中国矿业大学环境与测绘学院测绘《测量平差》第五章_附有限制条件的条件平差张书毕

s1
（5-2-2）
1 ˆ ) WxT K s V T PV W T N aa (W Bx 1 1 ˆ WxT K s W T N aa W W T N aa Bx
T 1 W B N 顾及到 e aa W ， 则 u1
1 ˆ W xT K s V T PV W T N aa W WeT x
1 ˆ) V P 1 AT N aa (W Bx
§5-2 精度评定
任何一种平差方法，其精度评定的内容都包括 以下三方面内容：单位权方差估值的计算、各向 量的协因数阵及向量间的互协因数阵的推导、平 差值函数协因数及其中误差的计算，本节也将对 这三方面内容作介绍。

一、单位权方差估值的计算公式
T
1 T N cc CN bb C
1 bb
1 bb
于是前式可写成
N cc K s CN We Wx 0
由此式可得
1 bb
K s N (W x CN We )
1 cc
1 bb
（5-1-25）
将上式代入（5-1-24）式，整理可得
1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N bb x N bb C N cc CN bb )We N bb C N cc W x （5-1-26）
ˆ 求一阶偏导数 x
两边转置整理后，则有：
nn n1
T
PVA K 0
T nc c1
T
（5-1-14）
B K C KS 0
uc c1 u s s1
（5-1-15）
以上（5-1-11）、（5-1-12）、（5-1-14）、（5-115）四式联合称为附有限制条件的条件平差的基础方 程。其中共包括有n+u+c+s个方程，包含的未知量的 个数也是n+u+c+s个，它们分别是：
按求条件极值的方法组成新的函数
ˆ W ) V PV 2 K ( AV Bx T ˆ Wx ) 2 K S (Cx
T T
（5-1-13）
为求其极小值，将上式分别对V和 并令一阶偏导数为零，得
2V T P 2 K T A 0 V
T 2 K T B 2 K S C0 ˆ x
~ ~ F ( L ) 0，线性形式为：AL A0 0
~ ~ ~ ~ L F ( X )，线性形式为：L BX d
~ ~ ~ ~ F ( L , X ) 0，线性形式为：AL BX A0 0
（5-1-1） （5-1-2） （5-1-3） （5-1-4）
~ ~ ( X ) 0，线性形式为：CX C 0 0
前三类方程中都含有观测量或同时含有观测量和未 知参数，而最后一种方程则只含有未知参数而无观 测量，为了便于区别起见，特将前三类方程统称为 一般条件方程，而最后一类条件方程称为限制条件 方程。
但在很多情况下，即使我们选了u<t或u=t个 参数，但它们之间却是相关的，即使我们选择 了u>t个参数，也不一定就包含t个独立参数， 这是前面几种方法中所未提及的概念。在这种 情况下，就无法应用前面介绍的几种平差方法 进行平差了，那么针对这种情况，采用什么样 的函数模型和平差方法，正是本章所要讨论的 内容。 在第二章中介绍过附有条件的条件平差的模 型建立方法，该方法也要增选u个参数，方程的 总数为r+u个。
~ L L
则可写出其线性化后的函数模型为
A B ~ x W 0
su u 1
（5-1-8） （5-1-8） （5-1-8） （5-1-8）
C ~ x Wx 0
s1
cu u 1 c1
以和的估值和代入上式，则 ˆ W 0 AV B x
c n n1
su u 1
1 aa
（5-1-22）
将其代入（5-1-17b）得：
1 ˆ) C T K s 0 BT N aa (W Bx
即 若令
ˆ C K s B N W 0 （5-1-23） B N Bx
T T T
1 aa
1 aa
Nbb B N B,
T uu 1 aa
1 We B T N aa W u1
c1
~ ~ F (L , X ) 0
（5-1-5） （5-1-6） （5-1-7） （5-1-8）
若为线性形式，则为
cn n1
su u 1
~ C X C0 0
s1
c1
无论线性模型还是非线性模型，按照第二章介绍的 线性化方法和结论，并考虑到
源自文库
~ X X0 ~ x
c n n1 cu u 1 c1
P 1 AT K ，则 由（5-1-16）知：V n1
V T PV V T P( P 1 AT K ) V T AT K ( AV )T K
ˆ W 0 ，所以 V B x 而 cA n n1 cu u 1 c1
ˆ)T K W T K x ˆ T BT K V T PV (W Bx
ˆ W 0 A P 1 AT K B x
cu u1 c1
令
N aa AP A
1
T
连同（5-1-15）、（5-1-12）式，则得：
ˆ W 0 N aa K B x
cc c1 cu u1
c1
T KS BT K C u s
（5-1-17a） （5-1-17b） （5-1-17c）
ˆ Wx 0 C x
s1
式中
W ( AL BX 0 A0 )
Wx (CX C0 )
0
以（5-1-11）、（5-1-12）式作为函数模型而进行的 平差，称为附有限制条件的条件平差，有的文献也 称其为概括平差函数模型。
T V PV min ，为此， 按照最小二乘准则，要求
如果在u个参数中有s个是不独立的，或者说在这u个 参数中存在着s个函数关系式，则建立平差模型时应 列出s个限制条件方程，除此之外再列出c=r+u-s个 一般条件方程，因此方程总数也可以认为是c+s个， 形成如下的函数模型
S 1
~ (X ) 0
~ ~ A L B X A0 0
cu u 1
则（5-1-23）式可以写为
T ˆ Nbb x C K s We 0
于是可求得
1 T ˆ x N bb (C K s We )
（5-1-24）
将上式代入（5-1-17c）得
CN (C K s We ) Wx 0
T
1 bb
即 令
CN C K s CN We Wx 0
u1
1 aa
1 aa
1 aa
1 T 1 1 1 T 1 1 (E Nbb C N cc C)(Nbb Nbb C Ncc CN bb )
(N
1 bb
N C N CN
T
1 bb
1 cc
1 bb
N C N CN
T
1 bb
1 cc
1 bb

