与椭圆有关的最值问题
高中数学椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。
一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a -c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，2201)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=，将其代入 20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+⋅=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。
联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。
因为直线b x my +-=1与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以042222>++-=∆m b 。
与椭圆有关的最值问题
角度类问题典型例题
例题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线$x^2 = 8sqrt{2}y$的焦点，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与C相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率 之积为$- frac{5}{16}$，则直线l的方程为____。
距离类问题典型例题
例题1
已知椭圆$frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1$，点P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的 两个焦点，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为____。
例题2
过椭圆$frac{x^2}{5} + y^2 = 1$的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、 B两点，O为坐标原点，则弦AB的长为____。
通过解析几个与椭圆有关的最值问题的典型例题，我们掌握了这类问情况
通过本次课程的学习，我深刻理解了椭圆的标准方程和性质，掌握了在约束条件下求解最值问题的方法，对于典型例 题的解析也有了更深入的认识。
学习方法与效率
在学习过程中，我采用了课前预习、课后复习的方法，同时结合了大量的练习来巩固所学知识。这种学习方法使我能 够高效地吸收和掌握知识。
利用平面几何知识，如相似、勾股定 理等，求出最值；
03
与椭圆相关的最值问题类 型
面积类问题
1 2
椭圆内接矩形面积的最大值
给定椭圆，求其内接矩形面积的最大值。
椭圆内接三角形面积的最大值
给定椭圆，求其内接三角形面积的最大值。
3
椭圆与直线围成的图形面积
给定椭圆和直线，求它们围成的图形面积。
距离类问题
需要注意定义域的限 制。
利用一元二次函数的 性质，如顶点、对称 轴等，求出最值；
椭圆的几种最值问题
椭圆中的几种最值问题一：求离心率的最值问题1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
二：求点点（点线）的最值问题3：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦 点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
4：定长为d d b a ≥⎛⎝⎫⎭⎪22的线段AB 的两个端点分别在椭圆x a y b a b 222210+=>>()上移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。
三：求角的最值问题 5：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的 长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1。
(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 上的动点，使∠F PF 最大的点 P 记为Q ，求点Q 的坐标 (并用m 表示) 。
四：求面积的最值问题例6：（05年全国II ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．五：求线段之和（或积）的最值问题 7：若椭圆13422=+y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的坐标为 （ ）A．(3± B．(3C ．3(1,)2± D ．3(1,)28：如图，在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆131222=+y x 的焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？9已知点F 是椭圆192522=+y x 的右焦点，M求|MA|+|MF|的最小值。
怎样利用定义求解与椭圆有关的最值问题
