百校联盟2020届高考理科数学模拟试卷及答案解析
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(全国Ⅰ卷)(含答案解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，，，则A. B.C. D.2.已知i为虚数单位，复数在复平面内所对应点，则A. B. C. D.3.已知向量，，则实数m的值为A. B. C. D. 14.已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数它指的是，在自然况下没有外力介入，同时所有人都没有免疫力，一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间单位：天根据统计，确病例的平均增长率为，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为A. 81B. 243C. 248D. 3635.已知，，则A. B. C. D.6.2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于A. 第3组B. 第4组C. 第5组D. 第6组7.已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数的取值范围是A. B. C. D.8.已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD是底面圆O上的弦，为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为A. B. C. D.9.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，抛物线的准线l过点，设P是直线l与椭圆的交点，Q是线段与抛物线的一个交点，则A. B. C. D.10.已知实数a，b，满足，当取最大值时，A. B. 1 C. D. 211.设双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线l分与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过，且，以下结论正确的个数是双曲线C的离心率为；双曲线C的渐近线方程；直线l的斜率为1．A. 0B. 1C. 2D. 312.已知定义在R上的奇函数满足，则的最小值是A. B. C. ln6 D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图如图若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为______．14.已知函数关于对称，则的解集为______．15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，，则______，若，则的面积为______．16.在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为底部及筒壁厚度忽略不计，一长度为的圆铁棒粗细忽略不计斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图已知、，A，B分別为PD，PC的中点，将沿AB 折起，得到四棱锥，E为的中点．证明：平面ABE；当正视图方向与向量的方向相同时，的正视图为直角三角形，求此时二面角的余弦值．18.已知等差数列的前n项和，，，，数列的前n项和，．判断是等比数列，并求；求数列的前n项和．19.2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元辆和8万元辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车辆10204525100B型出租车辆153********填写如表，并判断是否有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：，其中．k20.已知函数，且是的极值点．求的最小值；是否存在实数b，使得关于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由．21.已知直线与椭圆C：交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为，若直线与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线上一点．求P点的轨迹方程；若为概圆C的上顶点，直线l与y轴交点G，记S表示面积，求的最大．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程；过曲线上一点P作直线l与曲线交于A，B两点，中点为D，，求的最小值．23.已知函数．求的最小值M；若正实数a，b，c满足了，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：因为，，；故选：C．先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2.答案：A解析：解：，，得．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的实部与虚部，消参数得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：解：，，，，即，解得，故选：B．先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出，再根据数量积的坐标运算法则表示出，从而得到关于m的方程，解之即可．本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4.答案：D解析：解：由题意知，，所以得病总人数为：人．故选：D．根据题意求出RO的值，再计算得病总人数．本题考查了等比数列的前n项和的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：解：，，因为，所以，所以故选：B．先结合对数的换底公式对已知对数式进行化简，然后结合对数函数的单调性即可比较大小．本题主要考查了对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础试题．6.答案：C解析：解：数据的极差为，分成7组，组距为，第5组的范围是，中位数为应位于第5组内．故选：C．求出数据的极差，分成7组，可求组距为，第5组的范围是，即可求得中位数为应位于第5组内．本题考查茎叶图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7.答案：A解析：解：函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数为在上恰有5个不同的x值，使其取到最值；，，则正实数，故选：A．由题意利用正弦函数的图象和性质，可得，由此可得结果．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8.答案：B解析：解：设，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则，，或其补角为其异面直线OC与PD所成角，在中，，，．故选：B．设，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则，，或其补角为其异面直线OC与PD所成角，由此能求出异面直线OC 与PD所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.答案：A解析：解：由题意，，则抛物线方程为．计算可得，．过Q作直线l与M，由抛物线的定义知，．，，解得：故选：A．由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解的值．本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10.答案：B解析：解：由得，利用辅助角公式可得：，其中，所以最大值为2，当且仅当时成立，所以，则，，则，故选：B．根据辅助角公式可得，进而可求得答案本题考查三角函数的恒等变形，关键是用三角函数表示a、b．11.答案：C解析：解：由MN为直径的圆过，且，可得，且，设，则，由，，两式相减可得，即有，设H为MN的中点，在直角三角形中，可得，化为，，故正确；又，可得，故正确；因为，所以，所以直线l的斜率为，故错误．故选：C．由题意可得，且，设，则，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合双曲线的离心率公式和渐近线方程，直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：由题意可得，所以，，故在R上单调递增，则，作出可行域如图所示，其中，，，设，则由图象可知，设与相切于点，由，令可得，，故与相切于点时，z取得最小值．故选：B．由已知可求a，然后对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而可得关于x，y的不等式组，结合线性规划知识即可求解．本题综合考查了导数与单调性的关系的应用及利用线性规划知识求解目标函数的最值，体现了转化思想及数形结合思想的应用．13.答案：解析：解：由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，则这两项来自影响稍弱区的概率是：．故答案为：．由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，由此能求出这两项来自影响稍弱区的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：函数关于对称，，，则由，结合图象可得，求得，故答案为：．先求出a的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及，求出x的范围．本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题．15.答案：解析：解：，由正弦定理可得：，可得，，，且，可得，，，又，，，，，．故答案为：，．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合，可得，结合范围，可求，进而根据余弦定理可求ac的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：解析：解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm，高为18cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h构成直角三角形，所以，解得，所以容器内水面的高度为14cm，设球的半径为R，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为，球心到截面圆的距离为，所以，解得；所以球的表面积为故答案为：．根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h构成直角三角形求出容器内水面的高度h，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积．本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题．17.答案：证明：由平面图可知，，，又，平面，得．为的中点，，．，平面ABE；解：的正视图与全等，为直角三角形，故，以A为原点，分别以AB、AD、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则0，，1，，0，，0，，1，，，，，．设平面BEC的一个法向量为，由，取，得．为平面ABE的一个法向量，设二面角为，．二面角为钝角，，故二面角的余弦值为．解析：由平面图可知，，，得到平面，得，再由已知可得由直线与平面垂直的判定可得平面ABE；由的正视图与全等，为直角三角形，得，以A为原点，分别以AB、AD、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC的一个法向量与平面ABE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.答案：解：．时，，化为：，，时，，解得．是等比数列，首项与公比都为2，．设等差数列的公差为d，，，，，联立解得：，，．．数列的前n项和．．相减可得：．化为：．数列的前n项和．解析：时，，化为：，变形为：，进而证明结论．利用通项公式考点．设等差数列的公差为d，由，，利用通项公式可得：，，联立解得：，d，可得可得利用错位相减法与等差数列得求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：补充完整的列联表如下所示，使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型 30 70 100B型 50 50 100总计 80 120 200，有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关．由题可知，A型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占；B型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占．的可能取值为0，1，2，，，．的分布列为X 0 1 2P数学期望．平均每辆出租车年上交公司6万元，且A，B两款车型的采购成本分别为11万元辆和8万元辆，两款出租车型的每辆车的利润如下表：使用寿命年5年 6年7年 8年数A 型B 型用频率估计概率，这100辆A型出租车的平均利润为万元，这100辆B型出租车的平均利润为万元，，故会选择采购B款车型．解析：先补充完整列联表，然后根据的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；的可能取值为0，1，2，先求出两种车型使用寿命不低于7年和低于7年的占比数，然后依据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；先求出两款出租车型的每辆车的利润，然后结合频数分布列求两种车型的平均利润，比较大小后，取较大者即可．本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望、平均数的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20.答案：解：，由是的极值点可得，即，经检验符合题意，，设，则在时恒成立，故在上单调递增且，所以，当时，即，函数单调递增，当时，即，函数单调递减，故当时，取得最小值，由在上恒成立可得，设，则，若，则时，，单调递减，所以，符合题意，若，则时，，单调递增，，不符合题意，若，则时，，当时，，单调递增，此时，不满足题意，综上，b的范围．解析：由已知结合极值存在条件可求m，然后结合导数单调性及最值的关系即可求解；由已知不等式代入整理可得，可考虑构造函数，结合导数与单调性的关系对b进行分类讨论可求．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值和最值，还考查了由不等式的恒成立求参数的范围问题，体现了分类讨论思想的应用．21.答案：解：设，，，联立得，则，则，将其代入得，因为，所以，即，故OD方程为，则，故，代入，得，消去m，可得P点的轨迹方程为；由题得，所以椭圆C的方程为，由知，，对于直线l，令，，则，所以，，，，所以，则，令，则，当，即时，取得最大值，此时，满足．解析：设，，，联立两方程，结合韦达定理可得，则，再带回直线方程进而得到，从而，消去m后可得；结合表示出，，，，再分别表示出两三角形的面积，利用换元思想得最值．本题考查点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合，转化思想、换元思想、函数思想等，综合性强，属于难题22.答案：解：曲线的参数方程为参数，整理得，又，两式相除得：，代入，得到．曲线的极坐标方程为根据转换为直角坐标方程为．设圆心到直线l的距离为d，则，解得．所以：，当最小时，最小，由于的最小值为圆心到直线的距离．根据，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由，可得，当时，取得等号，则最小值；证明：由a，b，，，可得，由柯西不等式可得，当且仅当，即时，取得等号，则，即．解析：由，可得，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M；由条件可得，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈R|x>1}，B={x∈R|x2≤4}，则A∪B=()A. [−2,+∞)B. (1,+∞)C. (1,2]D. (−∞,+∞)=()2.若复数z=m(m−1)+(m−1)i是纯虚数，其中m是实数，则1zA. −iB. 2iC. iD. −2i3.某中学共有360名教师，其中一线教师280名，行政人员55人，后勤人员25人，采取分层抽样，拟抽取一个容量为72的样本，则一线教师应该抽取()人．A. 56B. 28C. 11D. 54.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,−7)的圆交y轴于M，N两点，则｜MN｜等于()A. 2√6B. 8C. 4√6D. 105.执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出的S值为()A. 8B. 19C. 42D. 896.《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈(如图)．问它的体积是多少？”这个问题的答案是()A. 5立方丈B. 6立方丈C. 7立方丈D. 9立方丈7. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 7=4，则S 13= ( )A. 52B. 39C. 26D. 138. 在(3−x)(x +1)n (n ∈N ∗)的展开式中，已知各项系数之和为64，则x 3的系数是( )A. 10B. 20C. 30D. 409. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. 323B. 163C. 8√33 D. 16√2310. 如图，已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P 、Q ，若∠PAQ =60°，且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√33 B. √72 C. √396D. √311. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(0)=12，则不等式f(x)−12e x <0的解集为( )A. (−∞,12)B. (0,+∞)C. (12,+∞)D. (−∞,0)12.已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a2n=n−a n，a2n+1=a n+1，则S100=()A. 1306B. 1308C. 1310D. 1312二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,−2)，则(a⃗+2b⃗ )⋅a⃗=______ ．14.设变量x，y满足约束条件{y≥xx+2y−2≤0x+2≥0则z=|x−3y|的最大值是．15.函数f(x)=x2−2lnx的单调减区间是________．16.已知函数的部分图象如图所示，则f(0)=__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC，AD=1，BD=2√10，∠CAD=π4，tan∠ADC=−2，(1)求CD的长；(2)求ΔBCD的面积。
