中国股市的多重分形模型分析
中国股票市场多重分形游走及其预测
文章编号:1003-207(2002)03-0011-07中国股票市场多重分形游走及其预测何建敏,常 松(东南大学经济管理学院,江苏南京 210096)摘 要:股票价格波动规律的研究是预测的基础,多重分形过程是迄今为止最为符合价格波动特性的模型。
本文验证了中国股票市场的多重分形游走,并根据多重分形过程的局部尺度特性和多尺度相关性建立了小波和神经网络相结合的股票价格预测模型。
实证研究结果表明,本文模型预测精度较由其他模型得到的预测精度明显提高。
关键词:多重分形;小波;神经网络;股票市场;预测中图分类号:F830.9 文献标识码:A收稿日期:2001-06-20作者简介:何建敏(1956-),男(汉族),江苏无锡人,东南大学经济管理学院,副院长,教授(博导),研究方向:金融管理、应急管理. 股票价格的准确预测意味着投资者高额的市场回报和政府部门对市场的有效监管。
为此自19世纪股票市场建立以来,众多国外学者对股票价格波动规律及其预测模型的研究形成一个焦点。
早期研究认为对数价格是一布朗运动,收益是正态的独立同分布(Independent Identically Distributed ,IID )随机变量。
然而对众多股票市场的研究发现,股票价格波动中存在着与这一理论不符的特性,如收益分布的胖尾和波幅的长期相关性[1]。
“胖尾”说明了价格变动中暴涨和暴跌发生的概率远远高于正态分布预计的情况;波幅的长期相关性说明收益并非独立,而是存在非线性相关,从这一角度而言股票价格波动存在一定规律,具有一定的可预测性。
由此关键的问题在于找到一种能够描述实际价格波动各种特性的模型,并据此建立合理的预测方法,获得准确的预测。
针对布朗运动的缺陷,后人又提出多种的价格波动模型加以改进,如L -稳定过程(L -Sta 2ble Process )[2]、分数布朗运动(Fractional BrownianMotion )[3]和ARCH (Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity )模型[4]等等。
中国金融市场的效率和多重分形分析
中国金融市场的效率和多重分形分析中国金融市场的效率和多重分形分析随着中国经济的迅速发展，金融市场在其中扮演着至关重要的角色。
金融市场的效率对经济稳定和发展至关重要。
然而，金融市场的效率一直是一个备受争议的话题。
多重分形分析作为一种研究金融市场效率的方法，被广泛应用于中国金融市场。
首先，我们来了解一下金融市场的效率是什么。
金融市场的效率是指市场价格能否充分反映市场信息，并能提供有效资源配置和定价功能。
高效的金融市场可以有效地为实体经济提供融资和风险管理工具，促进资源的合理配置和经济的稳定发展。
多重分形分析是一种非线性的数据分析方法，可以用来研究金融市场的效率。
它基于分形理论，通过分析金融市场的时间序列数据，来探索其中的内在规律和结构。
在中国金融市场中，多重分形分析的应用涵盖了各个方面。
一方面，研究人员通过多重分形分析来探讨中国股市的效率问题。
例如，他们可以通过分析股票价格的时间序列数据，来研究股市的波动性和波动的规律性。
通过多重分形分析，他们可以发现价格的波动不是完全随机的，而是存在一定程度的自相似性和自相关性。
这些内在规律的存在对于股票市场的投资者具有重要意义，可以帮助他们制定更合理的投资策略。
另一方面，多重分形分析还被应用于研究中国债券市场的效率。
债券市场作为中国金融市场的重要组成部分，其效率的高低直接关系到经济的稳定发展。
通过多重分形分析，研究人员可以分析债券价格的变化和债券市场的波动性，以评估债券市场的效率水平。
他们发现债券价格的波动具有一定的规律性，存在一定程度的自相关性。
这些发现可以为债券市场投资者提供有价值的信息，帮助他们更好地预测债券市场的走势和制定投资策略。
除了股票市场和债券市场，多重分形分析还被广泛应用于研究其他金融市场，如汇率市场、期货市场和商品市场等。
通过对这些市场的多重分形分析，研究人员可以揭示出市场内在规律，为投资者提供更可靠的决策依据。
尽管多重分形分析在中国金融市场中的应用已经取得了一些成果，但研究人员还面临着一些困境和挑战。
中国股市运行的分形特征实证解析
经济研究导刊ECONOMIC RESEARCH GUIDE总第54期2009年第16期Serial No．54No．16，2009中国股市在2007—2008年度出现了罕见的暴涨暴跌过程，从最高6100多点跌到1600多点，跌幅达75%以上，给中国的广大投资者带来了巨大的损失。
同时，使得中国的资本市场几乎丧失基本的融资功能。
暴涨或暴跌都不正常，无论是管理者还是投资者都应该从中吸取教训，清楚地认识中国股市运行的规律，以作前车之鉴。
为此，本文对暴涨暴跌期间的上证指数序列进行了分形估计，并对估计结果进行了进一步的分析研究。
一、分形分布及其参数估计在经济文献中，分形分布（fractaldistribution ）又称为Pareto 分布、Pareto-Levy 分布或Stable-Pareto 或stable （稳定或平稳）分布。
该分布的性质最早是由Levy （1937）推导出来的，而他的工作又是以Pareto （1896）有关收入分布的研究工作为基础的。
若正数，s 1，s 2，s 具有加法平稳性s 1a +s 2a =s a ，则称满足关系f （s 1X +s 2X ）=f （sX ）的随机变量为X 平稳过程，其分布称为平稳分布。
柯西分布和高斯分布分别是a =1和a =2时的解，因此，柯西分布和高斯分布都是平稳分布。
Levy 发现，当0＜a ≤2时，满足f （s 1X +s 2X ）=f （sX ）的通解的对数特征函数为：ln φ（t ）=ln （E exp （itX ））=i δt -γa t a1-i βtttan πa 2，a ≠1i δt -γt1+i β2πt tln t t t，a =tt t t t t t t t t t1（1）其中X 为随机变量，t 为任意实数，i 为虚数单位。
分形分布的特征函数由四个参数决定，即α、β、γ、δ，并且α、β是两个关键参数，四个参数的不同组合产生不同的分形分布形式。
中国证券市场的多重分形及有效性研究的开题报告
中国证券市场的多重分形及有效性研究的开题报告一、研究背景中国证券市场是一个复杂而且波动性极强的系统。
证券市场的价格波动通常包含有多种不同时间尺度的变化。
随着计算机技术的进步和数学工具的发展，分形理论成为了研究市场价格行为的重要工具之一。
分形理论是指出现于自然和社会现象中的某种空间与时间上的不规则模式，这些模式的特征相似，即在不同的尺度下都具有相同的形态特征。
证券市场价格波动的特征也表现出这一特点。
然而，目前关于多重分形理论在证券市场中的应用研究较少，而且对于其有效性研究的文献更少。
因此，本研究将重点探索中国证券市场的多重分形特征以及分形理论在预测股票价格波动中的有效性。
二、研究目的及意义1. 确定中国证券市场的分形特征：通过对中国证券市场的历史数据进行分析，研究其是否具有分形特征，以及这些特征的表现形式和尺度。
2. 探讨多重分形与市场风险：将多重分形理论与系统性风险联系起来，阐述多重分形在预测市场风险方面的研究意义。
3. 分析多重分形在预测股票价格波动中的有效性：将多重分形理论应用于中国证券市场，对其在股票价格波动的预测方面的有效性进行验证，为投资者提供参考依据。
三、研究方法1. 理论研究：对分形理论和多重分形理论进行理论研究和分析，建立一个多重分形模型。
2. 实证研究：采用MATLAB等计算机软件，将多重分形模型应用于中国股市数据研究，分析多重分形理论在股票价格波动中的有效性。
3. 统计分析：采用统计学方法对研究结果进行分析和验证，比较多重分形理论预测的误差与传统方法的误差，评估多重分形理论在股票价格波动中的有效性。
四、预期结果及贡献1. 揭示中国证券市场的多重分形特征，将多重分形理论应用于证券市场，识别股票价格波动的重要尺度，对市场风险进行更为准确的预测。
2. 为投资者提供科学的参考依据。
通过实证研究验证多重分形理论在预测股票价格波动中的有效性，为投资者提供科学的参考依据，制定更为有效的投资策略。
我国股票市场的多重分形特征及其与风险的关系研究
强厂ｑ （）的分布就 较广 泛 ； 之 反
）的分 布较狭 窄
时， 时间序 列 的多分形 特征 就较弱 ．
３ 结 论 和 建 议
本 文通 过 同 时对 上 证指 数 和 深证 成指 的 ｌ 收 盘价 格序 列进行 多重 分分 析 ， 出它们 均是 多重分 得
形的， 多重 分形 特征 较 弱 ． 得 到 多 重分 形 特征 与 并
的描述 资产前 后期 回报 问 的 内在联 系 及 资 产 回报 历史数 据尖峰 肥尾 的特征 ． 但是 一维 分形 过程捕述
具 有多 重分形 性 的有效 方法 ，但计 算 过程很 复杂 ． 所 以本文 采用 ｑ阶矩 结 构 分 割 函数 法 Ｊ 是用 ，它 多重分形 谱来 描述 归 一 化 后 的分 形 时 问 序列 在不
２ １ 年 Ｏ ０１ １月
第２ ９卷 第 １期
Ｖ １２ Ｎ ． ｏ．９ ｏ１
文章编号 ：０ ８～１０ （０ １ ０ ０ ５ １０ ４ ２ ２ １ ） １— １８—０ ３
我 国股 票市场 的 多重 分形 特征及 其 与风 险 的关 系研 究①
徐 静
（ 徽 财 经 大 学 统计 与 应 用 数 学 学 院 ， 徽 蚌 埠 ２ ３ ３ 安 安 ３ ０ ０ ｊ
０． ９５
１
质量指数可以通过Ｚ （） 的双对数直线拟合得 。ｓ 对 到． 这时 的 （ ）即为 分 形 特 征 的多 标 度 函数 ． ｑ 若 一 （ ） ｑ 一条 直线 ，则时 间序 列 是一 维分 形 的 ； ｑ对 是 否则 ，时间序列 具 有多 重分 形 特征 ．
深 １ ．０５ 证 成 指 收 盘 阶 一
对 于满 足多重 分形 的时 间序列 ， ： 有
股市时间序列的多重分形分析
函数可说明多重分形性质的强弱 .
