关于共轭极大子群的一个注记

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关于内幂零群结构定理的一个注记

关于内幂零群结构定理的一个注记王玉婷;郝成功【摘要】Minimal nontrivial actions were studied.The equivalent conditions of irreducibility of linear transformations of finite dimensional vector spaces over a field F were generalized to the elementary abelian bining with the concept of minimal nontrivial actions,a necessary and sufficient condition of Hall-Higman's theorem was obtained.As a corollary,a new characterization of the minimal nontrivial actions was given.This new characterization was applied to study when the induced action of a p'-automorphism of a p-group on the Frattini quotient is irreducible.Furthermore,a new proof of Schmidt's theorem is obtained.As a consequence,a new criterion (with a simplified proof) of minimal nonnilpotent groups is developed.%研究了极小非平凡的群作用.将域F上有限维向量空间线性变换不可约的等价条件推广到初等交换P-群上,再结合极小非平凡作用的定义,得到了Hall-Higman简化定理的充要条件形式,从而给出了极小非平凡作用的另一种刻画,利用此种刻画探讨了P-群的一个p'-自同构何时在Frattini商群上的诱导作用不可约,重新证明了Schmidt定理.作为上述两个结果的综合应用,给出了内幂零群结构定理的一个新的描述和简化证明.【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)002【总页数】4页(P99-102)【关键词】内幂零群;极小非平凡作用;不可约;自同构【作者】王玉婷;郝成功【作者单位】山西大学数学科学学院,山西太原030006;山西大学数学科学学院,山西太原030006【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所使用的符号术语大部分是标准的，可参考Isaacs的群论教程[1-2].设G为有限群，如果G的每个真子群均为幂零群，但其本身不是幂零群，则称G为一个内幂零群.这是非常重要的一类临界群，有关临界群的系统研究，可参考陈重穆的专著[3]，本文对此不展开讨论. 1924年， Schmidt首次研究了内幂零群，因此内幂零群在很多文献中也被称为Schmidt群，在很多群论教科书[4]中均有关于内幂零群的结构描述，但并没给出完整的刻画.事实上，关于内幂零群有很多学者都做了深入的研究[5-13]，如何立国[5] 证明了当内幂零群正规Sylow 子群中元为广义中心元时，其为超可解，并且给出了内幂零群中心的几个性质；王坤仁[6] 给出了内幂零群的若干充分条件；李千路[7]证明了广义极小非幂零群可解；罗驰[8]讨论了内幂零群的正规Sylow子群的换位子群，确定了换位子群的一个生成元集. 直到2005年， Ballesterbolinches A等[14]利用极小非PST群类的定理，最终得到了内幂零群结构的完整刻画，但该证明比较复杂.本文从一个新的角度给出了内幂零群结构定理的简化证明.特别地，我们将从线性代数和分裂域的角度，给出p元域上n维向量空间的可逆线性变换为不可约的充要条件，以此为主要技术，再结合改造的Hall-Higman简化定理，最终得到内幂零群定理的初等证明.本文第一个主要结果是将经典的Hall-Higman简化定理加以改进，获得其充要条件形式，从而得到了极小非平凡作用的一个刻画.定理 1 设p为素数，有限群A通过自同构作用在有限p-群(p≠1)上， p|A|，则该作用为极小非平凡作用当且仅当下述两个条件同时成立:1) Cp(A)=Φ(P)，其中Φ(P)为P的Frattini子群；2) A在P/Φ(P)上的诱导作用不可约.作为定理1的应用，我们可得到下述内幂零群结构定理的一个简化证明.定理 2 设G为有限群，则G为内幂零群当且仅当下述三个条件同时成立:其中p,q为不同素数，P∈Sylp(G), 而Q∈Sylq(G)循环；2) CQ(P)=Φ(Q)，CP(Q)=P′，其中Φ(Q)为Q的Frattini子群；3) d(p)=ordq(p)，其中d(p)为P的最小生成元个数， ordq(p)为满足同余方程pr≡1(modq)的最小正整数r.值得指出的是，我们给出的定理2的表述，与经典的内幂零群结构定理(见本文中Schmidt 定理)相比，用数论条件3)替代了原先的不可约条件(即Schmidt定理中的“Q在P/P′上的作用不可约”条件)，这在技术和应用上都是很便利的，有一定的价值和意义.我们先给出一些基本概念及结论.定义 1 设φ∈EndF(V)是域F上有限维向量空间V的一个线性变换，如果V的φ-不变子空间仅有0和V本身，则称φ是V的一个不可约线性变换，也称V是φ-不可约的.下面是不可约线性变换的一个刻画.引理 1 设F为任意域， V是F上的一个有限维向量空间，φ∈EndF(V)为V的一个F-线性变换，则V是φ-不可约的当且仅当φ的特征多项式在F上不可约.证明设dimV=n， c(x)为φ在V上的特征多项式.先证充分性.假设c(x)不可约. 任取W⊆V为φ-不变非零子空间，再取W的一组基ε1,…,εk，并将其扩充为V的一组基ε1,…,εk；εk+1,…,εn，则φ在这组基下的矩阵为其中, A为k×k阶矩阵， B为(n-k)×k阶矩阵， D为(n-k)×(n-k)阶矩阵. 从而c(x)=|xEk-A|·|xEn-k-D|,式中： Ek和En-k分别表示k阶和n-k阶单位矩阵. 因为c(x)不可约，故而必有k=n，即W=V，因此V是φ-不可约的.再证必要性.假设V是φ-不可约的.设c(x)=c1(x)c2(x)为一个非平凡分解，则Vc1(φ)是一个φ-不变子空间，从而有Vc1(φ)=0或Vc1(φ)=V. 对于后一种情形，Vc2(φ)=Vc1(φ)Vc2(φ)=0.所以，不失一般性，假设Vc1(φ)=0. 设degc1(x)=m，则必有m<n. 取v∈V，v≠0，显然W=span{v,vφ,…,vφm-1}是一个φ-不变子空间，且1≤dimW≤m<n. 该矛盾表明φ的特征多项式在F上不可约. 证毕.其次，我们考虑基域F=GF(p)为p元域的情形，其中p为素数. 设m为正整数，使得(m,p)=1. 再设E为多项式xm-1在F上的分裂域，熟知E/F为Galois扩张，并且Galois群Gal(E/F)=〈σ〉为循环群，其中σ如下定义σ∶E→E, σ(a)=ap,σ为E的Frobenius自同构，这些都是域论中的经典结果，细节可见文献[15].若令|E∶F|=o(σ)=r,则熟知r为满足同余方程pr≡1(modm)的最小正整数，即r=ordm(p)为p模m的阶.引理 2 设F=GF(p)，其中p为素数， V是F上的n维向量空间，φ为V上可逆线性变换且pm，其中m为使得φm=idV成立的最小正整数. 如果E为多项式xm-1在F上的一个分裂域，则V是φ-不可约的当且仅当φ在E中至少有一个特征根为m次本原单位根并且n=ordm(p). 特别地，当m为一个素数方幂时，则V是φ-不可约的即等价于n=ordm(p).证明由上述引理1可知V是φ-不可约的当且仅当φ在V上的特征多项式c(x)不可约. 按假设pm，故多项式xm-1在F上的导数为mxm-1≠0，表明xm-1在分裂域E中无重根. 设φ的特征多项式c(x)在E中的全部根为ε1,…,εn，则这些根的集合显然是Gal(E/F)-不变的. 注意到o(φ)=m，故存在某个根，比如说ε1，恰为一个本原的m次单位根. 熟知多项c(x)在F上不可约当且仅当该多项式的Galois群Gal(E/F)在根的集合{ε1,…,εn}上作用传递，显然m次本原单位根ε1所在的Galois轨道长为ordm(p)，由此表明c(x)不可约当且仅当n=ordm(p)，并且存在某个特征根为m次本原单位根. 特别地，当m为一个素数方幂时，显然φ的阶m恰为某个特征根的阶，故存在m次本原单位根. 证毕.我们需要的是引理2的下述推论.引理 3 设V为初等交换p-群， |V|=pn，并且α∈Aut(V)的阶o(α)=pe，其中q≠p为素数，则α在V上不可约当且仅当n=ordqe(p).证明因为V是pn阶初等交换p-群，故可视为p元域F=GF(p)上的向量空间，其线性结构由其加群结构所决定，并且dimF(V)=n. 因此，如果α∈Aut(V)，则α可视为V上的可逆线性变换. 根据上述引理2即得所证结论. 证毕.本文将研究极小非平凡作用，为此先回顾一下相关概念.定义 2 如果有限群A在有限群G上的作用是非平凡的，但在G的每个A-不变的真子群上的作用都是平凡的，则称A在G上的作用为一个极小非平凡的作用.有了上述准备，即可证明本文的主要定理.定理1的证明充分性. 因为Φ(P)<P，故条件1)表明A在P上的作用非平凡. 任取H<P为A-不变的，则由Frattini子群的性质知HΦ(P)<P，从而HΦ(P)/Φ(P)也是P/Φ(P)的一个A-不变的真子群. 根据条件2)可知HΦ(P)=Φ(P)，即H≤Φ(P)=CP(A)，表明A在H上的作用平凡. 因此A在P上的作用是极小非平凡的.必要性. 因为(|A|,|P|)=1，故[P,A,A]=[P,A]，再从作用的极小非平凡性可推出[P,A]=P. 由于Φ(P)是P的特征子群，从而是A-不变的，但显然Φ(P)<P，故A 在Φ(P)上作用平凡，即Φ(P)≤CP(A). 为证反包含，考虑A在上的诱导作用. 注意到P是交换群且[P,A]=P，由Fitting定理[1]知再由可得CP(A)≤Φ(P). 从而CP(A)=Φ(P). 任取为A-不变的，则H也是P的一个A-不变的真子群. 由定义显然H≤CP(A)=Φ(P)，表明A在上的诱导作用不可约.从证明过程不难看出，上述定理条件下总有Φ(P)=P′，据此可得定理1另一个等价形式.推论 1 设p为素数，群A通过自同构作用在非平凡p-群P上， p|A|，则该作用为极小非平凡作用当且仅当下述两个条件均成立:1) CP(A)=P′；2) A在P/P′上的诱导作用不可约.使用定理1，我们先给出内幂零群结构定理的一个简洁证明.Schmidt定理设G为有限群，则G为内幂零群当且仅当G满足下述两个条件: 1) |G|=paqb，其中p,q为互异素数，a,b≥1. 若取P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G)，则P◁G, Q循环；2) CQ(P)=Φ(Q)，CP(Q)=P′，并且Q在P/P′上的作用不可约.证明充分性. 假设条件1)， 2)成立，下面证明G为内幂零群.首先，由条件CQ(P)=Φ(Q)<Q，知G非幂零. 其次，任取H<G，需证H幂零. 由P◁G可知P1=P∩H也是H的一个正规的Sylow p-子群. 再取Q1∈Sylq(H)，必要时可把H替换为其一个共轭不改变幂零性，不妨设Q1≤Q. 分两种情形说明H幂零.i) 若Q1<Q，注意到Q循环，因此Φ(Q)为Q的唯一极大子群，从而Q1≤Φ(Q). 故由条件2)可知Q1中心化P更中心化P1，表明H为幂零群.ii) 若Q1=Q，则P1<P，此时P1为P的一个Q-不变的真子群，故可被Q中心化，又导致H为幂零群，所以G为内幂零群.必要性. 根据文献[16]第四章的定理4.2可知条件1)成立，下面证明条件2)成立. 假设G为内幂零群，则PΦ(Q)<G为幂零群，故Φ(Q)中心化P；但Q循环，故Φ(Q)为Q唯一的极大子群，而G非幂零，迫使Q不中心化P，只有CQ(P)=Φ(Q). 任取H<G为Q-不变的子群，仍由HQ<G为幂零群推出Q中心化H，表明Q在P上的共轭作用即为一个极小非平凡作用，应用定理1可知条件2)中其余两个条件也成立. 证毕.现在使用引理3，进一步改进Q在P/P′上的作用不可约的条件，即证定理2.定理2的证明充分性. 根据引理3，由条件3)可知Q在P/P′上的作用不可约，再根据上述Schmidt定理，即证G为内幂零群.必要性. 若G为内幂零群，则根据Schmidt定理，知条件1)和2)均成立，并且Q在P/P′上的作用不可约，此时再利用引理3，即证条件3)也成立. 证毕.【相关文献】[1]Isaacs I M. Finite Group Theory[M]. Rhode Island: American Mathernatical Society Providence， 2008.[2]Robinson D J S. A Course in the Theory of Groups[M]. New York: Springer-Verlag，1982.[3]陈重穆. 内外∑-群与极小非∑-群[M]. 重庆: 西南师范大学出版社， 1988.[4]徐明曜，黄建华，李慧陵，等. 有限群导引(下册)[M]. 北京: 科学出版社， 1999.[5]何立国. 有限内幂零群的几个性质[J]. 哈尔滨师范大学自然科学学报， 1998， 14(4)： 15-17. He Liguo. Some Properties of finite inner nilpotent groups[J]. Natural Sciences Journal of Harbin Normal University， 1998， 14(4)： 15-17. (in Chinese)[6]王坤仁. 极小子群与幂零性[J]. 四川师范大学学报自然科学版， 1995， 18(2)： 16-20. Wang Kunren. Minmal subgroups and nilpotency[J]. Journal of Sichuan Normal University (Natural Science)， 1995， 18(2)： 16-20. (in Chinese)[7]李千路. 广义极小非幂零群[J]. 山西大同大学学报(自然科学版)， 2010， 26(4)： 1-2. Li Qianlu. Generalized minimal non-nilpotent groups[J]. Journal of Shanxi Datong University (Natural Science)， 2010， 26(4)： 1-2. (in Chinese)[8]罗驰. 关于极小非幂零群的正规Sylow子群的换位子群的生成元集[J]. 四川大学学报(自然科学版)， 2004， 41(5)： 948-951. Luo Chi. On a set of generate elements of the commuatator subgroup of the normal sylow subgroup of a minimal non-nilpotent group[J]. Journal of Sichuan University (Natural Science)， 2004， 41(5)： 948-951. (in Chinese)[9]游泰杰. 关于内幂零群和Schmidt定理[J]. 贵州师范大学学报(自然科学版)， 1993， 11(4)：32-36. You Taijie. On the schmidt groups and a schmidt theorem[J]. Journal of Guizhou Normal University (Natural Science)， 1993， 11(4)： 32-36. (in Chinese)[10]Jin H K， Yan W. Real genus of minimal nonnilpotent groups[J]. Journal of Algebra，2004， 281(1)： 150-160.[11]Niemenmaa M. A characterization of minimal nonnilpotent groups[J]. Archiv der Mathematik， 1982， 38(1)： 385-387.[12]Brandl R， Franciosi S， Degiovanni F. Minimal non-nilpotent groups as automorphism groups[J]. Monatshefte Für Mathematik， 1991， 112(2)： 89-98.[13]Pálfy P P. Isomorphism types of minimal non-nilpotent groups[J]. Archiv der Mathematik， 1990， 55(3)： 224-230.[14]Ballesterbolinches A， Estebanromero R， Robinson D. On finite minimal non-nilpotent groups[J]. 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关于循环群和交换群的等价刻画

