江苏泰州2021高三数学上期末考试试题(解析版)

2021届江苏省泰州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}240∣=-<A xx ，{lg 0}B x x =<∣，则A B =（ ）A ．(2,1)-B ．(2,2)-C ．(0,1)D ．(0,2)【答案】C【分析】解不等式，求出集合A 与集合B 所表示区间，直接求交集.【详解】解：{}240(2,2)A xx =-<=-∣， {lg 0}(0,1)B x x =<=∣，故(0,1)AB =，故选：C.2．设x ∈R ，则“||1x <”是“31x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性和必要性的定义，结合比较法和特例法进行判断即可. 【详解】当||1x <时，即11x -<<，32331(1)(1)0101x x x x x x -=-++<⇒-<⇒<，因此由||1x <能推出31x <，当31x <时，显然当2x =-时成立，但是||1x <不成立，因此由31x <不一定能推出||1x <，所以“||1x <”是“31x <”的充分不必要条件，故选：A3．若复数2z i =-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．||5z =C ．2z i =--D ．234z i =-【答案】D【分析】根据复数的概念、复数的模、共轭复数的概念及复数的乘法运算逐项判断.【详解】2z i =-的虚部为1-，A 错误；||z ==B 错误；2z i =+，C 错误；()22244134z i i i =-=--=-，D 正确.故选：D4．人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的度数就是收缩压和舒张压，度数120/80mmHg 为标准值.设甲某的血压满足函数式()()10224sin 160p t t π=+，其中()p t 为血压（单位：mmHg ），t 为时间（单位：min ），对于甲某而言，下列说法正确的是（ ） A ．收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B ．收缩压和舒张压均低于相应的标准值 C ．收缩压高于标准值､舒张压低于标准值 D ．收缩压低于标准值､舒张压高于标准值【答案】C【分析】求得函数()p t 的最大值和最小值，结合收缩压和舒张压的标准值可得出结论. 【详解】()()10224sin 160p t t π=+，()min 1022478p t ∴=-=，()max 10224126p t =+=.所以，甲某血压的舒收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg . 因此，收缩压高于标准值､舒张压低于标准值. 故选：C.5．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ） A ．2278S d =B ．2272S d =C ．292S d =D ．21114S d =【答案】A【分析】根据已知条件结合球的体积公式3432d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出π的值，然后根据球的表面积公式242d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出S 的表示，即可得到结果.【详解】d =，所以33941632d d V π⎛⎫==⎪⎝⎭，所以278π=，所以2222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.6．已知向量(1,2)AB =，(cos ,sin )AC θθ=，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．2B ．12C D ．1【答案】C【分析】利用向量公式求出向量AB 与AC 的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值. 【详解】(1,2)AB =，(cos ,sin )AC θθ=222125,cos 1AB AC ∴=+===,5cos sin()AB AC A AB ACθθθϕ⋅===+⋅，其中1tan 2ϕ=， 故sin cos()A θϕ=+，1sin cos()22ABCSAB AC A θϕ=⋅⋅=+，故当cos()1θϕ+=时，即2,k k Z θϕπ+=∈时，ABCS . 故选：C.7．已知0.1log 5x =，7log y = ）A ．0x y xy +<<B ．0xy x y <+<C ．0x y xy +<<D ．0xy x y <<+【答案】B【分析】先根据计算确定出,xy x y +的正负，然后将x yyx +的值与1比较大小，由此确定出,,0xy x y +之间的大小关系.【详解】因为0.1lg 5log 5lg 50lg 0.1x ===-<，771lg 5log log 5022lg 7y ===>，所以0xy <， 又因为()lg 512lg 7lg 5lg 52lg 72lg 7x y -+=-=，因为12lg7lg10lg 490-=-<，所以0x y +<，又因为()5555511log 0.17log 0.12log 7log 0.149log 4.91x y xy x y+=+=+=+=⨯=<， 所以1x yxy+<且0xy <，所以x y xy +>，所以0xy x y <+<， 故选：B.