分形理论在图像处理中的应用研究

σ
△ｔ
２Ｈ
（２）
美 国 的 Ｐｅｎｔｌａｎｄ 假 定 ， 如 果 一 个 物 体
的表面是分形的， 则由它产生的图像灰度
表面也具有分形的性质， 反之亦然。他还
证明， 自然界大多数景物表面是空间各向
同性的分形， 它们的表面映射成的灰度图
像 是 具 有 分 形 特 性 的 分 形 灰 度 表 面 。因 此
（ ２） 增量标准差 σ， 由（２）式可得。
（ ３） 无标度 区间 （ εｍａｘ／εｍｉｎ） ， 理想 分形 满 足（２）式， 具 有无 限标 度； 对 于实 际图 像， 由
于量化效应和模型的差异， 只有一段尺度
空 间 使（１）式 满 足 线 性 关 系 ， 称 无 标 度 区 。
实际图像越接近理想分形其无标度区间
软件技术研究
分形理论在图像处理中的应用研究
李增华， 于炳飞 （ 中国地质大学 资源学院，湖北 武汉 ４３００７４）
摘 要： 分形理论是现代非线性科学中的一个重要分支， 是科学研究中一种重要的数学工具和手段。介绍了
分形理论的基本概念， 给出了分形理论的重要参数分形维数的常见定义和计算方法。重点介绍了分形理论在图
对 ＦＢＲ 场 的 参 数 研 究 ， 可 以 有 效 地 分 析
分形图像。各向同性的分数布朗随机场
（ＦＢＲ） 是 描 述 自 然 景 物 的 有 效 方 法 之 一 ，
同一图像区域的灰度表面具有统计意义
上 的 自 相 似 性 ， 这 样 可 以 用 ＦＢＲ 来 描 述
一幅灰度图像。
１．３ 分形参数
Ｎ９３０，２００１． ［ ６］ ＩＳＯ／ ＩＥＣ Ｊ ＴＣ １／ ＳＣ２９／ ＷＧ１ Ｎ６９２ ，Ｎｏｖ． １９９７． ［ ７］ 陈国良， 王煦法， 庄镇泉． 遗传算法及其应
用［ Ｍ］ ．北京： 人民邮电出版社．１９９６． ［ ８］ 潘正 君 ， 康立 山 ， 陈 毓屏． 演 化 计 算 ［ Ｍ］ ． 北
Ｐｒ
（
ＢＨ
（ｔ＋△ｔ）－ △ｔ
ＢＨ （ｔ）
Ｈ
＜ｙ）＝Ｆ
（ｙ）
（１）
Ｐｒ（．）为 概 率 测 度 ， Ｆ（ｙ）为 高 斯 分 布 函 数， 称为 ＢＨ （ｔ）场， Ｈ 称 Ｈｕｓｔ 系数。
对（１）式 取 数 学 期 望 ，
Ｅ "ＢＨ （ｔ＋△ｔ）－ ＢＨ （ｔ） # ＝Ｅ "ｙ $
＝
１ （２π）１／２
纹理图 像也 具有 复 杂 性 、自 相 似 性 等 特点尤其是自然纹理很适于用分形模型 来 描 述 。分 形 维 数 是 运 用 于 分 形 图 像 处 理 中 的 其 它 技 术 的 主 要 度 量 工 具 。分 形 维 数 作为图像表面不规则程度的度量， 不仅能 度量 复杂 程度 而且 具有多 尺度 、多 分 辨 率 变化的不变性， 它与人类视觉对图像表面 纹理粗糙程度的感知是一致的， 即分形维 数越大， 对应的图像表面越粗糙； 反之， 分 形维数越小， 对应的图像表面越光滑。因 此， 分形维数作为纹理的一个重要特征可 用于 纹理 分割 、纹理 边缘 检 测 等 。有 关 纹 理分割和识别主要依据的纹理特征， 大体 分为基于统计特征和基于结构特征， 有共 生矩阵特征、功率谱特征、Ｌａｗ’ｓ 纹理能 量 函 数 、Ｍａｒｌｋｏｖ 纹 理 随 机 场 等 。Ｐｈｉｌｉｐｐｅ 等 对多种纹理特征进行了多种实验比较， 认 为分形维特征是一种非常有效的纹理特 征 ， 无 论 从 计 算 精 度 、速 度 还 是 从 判 别 正 确率方面都比较高。 ２．４ 分形图像压缩编码
分形理论用于图像（图形）处 理 的 几 个 方 面 ， 即 模 拟 自 然 景 物 生 成 、图 像 分 割 、 纹理特征提取与纹理分类、图像编码压 缩。 ２．１ 分形图像生成
理想的 分形 图形（图像）是利 用分 形 的 自相似性， 通过递归迭代方法生成的； 对 自然物体的分形生成要更加复杂， 需多级 嵌 套 、多 级 结 构 ， 如 云 彩 、海 浪 、树 木 等 图 像。一种好的分形模型可描述事物的形 态 、结 构 以 至 功 能 的 多 种 变 化 。 ２．２ 分形方法用于边缘检测和分割
越 大 ， 即 εｍａｘ／εｍｉｎ 的 值 越 大 。 在 此 区 间 ， 可 用线性回归方法估计 Ｈ 值。
１．４ 分维的估计方法
２２ 软件导刊·２００６·１２ 月号
分维的估计有许多方法， 比较实用的是
从速度和精度考虑， 主要采用数盒子法。
对于分 形曲 线 ， 用 可 变 尺 度 ε沿 曲 线
度 量 长 度 所 需 Ｎ 次 ， Ｎ（ε）是 随 ε而 变 的 ，
１ 分形理论
１．１ 分形的提出 １９６７ 年 Ｂｅｎｏｉｔ Ｂ． Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ 在 其 论
