中国矿业大学环境与测绘学院测绘《测量平差》第五章_附有限制条件的条件平差张书毕
[精选]【测绘课件】测量平差--资料
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二、矩阵的转置
对于任意矩阵Cmn:
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2n
mn
cm1
cm2
cmn
将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。
用：
c11 c21 cn1
CT c12
c22
cn
2
评定测量成果的质量
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测量平差产生的历史
最小二乘法产生的背景 18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未 知数的最佳估值？
最小二乘的产生
1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘 1806年，A.M. Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。《决定彗星轨道的 新方法》 1809年， C.F.GUASS，《天体运动的理论》
地图制图与地理信息系统工程
课程安排
前修课程：高数、几何与代数、概率与 数理统计
课程分两个学期进行： 第二学年上学期：3学分 第三学年下学期：2学分
后续课程：测绘数据的计算机处理、控 制测量、近代平差
教学方式与内容
讲授为主，例题、习题相结合。 内容：本学期主要讲前五章的内容。 参考书目：
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误差：测量值与真值之差
由于误差的存在，使测量数据之间产生
矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛
盾，或者说是将误差分配掉，因此称为
平差。
(
)实际
180
( )理论 180
测量学课后习题答案中国矿业大学出版高井祥
《测量学》各章节练习习题及参考答案第一章绪论1 测量学在各类工程中有哪些作用？答测量学在诸多工程中有着重要的作用，比如在地质勘探工程中的地质普查阶段，要为地质人员提供地形图和有关测量资料作为填图的依据；在地质勘探阶段，要进行勘探线、网、钻孔的标定和地质剖面测量。
在采矿工程中，矿区开发的全过程都要进行测量，矿井建设阶段生产阶段，除进行井下控制测量和采区测量外，还要开展矿体几何和储量管理等。
在建筑工程中，规划和勘测设计的各个阶段都要求提供各种比例尺的地形图；施工阶段，将设计的建筑物构筑物的平面位置和高程测设于实地，作为施工的依据；工程结束后还要进行竣工测量绘制各种竣工图。
2 测定和测设有何区别？答通过测量确定地物和地貌在空间中的位置即为测定，而测设是根据工程设计图纸上待建的建筑物、构筑物的轴线位置、尺寸及其高程，算出待建的建、构筑物各特征点(或轴线交点)与控制点(或原有建、构筑物特征点)之间的距离、角度、高差等测设数据，然后以地面控制点为依据，将待建的建、构筑物的特征点在实地标定出来，以便施工。
3 何谓大地水准面、绝对高程和假定高程?答与平均海水面重合并向陆地延伸所形成的封闭曲面，称为大地水准面。
地面点到大地水准面的铅垂距离，称为该点的绝对高程。
在局部地区或某项工程建设中，当引测绝对高程有困难时，可以任意假定一个水准面为高程起算面。
从某点到假定水准面的垂直距离，称为该点的假定高程。
4 测量学中的平面直角坐标系与数学中坐标系的表示方法有何不同?答在测量中规定南北方向为纵轴，记为x轴，x轴向北为正，向南为负；以东西方向为横轴，记为y轴，y轴向东为正，向西为负。
测量坐标系的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限为顺时针方向编号。
测量坐标系与数学坐标系的规定是不同的，其目的是为了便于定向，可以不改变数学公式而直接将其应用于测量计算中。
5 测量工作的两个原则及其作用是什么?答“先控制后碎部、从整体到局部”的方法是测量工作应遵循的一个原则，保证全国统一的坐标系统和高程系统，使地形图可以分幅测绘，加快测图速度；才能减少误差的累积，保证测量成果的精度。
误差理论与测量平差基础第五章条件平差ppt课件.pptx
5-2 条件方程的列立
故有：
dA
1 ha
(dSa
cos CdS b
cos BdSc
)
将微分换成改正数，并将弧度换
成角度，得：
vA
ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc
)
上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律：
任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻 边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的
3、几种非线性条件方程的线性形式
极条件： 在图5-4中，极条件为 线性化得：
sin aˆ1 sin aˆ2 sin aˆ3 sin bˆ1 sin bˆ2 sinbˆ3
1
sin(a1 va1 )sin(a2 sin(b1 vb1 )sin(b2
va2 )sin(a3 va3 ) vb2 )sin(b3 vb3 )
dV
dV
dV
VTP VTP
2V T P
5-1 条件平差原理
2.2 求偏导
2.3 法方程 改正数方程
d 2V T P 2K T A 0 dV
AP1 AT K W 0
V P1 AT K
举例
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
m1
yA yˆi yB 0 i 1
5-2 条件方程的列立
➢GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件 方程
1、观测值
观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2 N。
2、必要观测个数
t=N+1
h
3、多余观测个数
r=n-t=2N-N-1=N-1 4、条件方程的类型
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第二章课件 平差数学模型与最小二
(2-1-3)
(2-1-4)
由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就 必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少 个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种 函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
综上所述，由于有了多余观测，必然产生条件方 程，但由于观测不可避免地含有误差，故观测值之 间必然不能满足理论上的条件方程，即：
转折角度观测值 β1 = 85˚30′ 21.1″ β2 = 254˚32′ 32.2″ β3 = 131˚04′ 33.3″ β4 = 272˚20′ 20.2″ β5 = 244˚18′ 30.0″
解： 未知导线点个数n – 1 = 3，导线边数n = 4，观测角 个数n + 1 = 5 近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表 3-2中 表3-3
0 0 0 1 1 1 1 1 0 A 0.3868 0.7857 0.0499 0.9959 1.8479 1.1887 0.7614 0.0857 0 0.9221 0.6186 0.9988 0.0906 1.2502 1.5267 0.9840 0.9417 0
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任 何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测 元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上 述⑵情况中，任意三个必要观测元素，如 L1、L2、S1 之间，其中 S 1 不可能表达成 L1、L2 的函数，除非再 增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为 函数独立量，简称独立量。 在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何 量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所 有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测 n个，当观测值个数小于必要观测个数，即n<t,显然 无法确定模型的解；
测量平差教学课件PPT
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度： • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，
精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
• 当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即 观测值中只存在偶然误差时，均方误差就 等于方差，此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
实用文档
x1yr
x2 yr
...
