线面垂直与面面垂直
证明两个平面垂直的方法
证明两个平面垂直的方法
线面垂直到面面垂直，直线a垂直于平面1，直线a平行于或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2。
平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2。
通过2面角的夹角，如果2面角的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的。
面面垂直判定定理
定理
如果一个平面与另一个平面的垂线相交，则这两个平面相互垂直。
推论1
如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面相互垂直。
推论2
如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
(可以理解为法向量垂直的平面互相垂直)
面面垂直性质定理
定理1
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面上垂直于它们的交点的直线就垂直于另一个平面。
定理2
如果两个平面互相垂直，那么垂直于第二个平面并通过第一个平面中的一点的直线在第一个平面中。
定理3
如果两个相交的平面垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
推论:三个成对垂直平面的相交是成对垂直的。
定理4
如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线平行于另一个平面。
(判定定理的推论1的逆定理)
推论:如果两个平面互相垂直，那么垂直于这两个平面的两条垂线互相垂直。
(判定定理的推论2的逆定理)。
线面垂直、面面垂直的判定与性质
本周知识小结：直线与平面垂直的判定和性质：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线例3、.(2012·广东高考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点,且DF=21AB,PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明:PH⊥平面ABCD.(2)若PH=1,AD= 2，FC=1,求三棱锥E-BCF的体积.(3)证明:EF⊥平面PAB.例4、（09一模东城）如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C AB F--是直二面角，AF a=，G是EF的中点．（Ⅰ）求证：平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的大小；例5、（09年崇文一模）在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，AB CD∥，1AB AD==，12D D CD==，AB AD⊥．（Ⅰ）求证：BC⊥平面1D DB；（Ⅱ）求1D B与平面11D DCC所成角的大小．例6、如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC角形，AB＝2，O是AB中点．(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.课后练习：B1、若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.倍B.2倍C.倍D.倍2、(2013·惠州高一检测)某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该几何体的体积为( )A.24B.80C.64D.2403、(2013·宿州高一检测)如图,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=2,AA1=3.(1)求证:AC⊥BA1.(2)求圆柱的侧面积4、如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=a,则PC=5、对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β6、(2012·上海高考)一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为.。
立体几何线面与面面垂直的证明
那么另一条也垂直于这个平 a 的无数条直线”是“ I 丄a B.必要不充分条件线面垂直与面面垂直专题复习【知识点】一.线面垂直(1) 直线与平面垂直的定义：如果直线l 和平面a 的 __________________ 一条直线都垂直，我们就说直线 I 与平面a 垂直,记作 _____________ .重要性质： ____________________________________________________________________________(2) 直线与平面垂直的判定方法：①判定定理：一条直线与一个平面的两条 ___________________ 都垂直，那么这条直线就垂直于这 个平面.用符号表示为：②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 面.用符号可表示为：(3)直线与平面垂直的性质：① 由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的 ________ 直线.② 性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为： 二、面面垂直(1) 平面与平面垂直的定义：两平面相交，如果它们所成的二面角是 _____________________ ，就说这两个平面互相垂直.(2) 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 _____________________ ，那么这两个平面互相垂直.简述为 "线面垂直，则面面垂直”，用符号可表示为：(3)平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 用符号可表示为：【题型总结】 题型一小题：判断正误1. “直线I 垂直于平面 A.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知如图，六棱锥 P — ABCDE 的底面是正六边形， 下列结论不正确的是( ).A.CD// 平面 PAFB. DF 丄平面 PAFC. CF//平面 PAB 2.设m n, I 是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，判断命题正误:理科数学复习专题立体几何①m,m ,则//⑥m n, m// ,则n②m,// ,则m⑦m n,n 1,则m//l③m,m//n,则n⑧, ,则〃④m,n ,则m//n⑨m n,n//I,则m 1⑤m,m n,则n//⑩,//，则题型「二证明线面垂直P归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：_________________________________________②找垂线（线线垂直）的方法一：______________________________________________ 2.四棱锥P ABCD中，底面ABCD的边长PD PB 4, BAD 600, E 为PA 中点•1如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,/ DAB = 60° AB= 2AD, PD 丄底面ABCD .（1）证明：BD丄面PAD （2）证明：PA丄BD;求证：BD 平面PAC ；4的菱形,归纳：找垂线（线线垂直）的方法找垂线（线线垂直）的方法三：3、如图，AB是圆0的直径，C是圆0上不同于A, B的一点，PA 平面ABC , E是PC 的中点，AB 3 , PA AC 1.