10、完全平方公式

10、完全平方公式

四川成都 雷银光

一、公式推导

运用多项式乘法法则计算，通过计算，你能发现什么规律？

（x+2）2=（x+2）（x+2） （m+3）2=（m+3）（m+3） （y+6）2=（y+6）（y+6） = = =

= = =

（a-4）2=（a-4）（a-4） （b-7）2=（b-7）（b-7） （c-8）2=（c-8）（c-8）

= = =

= = =

一般地：

（a+b ）2=（a+b ）（_________＋_________）=a 2+__________ +b 2

（a-b ）2=（a-b ）（_________—_________）=a 2—__________ +b 2

由此可得 （a+b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 （a-b ）2＝a 2－2ab ＋b 2

我们把具备这种规律的等式叫做完全平方公式.

即：两数和或差的平方等于这两数的平方和加上这两数的积的2倍.

可以简记为：“首平方，尾平方；2倍乘积放中央；同加异减看前方”

下面这两个图形的面积能否说明这两个公式？

例题1、利用完全平方公式计算 (1)(x+32

)2 （2） (2x -45

y)2 （3）(-3a-2b)2

练习题1：

1、利用完全平方公式计算

（1）(3m-4n)2 (-3x-7y)2 (-2a+3b)2

（2）（-13a+15b ）2 （－a －b ）2 （－a+1

2）2

（3）（a+1）2－a 2 （a+2b ）（a －2b ）－（a+b ）2 （x －12

）2－（x －1）（x －2） 2、下面每一组两个代数式有什么不同？请你计算，计算的结果相同吗？为什么？

（1）（2a+b ）2 （-2a-b ）2

（2）（3m-2b ）2 （-3m+2b ）2

3、计算:

（1）（2a+1）2=（_____）2+2·____·_____+（____）2=________；

（2）（2x －3y ）2=（_____）2－2·____·_____+（_____）2=_______．

4、（____）2=a 2+12ab+36b 2；（______）2=4a 2－12ab+9b 2．

5、（3x+A ）2=9x 2－12x+B ，则A=_____，B=______．

6、m 2－8m+_____=（m －_____）2．

7、下列计算正确的是（ ）

A ．（a －b ）2=a 2－b 2

B ．（a+2b ）2=a 2+2ab+4b 2

C ．（a 2－1）2=a 4－2a 2+1

D ．（－a+b ）2=a 2+2ab+b 2

8、运算结果为1－2ab 2+a 2b 4的是（ ）

A ．（－1+ab 2）2

B ．（1+ab 2）2

C ．（－1+a 2b 2）2

D ．（－1－ab 2）2

9、计算（x+2y ）2－（3x －2y ）2的结果为（ ）

A ．－8x 2+16xy

B ．－4x 2+16xy

C ．－4x 2－16xy

D ．8x 2－16xy

10、计算（a+1）（－a －1）的结果是（ ）

A ．－a 2－2a －1

B ．－a 2－1

C ．a 2－1

D ．－a 2+2a －1

二、完全平方式常见的变形式:

ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ （a-b ）2=（a+b ）2-4ab

（a+b ）2=（a-b ）2+4ab

ab b a b a 4)(22=--+）（ （a-b ）2-（a+b ）2=-4ab 练习题、应用上述公式填空：

1、若（a+b ）2+M=（a －b ）2，则M=_____;

2、已知（a －b ）2=8，ab=1，则a 2+b 2=_____．

3、（2m+n ）2+mn=（2m-n ）2+______________;

4、（x-2y ）2-2xy=（x+2y ）2+______________

三、三项式的完全平方公式

请计算（a+b+c ）2=（a+b+c ）（a+b+c ）

=

=

由此可得三项式完全平方公式 （a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2

+2ab+2bc+2ca

例题2、计算

1、（m+2n-3）2

2、（2a-3b+3）2

练习题2、计算

1、（2x-3y++5）2

2、（3x+y-2）2 2、（-x+3y-1）2

4、（32a+2b+21c ）2

5、（-x-3y-23）2

6、（-21x+y-23m ）2 四、公式的应用

例题3、计算 (m-n+3)(m+n-3) (a+b-5)(a-b+5)

练习题3、计算

1、 (m-x+1)(m+x-1) (2a+b-3)(2a-b+3)

2、(2x-3y+1)(2x+3y-1) (5-a+3b)(a-3b+5) 例题

3、计算

2012 99.52

练习题3、计算

（1）1000.1 （2） 197 （3） 501 （4） 99.8 例题4、化简求值：

1、已知（x-2y ）2=（x+2y ）2+m 求m

2、已知a+

1a =5，求下列代数式的值 （1）a 2+21a （2）（a －1a

）2． 练习题4：化简求值

课后作业：

1、计算 （1）（-3m-2n ）2 （2）（-4a+3b-2c ）2

（3）1012 （4）1982 （5）19.92

2、解方程（x －

12

）2 =（x －1）（x －2） 3、化简求值

（1）（3x+2）（3x-2）-5x （x-1）-（2x-1）2，其中，x=-31 （2）已知a+b=4，ab=-2， 求下列代数式的值：（1）a 2+b 2 （2）（a-b ）2

（3）已知x+1x =3，试x 2+21x 和（x －1x

）2的值． （4）已知（x+y ）2 =9，求（x —x

1）2的值 3、解不等式：（2x －5）2+（3x+1）2>13（x 2－10）+2．