（correlation observation） 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
秩亏自由网平差方法研究
目录目录 ............................................................... 1 1 引言 (1)1.1 研究进程 ................................................... 1 1.2 选题目的 ................................................... 2 1.3 本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段 ................. 2 2 秩亏自由网平差 .................................................. 3 2.1 问题的提出 ................................................. 3 2.2 秩亏自由网平差原理 ......................................... 5 2.3 S 的具体形式 ............................................... 7 3 平差方法分析及比较 . (8)3.1 重心基准的秩亏自由网平差 ................................... 8 3.2 拟稳平差 (9)3.3 最小范数准则ˆˆmin T p p x Px................................... 10 3.4 秩亏自由网的广义逆解法 .................................... 11 3.5 分析与比较 ................................................ 13 4 实例分析 ....................................................... 15 结 论 ............................................................ 21 致 谢 ............................................................ 22 参 考 文 献 . (23)1 引言1.1 研究进程近几十年来，测量平差与误差理论得到了很大的发展，除了经典测量平差方法（条件平差法、间接平差法、附有参数的条件平差法、附有限制条件的条件平差法），产生了一些新的测量模型，后者常称为近代测量平差方法.测量平差中的秩亏问题，引起了国内外许多学者的重视，纷纷发表文章从各个不同的角度加以论述.从大多数论文来分析，其中大部分谈论这类问题的求解方法.产生这种现象的原因，一方面是由于秩亏问题较古典平差问题新鲜，另一方面由于解决这类问题存在着各种各样的途径与方法.为了使秩亏问题更好的用于监测的目的，我国测量学者周江文教授于1980年提出一种拟稳平差方法.这种方法的特点，首先通过分析，确定网中相对稳定的未知量，对整个网做自由网平差的同时，是这些稳定未知量拟合于他们的稳定值.这种方法，既区别于传统固定若干未知量作强制符合，使监测网造成不必要的变形；又区别于自由网平差，因后者未知量没有稳定的基准.这种平差方法既不歪曲观测，又有相对稳定的基准，在相对稳定点事先获得较合理、精度较高的近视值得情况下，能够解答出准度较高的待估参数值.我国大地测量学家刘大杰教授在《在论亏秩自由网平差》从传统的测量平差观点出发论述和分析亏秩自由网平差之解的性质着重讨论了：1、按“附加条件法”讨论亏秩自由网平差问题，其结果与“假观测值法”相同，但前者较后者更为恰当.2、亏秩平差之解具有方差最小性，也具有无偏性.3、亏秩平差之解与参考系的关系.于正林教授在《自由网平差中若干问题的讨论》一文中着重讨论了秩亏网平差、拟稳平差、和加权秩亏网平差结果之间的相互转换，以及各种自由网平差所求得的参数估计值的统计性质等问题.中国矿业大学环境与测绘学院，针对自由网秩亏问题，提出一种名为双重条件平差的方法，该方法简洁易懂，且法方程的系数不会出现秩亏问题，对秩亏自由网平差有一定的参考价值.总之，在国内学术界对秩亏自由网平差的研究很多，通过各种途径和方法来探讨和研究.1.2 选题目的“测量平差”是测绘学中一个重要的基础理论和应用学科.近四十年来，随着测绘科技和相关学科的迅速发展，该学科在理论上有突出进展．其研究范围也由线性模型的经典平差向相关平差、滤波推估、秩亏平差、动态平差等方向扩展，从单纯地研究随机误差理论扩展至包括系统误差和粗差的全误差系统.而秩亏自由网平差在变形监测、GPS 网平差等有着重要的应用.1.3 本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段1.3.1 本文研究的问题秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题 因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵T bb N B PB 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 等价于最小范数准则, 从而得到未知参数的唯一确定解. 本文主要从传统的测量平差的观点出发, 来分析和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了亏秩平差之解与传统自由网平差之解的关系, 与广义逆矩阵的关系, 不变量的条件, 以及几种算法.1.3.2 研究途径 （1）文献查阅通过阅读 测量学、测量平差与误差理论 、广义测量平差 等专业书籍.了解与掌握误差理论与平差的基本知识和方法.在期刊网上检索相关文献，了解前人相关研究成果，对做好本次研究有重大的指导作用. （2）请教导师对于论文所涉及的知识，所存在的疑惑，通过咨询指导老师，老师的悉心解答对文章具有重要的指导意义. (3) 采集数据通过网上搜集数据，为文章后面的实例提供了有力的依据，使文章结构更加清晰明了.2 秩亏自由网平差2.1 问题的提出在经典间接平差中，必须有足够的起算数据.当控制网中仅含必要的起算数据，通常称为自由网.用经典方法平差这种网，俗称经典自由网平差.当控制网除必要的起算数据，还有多余的起算数据的网称为附合网，在间接平差时，不论是自由网还是附合网，当所选的参数不存在函数关系时，误差方程系数矩阵B 总是列满秩的，即R(B)=t （t 为必要观测）.由此得到的法方程系数阵的秩t B R PB B R N R T bb ===)()()( 法方程具有唯一解.下图水准网中,假定3P 的高程已知为3H ，待定点1P 、2P 的高程平差值为0111ˆˆX X x =+，0222ˆˆX X x =+.各段路线长度为S ，高差为等权观测，误差方程 32312131ˆVxl B ⨯⨯⨯⨯=- （2-1） 的显式为1112223310ˆ11ˆ01v l x v l x v l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦法方程及其显式为ˆT T B BxB l = (2-2) 1122ˆ21ˆ12xw x w -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦在误差方程系数阵B 中，存在一个二阶行列式不等于零，如10111=-，故B 的秩R （B ）=2，即B 为列满秩阵.