椭圆是一种重要的圆锥曲线，与椭圆有关的最值问题在高中数学试卷中比较常见，定义法是解答此类问题的重要方法.椭圆的定义除了第一定义，还有第二定义、第三定义.下面，我们重点谈一谈如何运用椭圆的这三个定义来解答与椭圆有关的最值问题.一、利用椭圆的第一定义求解椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．在运用椭圆的第一定义解题时，要先确定两个定点的位置，然后建立关于动点M的关系式：MF1+MF2=2a.这样便可根据该关系式来寻找取得最小值的点M的位置，进而求得最值.例1.已知P()-2,3,F2为椭圆x225+y216=1的右焦点，点M在椭圆上移动.求MP+MF2的最大值和最小值.分析：所求的最值与MF2有关，可利用椭圆的第一定义建立关系式MF1+MF2=2a，将求MP+MF2的最值转化为求MP-MF1的最值，根据三角形三边之间的关系和性质便可求得问题的答案.解：如图1所示，连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2.由椭圆的第一定义知MF1+MF2=2a，所以MP+MF2=MP+2a-MF1，由三角形三边之间的关系知-PF1≤MP-MF1≤PF1，当且仅当M与图中M1合时取右边的等号，M与图中M2重合时取左边的等号.因为2a=10,PF1=2，所以MP+MF2的最大值为12,所以MP+MF2的最小值为8.图1一般地，若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2分别是椭圆的左右焦点，P()x0,y0为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点，当定点在椭圆的内部时，2a-PF1≤MF2+MP≤2a+PF1；当定点在椭圆的外部时，PF2≤MF2+MP≤2a+PF1.二、利用椭圆的第二定义求解圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e的点的轨迹.在运用椭圆的第二定义解题时，我们先要明确定点（即焦点F）和定直线（准线x=a2c）的位置，然后建立关于动点P(x0,y0)的关系式MP=e||||||x0-a2c，利用其关系或关系式来解题.例2.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是椭圆上动点，点A（1,1）是一个定点，求PA+32PF1的最小值.分析：明确题目中的数量关系后可以发现，所求目标中的32是椭圆离心率的倒数，联系第二定义：椭圆上的点到左焦点和到左准线的距离d之比为离心率e，可得PF1d=23，即d=32PF1，不难得到PA+32PF1=PA+d，所以PA+32PF1的最小值为椭圆上的P点到A点和到左准线的距离和的最小值，只需过点A，D作左准线的垂线即可.解：由题意可知，椭圆5x2+9y2=45的长半轴a=3，短半轴b=5，半焦距c=2，离心率e=23，右焦点F2()2,0,左准线x=-92.如图2所示，过点A，D作左准线的垂线,垂足为D1、D2.设P点到左准线的距离为d.由椭圆的第二定义可知PF1=ed，所以PA+32PF1=PA+32ed=PA+d，则PA+d的最小值就是点A到左准线x=-92的距离AD1=1+92=112,当且仅当点P在P1处PA+d取最小值，故PA+d的最小值为112.图2探索与研究颜琴55当与椭圆有关的最值问题涉及定点、定直线时，就要利用椭圆的第二定义，把与动点有关的最值问题转化为与定点、定直线之间的距离来求解.三、利用椭圆的第三定义求解椭圆的第三定义是指平面内动点到两定点A (a ,0)和B (-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.这也就是说，A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0上的两个顶点，P 是椭圆上异于A ,B 的一个动点，若k PA ,k PB 的斜率都存在，则k PA ∙k PB =e 2-1=-b 2a2.运用椭圆的第三定义，可以快速找到过椭圆上两个顶点的直线的斜率之间的关系.例3.已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，若A ，B 是椭圆长轴的两个端点，M ,N 是关于x 轴对称的两点，直线AM ,BN 的斜率分别是k 1,k 2（k 1∙k 2≠0），则||k 1+||k 2的最小值为_______.分析：由长轴长、短轴长和焦距成之间的关系得到椭圆的离心率，由A ，B ，M ，N 的位置可联想到椭圆的第三定义，求得k 1∙k 2的值，再利用基本不等式就可以使问题得解.解：由椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，得2a +2c =4b ，又b 2=a 2-c 2，可得e =c a =35，由椭圆的第三定义可得k 1∙k 2=e 2-1=-1625，而M ,N 是关于x 轴对称的两点，则k 1=-k 2，可得k 1∙k 2=1625，所以||k 1+||k 2≥2k 1k 2=85，当且仅当k 1=k 2时取等号.由以上几个题目可以看出，与椭圆有关的最值问题一般都会涉及椭圆上的定点、定直线.如果问题中的定点为焦点，就要考虑利用椭圆的第一定义来解题；如果问题中涉及的定点、定直线分别为焦点、准线，就要考虑用椭圆的第二定义来解题；如果问题中涉及了椭圆的顶点以及过顶点的直线的斜率，就要考虑采用椭圆的第三定义解题.（作者单位：江西省余干第一中学）探索与研究在学习中，我们经常会遇到抽象函数问题，此类问题一般侧重于考查同学们的直观想象能力和抽象思维能力.抽象函数一般没有具体的函数解析式，与x a 、sin x ()cos x 、ln x 、e x 的乘积构成的函数解析式也不明确，我们很难快速解出.而运用构造法，借助构造的新函数的性质、图象，则能快速破解此类问题.例1.已知定义在R 上的函数f ()x 为奇函数，当x ≤0时，恒有xf ′(x )≥3f ()-x ，则不等式8xf ()2x >()1-3x 3x 2f ()1-3x 的解集为_____.解：∵f ()x 是定义在R 上的奇函数，∴f ()-x =-f ()x ，当x ≤0时，由xf ′()x ≥3f ()-x 可得x 3f ′()x +f ()x ≥0，令g ()x =x 3f ()x ，∴当x ≤0时，g '()x =2x 2f ()x +x 3f ′()x =3x 2éëùûf ()x +x 3f '()x ≥0，∴g ()x 在(]-∞,0上单调递增，∵g ()-x =-x 3f ()-x =x 3f ()x =g ()x ，g ()x 是偶函数，∴g ()x 在[)0,+∞上单调递减，不等式8xf ()2x >()1-3x 3x2f ()1-3x 等价于8x 3f ()2x >()1-3x 3f ()1-3x ，即g ()2x >g ()1-3x ，等价于||2x <||1-3x ，解得x ＜15或x ＞1，∴不等式的解集为æèöø-∞,15⋃()1,+∞.56。
椭圆中的常见最值问题
椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆上一点到它的二焦点的距离之积为，则取得的最大值时，P点的坐标是。
