有限元板壳单元

（8-12）
{M } = [Db ]{χ }
根据 [Db ]与 [D ]之间的关系，不难由（8-13）和 （8-10）式求出 12z （8-14） {σ } = 3 {M }
t
板上下表面
t (z = ± ) 2
的应力 （8-15）
t 综上所述，薄板的中性面挠度w 是基本的未知量。 由w即可计算出位移、应变、应力及内力。
2 L 2 + 2 L3 [H 11 ] = 2 L1 − 2 L3 2 L1 − 2 L3 2 L1 − 2 L3 − 2 L1 0
∂2 ∂L1∂L2 ∂2 ∂L2∂L2 ∂2 ∂L3∂L2
∂2 ∂L1∂L3 ∂2 ∂L2∂L3 ∂2 ∂L3∂L3
2b3 L2 − 2b2 L3 [H 12 ] = 2b3 L1 + 2(b3 − b2 ) L3 1 (b − b ) L − 2b L 2 2 2 1 2 3 2c 3 L2 − 2c 2 L3 [H 13 ] = 2c 3 L1 − 2(c 3 − c 2 ) L3 1 (c − c ) L − 2c L 2 2 2 1 2 3
1
c2
c3 ]
[c
1
c2
c3 ]
b1 b2 b 3 c1 c 2 c 3 b1 b2 b 3

（8-28）
式中 [H ] 为二阶微分算子。
∂2 ∂L1∂L1 2 [H ] = ∂ ∂L ∂L 22 1 ∂ ∂L ∂L 3 1

（8-29）
由式（8-23）可得
2 L1 − 2 L3 0 − 2 L1 2b3 L1 + 2(b3 − b2 ) L3 0 1 (b3 − b2 ) L1 2 2c 3 L1 − 2(c 3 − c 2 ) L3 0 1 (c 3 − c 2 ) L1 2 1 (b3 − b2 ) L 2 − 2b2 L1 2 1 (b3 − b2 ) L1 2 0 1 (c 3 − c 2 ) L2 − 2c 2 L1 2 1 (c 3 − c 2 ) L1 2 0
第八章 关于板壳单元
8.1 板壳结构 8.2 薄板基础理论知识 8.3 3结点三角形薄板单元 结点三角形薄板单元 8.4 厚板基础理论知识 8.5 4结点四边形板单元 结点四边形板单元 8.6 壳单元 8.7 ANSYS板壳单元计算示例 板壳单元计算示例
第八章 关于板壳单元
板壳结构在工程上应用十分广泛。 板壳结构在工程上应用十分广泛。在设 计分析中采用板壳单元进行结构分析， 计分析中采用板壳单元进行结构分析，可以 得到足够的精度和良好的效果。 得到足够的精度和良好的效果。
8.3.3 应变位移转换矩阵
为了建立单元刚度矩阵，需要建立位移应变转换矩 e 阵 [B ] ，即建立 {χ } 与单元结点位移 {δ } 的关系式。
将式（8-21）代入式（8-5），可得
{x} = [ B]{δ }e = [B1
式中
∂2Ni − ∂x 2 ∂2Ni [ Bi ] = − ∂y 2 ∂2Ni − 2 ∂ x∂y
µ 0 1 0 1− µ 0 2
（8-13） 式中 [Db ] ——弹性薄板的应力应变转换矩阵，它等于 平面应力问题中的 [D] 与 t 3 12 的乘积。
则
1 3 3 t Et µ [ Db ] = [ D ] = 2 12 12(1 − µ ) 0
c. 板内各点没有平行于中性面的位移； d. 垂直于板面挤压应力可以不计。 图8-2所示为板的一个微元体。为方便计，取 x 和 y 的方向的宽度均为1。在垂直于x轴的横截面上的正应 力与z 坐标成正比，并可合成为一个力偶，从而构成该横 截面上的弯矩（单位宽度上的弯矩） x。同理， σ y 合成 M 弯矩 M y ，τ xy 和 τ yx合成扭矩 M xy 和 M yx。 由于剪应力互 等，因此 M = M yx 。内力列向量为 xy