由此法方程系数的秩R(N)=R(B)=2，所以法方程有唯一解为1ˆ()T T xB B B l -= (2-3)这就是经典自由网平差情况.水准网图上述间接平差函数模型还可以用下面方式组成：先设3P 点的平差值0333ˆˆX X x =+，参与列误差方程，然后另033ˆX X =，将3ˆ0x =作为参数的条件方程，于是其函数模型为33313131ˆVxl B ⨯⨯⨯⨯=- (2-4)13310ˆT C x⨯⨯= (2-5) 式中[]001T C =,其显式为111222333ˆ101ˆ110ˆ011v xl v x l v x l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123ˆˆ0010ˆxx x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（即3ˆ0x =） 将（2-5）代入（2-4）式即得，可见俩种模型等价，平差结果相同. 在这种情况下，误差方程（2.1-4）的行列式等于零，即1011100011--=- 其中有二阶行列式不等于零，故R(B)=2，数2为网中必要观测数，B 为秩亏阵，其列亏数d=3-2=1，表示缺少一个起始高程，因此给定条件式（2-5），转化成附有限制条件的间接平差问题，可求其唯一解.没有起算数据的并以待定点坐标为待定参数的控制网，也是自由网.是一种特殊用途的控制网.一般网中待定坐标个数为u ，必要观测为t ，全部观测为n ，则B 为n ×u 阶矩阵，其秩R(B)=t ＜u ，列亏数d=u-t ，相应的法方程系数阵N 也是秩亏阵，R(N)=t ＜u ，秩亏数也为d=u-t.这种网称为秩亏自由网.产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以d 就是网中必要起算数据的个数，对于水准网，必要的起算数据是一个点的高程，故d=1.对于测角网，必要的起算数据是俩个点的坐标，故d=4.对于测边网或边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一个方位，故d=3.秩亏自由网的法方程系数阵N 奇异，即0N =,故N 的凯利逆1N -不存在，法方程有无穷解.如何合理的求解这类平差问题，就是本文要讨论的秩亏自由网平差问题.2.2 秩亏自由网平差原理秩亏自由网平差的误差方程为111ˆn u n u n V B xl ⨯⨯⨯⨯=- (2-6) 式中u 为网中全部坐标参数的个数，系数矩阵的秩rk （B ）=t<u,秩亏数d=u-t ，按最小二乘原理min T V PV =，P 为非奇异，所得法方程为ˆNxW = (2-7) W=T B Pl ，rk （N ）=rk （T B PB ）=t<u ，N 奇异，法方程具有无穷多组解. 在一个不设基准的平差问题即秩亏自由网中，若设其未知参数的个数为u ，必要观测为t<u ，则其基准个数应为d=u-t ，所以上述的秩亏数就是秩亏自由网中的基准秩亏数.为了在秩亏自由网中求得未知参数的唯一解，需对网中u 个参数给定d 个基准约束条件.例如，二位测角网，令其俩个点的坐标为已知，并取已知坐标的近似值，或固定一个点的坐标，一条边长和方位角.就可以给出诸如（2-8）式的基准约束条件.就可以唯一解出在此基准条件下的参数估值，这就是经典自由网平一般，为了获得位置参数的唯一解，给定加权的基准约束条件为1ˆT x d u u u u S P x⨯⨯⨯=0 (2-8) 式中rk （S ）=d ，而且rk T B S ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=u (2-9)BS=0 (2-10) 左乘T B P ，既得NS=0 （2-11）T S 行满秩表示（2.2-3）式中d 个方程互不相关，d 个条件与误差方程相互独立，由（2.2-5）式知，S 是矩阵N 的d 个零特征值所对应的d 个互不相关的特征向量所构成的矩阵，可由N 的特征值方程求出. x P 称为基准权，x P 不同取值反应了所取基准约束不同，亦即x P 对应了所选的基准数.按最小二乘原理，另函数ˆ2()min T T T x V PV K S P x ϕ=+= （2-12） 得法方程为ˆˆˆ0x Tx Nx P xK W S P x+== (2-13)将上式的第一式左乘T S ，顾及（2-10）和（2-11）式的 T x S P SK=0 因二次型T x S P S 不能为零，故必有K=0于是（2-12）式为T V PV ϕ==min可见，秩亏自由网平差的最小二乘原则与位置的基准约束无关，亦即T V PV 是一个不变量，平差所得得改正数V 不因所选取的基准约束不同而异，这是一个重要将（2-13）式中的第二式左成x P S 后与第一式相加顾及K=0，可得ˆ()T x x N P SS P x W += (2-14) 由（2.2-4）式知系数矩阵满秩，令1()T p x x Q N P SS P -=+ (2-15) 则参数估计为ˆp p xQ W = (2-16) 按协因数传播律，ˆx的协因数为 ˆx p p p Q Q NQ = (2-17)顾及()T x x N P SS P + p Q =E (2-18) 上式也可写成ˆx p Q =p Q -p Q T x x P SS P p Q (2-19)在实际计算中，也可将S 标准化为G,使满足T xG PG E = (2-20) 用S 右乘（2-18）式，考虑NS=0得p Q x P S=S 1()T x S S P S - (2-21)将（2-21）式代入（2-19）式，顾及（2-20）式可得ˆTxp pQ Q GG =- (2-22) 单位权方差估计为20()T V PVn R B σ=- (2-23)2.3 S 的具体形式由（2-11）式确定的S ，具体形式可取为： 一维的水准网，秩亏数 d=1()1111T mS ⨯=⋅⋅⋅ (2-24)三维GPS 网，秩亏数 d=3()3333331TmS E E E ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅ (2-25)二维测边网，秩亏数d=332000000112210101001011Tmmm SY X Y X Y X ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⋅⋅⋅⎣⎦(2-26) 二维测角网秩亏数 d=4000000421122000000112210101001011Tmmm mm SY X Y X Y X X Y X Y X Y ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥=⎢⎥--⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦(2-27) 以上均假设控制点总网点数为m.3 平差方法分析及比较3.1 重心基准的秩亏自由网平差采用重心基准，基准权设为单位阵，x P =E ，一般称为普通秩亏自由网平差 平差的模型为ˆˆ0min T T V Bxl S x V PV =-⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⎩⎭(3-1) 由（2-15）（2-16）（2-19）（2-22）式得模型的参数估计为1ˆ()T r r xQ W N SS W -==+ (3-2) ˆTxr r r r Q Q Q SS Q =- (3-3)下面以水准为例，说明重心基准的由来.