有关解析几何的经典结论
解析几何结论大全
解析几何结论大全
解析几何结论大全是一个非常广泛的主题，涵盖了许多方面。
以下是一些常见的解析几何结论：
1. 两点之间的距离公式：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
2. 直线方程：点斜式 $y-y_1=m(x-x_1)$，斜截式 $y=mx+b$，两点式$y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x+y_1$
3. 圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，圆心 $(a,b)$，半径 $r$
4. 圆与圆的位置关系：相交、相切、相离
5. 圆锥曲线的标准方程：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\frac{y^2}{a^2}-
\frac{x^2}{b^2}=1$，抛物线 $y^2=2px$ 或 $x^2=2py$
6. 圆锥曲线的焦点、准线、离心率等性质
7. 空间向量的加法、数乘、向量的模
8. 向量的数量积、向量积、向量的混合积
9. 向量的坐标表示：$(a,b,c)$，向量的模 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
10. 空间直角坐标系中的点 $(x,y,z)$ 与其相邻三个坐标面围成的单位体积为$\frac{1}{6}$。
以上只是解析几何的一部分结论，还有许多其他结论和定理，可以根据需要进行查阅和学习。
解析几何的经典结论
解析几何的经典结论1.通径椭圆、双曲线的通径为22b a，抛物线的通径为2p .2.点差法结论AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的一条弦，()00,M x y 为弦AB 的中点，则中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB b x k a y =-；椭圆()222210y x a b a b +=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB a x k b y =-；双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB b x k a y =；双曲线()222210,0y x a b a b -=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB a x k b y =； 抛物线)0(22>=p px y ，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB p k y =；抛物线22(0)y px p =->，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB p k y =-；抛物线)0(22>=p py x ，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB x k p =；抛物线22(0)x py p =->，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB x k p=-；（注意使用点差法结论时，保证直线AB 与圆锥曲线相交.另外，结论中的直线AB 斜率存在，且00y ≠）. 3.设椭圆 ()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，则22PA PBb k k a ⋅=-；设椭圆()222210y x a b a b+=>>的下顶点、上顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，则22PA PBa k k b⋅=-；设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线上且异于A 、B 两点，则22PA PBb k k a ⋅=；设双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的下顶点、上顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线上且异于A 、B 两点，则22PA PBa k k b⋅=. 4.焦半径公式椭圆()222210x y a b a b+=>>，()00,P x y 为椭圆上一点，则焦半径10PF a ex =+,20PF a ex =-,其中e 是椭圆的离心率.椭圆()222210y x a b a b+=>>，()00,P x y 为椭圆上一点，则焦半径10PF a ey =+,20PF a ey =-，（注意此时焦点1F 在y 轴负半轴，焦点2F 在y 轴正半轴）.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，()00,P x y 为双曲线上一点，若P 在右支，则焦半径10PF ex a =+,20PF ex a =-；若P 在左支，则焦半径10PF ex a =--,20PF ex a =-+.双曲线()222210,0y x a b a b-=>>，()00,P x y 为双曲线上一点，若P 在上支，则焦半径10PF ey a =+,20PF ey a =-；若P 在下支，则焦半径10PF ey a =--,20PF ey a =-+.（注意此时焦点1F 在y 轴负半轴，焦点2F 在y 轴正半轴）. 抛物线的焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，()00,P x y 为抛物线上一点，则焦半径02pPF x =+；过F 的焦点弦AB 的倾斜角为θ，则焦半径1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+.（A 在x 轴上方、B 在x 轴下方）抛物线)0(22>-=p px y ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF x =-； 抛物线)0(22>=p py x ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF y =+； 抛物线)0(22>-=p py x ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF y =-. 5.焦点三角形面积椭圆()222210x y a b a b +=>>、()222210y x a b a b +=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 为椭圆上任意一点，12F PF θ∠=，则椭圆的焦点三角形面积为：122tan2F PF S b θ∆=；双曲线()222210,0x y a b a b -=>>、()222210,0y x a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 为双曲线上任意一点，12F PF θ∠=，则双曲线的焦点三角形面积为：1222cot 2tan 2F PF b S b θθ∆==； 6.切线与切点弦所在直线方程 ①切线方程过圆222x y r +=上一点()00,M x y 的切线方程：200x x y y r +=；过椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点()00,M x y 的切线方程：00221x x y ya b +=；过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上一点()00,M x y 的切线方程：00221x x y ya b-=；过抛物线)0(22>=p px y 上一点()00,M x y 的切线方程：()00y y p x x =+；过抛物线)0(22>=p py x 上一点()00,M x y 的切线方程：()00x x p y y =+.②切点弦方程过圆222x y r +=外一点()00,M x y 作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：200x x y y r +=；过椭圆()222210x y a b a b+=>>外一点()00,M x y 作椭圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：00221x x y ya b+=； 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：00221x x y ya b-=； 过抛物线)0(22>=p px y 外一点()00,M x y 作抛物线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：()00y y p x x =+；过抛物线)0(22>=p py x 外一点()00,M x y 作抛物线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：()00x x p y y =+.7.等轴双曲线可设为：)0(22≠=-λλy x ；共渐近线x aby ±=的双曲线的标准方程可设为：()22220x y a b λλ-=≠. 8.若椭圆焦点位置不明确，椭圆方程可设为：221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠；若双曲线焦点位置不明确，双曲线方程可设为：221(0)mx ny mn +=<. 9. 弦长公式设斜率为()0k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，()11,A x y 、()22,B x y ，则弦长：12AB x =-==，其中a和∆分别是()200ax bx c a ++=≠中的二次项系数和判别式，k 为直线l 的斜率；当代入消元消掉的是x 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式为：()21212122221111141AB y y y y y y k k k a∆=+-=++-=+，其中a 和∆分别是()200ay by c a ++=≠中的二次项系数和判别式，k 为直线l 的斜率.10.抛物线)0(22>=p px y 焦点弦的常用结论①2124p x x ⋅=，212y y p ⋅=-；②1222sin pAB p x x θ=++=(θ为直线AB 的倾斜角). ③22sin AOBp S θ∆=(θ为直线AB 的倾斜角)； ④112AF BF p+=； ⑤以AB 为直径的圆与准线相切，以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切； ⑥90CFD ︒∠=；⑦过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.11.已知点()11,A x y 、()22,B x y ，则以AB 为直径的圆的方程是：()()()()12120x x x x y y y y --+--=.。
解析几何中的必备结论
x2 y2 C、27＋18＝1
) x2 y2
D、18＋ 9 ＝1
【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.
【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则 x1 + x2 =2， y1 + y2 =－2，
x12 a2
+
y12 b2
= 1
①
x22 a2
+
y22 b2
= 1
②
①－②得
.
2, 12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ° ：用的中间结论要优于余弦定理
；∠F1PF2
|
PF1
||
PF2
|=
2b2 1+ cosθ
,∵| PF1 |= 4 ,| PF2 |= 2，∴代入求解非常方便，这是自己所没有想到的！
S ∠F1PF2
=
1 2
|
PF1
||
PF2
|
sin θ
=
b2
tan
θ 2
⇒ 1 × 4× 2sinθ =2 tan θ
，则有
x1 2 a2
−
x2 2 a2
−
y12 b2
= 1
，
两
式
相
减
并
结
合
y22 b2
= 1
x1 + x2 =−24, y1 + y2 =−30
得，
y1 − y2 x 1 − x2
=
4b2 5a2
4b2
，从而
5a2
= 1，即 4b2
= 5a2 ，又 a2
+ b2
= 9 ，解得= a2
4= , b2
解析几何常用结论
《直线和圆》常用结论1、倾斜角的定义及范围：当直线非水平线时，x 轴的正方向绕这条直线和x 轴的交点逆时针转到和直线重合的位置所转过的最小正角.倾斜角的取值范围是：[0,л)2、直线的斜率定义和斜率公式：斜率定义：tan k α=（α是直线的非直角倾斜角）斜率公式：过点112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠的直线的斜率为：2121y y k x x -=-.斜率的几何意义：非竖直直线上的任一个点向右运动一个单位，纵方向的改变量.3、把垂直于直线的向量叫做直线的法向量，平行于直线的向量叫方向向量.利用法向量与方向向量很容易写出直线的一般式方程. 已知点1122(),(,)P x y Q x y ，则 （1）与向量2121(,)PQ x x y y =--平行的直线的方程可设为：2121x yC x x y y -=--;（2）与向量2121(,)PQ x x y y =--垂直的直线的方程可设为：2121()()x x x y y y C -+-=. 口诀：相量垂直，相乘相加;向量平行 相除相减.4、点00(,)P x y 关于点(,)Q s t 的对称点的坐标为：00(2,2)s x t y --.特别地，点00(,)P x y 关于原点的对称点的坐标为：00(20,20)x y ⨯-⨯-，即00(,)x y --.5、直线0Ax By C ++=关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2)(2)0A u x B v y C -+-+=. 直线0Ax By C ++=关于原点、x 轴，y 轴对称的直线的方程分别为：()()0A x B y C -+-+=，()0Ax B y C +-+=，()0A x By C -++=.6、直线0Ax By C ++=关于直线,x u y v ==对称的直线的方程分别为： (2)0A u x By C -++=，(2)0Ax B v y C +-+=.7、曲线(,)0f x y =关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2,2)0f u x v y --=.8、点00(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标为：00022(2Ax By CA x A B++-++（），00022(2))Ax By CB y A B ++-++.特别地，当||||0A B =≠时，点00(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标（x,y ）满足方程组000000By C x Ax By C A Ax By C Ax C y B+⎧=-⎪++=⎧⎪⇒⎨⎨++=+⎩⎪=-⎪⎩，即坐标为：00(,)By C Ax C A B++--.点(,)P s t 关于x 轴、y 轴，直线x u =，直线y v =的对称点的坐标分别为：(,),(,),(2,),(,2)s t s t u s t s v t ----.9、过点00(,)P x y 作直线0Ax By C ++=的垂线段，垂足的坐标为： 00022((1)Ax By C A x A B ++⨯-++，00022(1))Ax By CB y A B++⨯-++.10、圆的四种方程:（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).11、过圆222x y r +=上一点M 00(,)x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=；以圆222x y r +=内非圆心的一点00(,)x y 为中点的弦所在直线的方程为220000x x y y x y +=+ ； 过圆222x y r +=外一点M 00(,)x y 引圆的两条切线，则过两个切点的直线的方程为200x x y y r +=;若M 00(,)x y 是圆222x y r +=内除圆心（0，0）处的一点，则直线200x x y y r +=与这个圆的位置关系为相离; 若M 00(,)x y 是圆222x y r +=外一点，则直线200x x y y r +=与这个圆的位置关系为相交;若直线:0l Ax By C ++=与圆222x y r +=(r>0)相切，则A,B,C 与半径r 的关系为：22222A rB rC += 12、过圆C :222()()x a y b r -+-=上一点00(,)x y 的圆C 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.