第十五章傅里叶级数-资料

(整理)第十五章傅里叶级数

第十五章傅立叶级数§1 傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数：（1）f(x)=x (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (2) f(x)=x 2 (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (3) ax 0,x p -<?f(x)= (a,b 为不等于0的常数，且a ≠b) bx 0x p <<解：（1）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

011()0,a f x dx xdx p p p p p p--===蝌1n ³时，有11cos sin sin 0n xa x nxdx nxnxdx n n p p ppp pp pp---==-=蝌2,1sin 2,n nb x nxdx n p pp -ìïï-ïï==íïïïïïîò所以在(,)p p -上11sin ()2(1)n n nx f x n ¥+==-å（ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

20012,a xdx pp p ==ò1n ³时，有201cos 0,n a x nxdx pp ==ò2012sin ,n b x nxdx np p ==-ò所以在(0,2)p 上1sin ()2n nxf x n p ¥==-å（2）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

22012,3a x dx p p p p -==ò1n ³时，有22241cos 4n n a x nxdx np pp -ìïïïï==íïï-ïïïîò 21sin 0n b x nxdx p pp -==ò所以在(,)p p -上221cos ()4(1)3n n nx f x n p ¥==+-å （ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

第十五章傅里叶级数

第十五章傅里叶级数1 三角级数与傅里叶级数1．证明(1) sin x ，sin 2x ，， sin nx ，是[0,]π上的正交系； (2) sin x ，sin 3x ，， ()sin 21n x +，是[0,]2π上的正交系；(3) 1，cos x ，cos 2x ，，cos nx ，是[0,]π上的正交系； (4) 1，sin x ，sin 2x ，， sin nx ，不是[0,]π上的正交系； 2．求下列周期为2π的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式()()0cos sin nn iii P x a ix b ix ==+∑；(2) ()()3f x x x ππ=-<<； (3) ()cos2xf x =； (4) ()() axf x e x ππ=-<<； (5) ()()sin f x x x ππ=-<<； (6) ()()cos f x x x x ππ=-<<； (7) (), 00, 0x x f x x ππ-<<⎧=⎨≤<⎩；(8) ()()22f x x x πππ=--<<； (9) ()sgncos f x x =； (10) ()() 022xf x x ππ-=<<.3．设()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，证明： (1) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=，则21210, 1,2,m m a b m --=== ；(2) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=-，则220, 1,2,m m a b m === .2 傅里叶级数的收敛性1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) ()sin [,]f x x x x ππ=∈-；(2) ()2, [0,]1, [,0)x x f x x ππ⎧∈=⎨∈-⎩；2．由展开式()11sin 2(1) n n nxx x nππ∞+==--<<∑， (1) 用逐项积分法求2x ，3x ，4x 在(,)ππ-中的傅里叶展开式；(2) 求级数()1411n n n +∞=-∑，411n n∞=∑的和. 3． (1) 在 (,)ππ-内，求()xf x e =的傅里叶展开式； (2) 求级数2111n n ∞=+∑的和. 4．设()f x 在[,]ππ-上逐段可微，且()()f f ππ-=. n a ，n b 为()f x 的傅里叶系数，'n a ，'n b 是()f x 的导函数'()f x 的傅里叶系数，证明：0'0a =，'n n a nb =，'n n b na =- ( n 1,2,=. 5．证明：若三角级数()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 中的系数n a ，n b 满足关系{}33max ,n n n a n b M ≤，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.6．设()()01cos sin 2nn k k k a T x a kx b kx ==++∑，求证：()()1sin 122sin2n n n tT x T x t dt t πππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⎰. 7．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上单调递减，且有界，求证：()0 0n b n ≥>. 8．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上导数'()f x 单调上升有界. 求证：()0 0n a n ≥>.9．证明：若()f x 在0x 点满足α阶的利普希茨条件，则()f x 在0x 点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子.10．设()f x 是以2π为周期的函数，在[,]ππ-绝对可积，又设()n S x 是()f x 的傅里叶级数的前n 项部分和()()01cos sin 2nn k k k a S x a kx b kx ==++∑，则 ()()()()2022422n n f x t f x t S x D t dt ππ++-=⎰，其中()n D t 是狄利克雷核.11．设()f x 是以2π为周期，在(),-∞∞连续，它的傅里叶级数在0x 点收敛. 求证：()()()00 n S x f x n →→+∞.12．设()f x 是以2π为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则()0f x ≡. 13．设()f x 是以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积. 又设0(,)x ππ∈-满足()()000lim 2t f x t f x t L +→++-= 存在. 证明()0lim n n x L σ→∞=. 进一步，若()f x 在0x 点连续，则()()00lim n n x f x σ→∞=，其中()()011nn k k x S x n σ==+∑.3 任意区间上的傅里叶级数1．将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性： (1) 在区间()0,2l 展开, 0,()0, 2;A x l f x l x l <<⎧=⎨≤<⎩(2) ()cos , ,22f x x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭； (3) ()(), 0,f x x l =；(4) , 01,()1, 12,3, 2 3.x x f x x x x ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩2．求下列周期函数的傅里叶级数： (1) ()cos f x x =； (2) []()f x x x =-.3．把下列函数在指定区间上展开为余弦级数： (1) ()sin , 0f x x x π=≤≤；(2) 1, 02,()3, 2 4.x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩4．把下列函数在指定区间上展开为正弦级数： (1) ()cos, 02xf x x π=≤≤ (2) 2(), 02f x x x =≤≤.5．把函数()2()1f x x =-在()0,1上展开成余弦级数，并推出222116123π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.6．将函数()f x 分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其中1, 0,21(), ,220, .2x f x x x ππππ⎧<<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪<≤⎪⎩7．应当如何把给定在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的可积函数延拓到区间(),ππ-内，使得它在(),ππ-中对应的傅里叶级数为： (1) ()()211cos 21n n f x an x ∞-=-∑； (2) ()()211sin 21n n f x bn x ∞-=-∑ .4 傅里叶级数的平均收敛性1．若()f x ,()g x 以2π为周期，在[,]ππ-平方可积，()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ ，()01()cos sin 2n n n g x nx nx ααβ∞=++∑，则()0011()()2n n n n n a f x g x dx a b ππααβπ∞-==++∑⎰.2．设()f x 在[0,]l 上平方可积，求证：22200121()2l n n f x dx a a l ∞==+∑⎰，其中02()cos l n n xa f x dx l lπ=⎰.。

