多已知点情况下坐标系之间的坐标转换
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坐 标 转换 工作 。
（ Ｂ ） ）ｌ ＋ｌ Ｙｂ ｕ— Ｒ ＊（Ｙｂ ｌ ＊Ｃ Ｏ Ｓ （ Ｂ ） ＋ Ｘ ａ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ
（ Ｂ ） ） ］ ） ／ ２ （ ４ ）
现 假设 已知 某一 点 Ｃ在 Ｌ ＯＣ ＡＬ坐标 系中坐标 为 Ｃ（ ｘ ＿ ｌ ， ｙ ＿ １ ） ， 那 么 Ｃ点在 ｕＴＭ 坐标 系 的坐标 （ Ｘ － ｕ ， ｙ ｕ ） 可使用 以下 （ ５ ） 和（ ６ ） 计算 ：
多 已知 点 情 况 下 坐标 系之 间的 坐标 转换
刘 建 耀
（ 中色 卢 安 夏 铜 业 有 限 公 司 ， 赞 比亚 卢 安 夏 ９ ０ ４ ５ ６ ）
摘 要 ： 讨 论 了多 已知 点 情 况 下 ， 两 个 坐 标 系 之 间 的 坐 标 转 换 问 题 。首 先 着 眼 于 两 个 已 知 点 的 情
第２ ９卷 第 ５期
２ Ｏ １ ３年 １ Ｏ月
有 色 矿 冶
ＮｏＮ～ Ｆ ＥＲＲＯＵＳ ＭＩ ＮＩ ＮＧ ＡＮＤ Ｍ ＥＴＡＬＬＵＲＧＹ
Ｖｏ １ ．２ ９ ．№ ５ Ｏｃ ｔ ｏｂ ｅ ｒ ２Ｏ １ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ７ —９ ６ ７ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ —０ ０ １ １ —０ ５
Ｘ
＿
２ 已知 两 个 点 的情 况 下 ， 转 换 参 数 的 推 导 及 误 差 评 定
２ ． １ 转 换 参 数 的 推 导
Ｕ — Ｒ ＊（ ｘ ｌ ＊ｃ ｏ ｓ （ Ｂ） 一ｙ ＿ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ （ Ｂ） ） ＋ ＸＸ
＿
（wenku.baidu.com５）
ｙ ＿ ｕ — Ｒ ＊（ ｙ ＿ １ ＊ｃ ｏ ｓ （ Ｂ） ＋ｘ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ （ Ｂ） ） ＋ ＹＹ
标 转 换 。如果 有 ２个 已知 点分别 在 两个 坐标 系 中的 坐标 ， 便 可推算 出 ４个 坐标转 换 参数 ， 从 而完成 坐标 系之 间未 知点 的坐 标 转换 。但 实 际情 况 下 ， 坐标 系 之 间 会连 测 多 个 已 知 点 。 比 如 已知 ｑ个 点 分 别 在 Ｌ ｏｃ ＡＬ坐标 系和 ＵＴ Ｍ 坐 标 系 中的 坐 标 及 相应 的
必 须 已知 ４个 转换 参数 ， 分 别是 ： 坐 标系 之 间的转 角 Ｂ， 缩 放 比例 Ｒ， 纵 坐 标 平 移 值 ｘＸ及 横 坐 标 平 移值 ＹＹ。假设 现 有两 个 已知点 Ａ 和 Ｂ， 其Ｌ ＯＣ ＡＬ坐标 分 别 为 Ａ（ Ｘａ ｌ ， Ｙ ａ １ ） ， Ｂ（ Ｘｂ ｌ ， Ｙｂ １ ） ， ＵＴＭ 坐 标 分别
＿
（ ６ ）
要完 成 两 个 坐 标 系之 间 平 面 直角 坐 标 的转 换 ，
