最小多项式1
单项式、多项式1
单项式、多项式学生/课程七年级-初一-数学年级初一学科数学授课教师日期时段核心内容单项式、多项式课型一对一/一对N教学目标1.了解整式的有关概念，会识别单项式；2.能说出一个单项式的系数和次数；3.能说出一个多项式是几次几项式；4.在参与对单项式识别的过程中，培养观察、归纳、概括和语言表达的能力。
重、难点1.重点：单项式的系数、次数；2.难点：多项式每一项的系数、次数，及整个多项式是几次几项式。
课首沟通1.我们小学学过哪些图形的周长和面积公式？2.我们是怎么样用字母表示这些公式的呢？知识导图课首小测1.用字母表示出：加法交换律：（）加法结合律：（）乘法交换律：（）乘法结合律：（）乘法分配律：（）2.用字母表示出长方形的周长公式：（），长方形的面积公式：（），正方形的周长公式：（）正方形的面积公式：（）3.修路队要修ａ米的路，还剩下52米没有修，已经修了（）米。
4.淄博到济南有105千米，一辆客车从淄博开往济南，每小时行v千米，行了t小时，此时客车距淄博（）千米，距济南（）千米。
当v=65，t=0.8时，距淄博（）千米，距济南（）千米。
5.三个连续偶数的和是a，其中最小的数是（），最大的数是（)【学有所获】对于连续的奇数或者偶数我们都可以设其中某一个为，根据每两个数之间相差，就可以表示出其他的数，对于要求的数字我们常常可以通过题目中的等量关系建立来进行求解。
[学有所获答案]2；方程导学一：代数式知识点讲解 1：代数式的概念用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方等)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.例如：5，，，等等.例 1. 列代数式：（1）若三角形一边长为，并且这边上的高为，则这个三角形的面积为；（2）若表示正方体棱长，则正方体的体积是；（3）若表示一个有理数，则它的相反数是；（4）小明从每月的零花钱中贮存元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款元。
单项式与多项式
二、单项式、多项式的次数和项例2 指出以下各单项式的系数与次数：（1）;832ab （2）-mn 3; （3）3432y x π （4）－3；解：（1）832ab 的系数是83，次数是3. （2）-mn 3的系数是-1，次数是4.（3）3432y x π的系数是34π，次数是5. （4）－3的系数是－3，次数是0。
知识体验：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或－1时，“1”省略不写，如-n m 3中，系数是－1，那么把“1”省略不写；圆周率π只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：3432y x π的系数是34π，次数是5。
另外，像－3，21，0等如此的常数，是零次单项式．例3 填空：（1）多项式2x 4-3x 5-2π4是次项式，最高次项的系数是，四次项的系数是，常数项是，补足缺项后按字母x 升幂排列得；（2）多项式a 3-3ab 2 +3a 2b-b 3是次项式，它的各项的次数都是，按字母b 降幂排列得.解：（1）五，三，-3，2，－2π4，-2π4 +0x +0x 2 +0x 3 +2x 4-3x 5; （2）三，四，3，-b 3-3ab 2 +3a 2b +a 3.知识体验：－2π4是常数项，不是4次项。
确信多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一路移动，这些都是容易犯错误的地址，要引发高度重视。
第四部份：典型例题例一、 用代数式表示：（1）一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，那么那个两位数可表示为___________。
（2）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮他计算能够射进阳光的面积为___________米2。
(1)第4个图案中有白色地面砖 块； (2)第n 个图案中有白色地面砖 块．第五部份：思维误区误区一、单项式系数判定错误例一、（1）单项式3x 410⨯的系数是 ；（2）-πr 2h 的系数是（3）4y 3-2x 的系数是 ；错解：（1）3，（2）-1，（3）-3纠错秘方：（1）中的系数是3×104，（2）中的π是常数，同时注意符号（3）能够写成的积y x 与43-2正确的解：（1）3×104；（2）-π（3）43- 误区二、单项式与多项式的次数判定错误 例2、填空（1）单项式y 332x 的次数是 （2）多项式1xy 2y 42++x 是 次三项式。
浅析BCH码的编码方法
浅析BCH 码的编码方法0 引言数字信号在传输系统中传输时，不免会受到各种因素的干扰，使到达接收端的数字信号中混有噪声，从而引发错误判决。
为了抗击传输过程中的干扰，必然要利用纠错码的差错控制技术。
BCH 码是纠错码中最重要的子类，其具有纠错能力强，构造方便，编码简单，译码也较易实现一系列优点，在实际应用中被工程人员广泛应用。
1 BCH 码BCH 码是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem), 1960年由博斯(Bose)和查德胡里(Chandhari)各自提出的纠多个随机错误的循环码，这是迄今为止发现的最好的线性分组码之一，它有严格的代数结构，它的纠错能力很强，特别是在短和中等码长下，其性能接近理论值，并且构造方便编码简单，特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。
BCH 码是迄今为止研究的最为详尽，分析得最为透彻，取得成果也最多的码类之一。
该码的生成多项式与最小距离d 之间有密切关系，根据d 的要求可以很容易地构造出码，利用该码的代数结构产生了多种译码方法。
BCH 码可以采用查表编码方法，这是一种利用BCH 码作为线性分组码和循环码的性质和结构特点来编写编码表，然后通过查表来编码的一种方法，也可以采用编码器进行编码，还可以应用代数算法，在本文将分别介绍这些算法。
2 BCH 码的k n -级编码器()k n , BCH 码是一类循环码，它的编码方法和传统的循环码完全相同，根据循环码的生成多项式()x g 或校验多项式()x h ，可推出BCH 码的编码电路是一个k n -级或k 级移存器电路，在k>n-k 时，一般采用k n -级编码电路。
用于产生系统码k n -级编码器的原理这样的：将信息多项式()x m 乘以kn x-成为()x m x k n -，然后用()x g 除()x m x k n -得到余式()x r , ()x r 的系数就是校验位，因此这可以根据生成多项式()x g 反馈连接的移位寄存器构成的除法电路完成。
1多项式
第一章 多项式 Polynomials多项式是代数中的一个基本概念，求解多项式方程的是最古老的数学问题之一. 多项式理论不仅对数学本身非常重要，而且它的重要性更体现在实际应用中.1.1数域 整数的整除性集合的概念：若干事物的全体称为一个集合，组成集合的这些事物称为集合的元素.集合的概念只是一个描述性的说明．集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.常用大写字母A 、B 、C 等表示集合，用小写字母a 、b 、c 等表示集合的元素.当a 是集合A 的元素时，就说a 属于A ，记作：a A ∈；当a 不是集合A 的元素时，就说a 不属于A ，记作：a A ∉集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.M ＝｛x | x 具有性质P ｝； 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. 例如，22{(,)4,,}M x y x y x y R =+=∈， {1,2,3,}N = .不含任何元素的集合叫做空集，记为φ.如果B 中的每一个元素都是A 中的元素，则称B 是A 的子集合或B 包含于A ，记作B A ⊆，空集是任意集合的子集合.如果A 与B 两集合含有完全相同的元素，则称 A 与B 相等，记作A ＝B .A ＝B 当且仅当A B ⊆且B A ⊆ . 集合{}AB x x A x B =∈∈且称为 A 与B 的交： 集合{}A B x x A x B =∈∈或称为A 与B 的并：为了在下面课程里讨论起来严谨和方便, 需要引入数域的概念.数是数学中一个最基本的概念, 人们对客观世界的认识的不断深入，使得数经历了由自然数到整数、有理数、实数，再到复数这个发展过程. 通常我们用N 表示自然数集合，也用Z +表示正整数集合，用Z 表示整数集合，用Q 表示有理数集合．R 表示实数集合， C 表示复数集合．若数集S 中任意两个数作某一运算的结果仍在S 中，则说数集S 对这一运算是封闭的扩张数范围的主要原因是由于要求某些运算封闭或方程求解引起的. 