九年级数学下_锐角三角函数_课件新人教版

1 2
45°
2 2
60°
3 2
cos a
3 2
2 2
1 2
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = BC AB cosB =
A
┌ C
BC AB
(1) sinA = cos(90 °－A）= cosB = (2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1 BC 2 AC 2 2 2 (3) sin A=( ) cos A=( ) AB AB sin2A + cosA2 = 1
试一试：
1.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. 指出∠A和∠B的对边、邻边. (CD ) = B (1) sinA = AC D (AD) (2) cosA = = AC A C (3) sinB= (4) cosB= BC (AB ) AC (AB )
(AC )
AB
= CD ( BC ) = BD ( CD)
BC B' C ' AB A' B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
正弦函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比
叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即 B 斜边 A 例如，当∠A＝30°时，我们有
B' B 30m A C 50m C'
A的对边 B' C ' 1 , 斜边 AB' 2
AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形 1 的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2
A 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝ 90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜 边的比 BC ，你能得出什么结论？
BC AB
判断：① sinA＋ sinB = sin(A+B) ② cosA＋cosB = cos(A+B)
( × ) ( × )
小结
回顾
及时总结经验，要养成积累 方法和经验的良好习惯！
在Rt△ABC中
A的对边 = sinA= A的斜边 A的邻边 = cosA= A的斜边
a c b c
回味
2 2 2
B
13 5 A
AC AB BC 13 5 12
sin B
AC 12 AB 13
C
练习
根据下图，求sinA和sinB的值． 12 解： （1）在Rt△ABC中，
B
BC AB2 AC 2 122 52 119
A
5
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因此
sin A
BC 119 AB 12
无穷
定义中应该注意的几个问题:
1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的， ∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、 cosA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关 ，而与直角三角形的边长无关。
A的对边 a sin A 斜边 c
1 2
c
b
a 对边 C
sin A sin 30
当∠A＝45°时，我们有
在图中 ∠A的对边记作a

2 sin A sin 45 2
∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 解： （1）在Rt△ABC中， B 3 A 4 C
2
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， B' C ' BC 那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？ A ' B ' AB B' B
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC AB B' C ' A' B'
AC 5 AB 12
sin B
求sinA就是 要确定∠A的对 边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
想一想
比一比
当直角三角形的一个锐角的大小确 定时，其邻边与斜边的比值也是惟一 确定的吗？
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做 ∠A的 余弦，记作 cosA。
(BC )
AB
试一试：
2.根据下面图中所给出的条件，求锐角A 、B 的正弦、余弦值。
A
①
1
C 3 C 3
B
② A 4
B
试一试：
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边 同时扩大100倍,sinA的值（ C ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
B
A
┌ C
练习
如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，图中sinB可由哪 两条线段比求得。
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（1）
——正弦、余弦
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
A
┌ C
边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
情 境 探 究
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设 水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得 斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么 需要准备多长的水管？ B
AB
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等 腰直角三角形，由勾股定理得
AB AC BC 2 BC
2 2 2
2
AB 2BC
因此
BC BC 1 2 AB 2 2 BC 2
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角 形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2
AB AC2 BC2 42 32 5
求sinA就是 要确定∠A的对 边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比 因此
BC 3 sin A AB 5
AC 4 sin B AB 5
（2）在Rt△ABC中， 因此
sin A
2
BC 5 AB 13
AC 解：在Rt△ABC中，sin B AB
在Rt△BCD中， sin B
C
CD BC
A D B
因为∠B=∠ACD，所以
AD sin B sin ACD AC
仔细观察,说说你发现 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 这张表有哪些规律? 锐角a 30° 三角函数 sin a
A
C
分析： 这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
A的对边 BC 1 斜边 AB 2
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的 水管？