频率响应法

f (t) L1{F (s)} 1


j
F
( s)e
st
ds
2 j j
s j
傅立叶变换对
F ( j ) F{ f (t)} f (t)e jt dt
f (t) F 1{F ( j)} 1 F ( j)e jt d
G( j)
1

1
j (RC) 1 j( 1 ) 1
1 1
RC
Re(G) R()
G(
j)

R()
jX ()

1
(
j( 1) 1)2 1

1
j( 1)
1 ( 1)2 1 ( 1)2
College of Automatic Control Engineering , CUIT
在已知系统传递函数时，只要用jω替换复变量s 即可直接得到系统频率响 应函数。
College of Automatic Control Engineering , CUIT
第八章 频率响应法
2. 拉氏变换、傅立叶变换、传递函数、频率特性的关系
拉氏变换对
F (s) L{ f (t)} f (t)est dt 0
对线性定常系统，当输入是正弦信号时，其稳态输出也是同频率的正弦信 号。而且，相对于输入信号，输出只是幅值与相位的变化，这种变化是频率 的函数。造成输出的幅值与相位随频率变化的根本原因就是系统性能，这就 是频率法分析设计系统的理论依据。 1. 频率响应的定义
系统的频率响应定义为：系统对正弦输入信号的稳态响应，具体用系统输 出与输入的幅值比和相位差随频率的变化关系表示。
第八章 频率响应法
8.1 频率响应及频率响应图
前面各章采用了基于复数域变量s 传递函数描述控制系统，并用系统极、 零点在s平面的位置分布来分析系统响应，设计系统参数。
本章及后续章介绍另一种系统分析与设计方法----频率响应法。
一、线性系统的频率响应
在前面基于s域方法中，系统的测试信号采用阶跃、斜坡等，讨论在这些 信号激励下系统动态与稳态响应情况。频率响应法采用正弦测试信号，研 究系统在它激励下的稳态响应。
College of Automatic Control Engineering , CUIT
第八章 频率响应法
r(t) Rsin(t i) G(jω)
y(t) Y sin(t o)
G( j) Y () o() i() G( j) G( j)
R()

s2
s 2

则在稳态时，输出y(t)将为：
y(t)

L1


s2
s 2


1

A T ( j) sin( t ) A T ( j) sin( t )
T ( j )
当输入为正弦信号时，对于特定的频率ω，系统稳态输出信号的幅值和相 位完全依赖于T(jω)。系统的频率响应就是T(jω)。
2
传递函数 T (s) L{y(t)} Y (s)
L{r(t)} R(s)
由拉氏变换可以可以导出系统的传递函数， 基于拉氏变换的s平面方法侧重于分析系统的 极、零点分布；
频率特性
s j
T ( j) F{y(t)} Y ( j) F{r(t)} R( j)
由傅立叶变换可以导出系统频率特性，基于 傅氏变换的频率响应法则重点研究系统的幅频 和相频特性。
例如：图示RC电路
R
幅频响应
相频响应
ui (t ) Asin(t ) ui
C
uo uo (t ) Ao sin(t )
由相量分析法得相量比：
U o U i

1/jC R 1/jC

1
jT 1
G( j)

U o U i

1
jT 1
1
tg 1T
(T)2 1
对一般系统 Y (s) T (s)R(s)
其中
T (s) m(s)
q(s)
m(s)
n
(s pi )
i 1
输入为 r(t) Asin(t)
其拉氏变换
R(s) A s2 2
College of Automatic Control Engineering , CUIT
频率特性函数：
G( j) G(s) R() jX () s j
G() 2 R() 2 X () 2 () tan1 X () R( )
R() Re[G( j)] X () Im[G( j)] 例如，RC电路
Im(G) X ()
1, R() 1 , X () 1
2
2
或者源自文库
0, G() 1,() 0 , G() 0,() 90 1, G() 1 2 ,() 45
College of Automatic Control Engineering , CUIT
College of Automatic Control Engineering , CUIT
第八章 频率响应法
二、频率响应的图形表达
系统频率响应特性在每个频率点都是复数，复数常表示为直角坐标和极坐 标形式。频率响应特性通常也在直角坐标系和极坐标系中绘制其曲线---频率 响应图。
1. 极坐标图—幅相图（Nyquist图） G( j) G( j) e j() G() ()
第八章 频率响应法
绘制方法：
G(
计算若干特殊点频率特性，以光滑曲线 连接。
0, R() 1, X () 0
j)

R(
1
1 (
) jX ()
1 ) 2
j 1

1
(
j( 1) 1)2 1
( 1) ( 1)2
, R() 0, X () 0
第八章 频率响应法
假设pi为互不相同的极点。对Y(s)部分分式展开有
Y (s) k1 kn s
s p1
s pn s2 2
由于pi都有负实 部，稳态时指数
取反拉普拉斯变换得
项均趋于0。
y(t)

k1e p1t

kne pnt

L1