任意两个整数进行加、减、乘法运算后仍然是整数，但任意两个整数的商不一定是整数，这就是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可以做的，而在有理数范围，实数范围，复数范围，只要除数不为零，除法是可以做的，因此，在数的不同范围内，回答同一个问题的答案可能是不同的. 例如，在解决一个实际问题中列出一个一元二次方程，这个方程有没有解与未知量所允许的取值范围有关. 我们经常会遇到的数常见的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它们显然具有一些不同的性质，它们也有很多共同的性质，为了在今后讨论中能够把它们关于加、减、乘、除运算的共同性质统一起来，我们引入一个一般的概念.定义 1.1 设S 是复数集的非空子集. 如果对于S 中的任意两个数的和、差、积仍属于S ，则称S 是一个数环.Z 对数的加法，减法和乘法作成一个数环，我们称它为整数环.定义1.2设F 是由一些复数组成的集合，其中包含0与1，如果F 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是F 中的数，则称F 为一个数域．容易验证，全体有理数的集合Q 对于通常的四则运算作成一个数域，称为有理数域．类似地R 称为实数域， C 称为复数域．整数环Z 不是数域．例1 证明：数集{},Q a a b Q =+∈是一个数域．证明 由0011=+=+0,1Q ∈,又对 ,x y Q ∀∈设x a y c =+=+,,,,a b c d Q ∈则有()(x y a c b d Q ±=±+±(2)(x y ac bd ad bc Q ⋅=+++设0,a +于是a -也不为0．否则，若0,a -=则a =于是0,0a b ==，0.a +矛盾=2222ac bd Q a b -=-所以，Q 为数域.例2 任意数域F 都包括有理数域Q ．即有理数域是最小数域． 证明 设F 为任一数域．由定义可知，01.F F ∈∈， 于是有 ,111m Z m F +∀∈=+++∈,即F 包含全体自然数, 又,,,m m n Z F n+∀∈∈0.m m F n n -=-∈ 而任意一个有理数可表成两个整数的商，所以，.Q F ⊆ 定义1.3 设,a b Z ∈,0b ≠，如果存在q ∈Z ，使得 a bq =，则说b 整除a ，记作|b a ，这时说b 是a 的因数，也说a 是b 的倍数；当q ≠±1，±a 时，称b 是a 的真因数.如果这样的q 不存在，则说b 不整除a ，记作|b a .定理1.1 (基本性质)：1) 若c|b,b|a ，则c|a ；2) 若m|a,m|b ，则,p q Z ∀∈，m|pa+qb ；3) 若b|a,a ≠0，则|b |≤|a |；4) b |a 当且仅当c ≠0，cb|ca .证明 1）由已知，b=cs, a=bt a =(cs ) t=c (st )，即c |a ；2) a=ms,b=mt , pa+qb=mps+mqt=m (ps+qt )，则m |pa+qb ；3) a=bc ，|a |=|b ||c |，由a ≠0，得 |a |≠0, |c|≥1，所以|b |≤|a |；4) a=bs ca=cbs ，即cb |ca .定理 1.2 （带余除法） 设a,b ∈Z ，b ≠0，则存在唯一的q,r ，使得 a=bq+r ，0≤r<|b|.证明 作数列,2||,||,0,||,2||,b b b b --, a 必落在此数列相邻两项所构成的某一区间且只能落在一个区间，即存在q ，使得||(1)|q b a q b ≤<+，减去||q b ，得0||||a q b b ≤-<，令||r a q b =-，则有 ||a q b r =+,0||r b ≤<，由于只能在一个区间，所以q 唯一，从而r 唯一.q 称为不完全商，r 称为余数.定义1.4设12,,,n a a a Z ∈，|i d a ,1,2,,i n =，则说d 是12,,,n a a a 的一个公因数，所有的公因数中最大的叫做12,,,n a a a 的最大公因数，记作(12,,,n a a a )，如果(12,,,n a a a )=1，则说12,,,n a a a 互素. 定理1.3 如果a=bq+c ，则 (a,b )=(b,c ).证明 若d|a,d|b ，则d|c =a-bq . 反过来，若d|b,d|c ，则d|a =bq+c . 所以a,b 与b,c 有相同的公因数集，最大者也就相同了.定理 1.4 (辗转相除法) 设a,b ∈Z +,则 (a,b ) 等于辗转相除的最后一个不等于0的余数n r .证明 ,a b Z +∈,11a bq r =+, 10r b <<,122b r q r =+, 210r r <<,1233r r q r =+, 320r r <<,…………111k k k k r r q r -++=+, 10k k r r +<<,…………11n n n r r q -+=, 10,0n n r r +≠=,则由定理1.3，1211(0,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n r r r r r r r b b a a b -=======.例3 求(525，231).解 将525和231辗转相除定理1.5 设a,b 不全为0，a,b ∈Z 则存在x,y ∈Z ,使(a,b )=xa+yb ，特别当(a,b )=1时，存在s,t ∈Z 使得sa+tb =1.证明 由辗转相除法向上反推.定义1.5 正因数只有1和本身的大于1的正整数称为素数，正因数的所以 (525，231)=21.个数≥3的正整数称为合数.定理1.6 设a ∈Z ，p 是素数，则必有p|a 或(p,a )=1.证明 由 (p,a )|p ，(p,a )=p 或1，若(p,a )=p ，由(p,a )|a ，即p|a .推论1.1 设p 是素数 |p ab ，则|p a 或|p b .证明 若†p a ，则 (,)1p a =由定理1.5，存在,s t 使得1sp ta +=，乘以b spb tab b +=，于是|p b .1.2 一元多项式定义1.6 设n 是一个非负整数，01,,,n a a a ⋅⋅⋅∈数域F ，x 是一个符号(或称文字）,形式表达式 1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++称为数域F 上的一元多项式．0a 称为常数项或0次项，i i a x 称为i 次项，i a 称为i 次项系数，若0,n a ≠ 则称n n a x 为()f x 的首项，n a 为首项系数，n 称为多项式()f x 的次数，记作(())f x ∂. 系数全为零的多项式0称为零多项式．零多项式是唯一不定义次数的多项式.通常用(),(),(),f xg xh x 或,,,f g h 表示多项式, 这种表示方法是瑞士数学家欧拉最先使用的.设 11100()i i nn n n n i f x a x a x a x a a x --==++++=∑，11100()j j mm m m m j g x b x b x b x b b x --==++⋅⋅⋅++=∑，若,n m ≥ 在()g x 中令110n n m b b b -+====，则11100()j j nn n n n j g x b x b x b x b b x --==++⋅⋅⋅++=∑若 ,0,1,2,,i i a b i n ==⋅⋅⋅则说()f x 与()g x 相等，记作()()f x g x =. 规定加法 ：0()()().i i ni i f x g x a b x =+=+∑规定乘法：1110()()n m n m n m n m f x g x c x c x c x c ++-++-=++++111()n m n m n m n m n m a b x a b a b x ++---=+++10100()o a b a b x a b ⋅⋅⋅+++0()n ms i j s i j s a b x +=+==∑∑, 其中s 次项s x 的系数为11110s s o s s s i j i j s c a b a b a b a b a b --+==++⋅⋅⋅++=∑.规定 0()()i i n i f x a x =-=-∑，由此 ()()()(())f x g x f x g x -=+-.(),()f x g x 为数域 F 上任意两个多项式，则()(),()()f x g x f x g x ±仍为数域F 上的多项式．定义1.7 所有数域F 上的一元多项式的全体称为数域F 上的一元多项式环，记作[]F x .