２ ． ２ 转换 参数 中误 差的 推导 又知道 ， 在 Ｌ Ｏ Ｃ ＡＬ坐标 系 中 ， Ａ 点和 Ｂ点 的点 位 中误 差 分 别 为 ： ｍ— ｘ ａ ｌ ， １ １ ３ ． 一 ｙ ａ ｌ ， ｍ— ｘ ｂ ｌ ， ｍ— ｙ ｂ ｌ ， 在
点 位 中误差 ， 在 ｑ个 点 的 坐标 和 点 位 中误 差都 参 与
缩 放 比例参 数 ：
Ｒ— ｓ ｑ ｒ ｔ （ ＸＸ
— ＿
ｕ ＊
ＸＸ
—
ｕ＋ Ｙ Ｙ — Ｕ
Ｙ Ｙ Ｕ ） ／ ｓ ｑ ｒ ｔ
—
（ ｘｘ ｌ ＊ ｘｘ ｌ ＋ ｙ ｙ ｌ ｙ ｙ ｊ）
（ ２ ）
坐 标平 移参 数 ：
是 ８个坐标 值 的 函数 ， 则 根 据误 差传 播 定 律 及 （ １ ） 、 （ ２ ） 、 （ ３ ） 、 （ ４ ） 式， 就 可推 导 出 ４个 转换参 数 的 中误 差 计 算 公式 。
中 图分 类 号 ： Ｐ ２ Ｏ ９ 文献标识码 ： Ａ
ＸＸ
＿
１ 基 本 概 况
在测 量 工 作 中 ， 经 常需 要 对 一 批 点进 行 平 面 坐
Ｈ — Ｘｂｕ— Ｘａ ｕ； ｙ ｙ ｕ — Ｙｂｕ— Ｙａ ｕ。
＿
则， 转角 参数 ：
Ｂ— ａ ｒ ｃ ｔ ｇ（ ｙ ｙ ｕ ／ ｘ ｘ ＿ ｕ ） 一ａ ｒ ｃ ｔ ｇ （ ｙ ｙ １ ／ ｘ ｘ １ ） （ １ ）
计 算 的情 况下 ， 应该 如 何推 导 出转换 参数 的平 差值 ， 并使 用转 换参 数 的平 差 值 ， 在 不 同坐 标 系之 间对 一 批 未 知点 坐标 进 行 转换 。具 体 思路 为 ： 在 ｑ个 已知 点 当 中任 取两 点 推算 出一 组 转 换 参 数 ， 那 么 共 可得 到ｎ （ 一ｑ＊（ ｑ 一１ ） ／ ２ ） 组 转换 参 数及 其 中误 差 ， 进一 步 求 出每个 转 换参 数 的加 权 平 均值 ， 完 成 未 知 点 的
为 Ａ（ Ｘａ ｕ， Ｙａ ｕ ） ， Ｂ（ Ｘｂ ｕ ， Ｙｂ ｕ ） 。则 由 ｌ ｏ ｃ ａ ｌ 坐 标 系
ＵＴ Ｍ 坐标 系 中，Ａ 点 和 Ｂ点 的点 位 中误 差 为 ： ｒ ｎ —
ｘ ａ ｕ ，ｉ ｎ
—
ｙ ａｕ， ｍ ｘｂｕ， １ Ｔ Ｉｙ ｂ ｕ 。 由于
—
４个 转 换 参 数 都
Ｘ Ｘ一 ｛ Ｅ Ｘ ａ ｕ —Ｒ＊（Ｘ ａ ｌ ＊Ｃ Ｏ Ｓ （ Ｂ ） 一 Ｙａ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ （ Ｂ ） ） ］ ＋［ ｘ ｂ ｕ— Ｒ ＊（Ｘｂ ｌ ＊Ｃ Ｏ Ｓ （ Ｂ） 一 Ｙ ａ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ
（ Ｂ ） ） ］ ） ／ Ｚ （ ３ ）
ＹＹ 一 ｛ ｒ Ｙａ ｕ — Ｒ＊（Ｙａ ｌ ＊ｃ ｏ ｓ （ Ｂ） ＋ Ｘａ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ
况下 ， 怎 么去 推导 ４ 个 坐标 转 换 参 数 及 其 中误 差 的计 算 公 式 ， 进 一 步 给 出多 已 知 点 情 况 下
坐 标 转 换 参 数 平 差 值 的计 算 公 式 。并 介 绍 了 使 用 Ｃ ＃语 言 编 写 坐 标 转 换 程 序 的 编 程 思 路 和算例操作说 明。 关键词 ： 已知点 ； 坐标 系； 转换参数 ； 偏导数 ； 中误 差 ； 平 差 值