求证：AE PB•Z归纳：找垂线（线线垂直）的方法四：____________________________________4.如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC, BCA 900,AP=AC,点D , E分别为棱PB、PC的中点，且BC〃平面ADE求证：DE丄平面PAC ;归纳：_____________________________________________________________________________________ 题型三面面垂直的证明（关键：找线面垂直）1、如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD 的交点，SA 平面ABCD.求证：平面SAC 平面SBD ;2. （2016理数）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中面ABEF 为正方形,AF=2FD, AFD 90：,证明：平面ABEF 平面EFDC ;题型四面面垂直的性质（注意：交线）1、如图所示，平面EAD 平面ABCD , ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点, 求证：EG 平面ABCD ；2、如图，平行四边形ABCD中，CD 1, BCD 600, BD CD，正方形ADEF，且面ADEF 面ABCD •求证：BD 平面ECD ;综合运用如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1) 求证：MN //平面PAD.(2) 求证：MN丄CD.⑶若/ PDA = 45 °求证：面BMN丄平面PCD.【练习】1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:金a〃b a M a M a//M① b M ②a//b ③b/ M ④b± Ma Mb M a b a b其中正确的命题是( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.给出以下四个命题：CD如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
线面垂直、面面垂直
线面垂直、面面垂直及其证明一 线面垂直的判定定理（1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.（2（3）三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. （4）线面垂直的证明例1例2例3SDD 1ODBA C 1B 1A 1C例4在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD .练习1 在正方体1111ABCD A BC D -中. （1）求证：AC ⊥平面11B D BD .（2）求证：1BD ⊥平面1ACB .练习2在三棱锥A BCD -中，BC AC =，AD BD =，作BE CD ⊥，E 为垂足，作AH BE ⊥于H .求证：AH ⊥平面BCD .在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ︒∠=，PA AB BC ==，E 是PC 的中点.（1）求证：CD AE ⊥. （2）求证：PD ⊥面ABE .二 面面垂直（1条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为l ，两个面分别为，,αβ二面角记作为l αβ--.（2）二面角的平面角定义：在二面角l αβ--棱l 上取一点O ，在半平面α和β内，从点O 分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，射线组成AOB ∠.则AOB ∠叫做二面角的平面角.二面角的取值范围为[0,180]︒︒.（3）面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直.（4）面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直. （5）面面垂直的正面即：面面垂直→线面垂直→线线垂直. 例1如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . .例2如图，直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，90ACB ︒∠=121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，求证：平面1BDC 平面BDC ．AC B1B 1A D1C练习 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段,,SA SB SC ，且60ASB ASC ︒∠=∠=，90BSC ︒∠=，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．三 立体几何高考证明例1（2013江苏）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：（1）平面平面； （2）．例2（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2） 直线1//A F 平面ADE ．ABC S -⊥SAB SBC BC AB ⊥AB AS =A SB AF ⊥F G E ，SC SA ，//EFG ABC SA BC ⊥ABCSGFE例3如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四四边形，60DAB ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥（2）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高.练习1如图，几何体E ABCD -是四棱锥，ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .练习2（2011天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ABCD ⊥平面，2PO =，M为PD 的中点．(Ⅰ) 证明：//PB ACM 平面；MP(Ⅱ)(Ⅲ)。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
2.3线面垂直面面垂直的判定