第八章 关于板壳单元
8.2 薄板基础理论知识
如图8-1所示平板，取其中性面为坐标面，z轴垂直 于中性面。其中 t 为板厚。当板受有垂直于板中性面的 外力时，板的中性面将发生弯扭变形，从而变成一个曲 面。板变形的同时，在板的横截面上将存在内力——弯 矩和扭矩。
图8-1 平板弯曲
对于薄板弯曲问题采用如下假设： a. 板的法线没有伸缩； b. 板的法线在板变形后仍垂直于中性面；
图8-2 薄板微元体内力与应力示意图
{M }
{M } 是 {σ } 对中性面力矩的合成（见图8-2），即
Mx = M y M xy
1 2 1 − 2 2
（8-11）
{M } = ∫ z {σ }dz = ∫
引用记号
1 2 1 − 2
t3 z [ D ]{ χ } dz = [ D ]{ χ } 12
{σ m } = ± 6 {M } 2
8.3 3结点三角形薄板单元 结点三角形薄板单元
8.3.1坐标变换 坐标变换
图8-3为一个任意形状的3结点三角形板单元，结点 编号 1、2、3 按右手法则排序。图8-3（a）为单元直角 坐标系 ( x, y ), 图8-3（b）为单元自然坐标系 (ξ ,η ) 。
第八章 关于板壳单元
8.1 板壳结构
比小得多。板壳结构的板可以是平板也可以是单曲面或 双曲面板，同时可以承受任意方向上的载荷，也就是既 有作用在平面内的载荷，又作用有垂直于平面的载荷。 一般板壳结构处于三维应力状态。
板壳结构是指板的厚度t与其它两个方向的尺寸相
结构是否为板壳问题，需要确定厚度与其它方位尺 寸的比值，如果 1/80≤t≤1/10可以归结为板（薄壳）问题， 若介于1/10 ~ 1/5 之间属于厚壳问题，若大于 1/5 则不属 于板壳结构问题。 板壳单元的力学模型取为结构单元的中性面，即以 各中性面来代表为不同厚度的板或壳单元的组合体，以 此来模拟结构体。在工程有限单元法的软件设计中，常 常将板壳结构划分成薄板、厚板以及壳单元。
（8-17）
面积坐标 Li 具有插值函数的性质，即
1 i = j 时 Li (ξ j ,η j ) = 0 i ≠ j 时 i, j = 1,2,3
（8-18）
8.3.2 位移向量
根据薄板理论，薄板结点位移如图8-4所示。
图8-4 薄板结点位移示意图
单元任一结点位移列向量为
（8-19）
单元结点位移列向量
类似地有
∂N 1 ∂y ∂y ∂y c1 = + c2 + c3 ∂y 2 ∆ ∂ L1 ∂L2 ∂ L3
（8-27）
对式（8-26）和式（8-2）二阶求导
∂ N 1 = 2 ∂x 2 4∆
2
[b [c
1
b2
b3 ]
[H ] [H ] [H ]
1 ∂2N = 2 4∆ ∂y 2 ∂2N 1 = 2 ∂x∂y 4∆
（8-39）
(a) 直角坐标系与实际单元 (b) 自然坐标系与基本单元 图8-7 四结点四边形厚板单元
{M } = [Db ]{χ } {Q} = [Ds ]{ϕ }
（8-35）
对于各向同性材料有
1 µ [Db ] = Et 2 µ 1 12 1 − µ 0 0 1 0 [Ds ] = Et 2(1 + µ )α 0 1
3
(
)
0 (1 − µ ) 2 0
∂θ x + ∂x χx ∂θ y {χ } = χ y = − ∂y χ xy ∂θ x ∂θ y − ∂x + ∂y
（8-33）
（8-34）
图8-6 厚板微元体内力与应力示意图
厚板的应力应变关系如下
（8-31）
一般采用哈默值积分来计算式（8-31）比较方便。
∫∫
∆
a L1 Lb Lc dxdy = 2 3
a!b!c! 2∆ (a + b + c + 2)!