2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.若复数z=1+i3−4i，则|z−|=()A. 25B. √25C. √105D. 2253.下列函数中，既是偶函数，又在[0,+∞)上单调递减的函数是()A. y=1x2B. y=−x2C. y=−xD. y=−x2−2x+34.过双曲线x2−y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=()A. 4√33B. 2√3C. 6D. 4√35.某几何体的三视图如图所示，则关于该几何体的形状，下列叙述正确的是()A. 该几何体是由一个长方体与半个圆柱组成B. 该几何体是由一个长方体与半个球组成C. 该几何体是由一个圆柱截去了一半后所得的几何体正(主)视图侧(左)视图D. 该几何体是一个圆柱截去了14所得的几何体6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形A 1A 2…A 6的中心，若A 1(√154,14)，则点A 3的纵坐标为( )A. −√15+√38B. √15−√38C. 3√5−18D. 3√5+187. 如图，ABCD −A 1B 1C 1D 1是正方体，在底面A 1B 1C 1D 1上任取一点M ，则∠MAA 1≤π6的概率P =( )A. π15 B. π12 C. π9 D. π68. 执行如图所示的程序框图，输入的n 值为4，则S =( )A. 2B. 6C. 14D. 309. 已知实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么2x −y 的最大值为( )A. −3B. −2C. 1D. 210. 设tan(α−β)=3,tan(β+π4)=−2,则tan(α+π4)等于( )A. 17B. −17C. −35D. 3511. 设椭圆x 2a2+y 23=1(a >√3)的右焦点为F ，右顶点为A.已知1|OF |+1|OA |=3e|FA |，其中O 为原点，e为椭圆的离心率．则e =( )A. √32B. 12C. √22D. √3−112. 若函数f(x)=e x −ax 的极值为1，则实数a 的值为( )A. eB. 2C. √2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(2x −1)5的展开式中，含x 2的项的系数是__________(用数字填写答案)．14. 甲、乙、丙、丁4名同学参加了百米比赛的预赛．甲说：“我没进决赛”；乙说：“丙进了决赛”；丙说：“丁进了决赛’’；丁说：“我没进决赛”.若这四人中只有一人进了决赛，且只有一人说了真话，则进入到决赛的人是________．15. 在△ABC 中，∠A =π3，AB =2，AC =4，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =______ 16. △ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ：sin B ：sinC =2：3：4，则a+bb+c = ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=15，a n +a n+1=65n+1(n ∈N +)(1)证明：{5n a n −1}是常数列；(2)设x n =(2n −1)⋅10n a n ，求{x n }的前n 项和T n ．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB//CD ，∠BAD =60°，PD =AD =AB =2，CD =4，E 为PC 的中点．(Ⅰ)证明：BE//平面PAD；(Ⅱ)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值．19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，当k≥85时，产品为一等品；当75≤k<85时，产品为二等品；当70≤k<75时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.(以下均视频率为概率)甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数10304020乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数1015253020(1)若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；(2)若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系：y ={t,k ≥855t 2,75≤k <85t 2,70≤k <75，其中0<t <15，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由．20. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l ：y =x −2与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)求AB 弦长； (2)求△FAB 的面积．21. 设函数f(x)=(1−x 2)e x ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+√32t y =12t(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ． (Ⅰ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 的直角坐标； (Ⅱ)设点M 是曲线C 上任意一点，求△MAB 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −a|+12a (a ≠0)．(1)若不等式f(x)−f(x +m)≤1恒成立，求实数m 的最大值； (2)当a <12，函数g(x)=f(x)+|2x −1|有零点，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x <−12,或x >0},B ={x|x >−12}； ∴A ∩B ={x|x >0}． 故选：C ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．3.答案：B解析：本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题． 根据函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．解：对于A ，令f(x)=1x 2，则f(−x)=f(x)，定义域是{x|x ≠0}，所以函数为偶函数，但x ≠0，故A 不符合题意；对于B ，令f(x)=−x 2，则f(−x)=f(x)，定义域是R ，所以函数是偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，B 符合题意；对于C ，令f(x)=−x ，且f(−x)=−f(x)，定义域是R ，所以函数是奇函数，C 不符合题意； 对于D ，令f(x)=−x 2−2x +3，f(x)为非奇非偶函数，D 不符合题意， 故选B ．解析：本题考查双曲线的性质及几何意义。
2020年百校大联考高考数学模拟试题(理科)
2020年百校大联考高考数学模拟试题（理科）百校大联考2020届高三上学期联考(一)理科数学试题及答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集，集合，则A． B． C． D．2、已知，则的大小关系为A． B． C． D．3、A． B． C． D．4、命题，则是A． B． C． D．5、函数的零点包含于区间A． B． C． D．6、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A． B． C．2 D．7、函数，若矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C在函数的图象上，且，则点D的坐标为A． B． C． D．8、已知二次函数，若，则在A．上是增函数 B．上是增函数C．上是增函数 D．上是增函数9、已知定义在R上的函数的导函数，若的极大值为，极小值为，则函数的图象有可能是10、已知，命题若；命题若，则，在命题（1）；（2）；（3）；（4）中，证明题的个数为A．1 B．2 C．3 D．411、函数的定义域和值域都是,则A．1 B．2 C．3 D．412、设，其中，若对任意的非零实数，存有的非零实数成立，则k的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.13、设函数的图象关于直线对称，则a的值为14、设函数，则15、函数是周期为2的奇函数，当，则16、已知函数在区间内单调递减，则实数a的取值范围三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知全集，集合。
（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围。
18、（本小题满分12分）已知函数（1）求的定义域和值域；（2）若，求实数的取值范围。
19、（本小题满分12分）已知函数在上是单调函数；是的充分不必要条件，若为真，为假，求实数m的取值范围。
20、（本小题满分12分）已知函数，其中为常数（1）根据的不同值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由。
2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(全国II卷)(带答案)
2020 年百校联盟 TOP20 高考数学模拟试卷（理科）（3 月 份）（全国 II 卷）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 A={x|2x-3≥0}，B={x|x（x-2）＜0}，则 A∩B=（ ）A.B.C. {r|0≤x＜2}D.2. 设复数 z 满足．则| |等于（ ）A.B.C.D. 23. 下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. f（x）=1-x2B.C. f（x）=log |x|D. f（x）=2|x|4. 已知双曲线，F 为双曲线 C 的右焦点，过点 F 作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点 M．则|FM|=（ ）A.B.C.D. 45. 如图所示，某几何体的三视图均为直角三角形，则围成该几何体的各面中，直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，扇形 AOB 的圆心角为 ，半径为 1，P 是 上一点，其横坐标为 ，则 sin∠BOP=（ ）第 1 页，共 15 页A.B.C.D.7. 正六面体有 6 个面，8 个顶点；正八面体有 8 个面，6 个顶点．我们称它们互相对偶．如图，连接正六面体 各面的中心，就会得到对偶的正八面体，在正六面体 内随机取一点，则此点取自正八面体内的概率是 （）A.B.C.D.8. 执行如图所示的程序框图，若输出 S 的值为 ，则输入 a 的值为（ ）A. 4B. 109. 设 x，y 满足不等式组A. 1B. 210. 设 0＜A.B.C. 79D. 93且 的最大值为 ，则实数 a 的值为（ ）C. 3D. 4，则（ ）C.D.第 2 页，共 15 页11. 已知椭圆 C：的右焦点为 F，点 A、B 是椭圆 C 上关于原点 O对称的两个点，且|AO|=|AF|，=0．则椭圆 C 的离心率为（ ）A.B. 2-C.D.12. 若函数 f（x）=alnx-ex 有极值点，则实数 a 的取值范围是（A. （-e，+∞） B. （1，e）C. （1，+∞）二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分））D. （0，+∞）13. 在（x2+ ）6 的展开式中，含 x3 项的系数为______．（用数字填写答案）14. 甲、乙，丙、丁 4 人站在一栋房子前•甲说：“我没进过房子“：乙说：“丙进去 过“：丙说：“丁进去过“：丁说：“我没进过房子“．这四人中只有一人进过房 子，且只有一人说了真话．则进过这栋房子的人是______．15. 在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，，则 AC=______．16. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b+c=a（cosB+cosC）．若△ABC的周长的最大值为 4，则 a=______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，a2=且 n≥2）．（Ⅰ）证明： 为等差数列：（Ⅱ）求数列 的前 n 项和 Tn．18. 如图，四棱锥 A-BCDE 中，底面 BCDE 为直角梯形，ED∥BC，∠EDC=90°，，AB=AE=ED=2，F 为 AB 的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面 ACD；（Ⅱ）若，求直线 BC 与平面 ACD 所成角的正弦值．第 3 页，共 15 页19. 近几年，我国鲜切花产业得到了快速发展，相关部门制定了鲜切花产品行业等级标 准，统一使用综合指标值 FL 进行衡量．如表所示，某花卉生产基地准备购进一套 新型的生产线．现进行设备试用，分别从新旧两条生产线加工的产品中选取 30 个 样品进行等级评定，整理成如图所示的茎叶图．综合指标 FL[10，19][20，39][40，59]质量等级三级二级一级（I）根据茎叶图比较两条生产线加工的产品的综合指标值的平均值及分散程度（直 接给出结论即可）； （II）若从等级为三级的样品中随机选取 3 个进行生产流程调查，其中来自新型生 产线的样品个数为 X，求 X 的分布列； （Ⅲ）根据该花卉生产基地的生产记录．原有生产线加 T 的产品的单件平均利润为 4 元．产品的销售率（某等级产品的销量与产量的比值）及产品售价如表：三级花二级花一级花销售率单件销售12 元16 元20 元预计该新型生产线加工的鲜切花单件产品的成本为 10 元．日产量 3000 件．因为鲜 切花产品的保鲜特点．未售出的产品统一按原售价的 50%全部处理完．如果仅从单 件产品利润的角度考虑．该生产基地是否需要引进该新型生产线？20. 已知抛物线 C：x2=4y，直线 l：y=kx+1 与抛物线交于 A、B 两点． （Ⅰ）若 k= ，求以 AB 为直径的圆被 x 轴所截得的弦长； （Ⅱ）分别过点 A，B 作抛物线 C 的切线，两条切线交于点 E，求△EAB 面积的最 小值．第 4 页，共 15 页21. 已知函数 f（x）=e-x-ax．（Ⅰ）若，讨论函数 f（x）的单调性；（Ⅱ）若方程 f（x）+x=0 没有实数解，求实数 a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是（t 为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρ=2 与 x 轴的正、负半 轴分别交于 A，B 两点． （Ⅰ）P 为 C1 上的动点．求线段 AP 中点的轨迹 C2 的直角坐标方程： （Ⅱ）直线 l 与 C2 分别交于点 M，N，且 M 在 N 的左侧，△BMO 的面积是△NMO 面积的 2 倍．求 tanα 的值．23 已知函数 f（x）=|x-a|-x2． （Ⅰ）若 a=1．求不等式 f（x）≥1 的解集； （Ⅱ）若不等式 f（x）＜2（1-x2）至少有一个负数解，求实数 a 的取值范围．2020 年百校联盟 TOP20 高考数学模拟试卷（理科）（3 月份）（全国 II 卷）答案和解析【答案】1. B2. B3. D4. A5. D6. C7. A8. D9. B10. B 11. A 12. D13. 20第 5 页，共 15 页14. 甲 15. 2 16. 417. （Ⅰ）证明：依题意，由即 an-an+1=2anan+1． 两边同时除以 anan+1，可得- =2（n≥2）．=2an+1，可得 an=2anan+1+an+1，∵ - =3-1=2，也满足上式．∴数列 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得， =1+2（n-1）=2n-1，则 =（2n-1）•3n．∴Tn=1×3+3×32+…+（2n-1）•3n， 3Tn=1×32+3×33+…+（2n-3）•3n+（2n-1）•3n+1， 两式相减，可得 -2Tn=3+2×32+2×33+…+2•3n-（2n-1）•3n+1， =3+18×（1+3+32+…+3n-2）-（2n-1）•3n+1=3+18× -（2n-1）•3n+1=2（1-n）•3n+1-6． ∴Tn=（n-1）•3n+1+3．18. （Ⅰ）证明：取 BC 的中点 G，连接 FG，EG，则 ED=GC，又∵ED∥GC，∴四边形 EGCD 为平行四边形， 故 EG∥CD，则 EG∥平面 ACD． 又∵F 为 AB的中点，∴FG∥AC，则 FG∥平面 ACD． 又 FG∩EG=G，∴平面 EFG∥平面 ACD， ∵EF⊂平面 EFG，∴EF∥平面 ACD； （Ⅱ）解：∵ED∥BC，∠EDC=90°，EB=EC= ， ED=2， ∴BC=2ED=2DC=4，可得 BE⊥EC． 又∵AB=AE=2，∴BE2=AB2+AE2，得 BA⊥AE． 取 BE 的中点 H，连接 AH，HC，可得 AH= ， HC= ， 又∵AC=2 ，∴AC2=AH2+HC2，即 AH⊥HC， 又 AH⊥BE，∴AH⊥平面 BCDE． 以 H 为坐标原点，以过点 H 且平行于 CD 的直线为 x 轴，以过点 H 且平行于 BC 的直线 为 y 轴， HA 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系． 可得 C（1，3，0），D（-1，3，0），A（0，0， ），B（1，-1，0），，．设为平面 ACD 的一个法向量，第 6 页，共 15 页则，取 z= ，得．直线 BC 的方向向量 =（0，1，0），设 BC 与平面 ACD 所成角为 α，则 sinα=|cos＜ ＞|=．∴直线 BC 与平面 ACD 所成角的正弦值为 ．19. 解：（Ⅰ）由茎叶图得新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值，旧生产线的综合指标值相对来说更为集中． （Ⅱ）由题意得等级为三级的样品共有 8 个，其中来自旧生产线的 5 个，新生产线的 3 个， 随机变量 X 的取值为 0，1，2，3，P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，则 X 的分布列为：X0123P（Ⅲ）由茎叶图知该新型生产线加工的产品为三等品的概率为 P1= = ，二等品的概率为 P2= ，一等品的概率 P3= ， ∴30000 件产品中，三等品、二等品、一等品的件数的估计值分别为 300 件，1600 件， 1100 件， 三等品日销售总利润为 300× ×2-300× ×4=-480（元），二等品日销售总利润为 1600× -1600× =，一等品日销售量总利润为 1100×= （元），∴（-480+）÷3000≈4.88（元），∴产品的单件平均利润的估计值为 4.88 元，高于 4 元， 综上，该生产基地需要引进新型生产线．