2.3线面垂直、面面垂直的判定知识点:1.定义:如果直线l 与平面α内任意一条直线都垂直,我们就说直线l 与平面α互相垂直,记α⊥l .直线l 叫做平面α的垂线, 平面α叫做直线l 的垂面. 2.线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 符合表示:3.面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个屏幕垂直. 符合表示: 例题解析:例1. 已知a ∥b,a ⊥α,求证: α⊥b .练习1:)(,,,则下列命题正确的是是一个平面是两条不同的直线设αm l,.B ,,.A ααα⊥⊥⊂⊥l l m m l 若则若l ∥m,则α⊥mC.若l ∥α,α⊂m ,则l ∥mD. 若l ∥α,若m ∥α,则若l ∥m , 例2:如图,在三棱锥V-ABC 中,VA=VC,AB=BC,求证:VB AC ⊥练习2: .在正四面体P-ABC 中,E 是BC 的中点,求证:平面PAE ⊥平面ABC例3.如图,在∆ABC 中,ABC ,AC ,90ABC 0∆=∠是的中点为S D 所在平面外一点,且 SA=SB=SC. (1)求证:SD ⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD ⊥平面SAC练习3:过∆ABC 所在平面α外一点P,作PO α⊥,垂足为O,连接PA,PB,PC (1)若PA=PB=PC,则点O 为∆ABC 的 心(2)AB C O ,,,∆⊥⊥⊥为则若PA PC PC PB PB PA 的心巩固练习一.选择题1．在一个平面内，和这个平面的一条斜线垂直的直线有A．无数条 B.2条 C.1条 D.0条2．a与直线ｂ垂直，ｂ又垂直于平面α，则a与α的位置关系是( )A. a⊥αB. a∥αC. a⊂αD. a⊂α或a∥α3.直线ａ与直线ｂ垂直，ａ平行于平面α，则ｂ与α的位置关系是( )A.ｂ∥αB.ｂ⊂αC.ｂ与α相交D.不确定4.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是（）（A）平行（B）斜交（C）垂直相交（D）异面垂直5.若平面α⊥平面β，直线nα⊂，直线m⊂β，m⊥n，则（）A．n⊥βB．n⊥β且m⊥αC．m⊥αD．n⊥β与m⊥α中至少有一个成立6．若直线l、m与平面α、β、γ满足：β∩γ=l，l∥α，mα⊂，m⊥γ，则有（）A．α⊥γ，l⊥m B．α⊥γ，m∥βC．m∥β，l⊥m D．α∥β，α⊥γ二.填空题7．已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,①两条平行直线;②两条相互垂直的直线；③同一条直线;④一条直线及其外一点. 则a,b在上的射影有可能是8. 如图,BC是Rｔ△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，则图中共有直角三角形个.三.解答题9. 如图，已知AP⊥⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE ⊥PC 于点E.求证：AE⊥平面PBC.10.已知△ABC 中，∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，AD ⊥SB 于D.求证：AD ⊥平面SBC.11、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 求证：平面A 1BD ⊥平面A 1C 1CA ．12.如图,已知四棱锥S-ABCD,底面ABCD 为正方形,SA ,AB CD 平面⊥平面AEFG SC ⊥,分别交SB/SC/SD 于E 、F 、G,求证:SB ⊥AEABCDA 1B 1C 1D1。
线面垂直与面面垂直的判定与性质
立体几何之垂直关系【知识要点】空间中的垂直关系如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．题型1 平移证明线线垂直 例1 如图，在四棱锥ABCD P -中，N M AD BC AB AD BC BC AB ,.2,1,,===⊥分别为DC PD ,的中点，求证：AC MN ⊥例2 底面ABCD 是正方形，Q G BE PD PD BE ,,2,=‖分别为AP AB ,的中点，求证：CG QE ⊥例3 如图，在正方形1111D C B A ABCD -中，M 为1CC 的中点，F E ,分别为11,D A CD 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：OM EF ⊥题型2 线面垂直判定例1 如图，在三棱锥ABC P -中，PAB ∆是等边三角形。
①若ABC ∆是等边三角形，证明：PC AB ⊥②若 90=∠=∠PBC PAC ，证明：PC AB ⊥例 2 已知四棱台1111D C B A ABCD -的上下底面边长分别是2和4的正方形，41=AA 且ABCD AA 底面⊥1，点P 为1DD 的中点，求证：PBC AB 面⊥1例3 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AB BAC ==∠,90，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11C B 的中点。
证明：⊥D A 1平面BC A 1题型3 线面垂直性质证明线线垂直例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，D AA AC ACB ,21,901==∠ 是棱1AA 的中点，求证：BD DC ⊥1例2 已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且FN AM =。
线线-线面-面面垂直关系
已知平面α和β相互垂直，直 线l在平面α内，且与β相交于 点A。过点A作直线m与α平 行。求证：m与β垂直。
由于l在α内且与β相交于点A， 根据面面垂直的性质定理我 们可以得出l与β垂直。又因为 m过点A且与α平行，根据平 行线的性质我们可以得出m与 l平行。因此m也与β垂直。
05 综合应用与拓展延伸
空间中垂直关系综合应用
01
利用线面垂直判定定理证明线面垂直
通过证明一条直线与平面内两条相交直线都垂直，可以判定该直线与平
面垂直。
02
利用面面垂直性质定理证明线面垂直
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个
平面垂直。
03
利用线面垂直性质定理证明面面垂直
如果一条直线同时垂直于两个平行平面，那么这两个平面互相垂直。
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典型例题解析
例题1
解析
已知直线l1的方程为Ax+By+C1=0，直线l2 的方程为Ax+By+C2=0，且C1≠C2，求证： l1⊥l2。
由于l1和l2的A、B系数相同，因此它们的法 向量相同，根据直线间垂直的条件，可知 l1⊥l2。
例题2
解析
在三角形ABC中，已知AB⊥AC，AD是BC边 上的高，求证：AD^2=BD×CD。
如果两个平面相互垂直，那么它们的 法线也相互解析
已知平面α和β相互垂直，直 线a在平面α内，直线b在平面 β内，且a与β不垂直，b与α 不垂直。求证：a与b不平行。
假设a与b平行，由于a在α内， b在β内，且α与β相互垂直， 根据面面垂直的性质定理， 我们可以得出a与β也相互垂 直。这与题目中给出的a与β 不垂直相矛盾，因此假设不 成立，所以a与b不平行。
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。
简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。
由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。
线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。
该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。
而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。
线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。
同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。
由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。
它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .求证：AB DE ⊥ 9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PADVDCBA SA10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
面面垂直线面垂直的判定定理