P（0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程（）p为椭圆上一点，是椭圆的二焦点，求的取值范围。
分析：，当时，=，当时，即2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线xx或反向xx与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知，、是椭圆的左右焦点，P为椭圆上一动点，则的最大值是，此时P点坐标为。
的最小值是，此时P点坐标为。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的xx或反向xx与椭圆的交点。
例4、已知，是椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，则的最小值是，此时P点坐标为。
的最大值是，此时P点坐标为。
分析：，当P是的xx与椭圆的交点时取等号。
，当P是的反向xx与椭圆的交点时取等号。
4、椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值（为椭圆的离心率），可通过转化为（为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。
例5、已知定点，点F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动，求的最小值，并求此时M点的坐标。
例6、已知点椭圆及点，为椭圆上一个动点，则的最小值是。
5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。
例7、过椭圆（）的中心的直线交椭圆于两点，右焦点，则的最大面积是。
例8、已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过原点的一条弦，求面积的最大值。
6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。
例9、P为椭圆（）一点，左、右焦点为，则的最大面积是。
7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。
椭圆最值问题分类微专题(一)
椭圆最值问题分类微专题1.椭圆：，已知，，若过的直线与椭圆交于两点．（1）求证：；（2）求面积的最大值．解：（1）即证：设直线方程为，代入椭圆方程得：，（*）设，则（2）（，）因（*）中，所以所以时，的最大值为3.已知椭圆的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为。
若有一个菱形的顶点，在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为。
（1）求椭圆的方程；（2）当直线过点时，求直线的方程；（3）当时，求菱形面积的最大值。
解:（1）依题意，解，得所以，于是椭圆的的方程为（2）由已知得直线：设直线：，，由方程组得 当时，的中点坐标为， 因为是菱形，所以的中点在上，所以，解得，满足 所以的方程为（3）因为四边形为菱形，且，所以，所以菱形的面积由（2）可得又因为，所以当且仅当时，菱形的面积取得最大值，最大值为。
4.如图所示,椭圆C : ,左右焦点分别记作 ,过 分别作直线 交椭圆于 ,且 ⫽ ．(1)当直线 的斜率与直线 的斜率 都存在时,求证: 为定值;(2)求四边形面积的最大值．证明:(1)设 ,根据对称性,有 ;因为 都在椭圆C 上,所以 ,二式相减得 ;所以为定值(2)(Ⅰ)当 的倾角为时, 与 重合,舍去.(Ⅱ)当 的倾角不为 时,由对称性得四边形 为平行四边形；而 过 ，设直线 的方程为 ；代入 ,得 ；显然；所以设 ,所以；所以，当且仅当即时等号成立.所以；所以平行四边形面积的最大值为解法二5.已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为．（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值．解：（1）依题意设切线长∴当且仅当取得最小值时取得最小值，而，，从而解得，故离心率的取值范围是；（2）依题意点的坐标为，则直线的方程为，联立方程组得，设，则有，，代入直线方程得，，又，，，直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知，，，，所以．。
椭圆中的范围最值问题
专题2椭圆中的范围最值问题1.己知椭圆c：干+p%对＞o）的左、右焦点分别为匕吗,椭圆c上存在点机使巫巫=0.（1）求椭圆C的离心率e的取值范围；⑵若椭圆C的e = g，匕（-店0），设点尸（如为）（）序0）在椭圆C上，点。
（4,0）在夺眇的平分线上，求7的取值范围.2.如图，椭圆「:二+写=W〉》＞0）的离心率为分别是其左、右焦点，过F,的直线/ a' b~交椭圆于点A, B, P是椭圆上不与A, B重合的动点，。
是坐标原点.（I）若。
是△枷的外心，Sg*的值;。
的取值范围.3.已知点心在椭圆乒#*小。
）上，点A在第-象限，。
为坐标原点，且"必.（I）若a = Rb = \直线OA的方程为x-3y = 0,求直线08的斜率;（2）若△Q4B是邻腰三角形（点O,吊，B按顺时针排列），求仑的最大值.2 24.知椭圆C:声+分=1(。
＞人＞0)的长轴长为4右，点(75,妁在C上.(1)求C的方程；(2)设C的上顶点为A,右顶点为B,直线/与平行，且与C交于M, N两点Mb = DN , 点F为C的右焦点，求|DF|的最小值.5.如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆r：y + / = l的左、右焦点分别为匕如设P是第一象限内下上的一点，S、PF「的延长线分别交r于点Q、Q2.(1)求W0，的周长；(2)求5而面积的取值范围；(3)设小弓分别为时牛0、WQ的内切圆半径，求厂弓的最大值.6.已知K是椭圆C:§ + § = 1(">0)的左焦点，经过点P(0, -2)作两条互相垂直的直线4和小直线匕与C交于点A, B.当直线£经过点月时，直线£与C有且只有一个公共点.(1)求C的标准方程；(2)若直线匕与椭圆C有两个公共点，求线段AB的取值范围.。