关于循环群和交换群的等价刻画史江涛; 毕凌霄; 李娜【期刊名称】《《云南民族大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(028)006【总页数】3页(P563-565)【关键词】循环群; 交换群; 极小子群; 初等交换子群; 正规化子【作者】史江涛; 毕凌霄; 李娜【作者单位】烟台大学数学与信息科学学院烟台264005【正文语种】中文【中图分类】O152.10 引言设G为有限群,A是G的子群.用NG(A)={g∈G|Ag=g-1Ag=A}表示A在G中的正规化子,CG(A)={g∈G|ag=ga,∀a∈A}表示A在G中的中心化子.Zassenhaus 在文献[1]定理7中证明了：如果有限群G的每个交换子群的正规化子皆等于它的中心化子,则G是交换群(亦可参考[2]定理3.6.6).在文献[3]定理0.3中,陈重穆进一步证明了:若G的每一个交换(Abel)p-子群的正规化子一致于其中心化子,则G为交换群(Abel).作为上述结果的改进,李世荣、史江涛和何宣丽在文献[4]推论2.1中,证明了：有限群G交换当且仅当对每个二元生成交换p-子群及初等交换p-子群A 均有CG(A)=NG(A),p为|G|的任一素因子.沈如林、史江涛和施武杰在文献[5]定理2.1中仅考虑子群的正规化子给出了循环群的一个刻画:设G为有限群,则G循环当且仅当对每个极小子群X均有NG(X)循环．在这个结论的证明中我们用到了内循环群的分类.在文献[6]中史江涛对这个刻画做了进一步讨论,但是在证明中用到了有限p-群的一个结构性质：其中心大于1. 在本文中,我们将不应用内循环群的分类以及有限p-群的中心大于1的特性,用初等的方法给出文献[5]定理2.1一个新的证明.我们将用初等方法证明交换群的一个等价刻画：定理1 有限群G交换当且仅当G的每个初等交换子群的正规化子皆是交换群.注记1 在定理1中,如果假设有限群G的每个循环子群的正规化子都是交换群,则得不到G是交换群.反例：在四次交错群A4中,2阶循环子群的正规化子是4阶的初等交换2-群,3阶循环子群的正规化子等于它自身,都是交换群,但A4是非交换的.1 引理引理1文献[2]例1.3.14 设G是有限群,H<G,则H的所有共轭子群的并集为G的真子集.引理2文献[2]命题1.4.7 若K是H的特征子群,H是G的正规子群,则K是G的正规子群.2 文献[5]定理2.1的初等证明证明只需证充分性.在证明G为循环群之前先证G是交换群.反证,假设G非交换.令A为G的任一极大交换子群,下证A=NG(A).首先,显然有A≤NG(A).取X为A的一个极小子群,有A≤NG(X).由题设条件知NG(X)循环.于是A也循环.由A为G的极大交换子群,有A=NG(X).因为A是循环群且而X≤A,得于是有NG(A)≤NG(X).从而NG(A)≤A.故A=NG(A).下证对于G的任意两个不同的极大交换子群A和B,有A∩B=1.反证,若A∩B≠1,由上面讨论知A和B皆是循环群.因为交换群的子群皆是正规子群,有且于是取X为A∩B的一个极小子群,因为A∩B是循环群,则说明〈A,B〉≤NG(X).由题设条件NG(X)循环,于是〈A,B〉也循环.但是〈A,B〉>A,与A是G的极大交换子群矛盾,故A∩B=1.因为G非交换,对于极大交换子A有A<G,由引理1,知因此存在h∈G但h不包含在A的任一共轭子群内.设B为G的极大交换子群满足〈h〉≤B,这里B与A不共轭.由上面的讨论知,∀x,y∈G,Ax∩By=1.设|A|=m1,|B|=m2,则|G∶ NG(A)|=|G∶ A|=n1,|G∶ NG(B)|=|G∶ B|=n2.于是有和因为所以有得注意这里m1≥2,m2≥2,于是得到矛盾.说明假设不成立,故G是交换群.又交换群的极小子群都是它的正规子群,进而由题设条件知G是循环群.3 定理1的初等证明证明同样只需要证明充分性.反证,假设G非交换.对于G的任一极大交换子群A,令Y为A的一个极大初等交换子群,则Y是A的特征子群.由知A≤NG(Y).由题设条件,NG(Y)是交换群A.考虑A的极大性,有A=NG(Y).因为Y是A的特征子群且A正规于NG(A),由引理2,得于是NG(A)≤NG(Y),又A=NG(Y),有NG(A)≤A，因此A=NG(A).设A和B是G的任两个不同的极大交换子群,如果A∩B≠1,令Y为A∩B的一个极大初等交换子群.由且知这里Y是A∩B的特征子群,于是由引理2,有于是〈A,B〉≤NG(Y).由题设知NG(Y)交换,说明〈A,B〉也是交换群.这里A和B是G的两个不同的子群,有〈A,B〉>A,这与A是G的极大交换子群矛盾,故A∩B=1.对于G的任一极大交换子群A,因为A<G,由引理1,有则必存在G的极大交换子群B使得B不与A共轭.设|A|=m1,则|G∶ NG(A)|=|G∶ A|=n1;设|B|=m2,则|G∶ NG(B)|=|G∶B|=n2.由于G的任两个不同的极大交换子群的交都是1,则分别有以及因此有移项整理得,又m1≥2,m2≥2,于是有这是矛盾的,由反证法知G是交换群.参考文献:【相关文献】[1] ZASSENHAUS H J.A group-theoretic proof of a theorem of MacLagan-Wedderburn [J].Glasgow Mathematical Journal,1952,1(2):53-63.[2] 徐明曜.有限群初步[M].北京:科学出版社,2014.[3] 陈重穆.内外-∑群与极小非∑群[M].重庆:西南师范大学出版社,1998.[4] 李世荣,史江涛,何宣丽.交换群和循环群的若干充分必要条件[J].广西科学,2006,13(1):1-3.[5] 沈如林,史江涛,施武杰.极小子群与有限群的结构研究[J].苏州大学学报(自然科学版),2009,25(1):1-3.[6] SHI Jiang-tao.A note on finite groups in which the normalizer of every minimal subgroup is cyclic or abelian [J].South Asian Journal of Mathematics,2012,2(2):119-121.。

群论基本知识及一些重要定理

群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。

Sylow Theorem

第11卷第4期2009年8月安顺学院学报JOURNAL OF ANSH UN UNIVERS ITYVol 11 No 4A ug 2009收稿日期:2008-12-18基金项目:贵州省教育厅自然科学基金资助(立项号:黔教高发(2008)364号)。

作者简介:1 黄宝勤(1981~),男,硕士,安顺学院数计系讲师。

研究方向:基础代数。

2 令狐荣涛(1960~),男,安顺学院数计系教授。

研究方向:基础代数、数学教育。

Sylow 定理的注记及其应用黄宝勤1令狐荣涛2(1、2 安顺学院数计系,贵州安顺561000)摘要:Sylow 定理作为研究群论特别是有限群的重要工具,对Sy low 定理的深刻理解对从事有限群论的研究有着重要的意义。

文章主要通过不同教材中关于Sylo w 定理的不同描述的比较来加深对Sylo w 定理的理解,并举例说明Sylow 定理的应用。

关键词:Sylow 定理;Sylow p-子群;有限群;共轭中图分类号:O152 文献标识N r 码:A 文章编号:1673-9507(2009)04-0089-031引言由Lagr ange 定理知道,一个有限群G 的任意一个子群H 的阶|H |,一定是群G 的阶|G |的因数。

而且如果G 是循环群,则对群G 的阶|G |的每一个因子m,有且仅有一个m 阶子群。

但是对一般有限群G 来说,对|G |的任一个因数m,G 未必有m 阶子群。

比如4次交错群A 4的阶是12,它有2阶,3阶与4阶子群,但没有6阶子群。

又比如n 次交错群A n (n 5)是单群,A n 的阶为n!/2,A n 不含任何阶为n !/4的子群,否则A n 将有一个指数为2的子群,从而N p 含有一个正规子群。

这与A n 是单群矛盾。

如果对一般有限群G 的阶|G |的因子m 作一些适当的限制,就可以证明有限群G 的m 阶子群的存在性。

这方面最重要的结果是挪威科学家L Sy low 于1872年发现的所谓Sy low 定理,Sy low 定理不仅指出了一类子群的存在性,还讨论了这类子群的一些性质。

