10、完全平方公式
北师大版七年级数学下册知识点梳理教程文件
北师大版七年级数学下册知识点梳理七年级数学（下）重要知识点总结第一章：整式的运算一、概念1、代数式：2、单项式:由数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
单项式不含加减运算，分母中不含字母。
3、多项式:几个单项式的和叫做多项式。
多项式含加减运算。
4、整式:单项式和多项式统称为整式。
二、公式、法则：（1）同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n（同底，幂乘，指加） 逆用： a m+n =a m ﹒a n （指加，幂乘，同底）（2）同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n（a ≠0）。
（同底，幂除，指减） 逆用：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）（指减，幂除，同底）（3）幂的乘方：（a m ）n =a mn （底数不变，指数相乘）逆用：a mn =（a m ）n（4）积的乘方：（ab ）n =a n b n推广：逆用， a n b n =（ab ）n （当ab=1或-1时常逆用） （5）零指数幂：a 0=1（注意考底数范围a ≠0）。
（6）负指数幂：11()(0)p p p a a a a -==≠(底倒，指反)（7）单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。
（8）多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。
（9）平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2 公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果=22()-相同）（不同 推广（项数变化）：连用变化：（10）完全平方公式： 222222()2,()2,a b a ab b a b a ab b +=++-=-+逆用：2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-完全平方公式变形（知二求一）：222()2a b a b ab +=-+222()2a b a b ab +=+-222212[()()]a b a b a b +=++-22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+ 2214[()()]ab a b a b =+-- 完全平方和公式中间项=完全平方差公式中间项=完全平方公式中间项=例如：229x +mxy+4y 是一个完全平方和公式，则m = ；是一个完全平方差公式，则m = ；是一个完全平方公式，则m = ；（11）多项式除以单项式的法则:().a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷（12）常用变形：221((n n x y x y +--2n 2n+1）=(y-x), ）=-(y-x)第二章 平行线与相交线一、余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。
常用数学公式
常用数学公式Last revision on 21 December 2020常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b22. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2 ab+b2)3. 同底数幂相乘: am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p为正整数）4. 等差数列：（1）sn ＝＝na1+ n(n-1)d；（2）an＝a1＋（n－1）d；（3）n ＝＋1；（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ；（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）5. 等比数列：（1）an＝a1q－1；（2）sn ＝（q 1）（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；（4）若m+n=k+i，则：am·an=ak·ai ；（5）am-an=(m-n)d（6）＝q(m-n)（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1= ；x2= （b2-4ac 0）根与系数的关系：x1+x2=- ，x1·x2=二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180 °；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
初中高中数学定理公式大全
初中高中数学定理公式大全1.代数运算定理：-加法交换律：a+b=b+a-减法交换律：a-b≠b-a-乘法交换律：a×b=b×a-除法交换律：a÷b≠b÷a-分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2. 平方差公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²3. 平方和公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²4. 一元二次方程求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)5. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC6. 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC7. 对数公式：loga(ab) = loga(a) + loga(b)8.指数公式：a^m×a^n=a^(m+n)9.相反数的求法：-(-a)=a10. 完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²11. 二项式定理：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n12.绝对值公式：，a×b，=，a，×，b13.分式的乘法公式：(a/b)×(c/d)=(a×c)/(b×d)14.微积分的基本定理：积分与微分是互逆的15.等腰三角形的定理：等腰三角形的底角相等，等腰三角形的两底边相等16.等边三角形的定理：等边三角形的三边相等，等边三角形的三个内角都是60度17.三角函数的和差化积公式：- 正弦的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB- 余弦的和差化积公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB18.直角三角形的勾股定理：a²+b²=c²19.等角三角函数的关系式：- 正弦和余弦的关系式：sin²θ + cos²θ = 1- 正切和余切的关系式：tanθ × cotθ = 120.对数函数的性质：-对数函数的底数必须大于0且不等于1- 对数函数的性质：loga(b × c) = loga(b) + loga(c)。
完全平方公式30道题
完全平方公式30道题一、完全平方公式基础计算（10道题）1. 计算(a + 3)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a=a，b = 3。
所以(a+3)^2=a^2+2× a×3 + 3^2=a^2 + 6a+9。