多项式的加法和乘法满足以下运算律1) 加法交换律 ()()()(f x g x g x f x +=+；2) 加法结合律 ()()()()()))()((f x g x h x f x g x h x ++=++；3) 乘法交换律 ()()()(f x g x g x f x =；4) 乘法结合律 ()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =； 5) 乘法对加法的分配律 ()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+. 只证明乘法结合律：设 0()l k k k h x c x ==∑,()()f x g x 中s 次项的系数为i j i j s a b +=∑,()()()()f x g x h x 中t 次项的系数为()i j k i j k s k t i j s i j k t a b ca b c +=+=++==∑∑∑, ()()g x h x 中r 次项的系数为 j k j k r b c +=∑,()(()())f x g x h x 中t 次项的系数为()i j k i j k i r t j k r i j k ta b c a b c +=+=++==∑∑∑. 多项式的加法和乘法关于次数有下面的结论.定理1.7 若()0,()0,f x g x ≠≠则1) ()()0,f x g x ≠ 且 (()())(())(())f x g x f x g x ∂=∂+∂;2) 当()()0f x g x +≠，(()())max((()),()))f x x f x g x ∂+≤∂∂.证明 1) 设(()),(())f x n g x m ∂=∂=，()f x 的首项系数0n a ≠，()g x 的首项系数0m b ≠, 则()()f x g x 的首项系数0n m a b ≠，所以(()())(())(())f x g x f x g x ∂=∂+∂；2) 不妨设 m n ≤，则 0()()().i i ni i f x g x a b x =+=+∑当n x 项系数()0n n a b +=时，(()())max((()),()))f x x f x g x ∂+<∂∂；当n x 项系数 ()0n n a b +≠时，(()())max((()),()))f x x f x g x ∂+=∂∂.推论1.2 ()()0f x g x =的充要(充分必要)条件是()0f x =或()0g x =.推论1.3 ()()()(),()f x g x f x h x f x =≠ ，则 ()()g x h x =.证明 ()()()(f x g x f x h x =, ()(()())0f x g x h x -=()0f x ≠，由推论1.2 ()()0g x h x -=，从而 ()()g x h x =，这说明数域上多项式乘法适合消去律.例1 设(),(),()[]f x g x h x R x ∈ 证明: 若222()()(),f x xg x xh x =+ 则 ()()()0f x g x h x ===.证明 若()0,f x ≠则 222(()())()0,x g x h x f x +=≠从而22()()0.g x h x +≠于是2222(()())((()()))xg x xh x x g x h x ∂+=∂+为奇数.但2(())f x ∂为偶数. 所以222(()())()x g x h x f x+≠ 这与已知矛盾. 故()0,f x = 从而22()()0.g x h x += 又(),()f x g x 均为实系数多项式，必有()()0.g x h x ==从而()()()0f x g x h x ===.该结论在复数域C 上不成立．如取 ()0,(),()f x g x ix h x x === 时. 有 22200().x x x x ==-+⋅1.3 整除的概念这一节以后的讨论都是在某一固定的数域F 上的一元多项式环中进行的，在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算除法并不是普遍可以做的，因此多项式的整除理论就成了多项式理论的一个重要内容.定义1.8 设(),()[]f x g x F x ∈,若存在 ()[]h x F x ∈使()()()f x g x h x = 则说 ()g x 整除(),f x 记作()|()g x f x ,这时， ()g x 称为()f x 的因式，()f x 称为()g x 的倍式．如果()0,g x ≠则()g x 除()f x 所得的商可表成().()f xg x 定义中允许()0g x =，此时有 00(),()[]h x h x F x =∀∈. ()g x 不能整 除()f x 时记作()|()g x f x .和中学所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式, 求得商和余式. 即有带余除法定理1.8 对(),()[],()0,f x g x F x g x ∀∈≠ 存在(),()[]q x r x F x ∈，使 ()()()()f x q x g x r x =+ 其中(())(())r x g x ∂<∂或()0,r x =并且这样的(),()q x r x 是唯一的.证明 若()0f x =或 (())(())f x g x ∂<∂，则令 ()0,()()q x r x f x ==，结论成立．若()0f x ≠ 或 (())(())f x n g x m ∂=≥∂=，11100()i i nn n n n i f x a x a xa x a a x --==++++=∑， 11100()j j mm m m m j g x b x b x b x b b x --==++⋅⋅⋅++=∑对()f x 的次数n 作数学归纳法．0n =，则0m =且b 0非零，0000()0a f x a b b ==⋅+，结论成立． 假设对次数小于n 时，结论成立．现在来看()f x 次数为n 的情形．这时()f x 的首项为,n ax ()g x 的首项为,()m bx n m ≥ ，则()1n m b ax g x --与()f x 有相同的首项，因而，多项式 1()()()n-m f x f x b ax g x -1=-的次数小于n 或1()f x 为0．若1()=0f x ，令1(),()0n m q x b ax r x --==即可，若1(())f x n ∂<，由归纳假设，存在 11(),()q x r x 使得 111()()()()f x q x g x r x =+ 其中1(())(())r x <g x ∂∂或者 1()0.r x =于是1111()()()(())()()n -m n m f x b a x g x f x b a x q x g xr x --=+=++-1即有 111()(),()()n m q x b ax q x r x r x --=+=使()()()()f x q x g x r x =+．由数学归纳法原理，存在性成立．再证唯一性．若还有 ()()()()f x q xg x r x ''=+其中('())(())'()0r x g x r x ∂<∂或＝ 则 ()()()()()()q x g x r x q x g x r x ''+=+，(()'())()()()q x q x g x r x r x '-＝-若()()0r x r x '≠-则()()0q x q x '≠-，(()())(())(())q x q x g x g x '∂∂≥∂-+max{('()),(())}r x r x >∂∂('()())r x r x ≥∂-，矛盾所以()().r x r x '= 从而()()q x q x '= 唯一性得证．()q x 称为()g x 除()f x 的商式，()r x 称为余式．例1 设()()3223456,31f x x x x g x x x =+-+=-+，求()g x 除()f x 的商式和余式. 解 用普通除法() ()313()(317)f x x g x x =++-，313q x x +()=，()=317r x x -.定理 1.9 当()0g x ≠时，()|()g x f x 当且仅当()g x 除()f x 的余式()0r x =整除具有以下性质：1) 若()|()()|(),g x f x f x g x ，则 ()()0f x cg x c ≠＝，；事实上，若()0,f x =则()0,g x ＝()()f x g x =；若()0f x ≠ 由 ()|()f x g x ,1()h x ∃使得 1()()()g x f x h x =；由()|()g x f x ,2()h x ∃使得 ()2()().f x g x h x =12()()()()f x h x h x f x =，从而12()()1h x h x =, 12(())(())0h x h x ∂+∂=, 12(())(())0h x h x ∂=∂=,12(),()h x h x 皆为非零常数，故有()()0f x cg x c ≠＝，；2) 若()|()()|()f x g x g x h x ，则()|()f x h x ；事实上，由()()()g x f x u x =，()()()h x g x v x =,()(()())()()(()())h x f x u x v x f x u x v x ==；3) 若()|()1,2,,i f x g x i =k ，则对()[],1,2,,i u x F x i =k ∀∈ 有1122()|(()()()()()())k k f x u x g x u x g x u x g x +++； 4) 若0c F ≠∈，()[],|()f x F x c f x ∀∈.