20. 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线 y=kx+1 和抛物线的方程 x2=4y，可得x2-4kx-4=0，x1+x2=4k，x1x2=-4，（Ⅰ）若 k= ，x1+x2=2，可得 y1+y2=1+2=3，第 7 页，共 15 页|AB|=•=•=5，设 AB 的中点为 M，M（1， ），所以以 AB 为直径的圆被 x 轴所截得的弦长为m=2=4；（Ⅱ）对 y= 求导，可得 y′= ，可得 kAE= ，直线 AE 的方程为 y-y1= （x-1），即 y= x- ，同理可得直线 BE 的方程为 y= x- ，设 E（x0，y0），联立直线 AE，BE 的方程，可得x0= =2k，y0= =-1，即 E（2k，-1），E 到直线 AB 的距离 d==2，|AB|=•=•=4（1+k2），所以 S△ABE= |AB|d= ×4（1+k2）×2=4(1+k2) ≥4，当且仅当 k=0 时取得等号，综上可得，△ABE 的面积的最小值为 4．21. 解：（I）当 a=- 时，f（x）=e-x+ x，=，当 x∈（-∞，ln2）时，f′（x）＜0，函数单调递减，当 x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0， 函数单调递增， （II）方程 f（x）+x=0 没有实数解，即 e-x+（1-a）x=0 没有实数解，令 g（x）=e-x+（1-a）x，则 g′（x）=-e-x+1-a=①当 a=1 时，g（x）=e-x＞0，g（x）没有零点；②当 a＞1 时，g（x）单调递减，g（ ）=e -1＜0 且 g（0）=1＞0，g（x）有零点；③当 a＜1 时，令 g′（x）==0 可得 x=-ln（1-a），当 x∈（-∞，-ln（1-a））时，g′（x）＜0，函数单调递减，当 x∈（-ln（1-a），+∞） 时，g′（x）＞0，函数单调递增， 故当 x=-ln（1-a）时，函数取得最小值 g（-ln（1-a））=（1-a）[1-ln（1-a）]＞0， 解可得，1-e＜a＜1，即函数没有零点， 综上，若 g（x）没有零点，即方程 e-x+（1-a）x=0 没有实数解， 故 a 的范围（1-e，1]．22. 解：（Ⅰ）设 AP 的中点为 C，OA 的中点的坐标为 D，所以|DC|= |OP|=1，所以点 C 的轨迹为以 D（1，0）为圆心，1 为半径的圆． 所以轨迹方程为 x2+y2-2x=0．（Ⅱ）把直线 l 的参数方程是（t 为参数），代入 x2+y2-2x=0，得到 t2-6cosαt+8=0，其中 B（-2，0）， 所以 t1+t2=6cosα，t1t2=8，由于 S△BMO=2S△MNO，所以，第 8 页，共 15 页，所以，解得，，所以，解得．23. 解：（Ⅰ）当 a=1 时，f（x）=|x-1|-x2．∵f（x）≥1，∴或，∴-1≤x≤0， ∴不等式的解集为{x|-1≤x≤0}． （Ⅱ）f（x）＜2（1-x2），即|x-a|-x2＜2（1-x2）， ∴|x-a|＜2-x2． 设 g（x）=|x-a|，h（x）=2-x2， 当 a＜0 时，g（x）的图象如折线①所示，由，得 x2+x-a-2=0，若 y=x-a 与 y=2-x2 相切，则△=1+4（a+2）=0，∴，∴当时，不等式无负数解，∴；当 a=0 时，显然满足不等式 f（x）＜2（1-x2）至少有一个负数解； 当 a＞0 时，g（x）的图象如折线②所示，当 a=2 时，恰好无负数解， 当 a⩾2 时，不等式无负数解，∴0＜a＜2，综上，实数 a 的取值范围为．【解析】1. 解：∵，B={x|0＜x＜2}，∴．故选：B． 可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可． 本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属 于基础题．2. 解：因为 z=，所以，所以| |=，故选：B． 根据复数的基本运算法则进行化简即可． 本题主要考查复数模长的计算，比较基础．第 9 页，共 15 页3. 解：A：f（x）=1-x2 在（0，+∞）单调递减，不符合题意；B：f（x）=x- 为奇函数，不符合题意；C：f（x）=在（0，+∞）单调递减，不符合题意；D：f（x）=2|x|为偶函数且在单调递增，符合题意； 故选：D． 结合奇偶性的定义及单调性的定义分别检验各选项即可． 本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．4. 解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程：y= x，则过点 F 作与渐近线垂直的直线为：y=- （x-2），所以它们的交点 M（-1， ）， F（2，0），所以|FM|=2 ． 故选：A． 求出双曲线的渐近线方程，求出过点 F 作与渐近线垂直的直线，联立求出交点 M，然后 求解距离即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5. 解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为三棱锥，其中 PA⊥底面 ABC， AB⊥BC，可得该几何体的各面中，直角三角形的个数为 4 个． 故选：D． 由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中 PA⊥ 底面 ABC，进一步得到该几何体的各面中，直角三角形的个 数． 本题考查空间几何体的三视图，关键是由三视图还原原几何 体，是中档题．6. 解：由题意知，点 P（ ， ），根据三角函数的定义知，sin∠POA= ，cos∠POA= ，所以 sin∠BOP=sin（ -∠POA）=sin cos∠POA-cos sin∠POA= × -（- ）×=．故选：C． 由题意求得点 P 坐标，根据三角函数的定义写出 sin∠POA、cos∠POA，再计算 sin∠BOP 的值． 本题考查了任意角的三角函数值计算问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题．7. 解：设正方体的棱长为 2，则正方体的体积为 8；正八面体是由两个全等的正四棱锥组成，且棱长为 ；第 10 页，共 15 页故其底面积为 2，高为 1；体积为=；∴正八面体的体积为 2× = ；∴所求概率为：P= = ；故选：A． 求出总体积以及符合要求的体积，代入几何概型的计算公式即可． 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这 个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足 条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据 P= 求解．8. 解：程序运行如下：；S=-2，k=4；S=3，k=5；…此程序的 S 值 4 个一循环，若输出 S 的值为 ，则相应 k 的值为 4k1+2（k1∈N），因为 k＞a 时，输出 S，则输入 a 的值为 4k1+1（k1∈N） 故选：D．由题中的程序框图知运行是一个以 4 为周期的函数，若输出 S 的值为 ，则得出相应的k 值，再由 k＞a 输出，即可得出 a 值，再判断选项得出 本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定 S 值的周期规律及跳出循环的 kk 值是解答本题的关键，属于中档题．9. 解：作出不等式组对于的平面区域如图：可知 a≥-2， 的几何意义是可行域内的点与 Q（-4，0）连线的斜率，直线 x+y-2=0 与直线 y=x+a 的交点为 A（1- ，1+ ），当 x=1- ，y=1+ 时， 的最大值为 ，解得 a=2，所以实数 a 的值为 2． 故选：B． 作出不等式组对于的平面区域，设 z=x+3y，利用 数形结合即可得到结论 本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．10. 解：由题意知，tan（α-β）+tanβ= ，即+=，等式两边同乘以 cos（α-β）cosβ， 得 sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=cos（α-β）， 所以 sinα=cos（α-β），即 cos（ -α）=cos（α-β）；又 0＜β＜α＜ ，第 11 页，共 15 页所以 -α∈（0， ），0＜α-β＜ ，所以 -α=α-β，所以 2α-β= ．故选：B．由题意利用三角恒等变换化简 tan（α-β）+tanβ= ，得出 cos（ -α）=cos（α-β）；再根据角的取值范围，即可得出正确的结论． 本题主要考查了三角函数恒等变换，以及运算求解能力与转化思想，是中档题．11. 解：因为=0，所以∠AFB=90°，因为|AO|=|AF|，所以|AB|=2|AF|，故∠ABF=30°，设椭圆的左焦点为 F1， 由椭圆的性质可得，四边形 AF1BF 为矩形，且 ∠AF1F=∠ABF=30°，|AF1|= c，|AF|=c， 由题意的定义|AF1|+|AF2|=2a，即 +c=2a，所以离心率 e= = = ，故选：A．由=0，所以∠AFB=90°，将左焦点与 A，B 连接起来，由椭圆的对称性可得四边形AF1BF 为矩形，|AO|=|AF|，可得 a，c 的关系，进而求出离心率． 考查双曲线的性质，属于中档题．12. 解：∵函数 f（x）=alnx-ex，x∈（0，+∞），∴f'（x）= ，①当 a≤0 时，f'（x）＜0，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值点，②当 a＞0 时，根据 y= 与 y=ex 的图象，如图所示：，设两个函数在第一象限的交点的横坐标为 x0，第 12 页，共 15 页当 x∈（0，x0）时， ，f'（x）＞0，函数 f（x）在区间（0，x0）上单调递增；当 x∈（x0，+∞）时， ，f'（x）＜0，∴函数 f（x）在（x0，+∞）上单调递减，所以当 a＞0 时，函数 f（x）有一个极大值点， 故选：D． 先求出导函数 f'（x），再对 a 的值分情况讨论，利用数形结合的方法即可求出 a 的取值 范围． 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是中档题．13. 【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数， 属于中档题． 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的系数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式 中 x3 的系数． 【解答】解：由于（x2+ ）6 的展开式的通项公式为 Tr+1= •x12-3r， 令 12-3r=3，解得 r=3，故展开式中 x3 的系数是 =20，故答案为：20．14. 解：由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾； 若丁说了真话，则甲说的假话，故甲是进过房子的那个人． 故答案为：甲． 此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论． 本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能 力，是基础题．15. 解：因为 = + == + （ - ）= + ；=-；∴=（ + ）•（ - ）=- -+ =- ；设 AC=x；则-3- x+ x2=- ⇒x=2 （负值舍）；即 AC 长为 2； 故答案为：2根据向量的三角形法则表示出 ， ；再代入数量积即可求解本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算问题，是基础题目．第 13 页，共 15 页16. 解：因为 b+c=a（cosB+cosC），由正弦定理可得，sinB+sinC=sinAcosB+sinAcosC， 所以 sinAcosC+sinCcosA+sinAcosB+sinBcosA=sinAcosB+sinAcosC， 即 cosA（sinB+sinC）=0，所以 cosA=0，即 A= ，故 a+b+c=a+acosB+asinB=a[1+ sin（B+ ）]，当 B= 时，a+b+c 取得最大值（1+ ）a=4（1+ ），所以 a=4． 故答案为：4． 由已知结合正弦定理化简可求 A，然后结合锐角三角函数的定义即可求解周长的最小 值，结合已知即可求解 a 的值． 本题主要考查了正弦定理，锐角三角函数及正弦函数性质的简单综合，属于中档试题．17. 本题第（Ⅰ）题对题干中的递推公式进行变形转化，可得 - =2．进一步计算可证得 为等差数列；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列 的通项公式，然后运用错位相减法可计算出前 n 项和 Tn． 本题主要考查由递推公式得到通项公式，以及运用错位相减法求前 n 项和．考查了转化 思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18. （Ⅰ）取 BC 的中点 G，连接 FG，EG，证明四边形 EGCD 为平行四边形，得 EG∥平面 ACD，再证明 FG∥平面 ACD，可得平面 EFG∥平面 ACD，从而得到 EF∥平面 ACD； （Ⅱ）求解三角形证明 BA⊥AE，取 BE 的中点 H，连接 AH，HC，证明 AH⊥平面 BCDE．以 H 为坐标原点，以过点 H 且平行于 CD 的直线为 x 轴，以过点 H 且平行于 BC 的直线为 y 轴，HA 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 ACD 的一个法向量，再求出 直线 BC 的方向向量，由两向量所成角的余弦值可得直线 BC 与平面 ACD 所成角的正弦 值． 本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空 间向量求解空间角，是中档题．19. （Ⅰ）由茎叶图得新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值，旧生产线的综合指标值相对来说更为集中． （Ⅱ）由题意得等级为三级的样品共有 8 个，其中来自旧生产线的 5 个，新生产线的 3 个，随机变量 X 的取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列．（Ⅲ）由茎叶图知该新型生产线加工的产品为三等品的概率为 P1= = ，二等品的概率为 P2= ，一等品的概率 P3= ，30000 件产品中，三等品、二等品、一等品的件数的估计值分别为 300 件，1600 件，1100 件，求出单件产品利润，得到该生产基地需要引进 新型生产线． 本题考查平均值、离散程度的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法， 考查茎叶图、古典概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．20. 设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线 y=kx+1 和抛物线的方程 x2=4y，运用韦达定理， （Ⅰ）运用弦长公式可得|AB|，以及直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值；（Ⅱ）对 y= 求导，求得切线的斜率和方程，联立方程求得交点 E 的坐标，以及 E 到第 14 页，共 15 页直线 AB 的距离，弦长|AB|，再由三角形的面积公式，计算可得所求最小值． 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，直线方程和抛物线方程 联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考查三角形的面积的最值的求法，考查化 简运算能力，属于中档题．21. （I）先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；（II）由 e-x+（1-a）x=0 没有实数解，结合 a 的范围，结合函数的单调性及函数的性质 可判断函数的零点存在情况，即可求解． 本题考查了导数与函数的综合应用，属于中档题．22. （Ⅰ）直接利用中点坐标关系式，利用参数方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用面积的关系，利用三角函数关系式的恒等变换求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，向量的应用， 三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基 础题型．23. （Ⅰ）将 a=1 代入 f（x）中，然后去绝对值解出不等式即可；（Ⅱ）由 f（x）＜2（1-x2），可知|x-a|＜2-x2，然后设 g（x）=|x-a|，h（x）=2-x2，利用 数形结合法求出 a 的取值范围． 本题考查了绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查了分类讨论思想和数形结合思 想，属中档题．第 15 页，共 15 页。
2020届高三百校大联考数学(理)答案
由正弦定理得，ｓｓｉｉｎｎＣＢｃｃｏｏｓｓＢＣ＝槡３３ｔａｎＣ，∴ｔａｎＢ＝槡３， ∵０＜Ｂ＜π，∴Ｂ＝π３； （５分） （２）∵∠Ｄ＝２∠Ｂ， ∴由（１）知，∠Ｄ＝２３π，在△ＡＣＤ中，由余弦定理得，
ａｘｅｘ，则曲线 ｆ（ｘ）＝ａｘｅｘ在点（０，ｆ（０））处的切线的
斜率为 ｋ＝ｆ′（０）＝ａ，又切点为（０，０，），∴切线方
{ｙ＝ａｘ
程为 ｙ＝ａｘ，联立
得，ｘ２ －（２＋ａ）ｘ＋
ｙ＝ｘ２ －２ｘ＋４
ＡＣ２ ＝１２ ＋２２ －２×１×２ｃｏｓ２３π＝７，
∴ＡＣ＝槡７， （７分） 又 ＢＣ＝槡７，Ｂ＝π３，
４＝０，∴Δ＝（２＋ａ）２ －４×４＝０，解得，ａ＝２或 ａ＝
－６．）
１４．１５３６（解析：∵数列｛ｌｏｇ２Ｓｎ｝是公差为 ２的等差
＋１１＝
３＋９×２１４＝６６，故选 Ｂ．）
{ １０．Ｄ（解析：由 ｙ＝ａｂｘ
得，Ｐ（ａ２，ａｂ），又 ｃｃ
Ｆ１（－ｃ，０），
ｘ２＋ｙ２＝ａ２
ａｂ 则 ｔａｎ∠ＰＦ１Ｆ２ ＝ｋＰＦ１ ＝ｃ＋ｃａ２ ＝ｃ２ａ＋ｂａ２ ＝１３，化简得，
ｃ
ｃ４－７ｃ２ａ２＋１０ａ４＝０，即 ｅ４ －７ｅ２ ＋１０＝０，解得 ｅ２ ＝５或
（７分） 令 ｈ（ｘ）＝ｅｘ －１－ｘ，
ｘｘ
则 ｈ′（ｘ）＝ｅｘ（ｘｘ２－１）＋ｘ１２ －１＝ｅｘ（ｘ－ｘ２１）＋１－１，
∵当 ｘ≥１时，ｅｘ≥ｘ＋１＞０，
∴当
ｘ≥
１
时，ｈ′（ｘ）
＝
ｅｘ（ｘ－１）＋１ ｘ２
－１≥
（ｘ＋１）（ｘｘ２－１）＋１－１＝０， （１０分）
∵Ｂ（４，０），∴ｋＭＢ ＋ｋＮＢ ＝ｘ１ｙ－１４＋ｘ２ｙ－２４
＝ｋ（ｘ１ －１）＋ｋ（ｘ２ －１）