面面垂直线面垂直的判定定理一、引言在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。
当两个平面垂直时，我们称它们是面面垂直的。
本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。
二、定义1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。
2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。
3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。
4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。
三、定理如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。
四、证明假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。
我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面面垂直”的。
首先，我们需要证明这条直线存在。
假设这两个平面A和B相交于一条直线L。
因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。
接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。
假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ 在平面B上。
我们需要证明AP和BQ是垂直的。
由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。
因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。
根据余弦定理：cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ)cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ)由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。
将其代入上式中可得：cos(APQ) = cos(BPQ)因此，APQ = BPQ因此，AP和BP是垂直的。
线面垂直,面面垂直
α
A
B
平面与平面所成的角——二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角.
ι
PHale Waihona Puke AβBαa b
a b a / / b
线线平行
线面垂直
平面与平面垂直的判定定理：如果 一个平面经过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直.
l ,l
β
l α
线面垂直
面面垂直
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
a , b a // b
线面垂直 线线平行
a
b
平面与平面垂直的性质定理
, l , m, l m l .
β
m
l
α
若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂 直交线的直线与另一个平面垂直.
面面垂直
线面垂直
直线和平面所成的角
我们把平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个 平面所成的角.
一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直．
l
直线与平面垂直的判定（1）——判定定 理：
la l b a b a b A
l
b
A
a
线不在多，相交就灵
记忆：线线垂直，则线面垂直
直线与平面垂直判定（2）：
如果在两条平行线中，有一条垂直于平 面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
线线垂直,线面垂直,面面垂直的关系
线线垂直,线面垂直,面面垂直的关系稿子一：嘿，朋友！今天咱们来聊聊线线垂直、线面垂直还有面面垂直的那些事儿。
你看哈，线线垂直就像是两个小伙伴在打架，谁也不让谁，非要争个上下。
比如说，一条直线直直地站着，另一条直线冲过来和它成了直角，这就是线线垂直啦，简单直接！那线面垂直呢，就像是一个勇敢的战士面对着一堵墙，直直地站在那，和墙面成了直角。
而且不管墙面怎么变化，这个战士都坚定不移，这就是线面垂直哦。
面面垂直可就更有趣啦！想象一下两个大板子，一个板子立得直直的，另一个板子和它碰到一起，还形成了直角，这就是面面垂直。
你说它们之间有没有关系呢？当然有啦！线线垂直可以推出线面垂直，就好像是一个小小的胜利积累成了大的成功。
而线面垂直又能推出面面垂直，就像一步一步升级打怪一样。
这三者的关系就像一个有趣的链条，一环扣一环，是不是很有意思呀？稿子二：亲爱的小伙伴，咱们来唠唠线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系呗！先说线线垂直，这就好比两根针，针尖对着针尖，谁也不退缩，这就是垂直啦，多干脆！线面垂直呢，就像是一根旗杆立在地面上，直直的，和地面成了直角，稳稳当当。
不管刮多大风，它都不会歪。
面面垂直呢，你就想想两块大木板，相互靠在一起，还成直角，是不是感觉很结实？其实呀，它们之间的关系可密切啦！如果线线垂直了，那么就有可能出现线面垂直的情况。
就好像是积累了足够多的小胜利，终于迎来了大突破。
而线面垂直一旦成立，面面垂直也就不远啦。
这就像多米诺骨牌，一个接着一个倒，顺理成章。
比如说，在一个房间里，墙面和地面就是面面垂直的，这都是因为线线垂直和线面垂直在背后起作用呢。
怎么样，是不是觉得这三者的关系很神奇，也很有趣呀？。
线面垂直与面面垂直典型例题
线面垂直与面面垂直 基础要点1、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ B ） A 、//αβB 、α不一定平行于βC 、α不平行于βD 、以上结论都不正确2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=o,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上C 、直线BC 上D 、△ABC 的内部3、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6π，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A ''=（ A ） A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:34、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,ABB AB ∠==o,12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A ,若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱AD 长的取值范围是 。