对于水准网基准约束ˆ0T S x=的具体形式为 12ˆˆˆ0m xx x ++⋅⋅⋅+= 平差后各点高程的平差值为00111111ˆˆ()m m m i i i i i i i X X X xX X m m m =====+==∑∑∑ (3-4) 即平差后各高程点的平均值X 等于平差前各个高程近似值的平均值，水准网的重心高程不变.这也说明秩亏自由网平差基准取决于所取坐标近似值系统.3.2 拟稳平差以拟稳基准的秩亏自由网平差称为拟稳平差. 将网中参数分为俩类，设 ()12111T TT uu u x x x ⨯⨯⨯=其基准权为1122u u x u u OO P O E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦式中12u u u +=，2u >d.基准约束式为（2-8），令()12TTTd ud u d u SSS⨯⨯⨯=则拟稳平差的基准约束条件为22ˆ0TS x= (3-5) 顾及上述关系式，由（2-16），（2-14）式得1ˆ()T s sS x QW N S S W -==+ (3-6)()20T TT S x S S P S == (3-7)由（2-21）式得122()TS S Q S S S S -= (3-8)采用2S 标准化矩阵2G ,即2T G 2G =E ，将上式（2-19）式的ˆs T x S Q Q GG =- （3-9）拟稳平差是全部网点分为俩个部分1X 2X ，2X 是拟稳点的坐标参数，基准约束条件（3-5）仅包含参数2X .所以拟稳基准拟稳点组的重心基准平差. 当所取的2u d =时，拟稳平差就转化为经典自由网平差.3.3 最小范数准则ˆˆmin T p p x Px =通过基准变换推导出ˆp x=ˆx +SD ，从理论上证明了最小范数准则 ˆˆmin Tp p x Px = 与基准约束条件ˆ0T x S P x =等价.即上述的秩亏自由网平差模型（3-10）与（3-11）等价，俩者平差结果相同.说明基准条件与基准要求等价. 在加权范数最小的条件下，即在ˆˆmin T p p x Px = 的条件下，未知数的解为ˆˆP p p x x Q W Q W == 它的协因数阵为ˆP Tx p p pQ Q NQ Q GG ==- 式中1()T p xx Q N PGG P -=+ x P 为表示未知参数稳定程度的权矩阵.对与G 阵满足（2-9）（2-10）（2-11）式的条件.3.4 秩亏自由网的广义逆解法秩亏自由网平差按附加基准约束模型（3-10）进行平差.称为附加条件法.广义逆解法则采用与（3-10）的等价模型（3-11）来计算. 由（3-11）的前俩式，x 的最小二乘可由以下法方程得出Nx=W (3-12) 此解不唯一，因为N 为奇异阵.考虑参数约束要求ˆˆmin Tp p xPx =由（3-12）式可以解的参数加权最小范数的唯一解为ˆxmp P x N W = (3-13) 式中x m P N 是法方程系数阵N 的加权最小范数逆，xmP N 不唯一，但其解唯一. 根据加权最小范数逆的定义：对于相容方程NX=W ，1/21111()T x X p X ⨯= ，则同时满足,()T x xNGN N GN P PGN == (3-14) 的G 称为N 的加权最小范数逆，为xm P N . 在附加条件法参数解（2-16）式中的1()T p x x Q N P SS P -=+是N 的加权最小范数逆，这里就不证明了.加权最小范数逆不唯一，有多种选择，但必须满足（3-14）中的俩个条件. 当x P 正定是，在平差中常用的一种选择是11()x mTT P x x N P N NP N ---= (3-15)特别的当x P 为单位阵时()xm T T P N N NN -= (3-16) 下面对最小范数逆解的唯一性给出证明：设有俩个最小范数逆为1m N -和2m N -，相应的最小范数解为 11,m X N W-= 22m X N W -= 因为最小范数逆满足下列俩个方程：m NN N N -=()T m m N N N N --=所以()T T T m m N NN N N NN --==1T T m N NN N -=,2T T m N NN N -=上述俩式相减的12()T m m N N NN O ---= 俩边右乘以12()T m m N N ---得到1212()()T T m m m m N N NN N N O ------=上式是个二次型，要成立的话，必须有：12()m m N N N O ---=俩边同时右乘以任意解向量Y ,得12()m m N N NY O ---=又因为NY W =,故有：12()m m N N W O ---= 12m m N W N W O ---=所以：12m m N W N W --=可见，最小范数解不因最小范数逆不同而异，最小范数逆的解唯一.3.5 分析与比较秩亏自由网平差按附加基准约束模型（3-10）进行平差.称为附加条件法，对于重心基准平差，以水准网为例，平差后各高程点的平均值X 等于平差前各个高程近似值的平均值，水准网的重心高程不变.这也说明秩亏自由网平差基准取决于所取坐标近似值系统.在拟稳平差中，基准权1122u u x u u O O P O E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦（其中u1+u2=u ，u2>d.），当u2=d 时，就转换成为了经典自由网平差，也就是说经典自由网平差是拟稳平差的一种特例.最小范数准则ˆˆmin T p p x Px =与基准约束条件ˆ0Tx S Px =俩者等价，即俩种秩亏自由网平差模型等价.此外最小范数准则还与ˆˆ()min xx x tr Q P =等价（方差最小性）.下面证明：ˆˆˆˆ()(())T TE x Px E tr x Px=ˆˆˆ(())(())T T x x E tr xxP tr E xx P ==及 ˆˆˆˆˆ()()()()T D xE xx E x E x =- 可得 2ˆˆ0ˆˆˆˆ()()(()())T T xx x x E x Px tr Q P tr E x P E x σ=+上式右边为常量，上述等价性得证.当x P =E 时，则有ˆˆ()xx tr Q min =当x P =220u u diag E ⎛⎫⎪⎝⎭时，则有22ˆˆ()min x x tr Q =.重心基准的参数估计具有最小迹的性质，而拟稳平差仅拟稳点坐标参数估计具有最小迹.广义逆解与附加条件的解相同，下面证明附加条件参数解(2-15) 1()T p x x Q N P SS P -=+是N 的加权最小范数逆.先证明一个有用的等式，由 ()T x x N P SS P + p Q =E 俩边右乘S ，考虑NS=0，得T p x x Q P S S P S S = 由(3-14)式得()T T p p x x x x NQ N NQ N P SS P P SS P =+-()Tp x x N E Q P SS P =-1(())TTx x N E S S PS S P N -=-=1()(())TT Tp x x x x Q N P E S S P SS P P -=- 1(())T Tx x x P E S S P S S P -=-x p P Q N =故有 1()xT m p x x P Q N P SS P N -=+∈ 也说明采用模型（3-10）与模型（3-11）进行秩亏自由网平差结果是相同的，再次说明俩模型等价.