粘性流体力学讲解

y
p yx

p yx y

y
y o
x
pyx
x
pxy

p x y x

x
y
y
a
x
zo
x
z
运动粘性流体中的压力：定义为三个法向应力的算术平均值
p


1 3
(
p11

p22

p33 )


1 3
(
p
xx

p yy

p zz
)
7.1.2 广义Newton内摩擦定律——本构方程
本构方程：流体性质决定的应力与变形之间的关系。
dp 0 dx
速度分布： （Couette流动）
y hU
u

U 2
1
y h


h2
2
dp dx
1
y2 h2

,

1

y h
1
P= -3 -1 0 1 3 o
x
-h
U 0 , d p 0 纯剪切 dx
u

U 2
1
y h

湍流运动研究方法:
湍流场可看成是统计平均场和随机脉动场的叠加， 即每一点的瞬时物理量看成是平均值和脉动值之和。
u u u, v v v, w w w, p p p
Dt

3
补充方程(状态方程)： const p
5.NS方程的另一形式（旋涡扩散方程） DΩ (Ω )v 2Ω Dt
7.2.3 粘性流体运动的基本特征
• 运动的有旋性： Ω 0
• 旋涡的扩散性：使涡量趋于均匀 • 能量的耗散性：质量力和表面力所作的 功只有一部分变成动能，而另一部分则被 粘性应力耗损变成了热能。

Dv Dt

fy

1

p y
2v


Dw Dt

fz

1

p z
2w
Discussion:
Dv f 1 p 2 v v
Dt

3
1. 物理意义：单位质量流体惯性力、质量力、压力合力和 粘性力平衡。粘性力包括剪应力与附加法向应力。

f
1

p
r
2v

2 r2
vr


v r2

Dvz Dt

fz

1

p z
2vz

D Dt

t
vr
r
v

r
vz
z
2 2 1 1 2 2
r 2 r r r 2 2 z 2
DΩ (Ω )v 2Ω
Dt
7.3 不可压缩粘性流动的准确解
7.3.1 平行平板间定常层流流动——Couette流动
u v 0 x y
(a)
u
u x

v
u y


1

p x

2u x 2

2u y 2
（b）
u
v x

v
v y
二元平行流：


p yx


u y
三维流动：
pij p ij 2 ij
（不可压Newton流体）
pij

( p
2 3


v )
ij
2ij
（可压缩Newton流体）
应力张量 linear 变形张量
ij

1 ( ui 2 x j

u j ) xi
在直角坐标系中：
pxy p yz

p yx p zy

2 yx 2 zy

( u
y
( v
z

v x w y
) )
p zx

pxz

2 xz

( w
x

u z
)
pxx p yy

p p

2 2
u
x v
y

流体力学
第7章 粘性流体力学
• 粘性流动基本特征：层流、湍流、湍流应力； • 粘性流动基本方程：NS方程、Reynolds方程； • 管内流动的阻力问题。
真实流体运动 ——阻力问题
Ch.7 Viscous Fluid Flow
7.1 应力及广义Newton内摩擦定律
7.1.1 流体中一点的应力
应 力： pn pn
,

1

y h

1
U 0, d p 0 dx
Poiseuille
u


h2
2
dp dx
1
y2 h2


umax
1
y2 h2

,

1

y h

1
速度最大值：
umax


1
2
dp dx
h2
平均速度：
um

2 3 umax
平板上剪应力：
而与粘性系数 及管长 l 成反比。
4.阻力及阻力系数（层流）
剪应力分布: u p r
r 2l
管壁剪应力：
0

p 2l
a
0

1 8

u
2 m
摩擦阻力： F 0 2al a 2 p
压力降（或沿程损失）：
p


l d
1 2
u
2 m
or
h f
0
du
dy
yh

dp h dx
y
h
o -h
umax x
dp 0 dx
压力梯度使速度剖面为抛物型——层流运动的特征。
7.3.2往复振荡平板引起的层流流动
平板运动引起粘性效应的扩散。 流场速度分布：
y o u=Ucos t
u U eky cosky t ——粘性扰动波。 y 2
2. 适用条件：（1） const Newton流体；
（2）层流运动； （3）湍流瞬时运动。
3. 简化情形：NS eq.
0
v 0
Euler eq.
静力学方程
4. 方程组的封闭性：
未知量 5个： p, , u,v,w
基本方程(4个):
( v) 0
t
Dv f 1 p 2 v v
p

l
d
u
2 m
2g
(层流和湍流)
l 流体从某截面开始流经 长度时克服摩擦阻力损失了 p 的压力。
沿程阻力系数

4F
0 p
1 2

u
2 m

dl
1 8

u
2 m
l d
1 2

u
2 m
圆管层流:
64
Re
Re umd 2000



流动损失（p
p zz

p
2
w z
与角变形速度关系
与线变形速度关系
本构方程属于物理方程，它的重要性在于建立了 应力场与速度场之间的关系，将作为粘性流体运动微 分方程组的补充方程。
7.2 粘性流体的运动方程(N-S方程)
7.2.1 用应力表示的运动微分方程
取微元正六面体。M点处：
pz

p z z
p n pnxi pny j pnzk
右图证： p n nxp x nyp y nzp z
p x pxxi pxyj pxzk p y pyxi pyyj pyzk p z pzx i pzy j pzz k
P ipx jp y k pz pijeie j
c1
0
；u ra
0
a2 dp
c2

4
dx
速度分布为 u 1 dp a 2 r 2 4 dx
若 l 长度管道内压力降 p p1 p2 0 则
d p p dx l
速度 u 1 p a 2 r 2 or 4 l
u

umax1


1

p y

2v x 2

2v y 2
（c）
u 0, u U
(d )
yh
yh
v 0
(e)yΒιβλιοθήκη h简化为d 2u dy 2

1

dp dx

const
y hU
P= -3 -1 0 1 3 x
o
-h
y
h
o
-h
P 2h2 d p
U d x
umax x


r2 a2
（抛物面）
3.流量与平均流速
平均速度:
1 um 2 umax
umax

p
4 l
a2
体积流量：
Q
a
u
0

2
rdr


a2 2
umax

a4 8 l
p
——（Hagen-Poiseuille定律，1939）。