以圆C :222()()x a y b r -+-=内非圆心的一点M 00(,)x y 为中点的圆C 的弦所在直线的方程为220000()()()()()()x a x a y b y b x a y b --+--=-+-.若直线:0l Ax By C ++=与圆C :222()()x a y b r -+-= (r >0)相切，则A,B,C ,r, x 0, y 0的关系为：2222200()A r B r Ax By C +=++13、点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.14、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.15、两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .16、圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=.当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的弦所在直线的方程．②过圆外一点00(,)P x y 的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，若只求得一个k 值，注意不要漏掉另一条是平行于y 轴的切线0x x =． ③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±椭圆的常用结论已知12,F F 是椭圆的焦点，点P 在椭圆上.1.平面内到两个不重合定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆或线段或不存在. 当常数大于两定点间的距离时是椭圆（当三点不共线时，两边之和大于第三边）；当常数等于两定点间距离时是线段；当常数小于两定点间距离时轨迹不存在.2.△PF 1F 2的周长为定值22a c +（,a c 分别是长半轴长和半焦距）.3.焦点弦和另一焦点围成的三角形周长为长轴长的4倍，即4 a .4.当且仅当半焦距c ≥短半轴长b 时，椭圆上存在点P ，使1PF ⊥2PF ，122.PF F S b ∆=点P 是以线段12F F 为直径的圆与椭圆的公共点.若椭圆上的点M 处于圆内，则12F MF ∠是钝角，若M 处于圆处，则12F MF ∠是零角或锐角.当椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，点P 的坐标(,)s t 满足：2|||b s t c===. 5.当椭圆上的点P 从长轴端点向短轴端点运动时，12F PF ∠逐渐增大.当点P 处于短轴端点时，12F PF ∠最大.6.椭圆焦半径的取值范围是：[,]a c a c -+.7.焦半径1PF 的中点到中心的距离＝2PF 的长的一半.8.离心率的4种算法：①c e a == ②e =焦半径点准距；③cos e OFB =∠＝sin OBF ∠；④121221sin sin sin F PF e PF F PF F ∠=∠+∠.9.122tan .2PF F S b θ∆=10.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：（1）10||MF a ex =+,20||MF a ex =- (1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ). （2）若F 是椭圆的一个焦点，O 是椭圆的中心，P 是椭圆上一点，∠OFP ＝θ,则2||cos b PF a c θ=-，当090θ=时，2||b PF a=半通径长＝.11.若线段PQ 是过椭圆的一个焦点 F 的一条弦，O 是椭圆的中心，∠OFP 或∠OFQ ＝θ,则22222||cos ab PQ a c θ=-，当090θ=时，22||b PQ a=通径长＝. 12.若过长轴的一个端点A 的一条弦AP, ∠OAP=θ,则22222|||cos |cos ab AP a c θθ=-；当00θ=时，||2AP a =长轴长＝.13.一个焦点关于∠F 1PF 2的外角平分线对称的点的轨迹是以另一个焦点为圆心，半径为长轴长的圆.14.椭圆可看成是以一个定点为圆心的一个大圆相内切，且以另一个定点为圆心的小圆相外切的动圆圆心的轨迹.两定点是焦点，长轴长等于两定圆的半径和.15.椭圆可看成是以一个圆的半径瑞点和圆内一点为瑞点的线段的垂直平分线与这条半径的交点的轨迹.16.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内非原点，则被P 平分的弦所在直线的方程是：2200002222x x y y x y a b a b+=+. 17.线段AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=.18.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过P 的椭圆的切线l 的方程是00221x x y y a b +=.19.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则直线P 1P 2的方程是00221x x y ya b+=.20.椭圆的任一条焦点弦的一个瑞点与另一个瑞点在相应准线上的射影的连线过这个焦点到这条准线的垂线段的中点.21.直线0Ax By C ++=与椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）相切⇔22222A aB bC +=.22.直线0Ax By C ++=与椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）有公共点⇔22222A aB bC +≥.“＝”时相切，“>”时相交.双曲线的常用结论已知12,F F 是双曲线的焦点，点P 在双曲线上.1.平面内到两个不重合定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线或两射线或不存在.当常数小于两定点间的距离时是双曲线（当三点不共线时，两边之差的绝对值小于第三边）；当常数等于两定点间距离时是以焦点为端点，线段12F F 的延长线和反向延长线；当常数小于两定点间距离时轨迹不存在.2.双曲线的一条焦半径与另一焦点围成的三角形的周长＝焦点弦长的2倍+4a.3.要求渐近线，常数改为零.要用渐近线方程设双曲线方程，平方相减等非零（常数）.4.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长.5.⇔双曲线的实虚轴长相等（等轴双曲线）⇔渐近线垂直. 6.焦半径1PF 的中点到中心的距离＝2PF 的长的一半.7.当双曲线的焦半径与渐近线无交点时，焦半径的取值范围是：[,)c a -+∞；当双曲线的焦半径与渐近线有交点时，焦半径的取值范围是：[,)c a ++∞.可用于已知焦半径的长判断焦半径的条数或焦半径处于双曲线上的端点的个数，可以是0～4个5种情形. 8.双曲线上总存在点P ，使1PF ⊥2PF ，此时122.PF F S b ∆=当双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>时，点P 的坐标(,)s t满足：||s=2|b t c ==. 点P 是以线段12F F 为直径的圆与椭圆的公共点.若椭圆上的点M 处于圆内，则12F MF ∠是钝角，若M 处于圆处，则12F MF ∠是锐角.9.当双曲线上的点P 向顶点运动时，12F PF ∠逐渐增大.当点P 处于顶点时，12F PF ∠最大，是一个平角.10.离心率的4种算法：①c e a == ②e =焦半径点准距； ③1cos 2e θ=（θ是两渐近线所成的焦点所在区域的角）；④121221sin |sin sin |F PF e PF F PF F ∠=∠-∠.11.122.tan2PF F b S θ∆=12.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：（1）当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--(1(,0)F c - , 2(,0)F c （2）若F 是双曲线的一个焦点，O 是双曲线的中心，P 是双曲线上一点，∠OFP ＝θ,则2|||cos |b PF a c θ=+若线段PQ 是过双曲线的一个焦点 F 的一条弦，O 是双曲线的中心，∠OFP或∠OFQ ＝θ,则22222|||cos |ab PQ a c θ=-;13.若过实轴的一个端点A 的一条弦AP, ∠OAP=θ,则22222|||cos |cos ab AP a c θθ=- 14.一个焦点关于∠F 1PF 2的内角平分线对称的点的轨迹是以另一个焦点为圆心，半径为实轴长的圆.15.与以两个不重合的定点为圆心的两半径不等的外离圆都外切的动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.两定点是焦点，实轴长等于两定圆的半径差的绝对值.16.双曲线可看成是以一个圆的半径瑞点和圆外一点为瑞点的线段的垂直平分线与这条半径所在直线的交点的轨迹.17.若00(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被P 平分的弦所在直线的方程是：2200002222x x y y x y a b a b-=-. 18.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =.19.若00(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过点P 的切线方程是00221x x y y a b -=.20.若00(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过P 作双曲线的两条切线，切点为P 1、P 2，则直线P 1P 2的方程是00221x x y ya b-=.21.双曲线的任一条焦点弦的一个瑞点与另一个瑞点在相应准线上的射影的连线过这个焦点到这条准线的垂线段的中点.22.非渐近线的直线0Ax By C ++=与双曲线22221x y a b-=（a ，b ＞0）相切⇔22222()A a B b C +-=.抛物线的常用结论抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.结论1.若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-.即12,,2px x 成等比数列. 证明：焦点坐标为F(2p,0).设直线AB 的方程为：2p x my =+2222202y px y pmy p p x my ⎫=⎪⇒--=⎬=+⎪⎭2222121212122()224y y y y y y p x x p p p ⇒=-⇒=⋅=2222()44p p p -== 推广：结论2.若AB 是过定点(,0)(0)P t t ≠的抛物线2(0)y ax a =≠的弦，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：212x x t =，12y y at =-.即12,,x t x 成等比数列.（注：点P 不一定在抛物线的内部，开口向上或向下的情形可与此类推）证明：设直线AB 的方程为：x my t =+220y ax y amy at x my t ⎫=⇒--=⎬=+⎭222221212121222()()y y y y at y y at x x t a a a a -⇒=-⇒=⋅=== 特别地，当t a =时，212y y a =-，212.x x a =故12120x x y y OA OB +=⇒⊥. 可用文字叙述为：结论3.（1）过抛物线内对称轴上到顶点的距离等于通径的定点的弦对着顶点处的角是直角.（2）若抛物线的弦对着顶点处的角是直角，则弦过定点，定点是抛物线内部对称轴上到顶点的距离等于通径的点.以上性质可叙述为：抛物线的定点弦，端点坐标积恒定.结论4.过抛物线的准线与轴的交点作两条切线，则两切线垂直.当开口向左或向右时，切点的横坐标等于焦点的横坐标. 当开口向上或向下时，切点的纵等于焦点的纵坐标.（注：对抛物线的方程是标准方程时适用）推广：结论5.过抛物线2y ax =外一点(,0)t （(0)at <作抛物线的两切切线，则切点横坐标为 -t.证明：设两条切线中的任一条的方程为：x my t =+，220y ax y amy at x my t ⎫=⇒--=⎬=+⎭(*) ∵直线与抛物线相切.∴△=2222()41()040(4)0am at a m at a am t --⨯-=⇒+=⇒+= ∵ a ≠ 0 ∴am 2+4t =024am t ⇒=-.由（*）知：切点的纵坐标为2am . 代入x my t =+，得切点横坐标为2422am tt t t -+=+=-. 结论6.过抛物线2(0)y ax a =≠上一点P 00(,)x y 的切线的方程是：00()2ay y x x =+. 设过点P 00(,)x y 的切线的方程为：00()x x m y y -=-,则00x my x my =+-把00x my x my =+-代入2y ax =并整理，得200()0y amy a x my ---=由直线与抛物线相切知：22200004()0()2(2)40a m a x my am am y ax ∆=+-=⇒-+=由于点00(,)P x y 在抛物线上，故200y ax =，于是2220002()2()(2)(2)0(2)0y am am y y am y m a-+=⇒-=⇒=切线方程为：220000000002()()222y a a a x x y y y y y x x y y x x y a -=-⇒-=-⇒=-+ 00000()222a a ay y x x ax y y x x =++⇒=+.结论7.过抛物线2(0)y ax a =≠的处侧一点00(,)P x y 作两条切线，则过两切点的直线方程为：00()2ay y x x =+ 证明：设两个切点为111222(,),(,)T x y T x y .过111(,)T x y 的切线1PT 的方程为：11()2ay y x x =+ 由于点00(,)P x y 在切线1PT 上，故1001()2a y y x x =+，即：0110()2ay y x x =+∴点111(,)T x y 在直线00()2a y y x x =+上.同理可证：点222(,)T x y 在直线00()2ay y x x =+∴过两切点的直线方程为：00()2ay y x x =+结论8.过抛物线的两切线交点和切点弦中点的直线平行于对称轴或与对称轴重合，弦在对称轴上的截距与两切线交点的一次坐标反号.下面就抛物线方程为2(0)y ax a =≠的情形加以证明.证明：过抛物线2(0)y ax a =≠的处侧一点00(,)P x y 作两条切线，则过两切点的直线方程为：0000()22ay y x x ax y y ax =+⇒=-，代入2y ax =并整理，得20020y y y ax -+= 设两个切点为111222(,),(,)T x y T x y .12120022y y y y y y ++=⇒=. ∴切点弦120TT y 的中点的纵坐标为，与点P 的纵坐标示相同，故切点12T T 的中点和点P的直线平于对称轴x 轴或与x 轴重合.把当0y =代入00()2ay y x x =+解得：0x x =-.即切点弦在对称轴上的截距与点的一次字母坐标，即横坐标互为相反数.以抛物线2(0)y ax a =≠内部一点00(,)P x y 为中点的弦所在的直线的方程是：200022a a y y x y x -=-. 结论9.抛物线的顶点为O,焦点为 F,焦准距为p ,抛物线上任一点为P,设∠OFP=θ, 则焦半径＝1cos pθ+.证明：||||||PF PQ EK ==0||||cos(180)EF PF θ=+-||cos p PF θ=-(1cos )||PF p θ⇒+=||1cos pPF θ⇒=+由前面结论知：0||1cos(180)1cos p pJF θθ==+--故||||||1cos 1cos p p PJ PF JF θθ=+=++-＝22221cos sin p pθθ==- 当090θ=时，2sin θ的最大值为1，22sin p θ有最小值22.1p p =焦点弦PJ 最短.