两多项式的整除关系不会因系数域的扩大而改变．但这个论断在数环上的多项式不一定成立，例如，在Z [x ]中，2x 不整除2x .1.4 最大公因式设F 是数域，[]F x 是F 上的一元多项式环，(),(),()[]f x g x h x F x ∈ 若()()h x f x 且 ()()h x g x ，则说()h x 是(),()f x g x 的一个公因式．任意非零常数是(),()f x g x 的一个公因式，因此公因式是存在的. 定义1.9 说()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式，如果1) ()()d x f x ,()()d x g x ;2) 若()|()h x f x ,()()h x g x , 则()()h x d x .()f x 与()g x 的首1（首项系数为1）的最大公因式记作 (())).(f x g x , 下面讨论将证明最大公因式的存在性并给出求法. 我们还将看到最大公因式不是唯一的，任意两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式相差一个非零常数倍，但首项系数为1的最大公因式是唯一的.引理1.1 设 ()()()()f x q x g x r x =+ ，则(),()f x g x 与(),()g x r x 有相同的公因式, 从而 (()())(()())f x g x g x r x =,,.证明 ()(),()()d x f x d x g x ,则()|()()()()d x r x f x q x g x =-，这就是说，(),()f x g x 的公因式一定是(),()g x r x 的公因式；()(),()()d x g x d x r x ,则()|()()()()d x f x q x g x r x =+，这就是说，(),()g x r x 的公因式一定是(),()f x g x 的公因式；再由最大公因式定义知, (),()f x g x 的最大公因式与(),()g x r x 的最大公因式相互整除, 因此(()())(()())f x g x g x r x =,,.定理1.10 对于[]F x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，一定存在最大公因式()d x ，且(),()[]u x v x F x ∃∈ 使 ()()()()().d x u x f x v x g x +=证明 如果 ()0g x =，则()f x 就是()f x 与()g x 一个最大公因式．且 ()1()0().f x f x g x =⋅+⋅如果()0g x ≠ 用()g x 除()f x 得11()()()()f x q x g x r x =+，若1()0r x ≠，212()()()()g x q x r x r x =+，若2()0r x ≠，1323()()()()r x q x r x r x =+，若3()0r x ≠，…………21()()()()k k k k r x q x r x r x --=+，若()0k r x ≠11()()()0k k k r x q x r x -+=+，()0k r x =因为每次所得余式的次数不断降低，即12(())(())(())g x r x r x ∂>∂>∂>……因此，有限次后，必然有余式1()0k r x +=，于是有1(()())(()())f x g x g x r x =,,12(()())r x r x =,=…1=(()())k k r x r x -,=(()0)()k k r x r x =,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去11(),,()k r x r x -再合并同类项就得到 (()())()()()()()k f x g x r x u x f x v x g x =+,=.这种求最大公因式的方法称为辗转相除法.不难看出。
秩为1的矩阵最小多项式
秩为1的矩阵最小多项式
，
古今漫漫，无论任何事物，都具有一定的规律可寻。
秩为1的矩阵最小多项式，它可以算出出任何矩阵的参数，据说它能帮助我们领略更多宇宙中复杂的秩，带给我们无穷精彩景象。
什么是秩为1的矩阵最小多项式？它是一种能够提供任意m * n矩阵的参数的
数学方法。
简单来说，就是用一个多项式可以表述任何一个矩阵，矩阵中的参数就可以用多项式来表示。
秩为1的矩阵最小多项式也可以用来表述复杂的热力学系统。
此外，这一数学方法还能够帮助我们挖掘出宇宙中更复杂的秩。
它可以帮助我
们推导出更细致的结论，可以从物理学实验结果中提炼出众多更加精妙的结论，可以让我们体验到宇宙中无穷无尽的景象。
秩为1的矩阵最小多项式不仅仅可以提供科学家们新的探索视角，也可以为我
们创造无限可能。
我们可能发现秩1矩阵最小多项式，在无穷宇宙中有某种我们现在暂时无法解释的新的自然现象。
在完全理解的情况下，我们将拥有更多的可能性去发现它。
有极多理论和实验证明，秩为1的矩阵最小多项式是一种强大的数学工具，能
够带给我们更多的未知的乐趣，也能够为科学探索开辟更多新的可能。
《高等工程数学》科学出版社 吴孟达版习题答案(1-8章)
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T a 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。
解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。
解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T 4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。
证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。
余略。
5．已知R 4中的两组基：和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。
解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。
第一章 多项式
第一章 多项式一. 内容概述1. 多项式的概念多项式有两种不同的定义。
设F 是一个域i a ∈F ，)(x f =n a ++--11n n nxa x +01a x a + （1）(1) 不定元的观点（形式表达式）把x 看作一个文字，形如表达式（1），)(x f 称为F 上的多项式。
若两个多项式的形式表达式完全一样，则称两个多项式相等。
即)(x f =n a ++--11n n nx a x +01a x a +,)(x g = n b 0111b x b x b x n n n++++--规定)(x f =)(x g ⇔i i b a =,i =1,2,……n 因此，每一个多项式的表达式是唯一的。
（2）函数观点把x 看作F 中的取值的自变量, )(x f 看成定义在F 上的一个函数,其值域是F 上的一个子集。
在这一观点下，两个多项式函数)(x f 与)(x g 相等。
记住)(x f ≡ )(x g 是指的对0x ∀∈F ，f (0x )=g (0x )有相等的函数值。
应当注意这时的函数表示法不一定是唯一的。
例如，二元域F ={0，1}上多项式函数)(x f =12+x ，)(x g =1+x 是相等的，但表示法不一样，而在无限域上多项式的表示法是唯一的。
即在有限域上)(x f =)(x g 不能推出)(x f ≡)(x g ； 在无限域上)(x f =)(x g ⇔)(x f ≡ )(x g 2．多项式的运算 （1）加法定义 ∀)(x f , )(x g ∈][x F ,在其中适当添上一些系数为零的项,总可设)(x f =i ni i x a ∑=0,)(x g =∑=ni ii x b 0,令)(x h =ii ni i x b a )(0+∑=,显然h(x)∈][x F ，称)(x h 为)(x f 与)(x g 的和，记为)(x f +)(x g =ii ni ix b a)(0+∑=。
第一讲-高等代数选讲之多项式理论