2.1 幂谱
幂谱是 研 究 分 形 的 重 要 工 具 ,对 于 时 间 序 列
{ X( t) :t∈[0 ,T]} ,幂 谱 是 指 它 的 Fourier 变 换 模
的平方 ,即
∑ E(ω) =
1‖ T T t= 1
x( t)e- ‖ itω 2
.
如果谱或者谱的一部分遵循幂律形式
(北京交通大学 理学院 ,北京 100044)
摘 要 :通过对幂谱和统计矩函数的分析 ,得出股票市场时间序列的无标度性 .借助配分函数、广义
分形维数和多重分形谱对股票市场进行研究 ,结果 表明 ,股票市 场时 间序列 具有 多重 分形特 征 .这
将为多重分形在金融理论方面的研究提供重要的理论基础 .
示的是以 τ( q)为纵坐标和以 q 为横坐标的τ( q) ～
q 关 系图 (实 线) ,虚线是 τ( q) 的拟 合直 线 .从图 中
可以看出 τ( q) 是一 个 凹 向 横 轴的 函 数 ,τ( q) ～ q
之间存在非线性 关系 ,这表 明恒 生指 数 日收 盘价 序
列具有多重分形性质 .
图 4 τ( q)～ q 关系图
形维数 D( q)的值 ,如图 5 所示 ,表示的是 D( q)～ q
图 5 D( q)～ q 关系图
Fig .5 Relation between D( q) ～ q
2.3 多重分形谱 设函数 ε(λ,i) 满 足幂 律 关系 ε(λ,i) ∝λα( i) ,
关系图 .当 q = 0 时 ,得出容量维数 D(0) = 0 .9 990 . 由图 5 可以看出 ,随 q 的增 加 D( q) 逐 渐减小 ,最 后 稳定在 D(∞) 的 值上 ,D( ∞ ) ≈ 0.9 925 ,是多 重 分 形的下限 ,它相当 于股 票价 格较 高的 那 些点 密集 在 某些时间区间的现象 .
沪深300指数多重分形分析_马锋
近年来， 分形市场理论作为复杂性研究的前沿课题， 为金融市场的研究开创了新的局面。本文基于重标极差 分析法 （R/S） 和多重去趋势波动分析 （MF-DFA） 以及多重 分形谱对我国第一支股指期货指数-沪深 300 指数进行多 重分形研究。本研究有助于投资者更好的了解我国证券 市场， 根据分形特征采取相应的投资策略。 1 数据和模型介绍
R t = Ln(P t ) - Ln(P t - 1)
与 R/S 方法相比， MF-DFA 分析方法最大的优势在于 它消除了序列的局部趋势， 避免了将时间序列的短程相 关、 非平稳性虚假地检测为长程相关性。MF-DFA （多重 分形除趋势波动分析） 有 Kantelhardt （2002） 首次提出， 对 于给定的序列， {Xt=1,2,3,….N}， N 为样本观测数。 （1） 对序列{Xt}进行处理， 生成新的序列{Yt}，
[11]Berger A.N. The Profit Relationship in Banking Tests of Market Power and Efficient-Structure Hypotheses[J]. Credit and Banking， 1995, （ 2 ） .
（责任编辑/易永生）
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中国股票市场多重分形游走及其预测
Ｈｅｅｏｃｄ ｓｉ ｔ） 型 Ｌ 等 等 。但 这些 模 型都 只抓 ｔｒｓｅ ａｔ征 的 某 一 方 面 ， 近 由 Ｍａ ｄ ｌｒｔ 最 ｎ ｅ ｏ ｂ 等 。Ｊ 出 的 多 重 分 形 过 程 是 迄 今 为 止 最 为 全 面 提
关 键 词 ： 重 分 形 ； 波 ； 经 网 络 ； 票 市 场 ； 测 多 小 神 股 预 中 图分 类 号 ： ８ ０ ９ Ｆ ３ ． 文 献标 识 码 ： Ａ
股 票价 格 的 准确 预 测意 味 着投 资 者 高额 的市 场
回报 和政 府 部 门 对 市 场 的有 效 监 管 。 为此 自 １ ９世 纪 股 票市 场 建立 以 来 ， 多 国外 学 者 对 股 票 价 格 波 众 动 规 律 及其 预 测模 型 的研究 形 成一 个 焦 点 。早 期研 究 认 为对 数 价 格 是 一 布 朗运 动 ， 益 是 正 态 的 独 立 收 同分 布 （ｎ ｅｅ ｄ ｎ ｄ ｎｉ ｌ ｉ ｒ ｕｅ ， Ｉ 随 Ｉ ｄｐ ｎ ｅ ｔＩ ｅ ｔ ａ ｙ Ｄ ｓ ｉ ｔｄ ＩＤ） ｃｌ ｔｂ
Ｊ ｎ． ２ ０ ｕ ， ０２
文 章 编 号 ：０ ３—２ ７ ２ ０ ）３ ０ １ ７ １０ ０ （０ ２ ０ —０ １ —０
中 国股 票市场 多重 分形游走 及其 预测
何 建敏 ， 常 松
（ 南 大 学经 济 管理 学 院 ， 东 江苏 南 京 ２ ０ ９ ） １ ０ ６
摘 要 ： 票 价 格 波 动 规 律 的 研 究 是 预 测 的 基 础 。 重 分 形 过 程 是 迄 今 为 止 最 为 符 合 价 格 波 动 特 性 的 模 型 。 本 文 股 多
上证指数高频数据的多重分形错觉
上证指数高频数据的多重分形错觉周炜星【摘要】以上证指数5分钟取样的高频数据为例,采用配分函数法对每一交易日的数据进行多重分形分析,发现质量指数τ(q)为线性函数.用统计自举生成随机时间序列以深入剖析多重分形谱f(α),发现约有51%的交易日,其多重分形特性无法通过显著性检验.进一步分析发现,所有真实时间序列的奇异性强度与随机序列的奇异性强度相差无几,因而完全可以用后者加以解释.因此,上证指数本身并不具多重分形特性.【期刊名称】《管理科学学报》【年(卷),期】2010(013)003【总页数】6页(P81-86)【关键词】金融物理学;上证指数;多重分形分析;统计检验【作者】周炜星【作者单位】华东理工大学商学院,上海,200237【正文语种】中文【中图分类】F830;O189.12;N930 引言金融物理学是用统计物理、理论物理、复杂系统理论、非线性科学、应用数学等的概念、方法和理论研究金融市场通过自组织而涌现的宏观规律及其复杂性的一门新兴交叉学科[1-2].金融物理学的主要研究内容包括 4个方面[2-3]:第 1,金融市场变量的统计规律,其中最基本的性质是关于收益率的尖峰胖尾分布[4-6].第 2,证券的相关性、极端事件、金融风险管理和投资组合等,分形市场假说与多重分形的理论和方法被广泛应用于分析金融时间序列[7-10].第 3,宏观市场的建模和预测,包括用随机过程对收益率建模、对数周期性幂律模型等[11].第 4,金融市场的微观模型,主要包括基本面投资者和噪声交易者博弈、逾渗模型、伊辛模型、少数者博弈模型等,以及由此而衍生出来的各种模型[12-13].最早用多重分形理论分析金融时间序列的学者可能是 Ghashghaie等[10],他们将外汇市场与湍流类比,发现美元和德国马克外汇价格波动的矩函数具有非线性的标度律,而其他关于汇市多重分形特性的实证研究也得到了广泛关注.多重分形特性在其他金融时间序列中也有大量报道,如黄金价格、商品价格、股票个股价格、股市指数的收益率等[2].也有一些学者直接研究价格本身的多重分形性质,如香港恒生指数[14-15]、上证指数和深圳成指[16-20]、大陆上市的部分个股[21]等,他们采用高频数据(如 5分钟),对每个交易日进行多重分形分析,计算出多重分形奇异谱,并指出这些多重分形性质与价格反常波动、风险管理等密切相关.但是,若进一步分析这些结果,可以发现两个问题:第 1,根据多重分形理论,当尺度l→0时,若存在常数α(x)使得测度μ在点 x的邻域B(x,l)上满足幂律关系则称测度μ在点x处奇异,其奇异性强度为α(x).当μ为股票价格或者股市指数时,μ(B(x,l))近似正比于 l,即对所有点 x,奇异性指数α(x)≈1.换言之,该测度在理论上不具备多重分形特性.事实上,实证研究得到的结果无一例外验证了上述理论推测,奇异性强度分布△α≜αmax-αmin≈0.第2,在湍流或海量高频金融数据的多重分形分析中[22-24],即使是百万量级的数据,一般也要求阶数 q小于 8,才能保证配分函数的收敛性,因此分析更高阶的配分函数在统计上没有意义.而在上面讨论的研究中,每一交易日的高频时间序列(1分钟或5分钟数据)的长度不超过 240,却普遍采用了很大的阶数 q,甚至到达q=±210,这极大地降低了分析结果的可信性.事实上,大部分文献只热衷于报道实证研究的结果,却忽略了更本质的内容,即产生多重分形特性的原因.研究表明,即使是不具多重分形特性的分形模型,也可能产生所谓的多重分形性质[25],因而这些实证得到的多重分形特性,更确切的表述应该是“经验多重分形特性”.时间序列中的经验多重分形特性有两个可能的来源,一是波动性中存在的长程相关性,二是收益率的胖尾分布[26].