Wielandt定理与非幂零极大子群指数皆为素数的有限群

第28卷㊀第3期2023年6月㊀哈尔滨理工大学学报JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY㊀Vol.28No.3Jun.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Wielandt 定理与非幂零极大子群指数皆为素数的有限群田云凤,㊀史江涛,㊀刘文静(烟台大学数学与信息科学学院,山东烟台264005)摘㊀要:为了进一步研究每个非幂零极大子群的指数皆为素数的有限群的可解性,使用反证法和极小阶反例的方法,并结合应用Wielandt 给出的一个关于具有幂零Hall -子群(不是Sylow -子群)的有限群G 的结构刻画的定理,得到了一个较为初等的关于每个非幂零极大子群的指数皆为素数的有限群G 的可解性的证明㊂该证明没有应用Glauberman-Thompson p -幂零准则和Rose 的关于具有幂零极大子群的非交换单群的分类和关于具有幂零极大子群且中心等于1的非可解群的刻画,这改进了之前在相关的研究文献中关于这个结论的证明㊂关键词:Wielandt 定理;非幂零极大子群;指数;素数;可解DOI :10.15938/j.jhust.2023.03.017中图分类号:O152.1文献标志码:A文章编号:1007-2683(2023)03-0140-04Wielandtᶄs Theorem and Finite Groups with Every Non-nilpotent Maximal Subgroup with Prime IndexTIAN Yunfeng,㊀SHI Jiangtao,㊀LIU Wenjing(School of Mathematics and Information Sciences,Yantai University,Yantai 264005,China)Abstract :In order to give a further study of the solvability of a finite group in which every non-nilpotent maximal subgroup hasprime index,the methods of the proof by contradiction and the counterexample of the smallest order and a theorem of Wielandt on the characterization of the structure of a finite group G with a nilpotent Hall-subgroup which is not a Sylow subgroup are applied to obtain a more elementary proof of the solvability of a finite group in which every non-nilpotent maximal subgroup has prime index.The proof does not apply the Glauberman-Thompson p -nilpotent criterion and Roseᶄs two results on a classification of non-abelian simple groups with nilpotent maximal subgroup and a characterization of non-solvable group with nilpotent maximal subgroup and trivial centerrespectively,which improves the proof of the result in the relevant research references.Keywords :Wielandtᶄs theorem;non-nilpotent maximal subgroup;index;prime;solvable㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2022-03-01基金项目:国家自然科学基金(11761079);山东省自然科学基金(ZR2017MA022;ZR2020MA044);烟台大学研究生科研创新基金(GGI-FYTU2312).作者简介:田云凤(1998 ),女,硕士研究生;刘文静(1997 ),女,硕士研究生.通信作者:史江涛(1980 ),男,博士,副教授,硕士研究生导师,E-mail:jiangtaoshi@.0㊀引㊀言本文讨论的群都是有限群,所用符号都是标准的,见文[1]㊂对于群的一般极大子群,Guralnick 在文[2]中证明了如果群G 的每一极大子群的指数皆为素数幂,则G /O ɕG ≅1或PSL (2,7),其中O ɕG为G 的最大的正规可解子群.Huppert 定理(见文[1]第IX 章定理1.12)证明了群G 是超可解群当且仅当G 的所有极大子群的指数是素数㊂对于具有幂零极大子群的群,Thompson 定理(见文[3]定理10.4.2)证明了如果群G 具有一个奇数阶幂零极大子群M ,则G 可解㊂王宏在定理3中证明了对于具有幂零极大子群和交换Sylow 2-子群的群G ,如果G的奇素数阶子群都是半正规的,则G有亏零2-块的充分必要条件是O2(G)=1㊂考虑群的非幂零极大子群,文[5]证明了如果群G的每一非幂零极大子群的指数为素数幂,则G/S(G)≅1或PSL(2,7),其中S(G)为G的最大的可解正规子群㊂文[6]定理1.1得到了对于非可解群G的阶的任意素因子p,G中均存在阶能被p 整除的非幂零极大子群㊂文[7]定理1.1和定理1.3分别刻画了非幂零极大子群共轭类类数等于2的群的可解性和非幂零极大子群同阶类类数等于2的非可解群的结构㊂文[8]定理2给出了非可解群所含非幂零极大子群个数的一个下界㊂对于每个非幂零极大子群皆正规的群,文[9]引理4㊁文[10]定理1.3和定理3.5㊁文[11]定理1和文[12]定理1.1分别从不同的角度证明了该类群是可解群㊂特别地,文[13]定理5在非幂零极大子群皆正规的群是可解群的基础上进一步证明了该类群具有Sylow塔,而作为文[13]定理5的证明的改进,文[14]定理1的证明不需要用到非幂零极大子群皆正规的群的可解性,直接证明了该类群具有Sylow塔㊂1㊀主要结果与预备引理进一步考虑每个非幂零极大子群指数皆为素数的群,文[10]定理1.2(1)㊁文[15]定理1.3和文[16]定理7分别从不同的角度证明了下述结论成立:定理1[10,15,16]㊀如果群G的每个非幂零极大子群的指数皆为素数,则G可解㊂文[17]在定理1中的群是可解群的基础上,进一步证明了该类群具有Sylow塔㊂文[18]在定理1中的群是可解群的基础上刻画了该类群的子群结构㊂需要指出的是,在文[10]定理1.2(1)的证明中用到了下面的Glauberman-Thompson p-幂零准则:定理2[1]㊀设G为群,p为奇素数,PɪSyl p(G)㊂若N G(Z(J(P))有正规p-补,则G也有正规p-补,其中J(P)是P的Thompson子群㊂在文[15]定理1.3的证明中用到的关键定理是Rose在文[19]中给出的关于具有幂零极大子群的非交换单群的分类刻画和关于具有幂零极大子群且中心等于1的非可解群的刻画:定理3[19]㊀具有幂零极大子群的非交换单群必为某个射影特殊线性群PSL(2,p),其中p为大于等于17的费马素数或梅森素数㊂定理4[19]㊀设G是一个具有幂零极大子群M 的非可解群,若Z(G)=1,则M是G的Sylow2-子群㊂在文[16]定理7的证明中用到的关键定理为上述定理4㊂在文[20]第四章定理7.3中,Wielandt定理给出了具有幂零Hall-子群的群G的结构刻画:定理5[20]㊀设H是群G的幂零Hall-子群但不是Sylow子群㊂假若对于|H|的任一素因子p,H 的Sylow p-子群P都满足N G(P)=H,那么存在G 的正规子群K使得G=KH且KɘH=1㊂在本文中,我们将不应用上述定理2㊁定理3和定理4,使用反证法和极小阶反例的方法,并结合应用上述定理5给出关于上述定理1的一个较为初等的新证明,我们的证明改进了文[10]定理1.2(1)㊁文[15]定理1.3和文[16]定理7中的证明㊂引理1[3]㊀假设群G的每个极大子群皆幂零但G自身非幂零,则G可解㊂引理2[1]㊀令p是群G的阶的最大素因子,PɪSyl p(G),那么或者P正规于G,或者包含N G(P)的极大子群有合数指数㊂引理3[3]㊀如果群G具有一个奇数阶的幂零极大子群,则G可解㊂引理4[21]㊀设G为非交换单群,πt(G)是G的所有极大子群指数的集合㊂如果πt(G)中存在一个素数p,则p必为|G|的最大素因子㊂2㊀定理1的新证明证明:设G为极小阶反例㊂如果群G的每个极大子群皆幂零,因为G非幂零,则G是内幂零群,由引理1知G可解,矛盾㊂如果G的每个极大子群皆非幂零,由题设知G的每个极大子群的指数皆为素数,则G为超可解群,亦有G可解,矛盾㊂故G既有幂零极大子群亦有非幂零极大子群㊂设p为|G|的最大素因子,因为G非可解,则p 必为奇素数㊂设PɪSyl p(G)㊂若P正规于G,显然商群G/P满足题设条件且|G/P|<|G|,由G为极小阶反例知G/P可解,从而G可解,矛盾㊂故P不正规于G㊂特别地,G不含可解的非平凡正规子群㊂141第3期田云凤等:Wielandt定理与非幂零极大子群指数皆为素数的有限群由引理2知G 的包含N G (P )的极大子群具有合数指数㊂由题设,N G (P )只能包含在G 的某个幂零极大子群内㊂不妨设M 为G 的幂零极大子群使得N G (P )ɤM ㊂先证M 是G 的Hall -子群㊂反证,假设M 不是G 的Hall -子群,则|M |存在一个素因子q 使得M 的Sylow q -子群不是G 的Sylow q -子群㊂不妨设Q 1ɪSyl q (M )和Q ɪSyl q (G )使得Q 1<Q ,则存在Q 2ɤQ 使得Q 1<Q 2且|Q 2ʒQ 1|=q ,于是Q 1正规于Q 2㊂又因为M 幂零,知N G (Q 1)ȡ M ,Q 2⓪>M ㊂由M 为G 的极大子群得N G (Q 1)=G ,说明Q 1正规于G ,与G 不含可解的非平凡正规子群矛盾㊂故M 是G 的Hall -子群㊂下证M 不是G 的Sylow 子群㊂反证㊂如果M 是G 的Sylow 子群,因为M ȡN G (P ),则有M =N G (P )=P ㊂注意p 为奇素数,于是M 是G 的奇阶幂零极大子群,由引理3知G 可解,矛盾㊂故M 不是G 的Sylow 子群㊂设w 为|M |的任一素因子,令W ɪSyl w (M ),因为M 幂零,则M ɤN G (W )㊂又M 为G 的极大子群且G 不含可解的非平凡正规子群,所以必有N G (W )=M ㊂由定理5知,存在G 的正规子群H ,使得G =HM 且H ɘM =1,即G 为H 和M 的半直积㊂因为M 是G 的极大子群,知H 必为G 的极小正规子群㊂又H 非可解,于是H 为若干同构的非交换单群的直积㊂不妨设H =H 1ˑH 2ˑ ˑH m ,其中∀1ɤi ɤj ɤm 都有H i ≅H j ㊂设r 是|H |的最大素因子,则r 是奇素数㊂注意r 亦为每一个|H i |的最大素因子㊂因为M 是G 的Hall -子群,故r 不整除|M |㊂令R ɪSyl r (H ),则R 亦为G 的Sylow r -子群㊂显然R 不正规于G ,于是N G (R )<G ㊂设K 为G 的极大子群使得N G (R )ɤK ㊂由Frattini 论断,知G =HN G (R )=HK ㊂下面对K 分幂零和非幂零两种情形进行讨论:如果K 幂零,因为G =HM =HK ,则|HM |=|HK |,即|H ||M |=|H ||K ||H ɘK |㊂于是|M |=|K ||H ɘK |整除|K |㊂因为K 为G 的幂零极大子群,类似上面关于M 的讨论,知K 为G 的Hall -子群但不是G 的Sylow 子群㊂设s 是|M |的任一素因子,则s ||K |㊂令S 1ɪSyl s (M )和S 2ɪSyl s (K ),则S 1和S 2都是G的Sylow s -子群㊂因此,存在g ɪG ,使得S 1=S g 2㊂因为S 2ɤK ,所以S g2ɤK g㊂由K 幂零知K g亦幂零㊂注意R g ɤK g 且r ʂs ,则S g2和R g 可交换,即S 1和R g可交换㊂于是R g ɤN G (S 1)㊂又M ɤN G (S 1),因此N G (S 1)ȡ M ,R g ⓪㊂又r 不整除|M |,所以 M ,R g ⓪>M ,得N G (S 1)ȡ M ,R g ⓪>M ,从而有S 1正规于G ,矛盾㊂如果K 非幂零,由题设知|G ʒK |为素数,设该素数为t ㊂因为K ȡN G (R ),所以t ʂr ㊂由于G =HK ,知|G ʒK |=|HK ʒK |=|H ʒH ɘK |=t ʂr ㊂则H ɘK 是H 的极大子群㊂注意H =H 1ˑH 2ˑ ˑH m ,于是必然存在某个H i ,使得H i 不包含于H ɘK ㊂不妨设H 1不包含于H ɘK ,因为H 1正规于H 且H ɘK 是H 的极大子群,则H =H 1(H ɘK )㊂于是|H ʒH ɘK |=|H 1(H ɘK )ʒH ɘK |=|H 1ʒH 1ɘ(H ɘK )|=|H 1ʒ(H 1ɘK )|=t ʂr ,知非交换单群H 1有一个指数为素数t 的极大子群H 1ɘK ㊂由引理4知,t 必为|H 1|的最大素因子㊂进而t 必为|H |的最大素因子,这与r 是|H |的最大素因子且t ʂr 矛盾㊂综上讨论,说明极小阶反例不存在,故G 是可解的㊂证毕㊂参考文献:[1]㊀徐明曜,黄建华,李慧陵,李世荣.有限群导引(下册)[M].北京:科学出版社,1999.[2]㊀GURALNICK R.M..Subgroups of Prime Power Index in a Simple Group[J].Journal of Algebra,1983,81:304.[3]㊀ROBINSON D.J.S..A Course in the Theory of Groups [M].New York:Springer,2003.[4]㊀王宏,钱方生.某些子群是半正规的有限群亏零块的存在性[J ].哈尔滨理工大学学报,2020,25(4):167.WANG Hong,QIAN Fangsheng.The Existence of p -blocks of Defect 0in a Finite Groups with Some Sub-groups Being Seminormal[J].Journal of Harbin Universi-ty of Science and Technology,2020,25(4):167.[5]㊀郭秀云.非幂零极大子群指数为素数幂的有限群[J].数学年刊:A 辑,1994,15(6):721.GUO Xiuyun.Finite Groups in Which Every Non-nilpo-tent Maximal Subgroup Has Prime Power Index[J].Chi-nese Annals of Mathematics.Series A,1994,15(6):721.[6]㊀SHI Jiangtao,LI Na,SHEN Rulin,Finite Groups inWhich Every Maximal Subgroup is Nilpotent or Normal or Has pᶄ-order [J].International Journal of Algebra andComputation,2023,33(5):1055.[7]㊀史江涛,张翠,申振才.非幂零极大子群共轭类类数给定的有限群[J].数学的实践与认识,2013,43241哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀(7):190.SHI Jiangtao,ZHANG Cui,SHEN Zhencai.FiniteGroups with a Given Number of Conjugacy Classes ofNon-nilpotent Maximal Subgroups[J].Mathematics inPractice and Theory,2013,43(7):190. [8]㊀卢家宽,陈婵婵,王申洋.非幂零极大子群个数的2个下界[J].云南民族大学学报(自然科学版),2020,29(5):447.LU Jiakuan,CHEN Chanchan,WANG Shenyang.TwoLower Bounds on the Number of Non-nilpotent MaximalSubgroups in a Finite Group[J].Journal of Yunnan Min-zu University(Natural Sciences Edition),2020,29(5):447.[9]㊀史江涛,张翠,郭松涛.关于Shlyk定理的一个注记[J].广西师范大学学报(自然科学版),2012,30(1):22.SHI Jiangtao,ZHANG Cui,GUO Songtao.A Note onTheorem of Shlyk[J].Journal of Guangxi Normal Uni-versity(Natural Science Edition),2012,30(1):22.[10]LU Jiakuan,PANG Linna,ZHONG Xianggui.FiniteGroups with Non-nilpotent Maximal Subgroups[J].Monatshefte Für Mathematik,2013,171:425. [11]史江涛.关于非幂零极大子群皆正规的有限群的一个注记[J].云南民族大学学报(自然科学版),2017,26(4):290.SHI Jiangtao.A Note on a Finite Group in Which AllNon-nilpotent Maximal Subgroups are Normal[J].Jour-nal of Yunnan Minzu University(Natural Sciences Edi-tion),2017,26(4):290.[12]LI Na,SHI Jiangtao.A Note on a Finite Group with AllNon-nilpotent Maximal Subgroups Being Normal[J].Ital-ian Journal of Pure and Applied Mathematics,2019,42:700.[13]SHI Jiangtao.A Finite Group in Which All Non-nilpotentMaximal Subgroups are Normal has a Sylow Tower[J].Hokkaido Mathematical Journal,2019,48(2):309.[14]史江涛,任惠瑄.关于非幂零极大子群皆正规的有限群具有Sylow塔的注记[J].山东大学学报(理学版),2021,56(8):58.SHI Jiangtao,REN Huixuan.A Note on a Finite Groupin Which All Non-nilpotent Maximal Subgroups are Nor-mal has a Sylow Tower[J].Journal of Shandong Univer-sity(Natural Science),2021,56(8):58. [15]ZHANG Cui.A Note on Finite Groups with the Indices ofSome Maximal Subgroups Being primes[J].InternationalJournal of Group Theory,2017,6(2):17. [16]史江涛,张翠.关于极大子群指数的一个注记II[J].烟台大学学报(自然科学与工程版),2016,29(4):235.SHI Jiangtao,ZHANG Cui.A Note on Indices of Maxi-mal Subgroups II[J].Journal of Yantai University(Nat-ural Science and Engineering Edition),2016,29(4):235.[17]SHI Jiangtao.Sylow Towers in Groups Where the Index ofEvery Non-nilpotent Maximal Dubgroup is Prime[J].Journal of Algebra and Its Applications,2018,17(7):1850119.[18]YI Xiaolan,JIANG Shiyang,KAMORNIKOV S.F..Fi-nite Groups with Given Non-nilpotent Maximal Subgroupsof Prime Index[J].Journal of Algebra and Its Applica-tions,2019,18(5):1950087.[19]ROSE J.S..On Finite Insoluble Groups with NilpotentMaximal Subgroups[J].Journal of Algebra,1977,48:182.[20]HUPPERT B..Endliche Gruppen I[M].Berlin/Hei-delberg/New York:Springer-Verlag,1967. [21]SHI Jiangtao,SHI Wujie,ZHANG Cui.A Note on p-nil-potence and Solvability of Finite Groups[J].Journal ofAlgebra,2009,321:1555.(编辑:温泽宇)341第3期田云凤等:Wielandt定理与非幂零极大子群指数皆为素数的有限群。

