数列极限定义的等价定义及其作用

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数列极限定义的等价定义及其作用
王 芳
当 n 无限增大时， 数列中各项可以从单侧， 也可以从两侧趋于 a， 也可能时而接近于 a， 时而远离 a， 而趋于 a 不一定是 “ 一项比一 项接近 a” 。例如下述数列
科教文化
（广东环境保护工程职业学院， 广东 佛山 528216 ） 摘 要： 在数学分析中， 数列极限的定义是最基础的内容， 而它的等价定义以及其在教学中的作用对学生在学习数学分析和常微分 阐述了数列极限的等价定义， 在讨论了数列极限等价定义的基础上研究其在教学 等都起到了非常重要的作用．本文从数列极限定义出发， 中作用．并说明运用等价定义证明教材中有关极限性质的定理以及极限不存在问题较之传统的方法， 都有较大的优势。 关键词： 数列极限； 收敛； 正整数 1 概述 数列的极限， 是有限与无限、 定性与定量、 任意与确定等辩证思 想在数学中的一个具体体现,数列极限的概念是高等数学中一个非 常重要的概念， 通过数列极限的学习， 将使我们对变量数学的认识 步入新的层次。 2 数列极限定义的等价定义 在数学分析中， 数列极限的定义是最基础的内容， 它的等价定 义以及等价定义在教学中的作用对以后的学习都是非常重要的， 甚 至在整个大学的数学学习也都是非常重要的， 下面给出数列极限定 义。 2.1 数列极限定义 a 是常数， 如果对任意 e > 0， 总存在自然数 N， 使 设 {xn}是数列， 有 x - a<e， 则称数列[xn]存在极限， 极限为 a， 或称数列 得 n>N 时， 收敛于 a， 记为 lim x = a 。
辽宁电视台新播出总控系统简介
刘志平 ） （辽宁广播电视台技术发展管理中心播出部， 辽宁 沈阳 110820 摘 要： 总控系统是台内外节目信号交换的中心， 矩阵是其核心设备。Trnix 数字视频矩阵由输入板、 交叉点板及输出板组成， 交叉点 板支持 SD 和 HD 标准， 配备 Trinix Broadlinx Board 板卡可实现矩阵的输出监视和矩阵的状态监测告警。 关键词:总控系统;Trinix 数字视频矩阵;监看;源名跟随 辽宁电视台播出总控系统建立在计算机技术及网络技术上， 是 审核、 播出、 管理等功能于一体，并具备与 一个集视音频节目上载、 台内已有或将建的新闻网、 制作网、 媒资网、 收录网等直接连接的完 整 8 频道视频播出系统。新播出总控系统于 2009 年年末正式投入 使用， 使用至今， 系统运行稳定， 满足了节目部门的各项需求， 同时 由于采用了具有前瞻性的全新设计，系统的冗余备份手段完备， 系 统安全性大大提高， 极大地减轻了播出值班的工作强度， 保证了安 全优质播出。 辽台播控系统是全数字化的系统，总控的核心是 Trinix 256× 256 数字视频矩阵。台外信号通过收录矩阵、 卫星接收设备、 微波接 收设备、 网络接收设备、 SDH 设备经过端子板上跳线盘， 接入调度系 交叉点板及输出板组成， 交叉 统， 用于播出。该矩阵系统由输入板、 点板支持 SD 和 HD 标准， 输入、 输出板为标清板卡， 支持嵌入格式， 配备 Trinix Broadlinx Board 板卡可实现矩阵的输出监视和矩阵的 状态监测告警。 矩阵使用先进的 ENCORE 控制系统， 有主备两块板卡， 可以实 现自动切换， 增强了安全性。 ENCORE 控制系统基于网络化运行， 支 持远程进行矩阵的调度和控制， 配置简单灵活， 同时易于扩展升级， 使得系统的生命周期大大提高 。 系统的周边设备主要采用荷兰 AXON 公司的各种板卡， 这些板卡支持通过网络调控， 使用起来非 常方便， 还减少了机房空间占用， 支持热插拔， 免去了一些传统设备 拆卸的麻烦。 总控监看系统采用美国 AVITECH 公司 MCC- 8004 分画器投射 到等离子屏， 没有了传统电视墙的笨重， 而且音频电平， 源名都可以 显示， 音频还可以实现报警， 提示外来信号异常。 