十五章傅里叶级数

2
2
2
当只给出一种周期旳体现式时，傅里叶级数在两端点旳值
可用上述公式求之.
例1：设
x, f (x) 0,
0 x x 0
求f
旳傅里叶级数展开式.
解：函数f 及其周期延拓后的图象如图所示，
y
3 2 O 2 3 4
x
显然 f 是按段光滑旳,故由收敛定理，它能够展开成傅里叶级数。
因为
第十五章傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期旳函数旳傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数正交函数系
在科学试验与工程技术旳某些现象中，常会遇到一种周期运动，最简
单旳周期运动，可用正弦函数 A sin(x ) 来描写。
所体现旳周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅，为初相角，
f (x) cos kxdx
a0 cos kxdx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx)dx n1
cos2 kxdx
f (x) cos kxdx ak
ak
1
f (x) cos kxdx
(k 1, 2, )
同理可得:
bk
1
f (x) sin kxdx
f 的傅里叶级数收敛于f 在点x的左，右极限的算术平均值，即
f
(x
0) 2
f
(x 0)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
其中an ,bn为f的傅里叶系数。
推论：
若f 是以2为周期的连续函数，且在[， ]上按段光滑，则 f 的

第十五章傅里叶级数

第十五章傅立叶级数§1 傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数：（1）f(x)=x (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (2) f(x)=x 2 (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (3) ax 0,x p -<?f(x)= (a,b 为不等于0的常数，且a ≠b) bx 0x p <<解：（1）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

011()0,a f x dx xdx p p p pp p --===蝌1n ³时，有11cos sin sin 0n xa x nxdx nx nxdx n n p p ppp pp pp---==-=蝌2,1sin 2,n nb x nxdx n p pp -ìïï-ïï==íïïïïïîò所以在(,)p p -上11sin ()2(1)n n nx f x n ¥+==-å（ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

20012,a xdx pp p ==ò1n ³时，有201cos 0,n a x nxdx pp ==ò2012sin ,n b x nxdx np p ==-ò所以在(0,2)p 上1sin ()2n nxf x n p ¥==-å（2）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

22012,3a x dx p p p p -==ò1n ³时，有22241cos 4n n a x nxdx n p pp -ìïïïï==íïï-ïïïîò21sin 0n b x nxdx p pp -==ò所以在(,)p p -上221cos ()4(1)3nn nxf x n p ¥==+-å （ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

傅里叶级数

(3)
n1
若(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运动现象.
数学分析第十五章傅里叶级数
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§1 傅里叶级数三角级数 · 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
对于级数(3), 只须讨论 1 (如果 1 可
用 x 代换x )的情形. 由于
sin(nx n ) sinn cos nx cosn sin nx,
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx). (11) n1
从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛, 可
得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积,
π
有 f ( x)cos kxdx π
f
(
x)
a0
π
cos
2 π
a0
2 n1
§1 傅里叶级数三角级数 · 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三
角函数系) 的傅里叶级数, 记作
f
(x)
~
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx).
(12)
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
数, 由定理15.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整
(x)
a0 2
an01(aπ1n
π
cos π
nf x( x)dbxn s.in
nx
)
(9)
数学分析第十五章傅里叶级数
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§1 傅里叶级数三角级数 · 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数

数学分析15.1傅里叶级数

第十5章傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |，由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ；又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。