关于极大核p-模Frobenius群的注记

关于极大核p-模Frobenius群的注记李亚利【摘要】若G是以L为核的p-模Frobenius群,且不存在G的包含L的非平凡正规子群M,使得M/L为一个p-群,则称G是一个有极大核L的p-模Frobenius群.给出了极大核p-模Frobenius群的若干性质.当极大核L所含的G-共轭类数目为2或者3时,考察了极大核p-模Frobenius群的结构.%Let G be a p-modular Frobenius group with kernel L,where p is a prime.If there is no nontrivial normal subgroup M of G which includes M and makes M/L a p-group,then we say G is a p-modular Frobenius group with a maximal kernel L.In this note,we give some properties of a p-module Frobenius group with a maximal kernel.Moreover,we consider the structure of p-modular Frobenius groups with a maximal kernel L,when L is the union of two or three conjugacy classes in G.【期刊名称】《云南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(027)001【总页数】4页(P35-38)【关键词】Frobenius群;p-模Frobenius群;共轭类【作者】李亚利【作者单位】云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650031【正文语种】中文【中图分类】O1520 引言文中所用符号均是标准的，可以参考文献［1-3］．提到的有限群的特征标总是指常特征标．假设G为一个群，用Irr（G）表示G的不可约特征标集合．自1901年德国数学家Frobenius证明了著名的Frobenius定理后，即掀起了人们对于Frobenius群研究的热潮.而Frobenius群的推广也是人们关注的焦点之一，例如关于Camina对、Camina群、con-cos群、（CI）对等［4］的研究就是对Frobenius群的推广.1996年，Kuisch和Waall［5］根据Frobenius群的特征标刻画条件进一步推广了Frobenius群，引进了p-模Frobenius群的定义．定义1 设p为某素数，N是群G的非平凡的正规子群，K为K［N］的分裂域，且char（K）＝p．则满足下列条件之一的群，称为p-模Frobenius群［5］．1）对每个非平凡的不可约K［N］-模V诱导到G上是不可约的；2）对N的每个非平凡的p-正则元x有CG（x）≤N．2011年，范娟娟等［6］给出了p-模Frobenius群的Brauer特征标刻画定义．定义2 设N是群G的非平凡的正规子群，若N的每个非主不可约p-Brauer特征标诱导到G上是不可约的，其中p为某个固定的素数．则G为p-模Frobenius 群，其中N称为p-模Frobenius群G的p-模Frobenius核［6］．从以上定义看出，p-模Frobenius群实际上可以看做Frobenius群在特征为p的域中的推广，但是两者有很大的不同，比如，对某个确定的Frobenius群，我们知道其Frobenius核是唯一的，但p-模Frobenius群的核显然不唯一．事实上：设G是以N为核的p-模Frobenius群，若存在M◁G且可以使得M／N为一个p-群，则∀x∈M0，均有x∈N，因此CG（x）≤N≤M．所以G也是以M为核的p-模Frobenius群．例：G＝（C3×C3）Q8，记N＝C3×C3，则G是以N为核的2-模Frobenius群，显然，G中存在18阶正规子群 M1 ＝（C3×C3）C2和36阶正规子群M2 ＝（C3×C3）C4，且Mi／N（i＝1，2）均为2-群．因此得到G也是以Mi（i＝1，2）为核的2-模Frobenius群．考虑具有极大核的p-模Frobenius群的性质和结构．称G是一个有极大核L的p-模Frobenius群，如果G是以L为核的p-模Frobenius群，且不存在G的包含L的非平凡正规子群M，使得M／L为一个p-群．另外，由p-模Frobenius群定义，本文约定p-模Frobenius群的核不能为p-群．考虑以下2种情况下的极大核p-模Frobenius群的性质和结构．假设a 设G是以L为核的p-模Frobenius群，且L满足：对任意的G的包含L的非平凡正规子群M，M／L为一个p′-群．假设b 设G是以L为核的p-模Frobenius群，且L满足：对任意的G的包含L的非平凡正规子群M，p ｜M／L｜，但是存在素数 q（q≠p），q｜M／L｜．1 预备知识和主要结论下面若干引理是关于p-模Frobenius群的基本性质，为方便起见，列出如下．引理1 设 G是以N为核的p-模 Frobenius群，则 Z（G）＜N≤ G′Op′（G），且 Z（G）是一个 p-群［5］．注意，Frobenius群的Frobenius核是Hall-子群，对于p-模Frobenius群来说，由前面例子我们知道，此结论未必成立，但是可以有下面的结论．引理2 设G是以N为核的p-模Frobenius群，则（｜N｜，｜G／N｜）＝pn，其中n为自然数［4］．另外，知道Frobenius核是幂零群，但对于p-模Frobenius群来讲，p-模Frobenius核有如下的性质结构．引理3 设G是以N为核的p-模Frobenius群，则1）N是可解的或者；2）p＝2且N的任一非循环的合成因子同构于PSL（2，32k），其中k为某正整数．此外，2-模Frobenius群有如下特殊性质．引理4 设G是以N为核的2-模Frobenius群，若N非可解，则G／N是一个2-群［5］．下面给出满足本文引言中条件的极大核p-模Frobenius群的一些性质．命题1 若假设a成立，且假定G′Op′（G）＜G．则P≤ L，其中P∈ Sylp （G）．进一步地，得到（L，G／L）＝1以及L是可解的．证明由引理1知道，L≤ G′Op′（G）．结合假设（a），得到G′Op′（G）／L是一个p′-群，因此P≤ L，其中P∈ Syl p（G）．由于此时｜G／L｜是一个p′-数，所以由引理2得，（｜L｜，｜G／L｜）＝1．此时若假设L非可解，则由引理3知道，p＝2．再结合引理4，得到G／L是一个2-群，这与前面L包含了G的Sylow 2-子群矛盾．故L必是可解的．引理5 设G是以N为核的p-模Frobenius群，令φ1，φ2，…，φk是G的不可约Brauer特征标且N不包含在每个Kerφi（i＝1，2，…，k）中．那么IBr（N）＝k G∶N+1．命题2 若假设a成立，且假定G′Op′（G）＜G．若极大核L的非平凡p-正则共轭类长度 cl#（L0）为奇数或者是2m（其中m为自然数）时，则G是可解群．证明：注意到 cl（L0）＝ IBr（L），故当 cl#（L0）为奇数或者是2m时，由引理5的结论得到，此时相应的，k G∶L为奇数或者是2m，所以得到G／L为奇数或者2m，无论哪种情形，均得到G／L是可解群．再根据命题1，L是可解群，故我们得到G是可解的．命题3 若假设b成立，那么对于任意的素数r：r≠p且r｜L｜，群G的Sylow r-子群包含在L中．证明若设L＝pam，根据（｜L｜，｜G／L｜）＝pα的结论，则可以令｜G｜＝pbmn．由于假设b，所以这里的n＞1．因此命题3显然成立．注意：在命题3中，显然可以得到G的Sylow p-子群不能包含在L中，且必然存在素数t：tn，使得群G的Sylow t-子群T：T∩L＝1．这里的子群T还有其他有趣的性质可见参考文献［5］中定理4．1的结论，这里我们不再赘述．本文的目的是对具有极大核的p-模Frobenius群给以结构上的刻画.当p-模Frobenius群G的核N是群G的极小正规子群时，文献［6］根据N含有的G-共轭类数目对p-模Frobenius群G的结构进行了分类．受此启发，我们对具有极大核的p-模Frobenius群也用类似的方法进行研究．得到了下面的定理．为证明定理，须要下面的引理．引理6 设N是有限群G的正规子群，若N由3个G-共轭类构成，在下列结论之一成立［7］．1）N是一个rs阶的初等可换群，这里的r是奇素数且s是正整数．2）N是一个亚交换r-群，并且N′是阶为rm的初等交换群，这里的r是素数及m 是正整数．3）N是以N′为核的Frobenius群，Frobenius补是q阶的循环群，其中N′是阶rn的初等可换群，这里的q，r都是素数，n是正整数，且q（rn-1）．定理1 设G是以L为极大核的p-模Frobenius群，则1）若L只含有2个G-共轭类，则G是以L为核的Frobenius群，且Frobenius 补的阶为G／L ＝L-1．若此时L是满足假设a的极大核，则进一步得到G只有主Brauer特征标为不可约线性Brauer特征标．2）若L只含有3个G-共轭类，则下列结论之一成立．① G是以L为核的Frobenius群，且Frobenius补的阶G／L＝（L-1）／2．并且若 L满足假设 a时，群G只有主Brauer特征标1G0为不可约线性Brauer特征标．② G是以L为核的Frobenius群，其中L是一个亚交换r-群，并且L′是阶为rm的初等交换群，这里的r是素数及m是正整数．③ G是以L为核的Frobenius群．L是以L′为核的Frobenius群，Frobenius补是q阶的循环群，其中L′是阶rn的初等可换群，这里的q，r都是素数，n是正整数，且q（rn-1）．q≠ p，r≠ p．④L的结构同上③，其中q＝p或者r＝p．证明 1）当L只含有2个G-共轭类时，则L中任何非平凡元之间均是G-共轭，因此它们的阶均相同，设素数q ｜L｜，则L中必然存在q阶元，因此L为q-群，且L作为p-模Frobenius群的p-模Frobenius核，我们已经规定L不能是p-群，故q≠p．从而根据G是以L为核的p-模Frobenius群的定义得到：∀1≠x∈L，CG（x）≤L，这说明G是以L为核的Frobenius群．接下来我们探讨Frobenius 补的阶G／L．据Frobenius群的性质可以知道，如果令χ1，χ2，…，χk是 G的不可约特征标且 L不包含在每个Kerχi（i＝1，2，…，k）中，那么 Irr（L）＝k G∶L+1．由于G作用Irr（L）在上有2个轨道，因此k＝1．又注意到L可换，所以L＝Irr（L）．故综上我们得到L＝G∶L+1．也即Frobenius补的阶G／L ＝L-1．此外，当L满足假设a时，如果G′Op′（G）＜G，由命题5得到群G的Sylowp-子群要包含在L中，这显然与L为q-群相矛盾，故我们得到G′Op′（G）＝G，这即说明群G的线性Brauer特征标只有一个，即主Brauer特征标1G0．2）当L只含有3个G-共轭类时，由引理6，须要对L分以下3种情况分析．情形ⅠL是一个rs阶的初等可换群，这里的r是奇素数且s是正整数．首先容易知道，r≠p．因此，G是以L为核的Frobenius群．同上的分析，因为L 只含有3个G-共轭类，所以 Irr（L）＝2 G∶L+1．进而得到Frobenius补的阶G／L＝（L-1）／2．并且同上可以得到，若L满足假设a时，群G只有主Brauer特征标1G0为不可约线性Brauer特征标．情形Ⅱ L是一个亚交换r-群，并且L′是阶为rm的初等交换群，这里的r是素数及m是正整数．易知道，r≠p．因此，G是以L为核的Frobenius群．并且同上可以得到，若L满足假设a时，群G只有主Brauer特征标1G0为不可约线性Brauer特征标．情形ⅢL是以L′为核的Frobenius群，Frobenius补是q阶的循环群，其中L′是阶rn的初等可换群，这里的q，r都是素数，n是正整数，且q（rn-1）．因为q，r不能同时为p，所以有2种情形．1）q≠p，r≠p，此时G是以L为核的Frobenius群．2）q，r中只有一个等于p．由前面命题可以得到，此时若L满足假设a及成立G′Op′（G）＜G，或者假设b成立，我们均可以得到L中必然含有G的Sylow-子群．参考文献：［1］HUPPERT B.Endliche gruppen I［M］.Berlin：Springer-Verlag，1967. ［2］ISAACSI M.Character theory of finite groups［M］.New York：Academic Press，1976.［3］NAVARRO G.Characters and blocks of finite groups［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1998.［4］范娟娟.某些模Frobenius群的分类［D］.厦门：厦门大学，2011.［5］KUISCH E B，van der WAALL R W.Modular Frobenius groups［J］.Manuscripta Mathematica，1996，90（1）：403-427.［6］FAN J，DU N，ZENGJ.The classification of some modular Frobenius groups［J］.Bulletin of the Australian Mathematical Society，2012，85（1）：11-18.［7］SHAHRYARI M，SHAHABI M A.Subgroups which are the union of three conjugate classes［J］.Journal of Algebra，1998，207（1）：326-332.［8］林屏峰.二元关系半群的一类左单位的构造［J］.西南民族大学（自然科学版），2016，42（1）：96-98.。