对很多金融时间序列,经验多重分形特性源于胖尾分布的零假设无法拒绝[27],这一结论已经为一些研究所证实.对于价格时间序列而言,得到的多重分形谱具有很窄的奇异性分布,同样需要对之进行统计检验.本文重新研究上证指数日内高频数据的多重分形特性,并采用统计自举(bootstrapping)的方法检验得到的经验多重分形特性是否来自随机涨落,结果表明,在近半数交易日中,随机化后的数据能够产生比真实数据更强的多重分形特性,而在另一半交易日中,随机化后的数据得到的奇异性强度能够在很大程度上解释真实数据的奇异性强度.因而,关于价格的所谓多重分形特性实际上不过是一种错觉.1 数据与配分函数法本文采用上证指数的 5分钟高频数据,记录从 2001年 2月 28日至 2006年 8月10日,剔除不完整的数据后,共余下 1 201个交易日.对于每个交易日,共有 T=48个数据点,不妨记为{μ(t)∶t=1,2,…,48}.与相关文献[14-21]一致,本文采用配分函数(partition function)法[28-32]进行多重分形分析.将该测度μ的支撑集分为尺度为 l的盒子,可得N=T/l个盒子,第 n个盒子内的测度为其中,l的取值为:1,2,3,4,6,8,12,16,24,48.于是,q阶配分函数为若测度μ具有自相似性,则存在标度指数函数τ(q)使得如下标度关系成立若测度μ为单分形,则τ(q)为线性函数;若μ为多重分形,则τ(q)为非线性函数.奇异性指数α(q)和多重分形奇异谱f(α)可对τ(q)进行勒让德变换,得到[32]可以用数值计算得到结果.为使结果具有可比性,本文 q的取值范围仍设得很大,取 -120≤q≤120[19-20].当且 1时,为了避免数值计算的结果超出电脑存储能力,可用下式计算配分函数的对数从而增大计算范围.2 多重分形分析为确认上证指数的标度行为,以 2001年 7月24日为例,用配分函数法对 5分钟交易数据进行多重分形分析.图1给出了不同 q值的配分函数χq(l)与尺度 l之间在双对数坐标系中的关系,可以发现,对每个 q值χq(l)与 l呈很好的幂律关系,其中的直线为线性最小二乘拟合所得,无标度区覆盖了所考察的所有尺度,即l∈ [1,48].图1 上证指数配分函数的标度行为Fig.1 Scaling behavior of partition function of SSEC由式(4),图1中直线斜率的相反数给出了相应 q值的质量指数τ(q),结果如图 2所示.不难看出,质量指数τ(q)相对于阶数q呈现良好的线性关系,如图中直线所示,其斜率为1.000±0.005,线性相关系数为 1.000 0.从图 2中显然无法得到τ(q)为非线性函数这一结论,而其他交易日的τ(q)函数同样具有良好的线性关系,因而,上证指数本身不具有多重分形特性.图2 上证指数的质量指数函数τ(q)Fig.2Mass exponentτ(q)of SSEC图3 给出了通过对τ(q)进行勒让德变换得到的多重分形奇异谱曲线f(α).单从形状而言,该曲线具备守恒多重分形测度奇异谱曲线的所有几何性质[2].然而,即使对于 -120≤q≤120这么大的取值范围,Δα的值依然很小,而αmin和αmax的值十分接近 1,同样显示所谓的多重分形特性不过是一种错觉.3 统计检验图3 上证指数的多重分形谱f(α)Fig.3Multifractal spectrum f(α)of SSEC为进一步定量检验所得到的多重分形特征的统计显著性,采用统计自举的方法.对于一个给定交易日的实际交易数据,若将其次序打乱使得其中可能存在的相关性消失,则得到的随机化序列不具多重分形特性.对于上节讨论的例子,本文计算了 10个随机化序列的多重分形谱函数,结果示于图 4,其中,实线对应真实上证指数,10条虚线对应随机化序列,插图则是对主图左下方的放大.可以看到,上证指数的多重分形谱f(α)与随机化序列的多重分形谱frnd(αrnd)无法区分,即实际序列的所谓多重分形特性并不显著.图4 实际上证指数与随机化序列多重分形谱的比较Fig.4Comparison ofmultifractal spectra extracted from real and shuffled SSEC多重分形的强度可以通过奇异性强度分布Δα=αmax-αmin来刻画,统计检验多重分形特征的存在性,等价于检验奇异性指数α异于 1,或Δα≠0.为此,对于每一交易日的数据序列,可生成n=1 000个随机化序列,其奇异性指数和奇异谱函数用下标rnd表示,则统计检验的零假设为虚假警报的概率为若p1≤0.05,则谓之得到的多重分形特性存在并且显著,否则,则称在显著性水平0.05下无法拒绝该零假设.类似地,若定义则一个近似等价的零假设可写作如下形式虚假警报的概率为图5给出了对应于某一给定交易日(2001年7月 24日)的 Frnd与Δαrnd之间的散点图.由图发现,Frnd与Δαrnd之间存在良好的线性关系其中,k=-29.7,b=1.0,线性相关系数为0.999 9.图中的圆圈则表示实际上证指数序列所给出的F=0.985 0与Δα=5.071 4×10-4值,正好落在直线(6)上.可以得到 ,p1=0.289,p2=0.293.可见,无法将实际数据从随机化数据中区分出来.对于其他交易日,也得到了类似的结果,并且,k=-29.6±0.7,b=1.000±0.003.计算发现,所有交易日的p1≈p2.在1 201个交易日中,p1≤0.05的交易日占49.1%,p2≤ 0.05的交易日占49.1%,换言之,有超过一半的交易日,其零假设(即不存在多重分形特性)无法拒绝.图5 随机化上证指数序列的 F rnd与Δαrnd之间的散点图Fig.5 Scatter plot of F rndandΔαrnd of 1000 shuffled SSEC series那么,是否可以认为,这 49.1%或 49.1%的交易日,其多重分形特性在统计意义上是显著的呢?为此,可以直接比较给定交易日内实际数据给出的Δα和 F值与随机序列的均值〈Δαrnd〉和〈Frnd〉,结果如图 6所示,其中的实线给出了表示“实际数据等于随机化数据”的对角线.图 6表明,所有交易日的Δα≈ 〈Δαrnd〉且F≈〈Frnd〉 ,实际序列的多重分形奇异谱函数f(α)与随机序列的多重分形奇异谱frnd(αrnd)十分接近,仅随机波动便能解释f(α)曲线的奇异性分布.因此,同样可以认为,用配分函数法对上证指数本身进行分析得到的多重分形特性,在统计上并不显著,不过是一种错觉而已.图6 随机化数据与实际数据给出的 F与Δα的比较Fig.6 Comparison of FandΔαextracted from real and shuffled SSEC series4 结论本文以上证指数 5分钟取样的高频数据为例,用配分函数法对每一交易日的数据进行多重分形分析,并用统计自举的方法生成随机时间序列对得到的多重分形谱进行深入剖析.结果表明,大约有 51%的交易日,其多重分形特性无法通过显著性检验.进一步分析发现,即使是那些通过显著性检验的时间序列,其f(α)曲线的奇异性强度,也与随机序列的奇异性强度相差无几,因而完全可以用后者得以解释.此外,所有交易日的质量指数τ(q)呈现十分良好的线性关系,非线性无法得到确认.显然,文献中所谓的多重分形特性,只是一种错觉.不难推测,日内价格(如个股)或指数(如恒生指数、深圳成指等)本身并不具多重分形特性.股市指数的所谓多重分形特性,已被学者用于进行股市预测[15]和构建市场风险指数[19,20],本文的研究对此提出了质疑.需要指出的是,本文并没有否定用多重分形理论进行市场预测和风险管理这一思路,若采用其他金融变量(如收益率)计算真实多重分形特性,或将得到更有价值的成果.参考文献:[1]Mantegna R N,Stanley H E.An Introduction to Econophysics:Correlations and Comp lexity in Finance[M].Cambridge:Cambridge University Press,2000.[2]周炜星.金融物理学导论[M].上海:上海财经大学出版社,2007.Zhou Wei-xing.AGuide to Econophysics[M].Shanghai:Shanghai University of Finance and Economics Press,2007.(in Chinese)[3]李平,汪秉宏,全宏俊.金融物理的若干基本问题与研究进展(Ⅰ)——价格的统计分析与价格涨落的随机过程模型[J].物理,2004,33(1):28-33.Li Ping,Wang Bing-hong,Quan Hong-jun.Some problem and progress abouteconophysics[J].Physics,2004,33(1):28-33.(in Chinese)[4]Mandelbrot B B.The variation of certain speculative prices[J].Journal of Business,1963,36(4):394-419.[5]Fama E F.The behavior of stock market prices[J].Journal 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股票市场分形特征实例分析