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题邢志平本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向：几何化、代数化、三角化，这三个方向在解决其它圆锥曲线中最值问题时也可用。
1. 几何化方向画出图形，利用几何图形的性质按几何思路借助解析方法求解。
例1. 已知点、B（2，0），在椭圆上求一点P，使|AP|+2|BP|最小，则P点坐标为___________。
解根据题意，知B为椭圆的右焦点，A为椭圆内一点。
因为，所以。
由椭圆第二定义，知，即，所以，这样，问题就转化为求一点P到A点及L的距离和的最小值。
过A作AN⊥L于N，交椭圆于P点，P即为所求。
所以P点坐标为。
例2. 已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R，求|PQ|+|PR|的最大值。
解如图1，连结PF1、PF2及F1R、F2Q，所以得到△PRF1及△PQF2，根据题意可知，圆心恰好为椭圆的两个焦点。
在三角形中|PR|<|PF1|+|F1R|，|RQ|<|PF2|+|F2Q|，所以，即。
当P、F1、R与P、F2、Q都共线时，，所以 |PQ|+|PR|的最大值是6。
在问题转化过程中常利用椭圆的两个定义。
2. 代数化方向先求出变量的函数表达式（或目标函数）然后用适当的代数方法（如：配方、均值不等式、函数单调性等）加以解决。
例3. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆的长轴长的最小值为___________。
解在椭圆上取一点P（x，y），。
当P点在短轴顶点时，|y|最大为b，所以。
又，所以。
先利用面积与高的函数关系式，确定面积的最大值，再找出长轴长与已知等式函数关系式利用不等式求最值。
例4. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标。
分析本题是一道“动中求静”的综合问题，必须用函数观点分析。
解从可推出a=2b，于是可设椭圆方程为，即。
设M（x，y）是椭圆上任意一点，且，于是，有由于，于是转化为在闭区间，求二次函数的最值问题，从“轴定区间动”的规律知若时，则，所以，此方程的解不满足。
椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法（1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；（3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为三角函数的最值问题处理。
一、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，20201)(||y c x PF ++=，由1220220=+b y ax 得)1(22020a x b y -=，将其代入20201)(||y c x PF ++=并化简得a x a cPF +=01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+×=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a a cPF -=+-×=)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1.（2015浙江卷）如图，已知椭圆1222=+y x 上两个不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB D 面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0¹m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。
联立ïîïíì+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。
因为直线b x m y +-=1与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点，所以042222>++-=D mb 。
椭圆中最值问题的求解方法
椭圆中最值问题的求解方法
椭圆中最值问题的求解方法可以分为两种：几何方法和解析方法。
1. 几何方法：
- 图形法：将椭圆图形画出，通过观察最高点和最低点的位置，得出最值的近似值。
- 平移旋转法：通过平移和旋转椭圆，将椭圆化为标准方程，再利用最值定理求解。
- 加点法：在椭圆上加入一些点，通过计算点的坐标值得出
最值。
2. 解析方法：
- 参数方程法：将椭圆的参数方程代入目标函数，求导后求
解最值。
- 最值定理：利用椭圆的不等式性质和最值定理，通过求解
约束条件得出最值。
- Lagrange乘子法：将约束条件加入目标函数，通过Lagrange乘子求解最值。
需要注意的是，椭圆中最值问题的求解方法因具体情况而异，选取适合的方法需要根据具体题目来决定。
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题一．椭圆中线段的最值（1）椭圆中最长的直径为122A A a =，最短的直径为122B B b =；（2）椭圆中最长的焦点弦为122A A a =，最短的焦点弦为通径（2b a）；（3）椭圆中最大的焦半径为a c +，最小的焦半径为a c -；或者说：椭圆上任一点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -； 二．椭圆中常见角的最值设点P 为椭圆上任一点，则焦点三角形的顶角12F PF ∠的最大值为12F BF ∠，且212cos 12F PF e ∠≥-， 12F PF S ∆的最大值为bc ； 12A PA ∠的最大值为12A BA ∠；例1．P 为椭圆22194x y +=上的一点，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠最小值为三．平面内任一点到两定点的距离之和（差）的最值问题 设P 为平面内一动点，A 、B 为两定点，则||||||PA PB AB +≥ 当且仅当点P 在线段AB 上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB -≤-≤ 当且仅当点P 在线段AB （或BA ）的延长线时取等号．