总控矩阵和收录矩 阵、 上载矩阵均有输入输出母线连接， 方便各矩阵间信号的调度。 总控监看系统另外一个最主要的特色是实现动态监看。 传统的 电视墙监看的目标都是接死的， 没有灵活性可言。新监视系统将信 号源接到矩阵的目的输出上， 再由矩阵将所需要监看的信号调度到 分画器上， 分画器再将 12 路信号整合到一个 50 寸等离子屏幕上进 行监看， 每一个分画器中的信号不再是固定的， 而是动态分配的， 这 样有两个好处， 一方面利用矩阵的分配功能将信号复用， 不在信号 流程上增加多余环节， 大大的提高了播出的安全性； 另一方面由矩 阵调度所需要监看的信号， 不再需要将所有的信号都接到监视器上 监看， 而是根据不同的情况进行自由的组合， 极大的提高了系统的 灵活性， 工作人员可以将当前需要重点监看的信号集中放到一块屏 上， 在紧张的多频道多路直播中， 可以极大地减轻总控值班人员的 负担， 提高安全播出水平。 由于实现了动态调度的监看， 伴随着出现了新的问题。传统的
- a = e< 1 k
然数 N， 使得当 n>N 时， 有x
,反之， 如果{xn}满足 1)， 那么对
1 = e k
k
使得 任意正数总可以找到自然数 k，
1
， 而对 k 总存在自然数
x
- a < e, x
- a < e, x
- a < e, L
，
直观又会把人引入歧途。
e
n
源自文库0; n
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科技论坛
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如当我们说 a - a < + = e 时， ） ， 常表示 an 与a a ® a（a 为常数 e 越小， N 的选取， 完全取决于e， 一般来说， N 越大[6]。 2 2 的距离 “ 越来越小 ” ； 与此同时， 我们必发现， 当 a 与 a 的距离 “越来越 (4) N 的多值性 n 小 ” 时， a 与另一个不等于 a 的常数 a' 的距离也是 “ 越来越小 ” （如 N 虽然与 e 有关， 但又不是唯一的， 即不表示 N 是 e 的函数， 实 n 1 际对给定的e， 如果存在一个满足要求的 N， 就必然有无限多个满足 n “越来越小” ） 。 时， 与 - 1 的距离也可以说 n 要求的 N， 换句话说， N 就有无穷多个了。 （下转 45 页 ） 为了避免这种直观带来得不确定性 （教学 (5)趋于极限的多样性
N， 使得当 n>N 时， 有 x - a < < e， 即 lim x = a 。 k lim x = a 2)设 ， 那么对任意 r > 0， 存在自然数 N， 使得当 n>N 不等式 x - a < e 与不等式 a - e < x < a + e 是等价的， 所以数列 a - r < x < a + r,可见至多只有 N 个 xn 在(a- r , a + r ) x a < r 时， 有 ， 即 {xn}以 a 为极限， 也可以这样说， 对任给的 e > 0 ， 数列 {xn}中恒存在 如果{xn}满足 2)， 则对任意 r > 0 ， 令e= r ， 则只有有限个 一项 xN， 在 xN 以后的所有 xN+1,xN+2,xN+3…， 都要在数 a- e 与a+ e 之间[1]。 之外,反之， ( a e , a + e ) x 在 之外 , 设它们的最大下标为 N ， 则当 n>N 时， 有 xn Î n 为了从直观上理解数列极限的定义， 我们来看一下定义的几何 x - a < e ,可见 lim x = a 。 ( a - e, a + e ) ， 即有 意义。 2.3 几个似是而非的问题 式子 x - a 表示数轴上动点 Xn 与定点 a 之间的距离， “ 当 n>N 1)如果对任意e > 0 ， 存在自然数 N， 使当 n>N 时， 有x - a < e， 是 x - a < e 恒成立” 时， 是说 xN 项以后各项 lim x = a ? 