Black-Scholes公式

这就是无套利的风险中度概率。
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对数正态随机变量
设Y是一个随机变量，若ln(Y)服从均值为μ，方差为σ2 的正态分布，则称Y为以μ和σ为参数的对数正态随机变 量。 即如果Y为对数正态的，则它可以表示为 Y=eX ，其中X~N (μ, σ2) 可以证明
其中W是一个均值为(r-σ2/2) t ，方差为tσ2的正态随机 变量。
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Black-Scholes公式
上述的期权公式用下面的具体形式表示出来即为著名的 Black-Scholes期权定价公式：
C S (0) ( ) Ke rt ( t )
其中
rt 2t / 2 ln( K / S (0)) t
是标准正态分布函数。 下面我们简单证明一下Black-Scholes公式。
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Black-Scholes公式的证明
为表述简洁，s表示标的证券的初始价格，该证券价格的 演变过程服从波动率σ的几何布朗运动，r表示利率； C(s,t,K,σ,r)表示执行价格为K，到期日为t的看涨期权的 价格，则我们要证明
C ( s, t , K , , r ) s ( ) Ke rt ( t )
在风险中度概率下， S(t)可以表示为
S (t ) s exp{(r 2 / 2)t tZ }
其中Z是标准正态随机变量。
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Black-Scholes公式的证明
rt / n t / n 2t / 2n 2 t / n
1 r 2 / 2 (1 t / n) 2
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Black-Scholes公式
n阶近似模型里唯一的风险中度测度是基于下面的假设得 到的：在每个时间段，证券价格要么以概率p上涨为原来 的 e
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多时期二项模型
引进随机变量Xi
1 Xi 0
uS (i -1) 若（ S i） dS (i -1) S i） 若（
我们可以把随机向量(X1,X2,…,Xn)看作是试验结果。由套 利定理知，为了不存在套利机会，在这个结果集上必存 一个使得所有的赌博都是公平的概率测度。即存在一个 率集合 P{X1=x1,…, Xn=xn}, xi=0,1, i=1, …,n 使得所有的赌博都是公平的。
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多时期二项模型
考虑下面的赌博：选定一个i (i=1, …,n)和一个向量(x1,…, xi-1)，该向量的每个元素取值为0或1. 观察前个时间段股价的变化，如果对每个j (j=1, …,i-1)都 有， Xj=xj那么就立刻购买一个单位股票并在下一时刻将 其卖出。 若我们在i-1时刻购买股票将花费S(i-1) ，下一时刻股票上 涨则卖出得uS(i-1)，现值为(1+r)-1uS(i-1)；下一时刻股票 下跌则卖出得dS(i-1)，现值为(1+r)-1dS(i-1)。
s ( ) Ke rt ( t )
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Black-Scholes公式
风险中度几何布朗运动仅依赖于σ的变化，而不依赖于
μ，故期权的无套利价格对布朗运动的依赖性仅仅是通
对布朗运动的波动参数σ的依赖来体现的，而与漂移参 无关。 我们推导了看涨期权定价公式，欧式看跌期权的无套利 格可以由下面的看涨看跌期权平价公式得到：
2
2
E[ S (t )] e
t (
)
S (0)
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几何布朗运动
用Δ表示一个小的时间增量，并假定，在每个Δ时间单 内，证券的价格或者以概率p增长u倍，或者以概率（1p）下跌d倍，其中
u e

, d e

,
1 p (1 ) 2
Black-Scholes公式
在风险中度布朗运动下， S(t)/ S(0)是一个均值参数(rσ2/2) t，方差参数为tσ2的对数正态随机变量。 因此，时刻t到期的执行价格为K的上述证券的看涨期权 的无套利价格C是
C e rt E[( S (t ) K ) ]
e rt E[( S (0)eW K ) ]
Biblioteka Baidu1 Xi 0
若（ S it / n） uS （(i -1)t / n） 若（ S it / n） dS （(i -1)t / n）
在这个n阶近似模型里，唯一能够使得所有购买这种证券 的赌博都公平的概率就是使得诸Xi都相互独立，且
1 rt / n d 1 rt / n e t / n P{ X i 1} p t /n ud e e t / n
1 y 2 /2 rt se e dy 2
(令y x t )
se
rt