B A P P图2例2．（1）已知点(3, 3)A -，点(5, 1)B ，点P 在x 轴上移动，使得||||PM PB +最小，则点P 的坐标为 ．（2）已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，(3, 2)M ，点P 在椭圆上，则||||PM PF +的最小值是 ；||||PM PF -的最大值是 ．例3．已知椭圆22143x y +=内有一点(1, 1)P -，F 为右焦点，在椭圆上有一动点M ，则||||MP MF +的最大值为 ，最小值为 ．四．平面内一动点P 到一定点M 和定直线l 的距离之和的最小值问题设P 为平面内一动点，M 为定直线l 外的一定点，d 为P 到l 的距离，0d 为M 到l 的距离，则 ||PM d +的最小值为0d ．例4．已知定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22: 12516x y C +=的左焦点，点P 为C 上的动点，则13||5||PA PF + 的最小值为 ．五．直线上一动点与两定点的视角的最大值问题 A 、B 是直线l 同侧两定点，且直线AB l ⊥， 点P 为直线l 上一动点，则APB ∠有最大值．使APB ∠最大的点P 有何几何意义呢？由于点A 、B 是定点，l 为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A 、B 、P 的圆，（如图5、6）当点P 在直线l 上运动时，过三点A 、B 、P 的圆O 与直线l 的关系是相交或相切，当圆O 与直线l 相交时，l 上总存在点Q 在圆内且使AQB APB ∠>∠；当且仅当圆O 与直线l 相切时，直线上除切点外，其余点均在圆O 外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系，此时APB ∠最大，切点即为所求．lP 'PQ图5MBAOlP 'P图 6MBAOlAB M图 4P例5．12F F 、是椭圆22142x y +=的左右焦点，l 是椭圆的准线，点P l ∈，求12F PF ∠的最大值．（30）解法2：因为当过12F F 、、P 三点的圆与准线l 相切时，12F PF ∠最大，由切割线定理得 212||||||6KP KF KF =⋅=，故||KP =六．当直线l 与椭圆相离时，椭圆上总存在到直线l 的距离有最大（小）值的点 方法1：设(cos ,sin )P a b θθ，利用点到直线的距离公式——求三角函数的最值； 方法2：设与l 平行的直线系l '——与椭圆方程联立消元——令0∆=——得出与l 平行的椭圆的两条切线1l 、2l ——求出l 与1l 、l 与2l 的距离即为所求．例6．设(2, 0)F 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右焦点，以F 为圆心，5为半径的圆与椭圆相交于A 、B 两点，且||AB =（1）求椭圆的方程； （2）设直线2y kx =+交椭圆于M 、N 两点，O 为原点，求△MON 面积的最大值．练习1．（ ）已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为7(,4)2A ，则||||PA PM +的最小值是 （A ）112 （B ）4 （C ）92（D ）5练习2．已知抛物线28y x =和一点(3,2)A ，在抛物线上求一点M ，使得此点到点A 与到焦点F 的距离之和最小．。
巧用定义求椭圆中四类最值问题(精)
巧用定义求椭圆中四类最值问题聂文喜圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。
一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e 是C的离心率，求的最小值。
例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。
分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。
这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。
二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。
例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）图1由椭圆的第一定义得：可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。
故的最大值为，最小值为。
三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。
例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。
解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为图2根据椭圆的第二定义有：，即可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。
故的最小值为10。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”图3则当且仅当AB过焦点F时等号成立。
故M到椭圆右准线的最短距离为。
评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。
椭圆中的最值问题