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较.8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(6)f x f x =-，且当03x ≤<时，21),01()2(2),13a x x f x x x ++≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩，其中a 为常数，则(2019)(2020)(2021)f f f ++的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】由()(6)f x f x =-，求得()f x 的周期，根据函数的奇偶性求得(1),(2),(3)f f f --的值，结合()(2019)(2020)(2021)3(2)(1)f f f f f f =+-+-++，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()(6)f x f x =-，所以函数()f x 的周期为6T =，又由当03x ≤<时，21),01()2(2),13a x x f x x x ++≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩， 因为函数()f x 奇函数，所以()00f a =+=，所以0a =，则()1(1)1)2f f -=-=-+=-，()22(2)2(22)0f f -=-=-⨯-=，令3x =，可得(3)(36)(3)(3)f f f f =-=-=-，可得(3)0f =，所以(2019)(2020)(2021)(33663)(33672)(33761)f f f f f f ++=⨯++⨯-+⨯-()3(2)(1)0022f f f =+-+-=+-=-.故选：B二、多选题9．已知抛物线2:4x y Γ=的焦点为F ，过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于点M ，N ，则下列说法正确的有（ ） A ．点F 坐标为(1,0) B ．抛物线Γ的准线方程为1y =- C ．线段MN 长为4 D ．直线2y x =-与抛物线Γ相切【答案】BC【分析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定A 不正确，B 正确；令1y =，可得求得4MN =，可判定C 正确；联立方程组，根据∆<0，可判定D 不正确.【详解】由抛物线2:4x y Γ=，可得24p =，即2p =，且焦点在y 轴上，所以焦点为(0,1)F ， 准线方程为1y =-，所以A 不正确，B 正确；令1y =，可得24x =，解得2x =±，所以4MN =，所以C 正确；联立方程组224y x x y=-⎧⎨=⎩，整理得2480x x -+=，可得2(4)480∆=--⨯<，所以直线2y x =-与抛物线没有公共点，所以D 不正确. 故选：BC.【点睛】求解直线与抛物线的位置关系问题的方法：在解决直线与抛物线的位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合法的思想来求解.10．已知函数()sin(cos )f x x =，则下列关于该函数性质说法正确的有（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 的值域是[1,1]-C ．()f x 的图象关于点(,0)π对称D ．()f x 在区间(0,)π上单调递减【答案】AD【分析】根据正弦型函数的性质，结合余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】A ：因为(2)sin[cos(2)]sin(cos )()f x x x f x ππ+=+==， 所以2π是函数()f x 的周期，故本选项说法正确； B ：因为1cos 1x -≤≤，[1,1][,]22ππ-⊆-， 所以sin(1)sin(cos )sin1()[sin1,sin1]x f x -≤≤⇒∈-， 故本选项说法不正确；C ：因为()sin[cos()]sin(1)sin10f ππ==-=-≠， 所以()f x 的图象不关于点(,0)π对称， 故本选项说法不正确；D ：因为(0,)x π∈，所以函数cos y x =是单调递减函数， 因此有1cos 1x -≤≤，而[1,1][,]22ππ-⊆-，所以()f x 在区间(0,)π上单调递减，故本选项说法正确. 故选：AD11．引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量()11,m x y =，()22,n x y =，规定1212m n x x y y ⊗=-，则对于任意的向量a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．a b b a ⊗=⊗ B ．()()a b a b λλ⊗=⊗ C ．()()a b c a b c ⋅⊗=⊗⋅ D ．||||||a b a b ⋅≥⊗【答案】ABD【分析】根据坐标运算计算出每个等式等号左右两边的值，由此判断出AB 是否正确；理解C 选项中“”的含义，由此可判断是否正确；将不等号两边同时平方结合坐标形式下向量的模长公式，采用作差法判断是否正确. 【详解】A ．因为12122121,a b x x y y b a x x y y ⊗=-⊗=-，所以a b b a ⊗=⊗，故正确；B ．因为()()()()()12121212a b x x y y x x y y a b λλλλλ⊗=-=-=⊗，故正确；C ．()()()()23231212,a b c x x y y a a b c x xy y c ⋅⊗=-⊗⋅=-，此时()()a b c a b c ⋅⊗=⊗⋅不恒成立，故错误；D ．因为()(2222222222112121221||||a b x x x y y x y x y ⋅==+++，2222212121212||=2a b x x y y x x y y ⊗+-，所以()()2222222122112121221||||||20a b a b x y x y x x y y x y x y ⋅-⊗=++=+≥，所以()22||||||0a b a b ⋅-⊗≥，且||||0a b ⋅≥，||0a b ⊗≥，所以||||||a b a b ⋅≥⊗，故正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解新运算的运算方法，将其与坐标形式下向量的数量积公式区分开来，通过坐标运算达到判断的目的. 