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(全国ⅰ卷)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U R =，{|(1)(2)0}A x x x =+->，{|22}x B x =„，则()(U A B =I ð)A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x 剟C ．{|11}x x -剟D ．{|1}x x -„2．（5分）已知i 为虚数单位，复数()12az i a R i=+∈+在复平面内所对应点(,)x y ，则( )A ．21y x =-+B ．21y x =-C ．25y x =-+D ．31y x =-3．（5分）已知向量(2,)a m =-r ，(1,2)b =r ，11(2)2a ab +=r r r g ．则实数m 的值为( )A ．1-B ．12-C ．12D ．14．（5分）已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO ．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是1RO =+确诊病例增长率⨯系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO 据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为( ) A ．81B ．243C ．248D ．3635．（5分）已知23log 4a =，4848log ,log 59b c ==，则( ) A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<6．（5分）2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于( )A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组7．（5分）已知函数()sin()6f x x π=+图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2]π上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是( ) A ．138[,)63B ．138(,]63C ．318[,)123D ．318(,]1238．（5分）已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，COD ∆为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为()A ．14B C D 9．（5分）已知椭圆221:184x y C +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，抛物线22:2(0)C y px p =>的准线l 过点1F ，设P 是直线l 与椭圆1C 的交点，Q 是线段2PF 与抛物线2C 的一个交点，则2||(QF = )A ．12(3-B ．12(4-CD ．10．（5分）已知实数a ，b ，满足22182a b +=θθ取最大值时，tan (θ=)A ．12B ．1CD ．211．（5分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过2F ，且2212MF MN MN =u u u u r u u u u r u u u u r g ，以下结论正确的个数是( )①双曲线C ②双曲线C 的渐近线方程y =；③直线l 的斜率为1． A ．0B ．1C ．2D ．312．（5分）已知定义在R 上的奇函数()2sin x x f x e ae x -=-+满足(3)()(0)(16)()(0)f y f x f f y f x f -⎧⎨-⎩剟剟，则z x lny =-的最小值是( )A ．6ln -B ．2-C ．6lnD ．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．（5分）2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为 ．14．（5分）已知函数||1()()2x a f x -=关于1x =对称，则(22)(0)f x f -…的解集为 ．15．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，cos (2)cos b C a c B =-，则B ∠= ，若2b =，则ABC ∆的面积为 ．16．（5分）在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为285cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为 2cm ． 三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图已知Rt PCD ∆、PD CD ⊥，A ，B 分別为PD ，PC 的中点22PD DC ==，将PAB ∆沿AB 折起，得到四棱锥P ABCD '-，E 为P D '的中点． （1）证明：P D '⊥平面ABE ；（2）当正视图方向与向量BA u u u r的方向相同时，P ABCD '-的正视图为直角三角形，求此时二面角A BE C --的余弦值．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，*n N ∈，56a =，627S =，数列{}n b 的前n 项和n T ，*2()n n T b n n N =-∈．（1）判断{1}n b +是等比数列，并求n b ； （2）求数列{}n n a b g 的前n 项和．19．（12分）2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A ，B 两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年 6年 7年 8年 总计 A 型出租车（辆) 10 20 45 25 100 B 型出租车（辆)15354010100（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计 A 型 B 型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A 和B 的车型中各随机抽1车，以X 表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X 的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？。
湖北省百校大联盟2020届高三数学考试(理科)试题答案
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2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(全国Ⅰ卷)(含答案解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z−1+i=2i+1，则|z|=()A. √5B. 2C. √3D. 32.已知集合A={2a−1,a2,0}，B={1−a,a−5,9}，且A∩B={9}，则()A. A={9,25，0}B. A={5,9，0}C. A={−7,9，0}D. A∪B={−7,9，0，25，−4}3.已知向量a⃗=(x2−2x,1)，b⃗ =(1,−3)，则“−1<x<3”是“a⃗，b⃗ 的夹角为钝角”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.将函数y=2sin(2x+π4)的图象向右平移π4个单位长度，所得函数()A. 在区间(−3π8,π8)上单调递增 B. 在区间(−5π8,−π8)上单调递减C. 以x=π8为一条对称轴 D. 以(3π8,0)为一个对称中心5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()A. 8π3B. 8πC. 16π3D. 12π6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是()A. 13B. 12C. 25D. 347.已知函数f(x)=log12(x2−ax+a)在(12,+∞)上为减函数，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1]B. [−12,1] C. (−12,1] D. (−12,+∞)8.在平面直角坐标系xOy中，A、B为函数y=√33|x|图象上的两点，若线段AB的中点M恰好落在曲线x2−3y2+3=0上，则△OAB的面积为()A. 2B. √3C. √32D. √339.一只蚂蚁从正四面体A−BCD的顶点A点出发，沿着正四面体A−BCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A点的概率为()A. 2027B. 79C. 727D. 2910.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，BC=√3CD，则∠ADB的最大值为()A. π4B. π3C. π2D. 2π311.我国古代的数学著作《九章算术⋅商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形的面积为()A. 2√213B. 4√213C. 2√73D. 4√7312.已知函数f(x)=alnx−2x，若存在x∈N∗，使f(x)>0成立，则实数a的取值范围是()A. (2e,+∞)B. (4ln2,+∞) C. (6ln3,+∞) D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{4x−3y−6≤02x−2y+1≥0x+2y−1≥0，则z=|x−y+1|的最大值为______．14.在(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数为14，则实数a的值为______．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为______．16.巳知F1、F2为双曲线x24−y2=1的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF1F2内切圆的圆心为I，则圆心1到圆x2+(y−1)2=1上任意一点的距离的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为数列{a n}的前n项和，S2=10，S n=n−1n+1a n+1+2(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n2n(n+1)!(n∈N∗)，数列{bn}的前n项和为T n，求证：12≤T n<1．18.某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年齡在[20,60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如表的统计表格：年龄区间[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]教师人数20001300样本人数130由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20,30)的样本人数比年龄在[50,60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：(1)求该市年龄在[50,60]的教师人数；(2)试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数x−及方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)．19.如图，将斜边长为4√2的等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角B−AD−C，E为AD中点．(1)求二面角A−BC−E的余弦值；(2)M为线段BC上一动点，当直线DM与平面BCE所成的角最大时，求三棱锥M−CDE外接球的体积．20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax+1x ，g(x)=exx−1．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(2)当a=12时，设P(x,y)为函数y=ln x⋅g(x)−1x⋅f(x)−1(x∈(0,+∞))图象上任意一点．直线OP的斜率为k，求证：0<k<1．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P为直线l 上的任意一点(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．23.若a>0，b>0，且2a+b+2=3ab．(1)求2a+b的最小值；(2)是否存在a、b，使得a3+b3=4√2？并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵z−1+i=2i+1，∴z=2+i，∴|z|=√22+12=√5，故选：A．先根据复数的基本运算求出复数z，再利用复数的模长公式即可算出结果．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．2.答案：C解析：解：∵A∩B={9}，∴9∈A，∴2a−1=9或a2=9，∴a=5或a=±3，①a=3时，A={5,9，0}，B={−2,−2,9}，集合B错误，不满足集合元素的互异性，∴a≠3；②a=−3时，A={−7,9，0}，B={4,−8,9}，满足A∩B={9}，即a=−3成立；③a=5时，A={9,25，0}，B={−4,0，9}，A∩B={0,9}，∴a=5不成立，综上得，A={−7,9，0}，A∪B={−8,−7,0，4，9}．故选：C．根据条件可得出2a−1=9或a2=9，从而得出a=±3或a=5，然后对于每个a的值，求出A，B，看是否满足题意即可．本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，集合元素的互异性，考查看计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：a⃗⋅b⃗ =x2−2x−3=(x−3)(x+1)，当−1<x<3时，a⃗⋅b⃗ <0，此时a⃗，b⃗ 的夹角为钝角或平角，即充分性不成立，若a⃗，b⃗ 的夹角为钝角，则a⃗⋅b⃗ <0，得−1<x<3，即必要性成立，则“−1<x<3”是“a⃗，b⃗ 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选：B．根据向量数量积与夹角的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积与夹角的关系是解决本题的关键．比较基础．4.答案：B解析：解：函数y=2sin(2x+π4)的图象向右平移π4个单位长度，得到y=2sin(2x−π4)，对于选项A：令−π2+2kπ≤2x−π4≤2kπ+π2(k∈Z)，整理得：−π8+kπ≤x≤kπ+3π8(k∈Z)，故单调增区间为：[−π8+kπ,kπ+3π8](k∈Z).故选项A错误．对于选项B：由于函数的最小正周期为π，所以单调递减区间为[−5π8+kπ,kπ−π8](k∈Z)．当k=0时，在区间(−5π8,−π8)上单调递减，故正确．对于选项C：当x=π8时．2x−π4=0，所以函数没有取得最大或最小值，故错误．对于选项D：当x=3π8时，2x−π4=π2，所以f(3π8)=2≠0，故选项D错误．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：B解析：解：根据三视图知，该几何体是一个圆柱，挖去一个半球和一个圆锥，结合三视图中的数据，计算该几何体的体积为V=V圆柱−V圆锥−V半球=π⋅22⋅4−13⋅π⋅22⋅2−12⋅4π3⋅23=8π．故选：B．根据三视图知该几何体是一个圆柱，挖去一个半球和一个圆锥，结合三视图中的数据计算该几何体的体积．本题考查了利用几何体的三视图求体积的问题，也考查了运算求解能力，是基础题．6.答案：C解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P=2050=25．故选：C．由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题．7.答案：B解析：解：∵y=log12x在(0,+∞)上为减函数，∴y=x2−ax+a在(12,+∞)上为增函数，且y>0恒成立，∴{−−a2≤12(12)2−12a+a≥0，解得−12≤a≤1．故选：B．由复合函数的单调性法则可知y =x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{−−a2≤12(12)2−12a +a ≥0，解不等式组即可得到答案．本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 8.答案：B解析：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点M(x,y)， 由题意不妨设：x 1<0，x 2>0， ∵{x =x 1+x 22y =y 1+y 22，y═y 1+y 22=√33⋅x 2−x 12， 所以x 2−3y 2=x 1x 2，∴x 1x 2=−3，∵OA =√x 12+y 12=−2√33x 1，OB =2√33x 2，∠AOB =2π3，∴S △AOB =12OA ⋅OBsin∠AOB =−√33x 1x 2=√3．故选：B ．设出AB 坐标，求出中点坐标，代入双曲线方程，利用已知条件，转化求解三角形的面积，推出结果即可．本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 9.答案：C解析：解：由题意可得，蚂蚁每次爬到下一个顶点的概率为13，设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为P n ，易知P 1=1，则P n =23P n−1+1×(1−P n−1)， ∴(P n −34)=−13(P n−1−34)，∴数列{P n −34}是以14为首项，以−13为公比的等比数列， ∴P n −34=14×(−13)n−1， ∴P n =34−34×(−13)n ，n ∈N ∗，∴第4秒时蚂蚁在A 点的概率为1−P 4=1−2027=727， 故选：C ．设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为P n ，易知P 1=1，利用古典概型的的概率公式可得P n =23P n−1+1×(1−P n−1)，即(P n −34)=−13(P n−1−34)，再利用等比数列的通项公式求出P n 即可． 本题主要考查了古典概型的概率公式，是中档题．解析：解：设CD=a，则AB=2a，BC=√3a．取AB的中点M，延长AB到N点，使BN=a，连接CM，CN，由平面几何知识，易知AD=MC，BD=NC．设AD=MC=m，BD=NC=n．在△MBC中，m2=a2+(√3a)2−2×a×√3a⋅cos∠MBC，在△NBC中，n2=a2+(√3a)2−2×a×√3a⋅cos(π−∠MBC)，∴m2+n2=8a2，在△ABD中，cos∠ADB=m2+n2−4a22mn =4a22mn，又2mn≤m2+n2=8a2，∴cos∠ADB=4a22mn ≥4a28a2=12，∴∠ADB的最大值为π3．故选：B．