激光介质增益

)( νH 2
)2
Gm
(2 6 10)
均匀大信号对强光的增益系数
式中 Gm G0 (v0 ) ，其大小由（2-6-10）式决定。 现在我们对上式进行讨论：
1. 当 Iv1 0，有：
( νH )2
G(ν1, 0)

(v1

2 v0 )2
( νH 2
)2
Gm
(2 6 11)
GH0
(v)

( H
2
)2
2
(
0 )2
Gm
Gm GH0 0

A32 2n0 4 2 02 H
(2 6 9) (2 6 10)
非均匀加宽介质增益系数为：
G ( ) G e 0

4
ln
2(vv0

2 D
)2
i
m
(2 6 11)
6-14）式，可得：
GH
(ν2 , Iv1 ) 变量

(ν1
(ν1 ν0 )2 ν0 )2 (1
( νH )2 2
Iv1 )( νH Is 2
)2
GH0
v2 , v0
(2 6 15)
其中 G0 (v2 ,v0 ) 为小信号增益系数：
( νH )2
GH0
(ν2 , v0 )
一、均匀加宽大信号增益系数
当频率为
v1
、光强为
I
强光入射时，均匀加宽的激光
v1
介质对该强光以及对另一频率为的弱光的增益系数都有饱
和作用，我们分别对这两种情况进行分析。
（一） 对 v1 强光的增益系数 当频率为 v1、光强为 Iv1的强光入射时，均匀加宽激光工
作物质的反转粒子数下降，因此，对强光的增益系数按
dz dt dz dt
(2 6 5)
（2-6-5）式，然后由增益系数的定义可得到：
G

dI Idz

1
Nhv
dN dt
hv
dN dt

n
A32 p

g
(
,
0
)
N


G

nA32
p
g( ,0 )
(2 6 6
单色模密度pν 由（1-2-8）式给出
pv

G 1 ln I L I0
(2 6 3)
二、增益系数与反转粒子数之间的关系
从四能级系统方程组中的光子数密度方程（2-5-7）式 出发（三能级系统的讨论方法完全相同，只须将A32改为 A21）并考虑到在讨论受激辐射引起的增益作用时，可不 计损耗。现将该方程重写如下：
W21受激辐射另外表示形式
2.6 介质的增益系数
一、增益系数的定义
当激光工作物质处在粒子反转状态时，一束光强为I0的 单色光入射后，由于受激辐射作用，光强会不断被放大。 我们引入增益系数G来描述光强经过单位距离后的增长率。
设有光强为I0的光自增益介质端面(z=0)入射，传播到Z 处时，光强增至I(z)，在z+dz处时光强为I(z+dz)=I(z)+ dI(z),则增益系数定义为：

n1W14
n3

n


n3

g3 g2
n2



n(ν,
Iv
)

(ν
(ν

ν0
)2

(
νH 2
)2

ν0
)2

(1
Iv Is
)( νH 2
)2
n0
n
n 3W14
132 v, v0 3N
Iv Nhv
Is

hv0
32 3
n0 nW14 3
其中
Gm

Gi0 ( 0 )

A32 2n0 4 02vD
(
ln
2
)
1 2

(2 6 12)
由（2-6-9）式与（2-6-11）式画出小信号增益系数随变化 的曲线，称小信号增益曲线。如图2-6-3所示，其中（a） 为均匀加宽小信号增益曲线，属洛仑兹型，（b）为非均 匀加宽小信号增益曲线，属高斯型。
和均匀加宽线型函数式（1-5-16）和式（2-6-9）代入（2-
6-8-1）式中，可以得到：
( νH )2
GH
(ν1,
I v1
)

(ν1

ν0 )2

2 (1
I v1 Is
)( νH 2
)2
Gm
(2 6 10)
( νH )2
G(ν1,
I v1
)