股票市场分形特征实例分析分形理论的创始人美籍法国数学家Mandelbrot1967年在美国《科学》杂志上发表了“英国的海岸线有多长”的划时代的论文。
1975年他出版了分形几何的第一部著作《分形：形状、机遇和维数》，标志着分形理论的诞生。
分形是用以描述那种不规则的、破碎的、琐屑的几何特征。
分形是相对于整形而言的，它的基本特征是不可微性、不可切性、不光滑性，甚至是不连续性。
很多学者研究了我国股票市场的混沌特征，不仅说明了股市运行过程中的混沌特征，而且还给出了混沌特征的数量指标。
但他们并没有给出混沌吸引子的结构，而它却是混沌状态的基本特征，是描述混沌的基本工具。
混沌吸引子具有分形结构，混沌与分形是密切相关的。
本论文以上海股市为例，来分析我国股票市场的分形特征。
股市混沌吸引子的分形维我国股市具有复杂的混沌结构，而且我们还给出了股票指数收益率序列的混沌结构的数量指标。
“这些数量指标都是混沌度的特征指标”。
混沌的另一个特征是具有混沌吸引子，吸引子是一个分形，而分形维是刻划分形最重要的指标。
分形维数有多种定义，两种最常用的分形维数是豪斯道夫(Hausdorff)维数和盒维数。
1983年，Grassberger和Procaccia利用了嵌入理论和相空间重构技术，提出了从时间序列直接计算关联维数的算法。
本文也是用此法来计算我国股市混沌吸引子的分形维。
设{xk:k=1,…N}是观测某一系统得到的时间序列，将其嵌入到m维欧氏空间中，得该空间中的点集，其元素为：xn(m,τ)=(xn+τ,xn,…,xn+(m-1)τ),n=1,…Nm，其中：Nm=N-(m-1)τ.从Nm个点中任选一个点xi计算其余每个点到该点的距离rij，对所有xi(i=1,…，Nm)重复这一过程，可得到关联积分函数其中的H(x)当x>0时取1，当x≤0时取0，关联维数D为当r→0时函数logCm(r)/logr的极限。
Grassberger和Procaccia证明了当嵌入维数大于分形维时，所求的分形维不因嵌入维数的增加而增加。
股市时间序列的多重分形分析
股市时间序列的多重分形分析
于建玲;臧保将;商朋见
【期刊名称】《北京交通大学学报》
【年(卷),期】2006(030)006
【摘要】通过对幂谱和统计矩函数的分析,得出股票市场时间序列的无标度性.借助配分函数、广义分形维数和多重分形谱对股票市场进行研究,结果表明,股票市场时间序列具有多重分形特征.这将为多重分形在金融理论方面的研究提供重要的理论基础.
【总页数】4页(P69-72)
【作者】于建玲;臧保将;商朋见
【作者单位】北京交通大学,理学院,北京,100044;北京交通大学,理学院,北
京,100044;北京交通大学,理学院,北京,100044
【正文语种】中文
【中图分类】O221.61
【相关文献】
1.股市时间序列的多重分形消除趋势分析 [J], 袁平平;于建玲;商朋见
2.风电场风速时间序列的多重分形去趋势波动分析 [J], 孙斌;姚海涛
3.快速路交通流时间序列的多重分形分析 [J], 董军;张勇
4.交通流时间序列的多重分形分析 [J], 张勇;关伟
5.基于EMD-LS的非平稳时间序列多重分形去趋势波动分析方法 [J], 罗远兴;李志红;梁兴;李超;胡凤城
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中国股票市场价格、交易量以及量价关系的多重分形特征研究
中国股票市场价格、交易量以及量价关系的多重分形特征研究刘妍琼;郭尧琦【摘要】利用2005年1月4日至2015年10月14日期间的我国股票市场上海证券综合收盘价格指数和交易量的日度数据,采用MF-DFA和MF-DXA方法实证研究了我国股票市场价格、交易量以及股票价格与交易量关系的多重分形特征以及量价关系的多重分形特征的来源.从中可知,股票价格、股票交易量以及股票价格与交易量的关系都存在多重分形特征,股票价格与交易量多重分形的主要原因是长期记忆性特征和厚尾分布.【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(030)001【总页数】6页(P11-16)【关键词】量价关系;多重分形;MF-DFA;MF-DXA【作者】刘妍琼;郭尧琦【作者单位】湖南第一师范学院商学院,长沙 410205;中南大学数学与统计学院,长沙 410083【正文语种】中文【中图分类】F830.91一直以来, 股票价格和股票交易量都是人们理解股票市场波动的最为关键的两个指标. 通过股票价格的变动了解新信息如何影响股票市场, 投资者对新信息的不同反应则透过股票交易量反应出来. 而对股票价格和股票交易量之间的关系研究, 能促进对市场的价格传导机制的理解, 因而一直是金融领域研究的热点问题.国外学者的研究主要有: Chen(2001) [1]利用Granger因果检验方法研究了1973年至2000年九个国家股票市场的量价关系, 最后得出量价关系为双向Granger 因果关系. Lee和Rui(2002) [2]用Granger检验了纽约、东京和伦敦三大股市的量价动态因果关系, 发现交易量均不是收益率的格兰杰成因. Sabiruzzaman和Monimul(2012) [3]利用异方差模型来分析香港股票市场交易量与股价变化的动态关系, 当股票市场存在杠杆效应时, TGARCH 模型最好. Chuang和Liu(2012) [4]用双变量GJR-GARCH 模型研究交易量与股价收益率之间的因果关系. Yoo(2012) [5]在混合分布假说的基础上, 发现KOSPI 200的收益率与其交易量成正相关关系, 其中非预期交易量比预期交易量能更好地解释收益率波动.国内学者的研究主要有: 童明和余董(2005)[6]、陈向东和蒋华安(2006)[7]皆利用Granger因果关系来检验股票价格变化与收益率之间的关系. 董秀良和吴仁水(2008) [8]选用多元GARCH模型对股价和交易量之间的波动溢出效应进行实证研究, 发现股价对交易量具有显著的波动溢出效应, 但交易量对股价的波动溢出效应不明显, 股价波动对成交量波动具有先导作用. 彭海伟和卢祖帝(2009) [9]利用GARCH模型局部线性化非参数似然估计方法, 对中国证券市场股票价格和交易量数据进行实证研究. 易文德(2010)[10~12]分别利用Copula函数模型、VAR-Copula模型、ARMA-GARCH-Copula函数模型来研究股价与交易量之间的因果关系. 王彩凤, 孙晓霞和郑珊(2012) [13]对引入预期交易量和非预期交易量的随机波动模型, 采用基于马尔科夫链蒙特卡罗模拟技术的贝叶斯估计方法, 实证仿真结果表明, 非预期交易量要大于预期交易量对股市价格的影响.综上所述, 在国内外学者对股票市场中的量价关系进行研究的早期, 实证研究主要为传统的线性Granger 因果关系, 能较好地反映量价关系中的线性关系, 但是对非线性因果检验效果就不好. 之后GARCH类模型和随机模型被主要用来研究两者之间的非线性关系, 以及Copula函数模型来研究量价之间的相依结构. 然而, 国内外学者的研究主要在量价关系之间的因果关系, 溢出波动等方面, 对量价之间的交叉相关性和长程相关性的研究较少, 有些研究也主要是对价格或者交易量序列的整体进行分析, 而忽略了不同波动程度或者不同收益率情况下交易量与价格之间的相关性. 然而, 随着分形理论的发展, 不少学者开始采用ARFIMA(分整自回归移动平均模型)、R/S分析方法、MF-DFA等方法对时间序列相关性的分形特征进行研究. Kantelhardt(2002) [14]提出的MF-DFA方法, 相比修正R/S分析, 在对相关性的错误判断方面, 效果更好一点. Zhou(2008) [16]将Podobnik和Stanley(2007)[15]提出的DCCA方法与MF-DFA方法相结合, 得到MF-DXA(多重分形降趋交叉相关分析), 为非平稳时间序列之间的量价关系提供了新的研究方法. 结合以上文献, 本文采用Zhou(2008)的MF-DFA方法和MF-DXA方法对我国股票市场价格、交易量以及量价关系的多重分形特征以及量价关系的多重分形特征的来源进行实证分析, 以便更好地理解我国股票市场中股票价格和交易量之间的非线性关系.