2. 计算(x 5)^2解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a=x，b = 5。
所以(x 5)^2=x^2-2× x×5+5^2=x^2-10x + 25。
3. 计算(2m+1)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 2m，b=1。
所以(2m + 1)^2=(2m)^2+2×2m×1+1^2=4m^2 + 4m+1。
4. 计算(3n 2)^2解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 3n，b = 2。
所以(3n-2)^2=(3n)^2-2×3n×2+2^2 = 9n^2-12n + 4。
5. 计算(a + b)^2，其中a = 2x，b=3y解析：先将a = 2x，b = 3y代入完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，得到(2x+3y)^2=(2x)^2+2×2x×3y+(3y)^2=4x^2 + 12xy+9y^2。
6. 计算(m n)^2，其中m = 5a，n=2b解析：把m = 5a，n = 2b代入完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 5a，b = 2b，所以(5a-2b)^2=(5a)^2-2×5a×2b+(2b)^2=25a^2-20ab + 4b^2。
7. 计算(4x+3)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 4x，b = 3。
人教版八年级数学上册课件：14.2.2完全平方公式(第一课时)
(2)理解字母a、b的意义：公式中的字母a、b，它们可以 表示具体的数，也可表示单项式；
(3)运用完全平方公式的口诀为：首平方、尾平方，首尾 2倍在中央，中间符号看首尾．
2．利用完全平方公式 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)(a+b)2-(a-b)2=4ab． 3．计算一些大数的平方时，关键是把已知数的底数拆成
(6)2(x+y)(x-y)-(x+y)2-(x-y)2．
解：原式=-[(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2] =-[(x+y)-(x-y)]2 =-(2y)2 =-4y2．
9．先化简，再求值： (1)(a+2b)2+(b+a)(b-a)，其中a=-1，b=2；
解：原式=a2+4ab+4b2+b2-a2 =4ab+5b2． 当a=-1，b=2时， 原式=4×(-1)×2+5×22=12．
(3)(2x-y)2(2x+y)2； 解：原式=[(2x-y)(2x+y)]2 =(4x2-y2)2 =16x4-8x2y2+y4；
(4)9x(x+1)-(3x-1)2；
解：原式=9x2+9x-9x2+6x-1 =15x-1；
(5)(2x-4y)2+(4y-2x)2； 解：原式=(4x2-16xy+16y2)+(16y2-16xy+4x2) =8x2-32xy+32y2；
11． (1)若(a-b)2=9，ab=2，则(a+b)2= 17 ;
(2)若(x+y)2=11，(x-y)2=7，则xy的值为 1 ;
整式的加减乘除及因式分解中考总复习(知识点复习 中考真题题型分类练习)
整式的加减、乘除及因式分解整式加减一、知识点回顾1、单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
补充：单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5……单项式系数和次数：系数：次数：2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。
多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
例如，多项式3x-2最高的项就是一次项3x ，这个多项式的次数是1，它是一次二项式4、整式的概念：单项式与多项式统称整式二、整式的加减1、同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。
合并同类项：把多项式中同类项合并在一起，叫做合并同类项。
合并同类项时，把同类 项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。
2、去括号的法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ．3、整式加减的运算法则（1）如果有括号，那么先去括号。
（2）如果有同类项，再合并同类项。
整式乘除及因式分解一、幂的运算：1、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注n m n m a a a +=∙n m ,意底数可以是多项式或单项式。
2、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如： mn n m a a =)(n m ,10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即 如：m n n m mn a a a )()(==23326)4()4(4==3、积的乘方法则：（是正整数）。
积的乘方，等于各因数乘方的积。
n n n b a ab =)(n 4、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不n m n m a a a -=÷n m a ,,0≠)n m 变，指数相减。
5、零指数； ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
10=a 二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
完全平方公式知识点例题变式
完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。
一、完全平方公式知识点。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。
- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。
二、例题。
1. 计算(3x + 2y)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。
- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。
2. 计算(2m - 5n)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。
- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。
三、变式。
1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。
- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。
2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。
- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。
- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。
- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。
数学平方公式大全