DF By AOE椭圆中的最值问题1 ．设F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值．2 ．如图,四边形ABCD 的顶点都在椭圆13622=+y x 上,对角线A C ．BD 互相垂直且平分于原点O.(1)若点A 在第一象限,直线AB 的斜率为1,求直线AB 的方程; (2)求四边形ABCD 面积的最小值.3 ．设F 1、F 2分别是椭圆1922=+y x 的左、右焦点｡ (I)若M 是该椭圆上的一个动点,求21MF MF ⋅的最大值和最小值;(II)设过定点(0,2)的直线l 与椭圆交于不同两点A ．B,且∠AOB 为钝角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围｡4 ．已知椭圆C 22:14y x +=,过点M (0, 1)的直线l 与椭圆C 相交于两点A 、B ． (Ⅰ)若l 与x 轴相交于点P ,且P 为AM 的中点,求直线l 的方程; (Ⅱ)设点1(0,)2N ,求||NA NB +的最大值.5 ．已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为43y =离心率3e =M 是椭圆上的动点. (Ⅰ)若,C D 的坐标分别是(0,3),(0,3)-,求MC MD 的最大值;(Ⅱ)如题(20)图,点A 的坐标为(1,0),B 是圆221x y +=上的点,N 是点M 在x 轴上的射影,点Q 满足条件:OQ OM ON =+,0QA BA =.求线段QB 的中点P 的轨迹方程;6 ．(如图)设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.(1)若6ED DF =,求k 的值; (2)求四边形AEBF 面积的最大值.7 ．设椭圆为1422=+y x ,过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ．B 两点,O 是坐标原点,点P 满足)(21+=,点N 的坐标是(0.5,0.5),当l 绕点M 旋转时,求:(1)动点P 的轨迹方程;(2)求|NP |的最大值与最小值｡8 ．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的离心率为6，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3，求AOB △面积的最大值． 9 ．椭圆的中心原点O ，焦点在y 轴上，离心率6e =，过(0,1)P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，且2AP PB =，求AOB ∆面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．学科网10．已知动点A ．B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB|=2，点P 在线段AB 上，且).(是不为零的常数t t =设点P 的轨迹方程为C 。
知识总结椭圆最值题目
7.是双曲线＝的左、右焦点，M（6，6）为双曲线内部的一点，）的最小值；（）的最小值。
16 7.是双曲线＝的左、右焦点，M （6，6）为双曲线内部的一点，）的最小值；（）的最小值。
答案：（对全部高中资料试卷电气设备，在安装钟雨辛 张文号 韦凯译 温馨 梁智奇、管路敷设技术通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。
在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标等，要求技术交底。
管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。
线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。
、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。
对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。
椭圆外一点到椭圆距离的最值
椭圆外一点到椭圆距离的最值一、问题背景介绍：椭圆作为一类常见的二次曲线，与圆和直线比较起来具有一些独特的性质，如对称性、离心率等。
其中，椭圆外一点到椭圆距离的最值问题是一个比较常见且具有一定难度的问题。
本篇文章将介绍椭圆外一点到椭圆距离的最值问题的解法及其相关定理。
二、椭圆外一点到椭圆的距离计算公式在介绍椭圆外一点到椭圆距离最值问题的解法之前，我们需要先了解一下椭圆外一点到椭圆的距离计算公式。
设椭圆的标准方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，椭圆外一点为$P(x_0,y_0)$，则点$P$ 到椭圆上任意一点$Q(x,y)$ 的距离为：$d(P,Q)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$该式也可以写成：$d^2(P,Q)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$三、椭圆外一点到椭圆距离的最值问题现在，我们来看椭圆外一点到椭圆距离的最值问题。
问题描述：给定椭圆的标准方程和一个点 $P(x_0,y_0)$，求点 $P$ 到椭圆上的距离最短和最长的两个点$Q_1$ 和$Q_2$，并求出它们的距离。
解法一：解析法对于这个问题，我们可以利用解析几何的基本方法进行求解。
首先，我们可以将点 P 到椭圆上任意一点 Q 的距离公式代入椭圆标准方程中，得到：$\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1-\dfrac{d^2}{a^2}$其中，$d$ 表示点 P 到任意一点 Q 的距离。
由于点 P 到椭圆上的距离等于点 P 到椭圆的两个焦点 F1 和 F2 的距离之差，因此有：$d=|\sqrt{(x_0-f_1)^2+(y_0)^2}-\sqrt{(x_0-f_2)^2+(y_0)^2}|$其中，$F1(-c,0)$ 和 $F2(c,0)$ 分别表示椭圆的两个焦点，$c$ 表示椭圆的离心率。