这时的焦点弦称为通径.特别地，抛物线2(0)y ax a =≠的倾斜角为非直角θ的弦点弦长＝22||||1tan 1a a kθ=++. 抛物线2(0)x ay a =≠的倾斜角为非直角θ的弦点弦长＝2||(1tan )a θ+＝2||(1)a k + 结论10.通径是最短的焦点弦.结论11 焦点弦和顶点围成的三角形的面积等于半通径的平方除以弦与轴的夹角的正弦的商的一半.结论12.抛物线22(0)y px p =>（p 是焦准距）的焦点的两端点为1122(,)(,)A x y B x y 和，则1||2p FA x =+，2||2pFB x =+， 12||AB p x x =++ 例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 .解：12=29sin α（其中α为直线AB 的倾斜角），则sin 2α=±，所以直线AB 倾斜角为3π或23π.结论13：三个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.（2）以焦点弦在准线上的射影为直径的圆和焦点弦相切.（3）以焦点弦为直径的圆和过顶点垂直于轴的直线相切.已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 相切. 证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线，垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP.由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111()()222QP AM BN AF BF AB =+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠∴∠AFM=∠MFO.同理，∠BFN=∠NFO ，∴∠MFN=12（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90∴12MP NP FP MN === ∴∠PFM=∠FMP∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90∴以MN 为直径为圆与焦点弦AB 相切. 第三个相切的证明省略.结论14.焦点弦在准线上的射影对焦点处的角是直角.结论15.一条焦点弦的两条焦半径的倒数为定值，定值等于焦准距倒数的2倍. 下面对特殊情形加以证明：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值.证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =. 则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 练习：1. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q+=【解析：化为标准方程，得21(0)x y a a =>，从而12p a=．取特殊情况，过焦点F 的弦PQ 垂直于对称轴，则PQ 为通径，即12PQ p a ==，从而12p q a ==，故114a p q +=】2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴．证明直线AC 经过原点O ．【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，，则212y y p =-． BC x ∵∥轴，且点C 在准线12CO p k y =；又由2112y px =，得1112AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】 3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设()P x y ，是抛物线上的任意一点，=．整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】 备选1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程． 解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．设对称轴和准线的交点是M ，可以求得6255M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫⎪⎝⎭，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得化简整理得22444120x y xy x y ++--=，即为所求的方程． 例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．解析：设OA k t =，1OB OB OA k t ⊥⇒=-，据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．设线段中点()P x y ，，则222214142214142.2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，消去参数t 得P 点的轨迹方程为22(4)x y =-．抛物线焦点弦性质1. 1224p x x ⋅=，122y y p ⋅=-;2. 123222()2sin p pAB x x p x α=++=+=3. '90AC B ∠=，''90A FB ∠=4. 以AB 为直径的圆与准线l 相切，以AF 和BF 为直径的圆都与y 轴相切； 5.112AF BF p+=; 6. A 、O 、'B 三点共线；B 、O 、'A 三点共线；7. 22sin AOB P S α=，23()2AOB S P AB = （定值）；(焦点弦与顶点围成的三角形的面积平方与弦点弦长的比＝焦顶距的的立方)8. 1cos P AF α=-，1cos P BF α=+，2222||1cos sin p pAB αα==- 9. 'BC 垂直平分'B F ，'AC 垂直平分'A F ；10.'C F AB ⊥；11.2AB P ≥；12.11'('')22CC AB AA BB ==+；13.AB 3=p k y ；14.111OA OB AB k k k += 15.412111y y y =+；16.1212tan =22y y p p x x α=--;172A'B'4AF BF =⋅;18.1C'F A'B'2=. 椭双抛 遇到焦半径 可转成点准距x。
高中数学解析几何经典结论汇编 (1)
到 y 轴距离的 2 倍，求 k。
解： e 1（1 )2 1 1（1 )2 2 1 2 k 14 。
k 1
k 21 2
7
[结论
10]：焦半径之比求离心率取值范围：
椭圆：e
11，1；；
[例题]：已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1的两焦点，P 为椭圆上点且 PF1
3F2P ，求离心率取值范围。
[例题]：已知斜率为
1
的直线
l
过椭圆
x2 a2
y2 b2
1 左焦点 F1 交椭圆于 A，B 两点，其中
AF2
，AB ，BF2
成等差数
列，求椭圆离心率。
解：
AF2 + BF2 =2 AB AF2 + BF2 + AB =4a
AB
4a 3
a2
2ab2 c2 cos2
e
2。 2
4
[结论 9]：焦半径之比： e 1 k 2 1 （焦点在 x 轴）； e 1（1 )2 1 （焦点在 y 轴）;
M（1,1）作斜率为 - 1 2
的直线与椭圆
x2 a2
y2 b2
1交于 A,B
两点，且 M
为
AB 中点，求离心率。
解：
kOM
1, KAB
-
1 2
k
AB
kOM
b2 a2
1e 2
2。 2
（2）过椭圆
x2 a2
y2 b2
1的右焦点直线 x
y
3 0 交椭圆于 A,B 两点，且 p 为 AB 中点，OP 斜率为 1 ，求椭 2
x1 x2 4 2x1 2x2
4 x1 x2
解析几何192条相关结论
解析几何192条相关结论结论1：过圆2222a y x =+上任意点P 作圆222a y x =+的两条切线，则两条切线垂直．结论2：过圆2222b a y x +=+上任意点P 作椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的两条切线，则两条切线垂直．结论3：过圆2222b a y x -=+（0>>b a ）上任意点P 作双曲线12222=-by a x 的两条切线，则两条切线垂直．结论4：过圆222a y x =+上任意不同两点A ，B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆：2222a y x =+．结论5：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x +=+．结论6：过双曲线12222=-by a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作双曲线的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x -=+．结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方程为12020=+b y y a x x ．结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+byy a x x ． 结论9：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）上，过点M 作双曲线的切线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）内，过点M 作双曲线的弦AB（不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=-byy a x x ． 结论11：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）上，过点M 作抛物线的切线方程为)(00x x p y y +=．结论12：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为)(00x x p y y +=．结论12：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：)(00x x p y y +=． 结论13：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 上，过点M 作椭圆的切线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论14：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论15：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为1))(())((2020=--+--b n y n y a m x m x ．结论17：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论17：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论27:M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．结论28：过抛物线px y 22=（0>p ）的对称轴上任意一点)0,(m M -（0>m ）作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(m N ．结论29：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的对称轴上任意一点),(n m M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）当0=n ，a m >时，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2m a P ； （2）当0=m ，b n >时，则切点弦AB 所在的直线必过点),0(2nb Q ．结论30：过双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的实轴上任意一点)0,(m M （a m <）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2ma P ． 结论31：过抛物线px y 22=（0>p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．结论32：若椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）与双曲线12222=-ny m x （0>m ，0>n ）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论39：从椭圆22221x y a b +=（0>>b a ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论40：从12222=-b y a x （00>>b a ，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论41：F 是椭圆22221x y a b+=（0>>b a ）的一个焦点，M 是椭圆上任意一点，则焦半径||[,].MF a c a c ∈-+结论42：F 是双曲线12222=-by a x （00>>b a ，）的右焦点，M 是双曲线上任意一点．（1）当点M 在双曲线右支上，则焦半径||MF c a ≥-； （2）当点M 在双曲线左支上，则焦半径||MF c a ≥+．结论43：F 是抛物线22 (0)y px p =>的焦点，M 是抛物线上任意一点，则焦半径0||22p p MF x +≥=． 结论44：椭圆上任一点M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质．结论45：双曲线上任一点M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质．结论46：抛物线上任一点M 处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，亦即抛物线的光学性质．结论47：椭圆的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ ． 结论48：双曲线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ ． 结论49：抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ，且MF ⊥PQ ．结论50：椭圆上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交椭圆于Q ，则MQ 必与该椭圆相切，且MF ⊥PQ ．结论51：双曲线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交双曲线于Q ，则MQ 必与该双曲线相切，且MF ⊥PQ ．结论52：抛物线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与焦点F 的连线交抛物线于Q ，则MQ 必与该抛物线相切，且MF ⊥PQ ．结论53：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴）上三点P ，Q ，M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ，Q ，M 的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论54：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴）上三点P ，Q ，M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ，Q ，M 的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论55：焦点在x 轴上的抛物线（或焦点在y 轴）上三点P ，Q ，M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ，Q ，M 的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论56：椭圆上一个焦点F 2关于椭圆上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该椭圆的另一个焦点F 1．