（ Ｂ ） ）ｌ ＋ｌ Ｙｂ ｕ— Ｒ ＊（Ｙｂ ｌ ＊Ｃ Ｏ Ｓ （ Ｂ ） ＋ Ｘ ａ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ
（ Ｂ ） ） ］ ） ／ ２ （ ４ ）
现 假设 已知 某一 点 Ｃ在 Ｌ ＯＣ ＡＬ坐标 系中坐标 为 Ｃ（ ｘ ＿ ｌ ， ｙ ＿ １ ） ， 那 么 Ｃ点在 ｕＴＭ 坐标 系 的坐标 （ Ｘ － ｕ ， ｙ ｕ ） 可使用 以下 （ ５ ） 和（ ６ ） 计算 ：
多 已知 点 情 况 下 坐标 系之 间的 坐标 转换
刘 建 耀
（ 中色 卢 安 夏 铜 业 有 限 公 司 ， 赞 比亚 卢 安 夏 ９ ０ ４ ５ ６ ）
摘 要 ： 讨 论 了多 已知 点 情 况 下 ， 两 个 坐 标 系 之 间 的 坐 标 转 换 问 题 。首 先 着 眼 于 两 个 已 知 点 的 情
第２ ９卷 第 ５期
２ Ｏ １ ３年 １ Ｏ月
有 色 矿 冶
ＮｏＮ～ Ｆ ＥＲＲＯＵＳ ＭＩ ＮＩ ＮＧ ＡＮＤ Ｍ ＥＴＡＬＬＵＲＧＹ
Ｖｏ １ ．２ ９ ．№ ５ Ｏｃ ｔ ｏｂ ｅ ｒ ２Ｏ １ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ７ —９ ６ ７ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ —０ ０ １ １ —０ ５
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２ 已知 两 个 点 的情 况 下 ， 转 换 参 数 的 推 导 及 误 差 评 定
２ ． １ 转 换 参 数 的 推 导
Ｕ — Ｒ ＊（ ｘ ｌ ＊ｃ ｏ ｓ （ Ｂ） 一ｙ ＿ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ （ Ｂ） ） ＋ ＸＸ
＿
（wenku.baidu.com５）
ｙ ＿ ｕ — Ｒ ＊（ ｙ ＿ １ ＊ｃ ｏ ｓ （ Ｂ） ＋ｘ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ （ Ｂ） ） ＋ ＹＹ
标 转 换 。如果 有 ２个 已知 点分别 在 两个 坐标 系 中的 坐标 ， 便 可推算 出 ４个 坐标转 换 参数 ， 从 而完成 坐标 系之 间未 知点 的坐 标 转换 。但 实 际情 况 下 ， 坐标 系 之 间 会连 测 多 个 已 知 点 。 比 如 已知 ｑ个 点 分 别 在 Ｌ ｏｃ ＡＬ坐标 系和 ＵＴ Ｍ 坐 标 系 中的 坐 标 及 相应 的
必 须 已知 ４个 转换 参数 ， 分 别是 ： 坐 标系 之 间的转 角 Ｂ， 缩 放 比例 Ｒ， 纵 坐 标 平 移 值 ｘＸ及 横 坐 标 平 移值 ＹＹ。假设 现 有两 个 已知点 Ａ 和 Ｂ， 其Ｌ ＯＣ ＡＬ坐标 分 别 为 Ａ（ Ｘａ ｌ ， Ｙ ａ １ ） ， Ｂ（ Ｘｂ ｌ ， Ｙｂ １ ） ， ＵＴＭ 坐 标 分别
＿
（ ６ ）
要完 成 两 个 坐 标 系之 间 平 面 直角 坐 标 的转 换 ，
