立体几何初步讲义

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

知 识 梳 理

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系

⎩⎨

⎧

共面直线⎩⎪⎨

⎪⎧

平行相交异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．

②围：⎝

⎛⎦⎥⎤0，π2.

(3)平行公理和等角定理

①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

辨 析 感 悟

1．对平面基本性质的认识

(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×)

(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于A 点，记作α∩β＝A .(×) (3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√) (4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×) 2．对空间直线关系的认识

(5)已知a ，b 是异面直线、直线c 平行于直线a ，那么c 与b 不可能是平行直线．(√) (6)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)

[感悟·提升]

1．一点提醒做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．如(1)中两个不重合的平面还可把空间分成三部分．

2．两个防一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如(2)；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如(4)．

3．一个理解异面直线是指不同在任何一个平面，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面的两条直线就是异面直线，如(6).

考点一平面的基本性质及其应用

【例1】 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是( )．

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0 B．1 C．2 D．3

(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是( )．A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

规律方法 (1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．

(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．

【训练1】如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________．

考点二空间两条直线的位置关系

【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．

【训练2】在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

考点三 异面直线所成的角

【例3】 在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，

PB 与平面ABCD 所成角为60°.

(1)求四棱锥的体积；

(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值．

规律方法 (1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成角的取值围是⎝

⎛⎦⎥⎤0，π2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的围．

【训练3】 (2014·模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1的中点，则A 1B 与EF 所成角的大小为________．

1．证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上． 2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：

(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合． 3．异面直线的判定方法

(1)判定定理：平面外一点A 与平面一点B 的连线和平面不经过该点的直线是异面直线； (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

思想方法7——构造模型判断空间线面的位置关系

【典例】 (2012·卷)已知空间三条直线l ，m ，n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则( )． A ．m 与n 异面 B ．m 与n 相交 C ．m 与n 平行 D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能 【自主体验】

1．(2013·卷)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )． A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β ，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β 2．对于不同的直线m ，n 和不同的平面α，β，γ，有如下四个命题：

①若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；②若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m ⊥α，m ∥n ，

n ⊂β，则α⊥β.其中真命题的个数是( )．A ．1 B ．2 C ．3 D ．4