总之，（1）无论用哪种方法所得到的改正数V 是一样的，单位权中误差不变.（2）用附加条件法讨论时便于分析和验证估值的最优性，而用广义逆矩阵方法容易导出为未知数的唯一解，并可以根据广义逆矩阵的方法得到适当的算法.（3）对于一定的参考系秩亏平差的解具有方差最小性（即ˆˆ()xx tr Q min =）.（4）对所得的ˆˆxx Q 可作为该网不受起算数据误差影响的内精度值，来衡量整个网的精度.（5）当所平差的秩亏自由网的G 阵已知时采用附加条件法较方便（测量上遇到的自由网，G 阵一般是已知的），当G 阵不知道时，则宜采用广义逆矩阵法.4 实例分析例1:图水准网，C B A 、、点全为待定点，同精度独立高差观测值为m h 345.121=，m h 478.32=，m h 817.153-=，平差时选取C B A 、、三个待定点的高程平差值为未知参数321ˆˆˆX X X 、、，并取近似值)823.25345.22100302010m X X X X （⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=试分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及其协因数阵.解：1．直接解法 误差方程为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=600ˆˆˆ101110011321x xx V 法方程为0606ˆˆˆ211121112321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------x xx由法方程易知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211211N ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1211121N ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=061W所以有⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-6336271)(11111T N N Q未知参数的改正数为)(202)(ˆ111111111m m W Q N W N N N xT T T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===-未知参数的平差值为)821.25345.22002.10ˆˆˆˆˆˆ321030201321m x x x X X X X X X （⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛未知参数的协因数阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------==2111211129111111111ˆˆN Q N Q N Q T X X2．附加条件法解法一中已求得法方程为0ˆ=-W xN 的具体形式为： 0606ˆˆˆ211121112321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------x xx该水准网有3个待定点，所以附加阵为()11113=⨯TS⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯31313113TG则有TGG N N +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=11111111131211121112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=72227222731 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-522252225911N所以有)(20260652225222591ˆ1m m W N x⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-未知参数的的协因数阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-=-211121112911ˆˆT X X GG N Q结果与直接解法完全相同.例2 如图的水准网中，观测高差﹑距离和各带定点高程近视值列于表1中分别进行下列自由网平差.如下图（1） 以6号点为固定点的经典自由网平差； （2） 以重心基准的自由网平差，P=E ；（3） 以1 2 5 6 四个点为拟稳基准的拟稳平差，Px=diag （1 1 0 0 1 1）.各种平差的参数估值分别记为ˆc x ˆr x ˆs x 及解向量的各范数值；参数估值的协因数及其迹列于下列图表中.观测数据与改正数 表-1未知参数的估值ˆx（mm ） 表-2 其中ˆx=（1 2 5 6 3 4 ） 1ˆx =（1 2 5 6） 2ˆx =（3 4）未知参数估值ˆx的协因数 表-3由上表所列的数值，可以清楚看到各种自由网平差所具有的特点. （1）各法所得得改正数V 相同，均具有min T V PV =. （2）普通秩亏自由网平差61ˆ0i i x ==∑，且有ˆˆm i n T x x =（ˆˆTx x =248.38）和tr(1ˆi x Q =)=min(ˆx Q =29.40).（3）拟稳平差满足1ˆ0ix=∑且有11ˆˆmin T x x =（1.01）和tr(ˆ1x Q )=min (tr ˆ1x Q )=20.47.（4）经典平差可以看做一种特殊的拟稳平差，满足6ˆ0x =和tr （ˆ6x Q ）=0.(5)总之，各种秩亏自由网平差均满足ˆ0i x i iP x =∑且有ˆˆmin T p p x Px =.结 论通过以上分析和实例验证，在经典间接平差中，必须有足够的起算数据，所选的待定参数之间不存在函数关系时，误差方程的系数阵总是列满秩的，且秩等于必要观测数，法方程系数是一个对称的满秩矩阵，即法方程有唯一解.而秩亏自由网没有起算数据参与的并以待定点参数的网，误差方程不是列满秩，其相应的法方程系数阵为奇异阵，要求出参数的解，一种从传统测量平差观点出发，利用假观测法或附加条件式来讨论，一种是从线性代数观点出发利用广义逆矩阵来讨论，俩种方法得到的结果是相同的，（1）无论用哪种方法所得到的改正数V 是一样的，单位权中误差不变. （2）用附加条件法讨论时便于分析和验证估值的最优性，而用广义逆矩阵方法容易导出为未知数的唯一解，并可以根据广义逆矩阵的方法得到适当的算法.（3）对于一定的参考系秩亏平差的解具有方差最小性（即ˆˆ()xx tr Q min ）.（4）对所得的ˆˆxx Q 可作为该网不受起算数据误差影响的内精度值，来衡量整个网的精度.（5）当所平差的秩亏自由网的G 阵已知时采用附加条件法较方便（测量上遇到的自由网，G 阵一般是已知的），当G 阵不知道时，则宜采用广义逆矩阵法.致谢首先，向我的指导老师魏东升老师以衷心的感谢！感谢魏东升老师的细心的指导，在论文的进行过程中，魏东升师做了大量的指导工作，对论文的结构及内容提出了许多的意见和建议.在论文定稿期间，魏东升老师还花了大量的时间做了仔细认真的审阅并提出了许多宝贵的意见.同时也感谢教研室龙江平等老师的细心解答与指导.