傅里叶级数

第十五章傅里叶级数§1 傅里叶级数教学目标掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理．教学要求(1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．(2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)．教学建议(1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展开的方法与步骤．教学程序一、 Fourier 级数的定义背景：⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频T1( ωπ2=T ) . 倍频.⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础.（一）定义设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其中01()a f x dx πππ-=⎰，1()cos ,1,2,n a f x nxdx n πππ-==⎰，1()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ-==⎰称为()f x 的 Fourier 系数，记为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞=++10) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明：用M 判别法. （二）说明1）在未讨论收敛性，证明01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑一致收敛到()f x 之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只须求出Fourier 系数.例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩, 求()f x 的 Fourier 展开式.3) 计算()f x 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为2π的去件来积.如2001()a f x dx ππ=⎰，201()cos ,1,2,n a f x nxdx n ππ==⎰，201()sin ,1,2,n b f x nxdx n ππ==⎰例 2 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,求()f x 的 Fourier 级数.4) 如果()f x 仅定义在长为2π的区间上,例如定义在[0,2)π上, 此时()f x 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier 级数.但可对()f x 在[0,2)π外补充定义,使其以2π为周期, 如定义~()(2)f x f x n π=-, (2,2(1))x n n ππ∈+它有下述性质: a) [0,2)x π∈时,~()()f x f x =； b) ~()f x 以2π为周期.例3 (),()x f x e x ππ=-≤<,求()f x 的 Fourier 级数. 内积和正交: 由R 3中的内积与正交概念引入.设函数f 和g 在区间] , [b a 上 ( R )可积 . 定义内积为 ⎰=><ba dx x g x f g f )()( , .当>< , g f =0时 , 称函数)(x f 和)(x g 在区间] , [b a 上正交函数的正交性与区间有关 . 例如函数)(x f =x -和2)(x x g =在区间] 1 , 0 [上并不正交 ( 因为>< , g f =41-) , 但在区间] 1 , 1 [-却是正交的 . 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系二、以π2为周期函数的Fourier 级数定理15.2 若在整个数轴上)(x f =∑∞=++1, sin cos 2n n n nx b nx a a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 π1=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(， , 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰-ππnxdx x f sin )( ， , 2 , 1=n三、收敛定理:（一）按段光滑函数: .定义：若)(x f 的导函数)(x f '在区间] , [b a 上连续 , 则称函数)(x f 在区间] , [b a 上光滑. 若函数)(x f 在区间] , [b a 上至多有有限个第一类间断点, 且)(x f '仅在区间] , [b a 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称)(x f 是区间] , [b a 上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质: 设函数)(x f 在区间] , [b a 上按段光滑, 则 ⑴ )(x f 在区间] , [b a 上可积;⑵ 对∈∀x ] , [b a , )0(±x f 都存在 , 且有)0()0()(lim 0+'=+-++→x f tx f t x f t ,)0()0()(lim 0-'=----+→x f t x f t x f t . ( 用Lagrange 中值定理证明 )⑶ )(x f '在区间] , [b a 上可积 . （二）收敛定理:定理15.3 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数且在区间] , [ππ-上按段光滑 , 则在∀∈x ] , [ππ-, )(x f 的Fourier 级数∑∞=++1sin cos 2n n n nx b nx a a 收敛于)(x f 在点x 的左、右极限的算术平均值 , 即 =-++2)0()0(x f x f ∑∞=++10 sin cos 2n n n nx b nx a a 其中n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数. ( 证明放到以后进行 )推论若)(x f 是以π2为周期的连续函数 , 在] , [ππ-上按段光滑,且则)(x f 的Fourier 级数在) , (∞+∞-内收敛于)(x f .四、正弦级数和余弦级数（一）定义形如1sin nn bnx ∞=∑的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如1cos 2n n a a nx ∞=+∑的三角级数(函数项级数称为余弦级数. （二）如果()f x 是以2π为周期的函数,在[,]ππ-上绝对可积, 若()f x 是奇函数,则有1()~sin n n f x b nx ∞=∑；若()f x 是偶函数,则有01()~cos 2n n a f x a nx ∞=+∑. （三）设()f x 仅在[0,]π上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义()(),[,0)f x f x x π=--∈-,然后再作2π周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier 级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义()(),[,0)f x f x x π=-∈-后,再作2π周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier 级数必为余弦级数.例4 1,0()0,x hf x h x π≤<⎧=⎨≤<⎩ (0h π<<),将()f x 展开成余弦函数.五、一般周期函数的Fourier 级数设()f x 是周期为T 的函数,且在[0,]T 上绝对可积, 则有0122()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x T T ππ∞=++∑,其中002()Ta f x dx T =⎰，022()cos ,1,2,T n n a f x xdx n T T π==⎰022()sin ,1,2,T n n b f x xdx n T Tπ==⎰例5: 求(),11f x x x =-≤≤的Fourier 展开式. 六、 Fourier 级数的复数表示形式设01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑, 则其复数表示形式为 ()~inx n f x C e +∞-∞∑,其中, 复的Fourier 系数201()22inx n n n n a ib C f x e dx C ππ---===⎰.作业教材P70：1，2，3，4，5，6，7，8.§2 以l 2为周期的函数的展开式教学目的掌握以l 2为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数．教学要求(1)掌握以l 2为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法．(2)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本方法．教学建议三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开的方法与步骤．教学程序一、以l 2为周期的函数的Fourier 级数设函数)(x f 以l 2为周期 , 在区间] , [l l -上 (R )可积 . 作代换πtl x =,则函数)()(πltf t F =以π2为周期. 由πtl x =是线性函数, )(t F 在区间], [ππ-上(R )可积 .函数)(t F 的Fourier 系数为 ⎰-=πππntdt t F a n cos )(1, , 2 , 1 , 0=n⎰-=πππntdt t F b n sin )(1, , 2 , 1 =n)(t F ～ ∑∞=++10. sin cos 2n n n nt b nt a a还原为自变量x , 注意到l xt x f t l f t F , )() ()(ππ===, 就有 )()(t F x f =～∑∞=++10. sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ其中⎰-=πππntdt t F a n cos )(1⎰-=====l l l xt dx l x n x f l ππcos )(1, , 2 , 1 , 0=n=n b ⎰-l l dx l xn x f l πsin )(1, , 2 , 1 =n当函数)(x f 在区间] , [l l -上按段光滑时, )(x f 可展开为Fourie r 级数. 註明三角函数系 } , sin , cos, , sin, cos, 1 { l xn l x n lxlxππππ是区间], [l l -上的正交函数系统 .例１把函数⎩⎨⎧<≤<<-=50 , 3 , 05, 0 )(x x x f 展开成Fourier 级数. 二、偶函数和奇函数的Fourier 级数（一）区间[ , ]l l -上偶函数和奇函数的Fourier 级数设f 是以2l 为周期的偶函数，或是定义在[],l l -上的偶函数，则()()()01cos 2cos ,0,1,2.,sin 0,1,2,.ln l l l n l n xa f x dxl ln x f x dx n l l n x b f x dx n l πππ--⎫=⎪⎪⎪⎪==⎬⎪⎪⎪===⎪⎭⎰⎰⎰ (6) 于是()01cos 2n n a n x f x a l π∞=+∑ （7）其中n a 如(6)所示，（7）的右边为余弦级数。

数学分析课件傅里叶级数

03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增强处理，如锐化、降噪等，提高图像的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的数值逼近问题，如求解函数的零点、极值等。

《傅里叶级数》课件

FFT基于分治策略，将大问题分解为小问题，从而显著提高了计算效率。
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中的噪声。
傅里叶级数提供了一种将复杂信号分解为简单正弦波的方法，有助于理解和处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分析信号的频率成分，这在通信、音频处理等领域有广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换形式，可以设计各种滤波器，用于提取特定频率范围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于求解初值问题和偏微分方程，通过离散化和变换，将复杂问题转化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中也有应用，可以将复杂的积分或微分运算转换为易于计算的离散形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值和函数拟合，通过选取适当的基函数，可以构造出精度较高的插值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。