取AB的中点M，延长AB到N点，使BN=a，连接CM，CN，设CD=a，AD=m，BD=n，则AB=2a，BC=√3a，MC=m，NC=n，然后依次在△MBC和△NBC中利用余弦定理，借助∠MBC和∠NBC互补，可以得出m2+n2=8a2，再在△ABD中，利用余弦定理，表示出cos∠ADB，并结合基本不等式的性质即可求得其最大值．本题主要考查解三角形中的余弦定理，还涉及利用基本不等式求最值的问题，作出辅助线并利用互补的两个角的余弦值之和为0属于本题的难点，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于中档题．11.答案：A解析：解：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形，由题意得NE=ME=√173，AM=AN=√5，MN=√6，∴AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形面积为：S=12×√6×√(√5)2−(√62)2+12×√6×(√173)(√62)=2√213．故选：A．延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形，由此能求出结果．本题考查平面截“堑堵”所得截面图形的面积的求法，考查“堑堵”性质、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解析：解：由题意可得alnx −2x >0， 当x =1时，−2>0不成立， 当x >1时，a >2xlnx ， 设g(x)=2xlnx ， 则g′(x)=2(lnx−1)ln 2x ，当x ∈(1,e)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减， 当x ∈(e,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， ∵g(2)=4ln2，g(3)=6ln3， 又4ln3=ln81>ln64=6ln2， ∴4ln2>6ln3， ∴a >6ln3， 故选：C ．由题意可得a >2xlnx ，设g(x)=2xlnx ，利用导数求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：2811解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图： 令t =x −y +1，得y =x +1−t 表示，斜率为1纵截距为1−t 的一组平行直线，{4x −3y +6=0x +2y −1=0⇒C(1511,−211)； 平移直线y =x +1−t ，当直线y =x +1−t 经过点C(1511,−211)时，直线y =x +1−t 的截距最小， 此时t max =1511−(−211)+1=2811，当直线y =x +1−t 与AB 重合时，直线y =x +1−t 的截距最大，A(0,12)此时t min =0−12+1=12，∴z =|x −y +1|的取值范围是：[12,2811]. 故z =|x −y +1|的最大值为2811．故答案为：2811．作出不等式组对应的平面区域，令t=x−y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．14.答案：−1或32解析：解：设(x−a)5的展开式中的通项T r+1=∁5r⋅x5−r⋅(−a)r，则当r=2时，T3=∁52⋅x3⋅(−a)2=10a2⋅x3；则当r=1时，T2=∁51⋅x4⋅(−a)1=−5ax4；则当r=0时，T1=∁50⋅x5⋅(−a)0=x5；∴(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数是：10a2−5a−1=14⇒a=−1或32；故答案为：−1或32．根据题意，利用(x−a)5的展开式中的通项T r+1=∁5r⋅x5−r⋅(−a)r，通过对r取值即可求得(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数进而求得结论．本题考查二项式定理，着重考查二项展开式中的通项公式的应用，考查分析与转化运算的能力，属于中档题．15.答案：174解析：解：设t=yx，由题意知t≥2，则yx+9x2x+y=t+9t+2，令f(t)=t+9t+2，t≥2，∵f′(x)=1−9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，故答案为：174．先令t=yx ，可转化成f(t)=t+9t+2，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：1解析：解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|．又点P在双曲线右支上，∴|PF1|−|PF2|=2a，即(|PA|+|F1A|)−(|PB|+|F2B|)=2a，∴|F1M|−|F2M|=2a，而|F1M|+|F2M|=2c，设M点坐标为(x,0)，∵|F1M|−|F2M|=2a，∴(x+c)−(c−x)=2a，解得x=a，故内切圆的圆心I与在直线x=2上，故圆x2+(y−1)2=1上任意一点的距离的最小值为2−1=1故答案为：1．设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，因此|F1M|−|F2M|=2a，设M点坐标为(x,0)，代入即可求得x，可得内切圆的圆心I与在直线x=2上，即可求解．本题考查圆与圆锥曲线的综合与双曲线的简单性质，难点在于“|PF1|−|PF2|=2a⇒|F1M|−|F2M|=2a”的分析与应用，着重考查双曲线的定义与性质的灵活运用，属于难题．17.答案：(1)解：由题意，当n=1时，a1=S1=2，∵S2=a1+a2=2+a2=10，∴a2=8，当n≥2时，由S n=n−1n+1a n+1+2，可得：S n−1=n−2na n+2，两式相减，可得：a n=S n−S n−1=n−1n+1a n+1+2−n−2na n−2，整理，得：a n+1 n+1=2⋅a nn(n≥2,n∈N∗)，∴数列{a nn }从第二项a22=4开始是以2为公比的等比数列，∴a nn=4⋅2n−2=2n∴a n=n⋅2n(n≥2,n∈N∗)，∵当n=1时，a1=2也满足上式，∴a n=n⋅2n，n∈N∗．(2)证明：由(1)知，b n=a n2n(n+1)!=n⋅2n2n⋅(n+1)!=n(n+1)!=1n!−1(n+1)!，则T n=b1+b2+⋯+b n=1−12!+12!−13!+⋯+1n!−1(n+1)!=1−1(n+1)!<1，∵b n=n(n+1)!>0，n∈N∗，∴由T n构造成的数列{T n}为单调递增数列，∴T n≥T1=12，∴12≤T n<1．解析：本题第(1)题先计算出a1，a2的值，再根据公式a n=S n−S n−1(n≥2)，代入进行推导可得数列{a nn }从第二项a22=4开始是以2为公比的等比数列，通过计算出数列{a nn}的通项公式可得到数列{a n}的通项公式，最后将n=1代入验证最终可得数列{a n}的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和T n，再根据放缩法和数列的单调性的应用即可证明结论．本题主要考查数列求通项公式，以及数列与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，构造法，裂项相消法求数列前n项和，放缩法，不等式的计算能力，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：(1)设样本容量为x，则x5000×1300=130，解得x=500．∴年龄在[30,40)的教师在样本中共有5005000×2000=200(人)．∴年龄在[20,30)和[50,60)的教师在样本中共有500−200−130=170(人)．设年龄在[50,60)的教师在样本中的人数为y，由题意知，y+(y+10)=170，则y=80．即该市年龄在[50,60]的教师人数为5000500×80=800；(2)由(1)可知，年龄在[20,30]的教师人数为5000−2000−1300−800=900(人)，频率为9005000=0.18；年龄在[30,40]的教师人数为2000(人)，频率为20005000=0.4；年龄在[40,50]的教师人数为1300(人)，频率为13005000=0.26；年龄在[50,60]的教师人数为800(人)，频率为9005000=0.18．由此作出频率分布直方图：x−=25×0.18+35×0.4+45×0.26+55×0.16=39；s2=(25−39)2×0.18+(35−39)2×0.4+(45−39)2×0.26+(55−39)2×0.16=92．解析：(1)设样本容量为x，由x5000×1300=130解得x，进一步求得年龄在[30,40)的教师在样本中的人数，可得年龄在[20,30)和[50,60)的教师在样本中的人数，再由题意列式求解；(2)分别求出各区间段的频率，即可画出频率分布直方图，再由期望与方差公式求该市教师年龄的平均数x−及方差s2．本题考查频率分布直方图，训练了利用频率分布直方图求期望与方程的估计值，考查计算能力，是中档题．19.答案：解：(1)设F为BC中点，连结EF，AF，∵△ABC为等腰直角三角形，且二面角B−AD−C为直二面角，∴BD⊥平面ADC，∴AD=BD=CD=2√2，AB=BC=CA=4，由平面几何可知，BE=CE=√10，∴EF⊥BC，AF⊥BC，∴∠EFA是二面角A−BC−E的平面角，在△EFA中，AE=√2，AF=√42−22=2√3，EF=√10−4=√6，∴cos∠EFA=EF2+AF2−AE22×EF×AF =1612√2=2√23，∴二面角A−BC−E的余弦值为2√23．(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，则sinα=dDM，在三棱锥B−CDE中，S△BCE=12×BC×EF=2√6，由V B−CDE=V D−BCE，解得d=2√33当DM最小时，直线DM与平面BCE所成角的正弦值最大，此时所成角也最大，∴当M为BC中点时，直线DM与平面BCE所成角最大，此时DM=2，由平面几何知识可知，△CDE和△CME都是直角三角形，设N为CE的中点，则ND=NE=NC=NM=12CE=√102，∴三棱锥M−CDE的外接球的半径为R=√102，∴三棱锥M−CDE外接球的体积为：V=43π×(√102)3=5√103π．解析：(1)设F为BC中点，连结EF，AF，推导出BD⊥平面ADC，AD=BD=CD=2√2，AB=BC= CA=4，由平面几何可知，BE=CE=√10，从而EF⊥BC，AF⊥BC，进而∠EFA是二面角A−BC−E 的平面角，由此能求出二面角A−BC−E的余弦值．(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，则sinα=dDM，由V B−CDE=V D−BCE，解得d=2√33当DM最小时，直线DM与平面BCE所成角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成角最大，此时DM =2，同此能求出三棱锥M −CDE 外接球的体积．本题考查二面角的余弦值、三棱锥外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA =PG ，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， ∴GB =12GH =2，∴PG =√x 2+4，又∵PA =√(x −2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)； 当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为y 2=4x ，(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2−4t 1y −4a =0，∴y 1+y 2=−4t 1，y 1y 2=−4a ，∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12+2ax 1x 2=116y 12y 22=a 2，∵QS 2=(x 1−a)2+y 12=(x 1−a)2+4x 1=x 12+(4−2a)x 1+a 2，QT 2=(x 2−a)2+y 22=(x 2−a)2+4x 2=x 22+(4−2a)x 2+a 2，∴QS 2+QT 2=x 12+(4−2a)x 1+a 2+x 22+(4−2a)x 2+a 2=(x 1+x 2)2+(4−2a)(x 1+x 2)−2x 1x 2+2a 2=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4−2a)−2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12++4)，QS 2⋅QT 2=16a 2(t 12+1)2，则1|QS|+1|QT|=QS 2+QT 2QS ⋅QT =2t 12+a 2a (t 12+1)，当a =2时，上式=14与t 1无关为定值，所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值14．解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =12GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x −2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2， 进而表示出1|QS|2+1|QT|2即可．本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，…1分；当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上的单调递减…2分； 当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√1a =±√aa(舍负)，…3分；当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x ∈(√aa ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；…5分(2)证明：由已知，即证0<y <x ． ∵y =ln x⋅g(x)−1x⋅f(x)−1=lnx(e x x −1)−1x(12x+1x)−1=lne x −x−112x 2，∴即证0<lne x −x−112x 2<x …6分①设ℎ(x)=e x −x −1−12x 2，∴ℎ′(x)=e x −1−x ，ℎ″(x)=e x −1， ∵x ∈(0,+∞)，∴ℎ″(x)=e x −1>0，∴ℎ′(x)=e x −1−x 为增函数． ∴ℎ′(x)=e x −1−x >ℎ′(0)=e 0−1=0， ∴ℎ(x)为增函数，∴ℎ(x)=e x−x −1−12x 2>ℎ(0)=0，即e x−x −1>12x 2，即x(e xx −1)−1x(12x+1x)−1>1，∴lnx(e x x −1)−1x(12x+1x)−1>0，即y >0，…9分②构造函数s(x)=e x −x −1−12x 2e x ，∵s′(x)=e x −1−xe x −12x 2e x ，∴s″(x)=−2xe x −12x 2e x<0，∴s′(x)在(0,+∞)上为减函数， ∴s′(x)<s′(0)=0，∴s(x)在(0,+∞)上为减函数，∴s(x)<s(0)=0， ∴e x−x −1<12x 2e x，即e x −x−112x 2<e x，即y =lne x −x−112x 2<x 成立．由①②可知，0<y <x ，∴0<k <1成立，…12分．解析：(1)由f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，分a ≤0与a >0两类讨论，即可求得函数f(x)在(0,+∞)上的单调区间；(2)由已知，即证0<y <x.由于y =lnx⋅g(x)−1x⋅f(x)−1=lnx(e xx −1)−1x(12x+1x)−1=lne x −x−112x 2，即证0<lne x −x−112x 2<x ，①设ℎ(x)=e x −x −1−12x 2；②构造函数s(x)=e x −x −1−12x 2e x ，利用导数研究由这两个函数的单调性及函数取值情况，即可证得0<k <1成立．本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论、构造函数、多次求导等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −1)2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0． 所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2−1．(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2， 所以构成的切线长为√(2√2)2−1=√7，×1×√7=√7．所以四边形PACB面积的最小值为S=2×12解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由3ab=2a+b+2≥2√2ab+2，得ab≥2，当且仅当2a=b=2时成立，所以2a+b=3ab−2≥6−2=4，当且仅当2a=b=2时成立，所以2a+b的最小值为4．(2)由(1)知a3+b3≥2√a3b3≥4√2，当且仅当2a=b=2，a=b时成立，因为2a=b=2，a=b不同时成立，所以a3+b3>4√2，不存在a，b使a3+b3=4√2成立．解析：根据基本不等式求解ab的值域，然后求解(1)(2)．本题考查基本不等式，属于中等题．。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|x−1≥2}，则A∩B=()A. [2,3)B. [3,4)C. (3,4)D. [2,4)2.已知在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则z2=()A. 1−2iB. 1+2iC. 2iD. −2i3.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，从该校的所有教师中抽取56人进行调查，若按分层抽样，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师()人．A. 180B. 170C. 172D. 1824.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为M，离心率为√3，过点M与点(0,−2)的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为()A. x24−y22=1 B. x24−y23=1 C. x22−y24=1 D. x22−y2=15.执行如图所示的程序框图，若输入x=−1，则输入y的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深，丈，问积几何？”其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周2丈，外周4丈，宽1丈；下底中周1丈4尺，外周长2丈4尺，宽5尺；深1丈．问它的容积是多少？”则该曲池的容积为()立方尺(1丈=10尺，曲池：上下底面皆为扇形的土池，其容积公式为)A.56503B. 1890C.56303D.566037. 