数学平方公式大全1.一元二次方程的平方公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，根据二次方程的求根公式，可以得到平方公式：x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}2.一元二次不等式的平方公式：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，根据二次一元不等式的解集，可以得到平方公式：x\in(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})3.和的平方公式：对于任意实数a和b，有(a+b)^2=a^2+2ab+b^24.差的平方公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2=a^2-2ab+b^25.平方差公式：对于任意实数a和b，有a^2-b^2=(a+b)(a-b)6.立方和公式：对于任意实数a和b，有(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^37.立方差公式：对于任意实数a和b，有a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)8.立方和平方差公式：对于任意实数a和b，有a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)9.二次和公式（完全平方公式）：对于任意实数a、b和常数c，有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=c10.二次差公式（完全平方公式）：对于任意实数a、b和常数c，有(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=c11.二次和差公式（完全平方公式）：对于任意实数a、b和常数c，有a^2+b^2=c，当且仅当a=b或a=-b 时成立。
12.完全平方公式：对于任意实数a和常数b，有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^213.复数的平方公式：对于复数z=a+bi，其平方公式为 z^2=(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi14.二项式平方差公式：对于任意实数a和b，有(a+b)(a-b)=a^2-b^215.平方根公式（逆平方公式）：对于任意实数a和b，有(\sqrt{a})^2=a，(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b总结：数学平方公式是数学中最基本的概念之一，涵盖了一元二次方程、一元二次不等式、一元三次方程、二次和、差的平方公式等方面。
2024年最新人教版初二数学(上册)模拟考卷及答案(各版本)
2024年最新人教版初二数学(上册)模拟考卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 若一个数的立方根是±2，则这个数是（）A. 4B. 8C. 16D. 322. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 2B. 0.5C. 3/4D. √23. 下列等式中，正确的是（）A. 3x + 4y = 7B. 2x 5y = 3C. 4x + 6y = 9D. 5x 3y = 74. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 b^2 = c^25. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a b)^2 = a^2 2ab +b^2 C. (a + b)^2 = a^2 2ab + b^2 D. (a b)^2 = a^2 + 2ab +b^26. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bdB. (a b)(c d) =ac ad bc + bd C. (a + b)(c d) = ac + ad bc bd D. (ab)(c + d) = ac ad + bc bd7. 下列各式中，正确的是（）A. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ab + b^2)B. a^3 b^3 = (ab)(a^2 + ab + b^2) C. a^3 + b^3 = (a b)(a^2 ab + b^2) D.a^3 b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)8. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3B. (a b)^3 =a^3 3a^2b + 3ab^2 b^3 C. (a + b)^3 = a^3 3a^2b 3ab^2 +b^3 D. (a b)^3 = a^3 + 3a^2b 3ab^2 b^39. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4B. (a b)^4 = a^4 4a^3b + 6a^2b^2 4ab^3 + b^4C. (a + b)^4 = a^4 4a^3b 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4D. (a b)^4 = a^4 + 4a^3b6a^2b^2 4ab^3 + b^410. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5B. (a b)^5 = a^5 5a^4b + 10a^3b^2 10a^2b^3 + 5ab^4 b^5C. (a + b)^5 = a^5 5a^4b 10a^3b^2 + 10a^2b^3 5ab^4 + b^5D. (a b)^5 = a^5 + 5a^4b 10a^3b^2 10a^2b^3 5ab^4 +b^5二、填空题（每题3分，共30分）1. 若一个数的立方根是±3，则这个数是________。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总1.一元整式的乘法：一元整式是只含有一个变量的整式，例如3x^2+2x+1、一元整式的乘法就是将两个一元整式相乘，可以使用分配律和合并同类项的方法。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-102.多项式的乘法：多项式是含有多个项的整式，例如(3x+2)(2x-5)。
多项式的乘法可以通过将每个项相乘，并使用分配律和合并同类项的方法进行简化。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-103.完全平方公式：完全平方公式是一种特殊的乘法形式，将一个一元二次多项式乘积进行简化。
完全平方公式为(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2例如：(x+3)(x+3)=x^2+2*x*3+3^2=x^2+6x+9因式分解知识点汇总：1.因式分解的基本思想：因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积称为一个因式。
通过因式分解，可以简化计算和解决问题。
2.因式分解的基本方法：2.1提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式为公因式的多项式。
例如：2x^2+4x=2x(x+2)2.2公式法：使用已知的公式，例如完全平方公式、差平方公式等，将多项式进行因式分解。
例如：x^2-9=(x+3)(x-3)2.3分组分解法：将多项式中的各项进行分组，并找出可以进行因式分解的共同因式。