结论57：双曲线上一个焦点F 2关于双曲线上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该双曲线的另一个焦点F 1．结论58：椭圆上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ，S ，则有P ，Q ，S 及两个焦点共于一圆上．结论59：双曲线上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ，S ，则有P ，Q ，S 及两个焦点共于一圆上．结论60：椭圆上任一点P （非顶点）处的切线与过长轴两个顶点A ，'A 的切线相交于M ，'M ，则必得到以'MM 为直径的圆经过该椭圆的两个焦点．结论61：双曲线上任一点P （非顶点）处的切线与过实轴两个顶点A ，'A 的切线相交于M ，'M ，则必得到以'MM 为直径的圆经过该双曲线的两个焦点．结论62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆． 结论63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆． 结论64：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．结论65：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴上）上任一点M （非短轴顶点）与短轴的两个顶点,'B B 的连线分别交x 轴（或y 轴）于P ，Q ，则2P Q x x a =（或2P Q y y a =）．结论66：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴上）上任一点M （非顶点）与实轴的两个顶点,'B B 的连线分别交y 轴（或x 轴）于P ，Q ，则2P Q y y b =-（或2Q P x x b =-）．结论67：P 为焦点在x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则12PF F ∆与边2PF （或1PF ）相切的旁切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点'A ）．结论68：P 为焦点在x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则12PF F ∆的内切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点'A ）．结论69：AB 是过椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>）的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF e=． 结论70：AB 是过双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的一条弦（非通径，且为单支弦），弦AB 的中垂线交x 轴于M ，则||2||AB MF e=． 结论71：AB 是过抛物线22 (0)y px p =>的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于M ，则||2||AB MF =． 结论72：AB 为抛物线的焦点弦，分别过A ，B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 在其准线上． 结论73：AB 为椭圆的焦点弦，分别过A ，B 作椭圆的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上．结论74：AB 为双曲线的焦点弦，分别过A ，B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上． 结论75：AB 为过抛物线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其准线相切．结论76：AB 为过椭圆焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）．结论77：AB 为过双曲线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆弧度数为定值，且为12arccose． 结论78：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线． 结论79：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆． 结论80：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为12arccose． 结论81：AB 为过抛物线22 (0)y px p =>焦点F 的焦点弦，()()1122,,,A x y B x y ，则12||AB x x p =++.结论82：AB 为过椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>焦点F 的焦点弦，()()1122,,,A x y B x y ，则12||2AB a e x x =-+．结论83：AB 为过双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的焦点弦，()()1122,,,A x y B x y ．若AB 为单支弦，则12||2AB e x x a =+-；若AB 为双支弦，则12||2AB e x x a =++.结论84：F 为抛物线的焦点，,A B 是抛物线上不同的两点，直线AB 交其准线l 于M ，则FM 平分AFB ∠的外角．结论85：F 为椭圆的一个焦点，,A B 是椭圆上不同的两点，直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分AFB ∠的外角．结论86：F 为双曲线的一个焦点，,A B 是双曲线上不同的两点（同一支上），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分AFB ∠的外角．结论87：F 为双曲线的一个焦点，,A B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分AFB ∠．结论88：AB 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>过焦点F 的弦，点P 是椭圆上异于,A B 的任一点，直线P A 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c-．结论89：AB 是双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>过焦点F 的弦，点P 是双曲线上异于,A B 的任一点，直线P A 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c-．结论90：AB 是抛物线22 (0)y px p =>过焦点F 的弦，点P 是抛物线上异于,A B 的任一点，直线P A 、PB 分别交准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为2p -．结论91：,A B 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的长轴顶点，P 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2(0)a x m a m =<<于M 、N ，则M N y y ⋅为定值，且有()2222M N b m a y y m-⋅=． 结论92：,A B 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>的长轴顶点，(,0),(,0),(0),E m F m m a P -<<为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2a x m=于M 、N ，则E M F N ⋅为定值，且有()()222222a m a mb EM FN m-+-⋅=；()()222222a m a mb EN FM m-+-⋅=；()()222222a m a mb FM FN m---⋅=；()()2222222a mb a m EM EN m+--⋅=；()()22222a m a amb BM FN m-+-⋅=；()()22222a m a amb AM FN m---⋅=；()()22222a m ab AM BN m --⋅=．结论99： ,A B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的顶点，(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2a x m=于M 、N ，则M N y y ⋅为定值，且有()2222M M b a m y y m-=.结论100： ,A B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的顶点，(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2a x m=于M 、N ，则EM FN ⋅为定值，且有()()222222a m ab m EM FN m-++⋅=；()()222222a m ab m EN FM m-++⋅=；()()222222a m ab m FM FN m-+-⋅=；()()2222222a mb a m EM EN m++-⋅=；()()22222a m ab am BM FN m-++⋅=；()()22222a m ab am AM FN m-+-⋅=；()()22222am a b AM BN m-+⋅=.结论107：,A B 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>的长轴顶点， P 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2a x m =于M 、N ，则AP BP k k 为定值，且有2221AP BP AM BN b k k k k e a =-==-．2221AN BMb k k e a =-=-；()21AM AN a m k k e a m +=--；()21BM BN a m k k e a m -=-+结论111：,A B 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的长轴顶点，(,0),(,0),(0),E m F m m a P-<<为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2a x m =于M 、N ，则EM FN k k ，EN FM k k 为定值，且有222EM FNb k k a m -+=;222EN FM b k k a m -+=结论113：,A B 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的任一直径（中心弦），P 为椭圆上任一点（不与,A B 点重合），则PA PB k k 为定值，且有2221PA PBb k k e a-==-结论114：AB 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），M 为弦AB 的中点，若OM k 与AB k 均存在，则OM AB k k 为定值，且有2221OM ABb k e ak -==-结论115：AB 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有2221AB PQb k k e a=-=-．结论116：过椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>上任意一点P (不是其顶点)作椭圆的切线P A ，则有2221PA OP b k k e a=-=-．结论117：椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m a m a -<<，过F 的弦的端点为A ，B ，过点A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF的中点，且有0AB BE k k +=．结论118：椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m m c =±，过F 任作一条弦AB ，E 为椭圆上任一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FP FQ k k ⋅=-结论119：椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>及定点(,0),(,0)F m a m a m -<<≠，过F 任作一条弦AB ，E 为椭圆上任一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m =相交于P ，Q ，则有222FP FQ b k k m a⋅=- 结论120：A ，B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2 ()a x m a m =>于M ，N ，则AP BP k k 为定值，且有2221AP BP AM BN b k k k k e a -=== 结论121：A ，B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2()a x m a m=>于M ，N ，则AN BM k k 为定值，且有21AN BM k k e =-． 结论122：A ，B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2 ()a x m a m =>于M ，N ，则AM AN k k 为定值，且有()21AM AN a m k k e a m+--= ()21BM BN a m k k e a m-=-+ 结论124：A ，B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的顶点，(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =于M ，N ，则F EM N k k 为定值，且有222EM FN b k k a m =+． 222EN FMb k k a m =+ 结论126：AB 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的任一直径，P 为双曲线上任一点（不与A ，B 点重合），则PA PB k k 为定值，且有2221PA PBb k k e a==-． 结论127：AB 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），M 为弦AB 的中点，若OM k 与AB k 均存在，则OM AB k k 为定值，且有22OM ABb k k a=． 结论128：AB 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有2221AB PQb k k e a==-． 结论129：过双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>上任意一点P (不是其顶点)作双曲线的切线P A ，则有2221PA OPb k k e a==-结论130：双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),()F m m a m a ><-或，过F 的弦的端点为A ，B ，过A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD恒过EF 的中点，且有0AB BE k k +=．