第04章制造系统的数学模型

n
j1
xi aij xj yi ，i 1,2,L,n
j1
其矩阵形式为
i1,2, ,n 得 (4-8)
X AX Y
即 X (I - A)-1Y
(4-9)
或 Y (I - A)X
(4-10)
式中
A

{aij
} n´
n
为投入系数矩阵（或称直接消耗系数矩阵）
式(4-9)和(4-10)表明，当已知投入系数矩阵 A 时，根据制造系 统的最终产量 Y ，即可求出所需的各部门的总产量 X ；反之，如果 已知各部门的总产量 X ，则可求出系统的最终产量 Y 。
如何从宏观和全局的角度去揭示现代制造系统的内 在联系和内在规律，是现代制造系统研究、开发和应用 中的重要问题之一。投入产出模型为解决这一问题提供 了一条有效的途径。
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4.2 制造系统的投入产出模型
投入产出模型是1973年诺贝尔 经济学奖获得者，美籍俄罗斯经济 学 家 瓦 西 里 ∙ 列 昂 节 夫 (Wassily Leontief) 在 复 杂 经 济 系 统 研 究 方 面所做出的重要贡献。
第4章 制造系统的数学模型
4.1 概述 4.2 制造系统的投入产出模型 4.3 制造系统的排队网络模型 4.4 制造系统的活动循环图模型 4.5 制造系统的Petri网模型 4.6 制造系统建模中应注意的问题
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4.1 概述
一、建立制造系统模型的必要性
模型是研究系统的重要基础。 制造系统模型是对制造系统某一方面本质属性 的描述，它以某种确定的形式（如文字、符号、图 形、实物、数学公式等）提供关于该系统的知识。 在制造系统研究、开发和应用中使用系统模型 具有以下重要意义： 1.有利于加速新系统的研究开发 2.可降低实验成本
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4.1 概述
现代制造系统是复杂的，随着所研究问题的内 容不同和考虑问题的角度不同，可以为制造系统建 立不同的模型。由于数学模型是对制造系统进行定 量分析的基础，并具有可变性好、适应性强、分析 问题速度快、节约人力物力且便于计算机求解等优 点，因此是制造系统建模的重要发展方向。
本章将重点介绍从宏观、微观等不同角度建立 制造系统数学模型的方法和几种典型的数学模型。 最后讨论制造系统建模中应注意的问题。
2
一、建立制造系统模型的必要性
3.有利于保证安全 4.节省时间，提高效率 5.简化操作，易于理解
二、制造系统模型的主要类型
在制造系统的研究中，应用较多的模型有物理 模型和数学模型。
1.制造系统的物理模型主要有实体模型、比例 模型和相似模型。
2.制造系统的数学模型主要包括解析模型、逻 辑模型和网络模型。
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4.2 制造系统的投入产出模型
一、简介
从宏观上看，制造系统可以大至一个大型企业、一个集团公 司，甚至一个跨国公司。因此制造系统各组成环节间的关联是非 常复杂的。从生产的投入和产出关系看，制造系统各生产部门 （子系统）输入输出间的联系可用下图表示。
部门间流 动的产品

部 门
1
流向系统 外的产品
部
"for the development of the input-output method and for its application to important economic problems"
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4.2 制造系统的投入产出模型
设一个制造系统由n个部门组成，部门i的总产出（产值）为 x i ，最 终产品为 y i ，从部门i流向部门j的中间产品（产值）为 x ij ，部门i的工资
aij

xij xj
,
i, j 1,2,L,n
(4-6)
式中 aij 表示第 j 部门生产单位产品所需要的第 i 部门的投入量。
根据投入系数的定义可知，如果已知 aij，对于设定的产出 xj
则投入 xij 可以按下式求出。
xij aij xj , i, j 1,2,L,n
(4-7)
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n
将上式代入式 xi xijyi
该部门的最终产品（左边），等于该部门从其他部门投入的中间产品加上本
部门新创造的价值（右边）。
投入产出方程揭示了制造系统内部环节之间以及内部环节与外部总体需
求之间，在投入产出方面的平衡关系。
直接投入量、部门总产量和系统 最终产量间的数学关系
制造系统中某部门的直接投入量可通过投入系数（或称直接消
耗系数）进行计算。投入系数用 aij 表示，其定义如下：
和折旧费为 v i 和 d i 。
由此求出第i个部门的总成本 C i 为
n
C i xjividi j 1
i1,2, ,n
以C i 加上利润mi，即可得第i部门的总产值：
n
xi Ci mi xji vi di mi j1
n
或
xi xji zi
j1
式中， zi vi di m 为i 第i部门新创造的价值（工资、折旧、利润之和）。
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总投入量计算公式
问题的提出： 按直接消耗系数矩阵求出的投入没有包含间接
投入（间接消耗量），因而是不完全的。为此需找 出求解总投入（完全消耗量）的计算公式。
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三、制造系统的数学模型
1.解析模型 以一定的数学表达式去描述制造系统，它是对 实际制造系统或系统某一个方面问题的数学抽象。 通过解析模型，人们有可能分析系统的基本特征和 性能参数。 2.逻辑模型 表示制造系统逻辑关系的模型，如方框图、活 动循环图等。 3.网络模型 利用网络图来描述制造系统的组成元素以及元 素之间的相互关系的模型。
4.2 制造系统的投入产出模型
又因为每一部门的总产出应该等于该部门流向其他部门的中间产品与输 出到系统外部的最终产品之和，即：
n
xi xijyi j1
两式相等，因此有：
i1,2, ,n
n
n
xij yi xji zi
j1Hale Waihona Puke Baidu
j1
该式即为投入产出方程，它表示从第i部门流向其他部门的中间产品加上

门
2
...


部 门
n
+
系统输出
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4.2 制造系统的投入产出模型
一个生产部门（如某跨国公司下的一个工厂）的输 入可能来自其他许多部门的输出，而一个部门的输出不 但要向社会（系统外）提供最终产品，而且还要向系统 内其他部门提供中间产品。这种你中有我、我中有你的 信息、物料、资金等多方面的联系，将造成系统各部门 间的关联错综复杂。