正规子群求解方法的一个注记

正规子群求解方法的一个注记陈一萍【摘要】Cayley定理是抽象代数中一个非常重要的定理.因为这个定理建立了抽象的有限群G和一个具体群S n之间的联系.即G同构于S n的一个子群.所以,对于Sn的子群的研究就显得尤其重要.但是,在教学实践中,学生只是通过定义来求Sn或是S n的子群的正规子群往往是很困难的事情.本文给出了在群论和表示论中经常用到求Sn的正规子群的一种方法.通过这种方法,希望可以加深学生对相应知识的理解.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)001【总页数】4页(P80-83)【关键词】对称群;正规子群;共轭关系;共轭类【作者】陈一萍【作者单位】武汉大学数学与统计学学院,武汉 430072【正文语种】中文【中图分类】O152.11 引言给定一个有限群G，如何确定G的结构是群论中的一个主要问题.Cayley定理是抽象代数中很重要的一个定理.因为这个定理给出了研究抽象的有限群的一种表示论的看法.根据Cayley定理的叙述：设G是阶为n的群，则G同构于Sn的一个子群.这样，有限的抽象群就可以用一个具体的对称群表示出来.如果想要弄清所有的有限群的结构，就只需要弄清楚对称群的所有子群.可是，事实上，这种做法比较困难.但是，尽管如此，对称群的研究对我们理解一般抽象群是十分有益的.在传统教材中[1-2]，我们发现对共轭类，正规子群的叙述较少，在后续的教学研究中有一些新的研究内容涉及这两个问题[3-4].但总体来说内容不多.以至于在实际的教学中，学生在求正规子群时会有很多困难.这些困难的来源一方面在于很多学生不能认真，仔细地完成这项工作；另一方面的原因也在于按照传统教材的叙述如果仅仅是从定义出发，这项工作会变得繁冗，条理不清晰.基于这些原因，我们希望给出求解正规子群的一般方法.这些方法和技巧在研究群论和表示论中被经常用到.但是，在抽象代数教材中又几乎没有涉及.但愿这篇文章能够弥补这个知识点的空缺.按照Cayley定理，研究有限群的正规子群最终归结为研究对称群Sn子群的正规子群.在以下几节里，我们将重点讨论这种情形.2 正规子群与共轭类假设G是n阶有限群，H是G的m阶子群.经典的拉格朗日定理表明m是n的因子.假设α和β是G中的两个元素.α与β共轭是指存在G中的元素γ使得α=γβγ-1.共轭关系是一种等价关系，即满足：自反性，对称性和传递性.利用共轭关系可以给出群G中元素的共轭分类.群G中所有和α共轭的元素称为α的共轭类，记作[α].群N是群G的正规子群如果N是G的子群且对于任意g∈G有N=gNg-1.根据正规子群的定义，群G的正规子群是G中一些共轭类的并集.即：相反，从定义可以直接验证：如果G中一些共轭类的并集和单位元构成群，则它一定是G的正规子群.那么，求解群G的正规子群归根结底就是要确定群G的共轭类.在下面一节将要讨论n元对称群的共轭类.3 共轭类和n元置换的型我们首先回忆一下：Sn中任意一个n元置换都可以写成不相交轮换的乘积.假设α=(a11…a1i)(a21…a2j)…(ar1…ark)是{1，…，n}的一个n元置换α的不相交轮换的分解，并且假设1，…，n这些数字在这些轮换中都已经出现.根据n元置换的定义，在α的基础上去掉括号，a11…a1ia21…a2j…ar1…ark是{1，…，n}的一个排列.例如：S5中置换(13)(24)会被记为(13)(24)(5).这样，打开括号后，得到1，…，5的一个排列13245.下面的一个引理给出Sn中共轭地作用下得到的置换与原来的置换之间的关系.定理1 设n元置换α=(a11…a1i)(a21…a2j)…(ar1…ark)，则对于Sn中任意置换γ，有γαγ-1=(γ(a11)…γ(a1i))(γ(a21)…γ(a2j))…(γ(ar1)…γ(ark)).证显然γ(a11)…γ(a1i)γ(a21)…γ(a2j)…γ(ar1)…γ(ark)是1，…，n的一个排列.左边置换作用在γ(a11)后得到γ(a12).右边的置换作用在γ(a11)上得到γ(a12).故此时等式成立.分别带入a12，…，ark至等式两端可以验证等式成立.这个引理表明共轭类中的所有置换在写成不相交轮换分解时候，任何一个特定长度的轮换个数是相同的.记α的循环分解中，长度为l的轮换个数为λl(α)个.显然，λl(α)是一个大于或者等于0的整数.称λl(α)为n元置换α的第l个型函数.符号(λ1(α)，…，λn(α))称为置换α的型.通过定义可知，型函数满足公式λ1(α)+2λ2(α)+…+nλn(α)=n.在下面的引理中，将要说明引理1的逆命题也是成立的.即在Sn中，两个n元置换在写成不相交的循环分解时，每个长度的轮换个数相同，则这两个置换共轭.定理2 在Sn中，置换α和β共轭当且仅当α与β的第l个型函数相同，其中l=1，…，n.证充分性由引理1可得.下面证明必要性.假设α=(a11a12…a1i)…(ar1ar2…ark)，β=(b11b12…b1i)…(br1br2…brk).令由于a11a12…a1ia21…a2j…ar1…ark与b11b12…b1ib21…b2j…br1…brk分别是1，…，n的排列.所以γ∈Sn.由引理1，γαγ-1=(γ(a11)…γ(a1i))…(γ(ar1)…γ(ark))=(b11…b1i)…(br1…brk).引理2表明Sn中的共轭类由置换的型函数完全决定.例如：在S5中，置换(235)(14)与(123)(45)对应的型函数为(0，1，1，0，0)，因而共轭.在数量关系的层面上，利用排列组合的知识可以知道，型为(λ1，…，λn)的置换个数是这个公式给出了Sn中共轭类元素的个数.为了确定置换的型函数，需要整数的划分这个概念.整数n的一个划分是指序列(a1…al)满足a1≥a2≥…≥al>0和a1+a2+…+al=n.例如：假设n=5.则(1，1，1，1，1)，(2，1，1，1)，(2，2，1)，(3，1，1)，(3，2)，(4，1)，(5)是整数5的所有划分.4 总结与举例分析结合第二和第三部分，求解对称群子群的正规子群的方法归纳如下：(a) 确定整数的划分.(b) 找到每种划分对应的元素的型，从而确定对称群的共轭类.(c) 利用对称群的共轭类对对称群子群大致分类.然后，细化分类.(d) 由于单位元和一些共轭类的并集构成的群是正规子群，所以利用拉格朗日定理，大致给出可能的共轭类的并集.然后再验证是否是群.以下利用两个例子分别说明.例1 求S4的正规子群.解易知S4中有24个元素.假设N是S4的正规子群，由拉格朗日定理可知，N的阶数是24的因子.下面来确定S4的共轭类.数字4有以下5种划分：(a) a1=a2=a3=a4=1.对应置换的型函数是(4，0，0，0).对应共轭类的代表元是(1).共轭类中有1个元素.(b) a1=2，a2=1，a3=1.对应置换的型函数是(2，1，0，0).对应共轭类的代表元是(12).共轭类中有6个元素.(c) a1=2=a2.对应置换的型函数是(0，2，0，0).对应共轭类的代表元是(12)(34).共轭类中有3个元素.(d) a1=3，a2=1.对应置换的型函数是(1，0，1，0).对应共轭类的代表元是(123).共轭类中有8个元素.(e) a1=4.对应置换的型函数是(0，0，0，1).对应共轭类代表元是(1234).共轭类中有6个元素.显然，单位元群和S4是S4的平凡的正规子群.(a)，(c)和(d)的并集恰好是4次交错群A4，因而是S4的正规子群.根据拉格朗日定理，N的另一种可能性是(a)和(d)的并集，即：{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}.可以验证这是一个同构于Z2×Z2的交换群.故其为S4的一个非平凡的正规子群.值得注意的是：“α与β在Sn中共轭当且仅当α与β有相同的型”这个结论强调的是在Sn中共轭.如果我们考虑给出Sn的某个子群的共轭类，则需要具体问题具体分析.例2 给出二面体群D6的共轭类.解 D6是S6的子群，其中包含12个元素.D6= {(1)，(123456)，(135)(246)，(14)(25)(36)，(153)(264)，(165432)，(26)(35)，(16)(25)(34)，(15)(24)(36)，(14)(23)(56)，(13)(46)，(12)(36)(45)}.如果按照在S6中共轭.我们大致可以把这12个元素分成5个共轭类：(a) (1).(b) (123456)，(165432).(c) (135)(246)，(153)(264).(d) (14)(25)(36)，(16)(25)(34)，(15)(24)(36)，(14)(23)(56)，(12)(36)(45).(e) (26)(35)，(13)(46).但是，需要注意在S6中共轭不表示在D6中共轭.所以，此时仍需要逐一验证.由于(14)(25)(36)是中心中的元素.故其单独在一个共轭类中.又因为[(26)(35)]-1(123456)[(26)(35)]=(165432)，[(26)(35)]-1(12)(36)(45)[(26)(35)]=(16)(25)(34)，[(13)(46)]-1(12)(36)(45)[(13)(46)]=(23)(14)(56)，(123456)-1(26)(35)(123456)=(13)(46)，(165432)-1(26)(35)(165432)=(24)(15)，所以，D6总共有6个共轭类：{(1)} {(14)(25)(36)} {(123456)，(165432)} {(135)(246)，(153)(264)} {(12)(36)(45)，(16)(25)(34)，(23)(14)(56)} {(26)(35)，(13)(46)，(24)(15)}.如果要求D6的正规子群，则需要按照上个例子中的方法分别进行讨论.我们把剩余的工作留给读者.[参考文献]【相关文献】[1] 刘绍学.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，2012.[2] 聂灵沼，丁石孙.代数学引论[M].北京：高等教育出版社，2000.[3] 周后型.三次对称群的一个特征性质[J].大学数学，1997，13(1)：107-108.[4] 唐曾林，黄雨星.有限群的共轭类个数与群的性质[J].大学数学，2008，24(6)：56-58.。

关于PSL_2(8)结构的一个注记

注：类似于文献［］１中的证明，４、５可推（）（）广到Ｈｌ子群的情形．ａｌ（）若Ｈ＜一且日是Ｇ的Ｈｌ子群，４。Ｇ，ａｌ则
日；
换子群的概念来研究ＰＬ（），们获得了Ｓ：８我ＰＬ（）的每个非平凡子群在Ｇ中均不共轭置Ｓ８换．本文涉及的群均为有限群，用群论术语及所主要符号见文献［］２．由共轭置换子群的定义及文献［］引理１知，
ｌ立．成
（）若Ｋ＜５ …Ｇ，Ｋ＜・幂零群日是Ｇ且Ｈ，
的Ｈｌ子群，ＫＧ或日Ｇ．ａｌ则
引理２Ｇ＝ＰＬ（）兰Ｓ８Ｓ８Ｌ（）的非平凡
子群的共轭类代表如表１．
注：１（）Ｇ的阶为２ ×３７２上表中 × ．（）
引理１群Ｇ的共轭置换子群具有下列基本性质：
的各２阶循环子群的共Байду номын сангаас轭类代表只列出了一类
Ｍ＆．
（）Ｈ＜。Ｇ，日 ≤ Ｋ，Ｈ＜一；１若一且则Ｋ
（）果日＜Ｇ， Ⅳ Ｇ，２如 … 且则
（ＳＣ：００Ｂ２６）ＣＴ２１Ｂ９０． ‘
［作者简介】陈顺民（９８）男，１一，重庆璧山人，６副教授，主要从事有限群方面的研究．
１６
表１Ｇ的非平凡子群的共轭类代表
Ｇ的极大子群Ｇ的２一极大子群（边列的子群）左Ｇ的３一极大子群（边列的子群）左Ｇ的４一极大子群（边列的子群）左

共轭子群的几个性质

Ａ～．对ｇ∈Ｇ，记Ｂ：路，为曰在Ｇ中的共＝ｇ称轭，更确切地说，为在ｇ下的共轭．
ＫＨ～：Ｈ又由Ｈ≤Ｇ，Ｋ．Ｋ≤Ｇ，则
Ｈ。＝Ｈ，。Ｋ～＝Ｋ，于是可得ＫＨ＝Ｈ．Ｋ（）由Ｈ仁Ｋ＝Ｋ可得（Ｋ＝ＫＫ：ＨＫＨ，Ｈ）ＨＨＨＫ
证明（＝）由Ｈ＝》Ｋ≤ Ｇ有（Ｋ）＝ＨＨ～Ｋ，即
收稿日期：０２— ７— ５２１０２基金项目：口师范学院青年教师科研基金项目（０２Ｎ０）周２１ＱＢ９
是对上述任意的 ∈Ｇ，可得
ＨＮ（Ｈ
由于Ｋ是Ｇ的不变子群，ｈ则ｋ＝ｈ∈ＫＨ，从而
ＨＫＫＨ．类似可证ＫＨＨ．Ｋ
引理１４设 Ⅳ，是Ｇ的不变子群，Ｈ．则Ｋ＝ＫＨ是Ｇ的子群．
众所周知，子群的乘积不一定是子群，例如，交错群Ａ的２阶子群与３阶子群的乘积就不是Ａ的子群，也有一些特殊的子群之积构成子群．文但献［］要证明了子群之积仍为子群的几个充分条１主
关键词：限群；共轭子群；不变子群有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
中图分类号：１２１Ｏ５．．
文献标识码：Ａ
文章编号：０９— ９０２１）ｌ０１０１０４７（０２ｌ一０７— ２
１预备知识
设Ｇ是群，Ｋ是Ｇ的子集，Ｈ，规定日，的乘Ｋ积为ＨＫ＝｛ｋｈＨ， ∈ ．乘积的定义表明Ｇｈ ∈ ｋ）Ｉ的非空子集的乘法满足结合律，且（Ｂ）＝并Ａ～Ｂ

非平凡循环子群共轭类类数较小的有限非可解群

非平凡循环子群共轭类类数较小的有限非可解群史江涛;张翠【摘要】本文完全刻画非平凡循环子群共轭类类数不大于2的有限群的结构,证明了非平凡循环子群共轭类类数不大于4的有限非可解群仅有 PSL2(r ),其中 r ＝5,7,8,9.%The structures of finite groups having at most two conjugacy classes of non-trivial cyclic sub-groups are completely characterized.It is proven that a finite non-solvable group G having at most four conjugacy classes of non-trivial cyclic subgroups must be isomorphic to PSL2(r ),where r =5,7,8,9.【期刊名称】《广西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P52-56)【关键词】有限群;循环子群;非可解群【作者】史江涛;张翠【作者单位】烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台 264005;烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台 264005【正文语种】中文【中图分类】O152.1分类某些特殊子群具有较小共轭类类数的有限群是现代群论研究的一个重要课题。

比较早期和经典的结果是研究极大子群具有较小共轭类类数对有限群可解性的影响,见文献[1-2]。

之后,一些群论学者开始转向研究其他特殊子群的共轭类类数对有限群结构的影响。

非循环子群即生成元个数大于等于2的子群。

作为子群共轭类类数的进一步研究,李世荣等在文献[3]中分类了非循环真子群的共轭类类数等于1的有限群。

孟伟等在文献[4]中分类了非循环真子群的共轭类类数等于2的有限群。

设G为有限群,以v(G)表示G的非循环真子群的共轭类类数。

1.31.5共轭元正规子群

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商群 1 ．定义群 G 的阶是 g ，其正规子群S的阶是s．于是存在 i = g／s个陪集（包括正规子群）：SA1（= S）， SA2 ，…， SAi. 现在，把正规子群及陪集这i个集合作为“数学对象”，以集合的乘法作为群乘而构成
的群，定义为群 G 对其正规子群 S 的商群，记作 G/S. 有
( 2 ) 满足结合律．根据式( 1.4-8 )
(SAm SAn) SAp =S (AmAnAp)= SAm(SAnSAp) ( 1.4-9 )
( 3 ) 单位元就是正规子群 S, S = SA1 =SE. SESAm = S(EAm) ＝ SAm
对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似.
2. 类 • 定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作类．
即，群G中的任何一个类 C 都满足
XCX 1 C X G
（1.3-5）
例如，包含群元 A 的类，就由群中的每一个元 X 与 A 作乘积XAX-1形成，A 本身就是这个类的一个元，因为 A = EAE-1.
D3 群中，E自成一类，D、F属一类，因为： EDE-1 = D
ADA-1 = BA= F BDB-1 = CB = F CDC-1 =AC= F DDD-1 = FD-1=D FDF-1 = ED=D A、B、C属一类.
D3 E A B C D F E E ABCDF A AEDF BC B B F E DC A C CDF E AB D DC AB F E F F BC AED
定理三
有限群G的阶为 g ，类 C 的元数为hC，则有 g / hC = 整数成立，即 hC 是 g 的整数因子．
证明：分三步来证明这个定理．
第一步：取群 G 中某一个确定的元 X∈G，取