结论131：双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),()F m m c =±，过F 任作一条弦AB ，E 为双曲线上任一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FP FQ k k ⋅=-．结论132：双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),()F m m a m a ><-或，过F 任作一条弦AB ，E为双曲线上任一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m =相交于P ，Q ，则有222FP FQ b k k a m ⋅=-．结论133：抛物线22 (0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >，过F 的弦的端点为A ，B ，过A ，B 分别作直线x m =-的垂线，垂足分别为D ，C ，直线x m =-与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AB BE k k +=．结论134：抛物线22 (0)y px p =>及定点(,0),)2(pF m m =，过F 任作一条弦AB ，E 为抛物线上任一点，连接AE ，BE ，分别与准线x m =-相交于P ，Q ，则1FP FQ k k ⋅=-． 结论135：抛物线22 (0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >，过F 任作一条弦AB ，E 为抛物线上任一点，连AE ，BE ，分别与直线x m =-相交于P ，Q ，则2FP FQ pk k m⋅=-． 结论136：过抛物线22 (0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的弦（焦点弦）与抛物线相交于A ，B ，过B 作直线BC 与x 轴平行，且交准线于C ，则直线AC 必过原点（即其准线与x 轴交点E 与焦点F 的线段的中点）．结论137：AB 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B 作x轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点．结论138：AB 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点．结论139：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点．结论140：AB 为垂直于椭圆2222 1 (0,0,)x y a b a b a b+=>>≠长轴上的动弦，其准线与x 轴相交于Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该椭圆上．结论141：AB 为垂直于双曲线2222 (0)x y a bλλ-=≠实轴的动弦，其准线与x 轴相交于Q ，则直线AF 与BQ （直线BF 与AQ ）的交点M 也恒在该双曲线上．结论142：AB 为垂直于抛物线()22(0)y tx x ty t ==≠或，对称轴的动弦，其准线与x 轴相交于Q ，则直线AF 与BQ （直线BF 与AQ ）的交点M 也恒在该抛物线上．结论143：AB 为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线））的动弦，其准线与x 轴相交于Q ，则直线AF 与BQ （直线BF 与AQ ）的交点M 也恒在该圆锥曲线上．结论144：圆锥曲线的焦点弦AM （不为通径，若双曲线则为单支弦），则在x 轴上有且只有一点Q 使AQF MQF ∠=∠．结论145：过F 任作圆锥曲线的一条弦AB （若是双曲线则为单支弦），分别过A 、B 作准线l 的垂线（Q 是其相应准线与x 轴的交点），垂足为11,A B ，则直线1AB 与直线1A B 都经过QF 的中点K ，即11A K B 、、及1B K A 、、三点共线．结论146：若AM 、BM 是圆锥曲线过点F 且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线）)，如图5，则四线1111,,,AM BN NB MA 共点于K ．结论147：A 、B 分别为椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>的右顶点和左顶点，P 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =于M ，N ，则以线段MN为直径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为Q ⎫⎝⎪⎪⎭及椭圆内定点为R ⎫⎝⎪⎪⎭结论148：A 、B 分别为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的右顶点和左顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2()a x m a m =>于M ，N ，则以线段MN 为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为2a m Q ⎛⎫⎝+ ⎪⎪⎭及双曲线外定点为2a m R ⎛⎫⎝- ⎪⎪⎭结论149：过直线 (0)x m m =≠上但在椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有()22222AB MM b m k k a a m =-． 结论150：过直线 (0)x m m =≠上但在双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有()22222AB MN b m k k a m a =-． 结论151：过直线 (0)x m m =≠上但在抛物线22 (0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点(,0)N m -，且有2AB MN p k k m=． 结论152：设点M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点M 向圆锥曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过准线对应的焦点F ，且FM AB ⊥．结论153：过直线1mx ny +=上但在椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb ．结论154：过直线1mx ny +=上但在双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb ．结论155：过直线 1 (0)mx ny m +=≠上但在抛物线22 (0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点1,pn N m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 结论156：A ，B 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的左右顶点，点P 是直线 (,0)x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在椭圆上），直线P A 及PB 分别与椭圆相交于M ，N ，则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭．结论157：A ，B 是在双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的顶点，点P 是直线 (,0)x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在双曲线上），直线P A 及PB 分别与双曲线相交于M ，N ，则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭． 结论158：A ，B 是抛物线22 (0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点，若直线AB 过定点()2,0N p ，则OA OB ⊥，且A ，B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．结论159：A ，B 是抛物线22 (0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点，若OA OB ⊥，则直线AB 必过定点()2,0N p ，且A ，B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．结论160：A ，B 是抛物线22 (0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点，若OA OB ⊥，过O 作OM AB ⊥，则动点M 的轨迹方程为2220 (0)x y px x +-=≠．结论161：A ，B 是抛物线22 (0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点，若OA OB ⊥，则()2min 4A O BSp =．结论162：过抛物线22 (0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦MA ，MB ，则MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点()002,N x p y +-．结论163：过抛物线22 (0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦MA ，MB ，则 (0)MA MB k k λλ=≠的充要条件是直线AB 过定点002,pN x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 结论164：过椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>上任一点()00,M x y 作两条弦MA ，MB ，则MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点2222002222,a b b a N x y a b b a ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 特别地，（1）当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过过定点()2222,0a a b N a b ⎛⎫±- ⎪ ⎪+⎝⎭．（2）当M 为上、下顶点时，即000,x y b ==±时，MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点()22220,b b a N b a ⎛⎫±- ⎪ ⎪+⎝⎭．结论165：过双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>上任一点()00,M x y 作两条弦MA ，MB ，则MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点2222002222,a b b a N x y a b b a ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭． 特别地，当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点()2222,0a a b a b N ⎛⎫ ±⎝+ -⎪⎪⎭结论166：过二次曲线：22Ax By Cx Dy E +++=（A ，B ，C ，D ，E 为常数，0A B +≠）上任一点()00,M x y 作两条弦MA ，MB ，若MA MB ⊥，则直线AB 恒过定点000022,Ax C By D x y A B N A B ++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．值得注意的是：在结论166中 （1）令000,1,2,0A D B C p x y ====-==就是结论159；（2）令0,1,2A D B C p ====-就是结论162；（3）令22,,0A a B b C D ====就得到结论164； （4）令22,,0A b B a C D ==-==就得到结论165．结论167：A ，B 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>上不同的两个动点，若OA OB ⊥，则22222211||||a b OA OB a b++=． 结论168：A ，B 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>上不同的两个动点，若O A O B ⊥，则有min 11||||a b OA OB ab ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，max11||||OA OB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结论169：A ，B 是双曲线2222 1 (0)x y b a a b -=>>上不同的两个动点（在同一支上），若OA OB ⊥，则有22222211||||b a OA OB a b-+=结论170：在抛物线22 (0)y px p =>的对称轴上存在一个定点(,0)M p ，使得过该点的任意弦AB 恒有222111||||MA MB p+=结论171：在椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>的长轴上存在定点M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，使得过该点的任意弦AB 恒有2222411||||a b MA MB b ++=．结论172：在双曲线2222 1 (0)x y a b a b -=>>的实轴上存在定点M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，使得过该点的任意弦AB 恒有2222411||||a b MA MB b ++=．结论173：过椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>的焦点F 作一条直线与椭圆相交于M 、N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且222a bλμ+=-．结论174：过双曲线2222 1 (00)x y a b a b -=>>，的焦点F 作一条直线与双曲线相交于M 、N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且222a bλμ+=．结论175：过抛物线22 (0)y px p =>的焦点F 作一条直线与抛物线相交于M 、N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且1λμ+=-．结论176：过椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的焦点F 作一条直线与椭圆相交于M 、N ，与相应准线相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=．结论177：过双曲线2222 1 (00)x y a b a b-=>>，的焦点F 作一条直线与双曲线相交于M 、N ，与相应准线相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=．结论178：过抛物线22 (0)y px p =>的焦点F 作一条直线与抛物线相交于M 、N ，与准线相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=．结论179：MN 是垂直椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=．结论180：MN 是垂直双曲线2222 1 (00)x y a b a b-=>>，实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=． 结论181：MN 是垂直抛物线22 (0)y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=．结论182：MN 是垂直椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为长轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则λμ+为定值，且1λμ+=-．结论183：MN 是垂直双曲线2222 1 (00)x y a b a b-=>>，实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为实轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则λμ+为定值，且1λμ+=-． 结论184：MN 是垂直抛物线22 (0)y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为抛物线焦点，若,OE EA OF FA λμ==，则λμ+为定值，且112λμ+=．结论185（补充）：点P 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>上任意一点，弦P A 、PB 分别过定点(,0)M m -、(,0)N m ，（0m a <<），且,PM MA PN NB λμ==，则λμ+为定值，且()22222a m a mλμ++=-结论186（补充）：点P 是双曲线2222 1 (00)x y a b a b-=>>，上任意一点，弦P A 、PB 分别过定点(,0)M m -、(,0)N m ，（0m a <<），且,PM MA PN NB λμ==，则λμ+为定值，且()22222a m a mλμ++=-．结论187：（补充）：M 、P 是圆222:( 0)C x y r r +=>上任意两点，点M 关于x 轴对称点为N ，若直线PM 、PN 与x 轴分别相交于点(,0),(,0)A m B n ，则mn 为定值，且2mn r =．。