２ ． ２ 转换 参数 中误 差的 推导 又知道 ， 在 Ｌ Ｏ Ｃ ＡＬ坐标 系 中 ， Ａ 点和 Ｂ点 的点 位 中误 差 分 别 为 ： ｍ— ｘ ａ ｌ ， １ １ ３ ． 一 ｙ ａ ｌ ， ｍ— ｘ ｂ ｌ ， ｍ— ｙ ｂ ｌ ， 在
点 位 中误差 ， 在 ｑ个 点 的 坐标 和 点 位 中误 差都 参 与
缩 放 比例参 数 ：
Ｒ— ｓ ｑ ｒ ｔ （ ＸＸ
— ＿
ｕ ＊
ＸＸ
—
ｕ＋ Ｙ Ｙ — Ｕ
Ｙ Ｙ Ｕ ） ／ ｓ ｑ ｒ ｔ
—
（ ｘｘ ｌ ＊ ｘｘ ｌ ＋ ｙ ｙ ｌ ｙ ｙ ｊ）
（ ２ ）
坐 标平 移参 数 ：
是 ８个坐标 值 的 函数 ， 则 根 据误 差传 播 定 律 及 （ １ ） 、 （ ２ ） 、 （ ３ ） 、 （ ４ ） 式， 就 可推 导 出 ４个 转换参 数 的 中误 差 计 算 公式 。
中 图分 类 号 ： Ｐ ２ Ｏ ９ 文献标识码 ： Ａ
ＸＸ
＿
１ 基 本 概 况
在测 量 工 作 中 ， 经 常需 要 对 一 批 点进 行 平 面 坐
Ｈ — Ｘｂｕ— Ｘａ ｕ； ｙ ｙ ｕ — Ｙｂｕ— Ｙａ ｕ。
＿
则， 转角 参数 ：
Ｂ— ａ ｒ ｃ ｔ ｇ（ ｙ ｙ ｕ ／ ｘ ｘ ＿ ｕ ） 一ａ ｒ ｃ ｔ ｇ （ ｙ ｙ １ ／ ｘ ｘ １ ） （ １ ）
计 算 的情 况下 ， 应该 如 何推 导 出转换 参数 的平 差值 ， 并使 用转 换参 数 的平 差 值 ， 在 不 同坐 标 系之 间对 一 批 未 知点 坐标 进 行 转换 。具 体 思路 为 ： 在 ｑ个 已知 点 当 中任 取两 点 推算 出一 组 转 换 参 数 ， 那 么 共 可得 到ｎ （ 一ｑ＊（ ｑ 一１ ） ／ ２ ） 组 转换 参 数及 其 中误 差 ， 进一 步 求 出每个 转 换参 数 的加 权 平 均值 ， 完 成 未 知 点 的
为 Ａ（ Ｘａ ｕ， Ｙａ ｕ ） ， Ｂ（ Ｘｂ ｕ ， Ｙｂ ｕ ） 。则 由 ｌ ｏ ｃ ａ ｌ 坐 标 系
ＵＴ Ｍ 坐标 系 中，Ａ 点 和 Ｂ点 的点 位 中误 差 为 ： ｒ ｎ —
ｘ ａ ｕ ，ｉ ｎ
—
ｙ ａｕ， ｍ ｘｂｕ， １ Ｔ Ｉｙ ｂ ｕ 。 由于
—
４个 转 换 参 数 都
Ｘ Ｘ一 ｛ Ｅ Ｘ ａ ｕ —Ｒ＊（Ｘ ａ ｌ ＊Ｃ Ｏ Ｓ （ Ｂ ） 一 Ｙａ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ （ Ｂ ） ） ］ ＋［ ｘ ｂ ｕ— Ｒ ＊（Ｘｂ ｌ ＊Ｃ Ｏ Ｓ （ Ｂ） 一 Ｙ ａ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ
（ Ｂ ） ） ］ ） ／ Ｚ （ ３ ）
ＹＹ 一 ｛ ｒ Ｙａ ｕ — Ｒ＊（Ｙａ ｌ ＊ｃ ｏ ｓ （ Ｂ） ＋ Ｘａ ｌ ＊ｓ ｉ ｎ
况下 ， 怎 么去 推导 ４ 个 坐标 转 换 参 数 及 其 中误 差 的计 算 公 式 ， 进 一 步 给 出多 已 知 点 情 况 下
坐 标 转 换 参 数 平 差 值 的计 算 公 式 。并 介 绍 了 使 用 Ｃ ＃语 言 编 写 坐 标 转 换 程 序 的 编 程 思 路 和算例操作说 明。 关键词 ： 已知点 ； 坐标 系； 转换参数 ； 偏导数 ； 中误 差 ； 平 差 值