给定两个时间序列和, 构造新的时间序列其中,为分别为时间序列和的均值. 将新的时间序列和的划分成个长度相等的含有个数据的互不重复的子区间, 其中. 若无法等分, 即长度不是个数的倍数时, 从序列尾部再重复进行分区, 以防止尾部数据的丢失. 因此, 可以得到个子区间. 然后, 利用最小二乘估计法对每一个子序列的局部趋势进行拟合, 得到和, 最后得到每一个子序列的降趋协方差可表示为将所有子区间的局部协方差取均值, 可得阶波动函数其中可以取任意的非零实数. 当, 由洛必达法则可得根据上式, 若两个时间序列之间存在幂律关系, 则有标度关系:其中为两个时间序列之间的幂律相关性. 对于每一个值, 可以绘出与的双对数图, 利用普通最小二乘估计进行回归, 可以得到回归直线的斜率为广义Hurst指数. 当独立于时, 则该两序列的交叉相关性为单一分形序列; 当随着的不同而发生变化时, 则说明两序列的交叉相关性具有多重分形特征. 当时, 广义Hurst指数表明时间序列中存在的长期记忆性. 若, 则表明时间序列具有长程相关性, 且具有持久性效应的交叉相关性; 若, 则表明时间序列不相关, 处于反持续状态.若时间序列时, 降趋协方差就转化为降趋方差, 该方法等同于MF-DFA方法. 以上为降趋交叉相关分析方法, 在此基础上, 周炜星提出了多重分形降趋交叉相关分析方法(MF-DXA), 多重分形的标度指数可以刻画多重分形的特征, 多重分形标度与之间的关系为若与之间是非线性关系, 说明两序列的交叉相关性存在分形特征. 采用勒让德变换, 得到奇异性强度函数和多重分形谱分别为2.1数据说明及处理本文采用上证综合指数收盘价格以及上证综合指数的成交量金额的每日数据分别作为中国股票市场的价格数据和交易量数据, 进行实证研究的数据为日度对数收益率序列和相应的交易量的日度变化率序列, 数据时间跨度从2005年1月4日到2015年10月14日, 共2615个交易数据, 数据来源于Wind数据库.表1给出了价格以及交易量的对数收益率序列的基本统计性质. 从表1中可以看出, 价格的标准差比交易量的标准差要小, 即波动性较小价格和交易量的偏度分别为−0.4094, 表现为左偏, 交易量的偏度为0.7066, 表现为右偏, 峰度分别为6.4845和6.2563, 都大于3, 说明股票价格和股票交易量具有尖峰厚尾分布, 都不服从正态分布, 其中, 在1%的显著性水平下, J-B检验统计量都拒绝原假设, 进一步说明股票价格和股票交易量的都不服从有效市场假说中的正态分布假设.2.2 股票市场价格、交易量以及量价关系的多重分形特征分析本节采用MF-DFA和 MF-X-DFA方法对股票价格、股票交易量以及量价关系的多重分形特征和交叉相关性进行分析.从图1可以看出, 对于不同的, 其波动函数和时间标度间存在幂律关系, 也就是说, 中国股票市场的价格、交易量以及量价关系都存在着非线性依赖关系. 这表明中国股票市场价格波动的变化不仅受到自身波动的影响, 也会受到交易量的影响; 而交易量的有波动变化也会受到价格的影响.图2表明股票市场的价格、交易量以及股票价格与交易量之间有着不同的幂律相关性, 由此可知, 价格、交易量以及量价关系皆具有多重分形特征. 其中, 当从−10变到10时, 价格广义hurst指数从0.7895递减到0.2231, 交易量广义hurst指数从0.4485递减到0.1941, 量价关系广义hurst指数从1.4134递减到0.9253, 、以及都显著地不为常数, 说明股票市场价格、交易量以及量价关系存在明显的多重分形特征. 由Hurst指数与广义Hurst指数的关系可知, 当时, 广义就是一般的Hurst指数. 由图2又可以得到, 当时, 、、. 其中, 、都大于0.5, 这说明我国股票市场的价格和量价关系存在长期记忆性特征, 小于0.5, 说明股票市场的交易量在上一个时刻是上升(下降)的, 则下一时刻下降(上升)的可能性比较大, 出现了反持久性特征.从图3中的图同样可以看出股票市场的与的关系是非线性的, 表现为凸的递增函数, 再次证明了股票市场的价格、交易量以及量价关系存在着多重分形特征.图4为多重分形谱图, 分形强度的估计一般用图形的宽度来表示. 多重分形谱描述了该时间序列对象走势的相对强弱, 其中为走势最低的位置, 为走势最高的位置, 因此, 为走势最高与最低值的差, 用来衡量波动的绝对大小. 股价的值在−0.1465到−0.5761之间, 股价的值为−0.4251, 交易量的值在−0.4889到−0.8765之间, 交易量的为−0.3876, 量价关系的值在−0.2354到0.5482之间, 量价关系的为0.7836, 从中可以看出, 量价关系的波动幅度更大, 其多重分形强度也更强.2.3 股票市场量价关系的多重分形特征来源分析基于前人的研究可知, 量价关系产生多重分形主要来自两个方面: 一是由于股票市场上的长程相关性; 二是因为股票市场上时间序列波动的厚尾概率分布所引起的; 目前, 主要采取数据重排和相位处理两种方法来识别多重分形的来源. 其中, 当仅仅由于序列的长期记忆特征产生序列的多重分形特征时, 对时间序列进行重排处理后的. 对时间序列进行相位调整处理, 不会改变时间序列的相关性, 还能弱化其分布的非高斯性, 且处理后的时间序列的将独立于值. 如果长期记忆性和厚尾概率都有, 则采用重排和相位处理的时间序列会出现弱化的多分形特征.图5为对中国股票市场的量价关系进行随机重排和相位处理之后, 再采用MF-D-XA方法检验的多重分形特征图.从图5、表2和表3中可以看出, 相对比原序列, 对时间序列进行随机重排后, 发现该序列的和标度指数的变化幅度都出现了明显减小, 其中, 原序列的从1.4076递减到0.8651, 其差值为0.5425, 随机重排序列的从 1.3861递减到1.1607, 其差值为0.2253. 在随机重排后, 多重分形谱宽度从0.8281变化为0.6686, 宽度明显变小, 由此说明随机重排序列后, 该序列的多重分形特征明显减弱, 表明股票市场中的量价关系的多重分形特征一定程度上来自原始序列所具有的长期记忆性特征.对比相位调整后的序列和原始序列的分形特征发现, 相位调整后序列的1.4317递减到1.1624, 其差值为0.2692, 同样小于原始序列的0.5425, 相位调整后的多重分形谱宽度从0.8281变为0.4824, 同样显著变小, 说明股票市场的量价关系的多重分形特征也来自于原始序列所具有的厚尾分布特征.本文以中国股票市场的上证综合指数收盘价格和交易量为研究对象, 分析了股票价格和交易量以及量价关系的多重分形特征, 得到以下结论: 首先, 对数据的选取和基本统计特征的分析, 说明我国股票市场具有具有明显的非正态、尖峰厚尾分布, 不满足有效市场假说中的正态分布假设; 其次, 利用MF-DFA和 MF-DXA的方法得知, 中国股票市场的价格、交易量以及量价关系都存在着非线性依赖关系. 在量价关系的多重分形特征的分析中, 研究者应该将交易量、股票价格作为一个整体全面考虑来分析和理解市场的行为, 而不是仅仅考虑其中的一个变量. 最后, 对量价关系的相关系数进行随机重排和相位处理后, 量价关系多重分形特征主要是由长期记忆性和厚尾分布所导致. 长期记忆特征可以理解为新信息对市场的影响不会马上消失, 可能对我国股票市场产生长期和深远的影响; 厚尾分布表明我国股票市场不像有效市场假说中的大幅波动的概率几乎为零, 而是极有可能出现大幅波动的情况. 因此, 对于我国股票市场, 应该优化投资者结构, 以此来改善市场投资的主体, 促进我国股票市场的健康发展.[1] Gong-mengChen,MichaelFirth,OliverM.Rui. 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股票市场多重分形性的统计描述
分形谱 ｆ （α）。其计算公式如下：
ｄ "τ（ｑ）#＝α（ｑ）
（ ３）
ｄｑ
τ（ｑ）＝ｑα（ｑ）－ ｆ（α）
（ ４）
分形谱的宽度△α＝αｍａｘ－ αｍｉｎ 表征了最大、最小概率 间的差别。相应的最大、最小概率子集分形维数 的差别△ｆ＝ｆ （αｍｉｎ） － ｆ （αｍａｘ） 反映了高低价位出现频
率的变化。
收稿日期： ２００６－ １１－ ０３ 基金项目： 国家自然科学基金项目资助 （ ７０３７１０６２） 。 作者简介： 苑莹， 东北大学工商管理学院博士研究生； 庄新田， 东北大学工商管理学院教授， 博士生导师。
ＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴ ＲＥＶＩＥＷ Ｖｏｌ．１９ Ｎｏ．１２（２００７） ３