解析几何常用公式结论
1、斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2、直线的五种方程（熟练掌握两点和截距式、一般式）（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).点法式和点向式在求直线方程时较直观. 3、两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；11112222A B C l l A B C ⇔==与重合 ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；4、到角公式和夹角公式 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 当12121210k k A A B B =-+=或时，直线12l l ⊥，直线l 1到l 2的角及l 1及l 2的夹角都是2π.5、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．6、点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).7、两条平行线：1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=与之间的距离是：d =.8、点(,)P u v 关于点(,)Q s t 的对称点的坐标为：(2,2)s u t v --.特别地，点(,)P u v 关于原点的对称点的坐标为：(20,20)u v ⨯-⨯-，即(,)u v --.9、直线0Ax By C ++=关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2)(2)0A u x B v y C -+-+=. 直线0Ax By C ++=关于原点、x 轴，y 轴对称的直线的方程分别为：()()0A x B y C -+-+=，()0Ax B y C +-+=，()0A x By C -++=.10、直线0Ax By C ++=关于直线,x u y v ==对称的直线的方程分别为： (2)0A u x By C -++=，(2)0Ax B v y C +-+=.11、曲线(,)0f x y =关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2,2)0f u x v y --=.12、点(,)P s t 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标为：22(2As By Cs A A B ++-⨯+，222)As By Ct B A B++-⨯+.特别地，当||||0A B =≠时，点(,)P s t 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标为：(,)Bt C As CA B++--.点(,)P s t 关于x 轴、y 轴，直线x u =，直线y v =的对称点的坐标分别为：(,),(,),(2,),(,2)s t s t u s t s v t ----. 13、0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.14、111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：12111222()()0B B A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域是上上、下下两部分；12111222()()0B B A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下、下上两部分. 12111222()()0A A A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域是左左、右右两部分； 12111222()()0A A A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域左右、右左两部分.15、圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).16、 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．17、点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.18、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.19、两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .20、圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点00(,)P x y 的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±21、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.22、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.23、椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 24、椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.25、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.26、双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 27、双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.28、双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=. （2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.29、椭圆、双曲线的心准距是：2a c ，焦准距是：2b c ，通径长是：22b a.30、过椭圆、双曲线的焦点的弦长为：22222|cos |ab a c θ-，过顶点的弦长为：22222|cos |cos ab a c θθ-，其中θ是弦与长（实）轴所成的一个角（是锐角或直角或钝角都可以）. 31、抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 32、抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =. 33、二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=. 34、抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 35、抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.36、两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.37、直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =|AB|y , 剩下x ,后者适用于消去x ，剩下y ）或AB =1212||x x y y =-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程(,)0y kx b F x y =+⎧⎨=⎩ 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.38、圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 39、“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均可由此方程得到.。
解析几何方法与结论
解析几何常见方法与结论常见的六大方法:①直线与曲线联立用韦达定理.可得1x 与2x 的关系.求中点、弦长.②直接解出交点.已知一个交点可用韦达定理,也可用代点消去法解得B A x x ,. ③曲线定义法.主要用于求轨迹或进行相关计算或求e .④平面几何法.主要用于求轨迹或求焦点弦问题或解圆中相关问题. ⑤代点相减法.主要用于求中点与斜率相关问题.但要检验0>∆. ⑥直线参数方程. 主要用于同一直线上的线段长、弦的中点轨迹. 1.解决PB PA ⋅的方法:法一:利用坐标展开.))(())((P B P A P B P A y y y y x x x x PB PA --+--=⋅. 法二:若||PA ,||PB 为定值,可用APB PB PA PB PA ∠⋅=⋅cos ||||.法三:若||AB 为定值,则可用2||||||222AB PB PA PB PA -+=⋅.2. 解决PB AP λ=的方法: ①若点P 为已知,则先按坐标展开,⎩⎨⎧-=--=-)()(P B A PP B A P y y y y x x x x λλ,法一:直线AB 与曲线C 联立得韦达定理,再与其中一个等式联合可解. 法二:代点消去法,可解得B A x x ,(或B A y y ,). 若曲线为抛物线则可全部解出B A x x ,,B A y y ,.②若B A ,为已知,点P 为未知,则用定比分点公式求出点P . 3.几类特殊的三角形的充要条件.其中E 为AB 的中点. ①||||PB PA =的充要条件是AB PE ⊥.②⎩⎨⎧⊥=PB PA PB PA 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⊥||21||AB PE AB PE . ③AB PB PA ==的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⊥||23||AB PE AB PE ④3:1:1||:||:||=AB PB PA 的充要条件是⎩⎨⎧=⊥||32||PE AB AB PE .4.曲线C 上存在关于直线l 对称的两点B A ,.利用韦达定理或代点相减法求出直线AB 的方程,再与曲线联立,由0>∆即得.5.处理角的四种方法:①用余弦定理.②用到角公式.③用向量的夹角.④转化为直线的倾斜角用直线参数方程. 6.求离心率的范围①利用直线与曲线联立,由0>∆可得.②利用曲线自身的范围.如椭圆中a x ≤||,b y ≤||,焦半径c a r c a +≤≤-.点到准线的距离a ca d d a c a ++≤≤-22.③利用曲线的几何性质.如焦点三角形和顶点三角形的性质.④建立e 的函数再求值域.7.求三角形面积的五种方法:①S =∆②h AB S ⋅=∆||21 ③C ab S sin 21=∆ ④利用m x x S B A ⋅-=∆||21 ⑤利用n y y S B A ⋅-=∆||21 ⑥利用12211||2S x y x y ∆=- 8.四点共圆问题找圆心，也可用直线参数方程.圆锥曲线相关重要结论:1.过椭圆上任一点A 作过二焦点的直线1AF 、2AF 分别交椭圆于另一点B 、C . 设111AF F B λ=,222AF F C λ=, 则12λλ+为定值22121e e +⋅-.双曲线也为定值22121e e +⋅-.2.P 为椭圆22221x y a b +=右顶点,F 为左焦点，过F 的任一弦l 交椭圆于A 、B .直线PA 、PB 与左准线交于点M 、N ，则42M N b y y c ⋅=-.双曲线为42M N b y y c⋅=-.3.直线l 与椭圆12222=+by ax )0(>>b a 交于),(11y x A ,),(22y x B 两点,l 与x 轴交于)0,(N x N )0(≠N x ,)0,(M x M 为x 轴上另一点.则BMN AMN ∠=∠的充要条件是2a x x N M =⋅.双曲线也为2a x x N M =⋅.直线l 与抛物线)0(22>=p px y 交于),(11y x A ,),(22y x B 两点,l 与x 轴交于)0,(N x N )0(≠N x ,)0,(M x M 为x 轴上另一点.则BMN AMN ∠=∠的充要条件是0=+N M x x .4. ①过12222=+b y a x )0,0(>>b a 右(左)准线上一点P 向椭圆引两切线21,PP PP ,F 是椭圆的右(左)焦点,则PF P P ⊥21.②过px y 22=准线上任一点P 向抛物线引两切线21,PP PP ,F 是抛物线的焦点,则221||||||PF FPFP =⋅ ,PF 平分21FP P ∠,PF 平分21PP P ∠.5.)0,(m A 为椭圆12222=+by a x )0,0(>>b a 长轴上一点,P 、Q 为曲线上关于x 轴对称的两点，PA 交曲线于点M ,则①QM过定点)0,(2ma F ,②若AM AP λ= 则FM FQ λ-=.③2a x x A F =⋅ ,④AF 平分MAQ ∠.6. (1)P 为圆锥曲线上一定点,PM 、PN 为两个动弦，且m k k PN PM =⋅，则MN 过定点(或定向).特例:1-=m 时,①若),(00y x P 为椭圆12222=+by ax )0,0(>>b a 上一点,则MN 过定点2222002222(,)a b a b x y a b a b ---++,②若),(00y x P 为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 上一点,则MN 过定点2222002222(,)a b a b x y a b a b++---,③若),(00y x P 为抛物线2y ax =上一点,则MN 过00(,)x a y +-.(2)P 为圆锥曲线上一定点,PM 、PN 为两个动弦，且PM PN k k m +=，则MN 过定点(或定向). (3)P 为圆锥曲线上一定点,PM 、PN 为两个动弦，倾斜角分别为1α、2α且12αα+为定值，则MN 过定点(或定向).7.若AB 为圆锥曲线的焦点弦,则在与焦点同线的对称轴上必存在一点M ,使得MB MA ⋅为定值.212()x x a =8.①A 、B 为椭圆长轴上的两个顶点,l 为与长轴垂直的一条定直线,P 为l 上的一动点,直线PA ,PB 与椭圆分别交于M , N 两点,则直线MN 与x 轴的交点F 是定点.② A 、B 为椭圆长轴上的两个顶点,F 为长轴上的一定点,过F 任作一直线交椭圆于M ,N 两点,则直线AM ,BN 的交点P 必在定直线上. 9. 过椭圆12222=+b y a x )0,0(>>b a 上任一点),(n m P 作斜率互为相反数的两条直线分别交椭圆于D 、F ,则22na mb kDF=(定值). 10. 圆锥曲线焦点弦的相关性质. (焦点弦之魂212y y p =-,推广122y y pa =-)①)'(D M MC e MN +=. ②epF M MF 2'11=+.③若θ为极角,则'1cos ep M F e θ=+,1cos epMF e θ=-. ④MF F M MF F M e +-=''cos θ.(其中θ为倾斜角) ⑤设MN交准线于P .则F M MFD M MC PM PM '''==.⑥MD 、C M '平分线段FQ .⑦e d MN 2||=. ⑧FQ 平分'MQM ∠ ⑨分别以点N M ,为切点的直线交于准线上一点.以准线上任一点向椭圆引二切线,其切点弦必过相应的焦点. ⑩eeFM FM e e -+≤≤+-11'11.x。