根据以上公式，我们可以先假设点 Q 在第一象限（即 $x>0,y>0$），然后将椭圆标准方程代入求解公式中，得到：$d^2=(x_0-c)^2+y_0^2-2f_1x_0+(f_1^2-a^2)$接下来，我们对该式关于 $x_0$ 求导数，并令其等于 0，得到：$x_0=\dfrac{a^2f_1}{\sqrt{a^2f_1^2+b^2y_0^2}}+c^2\dfrac{x_0}{\sqrt{a ^2f_1^2+b^2y_0^2}}$整理上式，可得：$x_0=\dfrac{a^2c}{\sqrt{a^2-b^2}}$将该式代入点 P 到椭圆上任意点 Q 的距离公式中，得到：$d_1=\dfrac{a\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2+b^2-2ac}}$同理，我们可以假设点 Q 在第四象限（即 $x>0,y<0$），并按照上述步骤计算得到：$x_0=\dfrac{-a^2c}{\sqrt{a^2-b^2}}$$d_2=\dfrac{a\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+2ac}}$两个距离即为所求的最短距离和最长距离。
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与椭圆有关的最值问题
圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。
对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。
而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。
能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。
下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。
1．定义法
例1。
P(-2,3),F 2为椭圆116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2
︱的最大值
和最小值。
分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。
由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知
–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1
22a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8
结论1：设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意
一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。
例2：P(-2,6),F 2为椭圆
116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2
︱的最大值和最小值。
分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。
∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+
37
，最小值是
41。
结论2：设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，
则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。
2.二次函数法
例3．求定点A(a,0)到椭圆122
22=+b
y a x 上的点之间的最短距离。
分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。
解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱P A ︱2
=(x-a)2
+y 2
=(x-a)2
+1-x 212
=2)2(2
1
a x -+1-a 2
由椭圆方
程知x 的取值范围是[-
2,2]
（1） 若︱a ︱≤
2
2,则x=2a 时︱P A ︱min =
2
1a -
（2） 若a>
2
2,则x=
2时︱P A ︱
min
=︱a －
2︱
（3） 若a <－
2
2,则︱P A ︱min =︱a+
2︱
结论3：椭圆122
22=+b
y a x 上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式
表示︱MA ︱或︱MB ︱，通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。
3.三角函数法
例4：椭圆14
2
22=+y x 上的点M(x,y)到直线l ：x+2y=4的距离记为d,求d 的最值。
分析：若按例3那样d=5
4
2-+y x 转化为x 或y 的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆
的参数方程，即三角换元。
解：d=
5
4
2-+y x ∵
14
2
22=+y x ∴令
()R y x ∈⎩⎨
⎧==θθθs i n
c o s
2 则
d=
5
4
sin 2cos 2-+θθ=
2
)4
sin(25
2-+
π
θ
当sin )4
(π
θ
+
=1时,d min =
5
10
254-, 当sin )4
(π
θ+
=﹣1时,d max =
5
10
254+
结论
4：若椭圆122
22=+b
y a x 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，
统一变量转化为三角函数求最值。
4.判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。
解。
令直线m ：x+2y+c=0 将x =﹣2y ﹣c 代入椭圆方程整理得8y 2+4cy+c 2-4=0，由△=0解得c =±22,
c=-22
时直线m ：x+2y -22=0与椭圆切于点P,则P 到直线l 的距离为最小值，且最小值就是两平行
直线m 与l 的距离，所以d min =
5
10
254-
c=22时直线m ：x+2y +22=0与椭圆切于点Q ，则Q 到直线l 的距离为最大值，且最大值就是两平行
直线m 与l 的距离，所以d max =
5
10
254+。
结论5：椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。
说明：有些题目可以用几种不同的方法去解决，我们必须清楚它们的最优解法，以便提高做题速度及准确率。