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的 加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3
例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次 正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者 。
其中 c 为任意常数。 （10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式； （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大 而改变。 5、综合除法 设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则 比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
七年级数学 第08讲 整式-单项式和多项式(解析版)
第08讲整式-单项式和多项式1.理解单项式，多项式和整式的概念，并能判定单项式，多项式和整式；2.掌握单项式，多项式的系数和次数求法；3.经历用含有字母的式子表示实际问题数量关系的过程，体会从具体到抽象的认识过程，发展符号意识，数到字母的转变过程。
知识点1单项式1.单项式定义（1）定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。
说明：单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.2、单项式的系数：单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。
如23x 的系数是3；32ab 的系数是31；a8.4的系数是4.8；（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号如24xy -的系数是4-；()y x 22-的系数是2-；（3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如2ab -的系数是-1；2ab 的系数是1；（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。
如2πxy 的系数就是2.3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.说明：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。
如单项式zy x 242的次数是字母z ，y ，x 的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母z 的指数是1而不是0；（2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。
如单项式43242z y x -的次数是2＋3＋4=9而不是13次；（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m 的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数；4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“∙”或者省略不写。
例如：t ⨯100可以写成t ∙100或t1005、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.知识点2：多项式1、定义：几个单项式的和叫多项式.2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.3、多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.5、常数项：多项式里，不含字母的项叫做常数项.知识点3：整式（1）单项式和多项式统称为整式。
第一章多项式
二、数域P上的一元多项式的运算
设
f x an x an 1 x
n n 1
a0 ai xi .
i 0 m
j 0
n
g x bm x m bm1 x m1 b0 b j x j .
是数域P上的两个多项式且设 m n.
(1) 证：若 f ( x ) 0,
2 2
则
2
x ( g ( x ) h ( x )) f ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 于是 从而
( xg 2 ( x ) xh2 ( x )) ( x( g 2 ( x ) h2 ( x ))) 为奇数.
i j i 0 j 0 k 0 n m l
现证 f x g x h x f x g x h x
左边 f x g x 中s次项的系数是： ai b j
左边 f x g x h x t次项的系数是：
an x n 称为多项式f(x)的首项， an 称为首项
系数，n称为多项式f(x)的次数，记为：
f x n.
例如
f x 3x 2 2 x 1,
f x 3,
f x 2,
f x 0
注：
数域上的每一个非零多项式有一个唯一确定的次数； 首项是零次项的多项式的次数为0； 零多项式是唯一不定义次数的多项式；
f x 3 ix 5 x 2 是C上多项式。
3 1 x 3x 2 2 3 x , ax , x x 1
都不是多项式。
2 多项式相等与零多项式
高等代数第1章多项式
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)n-1 f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)n-2 fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),, fk(x)的次数渐减,直到小于g(x)的次数
上式可改写为 f(x) = f1(x) + g(x)q1(x) f1(x)= f2(x) +g(x)q2(x) +) fk(x)=fk+1(x)+g(x)qk+1(x) . f(x)=fk+1(x)+g(x)[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)] 于是,令q(x)=[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)], r(x)=fk+1(x), deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0. 唯一性 假设另有q1(x)和r1(x),满足 f(x) = q1(x)g(x) + r1(x) 其中deg(r1(x))<deg(g(x))或者r1(x)=0
四、综合除法
• 指用一次多项式除任一多项式的简便方法 • 1、理论根据
• • • • • • •
设 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 (an0) 则f(x)被x-c除所得商式是一个n-1次多项式, 设为 q(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0 所以 f(x)=(x-c)q(x)+r, 其中r为余数,即 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 =(x-c)(bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0)+r 比较两边系数,得
3.3.2 多项式1
( ×) ( × ) ( × )
5. R 2的系数是1，指数是3。 （ × ）
第五关
挑战自我，发挥你的潜力
写出一个符合要求的整式 1、写出一个只含一个字母的2次单项式 2、写出一个含3个字母的4次单项式 3、写出一个含两个字母的3次3项式
提高探究
• 1、已知n是自然数，多项式 y n+1+3x3-2x 是三次三项式，那么n可以是哪些数？ 1,2
1 2 5 3
次数
2 3 4
项数
项
9.下列式子中哪些是单项式,哪些是多项式， 哪些是整式?
xy 3 2 , 5a, xy z, a, x y , 3 4 1 , 0, 3.14, m 1 x
（其中不含字母的项叫做常数项） 多项式 次数：多项式中次数最高的项的次数。
项：式中的每个单项式叫多项式的项。
师傅领进门
思考题：
1.多项式 5x y (m 2)xy 3x
m 2
如果的次数为4次，则m为多少？
这个多项式是几次几项式？
提高练习
第四关
二 次____ 三 项式。 1. 3x2-4x+5是_____ 2. (k-2)x2-5x+9是关于x的一次多项式，则 k=______ 2 。
• • • • A. 2次 B. 4次 C. 0次 D. 无法确定
让我们大家一起来想!
