高中数学暑期培优讲义数列部分答案

负数.∴ 2 ,22,…,29中,25最大,故选 B.
12
9
5
例 4 [思路点拨] (1)根据题意,可得数列{an}的通项公式,这是一个类似于分段函数的通项公式,结合分段函数的单调性,建立不 等式组即可求解;(2)首先根据数列的通项公式求得 Sn,通过配方结合二次函数的图像确定出对称轴,由此可求得结果.
an=
3( 2(
= 1), ≥ 2).
【课堂考点探究】
例 1 [思路点拨] (1)把数列化为22,-34,48,-156,…,根据各项的特点写出它的一个通项公式;(2)观察可知,相邻项符号相反,分子为 1,
分母为 n(n+1),从而得数列的通项公式.
(1)A
(2)(-1)n
(
1 +1)
[解析] (1)数列 1,-34,12,-156,…可以化为22,-34,48,-156,…,
4.-1 [解析] 因为 a1=2,an+1= -1=1- 1 ,所以 a2=1-12=12,a3=1-2=-1,a4=1+1=2,…,所以数列{an}是周期数列,周期为 3,所以
a2019=a673×3=a3=-1.
5.6 [解析] 由 2+8=232,得 n=6 或 n=43(舍),故232是该数列的第 6 项.
≥ 2,故选 D.
(2)由
Sn=2n2-3n+1,得
Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)+1(n≥2),两式相减,得
an=Sn-Sn-1=4n-5,当 n=1 时,a1=0,不满足上式,∴an=
0, 4
= -5,
1, ≥
2.
例3
[思路点拨] (1)将数列{an}的通项公式分离参数,结合单调性即可得出;(2)利用一般方法可求得数列
(1)A
(2)an=
6, 2
= +1,
1, ≥
2
[解析]
(1)当 n=1 时,a1=S1=3.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n(n≥2),∴an=
3, 2
,
= 1, ≥
2,∴b1+b2+…
+b50=(-3+4)+(-6+8)+…+(-98+100)=1+2×24=49,故选 A.
(2)当 n≥2 时,12a1+212a2+213a3+…+21-1an-1=2n-1,与已知等式相减得21 an=2,即 an=2n+1.又当 n=1 时,由12a1=3,得 a1=6,不满足上式,故
1 10
,89×
1-
1 102
,89×
1-
1 103
,…,所以 an=89
1-
1 10
.
(4)观察可得该数列第 n 项的分母为 2n+1,分子为 n2+1,且该数列的偶数项为负,奇数项为正,故该数列的一个通项公式为
an=(-1)n+1·2
2+1.
+1
(5)把原数列改写为11,02,13,04,15,06,17,08,…,分母依次为
n(n+4)·
2 3
n
的最
大项.
(1)C (2)4 [解析] (1)an=1+ 201- 72-0120718(n∈N*),当 n≤44 时,数列{an}递增,且 an>1,当 n≥45 时,数列{an}递增,且 an<1,∴在数列{an} 的前 100 项中最小项和最大项分别是 a45,a44,故选 C.
∴该数列的一个通项公式为 an=(-1)n+1· 2+1.故选 A.
(2)该数列的第 n 项的分子为 1,分母为
n(n+1),且数列的奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为 an=(-1)n
(
1.
+1)
变式题 解:(1)an=(-1)n·1.
(2)an=2n+1.
(3)将原数列变形为89×
1-
6.9 或 10 [解析] an=-n2+9n+10=-(n-10)(n+1).由 an≥0 得 n≤10,n∈N*,易知 a8=18,a9=10,a10=0,a11=-12,∴该数列的前 9 或 10 项 的和最大,即 Sn 最大时 n=9 或 10.
7.an=
3( 2(
= 1), ≥ 2)
[解析] 因为 Sn=2n+1-1,所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,当 n=1 时,a1=S1=3 不满足上式,故
A.
(2)∵S9=92(a1+a9)=9a5>0,∴a5>0.又 S10=120(a1+a10)=5(a5+a6)<0,∴a5+a6<0,∴a6<0,且|a6|>a5.∴等差数列{an}的公差小于 0,且数列{an}
的前 5 项均为正数,从第 6 项开始均为负数,则当 n≤5 时,数列 2 是递增的正项数列,其最大项为25;当 n≥6 时, 2 的各项均为 5
(2)∵数列
(
+ 4)
2 3
的最大项为第 k 项,
∴
(
+ 4)
2 3
(
+ 4)
2 3
≥( ≥(
+ 1)( + 5)
-1)(
+ 3)
2 3
2
3 -1+1Fra bibliotek, ∴,
又 k∈N*,∴k=4.
2 ≥ 10, 2-2 -9 ≤
∴ 0,
≥ 10或 ≤ 1- 10 ≤ ≤ 1 +
10, 10,
变式题 (1)A (2)B [解析] (1)∵a1>0,且 an+1= +1an,∴an>0.又∵ +1= +1<1,∴an+1<an,∴此数列为递减数列,∴最大项为 a1,故选
an=
6, = 2 +1,
1, ≥
2.
变式题
(1)D
(2)
0, 4
= 1, -5, ≥
2
[解析] (1)因为 a1+a2+a3+…+an=3n-2,所以 a1+a2+a3+…+an-1=3n-1-2(n≥2),两式相减,得 an=2×3n-1,
当
n=1
时,a1=1,不满足上式,所以
an=
1, = 1, 2 × 3 -1,
对点演练
第五单元 数列
第 06 讲 数列的概念与简单表示法
1.an=2 -1 [解析] 原数列的项的分子是连续的奇数,分母是连续的正整数,因此该数列的通项公式是 an=2 -1.
2.15 [解析] a8=S8-S7=82-72=15. 3.(-∞,3) [解析] 由题意得 an+1>an,即(n+1)2-b(n+1)>n2-bn,化简得 b<2n+1,又 n∈N*,所以当 n=1 时,2n+1 有最小值 3,则 b<3.
1,2,3,…,而分子依次为
1,0,1,0,…,因此该数列的一个通项公式为
an=1+(2-1)
+1
.
例 2 [思路点拨] (1)首先利用 Sn 与 an 的关系求得数列{an}的通项公式,然后用并项法求数列{bn}的前 50 项和;(2)将已知等式的 项减少到 n-1 项,然后与已知等式相减可得当 n≥2 时的通项公式,验证当 n=1 时是否成立,最后写出通项公式.