题型一：直线、平面垂直的应用1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，.求证：(1) PA DEF P 平面；(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明： (1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，线面垂直线线垂直面面垂直B`A`BAαβCD 1B 1C B 11D A D B A所以DE ∥PA.又因为PA ? 平面DEF ，DE ?平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF.(2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因 DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF.又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC. 因为AC∩EF ＝E ，AC ?平面ABC ，EF ?平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC. 又DE ?平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC.2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE . 证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，11,,BB ABC BB AB ⊥∴⊥底面11,,AB BC AB B BCC ∴⊥∴⊥平面,AB ABE ⊂Q 平面11ABE B BCC ∴⊥平面平面.(2)取AB 的中点G ，连接EG ，FGQ E 、F 分别为11A C 、BC 的中点, 1,2FG AC FG AC ∴=P , 111111AC AC AC AC FG EC FG EC =∴=Q P P ，，，,则四边形1FGEC 为平行四边形， 111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴⊂⊄∴P Q P 平面平面平面.3．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD =I ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．4. 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，︒=∠90BSC ，︒=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线．(1)证明：∵a SC SB SA ===， 又︒=∠=∠60ASB ASC ，∴ASB ∆和ASC ∆都是等边三角形， ∴a AC AB ==，取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥．在BSC Rt ∆中，a CS BS ==，∴BC SH ⊥，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在SHA ∆中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =，∴222HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，∴⊥AH 平面SBC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．或：∵AB AC SA ==，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心，又BSC ∆为∆Rt ，∴H 在斜边BC 上，又BSC ∆为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴⊥AH 平面BSC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． (2)解：由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==， ∴点S 到平面ABC 的距离为a 22．5、如图示，ABCD 为长方形，SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ，求证：AE ⊥SB ,AG ⊥SD6.在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，已知底面是面积为32的菱形，︒=∠60ADC ，M 是PB 中点。
线面垂直、面面垂直的性质定理
C
例3 , a , a , 判断a与 位置关系
证明：设
l
b
α
a //
a
在α内作直线b⊥l
β l b b 又a a // b
l
线面垂直 性质
bl
面面垂直性质
b a // a
相交
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
β a
符号语言：
l
α A
al 作用： 面面垂直线面垂直
l a a
D'
' '
C'
B'
A'
D A
C B
(2)如图, a , b , 那么直线a, b一定 平行吗?
a b
α
线面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言： a
, b a / /b
线线平行
简述： 线面垂直
1.已知:a⊥α,b⊥α 求证:a//b ’ 证明：假设 a与b不平行. 记直线 b b b a
(2)又∵ BC P
C
O
B
平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
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∴侧面BSA⊥侧面CSA
B
A
C
平行与垂直
如图四棱锥S—ABCD，底面ABCD为正方形， 侧面SAB⊥底面AC,侧面SAD⊥底面AC,面 AEGF⊥SC，且分别交SB、SC、SD于E、 G、F。 求证：（1）AE⊥SB，AF⊥SD （2）AG⊥EF （3）A、E、F、G到正方形ABCD的中心的 距离相等。
V
D E
B
A
O
C
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
A
F
B
C
H E
D
3. 如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,满足MA=MC,
求证: AC 平面BDM
M
D A
C
O
B
4. 已知ABCD是矩形,PA ⊥平面AC,连PB,PC,PD,图中
直角三角形的个数有
()
(A) 1个
(B) 2个
(C) 3个
P
(D) 4个
A
B
D C
平面与平面垂直的 判定和性质定理
平行与垂直
证明（1）（一）：∵SC⊥面AEGF
SABCDFGEO
∴SC⊥AE , SC⊥FG
面SAB⊥面AC于AB，面SAD⊥面AC于AD，
又BC⊥AB , CD⊥AD
S
∴BC⊥面SAB , CD⊥面SAD
∴BC⊥AE ∴AE⊥面SBC
∴AE⊥SB 同理AF⊥SD
E
G F
O
B
A
C
D
平行与垂直
（二）∵面SAB⊥面ABCD， 而四方形ABCD中BC⊥AB ∴BC⊥面SAB ∴BC⊥AE 又SC⊥面AEGF ∴SC⊥AE S ∴AE⊥面SBC ∴AF⊥SD
G F
E
O
B
A
C
D
思考题：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，
（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂
直的三棱柱），E为B B1 的中点，
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
A
C
B
A1
E
C1
B1
例2．已知在一个600的二面角的棱上有两个点 A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个平面内， 且垂直于AB的线段，又知AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm， 求CD的长(如图所示).