12．已知()20122221nn n n n n n x x T T x T x T x ++=+++⋯+，*n ∈N ，其中i n T 为()21nx x ++展开式中i x 项系数，0,1,2,,2i n =⋅⋅⋅，则下列说法正确的有（ ）A ．1477i iT T -=，0,1,2,,14i =⋅⋅⋅ B ．233778T T T +=C ．14671023i i i i T===∑∑D ．77T 是07T ，17T ，27T ，…，147T 是最大值 【答案】ACD【分析】由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得A ，D 正确，根据计算可得233778T T T ≠+，1467123i i i i T===∑∑，所以C 正确.【详解】由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，故1477i i T T -=，77T 是07T ，17T ，27T ，…，147T 的中间项，故77T 最大，所以A ，D 正确；令0x =可知：012201000n n n n n n T T T T T ⋅⋅⋯+⋅+==++；当7n =时，()71212241477711x xT x T x T x ++=+++⋯+，12772772128C C T =+=+=，31137677423577C C C T =+=+=，31138878112T C C C =+=，所以233778T T T ≠+.令1x =可知，141471477777711231i i i i T T T TT T ====+++⋯++=∑∑，即1477131i i T =-=∑；又因为7012713122(333...3)233131bbi i=-=++++=⋅=--∑. 故1467123ii i i T===∑∑，C 正确.故选：ACD【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．三、填空题13．函数()e x f x x =+(其中e 为自然对数的底数)的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为________. 【答案】21y x =+【分析】先计算出()f x '，然后计算出()()0,0f f '，再根据直线的点斜式方程求解出切线方程. 【详解】因为()e 1xf x '=+，所以()()0012,001f e f e '=+==+=，所以切线方程为：()120y x -=-，即21y x =+， 故答案为：21y x =+.14．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作.若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为________. 【答案】90【分析】首先将5名毕业生分组，然后再全排即可.【详解】将5名毕业生按2,2,1分组，则方法有2215312215C C C A ⋅⋅=， 分配到3所乡村小学，共有333216A =⨯⨯=，所以分配方案的总数为15690⨯=.故答案为：9015．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:17y x Γ-=的两个焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心，12F F 长为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线交于M ，N 两点，若OM ON ≥，则OMON的值为________.【答案】32【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程，再求圆的方程与渐近线方程联立可得M ，N 两点的横坐标，由OM ON即为横坐标的绝对值的比可得答案.【详解】由已知得2221,7,8a b c ===，2c =，12(F F -，取双曲线的一条渐近线y =，所以圆的方程为(2232x y +=-，由(2232y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x -=，解得N M x x ==，32M NM O x x O N===.取双曲线的另一条渐近线y =，(2232y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x -=与上同，综上32OM ON =. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与双曲线、圆的位置关系，解答本题的关键是求出渐近线与圆的方程然后联立，得到M ，N 两点的横坐标再由绝对值做比值，考查了学生的运算求解能力.四、双空题16．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中(0,1)x ∈，又1(0)2P X ==，1(1)4P X ==，则当x =________时，随机变量X 的方差的最小值为________. 【答案】13 16【分析】由分布列的性质，求得1()4P X x ==，根据期望的公式，求得()14xE X +=，结合方差的计算公式，化简得的()232316x x D X -+=，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由1(0)2P X ==，1(1)4P X ==，可得1()4P X x ==，所以随机变量X 的期望为()1111012444xE X x +=⨯+⨯+⨯=，则方差为()2222111111323(0)(1)()42444416x x x x x D X x +++-+=-⨯+-⨯+-⨯=， 所以当13x =时，方差取得最小值，最小值为()16D X =.故答案为：13，16.五、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列. （1）求角B 的大小； （2）若4cos 5A =，求sin C 的值.