金融管理
数与当日及前日恒生指数变化的关系， 从而得出 结论认为二者之间具有很明显的关联性。魏宇 （ ２００５） 及周孝华 （ ２００５） 等人分别将多重分形谱 方法应用于沪深股市， 并从不同角度对其进行了 有益的探讨， 其结果具有一定的现实意义 。 ［９－ １０］
实证研究结果
１、上海股票市场的多重分形特征 图 １ （ａ） 是 １９９０ 年 １２ 月 １９ 日－ ２００５ 年 １１ 月 ３０ 日上证指数每日收盘指数所对应的多重分形谱 ＬｎＭｑ （Ｔ） ￣ＬｎＴ 图 形 。 在 ｌｏｇ－ ｌｏｇ 图 形 中 ， 它 反 映 了不同 ｑ 下的 Ｍｑ （Ｔ） 与 Ｔ 的标度关系。从图 １ （ａ） 可以看出，ＬｎＭｑ （Ｔ） 随 ＬｎＴ 的变化具有良好的线性 关系， 说明上海股票市场存在着多重分形现象。 图 １ （ ｂ） 是通过图 １ （ａ） 中不同 ｑ 条件下的 ＬｎＭｑ （Ｔ） 与 ＬｎＴ 的斜率得到的 τ（ｑ） ￣ｑ 图形， 从图中可 以看出该图形是非线性的， 印证了多重分形特征 的 存 在 。 进 一 步 地 ， 通 过 公 式 （ ３） 、 （４） 得 到 ｆ （α） ￣α图 形 ， 如 图 １ （ ｃ） 所 示 。 图 中 所 示 ， α的 值 是 以 一 个 标 度 范 围 （ ０．８２－ １．５１） 为 特 征 的 ， 且
中国股票市场波动率的多重分形分析与实证
DOI:10.13546/ki.tjyjc.2020.01.030W纭03中国股票市场波动率的多重分形分析与实证韩晨宇，王一鸣(北京大学经济学院，北京100871)摘要:我国股票市场波动表现出随时间变化的动态特征。
文章采用多重消除趋势波动分析法(MFDFA),对沪深股市四个主要指数的日波动率时间序列进行了分析。
结果表明，沪深股市四个主要指数的日波动率时间序列均表现出多重分形特征，且上证指数和中证500指数日波动率序列相对于其他两个指数日波动率序列表现出更强的多重分形特征。
各指数日波动率时间序列的多重分形特征均是自身的长程相关性和波动的厚尾分布共同作用的结果，且波动的厚尾分布对原始序列的多重分形特征的影响比长程相关性大。
关键词：波动率；股票市场;MF-DFA;多重分形分析中图分类号:F830.91文献标识码：A文章编号:1002-6487(2020)01-0136-050引言长期以来.价格的随机游走和市场有效是主流金融计量理论的重要理论基石。
主流的有效市场假说受到市场实际运行状况和相关研究的挑战。
20世纪80年代以来，分形市场研究从非线性的角度对主流金融计量理论线性模式的基础假设(随机游走及与之相应的正态分布)进行了修正。
由于资本市场的非线性复杂特征,本文将分形市场研究的理论和方法应用于中国股票市场的价格波动研究，从非线性的角度分析中国股市的价格波动。
本文采用消除趋势波动分析法对沪深股市主板主要指数的日波动率时间序列进行分析,实证结果表明，两市指数日波动率时间序列存在多重分形结构。
运用分形理论计算和提取时间序列的特征值，是一种处理复杂现象的非线性方法之一，并对时间序列的动态特征进行更系统的分析。
分形的概念最早由Mandelbrot (1999)111提出，相对于单分形过程，多重分形理论能够更好地定量刻画资本市场各种复杂波动特征，因而在研究中得到了广泛应用。
Kantelhardt等(2002)|!|在DFA方法基础上首次提岀了多重分形消除趋势波动分析法(MF-DFA),并运用此方法对时间序列在不同时间标度下的多重分形特征进行定量分析。
多重分形理论的大盘股和中小盘股差异性分析
多重分形理论的大盘股和中小盘股差异性分析汪冬华;索园园;李欣然【摘要】采用2007年1月15日～2011年7月29日间的中证100指数和中证500指数分别代表我国大盘股和中小盘股的走势,采集2种指数1分钟的高频数据生成指数收益率序列,利用统计方法和多重分形-降趋脉动分析(MF-DFA)方法,比较研究2种指数整体的统计特性和多重分形特性；并基于每个交易日数据的多重分形分析,构造新的风险度量指标MFV,用以比较大盘股和中小盘股的风险.结果表明:①2种指数整体分布呈现尖峰胖尾分布,中间部分均服从双指数分布,尾部极端收益率服从幂率分布；②中证500指数整体的谱宽度较大；③中证500指数的日MFV有70％左右大于中证100.由这些不同均可得到大盘股的风险小于中小盘股这一结论,也弥补了传统风险测度指标在金融市场复杂系统中的不足.%In this paper, we study the overall statistical properties and multifractal characteristics of CSI 100 index and SCI 500 index which represent large-cap-stock and small-cap-stock respectively using statistical methods and multifractal detrending fluctuation analysis (MF-DFA) based on the 1 minute high frequency data from January 15, 2007 to April 18, 2008. A new market risk measure based on two main parameters of multifractal spectrum is constructed to compare the volatility and risk of SCI 100 index with SCI 500 index. The results show that the distribution of the two indexes have peak fat-tail as a whole, exponential form in the center and power-law tails, however, SCI 500 index poses fatter tail, stronger multifractal, and the new risk measure(MFV) implies SCI 500 has more risk,which makes up the inadequacies of traditional risk measures in the complex nonlinear financial system.【期刊名称】《管理学报》【年(卷),期】2012(009)007【总页数】7页(P1025-1031)【关键词】多重分形-降趋脉动分析;大盘股;小盘股;波动率;风险度量【作者】汪冬华;索园园;李欣然【作者单位】华东理工大学商学院;华东理工大学商学院;上海财经大学统计与管理学院【正文语种】中文【中图分类】C93;F832.51970年FARMER［1］提出有效市场假说，这是金融市场研究的一个重要概念，其核心思想是，任何时刻的证券价格都能完全反映出所有可获得的信息。
不同股市的多重分形特性分析——基于统计物理和MF-DFA方法
意义 。
关键 词 ： 收盘 价 ； 收益率 ； 重分 形 多
中图分类 号 ：］ ９ １Ｐ ３ 文献标 识码 ： Ａ 文章编 号 ：６ ３ ６ ９ （０ ０ １ — ２ ５ ３ １ ７ — ２ Ｘ ２ １ ）２ ０ ２ —０
ｒｌｖ ｎ ａ ｆｔ ｉｇｑ ｏ ａｉｎ ｐｉｅｂ ｔ ｅ ｒ ｇｌｉ ｍｐ ｓｔ ｄ ｘ ａ ｄＳ ｅ ｚ ｅ ｍｐ ｎ ｎｔｉｄ ｘ，ｔ ｅｒｓ ｌｓｓ ｏ ｔａ ｏ ｈ ｅｅ ａ ｔｄ ｔ ｏ ｈ ｃ ｎ ｕ ｔｔｏ ｒｃ ｅｗｅｎＳｈ ｝ ａ ｅ 衄 ａｃ ｏ ｏ ｉｅｉ ｅ ｎ ｈ ｎ ｈ ｎｃ ｎ ｏ ｏｅ ｅ ｎ ｈ ｅｕｔ ｈ ｗ ｔｂ ｔ ｈ
析 和 比较 ， 结果 表明 ： 上证 综指 和深 证成 指均具 有多重 分形 特性 ， 而且 深 证成 指 的多 重分 形性 要 强 于上证 综 指 。用 ＭＦ—
Ｄ Ａ方 法对上 证综指 和深证 成指 的 日收益率数 据进 行分 析和 比较 ， Ｆ 结果 得 出 ： 证成 指 日收益率 的相关 性 程度 高 于 上证 深
万 涛 郑婷婷 ， ， ，张 一 琛 章 意成 ，
（． １安徽 大 学 数 学科 学学院 ， 安徽 合肥 ２０ ３ ； ３０ ９ ２ 安室 ， ． 安徽 合 肥 ２０ ３ ） ３０ ９
摘 要： 针对 在股票 市场 分析 的方法 中存 在 的问题 ， 统计 物理 方法 对 上证 综 指 和深 证 成指 的 日收 盘价 有关 数 据 进行 分 用
