最小多项式1

定义1 设方阵n n A P ，我们称[]P l 中能使()g A O 的次数最低的首一多项式()g l 为A 的最小多项式。

注意 最小多项式一定不是零多项式，也不是零次多项式，它的次数至少在一次及其以上。 我们把最小多项式的性质列为下述七个引理。 引理1 A 的最小多项式是唯一的。

证明 设1()g l 和2()g l 都是A 的最小多项式，由带余除法得

12()()()()g q g r l l l l ，其中()0r l 或 2()r g l l .

我们说()0r l ，即 21g g l l .否则由12()()()()g A q A g A r A 得()r A O ，这与2()g l 是

A 的最小多项式矛盾。因此21()()g g l l .

同理可证12()()g g l l . 所以11()()g g l l . ▎

用同样的方法可证，当()f A O 时，A 的最小多项式()()g f l l .于是得 引理2 设()g l 是A 的最小多项式，则()f A O ()()g f l l . ▎ 由Hamilton Cayley 定理又得

引理3 A 的最小多项式()g l 是它的特征多项式()f E A l l 的一个因式。▎

引理4 A 的最小多项式()g l 与它的特征多项式()f l 在P 中有相同的根（重数可能不同）。 证明 由引理3知， g l 在P 中的根一定是 f l 的根。下面证明 f l 在P 中的任一个根0l 也一定是 g l 在P 中的根：

设X 是A 的属于0l 的特征向量，则它也是 g A 的属于特征值 0g l 的特征向量，由 g A O 得

0O g A X g X l .

因为X O ,所以 00g l ，即0l 也一定是 g l 在P 中的根。▌

求最小多项式的方法1：

（1）先将A 的特征多项式 f l 在P 中作标准分解，找到中A 的全部特征值12,,,s l l l ； （2）对 f l 的标准分解式中含有 12s l l l l l l 的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A 的多项式就是最小多项式。

例1 零方阵的最小多项式是()g l l ；数量矩阵kE 的最小多项式是()g k l l ，从而单位矩阵的最小多项式是()1g l l .

例2 求1111A

的最小多项式。 解 A 的特征多项式3()(1)f l l ，特征值只有1λ=，()f λ的含有1λ-的因式有：

231,(1),(1)l l l .

经检验，A E O ，2()A E O ，所以A 的最小多项式是2()(1)g l l .

引理5 相似的方阵阵具有相同的最小多项式。 证明 设1B T AT ，则对于任何多项式()g l 有

1()()g B T g A T ，由此得 ：

()()g A O g B O .

由引理2知,A B 的最小多项式互相整除，它们是相等的。▎

但是，本性质的逆命题不成立（请看例3）.

由本引理知，给定有限维线性空间V 的一个线性变换A ，则A 在任何一组基下的矩阵的最小多项式都相同，因此我们也可以称这个多项式为A 的最小多项式。

引理 6 准对角矩阵1

2A A A

1

1

2

2

12,n n n n A P A P 的最小多项式等于1

A

的最小多项式

1()g l 与2A 的最小多项式2()g l 的最小公倍式

12()[(),()]g g g l l l 。

证明 根据12m

m

m A A A

和12aA aA aA

知， 01()n n f a a a P l l l l 有 01()n

n f A a E a A a A

120111120122()()n n n n n n a E a A a A f A f A a E a A a A

（1） 由12()(),()()g g g g l l l l 和引理2得

12()()()g A g A O g A

，即 g l 是A 的零化多项式。 下面只要证明对A 的任一个零化多项式()f l 有()()g f l l 就可断定 g l 是A 的最小多项式。 事实上，由（1）得12(),()f A O f A O ，再由性质2得12()(),()()g f g f l l l l ，即()f l 是

1()g l 与2()g l 的一个公倍式。而()g l 是1()g l 与2()g l 的最小公倍式，所以()()g f l l 。▎

本性质的结论可以进一步推广：

准对角矩阵1

2

s A A A A

的最小多项式是12()[(),(),,()]s g g g g l l l l ， 其中()i g l 是i A 的最小多项式,1,2,,i s .

引理7 r 级若尔当块()r J a 的最小多项式就是它的特征多项式()()r f a l l ，也是它的初等因子.

例3 证明11112A

与11122B 的最小多项式相同，但两矩阵不相似。 证明 这两个矩阵都是若尔当矩阵：

211((1),(1),(2))A diag J J J ， 211((1),(2),(2))B diag J J J .

由引理6和引理7得它们的最小多项式分别是：

22[(1),1,2](1)(2)l l l l l ， 22[(1),2,2](1)(2)l l l l l .

但A 与B 的特征多项式不相等，因而两矩阵不相似。

定理1 （求最小多项式的方法2）设A 是n 级复数矩阵，则A 的最小多项式()g l 是A 的最后一个不变因子()n d l .

证明 由引理5，A 的最小多项式等于它的若尔当标准形的最小多项式()g l ，由引理6和引理7，