【答案】（1）3π；（2）310+. 【分析】（1）根据三个数成等差数列列出对应等式，然后利用正弦定理进行边化角，再结合隐含条件A B C π++=求解出B 的值；（2）先计算出sin A 的值，然后根据()sin sin C A B =+结合两角和的正弦公式求解出sin C 的值. 【详解】（1）cos ,a C ∴，cos b B ，cos c A 成等差数列，2cos cos cos b B a C c A ∴=+，由正弦定理，2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，ABC 中，A B C π++=，sin()sin()sin A C B B π∴+=-=，2sin cos sin B B B ∴=，又(0,)B π∈，sin 0B ∴>，1cos 2B ∴=，3B π∴=. （2）(0,)A π∈，sin 0A ∴>，3sin5A∴==，sin sin()sin cos sin cosC A B A B B A∴=+=+314525=⨯+=.【点睛】易错点睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事项：（1）注意隐含条件“A B Cπ++=”的使用；（2）利用正弦定理进行边角互化时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注意说明其不为0.18．已知数列{}n a的前n项和为(1)2nn nS-=，各项均为正数的等比数列{}n b的前n项和为n T，________，且34b=.在①23T=；②37T=；③4322b b b-=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）设数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n A，求证：2nA<.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）1na n=-，12nnb-=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据(1)2nn nS-=，利用数列通项和前n项和关系11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求得n a，选①23T=，由112134b b qb q+=⎧⎨=⎩求解；若选②，则2333T T b=-=，由112134b b qb q+=⎧⎨=⎩求解；若选③，由844qq-=求解.（2）根据1111(1)22nnnna nnb---⎛⎫==- ⎪⎝⎭，利用错位相减法求和.【详解】（1）当1n=时，11a S==，当2n≥时，11n n na S S n--==-，1n=时也成立，1na n∴=-，若选①23T=，设{}n b的公比为q，0q>，112134b b q b q +=⎧∴⎨=⎩，112b q =⎧∴⎨=⎩，则12n n b -=. 若选②，则2333T T b =-=，112134b b q b q +=⎧∴⎨=⎩, 112b q =⎧∴⎨=⎩，则12n n b -=. 若选③，则844q q-=，则2q ，12n n b -=,1n a n ∴=-，12n n b -=.（2）1111(1)22n n n n a n n b ---⎛⎫==- ⎪⎝⎭.22111111012(2)(1)22222n n n A n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④，211111101(2)(1)22222n nn A n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤，-④⑤得2111111(1)22222n nn A n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111221(1)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-- ⎪⎝⎭-，1111(1)22n nn -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以21112(1)22n n n A n --⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，112(1)22n n -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为3的等边三角形，12A A =，点1A 在下底面上的射影是ABC 的中心O .（1）求证：平面1A AO ⊥平面1BCC B ； （2）求二面角1C AB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）277.【分析】（1）证明1A O BC ⊥、AO BC ⊥即可推出BC ⊥平面1A AO ，从而证明两平面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标及平面1C AB 与平面ABC 的法向量，利用空间向量法求平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：A 在下底面上的射影是ABC 的中心O ，1A O ∴⊥底面ABC ，1AO BC ∴⊥， O 为ABC 的中心，且ABC 为等边三角形，AO BC ∴⊥，1A O ⊂平面1A AO ，AO ⊂平面1A AO ，1AO AO O ⋂=，BC ∴⊥平面1A AO ，BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AO ⊥平面11BCC B .