傅里叶级数

∫πcos nxdx = 0,
π
π
∫πsin nxdx = 0,
π
( n = 1,2,3,L)
0, m ≠ n ∫ πsin mx sin nxdx = π, m = n, 0, m ≠ n ∫ πcos mx cos nxdx = π, m = n,
π
∫π
π
sin mx cos nxdx = 0.
右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于f(x)?
f ( x)在 a, b]光滑: f ′( x )在[a , b]连续. [ 光滑: 连续. f ( x)在 a, b]按段光滑: [ 按段光滑:
f ( x )在[a , b]有定义,且至多有有限个第一类有定义, 间断点, 间断点, f ′( x )在 [a , b] 除有限个点外有定义且连续,在这有限个点上 f ′( x ) 左右极限存在. 左右极限存在. 连续,
第, 古今往来,众多数学家一直在寻找用简单函数较好地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 在微积分发明之前,这个问题一直没有本质上的在微积分发明之前, 突破. 突破. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数.
π π
1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx π
( n = 1,2,3,L)
f(x)的傅里叶系数的傅里叶系数
1 π ) an = π ∫π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π 1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 或 2 bn = 1 π f ( x)sin nxdx, (n = 1,2,L ) ∫0 π

傅里叶级数

2. 三角级数的一般形式
一般的三角级数为
取 1, 由于
A A i n ( n x ) 0 ns n
n 1

s i n c o s n x c o s s i n n x s i n ( n x ) n n n
a0 设 A0 , 2
A s i n a , A c o s b n n n n n n
最简单的周期运动，可用正弦函数
y A s i n ( x )

( 1 )
来描写。由(1)所表达的周期运动称为简谐振动
初相角 , 其中 A 振幅 , 角频率 ,
简谐振动(1)的周期为
2 T
对于较为复杂的周期运动，常可以用几个简谐振动
f ( x )cos nxdx ，

1

n0,1,2,
f ( x )sin nxdx

1

， n 1 , 2 ,
2. Fourier系数和Fourier级数 Euler―Fourier公式：
如 f 是以2 为周期的函数 , 则

可换为
c 2
c
设函数 f ( x ) 在区间[ , ] 上可积，称公式

1 , s i n k x sinkxdx 0 ,

k 1 , 2 , ;
k , h 1 , 2 ,
s i n k x c o s h x d x s i n, k x c o s h x 1 s i n ( kh ) x s i n ( kh ) x d x 0, 2

傅里叶级数

§15.1 傅里叶级数教学要求：掌握三角函数列、三角级数、正交函数系、傅里叶级数的概念以及以2π为周期的函数的傅里叶级数展开,了解傅里叶级数的收敛定理。

教学重点难点：以2π为周期的函数的傅里叶级数展开本章将讨论在数学与工程技术中都有着广泛应用的一类函数项级数，即由三角函数列所产生的三角级数。

一三角级数·正交函数系 1．三角级数在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动。

最简单的周期运动，可用正弦函数()ϕω+=x A y s i n （1）来描写。

由（1）所表达的周期运动也称为简谐振动，其中A 为振幅，ϕ为初相角，ω为角频率，于是简谐振动y 的周期是ωπ2=T 。

较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动 ()k k k x k A y ϕω+=s i n ， n k ,,2,1 = 的叠加()∑∑==+==nk k k nk k x k A y y 11s i n ϕω。

（2）由于简谐振动k y 的周期为kT （ωπ2=T ），n k ,,2,1 =，所以函数（2）的周期为T 。

对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数()∑∞=++10s i nn n n x n A A ϕω。

（3）若级数（3）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象。

对于级数（3），只要讨论1=ω（如果1≠ω，可用x ω代替x ）的情形。

由于()nx nx nx n n n sin cos cos sin sin ϕϕϕ+=+，所以()∑∞=++10s i n n n n x n A A ϕω()∑∞=++=10s i n c o s c o s s i n n n n n n nx A nx A A ϕϕ。

（3’）记20a A =，n n n a A =ϕsin ，n n n b A =ϕcos ， ,2,1=n ，则级数（3’）可写成()∑∞=++10s i n c o s 2n n n nx b nx a a 。

数学分析15.1傅里叶级数

第十5章傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |，由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ；又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。

第十五章傅里叶(Foueier)级数78页PPT

第十五章傅里叶(Foueier)级数
§1 Fourier 级数 §2 以2l为周期的函数的展开式
第十五章傅里叶(Foueier)级数
§1 Fourier级数
一问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t) 11 ,,
当 t0 当 0t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
bn )
收敛,则级数
a20n 1(anconsxbnsin)x
在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
证 x R ,由 a n c于 n o b n x sn i n a x n b n ,
由M判别法即得定理结论.
2.定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)
anco2snxdxan,
可得 an 1 f(x)co nsxd(x n1,2,3, )
(3)求bn.
f(x)sin nx da0xsin nxdx

2

[a k co kss xinnx b d k s xikn sxinnx ]d bn,x
a 2 0d x k 1a kck odx s x k 1b ksikn xd
a0 2, 2
可得 a0 1f(x)dx
(2)求an.
f(x)co nsxda 2 0x co nsxdx
[a k ck ocx sn os x b k d sx k in cx n os x ] d n 1
把以上得到的系数代入三角级数
a 2 0n 1(anco ns xbnsin n)x
该级数称为傅里叶级数问题:

傅里叶级数

偶性进行简化运算
当题目给出的函数在周期内
为奇函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：正弦
级数，如下：
求解傅里叶级数时利用奇
偶性进行简化运算
当题目给出的函数在周期内
为偶函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：余弦
级数，如下：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
对于f(X)的傅
里叶级数在任
何点x都是收
敛的，并且在
前提区间的求
和函数为：
可以看到当f(X)在x上连续时，该函数的傅里叶级数式收敛于函数本身的
对f(X)在x上连续
Байду номын сангаас
对f(X)在x上不连续
X=±
4.傅里叶级数的收敛定理
从收敛定理中可知：
即使函数有傅里叶级数的形式，但是也是在一些点上面是不连续的，但
是即使不连续，通过这个定理级数也收敛于左右极限的算术平均值
上，才能任意展开成为正弦级
数或者余弦级数，并且此函数
的傅里叶级数的形式是不唯一
的
谢谢观看，同学们学习进步噢！
正弦级数和预先级数
（1）求正弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
正弦级数和预先级数
（2）求余弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
注意：这个函数只有在区间[0,π]
微积分
傅里叶级数
1.傅里叶级数的定义

傅里叶级数课程及习题讲解共14页word资料

第15章傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数一基本内容一、傅里叶级数在幂级数讨论中1()nn n f x a x ∞==∑，可视为()f x 经函数系线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．1 三角函数系函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin ,x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质．(1) 周期性每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为(),()()()d bn m n m au x u x u x u x x=⋅⎰，如果0 (),() 0 n m l m nu x u x m n ≠=⎧=⎨≠⎩，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系．由于1, sin 1sin d 1cos d 0nx nx x nx x ππππ--=⋅=⋅=⎰⎰；所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系．利用三角函数系构成的级数称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b 为常数2 以2π为周期的傅里叶级数定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积，称为函数()f x 的傅里叶系数，而三角级数称为()f x 的傅里叶级数，记作这里之所以不用等号，是因为函数()f x 按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于()f x ．二、傅里叶级数收敛定理定理1 若以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．定义2 如果()[, ]f x C a b '∈，则称()f x 在[,]a b 上光滑．若 [,),(0),(0)x a b f x f x '∀∈++存在；(,],(0)x a b f x ∀∈-，(0)f x '-存在，且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()f x 在[,]a b 上按段光滑．几何解释如图．按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点．推论如果()f x 是以2π为周期的连续函数，且在[,]ππ-上按段光滑，则x R ∀∈，有()01()c o s s i n 2n nn a f x a nx b nx ∞==++∑．定义3 设()f x 在(,]ππ-上有定义，函数称()f x 为的周期延拓．二习题解答1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数 (1) (),(i) , (ii) 02f x x x x πππ=-<<<<；解：(i)、()f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得当1n ≥时，11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰所以11sin ()2(1)n n nxf x n ∞+==-∑，(,)x ππ∈-为所求． (ii)、()f x =x ，(0,2)x π∈作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得当1n ≥时，所以1sin ()2n nxf x n π∞==-∑，(0,2)x π∈为所求． (2) 2()(i) (ii) 02f x =x , -π<x <π,<x <π；解：(i)、()2f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得当1n ≥时，所以221sin ()4(1)3nn nxf x n π∞==+-∑，(,)x ππ∈-为所求．解：(ii)()2f x =x (0,2)x ∈当n ≥所以1n f =)为所求．(3) 0()(,0,0)0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得当1n ≥时，所以21()2()1()cos(21)4(21)n b a b a f x n xn ππ∞=--=+--∑11sin ()(1)n n nxa b n ∞+=++-∑，(,)x ππ∈-为所求．2 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有证：因为()f x ，sin nx ，cos nx 都是以2π为周期的可积函数，所以令2t x π=+有从而2 1()cos d c n ca f x nx xππ+=⎰同理可得3 把函数04()04x f x x ππππ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出(1)11114357π=-+-+；(2) 111111357111317π=+--+-+；(3)11111157111317=-+-+-+．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得当1n ≥时，故11()sin(21),(,0)(0,)21n f x n x x n ππ∞==-∈--∑为所求．(1) 取2x π=，则11114357π=-+-+； (2) 由11114357π=-+-+得于是111111341257111317πππ=+=+--+-+；(3) 取3x π=，则111111457111317π⎫=-+-+-+⎪⎝⎭，所以11111157111317=-+-+-+．4 设函数()f x 满足条件()()f x f x π+=-，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=-，所以(2)()()f x f x f x ππ+=-+=，即()f x 是以2π为周期的函数．于是由系数公式得当1n ≥时，故当()()f x f x π+=-时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是20k a =，20k b =．5 设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=，所以(2)()()f x f x f x ππ+=+=，即()f x 是以2π为周期的函数．于是由系数公式得当1n ≥时，故当()()f x f x π+=时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是210k a -=，210k b -=．6 试证函数系cos , 0,1,2,nx n =和sin , 1,2,nx n =都是[0, ]π上的正交函数系，但他们合起来的却不是[0, ]π上的正交函数系．证：就函数系{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx ，因为n ∀，1,1d x ππ==⎰，又01,cos cos d 0nx nx x π==⎰；,m n ∀，m n ≠时，所以{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系．就函数系{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx ，因为n ∀，又,m n ∀，m n ≠时，所以{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系．但{1,sin ,cos ,sin 2,cos2,,sin ,cos ,}x x x x nx nx 不是 [0, ]π上的正交系．实因：1,sin sin d 10x x x π==≠⎰．7 求下列函数的傅里叶级数展开式(1)(),022xf x x ππ-=<<；解：(),02x f x x ππ-=<<当n 所以1n n =，(0,2)x π∈为所求． (2) ()f x x ππ-≤≤；解：()f x x ππ=-≤≤作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．因为2()2xxf xxxππ-≤<=⎨⎪≤≤⎪⎩，所以由系数公式得当1n≥时，所以211()cos41nf x nxn∞==-，(,)xππ∈-．而xπ=±时，(0)(0)()2f ffπππ±-+±+±，故211()cos41nf x nxn∞==-，[,]xππ∈-为所求．