文 《英 国 的 海 岸 线 有 多 长 ：统 计 自 相 似 性 与 分数 维数 》中首次 创造 性地 阐 述 了 分 形 理论。Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ 在研究英国海岸 线的 复 杂边界时发现， 不同比例的地图上会测出 不同的海岸线长度， 这正是欧几里德几何 无法解释的。在研究中， 他将测量长度与 放 大 比 例（尺 度）分 别 取 对 数 ， 所 对 应 的 二 维坐标点存在一种线性关系， 此线性关系 可 用 一 个 定 量 参 数 一 称 分 维 数 来 描 述 。由 此 ， Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ 进 一 步 将 其 发 展 成 分 形 几
何理论， 并指出作为分形应具有 ３ 个要素： 形 状 、Baidu Nhomakorabea 遇 与 维 数 。
分形几何理论可以产生许多分形集 图 形 和 曲 线 ， 如 Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ 集 、Ｃａｎｔｏｒ 集 、 Ｋｏｃｈ 曲 线 、Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ 地 毯 等 ， 还 可 描 述 复 杂对象的几何特性。与欧氏几何比较， 分 形 几 何 主 要 有 以 下 特 点：①描 述 对 象 虽 然 很 复 杂 、不 规 则 ， 但 不 同 尺 度 上 有 规 则 性 或相似性； ②欧氏几何具有标度， 理想分 形具有无限的几何标度， 而无特征长度； ③欧氏几何描述特征以整数维， 而具有分 形的复杂曲线， 其分维数是大于 １ 的非整
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数， 具分形的表面分维是大于 ２ 的非整数。
１．２ 分数布朗运动
分 数 布 朗 运 动 （ＦＢＭ） 是 一 种 分 形 模
型， 可以很好地描述分形信号。它是连续
不可导的一种非平稳随机过程， 对尺度变
化具有相似性。
设 ＢＨ（ｔ）为 一 随 机 场 ， 对 于 ０＜Ｈ＜１， 若 满足
（ １） 分维值 ＤＦ， ， 可由下式通过 Ｈｕｓｔ 系 数得到， 也有许多其他估计方法（见下节），
ＤＦ ＝Ｄ＋１－ Ｈ
（３）
Ｈ 参数的估计有时域和频域法， 都是
基 于（２）式 推导 求得 。Ｄ 是 拓 扑 维 ， 对 曲 线
Ｄ＝１； 对 ＦＢＲ 表面， Ｄ＝２。ＤＦ 是描述分形的 主要参 数， 一 般 地 ， 当 不 规 则 曲 线 的 ＤＦ 大 于 １， 或 纹 理 表 面 的 ＤＦ 大 于 ２ 时 ， 认 为 它 们具有分形性质。
分形参数形成一幅新图， 进而可提取边 缘。 邹群彩等将分形理论用在岩相的识 别与分析上， 讨论了岩相轮廓顺序识别， 确定了不同岩相轮廓的分形维数， 进而通 过比较不同岩相的分形维数进行岩相图 像的识别与分析。 ２．３ 分形形状分析和纹理分析
这 是 目 前 应 用 最 多 的 一 个 领 域 。具 有 分形特性的对象， 往往表现出在边界很不 规则 、很复 杂， 用 传统 的周长 、面 积 做 近 似 描 述很 不适 合， 而 采 用 分 形 参 数— ——如 分 维数及其导出形状特征可以精确定量描 述， 为形状分析及目标识别等提供了简洁 的方法。
在三维空间中， 因此用小立方体代替网状
栅格， 同样取不同尺寸的立方体覆盖于曲
面上， 可得到与尺寸对应的小立方体总数
Ｎ（）， 进而求得分形表面的分维值。
２ 分形方法用于图像处理
数字图像处理就是把图像根据一定 的采样规则进行采样和量化成计算机能 接受的形式， 一般而言是用数字矩阵来表 达 ， 然 后 用 数 学 知 识 如 泛 函 分 析 、矩 阵 变 换、数 值分 析等 理论 来进 行处 理 和 提 取 数 字特征， 根据一定的数学方法对其图像进 行分析， 从图像中得到更多的知识， 为其 应用提供理论基础。
根据离散布郎随机场理论， 若图像表 面统计特性满足各向同性时， 可由随机场 参数 Ｈ 得出表面分维数。但在不同区域的 交界处， 破坏了随机场的一致性， Ｈ 值会 发生奇异。利用这一类特征可作检测边 缘 、分割 区域 的依 据。一 般 在 图 像 上 定 义 移动窗口， 用窗内像素估计该窗口中心点 的 Ｈ 值（或 分 维）， 用 估 计 出 的 所 有 像 素 的
由（１）式 可 推 出 ：
& ’ Ｄ＝ｌｉｍ ε→０
ｌｏｇ（Ｎ） ｌｏｇ（ε）
（４）
为 求 Ｎ（ε）， 在 计 算 时 ， 以 不 同 尺 寸 的
网状栅格覆于曲线上， ε为格子大小， 然后
计算求 得与 曲 线 相 交 的 格 子 数 ， 即 Ｎ（ε）。
最后， 利用双对数曲线估计 Ｈ 值及分维值
Ｄ。
同理， 对于分形纹理曲面， 它被包容
京： 清华大学出版社 ＆ 广西科学技术出版社，
２０００．
（ 责任编辑： 杜能钢）