小明房间的窗户如图所示， 其中上方的装饰物由两个四分之一圆和 一个半圆组成（他们的半径相同）。
（1）装饰物所占的面积是多少？
a
16
b
2
（2）窗户中能射进阳光部分的面积是多少？
b
ab
16
b
§7.9 最小多项式(1)
矩阵A的最小多项式是唯一的。
第七章 线性变换
性质2 设 g( x ) 是矩阵A的最小多项式，则 f ( x ) 以A为根 g( x ) f ( x ) 。 的充要条件是： 证明：充分性。 若 g( x ) f ( x ) , 则 ∃ q( x ), 使
f ( x ) = g( x )q( x ) 。
⎛0 ⎞ ⎜0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ( J − λ E )2 = ⎜ 1 0 0 ⎟ ≠ 0, %%% ⎜ %%% ⎟ ⎜ 1 0 0⎟ ⎝ ⎠
⎛0 ⎞ ⎜1 0 ⎟ ⎜ ⎟ J − λE = ⎜ 1 0 ⎟ ≠ 0, %% ⎜ %% ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 ⎝ ⎠
⎛0 ⎞ ⎜# % ⎟ k −1 ≠0。 "" , ( J − λ E ) = ⎜ 0 % ⎟ ⎜ 1 0 " 0⎟ ⎝ ⎠ k f ( x ) = ( x − λ ) 。 , k ) 的最小多项式为 ： 故 J (λ线性变换 第七章
故 g(σ ) = θ , 因此 g(σ )V = {0},
第七章 线性变换
由定理7.7 .2的结论可知
V = V1 ⊕ V2 ⊕ " ⊕ Vs
其中 某个 Vi ,
Vi = {ξ (σ − λi ε )ξ = 0, ξ ∈ V }, i = 1," , s 。
把 V1 ," ,Vs 各自的基合起来组成V的基，每个基向量都属于 因而是 σ 的特征向量。 σ 在这个基下的矩阵就是对 角矩阵，故A与对角矩阵相似。
n ⎛ A An = ⎜ 1 ⎝ 0
0 ⎞ ⎛ kA1 , n ≥ 1, kA = ⎜ n⎟ A2 ⎠ ⎝ 0 0 ⎞ ⎛ g ( A1 ) ∴ g ( A) = ⎜ ⎟=0 g( A2 ) ⎠ ⎝ 0
最小多项式1
定义1 设方阵n n A P ，我们称[]P l 中能使()g A O 的次数最低的首一多项式()g l 为A 的最小多项式。
注意 最小多项式一定不是零多项式，也不是零次多项式，它的次数至少在一次及其以上。
我们把最小多项式的性质列为下述七个引理。
引理1 A 的最小多项式是唯一的。
证明 设1()g l 和2()g l 都是A 的最小多项式，由带余除法得12()()()()g q g r l l l l ，其中()0r l 或 2()r g l l .我们说()0r l ，即 21g g l l .否则由12()()()()g A q A g A r A 得()r A O ，这与2()g l 是A 的最小多项式矛盾。
因此21()()g g l l .同理可证12()()g g l l . 所以11()()g g l l . ▎用同样的方法可证，当()f A O 时，A 的最小多项式()()g f l l .于是得 引理2 设()g l 是A 的最小多项式，则()f A O ()()g f l l . ▎ 由Hamilton Cayley 定理又得引理3 A 的最小多项式()g l 是它的特征多项式()f E A l l 的一个因式。
▎引理4 A 的最小多项式()g l 与它的特征多项式()f l 在P 中有相同的根（重数可能不同）。
证明 由引理3知， g l 在P 中的根一定是 f l 的根。
下面证明 f l 在P 中的任一个根0l 也一定是 g l 在P 中的根：设X 是A 的属于0l 的特征向量，则它也是 g A 的属于特征值 0g l 的特征向量，由 g A O 得0O g A X g X l .因为X O ,所以 00g l ，即0l 也一定是 g l 在P 中的根。
▌求最小多项式的方法1：（1）先将A 的特征多项式 f l 在P 中作标准分解，找到中A 的全部特征值12,,,s l l l ； （2）对 f l 的标准分解式中含有 12s l l l l l l 的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A 的多项式就是最小多项式。
高等代数考研辅导第1讲多项式
(1)零多项式只能整除零多项式 4.说明 (2) f ( x), cf ( x)有相同的因式和倍式
例1.1: 证明：x2 +x 1| x3m +x3n 1 x3 p 2 (m, n, p N ).
(1)( x 1) | f ( x n ) x n 1| f ( x n ) 同理可证明 (2) x 2 x 1| f ( x 3 ) xf ( x 3 ) ( x 1) | f ( x), ( x 1) | f ( x). 1 2 1 2
r 标准分解式:f ( x) cp1r1 ( x) p22 ( x) psrs ( x), c是f ( x)的首项系数,p1 ( x)， ，ps ( x)是首项系数为1的
互不相同的不可约多项式,ri是正整数.
k l r 1 (1) f ( x) ap1k1 ( x) prkr ( x) prk11 ( x) pmm ( x), g ( x) bp1l1 ( x) prlr ( x) qrlr1 ( x) qnn ( x), 其中pr 1 ( x), , pm ( x)与
(1)找u ( x), v( x), 使u ( x) f ( x) v( x) g ( x) 1; (2)证明f ( x), g ( x)的任一公因式都是非零常数； (3)证明( f ( x), g ( x)) 1的方法： (3)反证法； (4) f ( x)的均不是g ( x)的根.
2.因式分解定理及唯一性定理:P上每个次数 1的多项式f ( x )都可以唯一 分解成P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性指 f ( x ) p1 ( x ) ps ( x ) q1 ( x ) qt ( x ), 那么s t且适当调序后有pi ( x ) ci qi ( x )(ci 0)
矩阵的最小多项式的进一步讨论
解不同的一次因式的幂积， 取包含一切不同的一次因式的幂
积， 由低次向高次逐一试验， 求出使 Ａ 零化的次数最低的这
收稿日期： ２００６－ ０２－ １０ 作者简介： 贺加来（ １９６５－ ） ， 男， 安徽含山人。巢湖职业技术学院讲师， 主要从事数学教学与研究。
１５７
样的幂积即为 ｍＡ（λ）。 例 ２， 设 ｎ 阶矩阵 Ａ 的所有元素都是 １， 求 Ａ 的最小多项
２００６ 年第 ８ 卷第 ３ 期 总第 ７８ 期
巢湖学院学报 Ｃｈａｏｈｕ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｊｏｕｒｎａｌ
Ｎｏ．３．，Ｖｏｌ．８．２００６ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｓｅｒｉａｌ Ｎｏ．７８
矩阵的最小多项式的进一步讨论
贺加来
（巢湖职业技术学院， 安徽 巢湖 ２３８０００）
摘 要： 本文介绍最小多项式的求法， 以及利用最小多项式解决相关问题。 关键词： 矩阵； 最小多项式； 最小多项式的应用 中图分类号： Ｏ２４１．６ 文献标识码： Ａ 文章编号： １６７２－ ２８６８（ ２００６） ０３－ ０１５７－ ０３
１５８
!λ１ " Ａ～Ｄ＝ " ""
#
λ２ …
$ % % %% λｎ &
则 λ１、λ２……λｎ 都 是 Ａ 的 特 征 根 ， λ１、λ２……λｎ 都 是 ｍＡ （λ）的
根， 但由（,）知 λ１、λ２……λｎ 又都是 φ（λ） 的根。
下面举例说明与对角矩阵相似的特殊矩阵。
例 ６， 设 Ａｋ＝Ｅ（ｋ≥１）， 则 Ａ 与 对 角 阵 相 似 ， 且 对 角 阵 的 对
其中 λｉ＝０， ｉ＝１， ２……ｎ．
参考文献： ［１］ 屠伯埙等．高等代数［Ｍ］．上海：上海科技出版社，１９８７． ［２］ 王湘浩等．高等代数［Ｍ］．北京：高教出版社，１９８５．
最小多项式
的最小多项式没有重根.