2_极大子群次正规的有限群的一个注记_郭鹏飞

2006年第27卷第2期中北大学学报(自然科学版)V ol.27　N o.2　2006 (总第106期)JOURNAL O F NORTH UNIVERSIT Y O F CHINA(NATURAL S CIENCE EDITION)(Sum No.106)文章编号:1673-3193(2006)02-0115-032-极大子群次正规的有限群的一个注记郭鹏飞1,2(1.山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004;2.连云港师范高等专科学校数学系,江苏连云港222006)摘　要:　设H是有限群G的一个子群,若存在G的极大子群K,使得H是K的极大子群,则称H为G的一个2-极大子群.本文考查了群G的所有2-极大子群均在G中次正规时对有限群G结构的影响,得到内幂零群为超可解群的两个充分条件;当G的F ratt ini子群为1时,考虑F(G)的所有极小子群均在G中正规及群G阶的素因子之间的关系,得到群G幂零的一个充分条件.关键词:　次正规子群;正规子群;极小子群;内幂零群中图分类号:　O152 文献标识码:AA Note on Subnormal Finite Groups with2-Maximal SubgroupsGU O Peng-fei1,2(1.Scho ol of M athematics and Co mputer Sciences,Shanx i No rma l U niv ersity,L infen041004,China;2.D ept.of M athematics,Lianyungang T eachers′Colleg e,L iany ung ang222006,China)Abstract:A subg roup H of a finite g roup G is said to be2-m ax imal subgr oup in G if ther e is a subg roup K w hich is a max imal subgro up of G such that H is a max imal subgro up of K.A fter taking into account of the impact of all the subnorm al2-m aximal subgroups in G on the str ucture of the finite g roup G,the author has o btained tw o sufficient conditions for finite m inimal non-nilpotent g roups to be super-solv-able,and obtained a sufficient co ndition fo r finite gr oups to be nilpotent by taking into acco unt of the fact that ev er y m inimal subg roup of F(G)is no rmal in G and of the relationship o f the pr im e diviso rs of ûGûw hile (G)=1.Key words:subno rmal subg roups;nor mal subg roups;m inimal subg roups;no n-nilpotent gro ups 设G是一个群,G0,G1,…,G r是G的一些子群,满足1=G rüG r-1ü…üG1üG0=G,则称此群列为G的一个次正规群列,G i(i=0,1,…,r)称为G的次正规子群.次正规子群最早被H.Wielandt[1]研究. T.Foguel于1997年在文献[2]中引入了共轭置换子群的概念:群G的子群H称为G的共轭置换子群,若H H g=H g H,对任意g∈G都成立,记为H<c-p G.在文献[3]中,张勤海等证明了:设群G的2-极大子群均在G中共轭置换,若P(G)≠2,则G幂零;若P(G)=2,则G幂零或内幂零.由文献[2]知,共轭置换子群是次正规子群.本文在文献[3]的基础上,将条件“共轭置换”减弱为“次正规”,考虑群G的2-极大子群次正规的情况,得到内幂零群为超可解群的两个充分条件,并且对Fitting子群F(G)的每个极小子群正规于G的情况进行了研究,得到群G幂零的一个充分条件.本文考虑的群均为有限群,所用群论术语、符号可参阅文献[4],内幂零群的结构见文献[4].特别地,H sn G表示H为G的次正规子群,M<G表示M为G的真子群,P(G)表示ûGû的不同素因子的个数.X收稿日期:2005-10-29　基金项目:国家自然科学基金资助项目(10471085);山西省自然科学基金资助项目(20051007);教育部科学技术研究重点项目(10203);山西省回国留学人员基金资助项目　作者简介:郭鹏飞(1972-),男,讲师,博士生.主要从事群论的研究.116中北大学学报(自然科学版)2006年第2期1　预备知识引理1[5]　设G为有限群,ûGû=q s p r,p,q为素数,q sû(p-1),s=1,2,则G超可解.引理2[6]　设G为有限群,G=Z1Z2…Z n为两两可换的循环群Z i的乘积,则G为超可解.定义1　对于有限群G的阶之任一约数d,若存在G的d阶子群,则称群G为CLT群;群G的所有商群都是CLT群,则G叫做QCLT群.2　主要结果定理1　设群G的2-极大子群均在G中次正规,若P(G)≠2,则G幂零;若P(G)=2,则G幂零或内幂零,且当G内幂零时,不妨设G=P Q,其中PüG,QüG,P∈Syl p(G),Q∈Syl q(G);若qû(p-1),则G超可解.证明　若P(G)≠2,由于极大次正规子群是正规的,所以由假设可知,G的每一极大子群均幂零.若G非幂零,则G内幂零,从而P(G)=2,与P(G)≠2的假定矛盾,故G幂零.考虑P(G)=2.设ûGû=p a q b,G为内幂零群.若b≤2,由引理1可知,G超可解;若a=1,由引理2可知,G超可解.故可设a≥2且b≥3.由于G可解,所以P M<・G,有ûG:Mû=r i(r=p或q).下证i=1.(a)若ûG:Mû=q i(i≥2),则P≤M.由于M幂零,不妨设M=P×Q i,其中ûQ iû=q b-i,必存在Q i+1,使Q i<・Q i+1<Q g(g∈G).令T=PQ i+1,则M<・T<G,与M<・G矛盾,故ûG:Mû=q.(b)若ûG:Mû=p i(i≥2),则存在Q g∈Syl q(G)(g∈G),使Q g≤M.由于M幂零,不妨设M=P i×Q,其中ûP iû=p a-i.1)若P i=1,即M=Q.设N<・M,有ûM/Nû=q.由N=5(Q)≤Z(G)可知,NüG,从而ûG/Nû=p i q.又qû(p-1),由引理1得G/N超可解,故ûG:Mû=ûG/N:M/Nû=p.与假设矛盾,所以i=1.2)若P i>1,取P i-1<・P i<P,令R=P i-1×Q,则R<・M<・G.由题设可知,R sn G.又因为QüR,所以Q sn G.由于次正规的H all子群是正规的,所以QüG,与内幂零群的定义关系矛盾,故ûG:Mû=p.由以上讨论可知,P M<・G,均有ûG:Mû为素数,故据Huppert定理可知,G超可解.注1　定理1中假设条件“qû(p-1)”不可去.下面的例子说明存在非超可解的内交换群G,其阶为p2q且qù(p-1),但它的2-极大子群均在G中次正规.例如:设G=(〈c1〉×〈c2〉)×〈a〉≌(Z5×Z5)×Z3,其中a3=c51=c52=1,c a1=c2,c a2=c41c42.下证G中不存在15阶子群.若否,设H为G的15阶子群.因为15阶子群均为循环群,从而H= Z3×Z5,即c a1=c1或c a2=c2,与假设矛盾,所以G中必无15阶子群,从而G的极大子群的阶只能为3,5, 25.对P1<・P∈Syl5(G),由于PüG且P为初等交换群,所以G的2-极大子群均在G中次正规.但G 有一个主群列1ü〈c1〉×〈c2〉üG,其主因子〈c1〉×〈c2〉的阶不为素数,故G非超可解.定理2　设群G的2-极大子群均在G中次正规,且G是QCLT群,则G超可解.证明　设G为极小阶反例.由定理1可知,G为内超可解群.显然,群G的2-极大子群均在G中次正规是商群遗传的.由QCLT群的定义可知,定理条件商群遗传,所以G为极小非超可解群.由文献[7]知,G同构于下述群之一:(a)p n q阶内交换群,qù(p-1);(b)p n r p阶群,p n-1‖(r-1),n≥2;(c)8r2阶群,4û(r-1);(d)p n+m r p阶群,m≥2,p max(n,m)û(r-1);(e)p n+m+1r p阶群,p max(n,m)û(r-1);(f )p n qr p 阶群,p n q û(r -1),p û(q -1).由上述群(c )～(e )的定义关系可知,G 中不存在循环的Sylow 子群.群(f )中,P (G )>2,与内幂零群的定义关系矛盾.由p n q 阶内交换群的定义关系易知,G 中不存在p n -1q 阶子群,非QCLT 群,所以(a)不成立.由(b)的定义关系易知,G 中不存在p n rp -1阶子群,非QCLT 群,与假设矛盾.所以极小阶反例不存在,从而得G 超可解.注2　定理2中假设条件“群G 是QCLT 群”不可去.如A 4满足“群G 的2-极大子群均在G 中次正规”,但非超可解.定理3　设G 是有限群,5(G )=1.若F (G )的所有极小子群均在G 中正规,且P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1),则G 幂零.证明　对ûG û用归纳法.(a)假设ûF (G )û为素数p ,由P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1),可知G 为奇阶群.由Feit-Thom pson 定理知G 可解,从而C G (F (G ))≤F (G ),进而C G (F (G ))=F (G ).易知F (G )为G 的p -Sy low 子群.此时断言P (G )必为1;否则,设ûG û=p A 11p A 22…p A s s (s ≥2,p 1=p ).P Q ∈Syl q (G ),q ≠p ,令T =F (G )Q ,则Q ≌T /F (G )ïAut (F (G ))≌Z p -1,故q û(p -1),与假设矛盾,从而G 幂零.(b)假设F (G )不为G 的极小子群,取K 为F (G )的极小子群.不妨设ûK û=p .1)若C G (K )=G ,因为5(G )=1,所以存在H <・G ,使得G =K ×H 且5(H )≤5(G )=1.而F (H )≤F (G ),由归纳法可知H 幂零,从而G 幂零.2)若C G (K )<G ,由N /C -定理可知,G /C G (K )ïAut(K )≌Z p -1,故必存在某素数q ,使q û(p -1),与定理假设矛盾,所以C G (K )=G .与假设矛盾,从而G 幂零.由(a ),(b )可知,G 幂零.注3　定理3中假设条件“P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1)”不可去.如S 3满足其余条件,但非幂零.参考文献:[1]　W ielandt H .Eine ver allg emeinerung der invar ianten unter g ruppen [J ].M at h .Z .,1939,45:209-244.[2]　F og uel T .Conjug ate-per mutable subgr oups[J].Jo ur nel o f A lg ebr a,1997,191:235-239.[3]　张勤海,赵俊英.超可解群的若干充分条件[J].数学杂志,2005,25(4):399-404.Z hang Q H,Z ha o J Y.So me sufficient conditio ns o f finite super solvable gr oups[J].Jour nel o f M athemat ics,2005,25(4):399-404.(in Chinese )[4]　徐明曜.有限群导引.上册[M ].北京:科学出版社,1999:142.[5]　张远达.幂零与可解之间[M ].武汉:武汉大学出版社,1988:42.[6]　[德]贝.胡佩特.有限群论.第一卷[M ].福州:福建人民出版社,1992:314.[7]　陈重穆.内外2-群与极小非2群[M ].重庆:西南师大出版社,1988:49.117(总第106期)2-极大子群次正规的有限群的一个注记(郭鹏飞)。

凹透镜焦距的测量方法

2001 年 3 月 Mar. 2001
凹透镜焦距的测量方法
李建华
(唐山师范学院物理系，河北唐山摘 063000)
要：光束经凹透镜折射后发散，不能形成实像，因此不能直接测量凹透镜的焦距。在光具座上可借用凸
透镜、平面镜、望远镜等辅助器件，以及视差法等 4 种方法测量凹透镜的焦距。关键词：凹透镜；发散；焦距中图分类号：O435 文献标识码：C 文章编号：1009-9115（2001）02-0053-02
G S , x 可推出 G S ，这里 S 是 G 的一个子集。
命题 1 （1）（[1，Ⅳ，定理 3.3]）群 G 的 Frattini 子群恰由 G 的所有非生成元组成。（2）（[1，Ⅳ，推论 3.8 和推论 3.9]）设 G 是有限群，则 (G ) 幂零，且若 G (G ) 幂零，则 G 为幂零群。（3）（[1， Ⅳ，推论 3.5]）设 G 是有限群，K G ，则 ( K ) (G ) ．（4）（[1，Ⅳ，定理 3.10]）若素数 p | (G ) ，则 p | G (G ) ．（5）（[1，Ⅳ，习题 26]）设 G1 , G 2 是有限群，
x, y G ，于是 G 是满足（*）式的亚循环群。因
为 G 不交换，有 r 1(mod p) ．令 Q y , 有Q Syl q ( (G )) ．因为 (G ) 于是 y q (G ) Q Syl q ( (G )) ．的 Sylow q 子群是 (G ) 的特征子群，因此也是这推出 y q 与 x 元素可交换，于是有 G 的正规子群，
中，即可求出凹透镜的焦距。方法 2：用平面镜辅助测量凹透镜焦距实验光路如图 2。实物 P 发出的光经待测凹透镜 L 折射发散后成虚象于 P′点，在 L 前面放一尖头棒 Q 和平面反射镜 M（M 应略低于凹透镜 L），实验者在图中 E 处可同时看到凹透镜 L 中的虚象 P′和平面镜 M 中的虚象 Q′，前后移动尖头棒