其次，在论文实践期间，感谢同学在论文过程中给予的帮助！在此，向帮助我的老师、同学、表示深深的感谢，感谢他们对我的支持和帮助.谢谢.参考文献[1] 崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰.广义测量平差. 北京：测绘出版社，1982[2] 崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰,，于正林广义测量平差（第二版）北京：测绘出版社 1992[3]. 崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰,于正林广义测量平差（第二版）武汉：武汉大学出版社 2009.[4] 武汉大学测绘学院测量平差学科组，误差理论与测量平差基础，武汉：武汉大学出版社 2003[5] 刘大杰论亏秩自由网平差武汉大学测绘学院学报 1981[6] 于正林自由网平差中若干问题的讨论武汉测绘科技大学学报 1986[7] 张卡，张书毕秩亏自由网的双重条件平差徐州：中国矿业大学环境与测绘学院2004[8] 赵超英秩亏自由网平差及其通解长安大学：地球科学与环境学报2010[9] 王帅，高井祥秩亏自由网平差中最小范数解的唯一性分析中国矿业大学：勘察科学与技术 2011[10] 鲁铁定，张立亭自由网平差的直接解算西安科技大学学报第24卷4期2004[11] 冯浩鉴论秩亏网平差测绘学报第13卷第4期国家测绘局1984[12] 谢建，朱建军约束秩亏自由网平差的一种新的算法测绘工程第18卷2期中南大学 2009[13] 王军最小范数在秩亏自由网平差中的应用科教前言2012第7期神华宁夏煤业集团有限责任公司银川 2012[14] 武汉测绘学院最小二乘法教研组. 最小二乘法北京中国工业出版社 1961[15] 李庆海概率论统计原理在测量中的应用北京：测绘出版社 1982[16] 高士纯测量平差基础习题集北京：北京测绘出版社 1983[17] 刘大杰于正林控制网测量平差北京：北京测绘出版社 1985[18] 陶本藻自由网平差变形分析武汉：武汉测绘科技大学出版社 1992[19] 黄维斌近代平差理论及应用北京：解放军出版社 1992[20]杨元喜抗差估计理论及其应用北京：八一出版社 1987[21]王维松线性模型的理论及其应用合肥：安徽教务出版社 1987.。
测量平差 第五章
二、测角网
图5-5为一测角网，其中A、B是坐标为已知的三角点， C和D为待定点，要确定其坐标。共观测了9个水平角，即 ai, bi, ci(i=1,2,3)。
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根据角度交会的原理知，为了 确定C、D两点的平面坐标，必要观 测t=4，例如测量a1和b1可计算D点坐 标，再测量a2和c2可确定待定点C。 于是，图3-5的多余观测数r=n-t=94=5。故总共应列出5个条件方程。 测角网的基本条件方程有三种类型， 现以此例说明。 第一类是三角形内角和条件，通过 图形条件。由图3-5可列出三个图形 条件，即 o ˆ ˆi bi ci 180 0 （i=1,2,3） ˆ a 其最后形式为 V V V W 0 （i=1,2,3）
r .r
i
pi
1i
1
2i
2
ri
r
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和
式中
N11k1 N12 k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22 k 2 N 2 r k r W2 0 N r 1 k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
i i i
sin a1 sin a2 sin a3 sin( a1 va ) sin( a1 va ) sin( a1 va ) 1 sin b1 sin b2 sin b3 sin(b1 vb ) sin( a1 va ) sin( a1 va )
i 2 3 1 2 3
3 2
va vb sin a1 sin a2 sin a3 sin a1 sin a2 sin a3 ctgb2 ctgb3 0 sin b1 sin b2 sin b3 sin b1 sin b2 sin b3
测量平差基础》实验指导书
江西理工大学《测量平差基础》课程实验指导书主审人：主撰人：马大喜、肖海平前言《测量平差基础》是测绘类专业的重要专业基础课，是一门理论性很强，也是一门实践性很强的课程，测量平差的公式复杂、计算量大，因此，在学习平差方法之后，必须让学生上机实验，应用计算机来解决平差计算的实际问题，利用上机实验课和课外上机，使学生较全面掌握测量平差的基本方法的软件应用，能够应用实用程序解决生产实际问题。
目录第一部分绪论第二部分基本实验指导试验一水准网条件平差实验二三角网条件平差实验三水准网间接平差实验四三角网间接平差实验五附有参数的条件平差实验六附有限制条件的间接平差实验七控制网平差第一部分绪论本实验指导书是根据《测量平差基础》课程实验教学大纲编写，适用于测绘工程专业。
一、本课程实验的作用与任务通过课程的实验使学生进一步理解平差方法的原理，提高平差计算的实际水平，使学生能更好地掌握信息处理的基本工具——计算机及相应软件的应用，激发学生自编测量平差软件的主动性和创新性，要求通过实验教学使学生熟练掌握水准网、三角网的条件平差和间接平差的软件应用，增强学生解决实际平差计算问题的能力。
二、本课程实验的基础知识具备条件平差、间接平差原理和方法的知识，能熟练掌握计算机的操作使用，初步掌握编制计算机程序的基本知识，熟悉测量学和控制测量的基本知识。
三、本课程实验教学项目及要求第二部分基本实验指导实验一水准网的条件平差一、实验目的通过实例水准网条件平差计算、理解水准网条件平差原理，掌握其应用方法，能应用软件平差计算一个实际水准网。
二、实验原理正确运行条件平差程序：输入矩阵元素—法方程组成—法方程解算—改正数计算—平差值计算——精度计算。
三、主要仪器及耗材计算机和相应平差软件、及打印纸四、实验内容和步骤对于给定的水准网列出条件方程并完成相应的条件平差计算，正确安装程序。
步骤：（1）确定条件方程式个数，并列出条件方程式，观测值权阵；（2）输入条件方程系数矩阵、闭合差矩阵、观测值矩阵，观测值权阵的元素；（3）根据计算的平差值进行检核。
测量学课后习题答案中国矿业大学出版
《测量学》各章节练习习题及参考答案第一章绪论1 测量学在各类工程中有哪些作用？答测量学在诸多工程中有着重要的作用，比如在地质勘探工程中的地质普查阶段，要为地质人员提供地形图和有关测量资料作为填图的依据；在地质勘探阶段，要进行勘探线、网、钻孔的标定和地质剖面测量。
在采矿工程中，矿区开发的全过程都要进行测量，矿井建设阶段生产阶段，除进行井下控制测量和采区测量外，还要开展矿体几何和储量管理等。
在建筑工程中，规划和勘测设计的各个阶段都要求提供各种比例尺的地形图；施工阶段，将设计的建筑物构筑物的平面位置和高程测设于实地，作为施工的依据；工程结束后还要进行竣工测量绘制各种竣工图。
2 测定和测设有何区别？答通过测量确定地物和地貌在空间中的位置即为测定，而测设是根据工程设计图纸上待建的建筑物、构筑物的轴线位置、尺寸及其高程，算出待建的建、构筑物各特征点(或轴线交点)与控制点(或原有建、构筑物特征点)之间的距离、角度、高差等测设数据，然后以地面控制点为依据，将待建的建、构筑物的特征点在实地标定出来，以便施工。