练习：
1 1 1 1 1 1 A 1 1 1
求矩阵
的最小多项式.
§7.9 最小多项式
解： 的特征多项式
x 1 1 1 x 1 f ( x ) | E A E | 1 1
x 1 1 0 3 f ( x ) | x E A | 0 x 1 0 ( x 1) 0 0 x 1
又
A E 0,
2 2
(A E) A 2A E
1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1
§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义
二、最小多项式的基本性质
§7.9 最小多项式
引入
由哈密尔顿―凯莱定理， A P 是A的特征多项式，则
f ( A ) 0.
A P
n n
n n
, f ( ) | E A |
因此，对任定一个矩阵 多项式
f ( x ) P [ x ],
§7.9 最小多项式
若 g ( x )为P上互素的一次因式的乘积：
g ( x ) ( x a 1 )( x a 2 )...( x a s )
则
其中
V V 1 V 2 ... V S , V i { | V , ( a i E )( ) 0 }.
从而
故 g ( x ) 为A的最小多项式.
§7.9 最小多项式
推广： 若A是一个准对角矩阵
A1 A2 As
g i ( x ), i 1, 2 , ..., s [ g 1 ( x ), g 2 ( x ), ..., g s ( x )].
多项式1
能力拓展
m n m+n 1、若m,n是自然数,多项式x +y +2 的次数应当是( A. m B. n C . m, n中较大的数 D. m+n ）。
c
).
2、三次多项式中，它任何一项的次数（ A. 都小于３ B. 都等于３ C. 都不小于３ 3、当m=
D
D. 都不大于３
3
时，ab -3a+4是四次三项式。
2
请你说出式子-8-7+4-6的两种读法:
(1).负8减7加4减6
(2).负8,负7,4,负6的和.
你能仿照上述读法中的第二种读法 读一读下列代数式吗?
4x 5,6x 2x 7, a ab b
2 2
2
4x-5 是 4x 与 -5 的和；
2 是 6 x ，-2x，7的和； 6x 2x 7
A.代数式1/2x+4/y ,5x+y/3都是多项式. B.3/2m2 -5m+3 是三次三项次。 C.多项式-a 2+2ab-3b 2 的各项分别是 a2 ,1/2ab ,3b2 D.-7p2 +3p+2-p3 是三次四项式。
3
本节课你有哪些收获？ 请与你的同伴交流。
我学会了…… 使我感触最深的是…… 我还感到疑惑的是……
m
4、多项式（x-1)/2+y 的项是
x/2, -1/2, y
.
一、填空：
２ ２ 3
自我测试
２ 2 3
１、多项式２a b-3ab +a 是 三 次 三 项式，其中常数项是
3 3 2 3xy, y, -5x y , 2 组成 。 ２、多项式3xy+y -5x y +2 由单项式 其中二次项系数 3 ，常数项 2 。 2 3 3 2 ２ -4a b，常数项 -16 它是 ３、3a-4a b +5ab -16的最高次项是 五 次 四 项式。
第一章 多项式
第一章 多项式§1 基本知识§1. 1 基本概念1、数域：由复数构成并含有数1,0的集合P 称为数域，如果P 关于数的加、减、乘、除（除数不为零）封闭。
2、多项式：形式表达式n n x a x a a ++10 （1.1）或01a x a x a n n ++ （1.2）其中n 是一个非负整数，n a a a ,,,10 全是数域P 中的数，（1.1）或（1.2）就称为系数在数域P 中的一元多项式，或简称为数域P 中的一元多项式。
（1.1）是多项式的升幂书写，（1.2）是降幂书写；i i x a 称为多项式的i 次项，i a 称为i 次项的系数；x 是一个文字。
3、零多项式：系数全部为零的多项式称为零多项式。
4、多项式的相等：设∑==ni i i x a x f 0)(∑==m i i i x b x g 0)(是数域P 上的两个一元多项式，如果当n m <时必有：01===+n m a a ，当m n <时必有：01===+m n b b 且 },min{,,1,0,n m i b a i i ==。
一个多项式可以任意去掉或添加一些系数为零的项。
5、多项式的次数：形为（1.1）或（1.2）的多项式中，若0≠n a ，则n n x a 称为多项式的最高次项或首项，n a 称为多项式的最高次项系数或首项系数，而非负整数n 就称为多项式的次数，零多项式没有次数。
6、多项式的和、差、积：设∑==ni i i x a x f 0)(∑==m i i i x b x g 0)(是数域P 上的两个一元多项式，不妨设n m ≤，且n m <时：01===+n m b b ，则∑=+n i i i i x b a)( ∑=-n i i i i x b a0)(∑+=n n k k k x c称为多项式)(x f 和)(x g 的和、差、积，并记为)()(x g x f +、)()(x g x f -、)()(x g x f ，其中n m k b a b a c k i i k i k j i j i k +===∑∑=-=+,,1,0,0 。
单项式与多项式知识点及分类训练(含答案解析)
单项式与多项式知识点及分类训练（含答案解析）【知识点：单项式与多项式】1. 代数式的分类：代数式分为整式和分式（分式八年级学，在本章暂不提及）。
2. 整式的分类：整式分为单项式和多项式。
2.1 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．2.2 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．3. 单项式xy，-5，它们都是数与字母的积，像这样3.1 单项式的定义：如−2mn3，310的式子叫单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式．3.1.1 单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如5就不是m单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．它属于我们上面提及到的分式。
3.2 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．3.2.1 确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．3.2.2 圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．3.2.3 当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．-1也只写一个“-”.3.2.4 单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.4. 多项式4.1多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．（“几个”是指两个或两个以上；“和”不意味着多项式的表达式中必须都是加号）4.2 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．4.2.1多项式的每一项包括它前面的符号．4.2.2 一个多项式含有几项，就叫几项式，如：3x2+5x−6是一个三项式．4.3多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．4.3.1多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．4.3.2一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．4.4 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．如:多项式2x3y2−xy3+12x2y4−5x4−6是六次五项式,按x的降幂排列为−5x4+2x3y2+1x2y4−xy3−6，在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;2若按y的升幂排列为−6−5x4+2x3y2−xy3+12x2y4.4.4.1 重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；4.4.2 含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．【考点1：单项式相关概念】 1. 已知单项式−4x 2y 3，下列说法正确的是( )．A ．系数是-4，次数是3B ．系数是−43，次数是3 C ．系数是43，次数是3D ．系数是−43，次数是2【答案】B 【解析】单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；次数是所有未知数的指数和。
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定义1 设方阵n n A P ，我们称[]P l 中能使()g A O 的次数最低的首一多项式()g l 为A 的最小多项式。
注意 最小多项式一定不是零多项式，也不是零次多项式，它的次数至少在一次及其以上。
我们把最小多项式的性质列为下述七个引理。
引理1 A 的最小多项式是唯一的。
证明 设1()g l 和2()g l 都是A 的最小多项式，由带余除法得
12()()()()g q g r l l l l ，其中()0r l 或 2()r g l l .