例如：ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)2.4平方差公式：将一个二次多项式表示为两个平方的差。
例如：x^2-4=(x+2)(x-2)2.5公因式平方差公式：将一个二次多项式表示为公因式的平方减去另一个平方。
例如：x^2-y^2=(x+y)(x-y)2.6公式的逆运算：将一个多项式进行展开，得到可以进行因式分解的形式。
数学公式大全(一)
常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b22. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2 ab+b2)3. 同底数幂相乘: am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p为正整数）4. 等差数列：（1）sn ＝＝na1+ n(n-1)d；（2）an＝a1＋（n－1）d；（3）n ＝＋1；（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ；（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）5. 等比数列：（1）an＝a1q－1；（2）sn ＝（q 1）（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；（4）若m+n=k+i，则：am•an=ak•ai ；（5）am-an=(m-n)d（6）＝q(m-n)（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1= ；x2= （b2-4ac 0）根与系数的关系：x1+x2=- ，x1•x2=二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
常用数学公式
常用数学公式数学公式是一类非常特殊的符号表达式。
在常用的数学公式都有哪些呢?接下来店铺为你整理了常用数学公式，一起来看看吧。
常用数学公式：基础代数1. 平方差公式：(a+b)×(a-b)=a2-b22. 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2完全立方公式：(a±b)3=(a±b)(a2 ab+b2)3. 同底数幂相乘: am×an=am+n(m、n为正整数，a≠0)同底数幂相除：am÷an=am-n(m、n为正整数，a≠0)a0=1(a≠0)a-p= (a≠0，p为正整数)4. 等差数列：(1)sn ==na1+ n(n-1)d;(2)an=a1+(n-1)d;(3)n = +1;(4)若a,A,b成等差数列，则：2A=a+b;(5)若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ;(其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和)5. 等比数列：(1)an=a1q-1;(2)sn = (q 1)(3)若a,G,b成等比数列，则：G2=ab;(4)若m+n=k+i，则：am·an=ak·ai ;(5)am-an=(m-n)d(6) =q(m-n)(其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和)常用数学公式：基础几何1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形;三角形内角和等于180°;三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边;(1)角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
(2)三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
(3)三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
(4)三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
常用的14个恒等变形公式
常用的14个恒等变形公式恒等变形公式是数学中的重要概念，它指的是在等式两边同时进行相同的运算，从而得到等价的新式子的过程。
在数学中，恒等变形公式被广泛应用于各种数学问题的解决中。
本文将介绍常用的14个恒等变形公式，希望能够帮助读者更好地理解数学知识。
1. 平方差公式平方差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式在代数中是非常常用的，它可以帮助我们快速计算两个数之间的平方差。
2. 完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式可以帮助我们快速计算一个二次项的平方。
3. 二次差公式二次差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式与平方差公式相同，但它更适用于计算两个数的平方差。
4. 一次多项式恒等式一次多项式恒等式是指：$ax+by=c$。
这个公式可以帮助我们快速求解一次方程。
5. 一次多项式因式分解公式一次多项式因式分解公式是指：$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$。
这个公式可以帮助我们快速因式分解一次多项式。
6. 二次多项式恒等式二次多项式恒等式是指：$ax^2+bx+c=(x-p)(x-q)$，其中$p$和$q$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速求解二次方程。
7. 二次多项式完全平方公式二次多项式完全平方公式是指：$ax^2+bx+c=a(x+p)^2+q$，其中$p$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式变成完全平方的形式。
8. 二次多项式配方法二次多项式配方法是指：$ax^2+bx+c=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2-4ac}{4a}$。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式配成平方的形式。
9. 欧拉公式欧拉公式是指：$e^{ix}=cos x+isin x$。
这个公式是数学中的重要公式，它将复数与三角函数联系起来。
10. 对数公式对数公式是指：$log_ab=frac{log_cb}{log_ca}$。
数学运算公式
常用数学公式汇总1. 平方差公式：（a ＋b ）·（a －b ）＝a 2－b 22. 完全平方公式：（a±b )2＝a 2±2ab ＋b2 3. 完全立方公式：（a ±b)3=（a±b）(a 2ab+b 2)4. 立方和差公式：a 3+b 3=(a ±b)(a 2+ ab+b 2)5. a m ·a n ＝am ＋na m ÷a n ＝a m －n (a m )n =a mn (ab)n =a n ·b n（1）s n ＝2)(1n a a n +⨯＝na 1+21n(n-1)d ；（2）a n ＝a 1＋（n －1）d ； （3）项数n ＝da a n 1-＋1； （4）若a,A,b 成等差数列，则：2A ＝a+b ； （5）若m+n=k+i ，则：a m +a n =a k +a i ；（6）前n 个奇数：1，3，5，7，9，…（2n —1）之和为n 2（其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差，s n 为等差数列前n 项的和）（1）a n ＝a 1qn －1；（2）s n ＝qq a n -11 ·1）－（（q ≠1）（3）若a,G,b 成等比数列，则：G 2＝ab ； （4）若m+n=k+i ，则：a m ·a n =a k ·a i ； （5）a m -a n =(m-n)d （6）nma a ＝q (m-n) （其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比，s n 为等比数列前n 项的和）（1）一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)其中：x 1=a ac b b 242-+-；x 2=aac b b 242---（b 2-4ac ≥0）根与系数的关系：x 1+x 2=-a b ，x 1·x 2=a c（2）ab b a 2≥+ ab b a ≥+2)2( ab b a 222≥+ abc c b a ≥++3)3(（3）abc c b a 3222≥++ abc c b a 33≥++推广：n n n x x x n x x x x ......21321≥++++（4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。