（8-32）
8.4 厚板基础理论知识
厚板理论假设如下： a．板的挠度w微小； b．板中性面法线在变形后仍保持直线 , 但不再垂 直变形后的中曲面； c．垂直于中性面的应力可以忽略。 由此确定了板的独立位移分量为 在薄板理论中，因不考虑横向剪切变形，即
（ห้องสมุดไป่ตู้-35）
8.5 4结点四边形板单元 结点四边形板单元
8.5.1 坐标变换
图8-7 所示为任意四边形板单元，结点编号按逆时 针排序。图8-7（a）为直角坐标系，图8-7（b）为自然 坐标系。实际单元与基本单元的对应关系为
xi x 4 = ∑ N i (ξ ,η ) y i =1 yi
1 2 L1 L2 L3 ) − b3 ( L1 L3 2 1 2 2 N 13 = c3 ( L1 L2 + L1 L2 L3 ) − c 2 ( L1 L3 2 b 其中，2 = y 3 − y1 ，c2 = x1 − x3 ，b3
1 + L1 L2 L3 ) （8-23） 2 1 + L1 L2 L3 ) 2 = y1 − y 2 ，c3 = x 2 − x1 。
{δ }e = [w1 θ x1 θ y1
e
w2 θ x2 θ y 2 w3 θ x3 θ y3 ]T （8-20）
单元内任意点的位移w用结点位移插值表示如下
w = [N ]{δ } = [N1
阵
N2
N 3 ]{δ }
e
（8-21）
[ 其中，N1 ] 、[ N 2 ] 和 [N3 ] 为插值函数，是 1× 3的行
{ε } = [w
θ x θ y ]T
ϕx = ϕ y = 0
因此
θx =
∂w ∂w ， θy = − ∂y ∂y
与薄板理论类似，板的曲率和扭率为
式（8-33）与薄板的区别在于，这里还要考虑由于剪切 而产生的应变
∂w −θx − ϕ x ∂y {ϕ } = = − ϕ y ∂w +θy ∂x
（a）单元直角坐标系 （b）单元自然坐标系 图8-3 3结点三角形板单元坐标系
单元坐标变换
x 3 xi = ∑ Li y i =1 yi 式中 Li 为面积坐标。 L1 = ξ L2 = η L3 = 1 − ξ − η
（8-16）
（8-30）
a b c 同样， i 、i 、i 是与单元结点坐标有关的数，见 第3章。
8.3.4 单元刚度矩阵
由虚功原理得到薄板的单元刚度矩阵
[k ]T = ∫∫ [B]T [Db ][B]tdxdy
[k ]e
k11 = k 21 k 31 k12 k 22 k 32 k13 k 23 k 33
[ N 1 ] = [ N11 [ N 2 ] = [ N 21 [ N 3 ] = [ N 31
N12 N 22 N 32
N 13 ] N 23 ] N 33 ]
（8-22）
插值函数具体形式如下
N 11 = L1 + L L2 + L L3 − L1 L − L1 L
2 1 2 1 2 2 2 N 12 = b3 ( L1 L2 + 2 3
B2
B3 ]{δ }
e
（8-24）
i = 1,2,3
（8-25）
的函数，它们对x和y的偏导数按复合函数求导法则
[B ]矩阵是插值函数 N i 的二阶导数。 i是Li (i = 1,2,3) N
∂N ∂L1 ∂x ∂L2 ∂x ∂L3 ∂x 1 ∂x ∂x ∂x = + + = b1 +b2 +b3 （8-26） ∂x ∂x ∂L1 ∂x ∂L2 ∂x ∂L3 2∆ ∂L1 ∂L2 ∂L3