1 y 2 /2 e dy 2
se P{Z }
rt
se rt ( )
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Black-Scholes公式的证明
定理 Black-Scholes公式
Black-Scholes公式的证明
证明：
S (t ) K exp{(r 2 / 2)t tZ } K / s
ln( K / s ) (r 2 / 2)t Z t
ln( K / s ) rt 2t / 2 Z t
ln( K / s ) rt 2t / 2 2t Z t
Black-Scholes公式
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南开大学数学科学学院 白晓棠
多时期二项模型
考虑一个有n个交易时间段的股票期权，设每个时间段的 名义利率均为r。 用S(0)表示股票的初始时刻价格， S(i)表示股票在第i个时 刻的价格，其中i=1,…,n。 假设S(i)的取值只可能是uS(i-1)或dS(i-1)，其中d<1+r<u. 假设在0时刻到n时刻之间，股票可以在任意时刻买进或 卖出。
或者等于旧价格乘以因子
d e
t / n
1 , 概率为1-p (1 t / n) 2
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Black-Scholes公式
这个n阶近似模型是一个n阶二项模型。这个二项模型里 每一个时间段t/n后的价格要么上涨为原来的价格乘上系 数u，要么下跌为原来的价格乘上系数d。故如果令
P( Z t )
( t )
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Black-Scholes公式的证明
引理3
e rt E[ IS (t )] s( )
证明：取 c t ，则有
E[ IS (t )]

c
1 x2 /2 s exp{(r / 2)t t x} e dx 2
Z t
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Black-Scholes公式的证明
引理2
E[ I ] P{S (t ) K } ( t )
其中Φ是标准正态分布函数。 证明：由定义可知
E[ I ] P{S (t ) K }
P( Z t )
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Black-Scholes公式
利用ex的麦克劳林展式有
e
e
于是
t/n
t/n
1 t / n 2t / 2n
1 t / n 2t / 2n
t/n t/n
p
1 rt / n e e
t /n
e
t /n
倍，要么以概率1-p下跌为原来的 e
t /n
倍。
当 n 时，这个风险中度分布收敛到一个漂移参数为 r-σ2/2，波动参数为σ的几何布朗运动。 根据套利定理，期权需根据风险中度几何布朗运动的概 分布来定价才能使赌博公平，不然就会存在套利的机
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多时期二项模型
若令
P{ X 1 x1 , , X i 1 xi 1}
为股票被购买的概率，并且令
p P{ X i 1| X 1 x1 , , X i 1 xi 1}
为一只股票在下一时间段价格上涨的概率，那么这种赌 在i-1时刻的期望收益为：
当Δ取得越来越小时，价格的变化就越来越频繁，相应 价格集就近似为一个几何布朗运动。
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Contents
1 2
Black-Scholes公式
公式的推导
3 4
公式的应用
公式的性质
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Black-Scholes公式
考虑一个执行价格为K、到期日是t的某证券欧式看涨期 权。 假设名义利率是连续复利利率r，而且这种证券的价格变 化过程服从漂移参数为μ、波动参数为σ的几何布朗运 动。 在这些假设条件下，上述期权的唯一无套利价格是多 首先令S(y)表示标的证券在时刻y时的价格。
2
1 2 s exp{( r / 2)t} exp{( x 2 2 t x) / 2}dx c 2
1 rt se exp{( x t ) 2 / 2}dx c 2
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Black-Scholes公式的证明
1 rt se exp{( x t ) 2 / 2}dx c 2
P( s, t , K , , r ) C ( s, t , K , , r ) Ke rt s
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Black-Scholes公式的应用
2
2
E (Y ) e

Var (Y ) e
2 2 2
e
2 2
e
2 2
(e 1)
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2
几何布朗运动
前面我们曾经讲过，若随机变量Y为以为参数的对数正态 随机变量，则
2
2
E (Y ) e
若已知证券的初始价格为S(0)，时刻t价格的期望值仅依 赖于几何布朗运动的漂移参数和波动参数，即对于S(t)我 们有
令I为期权到期时以实值结束这一事件的示性随机变量， 即
1 I 0
引理1
若S (t ) K 若S (t ) K
1 I 0
其中
若Z t ， 其他，
rt 2t / 2 ln( K / s ) t
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C ( s, t , K , , r ) s ( ) Ke rt ( t )
证明：
C ( s, t , K , , r ) e rt E[( S (t ) K ) ]
e rt E[ I ( S (t ) K )]
e rt E[ IS (t )] e rt KE[ I ]
p (1 p ) [ uS (i 1) dS (i 1) S (i 1)] 1 r 1 r
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多时期二项模型
若无套利产生，上述期望值应为0，于是
pu (1 p )d 1 1 r 1 r
解得：
1 r d p ud
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Black-Scholes公式
由于{S(y)，0 ≤y≤t}服从漂移参数为μ、波动参数为σ 的几何布朗运动，作为该模型的n阶近似，我们可以假设 每过t/n个单位时间，证券的价格就会变化一次； 它的新价格或者等于旧价格乘以因子
ue
t/n
1 t / n) , 概率为p (1 2