初一奥数专题讲义 完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33．公式的推广（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
（2）二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4（a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4．公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)5．由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b ）(a 3－a 2b+ab 2－b 3)=a 4－b 4 (a+b)(a 4－a 3b+a 2b 2－ab 3+b 4)=a 5+b5(a+b)(a 5－a 4b+a 3b 2－a 2b 3+ab 4－b 5)=a 6－b 6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数 (a+b)(a2n －1－a2n －2b+a2n －3b 2－…＋ab2n －2－b2n －1)=a 2n －b2n(a+b)(a 2n －a 2n －1b+a 2n －2b 2－…－ab 2n －1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1 类似地：（a －b ）(a n －1+a n －2b+a n －3b 2+…＋ab n －2+b n －1)=a n －b n 由公式的推广③可知：当n 为正整数时 a n －b n 能被a －b 整除, a 2n+1+b 2n+1能被a+b 整除, a 2n －b 2n 能被a+b 及a －b 整除。
初中完全平方公式大全
初中完全平方公式大全完全平方公式是指一个二次多项式的形式为 a^2 + 2ab + b^2 或a^2 - 2ab + b^2，其中 a 和 b 是任意实数。
这个公式在代数中经常用到，它的应用非常广泛。
完全平方公式可以用来解决一些关于二次方程的问题。
二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a，b，c 分别是二次项、一次项和常数项的系数。
当我们想要将二次方程转化为一个完全平方时，可以使用完全平方公式。
我们将二次方程的左边整理成一个完全平方的形式，即可方便地解得方程的解。
在应用完全平方公式时，有一些常见的问题类型。
其中一种类型是给定二次方程的解，求解二次方程的系数。
假设有一个二次方程 x^2 + bx + c = 0，已知该方程有两个解 x1 和 x2，我们可以利用完全平方公式来解出 b 和 c。
首先，根据完全平方公式，我们知道 (x - x1)(x - x2) = 0。
展开这个式子，可以得到x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0。
由此可以看出，b = -(x1 + x2)，c = x1x2。
另一种常见的问题类型是利用完全平方公式将一个二次方程转化为一个完全平方。
例如，给定一个二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过使用完全平方公式将其转化为 (sqrt(a)x + sqrt(a)b/2sqrt(a))^2 + c - b^2/4a = 0。
从这个新形式中，我们可以直接读出方程的解。
另外，这种形式也有助于我们分析方程的性质。
完全平方公式在几何问题中也有广泛的应用。
例如，对于一个正方形，我们知道其对角线的长度是边长的√2 倍。
这个结论可以通过完全平方公式得出。
假设正方形边长为 a，则对角线的长度为√(a^2 + a^2) = √(2a^2) = a√2。
在解决数列和等差数列问题时，完全平方公式也是非常有用的。
例如，对于一个等差数列的前 n 项和 Sn，我们可以通过将 Sn表达为 n 个完全平方的和来简化计算。
完全平方公式
完全平方公式【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式1.下列各式是完全平方式的是（）． A ．412+-x xB ．21x +C ．1++xy xD ．122-+x x举一反三：【变式】（2015春•临清市期末）若x 2+2（m ﹣3）x+16是完全平方式，则m 的值是（ ） A ．﹣1 B ． 7 C ． 7或﹣1 D ． 5或12.分解因式：（1）21449x x ++； （2）29124x x -+； （3）214a a ++； （4）22111162a b ab -+．举一反三：【变式】分解因式：（1）29()12()4a b a b +-++； （2）222()()a a b c b c ++++；（3）21025a a --； （4）22()4()()4()x y x y x y x y +++-+-．3.分解因式：（1）2234162x y xy y ++；（2）4224168a a b b -+；（3）222(3)(1)x x x +--．举一反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++． （2）22224()4()()x y x y x y +--+-． （3）2244x y xy --+； （4）322344x y x y xy ++； （5）()()2222221x x x x -+-+；4.分解因式：（1）22363ax axy ay -+-； （2）42242a a b b -+； （3）2222216(4)x y x y -+； （4）4224816a a b b -+．举一反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++． （2）22224()4()()x y x y x y +--+-．5.分解因式：22(33)(35)1x x x x +++++．举一反三：【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.类型二、配方法6.（2015春•江都市期末）已知：x+y=3，xy=﹣8，求： （1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．举一反三：【变式】已知x 为任意有理数，则多项式x －1－142x 的值为（ ）． A ．一定为负数 B ．不可能为正数 C ．一定为正数 D ．可能为正数，负数或07.用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：()()()()()()222282118 19 1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平方式？