非正规子群共轭类类数为2的有限群的一个注记

第46卷第6期吉林大学学报(理学版)V o.l 46 N o .6 2008年11月J OURNA L O F JIL I N UN IVER SI TY (SC I ENCE ED I T ION )N ov 2008研究简报非正规子群共轭类类数为2的有限群的一个注记陈顺民1,2,陈贵云3(1.陕西师范大学数学与信息科学学院,西安710062;2.重庆文理学院数计系,重庆402160;3.西南大学数学与统计学院,重庆400715)摘要:利用子群共轭类的性质,结合M ousav i 给出了非正规子群的共轭类类数为2的有限幂零群的分类,得到了非正规子群的共轭类类数为2的有限群的完全分类,校正了M ousav i 给出的非正规子群的共轭类类数为2的有限非幂零群的分类.关键词:非正规子群;Dedekind 群;幂零群;共轭类;类数中图分类号:O152.1 文献标识码:A 文章编号:1671 5489(2008)06 1097 04A Note on F i nite Groups Havi ng Exactly Two Conjugacy Classesof Non nor m al SubgroupsC HEN Shun m in 1,2,C H E N Gu i yun 3(1.School of M at he ma tics and Information S cience ,Shaanx iN or m al Un i ver sit y,X i an 710062,Ch i na ;2.D epart m ent of M athe m atics and Computer Science ,Chongq ing Un i vers it y of A r ts and S ciences ,Chongqing 402160,China ;3.School of M at he m atics and S t atistics,Sou t hwest University,Chongq i ng 400715,China )Abstrac:t On the basis of the properti e s of conjugacy classes o f non nor m a l subgroups and the classificati o n o f fi n ite n il p o tent groups hav i n g ex actly t w o conjugacy c lasses of non nor m al subgroups g iven by M ousav,i fi n ite groups hav i n g exactly t w o con j u gacy classes of non nor m a l subgroups are co m pletely c lassified ,revisi n g the classification o f finite non n ilpo tent g r oups hav i n g exactly t w o conjugacy classes of non nor m a l subgroups g i v en by M ousav.iKey wor ds :non nor m al subgroups ;Dedek i n d g r oups ;n ilpotent groups ;con j u gacy classes ;c lass num ber收稿日期:2007 12 10.作者简介:陈顺民(1968~),男,汉族,硕士,讲师,从事有限群的研究,E ma i :l s m i n chen @126.co m.联系人:陈贵云(1963~),男,汉族,博士,教授,从事有限群的研究,E m ai:l gychen@s w u .基金项目:国家自然科学基金(批准号:10771172).本文涉及的群均为有限群;v(G )表示群G 非正规子群的共轭类类数;c(G )表示群G 的幂零类; (G )表示群G 的Fratti n i 子群;Q 4n 表示4n 阶广义四元数群;D 2n 表示2n 阶二面体群;Z n 表示n 阶循环群; (G )表示群G 的阶所含全体素因子的集合;[A ]B 表示A 与B 的半直积,其中A AB.其余的符号及概念参见文献[1].文献[1]给出了所有子群均正规群的结构.文献[2]给出了非正规子群的共轭类类数为1的有限群的完全分类.对于有限幂零群G,文献[3]证明了G 或为H a m ilton 群或者满足c 1+v ,其中c 为G 的幂零类,v 为G 的非正规子群的共轭类类数.文献[4]证明了在奇阶幂零群G 中仍有不等式c 1+v*成立,其中c 为G 的幂零类,v *为G 的非正规循环子群的共轭类类数;进一步,文献[5]讨论了非循环子群的共轭类类数至多为2的有限群;文献[6]讨论了所有非正规子群生成一个非平凡真子群的群;M ousav i [7]给出了非正规子群的共轭类类数为2的有限群的分类,但给出的分类情形有误.本文将给出非正规子群的共轭类类数为2的有限群的完全分类,具体结果如下:定理1 设G为有限群,p,q,r为不同的素数,则v(G)=2当且仅当G同构于下列群之一:(1)G([N]P)!K,其中[N]P是非交换可裂扩张,N为q阶循环群,P为p幂阶循环群,K为r 阶循环群,[N, (P)]=1;(2)G∀x,y x q2=y p n=1,y-1xy=x k,q|/k-1,k模q2的指数为p#;(3)G A4,其中A4为12阶交错群;(4)G∀x,y x q=y p n=1,x y=x k,k模q的指数为p2,n∃2#;(5)G P!Z q,其中P幂零,v(P)=1;(6)G[Z4]Z4;(7)G Q16,其中Q16为16阶广义四元数群;(8)G∀x,y y2n=x4=1,x-1yx=y1+q,q=2n-1,n∃3#;(9)G D8,其中D8为8阶二面体群.引理1[3] 设N G,且N H G,则v(G/N)=G包含N的非正规子群共轭类的类数.引理2[2] 设G为有限群,则v(G)=1当且仅当G为下列群之一:(1)G=[N]P,这里N为素数q阶循环群,P为素数p幂阶循环群,且[N, (P)]=1;(2)G M(p n)=∀a,b a p n-1=b p=1,b-1ab=a1+p n-2#,其中p是一个素数,且当p∃3时,n∃3;当p=2时,n∃4.引理3[3] v(A!B)∃v(A)v(B)+v(A)(B)+(A)v(B),等号成立当且仅当(A,B)=1,其中(G)表示G的正规子群的数目.引理4[3] 设G是含有指数为p的循环子群的非交换p 群,q=p n-2,则下列结论成立:(1)G D2n,其中c(G)=n-1,v(G)=2n-4,n∃3;(2)G S2n=∀a,b a=2n-1,b2=1,a b=a-1a q#,其中c(G)=n-1,v(G)=2n-5,n∃4;(3)G Q2n,其中c(G)=n-1,v(G)=2n-6,n∃3;(4)G M(p n),其中c(G)=2,v(G)=1.为了便于对比,下面列出M ousav i在文献[7]中的结论:定理2 设G为有限群,p,q,r为不同的素数,则v(G)=2当且仅当G同构于下列群之一:(1)G∀x,y,z x r=y p n=z q=[x,z]=[y,z]=1,x y=x k,p r-1,k p=1(m od r),k%1#;(2)G∀x,y x q2=y p n=1,y-1xy=x k,p q-1,k p=1(m od q2),k%1#;(4)G∀x,y x q=y p n=1,x y=x k,p2q-1,k p2=1(m od q),k%1,n>1#.情形(3),(5)~(9)同定理1中情形(3),(5)~(9).反例.(i)定理2中结论(1)不成立,有如下的反例:取G=∀x,y,z x3=y4=z5=[x,z]=[y,z]=1,x y=x4#.显然,G满足定理2中情形(1)的条件,但G为交换群,从而v(G)%2.(ii)定理2中结论(2)不成立,有如下的反例:取G=∀x,y x9=y2=1,x y=x10#.显然,G满足定理2中情形(2)的条件,但G为交换群,从而v(G)%2.(iii)定理2中结论(4)不成立,有如下的反例:取G=∀x,y x5=y8=1,x y=x4#.此时,p=2, q=5,k=4,n=3.易验证G满足定理2中情形(4)的条件,但[∀x#, (∀y#)]=1,据引理2,有v(G)=1,v(G)%2.下面证明定理1.(i)当G为幂零群时,结合定理2的证明,G只能为定理2中情形(5)~(9)中的群,即定理1中情形(5)~(9)中的群.可以验证情形(5)~(9)中的群G均满足v(G)=2,故定理1中情形(5)~(9)成立.(ii)当G为非幂零群时,令P为G中非正规的Sy lo w p 子群,从而N G(P)G.可以断言具有如下性质:G中除Sy l o w p 子群外的Sy l o w子群均在G中正规.否则,G存在Sylo w q 子群Q G,其中1098 吉林大学学报(理学版) 第46卷q %p ,由v(G )=2可知,N G (P )=P.此时,若 (G )>2,因v(G )=2,则G 存在非平凡正规Sy lo w r 子群R,其中r %p ,q ,从而PR G.对!g &G,有P g =P h ,其中h &PR,从而gh-1&N G (P )=P,g &PR,于是G =PR,这与 (G )>2矛盾.这样,(G )=2,即G =PQ.又v(G )=2,从而P,Q 均为循环群,于是P G 或Q G,矛盾.所以上述性质成立.(1)若P <N G (P ),则G 中两个非正规子群的共轭类分别为P 的共轭类和N G (P )的共轭类,于是P 循环.令P =∀b #.因P N G (P ),由Schur Zassenhaus 定理知,P 在N G (P )中有补H.任取H 中一素数r 阶循环群K,则K G.据引理1,v (G /K )=1,又据引理2可知,G /K =[∀N ]#P 是非交换可裂扩张,这里∀N 为素数q 阶循环群,#P 为素数p 幂阶循环群,且[∀N, (#P )]=1.若q =r ,令N 为G 的Sy l o w q 子群,则N G (P )=P !K,K <N,有G =[N ]P,其中N =q 2,且K =q.若p >q ,由G ∋N G (P )=q 可知,N G (P ) G,这与N G (P )G 矛盾,从而p <q .因v(G )=2,于是 (P ) G,从而[N, (P )]=1.若N 为循环群,令N =∀a #,则G =∀a,b a q 2=b p n =[a q ,b]=[a,b p ]=1,a b =a r ,2 r q 2-1#.(1)因a q =b -1a qb =a qr ,于是q 2qr -q,即q r -1,又2 r q 2-1,从而r =iq +1(i =1,2,(,q -1).又a =b -p ab p =a s ,s =r p ,于是q2r p -1,把r =iq +1代入式(1),有q 2iq p.但p <q,且i q -1,于是q 2|/iqp,矛盾,故N 只可能为q 2阶初等Abe l 群.令N =K !L,且K =∀x #,L =∀y #.因v(G )=2,于是L G,从而PL 成群.若PLG,因N G (P )=P !K,则PL 与N G (P )=P !K 在G 中不共轭,于是v(G )∃3,矛盾,故PL G.又K =q ,于是PL )K =1,从而G =([L ]P )!K.令y b =y t (2 t q -1).若(xy )b =xy t &∀xy #,则xy t =x j y j (1 j q -1),于是j =1,且y t =y,矛盾,故∀xy #G,从而v(G )∃3,矛盾.若q %r ,仍然有N G (P )=P !K.由上述G 的性质知,G 的Sy lo w q 子群N G,从而G =([N ]P )!K,其中[N ]P 是非交换可裂扩张,N 为素数q 阶循环群,且[N, (P )] K.又[N, (P )] N,从而[N, (P )]=1.据引理2,v([N ]P )=1,又据引理3可知,v(G )=2,故此时的G 满足条件,定理1中情形(1)成立.(2)若P =N G (P ),有G =PQ,其中Q &Syl q (G ),q %p.否则, (G )∃3.令R &Syl r (G ),其中p,q ,r 两两不等.由G 的性质知Q G,R G,从而PQ 与PR 均构成G 的真子群.因P =N G (P ),从而N G (PQ )=PQ <G,N G (PR )=PR <G,于是v (G )∃3,矛盾.从而得到 (G )=2,且G =PQ,其中Q &Sy l q (G ),q %p .令H 是G 的与P 不共轭的非正规子群.分三步完成这种情况的证明.(i )若 (H )={p,q },则Q G,且P 和Q 的真子群均在G 中正规.不妨假设H =K L,其中K P,L Q.若K <P,则K G,且L G,于是H =K L G,矛盾,故K =P,从而H =PL.又HG,从而L <Q.若Q ∃q 3,则PL 1成群,其中L 1为Q 的非平凡子群,且L 1%L.由P =N G (P )知PL1G,从而v (G )∃3,矛盾.所以Q =q 2,L =q .若Q 为初等Abe l 群,可令Q =Q 1!Q 2,其中Q 1=L,于是Q 1 G,Q 2 G,从而Q 1与Q 2在G 中不共轭,且PQ 1与PQ 2均成群.因P =N G (P ),有PQ1G,PQ2G.显然PQ 1与PQ 2在G 中不共轭,于是v (G )∃3,矛盾.若Q 循环,设G =∀a,b a q 2=b p n =1,b -1ab =a r #,其中2 r q 2-1,P =∀b #,Q =∀a #,则H =∀b #∀a q #={b i aqj 0 i p n -1,0 j q -1}.由于H G ∃H a =H ∃b a =ba 1-r &H ∃q 1-r ,从而HG ∃q |/r -1,故G =∀a,b a q 2=b p n =1,b -1ab =a r ,q |/r -1,r 模q 2的指数为p #,易验证此时的G 满足条件,定理1中情形(2)成立.(ii )若H 为q 群,则H <Q.可断言Q 为q 2阶初等Abe l 群,且H =q ,P 为p 阶循环群.事实上,若H >q ,可取在G 中正规的q 阶子群N <H,于是P N G,从而由Fratti n i 论断,有G =NP ∗N G (P ),但P =N G (P ),矛盾,故H =q .若Q >q 2,可在H 中取G 的正规q 2阶子群K <Q,于是PK G.由Frattini 论断,仍得到矛盾,故Q =q 2.因H <Q G,所以Q 为初等Abe l 群,显然P 循环.若P >p,因v(G )=2,则1% (P ) Z (G ).据引理1知,v(G / (P ))=1,又据引理2可知,G / (P ) [L ]P 11099 第6期陈顺民,等:非正规子群共轭类类数为2的有限群的一个注记是非交换可裂扩张,其中L 为q 阶循环群,P 1为p 阶循环群.但q 2G / (P ),矛盾,故P 为p 阶循环群.若Q 中存在G 的正规q 阶子群,令T 为其中之一,则Q =T !H,且PT G.由Fratti n i 论断及P =N G (P ),有G =TP ∗N G (P )=TP,矛盾.因此Q 中每个q 阶子群均在G 中不正规,从而H 在G 中的所有共轭子群即为Q 中的q +1个q 阶子群,于是q +1=p,故q =2,p =3,从而G =12.因G 中没有4阶元,且G 的Sylo w 3 子群在G 中不正规,于是在所有12阶群中只有交错群A 4符合要求,易验证v(A 4)=2,故定理1中情形(3)成立.(iii )若H 为p 群,则Q 的所有子群在G 中正规,且可假定H 含于P 中.因P =N G (P ),于是必有Q =q %2,且G =[Q ]P.令Q =∀c #.若H 不为P 的极大子群,因v(G )=2,从而P 的极大子群在G 中正规.若P 不循环,则可取P 的两个不同的极大子群M 1及M 2,于是M 1 G,M 2 G,从而P =M 1M 2 G,矛盾.若P 循环,则P 有惟一的极大子群在G 中正规,从而H G,矛盾.因此H 为P 的一个极大子群.这样,由v(G )=2可知,H 是P 的循环的极大子群.据引理4及P 是一个Dedek i n d 群可知,P 为交换p 群或为四元数群Q 8.因Q G,且Q =q %2,于是P /C P (Q ) Aut (Q )循环.当P =Q 8时,G =[Q ]Q 8,其中Q 8=∀a,b a 4=1,b 2=a 2,a b =a-1#.因v(G )=2,从而∀a 2#=∀b 2# G,于是[a 2,c]=[b 2,c]=1.令c a =c i ,c b =c j ,其中1 i q -1,1 j q -1,从而c =a -2ca 2=c i 2,c =b -2cb 2=c j 2.故i 2=1(m od q ),j 2=1(m od q),于是有q i +1或q i -1.因1 i q -1,所以当q i +1时,i =q -1;当q i -1时,i =1.类似地有j =q -1或j =1.由P /C P (Q ) A ut (Q ),有G 满足c a =c -1,c b =c 或c a =c ,c b =c -1.若前者成立,则Q8G,∀a #G.又(ba )c =bac 2,因c =q >2,从而∀ba #G.显然∀a #在G 中的共轭子群为∀c -t ac t #,其中0 t q -1.若c -t ac t =ac 2t &∀ba #,则ac 2t =(ba )+1,从而b =1或b 3=1,矛盾.故两个4阶子群∀a #与∀ba #在G 中不共轭,于是v (G )∃3,矛盾.若后者成立,则由a 与b 的对称性,类似可得v(G )∃3,矛盾.当P 为交换p 群时,若P 不循环,可令P =∀a,b a p n -1=b p =1,[a,b ]=1#,其中∀a #G.令c a =c r ,2 r q -1.显然,∀a #在G 中的共轭子群为∀c -t ac t #,其中0 t q -1.可断言∀b # G,从而b &Z (G ).否则,∀b #G.当n ∃3时,G 有在G 中不共轭的非正规子群P,∀a #,∀b #,矛盾;当n =2时,c -t ac t =ac t(1-r)∀b #,从而∀a #与∀b #在G 中不共轭,也有v (G )∃3,矛盾.由(ab)c =a c b =abc 1-r 及c 1-r %1可知,∀ab #G.类似可证:∀a #与∀ab #在G 中不共轭,从而v(G )∃3,矛盾.若P 循环,则P =∀a a p n =1#,其中H =∀a p #,n ∃2.因v (G )=2,于是∀a p 2# G,从而[∀a p 2#,Q ]=1.此时,G =[Q ]P 是非交换可裂扩张,其中P =∀a #为p n 阶循环群,Q 为q 阶循环群,且[∀a p 2#,Q ]=1,[Q,∀a p #]%1,p 2q -1,n ∃2.易见,此时的G 满足v (G )=2,进一步,G =∀a,c a p n =c q =1,c a =c r ,r 模q 的指数为p 2,n ∃2#,故定理1中情形(4)成立.综上所述,定理1成立.参考文献[1] R ob i nson D J S .A Course in the T heo ry o f G roups [M ].N e w Y ork :Spring V er lag ,1982.[2] R o lf B .G roups w ith Few N on no r m al Subgroups [J].Communicati ons i n A l g ebra ,1995,23(6):2091 2098.[3] John P ,A kbar R.T he N u mber of Conj ugacy C l asses ofN on no r m al Subg roups i n N il potentG roups [J].Comm un i cationsi n A l gebra ,1996,24(10):3237 3245.[4] L I Sh i rong .T he N u m be r o f Conj ugacy C lasses of N on nor m a l Cyc lic Subg roups i n N il potent G roups of O dd O rder [J].Journa l o f G roup T heory ,1998(1):165 171.[5] L I Sh i rong ,Z HAO Xu bo .F inite G roups w it h F e w N on cycli c Subgroups [J].Jou rna l o f G roup Theory ,2007,10:225 233.[6] Chern i kov N S ,Dov z henko S A.G roups W hose A ll N onnor m a l Subgroups G ene ra te a N ontr i v i a l Proper Subg roup [J].Siber ian M athe m atica l Journa,l 2006,47(1):173 192.[7] M ousav iH.O n F inite G roups w it h F e w N on no r m al Subgroups [J].Co mmun ica ti ons i n A l gebra ,1999,27(7):3143 3151.1100 吉林大学学报(理学版)第46卷。