(3) 2(), (i) 02, (ii)f x ax bx c x xπππ=++<<-<<；解：(i)由系数公式得当1n≥时，故224()3af x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin,(0,2)na a bnx nx xn nππ∞=++-∈∑为所求．(ii)由系数公式得当1n≥时，故222()3af x ax bx c cπ=++=+2142(1)cos(1)sin,(,)n nna bnx nx xn nππ∞=+---∈-∑为所求．(4) ()ch,f x x xππ=-<<；解：由系数公式得当1n≥时，所以22sh(1)(1)nnanππ=-+．所以0nb=，故21211()ch sh(1)cos21nnf x x nxnππ∞=⎡⎤==+-⎢⎥+⎣⎦∑，(,)xππ∈-为所求．(5) ()sh,f x x xππ=-<<．解：由系数公式得当1n≥时，1sh cos d0na x nx xπππ-==⎰．所以122sh(1)(1)nnn xbnπ+=-+，故1212sh ()sh (1)sin (1)n n n f x x nxn ππ∞+===-+∑，(,)x ππ∈-为所求．8 求函数221()(362)12f x x x ππ=-+的傅里叶级数展开式并应用它推出22116n n π∞==∑．解：由224()3a f x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin ,(0,2)n a a b nx nx x n n ππ∞=++-∈∑得而2(00)(20)6f f ππ+=-=，故由收敛定理得9 设()f x 为[],ππ-上光滑函数，()()f f ππ-=．且,n n a b 为()f x 的傅里叶系数，,n n a b ''为()f x 的导函数()f x '的傅里叶系数．证明00,,(1,2,)n n n n a a nb b na n '''===-= ．证：因为()f x 为[],ππ-上光滑函数，所以()f x '为[],ππ-上的连续函数，故可积．由系数公式得当1n ≥时，1()cos d na f x nx xπππ-''=⎰故结论成立．10 证明：若三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中的系数,n n a b 满足关系{}33sup ,n n nn a n b M≤，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．证：设0()2a u x =，()cos sin n n n u x a nx b nx =+，1,2,n =．则0n ∀≥，()n u x 在R 上连续，且0()0u x '=，()sin cos nn n u x na nx nb nx '=-+亦在R 上连续．又x R ∀∈，()sin cos nn n u x n a nx n b nx '≤+ 而22Mn∑收敛，所以()()cos sin nn n u x nb nx na nx '=-∑∑在R 上一致收敛．故设01()(cos sin )2n n n a s x a nx b nx ∞==++∑，则且1()(cos sin )n n n s x na nx nb nx ∞='=-+∑在R 上连续．§15. 2 以2l 为周期的函数的展开一基本内容一、以2l 为周期的函数的傅里叶级数设()f x 是以2l 为周期的函数，作替换ltx π=，则()lt F t f π⎛⎫= ⎪⎝⎭是以2π为周期的函数，且()f x 在(, )l l -上可积()F t ⇔在(,)ππ-上可积．于是 ()01()c o s s i n2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑，其中 1()cos d ,n a F t nt t πππ-=⎰ 1()sin d n b F t nt tπππ-=⎰．令x t l π=得从而 01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑．其中1()cos ,l n l n x a f x dx l l π-=⎰上式就是以2l 为周期的函数()f x 的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有其只含余弦项，故称为余弦级数．同理，设()f x 是以2l 为周期的奇函数，则()cos f x nx 奇，()sin f x nx 偶．于是 1()cos d 0l n l n x a f x x l l π-==⎰，从而01()sin2n n a n x f x a l π∞=+∑其只含正弦项，故称为由此可知，函数要展开为余弦级数必须作偶延拓．偶延拓() (0,)()() (,0)f x x l f x f x x l ∈⎧=⎨-∈-⎩函数(),(0,)f x x l ∈要展开为正弦级数必须作奇延拓．奇延拓二习题解答1 求下列周期函数的傅里叶级数展开式 (1) ()cos f x x =(周期π)；解：函数()cos f x x =,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥由于()f x )是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得2222故121241()cos (1)cos241n n f x x nxn ππ∞+===+--∑，(,)x ∈-∞+∞为所求．(2) ()[]f x x x =-(周期1)；解：函数()[]f x x x =-，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数．因12l =，所以由系数公式得当1n ≥时，故1111()[]sin 22n f x x x n xn ππ∞==-=-∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． (3) 4()sin f x x =(周期π)；解：函数4()sin f x x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得当1n ≥时，故4311()sin cos2cos4828f x x x x==-+，(,)x ∈-∞+∞为所求．(4) ()sgn(cos )f x x = (周期2π)．解：函数()sgn(cos )f x x =，(,)x ππ∈-延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因l π=，所以由系数公式得当1n ≥时，2sgn(cos )cos d n a x nx xππ=⎰故14cos(21)()sgn(cos )(1)21nn n xf x x n π∞=+==-+∑，(,)x ∈-∞+∞． 2 求函数 01() 1 123 23x x f x x x x ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩的傅里叶级数并讨论其收敛性．解：函数()f x ，(0,3)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因32l =，所以由系数公式得故2221231122()cos cos333n n n x f x n n πππ∞=-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． 3 将函数()2f x xπ=-在[0,]π上展开成余弦级数．解：函数()2f x xπ=-，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得当1n ≥时，故2141()cos(21),[0,]2(21)n f x x n x x n πππ∞==-=-∈-∑．4 将函数()cos2xf x =在[0,]π上展开成正弦级数．解：函数()cos2xf x =，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得0,0,1,2,n a n ==．故在[0, ]π上218()cos sin 241n x nf x nxn π∞===-∑为所求． 5 把函数102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩ 在(0, 4)上展开成余弦级数．解：函数()f x ，(0,4)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因4l =，所以由系数公式得当1n ≥时，402()cos d 44n n xa f x x π=⎰所以102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩22181(21)cos (21)2n n xn ππ∞=-=-∑为所求．6 把函数()2()1f x x =-在(0, 1)上展开成余弦级数，并推出解：函数()f x ，(0,1)x ∈延拓为以2为周期的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因4l =，所以由系数公式得当1n ≥时，1202(1)cos d n a x n x xπ=-⎰所以2221141(1)cos ,[0,1]3n x nx x n π∞=-=+∈∑．令0x =得22114113n n π∞==+∑，即22116n n π∞==∑． 7 求下列函数的傅里叶级数展开式 (1) ()arcsin(sin )f x x =；解：函数()arcsin(sin )f x x =是以2π为周期的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得所以214(1)()arcsin(sin )sin(21)(21)nn f x x n x n π∞=-==--∑，x R ∈．(2) ()arcsin(cos )f x x =．解：函数()arcsin(cos )f x x =是以2π为周期的函数如下图．由于f 是偶函数，故其展开式为余弦级数．当n ≥所以2141()arcsin(cos )cos(21)(21)n f x x n xn π∞===--∑，x R ∈．8 试问如何把定义在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的可积函数()f x 延拓到区间(),ππ-内，使他们的傅里叶级数为如下的形式(1)211cos(21)n n an x∞-=-∑； (2) 211sin(21)n n bn x∞-=-∑．