且在()0,1上是增函数 （D ）偶函数，且在()0,1上是减函数6．已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）（A（B） （C ）6 （D ）6-7．在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布()0,1N 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）（A ）2386 （B ）2718 （C ）3413 （D ）47728．已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥。

若点P 的坐标为()2,0，则||PA PB PC ++的最大值为（ ） （A ）6（B ）7 （C ）8（D ）99．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移()02ϕϕπ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足()()12||2f x g x -=的12,x x ，有12min ||x x π-=，则ϕ=（ ）结束开始11y xOC（A ）512π （B ）3π （C ）4π （D ）6π 10．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）（A）(-∞ （B）(-∞ （C）(- （D）(二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．()201x dx ⎰-=____________。

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本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分. 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.
1.已知
()2
11i i z
-=+（i 为虚数单位）
，则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --
【答案】D.
考点：复数的计算.
2.设A,B 是两个集合，则”A
B A =”是“A B ⊆”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】C. 【解析】
试题分析：由题意得，A
B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，
选C .
考点：集合的关系.
3.执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A.
67 B.37 C.89 D.4
9
=
y时，
1
=3的最小值是7
z-
x
y
-，故选A.
考点：线性规划.
5.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）
A.奇函数，且在(0,1)上是增函数
B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数
C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数
D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 【答案】A. 【解析】
试题分析：显然，)(x f 定义域为)1,1(-，关于原点对称，又∵
)()1ln()1ln()(x f x x x f -=+--=-，∴)(x f
7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）
A.2386
B.2718
C.3413
D.4772
【答案】C.
考点：正态分布.
A.
512π B.3π C.4π D.6
π 【答案】D. 【解析】
试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不
妨
ππ
k x 22
21+=
，ππ
ϕm x 22
222+-
=-，∴πϕπ
)(2
21m k x x -+-=
-，又∵
12min 3
x x π
-=
，
∴
6
3
2
π
ϕπ
ϕπ
=
⇒=
-，故选D.
考点：三角函数的图象和性质.
10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
新工件的体积
原工件的体积
）（ ）
A.89π
B.16
9π
C.31)π
D.31)π
【答案】A.
考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.2
0(1) x dx
⎰-= . 【答案】0.
【解析】
试题分析：
0)2
1()1(22
2
0=-=-⎰x x dx x . 考点：定积分的计算.
12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示. 若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .
【答案】4. 【解析】
试题分析：由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为
435
7
20=⨯
人. 考点：1.系统抽样；2.茎叶图.
14，设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且12
33,2,S S S 成等差数列，则n a = . 【答案】32+n -.
考点：等差数列的通项公式及其前n 项和.
15，已知32,(),x x a
f x x x a
⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取
值范围
是 .
【答案】),1()0,(+∞-∞ . 【解析】
试题分析：分析题意可知，问题等价于方程)(3
a x
b x ≤=与方程)(2
a x
b x >=的根的个数和
为2，
若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 3
1
有解，从而1>a ；
若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2
a x
b x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨
⎧>->a
b a b 31
有解，从而
0<a ；
，综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ . 考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.。

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