线面垂直与面面垂直

(4)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何
直线平行。
×( )
(5)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边。( √ ) (6)两条异面直线不能同时垂直与一个平面。 ( √ )
(7) m , n ,则m // n. (8) m // ,l m,则l .
√( ) ×( )
例1.如图，ABC所在平面外一点S，且
G F
E
O
B
A
C
D
思考题：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，
（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂
直的三棱柱），E为B B1 的中点，
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
A
C
B
A1
E
C1
B1
例2．已知在一个600的二面角的棱上有两个点 A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个平面内， 且垂直于AB的线段，又知AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm， 求CD的长(如图所示).
SA SB SC，点D为斜边AC的中点。
(1)求证：SD 平面ABC
(2)若AB BC，求证：BD 面SAC
S
S
A
D
CA
D
C
E
B
B
练习：在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD。
求证：AC BD。 A
D E
B
C
变式：如图，空间四边形ABCD的边BC=AC，
AD=BD，引BE CD，E为垂足，作AH BE于H。 求证：AH 平面BCD。
V
D E
B
A
O
C
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
半平面
定义：从一条直线出发
的两个半平面所组成的 图形叫做二面角
记号：二面角α-l-β或α-
棱
AB-β
l
P B
α
A O
QB
简记：P-l-Q或P-AB-Q
定义：二面角的平面角：
∠AOB
面
A
β 注：1、AO ⊥l，BO ⊥l
2、二面角的大小与点O的选取无关 3、平面角为直角的二面角叫做直二面角
二面角的范围：[00，1800]
2.3 直线、平面垂直 的判定及其性质
一. 直线与平面垂直的判定和性质定理
1. 判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直,则该直线与此平面垂直.
m ,n ,
l
m n B, l
m
l m,l n,
B
n
强调:(1)两条相交直线;
(2)要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这 个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直.
∴侧面BSA⊥侧面CSA
B
A
C
平行与垂直
如图四棱锥S—ABCD，底面ABCD为正方形， 侧面SAB⊥底面AC,侧面SAD⊥底面AC,面 AEGF⊥SC，且分别交SB、SC、SD于E、 G、F。 求证：（1）AE⊥SB，AF⊥SD （2）AG⊥EF （3）A、E、F、G到正方形ABCD的中心的 距离相等。
B
α
A
O
B
β
A
二面角的大小用其平面角来度量，平面角需 具备如下三个特征： （1）角的顶点在棱上； （2）角的两边在两面内； （3）角的两边垂直于棱.
【练习】
1、如图，自空间一点分别向二面角的两个面引垂线， 两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（ ）
A）相等 C）互余
B）互补 D）既不相等又不互补也不互余
2. 性质定理: 垂直于同一平面的两条直线平行.
a ,b ,
a // b
ab
判断题：
(1)一直线和一平面内的两条直线都垂直，则直线和这个
平面垂直。
×( )
(2)一直线和一平面内的无数条直线垂直，则直线和这个
平面垂直。
×( )
(3)一直线和一平面内的任意一条条直线都垂直，则直线
和这个平面垂直。
√( )
平行与垂直
证明（1）（一）：∵SC⊥面AEGF
SABCDFGEO
∴SC⊥AE , SC⊥FG
面SAB⊥面AC于AB，面SAD⊥面AC于AD，
又BC⊥AB , CD⊥AD
S
∴BC⊥面SAB , CD⊥面SAD
∴BC⊥AE ∴AE⊥面SBC
∴AE⊥SB 同理AF⊥SD
E
G F
O
B
A
C
D
平行与垂直
（二）∵面SAB⊥面ABCD， 而四方形ABCD中BC⊥AB ∴BC⊥面SAB ∴BC⊥AE 又SC⊥面AEGF ∴SC⊥AE S ∴AE⊥面SBC ∴AF⊥SD
定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角
是直二面角，就说这两个平面互相垂直
β
α
两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
l β
O α
注：这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”
两个平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直。
C
平行与垂直
证明：过B作BD⊥SA于D，过D在平面 SAC内作ED⊥AC交SC于E，连BE， ∴∠BDE为二面角B—AS—C的平面角
ABEDCS
∵∠ASC=∠ASB=45° ∴ED=SD=BD
设SD=a，则SB=SE=a
在ΔBSE中 ∠BSE=60°∴BE=a
在ΔBDE中
∴∠BDE=90°
SD
∴二面角B—AS—C为直二面角 E
S
D O
A
C B
【练习】
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，求平面A1 BD与平面C1BD的夹角的余弦值。
D1
C1
A1
B1
D
O
A
C B
平行与垂直
已知三棱锥S—ABC， ∠ASB=∠ASC=45°，∠BSC=60°， 求证：侧面BSA⊥侧面CSA 分析：利用所成二面角是直二面角。
SD E
B A
ຫໍສະໝຸດ Baiduβ A
B
α
a
【例题讲解】
【例1】如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的 任意一点，求证：平面PAC⊥面PBC
P
C
A
O
B
【例2】如图，AB是的直径，点C是圆O上的动 点，过动点C的直线VC垂直于所在的平面，D、 E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC 有什么关系？试说明理由。
A
F
B
C
H E
D
3. 如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,满足MA=MC,
求证: AC 平面BDM
M
D A
C
O
B
4. 已知ABCD是矩形,PA ⊥平面AC,连PB,PC,PD,图中
直角三角形的个数有
()
(A) 1个
(B) 2个
(C) 3个
P
(D) 4个
A
B
D C
平面与平面垂直的 判定和性质定理