（2）取AB 中点E ，连接OE ，O 为ABC 的中心，且ABC 为等边三角形，OE AB ∴⊥，以点O 为原点，OE 所在直线为x 轴，过点O 作平行于AB 的直线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系，13,2A ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，132B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(1,0,0)C -，13)A ， 133322C ⎛∴- ⎝，1(2,3,3)C A =--，(0,3,0)AB =，设平面1C AB 的一个法向量为1(,,)n x y z =，111200000x n C A n AB ⎧⎧=⋅==⎪⎪∴⇒⎨⋅==⎪⎩，取x =1C AB 的一个法向量为1(3,0,2)n =且平面ABC 的一个法向量2(0,0,1)n =，设二面角1C AB C --平面角为θ，1n ，2n 所成角为ϕ，显然θ为锐角，1212cos |cos |7n n n n θϕ⋅∴====⋅.【点睛】利用空间向量法求二面角的方法：（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角；（2）分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题.20．2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲､乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A ”､“B ”､“C ”三个等级，A ､B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如下表所示：(表一)(表二)在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销. （1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？（2）每件玩具的生产成本为30元，A ､B 等级产品的出厂单价分别为60元､40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A 等级，用样本的频率估计概率，试判断甲､乙两厂能否都能盈利，并说明理由.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关；（2）甲厂能盈利，乙不能盈利，理由见解析.【分析】（1）根据A ，B ，C 等级的统计和表中的数据，完成2×2列联表.再由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++求值，与临界值表对照下结论.（2）根据甲厂又10件A 等级，65件B 等级，25件次品，单件产品利润X 的可能取值为30，10，34-，列出X 的分布列，再利用期望公式求解判断；根据乙厂有10件A 等级，55件B 等级，35件次品，单位产品利润Y 的可能取值为30，10，34-，列出X 的分布列，再利用期望公式求解判断； 【详解】（1）2×2列联表如下()2220075352565 2.38 3.84110010014060K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关.（2）甲厂10件A 等级，65件B 等级，25件次品， 对于甲厂，单件产品利润X 的可能取值为30，10，34-. X 的分布列如下：()3010341010204E X ∴=⨯+⨯-⨯=>， ∴甲厂能盈利，对于乙厂有10件A 等级，55件B 等级，35件次品， 对于乙厂，单位产品利润Y 的可能取值为30，10，34-， Y 分布列如下：()30103401020205E Y ∴=⨯+⨯-⨯=-<，乙不能盈利. 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 21．已知函数3211()232f x x ax x =--的两个极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)分别为1x ､2x ，且12x x <.（1）证明：函数()f x 有三个零点；（2）当[,)x m ∈+∞时，对任意的实数a ，()2f x 总是函数()f x 的最小值，求整数m 的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为2-.【分析】（1）由(0)0f =以及方程223120x ax --=的判别式大于0可知()f x 有3个零点； （2）利用导数可得()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，当2x x ≠时，令2()()f x f x =，求出该方程的另一个根3x的最大值为，根据三次函数的图象可得结果.【详解】（1）因为函数3211()232f x x ax x =--的两个极值点分别为1x ､2x ，且12x x <. 所以2()20f x x ax =--='有两个不等的实根1x ，2x ， 所以1220x x =-<，所以120x x <<， 令()21()231206f x x x ax =--=，得0x =或223120x ax --=， 由223120x ax --=可知29960a ∆=+>， 所以223120x ax --=有两个不等的非零实根，∴函数()f x 有三个零点.（2）根据()f x 的两个极值点分别为1x ､2x ，且12x x <，可得2()20f x x ax =--='的两根为12,x x ，且12x x <，根据二次函数知识可知当1x x <或2x x >时，()0f x '>，当12x x x <<时，()0f x '<， 所以()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 当2x x ≠时，令()323222221111()223232f x f x x ax x x ax x =⇒--=-- ()()22222222323120x x x x a x x ax ⎡⎤⇒-+-+--=⎣⎦，所以()2222222323120x x a x x ax +-+--=有一根为2x 2(0)x >，设另一根为3x ，223234x a x x -∴+=-，23364a x x -∴=，又22220x ax --=，即2222ax x =-， 所以()22222223223263644x x ax x x x x ---==222223633442x x x x ⎛⎫--==-+ ⎪⎝⎭2≤-=-，依题意根据三次函数的图象可得3m x≥恒成立，而3x的最大值为322-，所以322m≥-，m Z∈，2m∴≥-，∴整数m的最小值为2-.