(ν1

ν0 )2

2 (1
I v1 Is
标的导数可写为：
dI dI dt dz dt dz



dz dt

1


dt dz


dI dz
Baidu Nhomakorabea

dN dt
h
dI dN hv
dt dt

(2 6 5)
将
dN dt

n
A32 p
g( , 0 )N
(2 6 4)
代入
dI dI dt dN h

(ν2
2 ν0 )2
( νH 2
)2
Gm
(2 6 16)
对（2-6-15）式弱光大信号的增益系数进行讨论：
1）我们来看这种大信号增益曲线的下降特点，如图：
从上图可以看出：整个曲线的下降时均匀的，下降后的曲 线线宽与原小信号时的线宽相等。
2）增益饱和的大小与入射强光的频率和光强的关系。 先看与光强的关系：

0


d n dt

0, n1

n

dn3 dt
n3W32
n2W23
dn3 dt

n 32
v,v0 N

n3 n3

A32 A32

S32 S32


n4
S43


n4S43

d n dt

n 32
v, v0
N

n
3
p Vdv

8 v2
c3
(1 2 8)
但光速是用真空光速c表示的，现在的讨论是在激光工
作物质中，因此用υ代替c后，并将pν计算公式代入（2-66），得：
G

nA32 2 8v2
g( , 0 )
(2 6 7)
该式表明：激光增益介质对频率为ν的准单色光的增益系 数是随ν而变化的。

8 v2
c3

三能级系统
W32

A32 pv
Ng v, v0
四能级系统
dN dt

n
A32 p
g
(
,
0
)
N
-
N
c
(2 5 7)
P46,2.5-7 公式5变形
A32 1/ c 0
dN dt

n
A32 p
g( , 0 )N
(2 6 4)
因为光强与光子数密度成正比，即 I Nh，故光强对Z坐
分别对均匀加宽介质与非均匀加宽介质讨论大信号增
益系数。
G

n
A32 2
8
2 0
g( , 0 )
(2 6 8)
如果Δn表示的是大信号反转粒子数密度，则G就为大信号
增益系数。
四能级系统大信号反转粒子数密度Δn
dn4 dt
n1W14
n4S43
0 n1W14
n4S43


A21 B21
W21 B21g v, v0 v
v Nhv



W21

8 hv3
c3

B21

A21c3
8 hv3


A21c3
8 hv3


g

v,
v0

Nhv

W21



A21 pv
Ng v, v0
p

8 v2
c3
Vdv

pv

P Vdv

n1W14 A32 S32

nW14 A32 S32
32
3

n0 1 A32 S32
A32 S32 n4S43 n0 nW14 3

0
表明Δn0与泵浦速率W14及激光上能级寿命τ3有关与频率v无关
分别将均匀加宽和非均匀加宽的线型函数（1-5-16）式与
（2-6-8）式可写为：
GH 1, Iv1
n 1, Iv1
A32 2
8
2 0
gH
(1, 0 )

n
1, Iv1
32
v1, v0
变量
n 1, Iv1
32
v0, v0
v

vH 2
2


v0
2


增益系数公式（2-6-8）式中的反转粒子数密度 n 仍
用 n(v1 , I v1 ) 代替，线型函数则用 g (v2 , v0 ) 。
这样，均匀加宽介质在强光
I
入射条件下对弱光
v1
v
2
的
大信号增益系数便可写成：
再将（GH2-62-,9Iv）1 式 、n（1,1I-v51 -18A632）022式gH和(（2,2-06)-12）(式2 代6入1（4)2-
定义
32