3 何谓大地水准面、绝对高程和假定高程?答与平均海水面重合并向陆地延伸所形成的封闭曲面，称为大地水准面。
地面点到大地水准面的铅垂距离，称为该点的绝对高程。
在局部地区或某项工程建设中，当引测绝对高程有困难时，可以任意假定一个水准面为高程起算面。
从某点到假定水准面的垂直距离，称为该点的假定高程。
4 测量学中的平面直角坐标系与数学中坐标系的表示方法有何不同?答在测量中规定南北方向为纵轴，记为x轴，x轴向北为正，向南为负；以东西方向为横轴，记为y轴，y轴向东为正，向西为负。
测量坐标系的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限为顺时针方向编号。
测量坐标系与数学坐标系的规定是不同的，其目的是为了便于定向，可以不改变数学公式而直接将其应用于测量计算中。
5 测量工作的两个原则及其作用是什么?答“先控制后碎部、从整体到局部”的方法是测量工作应遵循的一个原则，保证全国统一的坐标系统和高程系统，使地形图可以分幅测绘，加快测图速度；才能减少误差的累积，保证测量成果的精度。
测量平差1~5章
测量平差基础
西南科技大学 环境与资源学院测量系
课程介绍：
课程性质: 专业基础课、必修课、考试课; 主要应用的基础知识: 高等数学、线性代数、 测量学等; 教学参考书: 测量平差基础（武测）
与后续课程的联系: 为控制测量、工程测量、 航空摄影测量等专业课程的学习打基础。
课程特点
1.要求数学基础: 高等数学 线性代数 概率论与数理统计 2.公式多
②
在水准了中，有下列几种情况使水 准尺读书有误差，试判断误差的性质及 符号：
视准轴与水准轴
不平行；
仪器下沉；
读数不准确；
（1）系统误差，当i角为正时， 符号为“-”；当i角为负时，符 号为“+” （2）系统误差，符号为“+”
（3）偶然误差，符号为“+”或
“-”
水准尺下沉。
（4）系统误差，符号为“-”
补充知识
一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵
（1）由 m n 个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵 通常用一个大写字母表示，如：
a11 a12 a a22 21 A m n am1 am 2 a1n a2 n amn
(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann 称为对角元素。
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第三章 条件平差
2
2 F 2 0 F
估值形式为
1 pF
（3-1-6）
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测 数为r。可以列出r个平差值线性条件方程
ˆ ˆ ˆ a1 L1 a 2 L2 a n Ln a 0 0 ˆ b L b L b 0 ˆ ˆ b1 L1 2 2 n n 0 ˆ r L r L r 0 ˆ ˆ r1 L1 2 2 n n 0
T
(3-1-25)
（2）由（3-1-14）和（3-1-11）式导出
V T PV V T P( P 1 AT K ) V T AT K ( AV ) T K W T K
V PV W K 其纯量形式为
T T
即
(3-1-26)
V PV wa k a wb k b wr k r
ˆ 下面，我们分别讨论单位权中误差 0和平差值 函数协因数阵 Q FF 的计算方法。
1.计算单位权方差和中误差的估值 根据第二章中对中误差的定义，单位权中误差的 计算公式为
ˆ 0 [ p] r
在一般情况下，观测值的真误差△是不知道的， 也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件 平差中，可以通过观测值的改正数V来计算单位权 方差和中误差： V T PV (3-1-23) ˆ 02
KN W
1
(3-1-19)
将（3-1-19）式代入（3-1-14）或（3-1-15） 式，可计算出V，再将V代入（3-1-6）,即可计算出 ˆ 所求的观测值的最或然值 L L V 。
2009届本科生毕业论文 加测有陀螺方位角的导线网条件平差
中国矿业大学本科生毕业论文学院：环境与测绘学院专业：测绘工程论文题目：加测有陀螺方位角的导线网条件平差专题：加测有陀螺方位角的导线网条件平差指导教师：职称：教授2009年6月徐州中国矿业大学毕业论文任务书学院环境与测绘学院专业年级测绘工程学生姓名任务下达日期：2009年 2 月16 日毕业论文日期：2009年3月15 日至2009年6月20 日毕业论文题目：加测有陀螺方位角的导线网条件平差毕业论文专题题目：加测有陀螺方位角的导线网条件平差毕业论文主要内容和要求：院长签字：指导教师签字：中国矿业大学毕业论文指导教师评阅书指导教师评语（①基础理论及基本技能的掌握；②独立解决实际问题的能力；③研究内容的理论依据和技术方法；④取得的主要成果及创新点；⑤工作态度及工作量；⑥总体评价及建议成绩；⑦存在问题；⑧是否同意答辩等）：成绩：指导教师签字：年月日中国矿业大学毕业论文评阅教师评阅书评阅教师评语（①选题的意义；②基础理论及基本技能的掌握；③综合运用所学知识解决实际问题的能力；④工作量的大小；⑤取得的主要成果及创新点；⑥写作的规范程度；⑦总体评价及建议成绩；⑧存在问题；⑨是否同意答辩等）：成绩：评阅教师签字：年月日中国矿业大学毕业论文答辩及综合成绩答辩情况提出问题回答问题正确基本正确有一般性错误有原则性错误没有回答答辩委员会评语及建议成绩：答辩委员会主任签字：年月日学院领导小组综合评定成绩：学院领导小组负责人：年月日摘要随着现代矿山和隧道工程越来越向大型化发展，地下导线的长度也就越来越长，而加测陀螺定向边可以大大提高导线的精度，对于地下矿山和隧道工程测量等均具有重大意义。
由于陀螺定向确定了加测边的方位角，形成了单个或多段（有多条陀螺定向边）方向附合导线，因此它不同于支导线而是有了一个或是多个方向附合条件，使得所测角度需进行平差。
本论文正是出于对煤矿或者其它相关井下测量的研究，对矿山测量和隧道工程测量中加测有陀螺方位角的导线进行讨论，分析相关理论，对其平差的方法和理论进行深入剖析，得出一个较适合矿山测量中加测陀螺方位角的导线平差体系和方法。
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L EL
W ( AL BX A0 ) AL W
0 0
1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ x ( Nbb Nbb C N cc CN bb )We Nbb C N cc Wx
1 1 1 ˆ) N aa ˆ K N aa (W Bx W N aa Bx
P 1 AT K ，则 由（5-1-16）知：V n1
V T PV V T P( P 1 AT K ) V T AT K ( AV )T K
ˆ W 0 ，所以 V B x 而 cA n n1 cu u 1 c1
ˆ)T K W T K x ˆ T BT K V T PV (W Bx
将（5-1-22）式代入（5-1-16）式，整理可得 （5-1-27） 在实际计算时，当列出函数模型（5-1-11）、（5-11 1 1 N N N N N N 12）式后，即可计算 aa、 aa 、 bb 、 bb 、 cc、cc 和 We ， ˆ ，再由（5-1-27）式求 然后根据（5-1-26）式解算 x 得观测值的改正数V。最后根据（5-1-20）、（5-1-21） 式求得观测值的平差值和参数的平差值，完成求平差 值的工作。