【点睛】关键点点睛：第二问的解题关键是找到与2x的函数值相等的自变量3x的最大值.22．如图，已知椭圆22:142x yΓ+=，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆Γ上，点D在第一象限.CB 的延长线交椭圆Γ于点E，直线AE与椭圆Γ､y轴分别交于点F､G，直线CG交椭圆Γ于点H，DA的延长线交FH于点M.（1）设直线AE､CG的斜率分别为1k､2k，求证：12kk为定值；（2）求直线FH的斜率k的最小值；（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.【答案】（1）证明见解析；（26（3）M在曲线22214xy+=上运动，证明见解析.【分析】（1）由对称性，设出,,,A B E C 点的坐标，求出直线AE ，CG 的斜率即可求证；（2）由直线CG 的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点H 坐标，直线AE 的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点F 坐标，即可表示出直线FH 的斜率,利用基本不等式即可求最值；（3）求出直线FH 的方程，令0x x =，可得点M 纵坐标用0y 表示，利用点()00,x y 在椭圆上，相关点法可求动点M 的轨迹方程，即可求证.【详解】（1）由对称性，设0(,0)A x ，0(,0)B x -，()00,E x y --，()00,C x y - 则00:()2y AE y x x t =-，得00,2y G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故0102y k x =，02032y k x =-，则1213k k =-， （2）由02:2y CG y k x =-， 联立()202220220221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩， 由根与系数的关系可得200224212H y x k x -=+-⋅ ，所以()202024212H y x x k -=-+， 所以()22020242212H y k y y x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+，可得()()2200202202024422,21212y y k y H x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 又01:2y AE y k x =-，联立()202210110221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩， 由根与系数的关系可得200214212F y x k x -=+-⋅ ，所以()220104212F y x x k -=-+，所以()200211042212F y k y y x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+可得：()()2200102201014422,21212y y k y F x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()122211121212112212231121221112231212H F FH H F k k k k y y k k k k k x x k k k k k k ----++-====-+--++2111116614442k k k k +==+≥=， 由图知10k >，所以116144k k +≥=2FH k ≥, 当且仅当116144k k =即16k =取等. 所以直线FH 的斜率k（3）易知()()220012012210101442162:421212y y k y k FH y x k x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭=++- ⎪+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 令0x x = 可得()()2200120102210101442162421212y y k y k y x k x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭=++- ⎪+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()2200120102210101442162421212M y y k y k y x k x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭=++- ⎪+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 2020101104162424y y k x k k x -+=-+222101010110241644k x k x k x k k x -+=-+222220100001004444.22x k x x y y k x y +-+-===-，所以002M M x x y y =⎧⎨=-⎩ ， 因为2200142x y +=， 所以()222142M M y x -+=， 即M 在曲线22214x y +=上. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.。