我们说()0r l ，即 21g g l l .否则由12()()()()g A q A g A r A 得()r A O ，这与2()g l 是
A 的最小多项式矛盾。
因此21()()g g l l .
同理可证12()()g g l l . 所以11()()g g l l . ▎
用同样的方法可证，当()f A O 时，A 的最小多项式()()g f l l .于是得 引理2 设()g l 是A 的最小多项式，则()f A O ()()g f l l . ▎ 由Hamilton Cayley 定理又得
引理3 A 的最小多项式()g l 是它的特征多项式()f E A l l 的一个因式。
▎
引理4 A 的最小多项式()g l 与它的特征多项式()f l 在P 中有相同的根（重数可能不同）。
证明 由引理3知， g l 在P 中的根一定是 f l 的根。
下面证明 f l 在P 中的任一个根0l 也一定是 g l 在P 中的根：
设X 是A 的属于0l 的特征向量，则它也是 g A 的属于特征值 0g l 的特征向量，由 g A O 得
0O g A X g X l .
因为X O ,所以 00g l ，即0l 也一定是 g l 在P 中的根。
▌
求最小多项式的方法1：
（1）先将A 的特征多项式 f l 在P 中作标准分解，找到中A 的全部特征值12,,,s l l l ； （2）对 f l 的标准分解式中含有 12s l l l l l l 的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A 的多项式就是最小多项式。
例1 零方阵的最小多项式是()g l l ；数量矩阵kE 的最小多项式是()g k l l ，从而单位矩阵的最小多项式是()1g l l .
例2 求1111A
的最小多项式。
解 A 的特征多项式3()(1)f l l ，特征值只有1λ=，()f λ的含有1λ-的因式有：
231,(1),(1)l l l .
经检验，A E O ，2()A E O ，所以A 的最小多项式是2()(1)g l l .
引理5 相似的方阵阵具有相同的最小多项式。
证明 设1B T AT ，则对于任何多项式()g l 有
1()()g B T g A T ，由此得 ：
()()g A O g B O .
由引理2知,A B 的最小多项式互相整除，它们是相等的。
▎
但是，本性质的逆命题不成立（请看例3）.
由本引理知，给定有限维线性空间V 的一个线性变换A ，则A 在任何一组基下的矩阵的最小多项式都相同，因此我们也可以称这个多项式为A 的最小多项式。
引理 6 准对角矩阵1
2A A A
1
1
2
2
12,n n n n A P A P 的最小多项式等于1
A
的最小多项式
1()g l 与2A 的最小多项式2()g l 的最小公倍式
12()[(),()]g g g l l l 。
证明 根据12m
m
m A A A
和12aA aA aA
知， 01()n n f a a a P l l l l 有 01()n
n f A a E a A a A
120111120122()()n n n n n n a E a A a A f A f A a E a A a A
（1） 由12()(),()()g g g g l l l l 和引理2得
12()()()g A g A O g A
，即 g l 是A 的零化多项式。
下面只要证明对A 的任一个零化多项式()f l 有()()g f l l 就可断定 g l 是A 的最小多项式。
事实上，由（1）得12(),()f A O f A O ，再由性质2得12()(),()()g f g f l l l l ，即()f l 是
1()g l 与2()g l 的一个公倍式。
而()g l 是1()g l 与2()g l 的最小公倍式，所以()()g f l l 。
▎
本性质的结论可以进一步推广：
准对角矩阵1
2
s A A A A
的最小多项式是12()[(),(),,()]s g g g g l l l l ， 其中()i g l 是i A 的最小多项式,1,2,,i s .
引理7 r 级若尔当块()r J a 的最小多项式就是它的特征多项式()()r f a l l ，也是它的初等因子.
例3 证明11112A
与11122B 的最小多项式相同，但两矩阵不相似。
证明 这两个矩阵都是若尔当矩阵：
211((1),(1),(2))A diag J J J ， 211((1),(2),(2))B diag J J J .
由引理6和引理7得它们的最小多项式分别是：
22[(1),1,2](1)(2)l l l l l ， 22[(1),2,2](1)(2)l l l l l .
但A 与B 的特征多项式不相等，因而两矩阵不相似。
定理1 （求最小多项式的方法2）设A 是n 级复数矩阵，则A 的最小多项式()g l 是A 的最后一个不变因子()n d l .
证明 由引理5，A 的最小多项式等于它的若尔当标准形的最小多项式()g l ，由引理6和引理7，
()g l 是各若尔当块的初等因子（即A 的初等因子组）的最小公倍式，这恰好等于从各组同底初等因
子中取出次数最高的一个作乘积的结果，根据用初等因子组确定不变因子的方法知()g l ()n d l .▎定理2 数域P 上n 级矩阵A 与对角矩阵相似（即可对角化）的充要条件是它的最小多项式是一些互素的一次因式的乘积：
12()()()()s g l l l l l l l .
证明 略
推论 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是它的最小多项式没有重根。
▎ 例5 已知矩阵n n A P 满足3222A A A E O .证明A 可以对角化。
证明 依题意 3222112f l l l l l l l 是A 的一个零化多项式，是三个互素的一次多项式的乘积。
由引理2，A 的最小多项式 g l 只能是 f l 的因式，当然也只能是几个互素的一次多项式的乘积。
故A 可对角化。
最后指出，我们也可以绕过l 矩阵理论，在最小多项式理论的基础上，建立起方阵的若尔当标准形的存在唯一性定理和若尔当标准形的求法。
有兴趣的读者可参阅丘维声编著的《高等代数》下册（2003年第二版，高等教育出版社）。