因为
BT K C T K S 0
uc c1 u s s1
，则有
T T T T ˆ ˆ V PV W K x C K s W K (Cx) K s T T
ˆ Wx 0，有 x 考虑到 sC u u1
V PV W K W K s
T T T x
1 ˆ) ，得 (W Bx 若将代入上式 K N aa
前三类方程中都含有观测量或同时含有观测量和未 知参数，而最后一种方程则只含有未知参数而无观 测量，为了便于区别起见，特将前三类方程统称为 一般条件方程，而最后一类条件方程称为限制条件 方程。
但在很多情况下，即使我们选了u<t或u=t个 参数，但它们之间却是相关的，即使我们选择 了u>t个参数，也不一定就包含t个独立参数， 这是前面几种方法中所未提及的概念。在这种 情况下，就无法应用前面介绍的几种平差方法 进行平差了，那么针对这种情况，采用什么样 的函数模型和平差方法，正是本章所要讨论的 内容。 在第二章中介绍过附有条件的条件平差的模 型建立方法，该方法也要增选u个参数，方程的 总数为r+u个。
（5-2-3）
二、各种向量的协因数阵
为了评定某些量的精度和研究向量之间的相关性，要 用到它们的协因数阵以及它们之间的互协因数阵。在 ˆ，K，K ，V，L ˆ， L，W，X 附有条件的条件平差中，基本向量有： s 现已知观测值的协因数阵，为求其它量的协因数阵和 互协因数阵，最基本的思路是把它们表达成已知协因 数阵的线性函数，然后根据协因数传播律进行求解。 根据原理可以写出这些向量的基本表达式如下：
按求条件极值的方法组成新的函数
ˆ W ) V PV 2 K ( AV Bx T ˆ Wx ) 2 K S (Cx
T T
（5-1-13）
为求其极小值，将上式分别对V和 并令一阶偏导数为零，得
2V T P 2 K T A 0 V
T 2 K T B 2 K S C0 ˆ x
附有限制条件的条件平差法单位权方差估值的计算 仍然是用 V T PV 除以它的自由度r，即:
T T V PV V PV 2 ˆ0 r cu s
（5-2-1）
其中 V T PV 的计算，可以利用观测值的改正数及其 权阵直接计算，当不能直接知道改正数的情况下， 也可以使用下面推导的公式进行计算。
ˆ W 0 A P 1 AT K B x
cu u1 c1
令
N aa AP A
1
T
连同（5-1-15）、（5-1-12）式，则得：
ˆ W 0 N aa K B x
cc c1 cu u1
c1
T KS BT K C u s
（5-1-17a） （5-1-17b） （5-1-17c）
~ L L
则可写出其线性化后的函数模型为
A B ~ x W 0
su u 1
（5-1-8） （5-1-8） （5-1-8） （5-1-8）
C ~ x Wx 0
s1
cu u 1 c1
以和的估值和代入上式，则 ˆ W 0 AV B x
c n n1
su u 1
1 aa
（5-1-22）
将其代入（5-1-17b）得：
1 ˆ) C T K s 0 BT N aa (W Bx
即 若令
ˆ C K s B N W 0 （5-1-23） B N Bx
T T T
1 aa
1 aa
Nbb B N B,
T uu 1 aa
1 We B T N aa W u1
V,
n1
ˆ , K, Ks x u 1 c1
s1
方程的个数和待定量的个数相同，可唯一确定各未知 数。 解算此基础方程，通常是先从（5-1-14）式解得：
V P A K QA K
T T n1
1
（5-1-16）
上式称为改正数方程。
将此式代入（5-1-11）式，则有：
cn nn nc1 1 源自 1 1 K s N cc (Wx CN bb We ) N cc Wx N cc CN bb We
V P A K QA K
T T n1
1
ˆ L V L
ˆ 下面举例说明若干协因数阵的推导过程，考虑到 X 为非随机量，所以 Wx 可以视为常量。
Qww AQll A N aa
c1
~ ~ F (L , X ) 0
（5-1-5） （5-1-6） （5-1-7） （5-1-8）
若为线性形式，则为
cn n1
su u 1
~ C X C0 0
s1
c1
无论线性模型还是非线性模型，按照第二章介绍的 线性化方法和结论，并考虑到
~ X X0 ~ x
c n n1 cu u 1 c1
第五章 附有限制条件的条件平差
§5-1 基础方程和它的解
前面几章介绍的条件平差、附有参数的条件平差、 间接平差、附有条件的间接平差等四种经典平差 方法，除条件平差不增选参数外，其它三种方法 都要增选数量不等的参数参与平差，其未知参数 的个数分别是u<t，u=t，u>t，且要求参数间彼此 独立，在u>t的情况下，也要求必须包含t个独立 参数，从函数模型上看，四种平差方法总共包含 如下四类的方程：
K N aa x ˆ BT K s 0
B 0 W T 0 C 0 C 0 W x
1
（5-1-19）
然后将k代入（5-1-16）式即可求得改正数V的值， 进而可以按下面公式求得观测值和参数的平差值。
1 ˆ) V P 1 AT N aa (W Bx
§5-2 精度评定
任何一种平差方法，其精度评定的内容都包括 以下三方面内容：单位权方差估值的计算、各向 量的协因数阵及向量间的互协因数阵的推导、平 差值函数协因数及其中误差的计算，本节也将对 这三方面内容作介绍。
一、单位权方差估值的计算公式
ˆ Wx 0 C x
s1
式中
W ( AL BX 0 A0 )
Wx (CX C0 )
0
以（5-1-11）、（5-1-12）式作为函数模型而进行的 平差，称为附有限制条件的条件平差，有的文献也 称其为概括平差函数模型。
T V PV min ，为此， 按照最小二乘准则，要求
则（5-1-23）式可以写为
T ˆ Nbb x C K s We 0
于是可求得
1 T ˆ x N bb (C K s We )
（5-1-24）
将上式代入（5-1-17c）得
CN (C K s We ) Wx 0
T
1 bb
即 令
CN C K s CN We Wx 0
ˆ 求一阶偏导数 x
两边转置整理后，则有：
nn n1
T
PVA K 0
T nc c1
T
（5-1-14）
B K C KS 0
uc c1 u s s1
（5-1-15）
以上（5-1-11）、（5-1-12）、（5-1-14）、（5-115）四式联合称为附有限制条件的条件平差的基础方 程。其中共包括有n+u+c+s个方程，包含的未知量的 个数也是n+u+c+s个，它们分别是：
如果在u个参数中有s个是不独立的，或者说在这u个 参数中存在着s个函数关系式，则建立平差模型时应 列出s个限制条件方程，除此之外再列出c=r+u-s个 一般条件方程，因此方程总数也可以认为是c+s个， 形成如下的函数模型
S 1
~ (X ) 0
~ ~ A L B X A0 0
cu u 1
s1
（5-2-2）
1 ˆ ) WxT K s V T PV W T N aa (W Bx 1 1 ˆ WxT K s W T N aa W W T N aa Bx
T 1 W B N 顾及到 e aa W ， 则 u1
1 ˆ W xT K s V T PV W T N aa W WeT x
T
1 T N cc CN bb C
1 bb
1 bb
于是前式可写成
N cc K s CN We Wx 0
由此式可得
1 bb
K s N (W x CN We )
1 cc
1 bb
（5-1-25）