A32 2
8
2 0
g( , 0 )
如果（2-6-8）式中反转粒子数密度Δn取小信号反转粒子
数密度Δn0则相应的增益系数就是小信号增益系数。因为
小信号反转粒子数密度是个与频率无关的常数，由（2-6-
8）式可以看出，小信号增益系数与激光介质的线型函数
成正比。
三、四能级系统小信号反转粒子数密度Δn0
❖ 条件：小信号—>N=0—>W32=W23=0，
❖
n2=0，Δn0=n3，n1=n
❖ 四能级速率方程化简结果
dn4 dt
n1W14
n4S43
0 n1W14
n4S43
0
dn3
dt
n3W32
n2W23 n3
A32 S32
n4S43
0 n0
)2
G0
(v2 ,
v0 )
(3 4 10)
3）从下图中我们看增益饱和与入射强光的频率的关系。
均匀加宽介质中每个发光粒子对谱线不同频率的增益
不难看出，该式实际上就是均匀加宽小信号增益系数的计
算公式 ，这是无增益饱和现象。
2. 光强 Iv1增大，增益系数下降，Iv1 Is 时有:
( νH )2
G(ν1,
IS
)

(ν1

ν0
2 )2
2( νH 2
)2
Gm
(2 6 12)
将 Iv1 0 与 Iv1 Is时的增益曲线画在下图中
中心频率处的小信号增益系数，也就是增益系数最大值， 可由经验公式求出。
大信号增益系数
增益饱和现象：入射光强很微弱时，反转粒子数密度基本 上未被消耗，可以看成是一个常数，因此，激光介质对光 的增益系数也是个常数。而当光强增大到一定程度，即可 以与饱和光强Is相比时，由于反转粒子密度的下降，导致 增益系数的下降，我们称这种现象为增益饱和现象。
（1-5-12）式代入（2-6-8）式中，可得均匀加宽介质的
小信号增益系数为
gH
v, v0

1
2
vH
v

v0
2


vH 2
2

gH

v,
v0


2
vH

vH 2
2


v

v0
2


vH 2
2
(1 5 16)
其中：
( H )2
当 Iv1 0 时，由（2-6-15）式可以看出： G (v2 , v0 ) GH0 (v2 , v0 ) 即无饱和作用。
随着入射光强的增大，增益系数的值下降的越厉害。
当 Iv1 I s 时，有：
G
(v2 ,
Is
)

(v1

v0
)2

(
v 2
)2
(v1

v0
)2

2(
v 2
vH 2
2
(2 6 8-1)
这里仍以四能级系统为例，对不同的能级系统，只须改 变自发辐射几率A的下标即可。
将信号均匀加宽的粒子数反转密度表达式
n(ν1,
Iv1 )

(ν1
(ν1

ν0 )2

( νH 2
)2

ν0
)2

(1
I v1 Is
)(
νH 2
)2
n0
(2 6 9)
可以计算出均匀加宽介质在强光入射时，强光的大信 号增益曲线线宽为：
v
1
I v1 Is
H
(2 6 13)
（二） 对 v2 弱光的增益系数
均匀加宽的激光工作物质对各种频率入射光的放大作
用全部使用相同的反转粒子数，因此，v1 强光消耗的反转
粒子数势必会影响对 v 2弱光的大信号增益系数。
一般说来，激光介质的光谱线函数g(ν，ν0)的线宽从数量 级上讲比起线型函数的中心频率ν0要小好几个量级，因此， 为简化增益系数表达式，可以用中心频率ν0去代替（2-6-7） 式中分母的ν，同时将增益系数写成频率的函数的形式：
G

n
A32 2
8
2 0
g( , 0 )
(2 6 8)
G

dI z I zdz
(2 6 1)
如果增益系数是个恒定的常数，由（2-6-1）式很容易解 出光强I(z)随z坐标变化的函数关系为：
I z I0eGz
(2 6 2)
画出的光强变化曲线如图2-6-2所示。
增益系数的量纲为1/m。其测量方法是：测出入射到激
光介质的光强I0及出射光强I’,并量出激光介质的长度L， 由（2-6-2）式可以出：
从图中可以看到： 1）饱和作用的强弱与入射光频率v1有关，频率越接近增 益曲线的中心频率 v0 ，饱和作用就越厉害，偏离中心频 率越远，饱和作用就越弱； 2）不同频率处，曲线下降的不一样，这说明曲线下降是 非均匀的。由于中心频率处的相对下降量大于其它频率处， 因此，大信号增益曲线宽比小信号增益曲线要更宽一些。