解：(1)先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下：再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下：其图象如下．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得当1n ≥时，201()sin d 0n b f x nx x ππ==⎰．所以211()cos(21)0,2n n f x a n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑． (2) 先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下．再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下．)x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得当1n ≥时，201()cos d 0n a f x nx x ππ==⎰所以211()sin(21)0,2n n f x b n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑． §15. 3 收敛定理的证明一基本内容一、贝塞尔(Bessel)不等式定理1 设()f x 在[,]ππ-上可积，则其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．推论1 设()f x 在[,]ππ-上可积，则推论2 设()f x 在[,]ππ-上可积，则定理2 设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上可积，则此称为()f x 的傅里叶级数的部分和的积分表达式．二、收敛性定理的证明定理3 (收敛性定理) 设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则定理4 如果()f x 在[,]ππ-上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则定理5 如果()f x 在[,]ππ-按段单调，则二习题解答1 设()f x 以2π为周期且具有二阶连续的导函数，证明()f x 的傅里叶级数在(,)-∞+∞上一致收敛于()f x ．证：由题目设知()f x 与()f x '是以2π为周期的函数，且光滑，故 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，且1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx xπππ-''=⎰于是2222111122n nn n nn a b a b a b nn n n ''⎛⎫⎛⎫''+=+≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由贝塞尔不等式得221()nn n a b ∞=''+∑收敛，又211n n ∞=∑收敛，从而()012n n n a a b ∞=++∑收敛，故01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑在(,)-∞+∞上一致收敛．2 设f 为[],ππ-上可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于f ，则成立贝塞尔(Parseval)等式这里,n n a b 为f 的傅里叶系数．证：设()01cos sin 2mm n n n a S a nx b nx ==++∑，因为()f x 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于()f x ，所以0,0N ε∀>∃>，于是2(),()m m f x S f x S ε--<．而所以m N >时，故 ()2222011()d 2n n n a a b f x xπππ∞-=++=∑⎰．3 由于贝塞尔等式对于在[,]ππ-上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下列各式．(1) 22118(21)n n π∞==-∑；(2) 22116n n π∞==∑； (3) 44190n π=∑．解：(1) 取04()04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，由§1习题3得由贝塞尔等式得22111d 16(21)n x n ππππ∞-==-∑⎰，即22118(21)n n π∞==-∑．(2) 取(),(,)f x x x ππ=∈-，由§1习题1 (1)得由贝塞尔等式得21211(1)2d n n x x n πππ+∞-=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑⎰，故22116n n π∞==∑．(3) 取2(),[,]f x x x ππ=∈-，由§1习题1 (2)得由贝塞尔等式得22242111(1)4d 23n n x x n ππππ∞-=⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰，故44190n π=∑． 4 证明：若,f g 均为[,]ππ-上可积函数，且他们的傅里叶级数在[,]ππ-上分别一致收敛于f 和g ，则其中,n n a b 为f 的傅里叶系数，,n n αβ为g 的傅里叶系数．证：由题设知01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，于是 1()()d (),()f xg x x f x g x πππ-=⎰而001(),cos sin ,222n n n a f x a nx b nx αα∞==++∑ 所以 00 11()()d ()2n n n n n a f x g x x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．5 证明若f 及其导函数f '均在[,]ππ-上可积,()d 0f x x ππ-=⎰, ()()f f ππ-=，且成立贝塞尔等式，则证：因为()f x 、()f x '在[],ππ-上可积，()d 0f x x ππ-=⎰，()()f f ππ-=，设01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，由系数公式得当1n ≥时，1()cos d na f x nx xπππ-''=⎰于是由贝塞尔等式得总练习题151 试求三角多项式的傅里叶级数展开式．解：因为01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑是以2π为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，由系数公式得当1k ≥时，故在(,)-∞+∞，01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑的傅里叶级数就是其本身．2 设f 为[,]ππ-上可积函数，0,,(1,2,,)k k a a b k n =为f 的傅里叶系数，试证明，当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时，积分[]2()()d n f x T x x ππ--⎰取最小值，且最小值为上述()n T x 是第1题中的三角多项式,0,,k k A A B 为它的傅里叶系数．证：设()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，且00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====，因为[]2()()d n f x T x xππ--⎰而()001()()d 2nn k k k k k A a f x T x x A a B b ππππ-==++∑⎰，所以[]2()()d n f x T x x ππ--⎰故当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时，积分[]2()()d n f x T x xππ--⎰取最小值，且最小值为3 设f 为以2π周期，且具有二阶连续可微的函数，若级数n b ''∑绝对收敛，则证：因为()f x 为以2π周期，且具有二阶连续可微的函数，所以1()sin d nb f x nx xπππ-''''=⎰即211,n nn b b n ''∀≥=⋅，从而2111,2n n b n ⎛⎫''∀≥+ ⎪⎝⎭又n b ''∑绝对收敛，21n ∑收敛，所以n ∞=故结论成立．4 设周期为2π的可积函数()x ϕ与()x ψ满足以下关系式(1) ()()x x ϕψ-=； (2) ()()x x ϕψ-=-．试问ϕ的傅里叶系数,n n a b 与ψ的傅里叶系数,n n αβ有什么关系？解：设()01()cos sin 2n n n a x a nx b nx ϕ∞==++∑，(1) 则当()()x x ϕψ-=时， 0n ∀≥，(2) 当()()x x ϕψ-=-时，0n ∀≥，5 设定义在[,]a b 上的连续函数列{}()n x ϕ满足关系对于在[,]a b 上的可积函数f ，定义证明21nn a∞=∑收敛，且有不等式 22 1[()]d bn an a f x x∞=≤∑⎰．证：在[,]a b 上的所有可积函数构成的集合中定义内积为则函数列{}()n x ϕ为标准正交系．令1()(),1,2,mm n n n S x a x m ϕ===∑，则,(),()n n n a f x x ϕ∀=，又 2 [()()]d b m af x S x x-⎰而11(),()(),()(),()mmn n n n n n n f x S x f x a x a f x x ϕϕ====∑∑于是222 1()d [()()]d 0mbn m an f x x a f x S x x ππ-=-=-≥∑⎰⎰，所以22 11,[()]d mbn a n m a f x x=∀≥≤∑⎰，即{}()m S x 有上界．故21nn a∞=∑收敛，且22 1[()]d bn an a f x x∞=≤∑⎰．。