2222()2222b b b x bx x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：2352x x +-.类型三、完全平方公式的应用8.（2015春•娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x 2+6x ﹣2）=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为无论x 取什么数，都有（x+3）2的值为非负数所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22. 解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式3x 2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x 的取值．举一反三：【变式1】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足222166100a b c ab bc --++=， 求证：2a c b +=.【变式2】（2015春•萧山区期中）若（2015﹣x ）（2013﹣x ）=2014，则（2015﹣x ）2+（2013﹣x ）2= ．【基础练习】 一.选择题1. 将224144a a ++因式分解，结果为( ).A.()()188a a ++B.()()1212a a +-C.()212a +D.()212a -2．2()n m x y -是下列哪一个多项式分解的结果（ ）A ．22n m x y -B ．2n n m m x x y y -+C ．222n n m m x x y y -+D ．2n n m m x x y y -- 3. （2015•邵阳）已知a+b=3，ab=2，则a 2+b 2的值为（ ） A ． 3 B ． 4 C ． 5D ．64. 如果222536a mab b ++可分解为()256a b -,那么m 的值为( ). A.30 B.－30 C.60 D.－60 5. 如果229x kxy y ++是一个完全平方公式，那么k 是（ ） A.6 B.－6 C.±6 Ｄ.18 6. 下列各式中，是完全平方式的是（ ）A.2991x x -- B.2691y y -++ Ｃ.2169y y -- D.2931y y --二.填空题7. 若()22416-=+-x mx x ，那么________m =．8. 因式分解:()()225101a b a b -+-+＝____________. 9. 分解因式：214m m ---＝_____________. 10.（2015春•萧山区期末）将4x 2+1再加上一项，使它成为（a+b ）2的形式（这里a 、b 指代的是整式或分式），则可以添加的项是 ． 11. 分解因式：()()154a a +++ ＝_____________.12. （1）()()225=a a -+；（2）()()22412m mn -+=.13. 若13x x +=，求221x x+的值.14. （2015春•万州区期末）已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．15. 把()()3322x y x y x xy y +=+-+称为立方和公式，()()3322x y x y x xy y-=-++称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解: (1)38a +； (2)3271a -.【提高练习】 一.选择题1. 若22(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．－5 B ．7 C ．－1 D ．7或－1 2. 下列各式中，是完全平方式的是（ ）①241a -；②214a a -++；③212x x +-；④()()21025x y x y +-++ A.0 B.1 C.2 D.3 3. 如果24a ab m --是一个完全平方公式，那么m 是（ ） A.2116b B.2116b - C.218b D. 218b -4. （2015•永州模拟）已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a 2+b 2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 5. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ） A.12 B.6 C.3 D.06. 若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A.0c ≥B. 9c ≥C. 0c >D. 9c >7.（1）21002100244-⨯+＝____________；（2）228001600798798-⨯+＝___________. 8. 因式分解:()222224m nm n +-＝_____________.9. 因式分解: 2221x x y ++-＝_____________.10. 若224250x y x y +-++=，x y +＝_____________.11. 当x 取__________时，多项式2610x x ++有最小值_____________. 12.（2015•宁波模拟）如果实数x 、y 满足2x 2﹣6xy+9y 2﹣4x+4=0，那么= ．三.解答题13.若44225a b a b ++=，2ab =，求22a b +的值. 14.（2015春•怀集县期末）已知a+=，求下列各式的值：（1）（a+）2；（2）（a ﹣）2；（3）a ﹣．15. 若三角形的三边长是a b c 、、，且满足2222220a b c ab bc ++--=，试判断三角形的形状.小明是这样做的：解：∵2222220a b c ab bc ++--=，∴2222(2)(2)0a ab b c bc b -++-+=. 即()()220a b b c -+-= ∵()()22,0a b b c -≥-≥，∴,a b b c a b c ====即.∴该三角形是等边三角形. 仿照小明的解法解答问题：已知： a b c 、、为三角形的三条边，且2220a b c ab bc ac ++---=，试判断三角形的形状.【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；2. 【答案】C ；【解析】2222()n n m m n m x x y y x y -+=-. 3. 【答案】C ；【解析】解：∵a+b=3，ab=2， ∴a 2+b 2=（a+b ）2﹣2ab =32﹣2×2 =5， 故选C .4. 【答案】D ；【解析】()22256256036a b a ab b -=-+.5. 【答案】C ；【解析】()22222229239693x kxy y x x y y x xy y x y ++=±⋅⋅+=±+=±.6. 【答案】B ；【解析】()2269131y y y -++=-.二.填空题7. 【答案】8；【解析】()224816x x x -=-+.8. 【答案】()2551a b -+；【解析】()()()()()222251015251551a b a b a b a b a b -+-+=-+⋅-+=-+⎡⎤⎣⎦.9. 【答案】212m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；【解析】222111442m m m m m ⎛⎫⎛⎫---=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10.【答案】4x ，﹣4x ，．