若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1=2a 5−1，则S 17=( )A. −17B. −172C. 172D. 178. 已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为( )A. 2B. 2√2C. 2√3D. 49. 设(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，那么a 0+a 2+a 4a 1+a 3的值为( )A. −122121B. −6160C. −244241D. −110. 抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则C 的焦点坐标为( )A. (4,0)B. (2,0)C. (1,0)D. (12,0)11. 已知f(1−x 1+x)=1−x 21+x 2，则曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. y =−xB. y =xC. y =2xD. y =−2x12. 已知数列{a n }满足：a 1=1,a n+1+a n =3n +1，则数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和为( )A. 2990B. 2988C. 1093D. 3091二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，，E 为CD 中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．16. 已知直线l 1:y =2x +3a ，l 2:y =(a 2+1)x +3，若l 1//l 2，则a =__________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，AB =5，AD =CD =4，BC =3，A =60∘．(1)求tan∠ABD 的值； (2)求ΔBCD 的面积．18.如图，在三棱锥A−BCD中∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．(1)证明：AB⊥CD；(2)求CD与平面ABD所成角的正弦值．19.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计反感10不反感8总计30．已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.设A是圆O：x2+y2=16上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足4|BQ|=3|BA|.当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知直线y=kx−2(k≠0)与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为M′，设P(0,−2)，证明：直线M′N过定点，并求△PM′N面积的最大值．21.函数(1)当−2<a<0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m≥1时，不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>−x；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查描述法、区间的定义，以及交集的运算，属于基础题．先解出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B={x|x≥3}，∴A∩B={x|3≤x<4}=[3,4)．故选：B．2.答案：D解析：本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．先求出z=1−i，再根据复数的运算法则，进行化简计算即可．解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．∴z2=(1−i)2=−2i．故选D．3.答案：D解析：本题考查了分层抽样，属于基础题．根据各层所占的抽样比相等进行列式求解即可．解：设该校其他教师共有n人，由已知得16n =5626+104+n，解得n=52．∴该校共有教师26+104+52=182人．故选D．4.答案：C解析：本题考查了双曲线的性质，属于基础题．根据斜率公式、渐近线方程求出b，根据离心率计算a，从而得出答案．解：双曲线的右顶点为M(a,0)，渐近线方程为：y=±bax．∴过M与点(0,−2)的直线斜率为2a =ba，∴b=2，又e=ca =√a2+b2a=√3，∴a=√2．∴双曲线的方程为x22−y24=1．故选C．5.答案：B解析：解：模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，可得y=0，故选：B．模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，即可得解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟程序运行正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积，比较基础．根据已知容积公式求解即可．解：根据已知容积公式可得该曲池的容积为[(2×10+5)×20+402+(2×5+10)×14+242]6×10=56503．故选A．7.答案：D解析：本题考查等差数列的性质及求和问题，属于较易题．求得a9后根据等差数列的性质即可求解，解：因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a5−1，所以a1=2(a1+4d)−1，所以a1+8d=1，即a9=1，所以S17=17×(a1+a17)2=17a9=17.故选D．8.答案：B解析：本题考查的知识点棱锥的几何特征，简单几何体的三视图，难度中档．作出直观图，计算各棱长，即可得出结论．解：如图所示，该几何体是三棱锥P−ABC，故可得PC=AB=2√2,BC=4,PA=4√2,PB=AC=2√6，故该几何体的最短棱长为2√2，故选B．9.答案：B解析：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35.解得a0+a2+a4和a1+a3+a5的值，结合a5=−1，即可求得要求式子的值．解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35，两式相加除以2可得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3+a5=−121，结合a5=C55(2)0(−x)5=−1，故a0+a2+a4a1+a3=122−120=−6160，故选B．10.答案：C解析：本题考查抛物线的性质，属于基础题．根据p的几何意义，即焦点F到准线l的距离是p进行求解．解：∵焦点F到准线l的距离为2，∴p=2．抛物线方程为y2=4x，∴焦点F的坐标为(1,0)．故选：C．11.答案：C解析：本题考查函数的解析式的求法以及利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属中档题．先求函数的解析式，再求导函数，最后求切线方程．解：令1−x1+x =t得x=1−t1+t，则f(t)=1−(1−t1+t)21+(1−t1+t)2=4t2+2t2=2tt2+1，所以f(x)=2xx+1，所以f′(x)=2−2x 2(x2+1)2，∴f′(0)=2，又f(0)=0，故切线方程为y =2x ． 故选C ．12.答案：D解析：解：已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4， 作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列， 由a 1=1，所以a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2， 又1a2n−1⋅a 2n+1=13(1a 2n−1−1a 2n+1)，所以数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和S 30=13[(1a 1−1a 3)+(1a 3−1a 5)+⋯+(1a 59−1a 61)]=13(1−191)=3091． 故选：D ．已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，求出a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，利用裂项求和法求出结果即可．本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．13.答案：1解析：本题考查了向量的数量积和向量的加减法，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，计算即可．解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22−12×2×2×cos60°−12×22=1，故答案为1．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大， 联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)．15.答案：[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z解析： 本题考查函数的图像与性质的应用，属于基础题．首先，根据函数图象，确定所给函数的解析式f(x)，然后结合三角函数的单调性求解其单调增区间即可． 解：根据函数的部分图象，可得14⋅T =14⋅2πω=2π3−5π12=π4，求得ω=2，所以函数，再把(5π12,2)代入函数的解析式，可得，所以，而|φ|<π2，故φ=−π3，故函数，令，求得，故答案为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．16.答案：−1解析：因为l1//l2，所以a2+1=2，a2=1，所以a=±1，又两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a=−1．17.答案：解：(1)由已知，在△ABD中，由余弦定理有，所以BD=√21，由正弦定理有，所以sin∠ABD=ADBD ·sinA=2√77，因为BD>AD，所以∠ABD为锐角，所以cos∠ABD=√217,tan∠ABD=2√33；(2)在△BCD中，，因为C∈(0,π)，所以，所以ΔBCD的面积．解析：本题考查正弦定理余弦定理及面积公式，同时考查同角关系式．(1)由余弦定理，求出BD，然后结合正弦定理和同角关系式求解即可；(2)由余弦定理求出cos C，得sin C，然后由面积公式求解即可．18.答案：证明：(1)∵在三棱锥A−BCD中，∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．∴△ABD≌△ABC，∴BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，∴AE⊥CD，BE⊥CD，∵AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB．解：(2)在△ABD中，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60°=7，∴BD=√7，∵DE=1，∴BE=√6，AE=√3，∴AB2=BE2+AE2，∴AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，∵V A−BCD=V C−ABD，∴13×CD×S△ABE=13×ℎ×S△ABD，∴ℎ=CD×S△ABES△ABD =2×12×√6×√312×3×3×sin60°=2√63，∴sinα=ℎCD =√63．∴CD与平面ABD所成角的正弦值为√63．解析：(1)推导出△ABD≌△ABC，从而BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，从而AE⊥CD，BE⊥CD，进而CD⊥平面ABE，由此能证明CD⊥AB．(2)由余弦定理求出BD=√7，从而AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，由V A−BCD=V C−ABD，求出ℎ=2√63，由此能求出CD与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.答案：解(1)由已知数据得K2的观测值k=30×(10×8−6×6)216×14×16×14≈1.158<2.706．所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C82C142=413，P(X=1)=C61C81C142=4891，P(X=2)=C62C142=1591．所以X的分布列为X的均值为E(X)=0×413+1×4891+2×1591=67．解析：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．(1)利用已知条件填写联列表，然后代入公式计算观测值，与观测值表中的数据比较即可；(2)依题意可知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，写出分布列，然后根据期望公式求解即可．20.答案：解：(1)设Q(x,y)，A(x0,y0)，∵4|BQ|=3|BA|，Q在直线l上，∴x0=x，|y0|=43|y|.①∵点A在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16.②将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1．证明：(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，Δ>0， ∴x 1+x 2=64k 16k 2+9，x 1x 2=−8016k 2+9．∵直线M′N 的斜率k M′N =y 2−y1x 2+x 1，∴直线M′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1).令x =0，得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1=2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92，∴直线M′N 过定点D(0,−92).△PM′N 面积S △PM ‘N =12|PD|⋅|x 1+x 2| =54×|64k16k 2+9|=8016|k |+9|k|≤2√16|k |×9|k|=103，当且仅当16|k|=9|k |，即k =±34时取等号， ∴△PM′N 面积的最大值为103．解析：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．(1)点A 在圆x 2+y 2=16上运动，引起点Q 的运动，我们可以由4|BQ|=3|BA|，得到点A 和点Q 坐标之间的关系式，并由点A 的坐标满足圆的方程得到点Q 坐标所满足的方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，利用直线的斜率，求直线M′N 的方程，即可求得直线M′N 所过定点，并求出△PM′N 面积的最大值．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x +1+ax (x >0)，令g(x)=x 2+x +a ，∵−2<a <0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x+alnx，根据m2≥2m−1≥1，问题转化为g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP=π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S△OCP=12|OC|⋅|OP|sin∠COP=12⋅2⋅4⋅sinπ6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)不等式f(x)>−x，即为|x−2|−|x+1|>−x，当x≥2时，x−2−x−1>−x，解得x>3，即x>3；当x≤−1时，2−x+x+1>−x，解得x>−3，即−3<x≤−1；当−1<x<2时，2−x−x−1>−x，解得x<1，即−1<x<1，综上可得原不等式的解集为{x|x>3或−3<x<1}；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，即有a2−2a≥f(x)的最大值，由|x−2|−|x+1|≤|x−2−x−1|=3，当且仅当x≤−1时，等号成立，可得a2−2a≥3，解得a≥3或a≤−1．所以实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(Ⅰ)讨论当x≥2时，当x≤−1时，当−1<x<2时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(Ⅱ)由题意可得a2−2a≥f(x)的最大值，运用绝对值不等式的性质可得最大值，由二次不等式的解法可得a的范围．。
2020届百校联盟(全国卷)高三第六次调研考试数学(理)试题