专题01 解析几何的常用二级结论(高考必背)
解析几何的常用二级结论一．有关椭圆的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁1.（1）与椭圆221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()2221,0x y b a b λλλ+=+>++. （2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)第一定义：122PF PF a +=；(2)焦半径的最大值与最小值：1a c PF a c -≤≤+； (3)2212b PF PF a ≤⋅≤；（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）, 左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b=-=-；(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点，记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+；(2)焦点三角形的面积： 122||=tan2PF F P S c y b θ∆=；(3)当P 点位于短轴顶点处时, θ最大,此时12PF F S ∆也最大； (4) .21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=. 7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=. 9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 10. 若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+ . 11. P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b+=+； （2）22||+|OQ|OP 的最大值为22224a b a b+； （3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+. 13. 已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.14. 离心率21c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，221b e a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.15. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2216. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.17. 过椭圆22221(x y a b a b+=>>左焦点的焦点弦为AB ,则)(221x x e a AB ++=；过右焦点的弦)(221x x e a AB +-=. 18. 椭圆内接矩形最大面积：2ab .19. 若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+ ；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设 过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－ ；②22cos ab AB a c α=-２２２ 椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上 20.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112a mnb+=二．有关双曲线的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>，e 越大，双曲线的开口越阔渐近线方程by x a=±a y x b=±1.（1）与221x y a b -=共轭的双曲线方程为221x y a b-=-，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C 为半径的圆上；③2212111e e +=。
高中数学中的解析几何的常用结论
解析几何的常用结论一．有关椭圆的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 范围 顶点轴长焦点焦距 对称性离心率1.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)第一定义：122PF PF a +=； (2)焦半径的最大值与最小值：1a c PF a c -≤≤+；(3)2212b PF PF a ≤⋅≤；2.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点，记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+；(2)焦点三角形的面积： 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=；(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大；3.有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），12,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），12,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-4. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 225. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.6. 椭圆内接矩形最大面积：2ab .二．有关双曲线的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 范围 顶点轴长焦点焦距 对称性 离心率渐近线方程1.设P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-. (2)焦点三角形的面积 122||=cot 2PF F P S c y b θ∆=.2.有关22b a的经典结论(1)AB 是双曲线22221x y a b -=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=，即2020ABb x K a y =。
高联解析几何二级结论
高联解析几何二级结论
点到直线距离公式的应用：在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式可以直接求出点到直线的最短距离。
利用这一结论，我们可以迅速判断点与直线的位置关系，解决与距离相关的问题。
两直线垂直的条件：两直线垂直时，它们的斜率之积为-1（斜率存在的情况下）。
这一结论在解析几何中非常实用，可以快速判断两直线的位置关系。
圆的切线性质：从圆外一点引圆的切线，切线的长度相等。
这一结论在解决与圆切线相关的问题时非常有用，可以简化计算过程。
椭圆的焦点性质：任意一点到椭圆两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长。
利用这一结论，我们可以解决与椭圆焦点相关的问题，如求椭圆的离心率等。
抛物线的准线性质：抛物线上任一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
这一结论在解决与抛物线相关的问题时非常有用，可以帮助我们快速找到抛物线的准线和焦点。
这些二级结论在解析几何中的应用非常广泛，掌握它们可以大大提高解题效率。
但需要注意的是，这些结论都是在一定的条件下成立的，因此在使用时要确保满足相应的条件。
同时，理解这些结论的推导过程也是非常重要的，可以帮助我们更好地理解解析几何的基本原理和方法。
解析几何重要公式和结论
解析几何重要公式和结论篇一：平面解析几何的公式与结论平面解析几何的公式与结论1.直线的五种方程（1）点斜式y?y1?k(x?x1)(直线l过点p1(x1,y1)，且斜率为k)．（2）斜截式y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).（3）两点式(4)截距式y?y1y2?y1x?y?x?x1x2?x1(y1?y2)(p1(x1,y1)、p2(x2,y2)(x1?x2)).?1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0)ab（5）一般式Ax?by?c?0(其中A、b不同时为0).2.两条直线的平行和垂直(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2①l1||l2?k1?k2,b1?b2;②l1?l2?k1k2??1.(2)若l1:A1x?b1y?c1?0,l2:A2x?b2y?c2?0,且A1、A2、b1、b2都不为零,①l1||l2?A1A2?b1b2?c1c2；②l1?l2?A1A2?b1b2?0；3．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点p0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k 是待定的系数;经过定点p0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?b(y?y0)?0,其中A,b是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?b1y?c1?0,l2:A2x?b2y?c2?0的交点的直线系方程为(A1x?b1y?c1)??(A2x?b2y?c2)?0(除l2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?by?c?0平行的直线系方程是Ax?by???0(??0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax?by?c?0(A≠0，b≠0)垂直的直线系方程是bx?Ay???0,λ是参变量．4.点到直线的距离d?|Ax?by?c|结论：若直线Ax?by?c?0穿过线段Ab(其中A(x1,Y1)b(x2,Y2))则直线分Ab的比值为(点p(x0,y0),直线l：Ax?by?c?0).λ=-Ax1?by1?cAx2?by2?c5.Ax?by?c?0或?0所表示的平面区域设直线l:Ax?by?c?0，则Ax?by?c?0或?0所表示的平面区域是：若b?0，当b与Ax?by?c同号时，表示直线l的上方的区域；当b与Ax?by?c异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若b?0，当A与Ax?by?c同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?by?c异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.6.圆的四种方程（1）圆的标准方程(x?a)?(y?b)?r.（2）圆的一般方程x?y?Dx?ey?F?0(D?e?4F＞0).2222222（3）圆的参数方程??x?a?rcos??y?b?rsin?.（4）圆的直径式方程(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、b(x2,y2)).7.圆系方程(1)过点A(x1,y1),b(x2,y2)的圆系方程是(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线Ab的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l:Ax?by?c?0与圆c:x2?y2?Dx?ey?F?0的交点的圆系方程是x?y?Dx?ey?F??(Ax?by?c)?0,λ是待定的系数．22(3)过圆c1:x2?y2?D1x?e1y?F1?0与圆c2:x2?y2?D2x?e2y?F2?0的交点的圆系方程是x?y?D1x?e1y?F1??(x?y?D2x?e2y?F2)?0,λ是待定的系数．22228.点与圆的位置关系点p(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种若d?222d?r?点p在圆外;d?r?点p在圆上;d?r?点p在圆内.9.直线与圆的位置关系直线Ax?by?c?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种:d?r?相离???0;d?r?相切???0;d?r?相交???0.Aa?bb?cA?b22其中d?.10.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为o1，o2，半径分别为r1，r2，o1o2?dd?r1?r2?外离?4条公切线;d?r1?r2?外切?3条公切线;r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线;d?r1?r2?内切?1条公切线;0?d?r1?r2?内含?无公切线.11.圆的切线方程(1)已知圆x?y?Dx?ey?F?0．①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是x0x?y0y? D(x0?x)2?e(y0?y)2?F?0.?e(y0?y)2?F?0表示过两个切点的切点弦方程．22当(x0,y0)圆外时,x0x?y0y?D(x0?x)2②过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，再利用相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆x?y?r．222①过圆上的p0(x0,y0)点的切线方程为x0x?y0y?r;②斜率为k的圆的切线方程为y?kx?2第一讲直线与圆一、选择题1．已知直线l1的方向向量a＝(1,3)，直线l2的方向向量b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为()A．x＋3y －5＝0b．x＋3y－15＝0c．x－3y＋5＝0D．x－3y＋15＝0解析：∵l1⊥l2，∴a·b＝0.11－1，.∴－1＋3k＝0，∴k＝，∴b＝?3?31∴l2方程为yx＋5，3即x＋3y－15＝0.答案：bxy2．若直线＝1通过点m(cosα，sinα)，则()abA．a2＋b2≤1b．a2＋b2≥11111c.1D.1ababxy解析：直线＋1通过点m(cosα，sinα)，我们知道点m在单位圆上，此问题可abxy转化为直线＋1和圆x2＋y2＝1有公共点，圆心坐标为(0,0)，由点到直线的距离ab公式有|－1|111?＋≥1，故选D.abab答案：D3．(20XX·福建)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()A．x2＋y2＋2x＝0b．x2＋y2＋x＝0c．