【解析】解：①4x 2是平方项时，4x 2±4x+1=（2x ±1）2， 可加上的单项式可以是4x 或﹣4x ， ②当4x 2是乘积二倍项时，4x 4+4x 2+1=（2x 2+1）2，可加上的单项式可以是4x 4，③1是乘积二倍项时，，可加上的单项式可以是，故答案为：4x ，﹣4x ，．11.【答案】()23a +；【解析】()()()22154693a a a a a +++=++=+.12.【答案】（1）255,42a -；（2）29,23n m n -. 三.解答题 13.【解析】解：222222111222327x x x x x x ⎛⎫+=++-=+-=-= ⎪⎝⎭.14．【解析】解：∵x ﹣y=1，∴（x ﹣y ）2=1，即x 2+y 2﹣2xy=1； ∵x 2+y 2=25， ∴2xy=25﹣1， 解得xy=12． 15. 【解析】解：（1）()()333282224a a a a a +=+=+-+（2）()()()3322713131931a a a a a -=-=-++.【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】D ；【解析】由题意，3m -＝±4，71m =-或. 2. 【答案】C ；【解析】③④能用完全平方公式分解. 3. 【答案】B ；【解析】222211142222a ab m a a b b a b ⎛⎫⎛⎫--=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2144m b -=，选B.4. 【答案】D ；【解析】解：由题意可知a ﹣b=﹣1，b ﹣c=﹣1，a ﹣c=﹣2，所求式=（2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ca ），=[（a 2﹣2ab+b 2）+（b 2﹣2bc+c 2）+（a 2﹣2ac+c 2）]， =[（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2]， =[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，=3．故选D ．5. 【答案】A ；【解析】原式＝()222623612a b +-=⨯-=. 6. 【答案】B ；【解析】()()22639x x c x c -+=-+-，由题意得，90c -≥，所以9c ≥.二.填空题 7. 【答案】（1）610；（2）4.【解析】()22610021002441002210-⨯+=-=；()22280016007987988007984-⨯+=-=. 8. 【答案】()()22m n m n +-； 【解析】()()()()()22222222222422m n m n m n mn m n mn m n m n +-=+++-=+-.9. 【答案】()()11x y x y +++-【解析】()()()222221111x x y x y x y x y ++-=+-=+++-. 10.【答案】1；【解析】()()2222425210x y x y x y +-++=-++=，所以2,1x y ==-，1x y +=. 11.【答案】－3，1；【解析】()2261031x x x ++=++，当3x =-时有最小值1. 12.【答案】．【解析】解：可把条件变成（x 2﹣6xy+9y 2）+（x 2﹣4x+4）=0，即（x ﹣3y ）2+（x ﹣2）2=0，因为x ，y 均是实数，∴x﹣3y=0，x ﹣2=0，∴x=2，y=， ∴==．故答案为．三.解答题13.【解析】 解：44224422222a b a b a b a b a b ++=++-()22222a b a b =+-将2ab =代入()222225a b a b +-=()()2222222259a b a b +-=+=∵22a b +≥0，∴22a b +＝3.14.【解析】解：（1）把a+=代入得：（a+）2=（）2=10； （2）∵（a+）2=a 2++2=10， ∴a 2+=8，∴（a ﹣）2=a 2+﹣2•a•=8﹣2=6； （3）a ﹣=±=±．15.【解析】 解：∵2222222220a b c ab bc ac ++---=∴()()()2222222220a ab b b bc c a ac c -++-++-+=()()()2220a b b c a c -+-+-=∴000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴a b c ==，该三角形是等边三角形.。
人教版数学八年级上册14.2.2.1《完全平方公式》教案1
人教版数学八年级上册14.2.2.1《完全平方公式》教案1一. 教材分析完全平方公式是八年级数学的重要内容，它对于学生理解代数式的构成和解决实际问题具有重要意义。
本节课通过讲解完全平方公式的概念、推导过程以及应用，使学生掌握完全平方公式的运用，为后续学习平方差公式、立方公式等打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了有理数的乘方，对代数式有一定的了解。
但完全平方公式的推导和应用还需要学生具备一定的逻辑思维能力和转化能力。
因此，在教学过程中，要关注学生的知识基础，引导学生逐步理解和掌握完全平方公式。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解完全平方公式的概念，掌握完全平方公式的推导过程和应用。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳、推理等方法，培养学生解决代数问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.完全平方公式的推导过程。
2.完全平方公式的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法、讲解法等，引导学生主动参与，发挥学生的积极性、主动性和创造性。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示生活中的完全平方现象，如足球场、篮球场的尺寸，让学生感受完全平方公式的实际应用。
引导学生思考：这些尺寸是如何得出的？激发学生对完全平方公式的兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解完全平方公式的定义和推导过程，如：(a + b)² = a² + 2ab + b²通过举例说明完全平方公式的应用，如：(3 + 4)² = 3² + 2×3×4 + 4²25 + 24 + 16 = 813.操练（10分钟）让学生在课堂上完成练习题，巩固对完全平方公式的理解和运用。
练习题包括：(1)计算下列完全平方：(2)如果一个正方形的边长是6cm，那么它的面积是多少？4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，互相讲解练习题的解题过程，巩固对完全平方公式的掌握。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10、完全平方公式
四川成都 雷银光
一、公式推导
运用多项式乘法法则计算，通过计算，你能发现什么规律？
（x+2）2=（x+2）（x+2） （m+3）2=（m+3）（m+3） （y+6）2=（y+6）（y+6） = = =
= = =
（a-4）2=（a-4）（a-4） （b-7）2=（b-7）（b-7） （c-8）2=（c-8）（c-8）
= = =
= = =
一般地：
（a+b ）2=（a+b ）（_________＋_________）=a 2+__________ +b 2
（a-b ）2=（a-b ）（_________—_________）=a 2—__________ +b 2
由此可得 （a+b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 （a-b ）2＝a 2－2ab ＋b 2
我们把具备这种规律的等式叫做完全平方公式.