Ｔｈｅ Ｒｅｓｅａｒ ｃｈ ｏｆ Ａ Ｌｏｓｓｌｅｓｓ Ｃｏｍｐｒ ｅｓｓｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｈａｌｆｔｏｎｅ Ｉｍａｇｅ
Ｗａｎｇ Ｈｕｉ， Ｏｕｙａｎｇ Ｙｕａｎ， Ｙｕ Ｘｉｎｂｉｎｇ （ Ｔｈｅ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｆｏｒ Ｍａｔｈ ａｎｄ Ｒｅｍｏｔｅ Ｓｅｎｓｉｎｇ ｏｆ Ｇｅｏｌｏｇｉｃ， Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｇｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ， Ｗｕｈａｎ ４３００７４）
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ａ ｌｏｓｓｌｅｓｓ ｄａｔａ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｂｉ＿ｌｅｖｅｌ ｉｍａｇｅｓ， ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｐｒｉｎｔｉｎｇ ｉｍａｇｅｓ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ Ｄｉｓｐｅｒｓｅｄ Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ （ＤＲＣ）， ｔｈｅ ｃｏｄｉｎｇ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｃｈａｎｇｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍａｇｅｓ ｔｏ ｂｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ Ｅｖｏｌｖａｂｌｅ Ｈａｒｄｗａｒｅ． Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈａｔ ＤＲＣ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｒａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｕｐ ｔｏ ３０％ ｂｅｔｔｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｓｔａｎｄａｒｄ ｆｏｒ ｂｉ＿ｌｅｖｅｌ ｉｍａｇｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ， ａｎｄ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａｌｓｏ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｂｉ＿ｌｅｖｅｌ ｉｍａｇｅ； ｄｉｓｐｅｒｓｅｄ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ； ｅｖｏｌｖａｂｌｅ ｈａｒｄｗａｒｅ； ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｒａｔｉｏ
在图像处理领域里图像压缩编码的 方 法 已 有 近 百 种 ， 但 是 压 缩 效 果 、压 缩 比 以及编解码时间还不能满足信息时代发 展 的 要 求 。传 统 的 图 像 压 缩 编 码 方 法 已 经 没有太大的发展潜力， 而基于分形的图像 压缩 编码 具有 思想 新、潜力 大 、发 展 快 、压 缩 比 高 、解 压 速 度 快 等 特 点 ， 是 一 种 极 具 发 展 前 途 的 图 像 压 缩 编 码 方 法 。它 利 用 图 像自身的自相似性， 以独特创新的构想成 为目前图像处理领域的研究热点， 已在图 像 通 信 、多 媒 体 、互 联 网 中 得 到 了 广 泛 的 应 用 。目 前 分 形 理 论 用 于 图 像 的 压 缩 是 比
像处理领域的应用情况。最后， 展望了分形理论的应用前景及其发展方向。
关键词： 分形理论； 分形维数； 图像处理； 应用
中 图 分 类 号 ：ＴＰ３０２．０４
文 献 标 识 码 ：Ａ
文章编号：１６７２－ ７８００（ ２００６） １２－ ００２１－ ０３
０ 前言
自 从 Ｍａｎｄｌｅｂｒｏｔ 于 上 世 纪 ６０ 年 代 提 出分形理论， 其作为一种新的概念和方 法， 就被 广泛 应用 于图 像压 缩 、图 像 生 成 、 纹理分割以及其它生物物理和社会科学 中， 并取得了很好的效果。本文将介绍分 形理论及其在图像处理中的应用， 以此抛 砖引玉， 促进图像处理及其它学科中分形 现象的研究。