Ａｎａｙ ｉ ｆＭ ｕ ｔｆ ａ ｔ ｌＣｈａ ａ ｔｒｓｉｓｉ ｆｅ ｅ ｔＳ ｏ ｋ Ｍ ａ ｋ ｔ ｌｓｓｏ ｌｉｒ ｃ ａ ｒ ｃｅ ｉｔｃ ｎ Ｄｉｆｒ ｎ ｔ ｃ ｒ ｅ
股票收益率序列的多重分形特征分析
股票收益率序列的多重分形特征分析陈晓娜【摘要】Using the multifractal detrended fluctuation analysis method,this paper aims to study the multifrac-tal characteristics of Petro China and Sinopec listed Corporation stock returns.With the help of the multifrac-tal spectrum method,it compared the strength and the size of the risk multifractal of two stock returns series. The results show that the stock return series of two companies have obvious multifractal characteristic.The Sinopec return series of multifractal is stronger,and fluctuation complexity is higher.In general,Sinopec shares have more ptofit space,but the risk is also greater than Petro China.%运用多重分形消除趋势波动分析法，研究中石油和中石化两个上市公司股票收益率的多重分形特征，并结合多重分形谱方法，比较两股票收益率序列的多重分形性的强弱及风险大小。
结果表明，两个公司的股票收益率序列均具有明显的多重分形特征，且中石化收益率序列的多重分形性更强，波动复杂程度更高。
总体相比，买入中石化股票获利的空间更大，但风险也较买入中石油的更高。
【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】6页(P27-32)【关键词】收益率序列;多重分形性;MF-DFA;多重分形谱【作者】陈晓娜【作者单位】南京财经大学应用数学学院，江苏南京 210023【正文语种】中文【中图分类】F224.9;F830.9众多研究表明，金融市场是一个复杂的非线性动力系统，其运行规律和波动特征一直是人们关注的热点.Peters［1］运用重标极差R/S分析方法发现一些金融市场具有长程自相关性的证据.Tabak等［2］运用R/S分析方法研究了新兴市场的长程自相关性，发现随着时间推移，市场变得越来越有效.Peng等人［3］在研究DNA序列自相关性时，为避免长程相关性检验中的一些误差，提出消除趋势波动分析法（DFA），这种方法已被广泛应用于检测金融市场的长程自相关性.2002年，Kantelhard等［4］在DFA的基础上提出消除趋势波动分析法（MF-DFA），用于刻画时间序列在不同时间标度下的统计特征.该方法是通过将每个分割区间上波动的平均值作为统计点，计算波动函数，然后根据波动函数展现的幂律性，确定广义Hurst指数.现在，MF-DFA方法已被广泛应用于股票市场、汇率市场、期货市场等金融市场的多重分形性研究中［5-8］.中国石油天然气股份有限公司（简称中石油）及中国石油化工集团公司（简称中石化）作为我国石油化工领域的两巨头，对我国经济社会的发展有着重要的影响.作为上市公司，它们发行的股票对我国的股票市场的健康平稳发展也存在着相当大的影响.本文将运用MF-DFA分析法研究中石油和中石化两个公司股票价格的波动特征和风险大小.证明两只股票价格收益率序列具有多重分形特征，分析比较两者多重分形性的强度，同时运用多重分形谱分析法，讨论两者的价格变化趋势，判别它们的风险大小，研究结果对投资决策和金融风险监管具有一定的参考价值.1 方法描述给定长度为N时间序列{xt,t=1,2,…,N}，MF-DFA分析法由如下5步组成：第1步，计算累积离差这里第2步，把新序列{yk,k=1,2,…,N}分割成重叠的长度为s的Ns个子区间，Ns≡int(N/s).由于N通常不是s的整数倍，所以为了不忽略最后一段序列，从序列的尾部再重复这一分割过程，从而得到2Ns个子区间，这里取10＜s＜Ns/5. 第3步，对2Ns个子区间中的序列用最小二乘法拟合，得到平方均值这里Pλ(j)是n阶拟合多项式.第4步，求新序列的q阶波动函数第5步，固定阶数q，对于不同的分割长度s，可得到Fq(s)对s的幂律关系式其中h(q)称广义Hurst指数.h(2)即为经典的Hurst指数.当h(q)与q无关时，时间序列是单分形的，反之，则为多重分形的.当h(q)＞0.5时，时间序列表现为持续性，即长程相关性；当h(q)=0.5时，序列是随机的，即不相关或短程相关；当h(q)＜0.5时，序列呈反持续性.广义Hurst指数h(q)与多重分形质量指数的关系是对上式进行Legendre变换，得到奇异指数与多重分形谱函数f(α)如下：在多重分形分析中，奇异指数α描述了整个过程的各个局部的分形特征，多重分形谱f(α)是具有相同奇异指数α的分形维.多重分形谱与奇异指数分别对应于简单分形中的分形维和局部Hölder指数.在过程分析中，不同局部是由不同的α值来刻画的，即α是时变的，这使得整个过程中的分形维不是单一的，α～f(α)图是呈单峰钟形状.因此，多重分形能够刻画过程的局部特征.当Δf=f(αmin)-f(αmax)＜0时，f(α)呈右勾状，指数处于波谷的几率大于处于波峰的几率.当Δf＞0时，f(α)呈左勾状，指数处于波峰的几率大于处于波谷的几率.2 数据处理与实证分析本文以中石油和中石化在上证交易所发行股票的日收盘价数据为研究对象.选取两只股票收益率序列的时间区间均是从2007年11月5日到2013年11月5日，共1 457个数据.用Pt表示第t天的收盘价，每天的对数收益率为r(t)=lnPt+1-lnPt，收益率序列数据个数为1 456个.图1和图2分别给出了中石油和中石化两只股票的日对数收益率，表1给出了两只股票收益率序列的基本统计量.从图1和图2可以看出，两公司股票收益率在前500 d内波动都较为剧烈，这是由于2008年美国次贷危机所引发的全球经济危机导致了上市公司股票剧烈震荡.在此之后两公司股票收益率的波动渐渐减小，但总体上，中石化股票收益率的波动强于中石油股票收益率的波动.从表1可以看出中石油和中石化股票收益率序列的Pearson相关系数为0.739，即在1%水平（双测）显现正相关，说明同一时间内，一个序列的值上升，另一个序列的值很可能同样上升.中石油和中石化股票收盘价的收益率序列的偏度均小于0，呈左偏状态，即收益率处于负值的概率比处于正值的概率大.两只股票收益率序列的峰度都比正态分布的峰度3大，而标准差远远小于正态分布的标准差1，说明两收益率序列均非正态分布，而具有尖峰厚尾的特征.图1 中石油股票收益率图2 中石化股票收益率表1 中石油和中石化股票收益率序列的基本统计量基本统计量中石油中石化样本个数 1 456 1 456样本均值 -0.000 515 -0.000 514最大值 0.041 2 0.041 5最小值 -0.041 1 -0.132 5极差 0.082 3 0.174峰度 5.127 20.106偏度 -0.011 -1.479标准差 0.007 58 0.010 47 Pearson指数 0.739 0.739下面运用MF-DFA分析法对中石油和中石化两公司股票的收益率序列进行实证分析.取分割区间长度s为11-364 d.对每个固定的q值，用最小二乘法拟合，得到双对数logFq(s)～logs关系图（图3和图4）.在图3和图4中，选取q从-5到5，用最小二乘法拟合，共有11根拟合线，总的来看，它们呈线性趋势.另外，还发现两序列波动函数的双对数图在logs∗≈2.5时存在突变点，即状态跃迁临界点.表2给出了q从-10到10变化时，标度指数s ＜s∗与s＞s∗时，两收益率序列的广义Hurst指数h(q)的值.由表2可见，h(q)随q的变化而变化，表明两收益率序列均具有多重分形特征.