关于阿贝尔Hall π-子群

从而 H 是 G 的极大正规π-子群。由引理 2 知 CG ( H ) ≤ H 。又 H 是阿贝尔群，故 H ≤ CG ( H ) 。因此
CG ( H ) = H 。进一步， G H G CG ( H ) ≤ AutH 。所以 G : H 整除 H − 1 ! 。证毕。 =
(
)
定理 3：设 G 是一个π-可分群， H 是 Oπ ′π ( G ) 的一个 Hall π-子群，如果 G 有阿贝尔 Hall π-子群，那么
th th st
Abstract
Let G be a finite group and H an abelian Hall π-subgroup of G. Then, there exists g ∈ G such that
Oπ ( G= ) H ∩ H g . It generalizes Brodkey’s result. In addition, the properties of π-separable groups
2
证明：设 K 是 G 的一个 Hall π-子群，由文[1]的定理 9.1.10 知 H 和 K 是共轭的，故 K 是阿贝尔群。由定理 1 可得存在某个 g ∈ G ，使得 Oπ ( G= ) K ∩ K g 。由文[3]的定理 1.18 知：
KK
g
=
K Kg K ∩Kg
2
因此
G ≥ KK =
g
g H 和 H 都是阿贝尔群，因此由引理 1 得到 H ∩ H ≤ Oπ ( G ) 。又 Oπ ( G ) ≤ H ∩ H ，故存在某个 g ∈ G ，
g
g
推论 1：设有限群 G 包含一个幂零 Hall π-子群，则存在 G 的 Hall π-子群 H ，使得 ς H ∩ ς K ≤ Oπ ( G ) 。 K，

关于PSL2(8)结构的一个注记

关于PSL2(8)结构的一个注记
陈顺民
【期刊名称】《重庆文理学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(027)003
【摘要】若HgH=HHg,(A)g∈G成立,则称H为G的共轭置换子群. 记为H<c-pG. 本文利用共轭置换子群的概念来研究PSL2(8), 得到PSL2(8)的每个非平凡子群在G中均不共轭置换.
【总页数】3页(P13-15)
【作者】陈顺民
【作者单位】陕西师范大学,数学与信息科学学院,陕西,西安,710062;重庆文理学院,数学与计算机科学系,重庆,永川,402160
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.关于PSL<sub>2</sub>（8）结构的一个注记 [J], 陈顺民;
2.关于内幂零群结构定理的一个注记 [J], 王玉婷;郝成功
3.由recollement导出的t-结构的一个注记 [J], 刘宏锦;刘利敏
4.关于PSL_2（8）结构的一个注记 [J], 陈顺民
5.关于稳定t结构的一个注记 [J], 孙永亮
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恰有6个极大子群的有限群

收稿日期：０Ｉ０ —２２１－２４
若＝，么由以上讨论知必有某个Ｐ恰有２那
５个极大子群，由文献［］３知这不可能．
ｄ
一
１
若ｓ，＝１那么Ｇ为Ｐ群且
＝６出Ｐ群性，
基金项目：疆维吾尔自治区自然科学基金资助项目（００１Ａ８。新２１２１３）作者简介：管治安（９６，，１８）男湖北荆州人，伊犁师范学院数学系在读硕士研究生，主要研究方向为代数学
Ｓ
．
若ｓ６，么每个Ｐ只有１＝那个极大子群，于是
Ｐ为素数幂阶循环群的，因此Ｇ为６个互不相同的素数幂阶循环群的直积，此为情况（）１．若ｓ５那么必有某个Ｐ恰有２个极大子群，＝，由引理３Ｐ含有两个素因子（Ｐ群不可能恰有，即
ＭＴ１４，（８Ｍｒ１１１，Ｇ￣＿．（，）ＭＴＤ）＝（，，）故／Ａ４
设为不包含的极大子群，［：Ｋ］＝（则ＧＰＰ
为任意素数）那么ｎ（）此时Ｇ＝删。故，Ｇ，，
Ｇ（）＝（／Ｇ（） ×（／（）Ｇ）ＨＧｑＧ），）而Ｋｑ（）／兰Ａ，／（）／／Ｃ兰Ｇ）４ＨＧｑＧ兰ＧＫ＝Ｚ，）ｐ因
此ｃｑ（）Ｄ此为情况（）／Ｇ兰Ａ ×ｚ，）２．
ＦｎｔｏｐｔｕｔａｉａｕｇｏｐｉｉｅＧｒｕｓｗｉｈＪｓＭｘｍｌＳｂｒｕｓ６

非正规子群共轭类类数为2的有限群的一个注记

ｏｎ－ｏｍａｕｂｒｕｓｆＮｏｎｒｌＳｇｏｐ
ＣＨＥＮｈｎ— ｎ．．ＣＨＥＮＳｕｍｉ＿Ｇｕｉｙｎ —ｕ
（．ｓｈｏｏｔｅａｉｎｆｒｔｎＳｉｃ，ｈａｘＮｒａｎｅｉ，ｉａ１０２ｈｎ；１ｃｏｌｆＭａｈｍｔｓａｄＩｏｉｃｎｅＳａｎｉｏｍｌｉｒｔＸ ’ｎ７０６，ＣｉａｃｎｍａｏｅＵｖｓｙ２ｅａｔｅｔｆＭａｈｍｔｓｎｏｐｔｃｎｅＣｏｇｉｎｖｒｔｒｎｃｎｅ，Ｃｏｇｉ０１０ｈｎ；．ＤｐｒｎｏｔａｉｄＣｍｕｒｉ，ｈｎｑｇＵｉｓｙｏｔａＳｉｃｓｈｎｑｇ４２６，ＣｉｍｅｃａｅＳｅｃｎｅｉｆＡｓｄｅｎａ
摘要：利用子群共轭类的性质，结合Ｍｕａｉｏｓ给出了非正规子群的共轭类类数为２的子群的共轭类类数为２的有限群的完全分类，校正了Ｍｕａｉｏｓｖ给
出的非正规子群的共轭类类数为２的有限非幂零群的分类．关键词：非正规子群；ｅｅｉＤｄｋｄ群；ｎ幂零群；共轭类；类数
ｂｕａｉｙＭｏｓｖ．
Ｋｙｗｒ８ｎｎｎｒａｓｂｏｐ；ｅｅｉｄｇｕｓｉｏｅｔｏｐ；ｏｊｇｃｌｓｓｌｓｎｍｂｒｅｏｄ：ｏ —ｏｍｌｕｇｕｓＤｄｋｎｒｐ；ｎｐｔｕｓｃｎａｙｃａｅ；ｃｓｕｅｒｏｌｎｇｒｕｓａ
符号及概念参见文献［］１．文献［］出了所有子群均正规群的结构．文献［］出了非正规子群的共轭类类数为１的有限１给２给

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通讯联系人：江涛（９Ｏ）男．史１８一，山东栖霞人，京大学博士后。Ｅｍａ：ｈｊ＠ｍａｈｐｕｅｕｃ北 — ｉｓｉｌｔｔ．ｋ．ｄ．ｎ
第１期
史江涛等：关于共轭极大子群的一个注记
里 ≥ ＋１则当１，， ≤ ｚ一１时，为循环Ｐ群；＜Ｇ．当一一１时，Ｇ为循环Ｐ群或２一阶广义四元数群。证明反证法。Ｇ不为Ｐ群，ｆ — 户设一令Ｇｆ。 … ，中户为素数，ｉ１ｓ。Ｐ ∈Ｓｌ（，其Ｏｆ且＞ｌ设ｉｙＧ） ≥
类数。
本文的主要目的是推广文献［］理７３和文献［３的结果，给出（一１和（＝１的有限１定．８中将Ｇ）Ｇ）
群的完全分类，中２ ≤４其 ≤ 。
１预备引理
引理１１设Ｉ＝Ｐ，Ｓ（表示Ｇ中Ｐ阶子群的个数，［］ＧＩ＝”以ｋＧ）＝
中图分类号：Ａ
文章编号：０１６０（０００ —０００１０ —６０２１）１０１—３
极大子群在有限群的结构研究中有非常重要的影响，目前已有很多经典结果。文献［３７３明有１例．说
限群Ｇ的所有极大子群均共轭当且仅当Ｇ为素数幂阶循环群。文献［ — ］明了恰有２个极大子群共轭２３证
２１００年３月
关于共轭极大子群的一个注记
史江涛张，翠，孟伟
（．北京大学数学科学学院数学及其应用教育部重点实验室，京１０７；．ｉｅｓｔｆｒｒｋ。ＡＭＮＩ１北０８１ｚＵｎｖｒｉｏｉｓａＦｙＰｍｏＴ。
画。文献Ｄｏ研究了非正规极大子群同阶类类数一２的非可解群。］设Ｇ－Ｇ。－＞Ｇ＞Ｇｚ …＞Ｇ＞ …＞Ｇ一１为群Ｇ的一个子群列，任意ｉ有Ｇ＋是Ｇ的极大子群，＞ｉ对均
则称为Ｇ的一极大子群。并分别用符号（和（表示群Ｇ的一Ｇ）Ｇ）极大子群的共轭类类数和同阶类
①若（一１对ｐ，１Ｇ），＞２Ｇ是循环群；Ｐ，对一２Ｇ是循环群或广义四元数群； ②对ｌ＜ｍ＜ｎ若Ｓ（一１则Ｇ循环。，Ｇ），
引理２１极小单群即每个真子群均可解的非交换单群，有下述５类型：［］１共个 ① ＰＬ（）ｐ３（，。）；）Ｓ２２）ｑ为素数；ＰＬ（，Ｓ２户，＞且５Ｐ一１一１￣ＰＬ（， ③ Ｓ２３）ｑ为奇素数；ＰＬ（） ⑤ ④ ｓ。３；
第２卷８
第１期
广西师范大学学报：自然科学版
ＪｕｎｌｆａｇｉｏｍａＵｎｖｒｉ：ｔｒｌｃｅｃｄｔｎｏｒａｏｎｘＮｒｌｉｅｓｙＮａｕａＳｉｎｅＥｉｏＧｕｔｉ
Ｖｏ．８Ｎｏ１１２．
Ｍａ．０１ｒ２０
Ｇｌｏｊｇａ８６０ｐｒＳｏｅｉ｝．ｉｅｓｙｏｒｒｋ，ＩＴ，ｚｊｋｇ２６０ｏｅ。ｌｖｎａａｌｋ，００Ｋｏｅ，ｌｖｎａ３ＵｎｖｒｉｆＰｉｓａＰＮＭｕｅｓｉｒ，００ＫｐｒＳｏｅｉｌｇａｔｍｏｔ
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（，２）ｑ为奇素数。
２主要结果
定理１设（一１且Ｇ的一Ｇ）极大子群不等于１这里 ≥ １则Ｇ必为Ｐ群。别地，Ｉ一户，，，一特设Ｇｌ这
收稿日期：０９１—２２０ —１０基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７０２；ＡｇｎｉａｉｏａｏｄｊｖｏｔｅｕｌｅＳｏｅｉ ” ｒｊａ１８１３）“ ｅｃａｚｒｚｋｖｌｅｎｓＲｐｂｉｌｖｎｊＰｏ — ｊａｓｎａｋｅｍｌ
４．云南民族大学数学与计算机科学学院。云南昆明６０３）５０１
摘
要：研究一大子群皆共轭（极或同阶）的有限群，给出了２ ≤４时一大子群皆共轭（ ≤ 极或同阶）的有限群
的完全分类。
关键词：限群；一大子群；轭有极共
类的有限群必可解。文献［３出非可解群Ｇ恰有３个极大子群共轭类当且仅当Ｇ￣ＰＬ（）ＰＬ４给Ｓ。７或Ｓ（，中Ｐ为素数。献［］２）其文５利用极大子群共轭类型给出全部交错群和部分对称群一个新的刻画。外，此文献［ —］某些特殊有限群的极大子群共轭类进行了研究。６７对子群同阶类是子群共轭类的推广。子群同阶类类数是指子群按阶是否相同进行划分所得到的类的个数。文献［ —］别对极大子群同阶类类数≤ ２的有限群和极大子群同阶类类数一３的非可解群进行了刻８９分