即：两数和或差的平方等于这两数的平方和加上这两数的积的2倍.
可以简记为：“首平方，尾平方；2倍乘积放中央；同加异减看前方”
下面这两个图形的面积能否说明这两个公式？
例题1、利用完全平方公式计算 (1)(x+32
)2 （2） (2x -45
y)2 （3）(-3a-2b)2
练习题1：
1、利用完全平方公式计算
（1）(3m-4n)2 (-3x-7y)2 (-2a+3b)2
（2）（-13a+15b ）2 （－a －b ）2 （－a+1
2）2
（3）（a+1）2－a 2 （a+2b ）（a －2b ）－（a+b ）2 （x －12
）2－（x －1）（x －2） 2、下面每一组两个代数式有什么不同？请你计算，计算的结果相同吗？为什么？
（1）（2a+b ）2 （-2a-b ）2
（2）（3m-2b ）2 （-3m+2b ）2
3、计算:
（1）（2a+1）2=（_____）2+2·____·_____+（____）2=________；
（2）（2x －3y ）2=（_____）2－2·____·_____+（_____）2=_______．
4、（____）2=a 2+12ab+36b 2；（______）2=4a 2－12ab+9b 2．
5、（3x+A ）2=9x 2－12x+B ，则A=_____，B=______．
6、m 2－8m+_____=（m －_____）2．
7、下列计算正确的是（ ）
A ．（a －b ）2=a 2－b 2
B ．（a+2b ）2=a 2+2ab+4b 2
C ．（a 2－1）2=a 4－2a 2+1
D ．（－a+b ）2=a 2+2ab+b 2
8、运算结果为1－2ab 2+a 2b 4的是（ ）
A ．（－1+ab 2）2
B ．（1+ab 2）2
C ．（－1+a 2b 2）2
D ．（－1－ab 2）2
9、计算（x+2y ）2－（3x －2y ）2的结果为（ ）
A ．－8x 2+16xy
B ．－4x 2+16xy
C ．－4x 2－16xy
D ．8x 2－16xy
10、计算（a+1）（－a －1）的结果是（ ）
A ．－a 2－2a －1
B ．－a 2－1
C ．a 2－1
D ．－a 2+2a －1
二、完全平方式常见的变形式:
ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ （a-b ）2=（a+b ）2-4ab
（a+b ）2=（a-b ）2+4ab
ab b a b a 4)(22=--+）（ （a-b ）2-（a+b ）2=-4ab 练习题、应用上述公式填空：
1、若（a+b ）2+M=（a －b ）2，则M=_____;
2、已知（a －b ）2=8，ab=1，则a 2+b 2=_____．
3、（2m+n ）2+mn=（2m-n ）2+______________;
4、（x-2y ）2-2xy=（x+2y ）2+______________
三、三项式的完全平方公式
请计算（a+b+c ）2=（a+b+c ）（a+b+c ）
=
=
由此可得三项式完全平方公式 （a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2
+2ab+2bc+2ca
例题2、计算
1、（m+2n-3）2
2、（2a-3b+3）2
练习题2、计算
1、（2x-3y++5）2
2、（3x+y-2）2 2、（-x+3y-1）2
4、（32a+2b+21c ）2
5、（-x-3y-23）2
6、（-21x+y-23m ）2 四、公式的应用
例题3、计算 (m-n+3)(m+n-3) (a+b-5)(a-b+5)
练习题3、计算
1、 (m-x+1)(m+x-1) (2a+b-3)(2a-b+3)
2、(2x-3y+1)(2x+3y-1) (5-a+3b)(a-3b+5) 例题
3、计算
2012 99.52
练习题3、计算
（1）1000.1 （2） 197 （3） 501 （4） 99.8 例题4、化简求值：
1、已知（x-2y ）2=（x+2y ）2+m 求m
2、已知a+
1a =5，求下列代数式的值 （1）a 2+21a （2）（a －1a
）2． 练习题4：化简求值
课后作业：
1、计算 （1）（-3m-2n ）2 （2）（-4a+3b-2c ）2
（3）1012 （4）1982 （5）19.92
2、解方程（x －
12
）2 =（x －1）（x －2） 3、化简求值
（1）（3x+2）（3x-2）-5x （x-1）-（2x-1）2，其中，x=-31 （2）已知a+b=4，ab=-2， 求下列代数式的值：（1）a 2+b 2 （2）（a-b ）2
（3）已知x+1x =3，试x 2+21x 和（x －1x
）2的值． （4）已知（x+y ）2 =9，求（x —x
1）2的值 3、解不等式：（2x －5）2+（3x+1）2>13（x 2－10）+2．。