十五章傅里叶级数

第十五章傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简
单的周期运动，可用正弦函数 Asin x()来描写。
所表达的周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅，为初相角，
A 0 ( A n s in c n n o t A s n c o n sn s i t) n
n 1
令a0 2
A0,
anA nsi n n,bnA nco n,stx,
a 2 0n 1 (anco ns x bnsin n )x三角级数
定理15.1
若级数
|
a0 2
|
(|
２．收敛定理:
若以 2 为周期的函数 f 在 [ ， ] 上按段光滑，则在每一点 x [ , ] ,
f 的傅里叶级数收敛于 f 在点 x 的左，右极限的算术平均值，即
f(x 0 ) 2f(x 0 ) a 2 0 n 1(a ncn o x s b nsn in )x
定义：若 f ( x ) 的导函数 f ( x ) 在 [ a , b ]上连续，则称 f ( x ) 在 [ a , b ]上光滑。
若函数 f ( x ) 在 [ a , b ]上至多有有限个第一类间断点，且 f ( x ) 仅在 [ a , b ]上
有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称 f ( x )是 [ a , b ]上的按段光滑函数。
若f ( x )是以 2 为周期且在 [ , ] 可积的函数, 则称按上述公

高中数学(人教版)傅里叶级数课件

其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存并且在这有限个点上导函数
在且连续, 极限存在,
f 的左、右
则称 f 在
[a , b]上按段光滑.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质: (i) f 在 (ii) 在
所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛, 则它的和一定是一
个以
为周期的函数. 2π
关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
定理15.1
若级数
| a0 | (| an | | bn, |) 收敛 2 n 1
(8)
( x ) ( x )dx 0,
a
b
则称交性.
与在 [a , b] 上是正交的,
由此三角函数系(5)在
或在
[a , b]上具有正
[ π, π] 上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
(10a ) (10b周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三
角函数系) 的傅里叶级数,
记作
a0 f ( x ) ~ (an cos nx bn sin nx ). 2 n1
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
π
(7)
§1 傅里叶级数

高等数学第15章第1节傅里叶级数

第十五章傅里叶级数§1 傅里叶级数傅里叶是法国最伟大的科学家之一．他对数学、科学以及我们当代生活的影响是不可估量的。

然而，他并不是一位职业数学家或科学家，他所做的巨大贡献都是忙里偷闲完成的。

傅里叶于１７６８年生于法国，幼年父母就去世了。

１３岁时他开始对数学十分着迷，常常一个人爬进教室，点着蜡烛研究数学问题到深夜。

后来，法国革命暴发，傅立叶于１７９３年参加了革命委员会，１７９５年先后两次被捕。

法国革命结束后，傅立叶到巴黎教书，之后随拿破仑到埃及并成为埃及研究院的长久负责人，在那里他写了一本关于埃及的书。

直到今天，仍然有人认为他是一位埃及学家，并不知道他对数学和物理学的重大贡献。

１８０２年，傅立叶回到法国，拿破仑任命他为巴黎警察局长长达１４年之久，他作为行政官员，工作十分出色，在政界享有崇高威望。

１８１７年，傅立叶被送入法国科学院，从此步入较为正规的学术研究阶段。

多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使傅里叶放弃研究数学的强烈兴趣。

事实上，早在１８０７年他就研究了现在称之为傅里叶分析的核心内容。

目前，傅里叶的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电话、收音机、Ｘ射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科学研究开发的系统平台。

所以，有的科学家称赞傅里叶分析是一首伟大的数学史诗。

傅里叶分析的贡献在于两点：（１）他用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余弦函数之和，这一无限和，现称之为傅里叶级数。

也就是说，任何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑曲线之和。

这种表达方式实际上是将信号函数投影在由正弦函数和余弦函数组成的正交基上，实施对信号的傅里叶变换。

（２）他解释了为什么这一数学论断是有用的。

１８０７年，傅立叶显示任何周期函数是由正弦和余弦函数叠加而成。

傅里叶分析从本质上改变了数学家对函数的看法，提供了某些微分方程的直接求解方法，为计算机和ＣＤ等数字技术的实现铺平了道路。

第十五章傅里叶级数-资料

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十五章傅里叶级数

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数学分析15.1傅里叶级数

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数学分析课件 傅里叶级数

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