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝0解析：∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴满足题意的圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，整理得x2＋y2－2x＝0，故选D.答案：D4．(20XX·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于m，n两点，若|mn|≥3，则k的取值范围是()33－，0?b.?∪[0，＋∞)A.?4?4??|3k＋1|k＋1解析：圆心(3,2)到直线的距离d＝则|mn|＝24－??|3k＋1|2?k＋1?＝－5k－6k＋3323，解得－k≤0，故选A.4k＋1答案：A5．(20XX·湖北)若直线y＝x＋b与曲线y＝34x－x有公共点，则b 的取值范围是()A．[1－22，1＋22]b．[12，3]c．[－1,1＋2]D．[1－2，3]解析：y＝34x－x变形为(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4，1≤y≤3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即|2－3＋b|2，解得b＝1－22或b＝1＋22(舍去)，∴b的取值范围为1－22≤b≤3.故选D.答案：D二、填空题6．(20XX·全国Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是：①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)．解析：两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为|3－1|＝2，又动直线l1与l22所截的线段长为22，故动直线与两线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．答案：①⑤7．(20XX·四川理)若⊙o：x2＋y2＝5与⊙o1：(x－m)2＋y2＝20(m ∈R)相交于A、b两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段Ab的长度是________．解析：高而基培训中心内部资料如图所示，在Rt△oAo1中，oA5，o1A＝5，∴oo1＝5，∴Ac5×25 ＝2，5∴Ab＝4.答案：48．(20XX·课标全国)过点A(4,1)的圆c与直线x－y－1＝0相切于点b(2,1)，则圆c的方程为________．解析：由已知kAb＝0，所以Ab的中垂线方程为x＝3.①过b点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②??x＝3，联立①②解得??y＝0，?所以圆心坐标为(3,0)，半径r＝?4－3?＋?1－0?2，所以圆c的方程为(x－3)2＋y2＝2.答案：(x－3)2＋y2＝29．(20XX·山东)已知圆c过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆c所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为___________________________________________________________ ___________．解析：设圆心A(x0,0)，x0>0，r＝|Ac|＝x0－1，|bc|2，由直线l方程可知∠bcA＝45°，所以r＝2，x0＝3，∵l⊥Ab，∴kAb＝－1，Ab 方程为y＝－1(x－3)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0三、解答题10．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆c：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；篇二：%A6+解析几何部分公式、方法、技巧荟萃解析几何部分公式、方法、技巧荟萃《直线和圆的方程》（1）①与直线Ax?by?c?0平行的直线方程为：Ax?by?m?0(m?c)与直竭诚为您提供优质文档/双击可除线y?kx?b平行的直线为：y?kx?m(m?b)②与直线Ax?by?c?0垂直的直线方程为：bx?Ay?m?0与直线y?kx?b(k?0)垂直的直线为：y??1kx?m（2（3（4）l1l1（5Ab?2?x1?（此即弦长公式）【注】该公式在圆锥曲线上有着广泛的应用，但在抛物线的焦点弦问题上，最好能从焦半径公式入手简化计算量，另外用该公式时，求出值往往要用判别式验证。
解析几何经典结论
圆锥曲线的常见性质1．圆锥曲线的定义：【例1】椭圆定义的演绎：圆222x y a +=伸缩椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，令222b a c =-，可得2a =（第一定义ce a x c==-（第二定义）． 【例2；定圆上一动点与圆外一定点所连线段的中垂线与其半径的交点的轨迹是双曲线；类似地，将定圆推广为直线（无穷大圆）【例3】圆的一些性质向圆锥曲线的演绎：（Ⅰ）圆的直径所对的圆周角为直角可以推广为：对于椭圆22221x y a b+=上关于原点对称的两点100200(,),(,)P x y P x y --，椭圆上任意一点M （异于点12,P P ）满足1222MP MP b k k a⋅=-；在双曲线中类似的结论为1222MP MP b k k a ⋅=．（假定斜率存在）（Ⅱ）圆的垂径定理可以推广为：椭圆22221x y a b+=的弦AB 及其中点M 满足22AB OM b k k a ⋅=-；双曲线中类似的结论为22AB OM b k k a⋅=．（假定斜率存在）（Ⅲ）圆的切线定理可以推广为：椭圆22221x y a b +=上点00(,)P x y 处的切线l 满足l OP k k ⋅= 22b a-；双曲线中类似的结论为22l OP b k k a ⋅=．（假定斜率存在）（Ⅳ）圆222x y r +=上的点00(,)P x y 处的切线方程为200x x y y r +=；椭圆22221x y a b+=上点00(,)P x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=；双曲线22221x y a b -=上点00(,)P x y 处的切线方程为00221x x y y a b-=；抛物线22y px =上点00(,)P x y 处的切线方程为00()y y p x x =+．2．圆锥曲线的焦半径、焦点弦：【例1】椭圆中，以焦半径为直径的圆与长轴为直径的圆相切；双曲线中，以焦半径为直径的圆与实轴为直径的圆相切；抛物线中，以焦半径为直径的圆与顶点处的切线（无穷大圆）相切．【例2】椭圆、双曲线的焦点在切线上射影的轨迹是以原点为圆心，半径长为a 的圆；抛物线的焦点在切线上射影的轨迹是顶点处的切线（无穷大圆）．【例3】过圆锥曲线的准线上一点向原曲线作切线，则相应焦点与该点及切点的连线互相垂直．【例4】过圆锥曲线准线上的一点作原曲线的割线，则相应焦点与该点的连线平分焦点相对于割线两交点张角的外角．【例5】圆锥曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线．【例6】椭圆、抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值：112||||AF BF ep+=； 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和或之差为定值：112||||AF BF ep+=（,A B 在同支），112||||AF BF ep-=（,A B 在异支）． 【例7】（Ⅰ）圆锥曲线的焦点弦长为222|1cos |epe θ-； （Ⅱ）圆锥曲线互相垂直的焦点弦长的倒数之和为定值2|2|2e ep-．【例8】圆锥曲线焦点弦的中垂线与长轴（或实轴、或抛物线对称轴）的交点到焦点的距离与焦点弦长之比是定值2e ． 【例9】圆锥曲线的焦点弦端点在相应准线上投影与另一端点的交叉连线交于定点，且此定点平分该焦点所对应的焦准距线段．。
(完整word版)高中数学必修2《解析几何》常用公式结论
高中数学必修21、直线的倾斜角与斜率：tan k α=，当α∈[0°,90°）时，斜率k ∈[0，+∞）；当α∈（90°,180°）时，斜率k ∈（－∞，0）。
过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线斜率公式：2121y y k x x -=-.2、直线的五种方程：⑴点斜式：00()y y k x x -=- (直线l 过点00(,)P x y ，且斜率为k )．⑵斜截式：y kx b =+(k 为直线的斜率，b 为直线l 在y 轴上的截距).⑶两点式：112121y y x x y y x x --=-- (12y y ≠且12x x ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y ).⑷截距式：1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，且0a b ≠、)⑸一般式：0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3、两条直线平行和垂直的等价关系：(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则①121212||,l l k k b b ⇔=≠②12l l ⊥(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2①11112122112212220A B C l ||l A B A B C C A B C ⇔=≠-=≠或且B B ；②121l l A ⊥⇔4、五种常用直线系方程：⑴斜率为k 的直线系方程为：y kx b =+（k 为常数，b 为参数；）.⑵过定点()00,M x y 的直线系方程为：()00y y k x x -=-及0x x =⑶与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By λ++=（C λ≠）⑷与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay λ-+=（λ⑸过直线1111A B C 0l x y ++=：和2222A B C 0l x y ++=：()()111222A B C A B C 0x y x y λ+++++=（不含2l）（λ为参数） 5、两点间距离公式：12PP ｜111(,)P x y 、特别的：点(,)P x y 到坐标原点(0,0)O 的距离为：||OP=6、点到直线的距离公式：d =(点00(,)P x y ，直线l ：Ax By++7、两条平行直线间的距离公式：d =(直线1l ：10Ax By C ++=，2l ：8、光的反射定律：。
解析几何知识点+经典结论+解题方法
图
形
范围
性
质
对称性
顶点
轴
性
焦距
质 离心率
a，b，c 的关系
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴 A1A2 的长为 2a 短轴 B1B2 的长为 2b
y2 b2
1.
2.
x2
过椭圆
a2
y2 b2
1
(a＞0, b＞0)上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，
则直线
BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）.
3.
若
P
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1,
2
2
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几
种形式： y 2 2 px ， x 2 2 py ， x 2 2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下
表： [一次项的字母定轴（对称轴），一次项的符号定方向（开口方向）]
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5.
若
P0
( x0
,
y0
)
在双曲线
x2 a2
解析几何中焦点相关的常用结论
解析几何中焦点相关的常用结论解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定义、正、余弦定理等方法求解，熟练掌握有关结论并能加以灵活运用，将有效提高解题速度。
结论1、焦半径公式： 10设P 是椭圆12222=+by a x 上的一点，则焦半径|PF 1|、|PF 2|的长分别为a ±ex 0。
其中a 为长半轴长，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标（图1）。
20 设P 是双曲线12222=-bya x 上的一点，则焦半径|PF 1|、|PF 2|的长分别为ex 0±a 。
其中a 为实半轴长，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标。
证明：对本题的证明只要根据定义，下面以椭圆为例加以证明：设点P 到左准线的距离为d ，则d=x 0+c a 2,由第二定义得dPF ||1=e ，∴|PF 1|=d ·e= (x 0+c a 2)·e= e x 0 +a 。
同理可证|PF 2|= a －e x 0。
结论2、以抛物线y 2=2px (p>0)的焦半径|PF|为直径的圆（⊙C ）与y 轴相切（图2）。
证明：分别过点P 、C 、F 向抛物线的准线作垂线，垂足记为P 1、C 1、F 1，与y 轴交于P 2、C 2，O ，则C 到y 轴的距离|CC 2|=2||||2FO PP +，而|PF|=|PP 1|=|PP 2|+|P 2P 1|=|PP 2|+|FO|，∴|CC 2|=2||PF ，即点C 到y 轴的距离等于⊙C 的半径，∴⊙C 与y 轴相切。
结论3、以抛物线y 2=2px (p>0)的焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，且A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。
证明：分别过点A 、B 、C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足记为A 1、B 1、C 1，与y 轴交于A 2、B 2，C 2，则C 到l 轴的距离|CC 1|=2||||11BB AA +，由第二定义得：|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|，∴|AA 1|+|BB 1|=|AB|，∴|CC 1|=2||AB ，即点C 到准线l 的距离等于⊙C 的半径，∴⊙C 与准线相切。
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有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQS ∆的最小值是2222a b a b +.9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=-. 13. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.3. 若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1,F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 4. 设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5. 若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQS ∆的最小值是2222a b b a -.9. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或220a b x a+≤-.11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=+. 13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：212122111AB kx x y y k =+-=+- 2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。