2. 性质定理: 垂直于同一平面的两条直线平行.
a ,b ,
a // b
ab
判断题：
(1)一直线和一平面内的两条直线都垂直，则直线和这个
平面垂直。
×( )
(2)一直线和一平面内的无数条直线垂直，则直线和这个
平面垂直。
×( )
(3)一直线和一平面内的任意一条条直线都垂直，则直线
和这个平面垂直。
√( )
定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角
是直二面角，就说这两个平面互相垂直
β
α
两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
l β
O α
注：这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”
两个平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直。
(4)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何
直线平行。
×( )
(5)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边。( √ ) (6)两条异面直线不能同时垂直与一个平面。 ( √ )
(7) m , n ,则m // n. (8) m // ,l m,则l .
√( ) ×( )
例1.如图，ABC所在平面外一点S，且
SA SB SC，点D为斜边AC的中点。
(1)求证：SD 平面ABC
(2)若AB BC，求证：BD 面SAC
S
S
A
D
CA
D
C
E
B
B
练习：在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD。
求证：AC BD。 A
D E
B
C
变式：如图，空间四边形ABCD的边BC=AC，
AD=BD，引BE CD，E为垂足，作AH BE于H。 求证：AH 平面BCD。
2.3 直线、平面垂直 的判定及其性质
一. 直线与平面垂直的判定和性质定理
1. 判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直,则该直线与此平面垂直.
m ,n ,
l
m n B, l
m
l m,l n,
B
n
强调:(1)两条相交直线;
(2)要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这 个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直.
半平面
定义：从一条直线出发
的两个半平面所组成的 图形叫做二面角
记号：二面角α-l-β或α-
棱
AB-β
l
P B
α
A O
QB
简记：P-l-Q或P-AB-Q
定义：二面角的平面角：
∠AOB
面
A
β 注：1、AO ⊥l，BO ⊥l
2、二面角的大小与点O的选取无关 3、平面角为直角的二面角叫做直二面角
二面角的范围：[00，1800]
B
α
A
O
B
β
A
二面角的大小用其平面角来度量，平面角需 具备如下三个特征： （1）角的顶点在棱上； （2）角的两边在两面内； （3）角的两边垂直于棱.
【练习】
1、如图，自空间一点分别向二面角的两个面引垂线， 两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（ ）
A）相等 C）互余
B）互补 D）既不相等又不互补也不互余
β A
B
α
a
【例题讲解】
【例1】如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的 任意一点，求证：平面PAC⊥面PBC
P
C
A
O
B
【例2】如图，AB是的直径，点C是圆O上的动 点，过动点C的直线VC垂直于所在的平面，D、 E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC 有什么关系？试说明理由。
C
平行与垂直
证明：过B作BD⊥SA于D，过D在平面 SAC内作ED⊥AC交SC于E，连BE， ∴∠BDE为二面角B—AS—C的平面角
ABEDCS∵∠ASBiblioteka =∠ASB=45° ∴ED=SD=BD
设SD=a，则SB=SE=a
在ΔBSE中 ∠BSE=60°∴BE=a
在ΔBDE中
∴∠BDE=90°
SD
∴二面角B—AS—C为直二面角 E
S
D O
A
C B
【练习】
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，求平面A1 BD与平面C1BD的夹角的余弦值。
D1
C1
A1
B1
D
O
A
C B
平行与垂直
已知三棱锥S—ABC， ∠ASB=∠ASC=45°，∠BSC=60°， 求证：侧面BSA⊥侧面CSA 分析：利用所成二面角是直二面角。
SD E
B A