图3 中石油的logFq(s)～logs图4 中石化的logFq(s)～logs表2 中石油和中石化股票收益率序列的广义Hurst指数中石油中石化q s＜s* s＞s* s＜s* s＞s*-10 0.706 4 0.545 8 0.751 0 0.604 3-9 0.698 3 0.543 5 0.742 2 0.599 9-8 0.688 9 0.541 2 0.731 8 0.595 5-7 0.677 9 0.539 0 0.719 7 0.591 6-6 0.665 5 0.536 9 0.705 7 0.588 8-5 0.651 7 0.534 9 0.690 1 0.588 2-4 0.637 2 0.532 8 0.673 8 0.591 0-3 0.623 1 0.529 2 0.658 2 0.598 3-2 0.611 0 0.521 0 0.645 3 0.608 6-1 0.601 4 0.502 1 0.636 0 0.613 2 0 0.589 3 0.455 6 0.622 3 0.578 1 1 0.580 5 0.419 4 0.612 2 0.551 2 2 0.563 8 0.374 5 0.586 8 0.495 4 3 0.545 4 0.340 2 0.554 8 0.447 0 4 0.528 1 0.316 2 0.521 8 0.410 8 5 0.512 8 0.299 5 0.491 8 0.384 6 6 0.499 5 0.287 4 0.466 3 0.365 3 7 0.487 9 0.278 3 0.445 3 0.350 8 8 0.477 7 0.271 3 0.428 1 0.339 6 9 0.468 8 0.265 7 0.414 0 0.330 6 10 0.460 9 0.261 1 0.402 3 0.323 3q=2时的标度指数h(2)即经典的Hurst指数.在表2中，当s＜s*时，中石油的Hurst指数为h(2)=0.563 8，说明中石油收益率序列是持续弱长程相关的，而当s ＞s*时，Hurst指数为0.374 5，说明收益率序列呈反持续性.同理，当s＜s*时，中石化的Hurst指数为0.586 8，表明收益率序列是持续弱长程相关的，当s＞s*时，Hurst指数为0.495 4，接近于0.5，意味着收益率序列是随机的，不相关的. 当s＜s∗时，中石油的广义Hurst指数在q≤5时均是大于0.512 8的，中石化的广义Hurst指数在q≤4时均是大于0.521 8的，表明，此时股票收益率序列无论大幅波动还是小幅波动均是持续的.当s＞s∗时，中石油的广义Hurst指数在q≤-1时均是大于0.502 1的，在q≥1时均是小于0.419 4的；中石化的广义Hurst指数在q≤1时均大于0.551 2，在q＞1时，均是小于0.495 4的，表明，此时股票收益率序列的小幅波动是持续的，而大幅波动是反持续的.图5 s＜s*时的h(q)图6 s＞s*时的h(q)图5和图6分别给出了两种时间标度下，中石油和中石化股票收益率序列的广义Hurst指数h(q)随q的变化图.当-10≤q≤10时，h(q)随q的变化而变化，且s＜s*时，两者均呈非线性递减的趋势.当s＞s*时，两股票收益率序列的广义Hurst指数则是先小幅度下降，继而小幅度上升，再迅速非线性递减.图5，图6中，中石化收益率序列的h(q)均比中石油h(q)的变化幅度大，表明中石化收益率序列的多重分析性比中石油的多重分形性强.图7 s＜s*时的τ(q)～q图8 s＞s*时的τ(q)～q图7和图8分别给出中石油与中石化两股票收益率序列在两种标度下质量指数τ(q)对q的变化图.由图7，图8可见，两收益率序列的质量指数τ(q)关于q在突变点s*两侧都是非线性递增的，且当s＜s*时，两条线接近重合.图7，图8中，中石化的非线性特征均比中石油稍明显些，说明中石化的多重分形性稍强些.图9 中石油和中石化股票收益率序列的f(α)～α表3 多重分形谱的相关统计量计量中国石油中国石化fmin fmax αmin αmax0.289 6-0.097 5 0.231 0 0.133 2-0.600 0 0.133 2-0.222 6-0.168 7 Δf 0.058 6-0.230 7 Δα 0.377 4 0.531 3图9是中石油与中石化股票收益率序列的多重分形谱图，表3给出了多重分形谱的相关统计量.由图9可见，中石油对数收益率的多重分形谱呈单峰左勾状，Δf＞0，即股价处于高价位的机会大于处于低价位的机会，收益率序列随后有下降的趋势.而中石化收益率序列的多重分形谱则呈单峰右勾状，Δf＜0，即股价处于高价位的机会小于处于低价位的机会，收益率序列随后有上升的趋势.从表3可得，中石化的谱宽Δα比中石油的大，即中石化股票收益率序列的多重分形性较中石油的强，波动较大，价格变化范围也更宽.此外，中石化的| |Δf较中石油的大，即价格波动程度也比中石油的剧烈.总体上，买入中石化公司的股票获利的空间更大，但风险相应地也比买入中国石油的更高.3 结论本文主要研究中石油和中石化两上市公司股票收益率序列的多重分形特征.先是通过对收益率序列统计量的分析，发现两收益率序列具有尖峰厚尾非正态分布统计的特征.然后运用MF-DFA分析方法，研究两收益率序列的多重分形性，发现广义Hurst指数依赖于q的变化，意味着两收益率序列确实存在多重分形特征，且小幅波动是持续的，而极端大幅波动则是反持续的，尖峰厚尾和序列的相关性是引起多重分形性的主要原因.比较两序列的广义Hurst指数h(q)和质量指数τ(q)，得出中石化的多重分形性比中石油的多重分形性强.通过多重分形谱分析，比较两收益率序列波动程度的强弱，给出价格变化趋势，判别出两者的风险大小及获利空间.研究结果对投资者的投资决策和金融监管部门的风险管理有一定的参考价值.参考文献：［1］PETERS E.Chaos and order in the capital market［M］.New York：John Wiley＆Sons，1991.［2］TABAK B M，CAJUEIRO D O.Long-range dependence and multifractality in the term structure of LIBOR interest rate［J］.Physica A，2007，373：603-614.［3］PENG C K，BULDYREW S V，HAVLIN S，et al.Mosaic organization of DNA nucleotides［J］.Physical Review E，1994，49（2）：1685-1689. ［4］KANTELHARD J W，ZSCHIEGNER S A，KOSCIELNY-BUND E，etal.Multifactal detrended flunctuation analysis of non⁃stationary time series ［J］.Physica A，2002，316：87-114.［5］胡雪明，宋学锋.深沪股票市场的多重分形分析［J］.数量经济技术经济研究，2003（8）：124-127.［6］NOROUZZADEH P，RAHMANI B.A multifractal detrended fluctuation description of Iranianrial-US dollar 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中国股市的多重分形模型分析
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中国股 市 的 多重 分 形 模 型分 析
马 添翼
（ 中国人 民大学 经 济学 院 ， 北京 １０ ７ ） ０ ８２
［ 作者简介 】 马添翼 ， 吉林松原人 ， 男， 中国人 民大学经济学院数量经济学博 士生， 主要研 究方向为金 融工程 。
［ 基金项 目】 国家 自然科 学基金项 目“ 分形上的分析及其应用” １４ １５ ） 。（ ０７ １０
一
、
弓言 ｌ
（９８ 利用统计分析给出了外汇市场的分形特征。 国内 １ ） ９
… 宁熙宣（Ｏ８引入一些多重分形序参数分析 ２Ｏ） 波动率建模的Ａ Ｃ Ｒ Ｈ和 Ｇ Ｒ Ｈ模型， ＡＣ 这两类模型的共同特 数。 都国雄 、 点是随时间变化的二阶矩， 正是这一个特性使它们能够刻画 我国证券市场特征， 但大多研究都没有提出如何描述金融序 ＿ 副本文将遵循 Ｆｈｒ Ｃｌｔ ｉｅ和 ａｅ ｓ ｖ 出历史数据 的波动率聚集效应和尖峰厚尾 的特性。但是 列的随时间演变的动态模型。ｌ ＡＣ Ｒ Ｈ和 Ｇ Ｒ Ｈ类模型往往只能针对单一时间标度的数据 的方法， ＡＣ 利用多重分形过程建立序列的时变动态模型， 并利 建模 ， 而实际中， 影响金融资产价格的因素往往具有不 同的 用我国证券市场数据进行实证检验。
ｃｑ ，（） （ ）ｒｑ 为上的函数， 则称 ｍ为多重分形测度。 Ｏ 令 ｔ
响可能仅仅持续几天时间。因此针对同一资产的不同时间 Ｄ为［，］ ０１ ０１ ×［ ］的子集， ｒ 为有限区间， 满足如下关系ｌ 标度的数据， 就需要多个 Ａ Ｃ Ｒ Ｈ类模型建模 ， 这就导致 了不