否 xN + 1 , xN + 2 , xN + 3 ,L 2)如果对无穷多个 e > 0 ， 存在自然数 N， 使当 n>N 时， 有 x - a < e， 对应的点都落在开区间 ( a - e , a + e ) 内， 由此可见， 在区间 lim x = a ? 是否 ( a - e , a + e ) 内有数列的无穷多项， 而在此区间外只有数列的有限项 3)如果 lim x = a ， 是否必有某个 x = a ? （至多可有 N 项 ） ， 因为e > 0可以任意小， 则开区间 ( a - e , a + e ) 的 lim x = a 4)如果 ， 是否必有 x - a ? x a ? 这就是 limxn=a 的 长度 2e 也任意小， 可见点 xn 凝聚在点 a 的近旁， 几何意义。 对上述问题的回答都是否定的， 逐一举例如下: 为了对定义的本质有所认识， 我们做如下的几点说明: n=1， 2， 3， …， a=0， 则对任意e> 0 ， 只需取 N=1， 当 n>N 1)令 xn=- n， (1)正数 e 的任意性 时， 都有 x - a = - n< e ， 但是 x - a =n， 显见 lim x ¹ 0 。 1 1 1 正数 e 的作用是控制 x - a 的大小即点列 {xn}与点 a 的接近程 2)令 x = ， n=1， 2， 3， … a=0， 则对于满足 3 < e < 2 的所有无穷多 4 可见， 当 e 足够小时， xn 与 a 就足够接近。 由于 e 可以任意小， 那 度。 1 0。 都有 x - a = 1 < e ， 但显然 lim x 么 xn 与 a 就可以接近到任意需要的程度， 也即 “要多近有多近” 。这 个e， 4 4 1 lim x = 0， lim x = a 3)令 x = ， n=1， 2， 3， …， a=0， 则有 但任意x ¹ 0 。 就从数量上刻划了极限的本质特征。如果将数列极限 描 n 述为当 n 充分大后， xn 越来越接近于 a 是不对的，不能保证 a 是数 1 4)令x = ， n=1， 2， 3， …， 不难验证 lim x = 0， 可是却有 n + 2 (- 1) 列{xn}的极限。 1 1 x = > = x ，x - 0 > x - 0 ， k=1， 2， 3， …． (2) e 的确定性 2k - 1 2k + 2 正数 e 虽然可以任意小， 就是说它是一个变量， 但一经给出， 它 可见lim x = 0 ， 不意味着 “ 随着 n 的增大， xn 越来越接近于 a” ， 又是一个确定的值 （如同 0.01>0.001 等） ， 应视为一个常数， 以便从 这一点往往被忽略[4]。 不等式 x - a < e 中求出 N, e 的这种任意与确定两种性， 反映了极限 3 数列极限等价定义在教学中的作用 概念的近似与精确的辨证关系。 历史上， 人们研究的数列极限问题， 其实就是研究一给定的数 (3) N 与e 的相关性 ) 时， 列{an}当 n 变化 (n 其相应项的变化趋势。而这一趋势， 当然 正整数 N 表示数列中的某一项数，其作用就是给出一个极限， 是一个动态的过程。在通常的情况下， 这一动态的过程人们在直观 都满足 x - a < e ， 即 使得数列{xn}中 xN 项以后的各项， 上又往往觉得是 “显然” 的 （如 1 时 ） 。但仔细分析， 这样的
1 n + (1) , 2n n , 1 100 + (- 1) 99 n
1， 0， 它们是上述所说的每一种情形的例子[3]。 的极限分别是 0， 2.2 数列极限定义的两个等价描述 1 1)对任意的自然数 k， 总存在自然数 N， 使得当 n>N 时， 有x - a< 。 k 2)对任意的r > 0， 只有有限个 xn 位于 (a - r , a + r ) 之外[2]。 证明 1)设 lim x = a ， 对任意的自然数 k， 取e = 1 ， 则存在自