2020届百校联盟（全国卷）高三第六次调研考试高三数学（理科） ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项） 1．设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()R A C B I （ ） A ．{01}x x <≤ B ．{01}x x << C ．{12}x x ≤<D ．{02}x x <<2．已知集合{|01,}A x x x N =≤≤∈，则集合A 的子集个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uur（ ）A ．3144AB AC -uuu r uuu rB ．1344AB AC -uuu r uuu rC ．3144AB AC +uuu r uuu rD ．1344AB AC +uuu r uuu r4．已知向量(1,7)m =与向量(tan ,18tan )n αα=+平行，则tan 2α的值为（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．345．已知函数3()sin(2)2f x x π=+（x R ∈)，下面结论错误的是（ ) A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =b =6A π∠=，则B ∠=（ ） A ．4π B ．4π或34π C ．3π或23π D ．3π7．已知命题:p 对任意()480,,log log x x x ∈+∞<，命题:q 存在x R ∈，使得tan 13xx =-，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧ 8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a 满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,)2-∞ B ．1(,)2-∞3(,)2+∞ C ．13(,)22 D ．3(,)2+∞9．函数y=2|x|sin2x 的图像可能是（ ）10．已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1xf x e =-，则(2016)(2015)f f +-=（ ）A ．1e -B ．1e -C ．1e --D ．1e +11．已知a 为常数，函数32()3(3)1xf x ax ax x e =---+在(0,2)内有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）A ．(,)3e -∞B ．2(,)3e eC ．2(,)36e eD ．(,)3e+∞12．已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12,x x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (0,1]B ． (1,)+∞C ．(0,1)D ．[1,)+∞第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线．．．．．．．．上） 13．已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧---∈3,2,1,21,21,1,2α，若幂函数αx x f =)(为奇函数，且在0+∞（，）上单调递减，则α=_________14．已知曲线3ln y x x =-，则其在点(1,3)处的切线方程是_______________15．在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF uu v|=2，则AE uu u v ·BF uu v的最小值为 __________．16．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为__________三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）17．（本小题满分12分）设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =-（）ππ-［，］上的解. 18．（本小题满分12分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(sin ,sin sin )m A B C =-，(3,)n a b c =-+，且m n ⊥．（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =b -的取值范围． 20. （本小题满分12分） 已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．21．（本小题满分12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≤<=10030,9018002300,30)(x x x x x f （单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g x （）的表达式；讨论g x （）的单调性，并说明其 实际意义.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.高三数学（理科）试卷参考答案与评分标准一、选择题（12小题，每题5分，共60分） 二、填空题（4小题，每题5分，共20分）13．1- 14．210x y -+= 15． 3- 16．3-三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17.解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。
2020年11月百校联盟(全国卷I理数)试卷及答案
A. {7}
B. {1,4,7}
C. {1,3,7}
D. { 1,3,4,7}
2.
已知复数
z
满足
z
=
2 + mi 1−i
(m
∈
R)
且|
z
|=
2
，则
m
的值为
A. 2
B. −2 或 2
C. 3
D. −3 或3
3. 已知实数 a > 0 , b > 0 ，则“ a > b > 1 ”是“ ea + 2b > eb + 2a ”的
AM 与 CD1 所成角的余弦值为
A. 10 5
B. 5 5
10 C. 10
5 D. 2
6. 已知函数 f ( x ) 为定义在 R 上的增函数且其图像关于点 (2,0) 对称，若 g( x ) = f (2− x ) ，则不等式 g( x + 3) + g(1−2x ) ≥ 0 的解集为
A. [ 2,+ ∞)
，则下列说法正确的有______；
（请将所有正确的序号填在横格上）
①k
=
2
；② k
>
2
；③ ln
x0
= −x0
1 ；④
e
<
x0
<
1 2
.
16. 在三棱锥 P − ABC 中，已知 PA ⊥ BC , PB ⊥ AC , PA = PB = 2AB = 4 ，则三棱锥 P − ABC 外接球的表 面积为______；
图像，若函数 g( x )
的最小正周期为 π
， x=
π 3
为函数 g( x )
百校联盟2020届高考复习全程精练模拟卷理科数全国卷1模拟答案解析(5页)
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2020年百校联盟高考(理科)数学(5月份)模拟试卷(全国Ⅰ卷) (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=a1+2i+i(a∈R)在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣1 3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．14．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．3635．已知a=log234，b=log445，c=log889，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组7．已知函数f(x)=sin(x+π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A ．[136，83)B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83]8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√229．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2) B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√210．已知实数a ，b ，满足a 28+b 22=1，当√acosθ+√2bsinθ取最大值时，tan θ＝（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．211．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，以下结论正确的个数是（ ）①双曲线C 的离心率为√3；②双曲线C 的渐近线方程y =±√2x ；③直线l 的斜率为1． A ．0B ．1C ．2D ．312．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ae ﹣x +2sin x 满足{f(y −3)≤f(x)≤f(0)f(1−6y)≤f(x)≤f(0)，则z ＝x ﹣lny 的最小值是（ ） A ．﹣ln 6B ．﹣2C ．ln 6D ．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为 ．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈N*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，T n=2b n−n(n∈N∗)．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知直线l ：y =mx −m 22(m ≠0)与椭圆C ：ax 2+by 2＝1交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−14，若直线x ＝t 与直线l 交于点P ，与直线OD 交于点M ，且M 为直线y =−14上一点． （1）求P 点的轨迹方程；（2）若F(0，12)为概圆C 的上顶点，直线l 与y 轴交点G ，记S 表示面积，求S △PFGS △PDM的最大．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＞0}，B ＝{x |2x ≤2}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ≤1}D ．{x |x ≤﹣1}【分析】先解出关于集合A ，B 的不等式，求出A 的补集，从而求出其补集与B 的交集． 解：因为∁U A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）≤0}＝{x |﹣1≤x ≤2}， B ＝{x |2x ≤2}＝{x |x ≤1}， ∴（∁U A ）∩B ＝{x |﹣1≤x ≤1}； 故选：C ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A ，B 是解决本题的关键． 2．已知i 为虚数单位，复数z =a1+2i +i(a ∈R)在复平面内所对应点（x ，y ），则（ ） A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝3x ﹣1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的实部与虚部，消参数得答案． 解：∵z =a 1+2i +i =a(1−2i)5+i =a 5+(1−2a5)i ， ∴{x =a5y =1−2a 5，得y ＝﹣2x +1．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量a →=（﹣2，m ），b →=（1，2），a →•（2a →+b →）=112．则实数m 的值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2a →+b →，再根据数量积的坐标运算法则表示出a →•（2a →+b →），从而得到关于m 的方程，解之即可．解：∵a →=（﹣2，m ），b →=（1，2），∴2a →+b →=(−3，2m +2)，∴a →•（2a →+b →）＝6+m （2m +2）=112，即m 2+m +14=0，解得m =−12，故选：B ．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO ．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO ＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO 据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A ．81B ．243C ．248D ．363【分析】根据题意求出RO 的值，再计算得病总人数． 解：由题意知，RO ＝1+40%×5＝3， 所以得病总人数为：3+32+33+34+35=3×(1−35)1−3=363（人）．故选：D ．【点评】本题考查了等比数列的前n 项和的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知a =log 234，b =log 445，c =log 889，则（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】先结合对数的换底公式对已知对数式进行化简，然后结合对数函数的单调性即可比较大小．解：b =log 445=12log 245=log 2√5，c =log 889=13log 289=log 2√93， 因为916＜45＜√813，所以34√5√93，所以a ＜b ＜c 故选：B ．【点评】本题主要考查了对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础试题． 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（ ）A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组【分析】求出数据的极差，分成7组，可求组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，即可求得中位数为12.5应位于第5组内．解：数据的极差为15.1﹣8.8＝6.3，分成7组，组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，中位数为12.5应位于第5组内． 故选：C ．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83) B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83] 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ+π6∈[9π2，11π2），由此可得结果．解：∵函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数为 y ＝sin （ωx +π6）在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值； ωx +π6∈[π6，2ωπ+π6]，∴2ωπ+π6∈[9π2，11π2），则正实数ω∈[136，83），故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．√24C ．√34D ．√22【分析】设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ，则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角，由此能求出异面直线OC 与PD 所成角的余弦值．解：设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ， 则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∴∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角， 在△PDE 中，PE ＝PO =√2r ，DE ＝r ， ∴cos ∠PDE =r 22r=√24． 故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√2【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF 2|的值．解：由题意，F 1（﹣2，0），则抛物线方程为y 2＝8x ． 计算可得|PF 1|=√2，|PF 2|＝2a −√2=4√2−√2=3√2． 过Q 作QM ⊥直线l 与M ，由抛物线的定义知，|QF 2|＝|QM |． ∵|F 1F 2||PF 2|=|MQ||PQ|，∴3√2=3√2−|MQ|，解得：|MQ |＝12（3﹣2√2）．∴|QF 2|＝|MQ |＝12（3﹣2√2）． 故选：A ．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 10．已知实数a ，b ，满足a 28+b 22=1，当√acosθ+√2bsinθ取最大值时，tan θ＝（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2【分析】根据辅助角公式可得√acosθ+√2bsinθ=√a +2b sin （θ+φ）≤√a +2b ≤√2√a 2+4b 22=2，进而可求得答案解：由a 28+b 22=1得a 2+4b 2＝8，利用辅助角公式可得：√acosθ+√2bsinθ=√a +2b sin （θ+φ）≤√a +2b ≤√2√a 2+4b 22=2，其中tan φ=√a 2b ， 所以最大值为2，当且仅当a ＝2b ＝2时成立， 所以√acosθ+√2bsinθ=2sin （θ+π4）， 则θ=π4+2k π，k ∈Z ，则tan θ＝1， 故选：B ．【点评】本题考查三角函数的恒等变形，关键是用三角函数表示a 、b ．11．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，以下结论正确的个数是（ ）①双曲线C 的离心率为√3；②双曲线C 的渐近线方程y =±√2x ；③直线l 的斜率为1． A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】由题意可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合双曲线的离心率公式和渐近线方程，直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论． 解：由MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，由|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|﹣|NF 1|＝2a ，两式相减可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ，即有m ＝2√2a ，设H 为MN 的中点，在直角三角形HF 1F 2中，可得4c 2＝4a 2+（2a +2√2a ﹣2a ）2，化为c 2＝3a 2，e =ca =√3，故①正确； 又√1+b 2a 2=c a=√3，可得ba =√2，故②正确；因为|HF 2|=12|MN |＝2a ，所以|HF 1|=√|F 1F 2|2−|HF 2|2=2√c 2−a 2，所以直线l 的斜率为|HF 2||HF 1|=2√c 2−a 2=√22，故③错误． 故选：C ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ae ﹣x +2sin x 满足{f(y −3)≤f(x)≤f(0)f(1−6y)≤f(x)≤f(0)，则z ＝x ﹣lny 的最小值是（ ）A ．﹣ln 6B ．﹣2C ．ln 6D ．2【分析】由已知可求a ，然后对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而可得关于x ，y 的不等式组，结合线性规划知识即可求解． 解：由题意f （0）＝1﹣a ＝0可得a ＝1，所以f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +2sin x ，f′(x)=e x +1e x+2cosx ≥2+2cos x ≥0， 故f （x ）在R 上单调递增，则{y −3≤x ≤01−6y ≤x ≤0，作出可行域如图所示，其中A （0，16），B （0，3），C （−177，47）， 设y ＝e x ﹣z ，则由图象可知，设y ＝x +3与y ＝e x ﹣z 相切于点D （x 0，y 0），由y ′＝e x ﹣z ，令e x 0−z =1可得x 0＝z ，y 0=1∈(47，3)，故y ＝x +3与y ＝e x ﹣z 相切于点D （﹣2，1）时，z 取得最小值z min ＝﹣2． 故选：B ．【点评】本题综合考查了导数与单调性的关系的应用及利用线性规划知识求解目标函数的最值，体现 了转化思想及数形结合思想的应用． 二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为15．【分析】由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，由此能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项， 则这两项来自影响稍弱区的概率是： P =C 32C 62=315=15． 故答案为：15．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，则f （2x ﹣2）≥f （0）的解集为 [1，2] ． 【分析】先求出a 的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f （2x ﹣2）≥f （0），求出x 的范围．解：∵函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称， ∴a ＝1，f （x ）=(12)|x−1|∈（0，1]，则由f （2x ﹣2）≥f （0）=12，结合图象可得 0≤2x ﹣2≤2，求得 1≤x ≤2， 故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题． 15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，则∠B ＝π3，若b ＝2，则△ABC 的面积为√312．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A ≠0，可得cos B =12，结合范围B ∈（0，π），可求B =π3，进而根据余弦定理可求ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ＝（2sin A ﹣sin C ）cos B ，可得sin B cos C +cos B sin C ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∵sin （B +C ）＝sin （π﹣A ）＝sin A ，且sin A ≠0， ∴可得cos B =12， ∵B ∈（0，π）， ∴B =π3，又∵b ＝2，a +c ＝3， ∴a 2+c 2﹣2ac cos B ＝b 2， ∴（a +c ）2﹣3ac ＝4， ∴ac =53，∴S △ABC =12ac sin B =5√312．故答案为：π3，5√312．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为1849π16cm 2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h 构成直角三角形求出容器内水面的高度h ，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积． 解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm ，高为18cm ，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h 构成直角三角形， 所以2√85=√122+h 2，解得h ＝14， 所以容器内水面的高度为14cm ，设球的半径为R ，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r =√62−32=3√3，球心到截面圆的距离为R ﹣4，所以R 2＝（R ﹣4）2+(3√3)2，解得R =438； 所以球的表面积为4π×(438)2=1849π16（cm 2）． 故答案为：1849π16．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题． 三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt △PCD 、PD ⊥CD ，A ，B 分別为PD ，PC 的中点PD ＝2DC ＝2，将△PAB沿AB 折起，得到四棱锥P '﹣ABCD ，E 为P 'D 的中点． （1）证明：P 'D ⊥平面ABE ；（2）当正视图方向与向量BA →的方向相同时，P '﹣ABCD 的正视图为直角三角形，求此时二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．【分析】（1）由平面图可知，AB ⊥P ′A ，AB ⊥AD ，得到AB ⊥平面P ′AD ，得AB ⊥P ′D ，再由已知可得AE ⊥P ′D ．由直线与平面垂直的判定可得P ′D ⊥平面ABE ； （2）由P '﹣ABCD 的正视图与△P ′AD 全等，为直角三角形，得P ′A ⊥AD ，以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP ′所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC 的一个法向量与平面ABE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：由平面图可知，AB ⊥P ′A ，AB ⊥AD ， 又P ′A ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面P ′AD ，得AB ⊥P ′D ． ∵E 为P ′D 的中点，P ′A ＝AD ，∴AE ⊥P ′D ． ∵AE ∩AB ＝A ，∴P ′D ⊥平面ABE ；（2）解：∵P '﹣ABCD 的正视图与△P ′AD 全等，为直角三角形， 故P ′A ⊥AD ，以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP ′所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 则A （0，0，0），D （0，1，0），P ′（0，0，1）， B （12，0，0），C （1，1，0），E （0，12，12），P′D →=(0，1，−1)，BE →=(−12，12，12)，BC →=(12，1，0)． 设平面BEC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅BE →=−12x +12y +12z =0n →⋅BC →=12x +y =0，取x ＝2，得n →=(2，−1，3)．∴P′D →为平面ABE 的一个法向量，设二面角A ﹣BE ﹣C 为θ，∴cos ＜P′D →，n →＞=P′D →⋅n→|P′D →|⋅|n →|=−2√77． ∵二面角A ﹣BE ﹣C 为钝角，∴cos θ=−2√77，故二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值为−2√77．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，n ∈一、选择题*，a 5＝6，S 6＝27，数列{b n }的前n 项和T n ，T n =2b n −n(n ∈N ∗)． （1）判断{b n +1}是等比数列，并求b n ； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和．【分析】（1）T n =2b n −n(n ∈N ∗)．n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1，化为：b n ＝2b n ﹣1+1，变形为：b n +1＝2（b n ﹣1+1），进而证明结论．利用通项公式考点b n ．（2）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 5＝6，S 6＝27，利用通项公式可得：a 1+4d ＝6，6a 1+15d ＝27，联立解得：a 1，d ，可得a n ．可得a n •b n ＝（n +1）•2n ﹣（n +1）．利用错位相减法与等差数列得求和公式即可得出． 解：（1）T n =2b n −n(n ∈N ∗)．∴n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1＝2b n ﹣n ﹣（2b n ﹣1﹣n +1），化为：b n ＝2b n ﹣1+1， ∴b n +1＝2（b n ﹣1+1），n ＝1时，b 1＝2b 1﹣1，解得b 1＝1．∴b 1+1＝2．∴{b n+1}是等比数列，首项与公比都为2，∴b n＝2n﹣1．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5＝6，S6＝27，∴a1+4d＝6，6a1+15d＝27，联立解得：a1＝2，d＝1，∴a n＝2+n﹣1＝n+1．∴a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．∴数列{（n+1）•2n}的前n项和A n＝2×2+3×22+4×23+……+（n+1）•2n．∴2A n＝2×22+3×23+……+n•2n+（n+1）•2n+1．相减可得：﹣A n＝4+22+23+……+2n﹣（n+1）•2n+1＝2+2(2n−1)2−1−（n+1）•2n+1．化为：A n＝n•2n+1．∴数列{a n•b n}的前n项和＝n•2n+1−n(3+n)2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【分析】（1）先补充完整2×2列联表，然后根据K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）X 的可能取值为0，1，2，先求出两种车型使用寿命不低于7年和低于7年的占比数，然后依据相互独立事件的概率逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）先求出两款出租车型的每辆车的利润，然后结合频数分布列求两种车型的平均利润，比较大小后，取较大者即可．解：（1）补充完整的2×2列联表如下所示，使用寿命不高于6年 使用寿命不低于7年总计 A 型 30 70 100 B 型 50 50 100 总计80120200∴K 2=200×(50×30−70×50)2100×100×80×120≈8.33＞6.635，∴有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关． （2）由题可知，A 型车使用寿命不低于7年的车数占710，低于7年的车数占310；B 型车使用寿命不低于7年的车数占12，低于7年的车数占12． ∴X 的可能取值为0，1，2， P （X ＝0）=310×12=320，P （X ＝1）=710×12+310×12=12，P （X ＝2）=710×12=720． ∴X 的分布列为X12P32012720∴数学期望E（X）=0×320+1×12+2×720=65．（3）∵平均每辆出租车年上交公司6万元，且A，B两款车型的采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆，∴两款出租车型的每辆车的利润如下表：使用寿命年数5年6年7年8年A型6×5﹣11＝196×6﹣11＝256×7﹣11＝316×8﹣11＝37B型6×5﹣8＝226×6﹣8＝286×7﹣8＝346×8﹣8＝40用频率估计概率，这100辆A型出租车的平均利润为1100×(19×10+25×20+31×45+37×25)=30.1（万元），这100辆B型出租车的平均利润为1100×(22×15+28×35+34×40+40×10)=30.7（万元），∵30.7＞30.1，故会选择采购B款车型．【点评】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望、平均数的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知结合极值存在条件可求m，然后结合导数单调性及最值的关系即可求解；（2）由已知不等式代入整理可得ln（1+x）＜bx，可考虑构造函数h（x）＝ln（x+1）﹣bx ，结合导数与单调性的关系对b 进行分类讨论可求．解：（1）f′(x)=e x −1x+m， 由x ＝0是f （x ）的极值点可得1−1m =0，即m ＝1，经检验m ＝1符合题意， f′(x)=e x −11+x =e x (x+1)−1x+1， 设g （x ）＝e x （x +1）﹣1，则g ′（x ）＝e x （x +2）＞0在x ＞﹣1时恒成立，故g （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增且g （0）＝0，所以，当x ＞0时，g （x ）＞0即f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，当﹣1＜x ＜0时，g （x ）＜0即f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，故当x ＝0时，f （x ）取得最小值f （0）＝1，（2）由e x ＜bx +f （x ）在（0，+∞）上恒成立可得ln （1+x ）＜bx ，设h （x ）＝ln （x +1）﹣bx ，则h′(x)=11+x −b ， （i ）若b ≥1，则x ＞0时，h′(x)=11+x−b ≤0，h （x ）单调递减， 所以h （x ）＜h （0）＝0，符合题意，（ii ）若b ≤0，则x ＞0时，h′(x)=11+x −b ＞0，h （x ）单调递增，h （x ）＞h （0）＝0，不符合题意，（iii ）若0＜b ＜1，则h′(x)=11+x −b =0时，x =1b −1， 当x ∈(0，1b −1)时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，此时h （x ）＞h （0）＝0，不满足题意，综上，b 的范围[1，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值和最值，还考查了由不等式的恒成立求参数的范围问题，体现了分类讨论思想的应用．21．已知直线l ：y =mx −m 22(m ≠0)与椭圆C ：ax 2+by 2＝1交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−14，若直线x ＝t 与直线l 交于点P ，与直线OD 交于点M ，且M 为直线y =−14上一点．（1）求P 点的轨迹方程；（2）若F(0，12)为概圆C 的上顶点，直线l 与y 轴交点G ，记S 表示面积，求S △PFG S △PDM 的最大． 【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），联立两方程，结合韦达定理可得x 1+x 2=m 3b bm 2+a ，则x 0=x 1+x 22=m 3b 2bm 2+2a，再带回直线方程进而得到b ＝4a ，从而t ＝m ，消去m 后可得x 2＝2y ；（2）结合（1）表示出P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m +1，−m 22(4m 2+1)），M （m ，−14），再分别表示出两三角形的面积，利用换元思想得最值．解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），联立{y =mx −m 22ax 2+by 2=1得（bm 2+a ）x 2﹣m 2bx +bm 44−1＝0， 则x 1+x 2=m 3b bm 2+a ，则x 0=x 1+x 22=m 3b 2bm 2+2a， 将其代入y ＝mx −m 22得y 0=−m 2a 2bm 2+2a， 因为y 0x 0•m =−a b ，所以−a b=−14，即b ＝4a ， 故OD 方程为y =−14m x ， 则−14=−14mt ，故t ＝m ， 代入y ＝mx −m 22，得P （m ，m 22），消去m ， 可得P 点的轨迹方程为x 2＝2y （x ≠0）；（2）由题得b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 2+4y 2＝1，由（1）知x 0=x 1+x 22=2m 34m 2+1，y 0=−m 22(4m 2+1)， 对于直线l ，令x ＝0，y =−m 22，则G （0，−m 22）， 所以P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2+1，−m 22），M （m ，−14）， 所以S △PFG =12|GF ||m |=14|m |（m 2+1）S △PDM =12|PM |•|m ﹣x 0|=|m|(2m 2+1)28(4m 2+1)， 则S △PFGS △PDM =2(4m 2+1)(m 2+1)(2m 2+1)2，令n ＝2m 2+1，则S △PFGS △PDM=(2n−1)(n+1)n 2=−1n 2+1n +2， 当1n =12，即n ＝2时，S △PFGS △PDM 取得最大值94，此时m ＝±√22，满足△＞0． 【点评】本题考查点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合，转化思想、换元思想、函数思想等，综合性强，属于难题请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k 1+k 2y =2(1−k 2)1+k 2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k 2y =2(1−k 2)1+k 2（k 为参数），整理得y 2+1=21+k ，又x +1=4k1+k 2，两式相除得：k =x+1y+2，代入x +1=4k 1+k 2，得到（x +1）2+y 2＝4（y ≠﹣2）． （2）曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣4＝0．设圆心C 1（﹣1，0）到直线l 的距离为d ，则|AB |=2√4−d 2=2√3，解得d ＝1．所以：|PD|=√|PC1|2−1，当|PC1|最小时，|PD|最小，由于|PC1|的最小值为圆心C1到直线C2的距离．根据|PC1|=2=5√22，所以|PD|min=√252−1=√462．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=13（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．【分析】（1）由f（x）≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M；（2）由条件可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）=13（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；（2）证明：由a，b，c＞0，f（a）+f（b）+f（c）＝9，可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，当且仅当a+1＝b+1＝c+1，即a＝b＝c时，取得等号，则a+b+c+3≤√3[(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2]=√3×27=9，即a+b+c≤6．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。