1 T 1 1 T 1 1 Nbb C N cc CN bb C N cc CN bb )
L EL
W ( AL BX A0 ) AL W
0 0
1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ x ( Nbb Nbb C N cc CN bb )We Nbb C N cc Wx
1 1 1 ˆ) N aa ˆ K N aa (W Bx W N aa Bx
就平差目的而言，V和 x 是所需要的解，联 ˆ Ks K 则是解算过程中的过渡数值。因 系数 s1 和 c 1 此，下面将进一步推导各量的显性表达式。 由（5-1-17a）式可得：
ˆ L V L 0 ˆ ˆ X X x
（5-1-20） （5-1-21）
ˆ) K N (W Bx
因为
BT K C T K S 0
uc c1 u s s1
，则有
T T T T ˆ ˆ V PV W K x C K s W K (Cx) K s T T
ˆ Wx 0，有 x 考虑到 sC u u1
V PV W K W K s
T T T x
1 ˆ) ，得 (W Bx 若将代入上式 K N aa
T
（5-2-4）
1 We B T N aa W
QW eW e B N N aa N B B N B N bb （5-2-5）
T T
1 1 T 1 1 1 1 T 1 1 T QX ( N N C N CN ) N ( N N C N CN ˆX ˆ bb bb cc bb ) bb bb cc bb bb
附有限制条件的条件平差法单位权方差估值的计算 仍然是用 V T PV 除以它的自由度r，即:
T T V PV V PV 2 ˆ0 r cu s
（5-2-1）
其中 V T PV 的计算，可以利用观测值的改正数及其 权阵直接计算，当不能直接知道改正数的情况下， 也可以使用下面推导的公式进行计算。
1 1 1 1 1 K s N cc (Wx CN bb We ) N cc Wx N cc CN bb We
V P A K QA K
T T n1
1
ˆ L V L
ˆ 下面举例说明若干协因数阵的推导过程，考虑到 X 为非随机量，所以 Wx 可以视为常量。
Qww AQll A N aa
第五章 附有限制条件的条件平差
§5-1 基础方程和它的解
前面几章介绍的条件平差、附有参数的条件平差、 间接平差、附有条件的间接平差等四种经典平差 方法，除条件平差不增选参数外，其它三种方法 都要增选数量不等的参数参与平差，其未知参数 的个数分别是u<t，u=t，u>t，且要求参数间彼此 独立，在u>t的情况下，也要求必须包含t个独立 参数，从函数模型上看，四种平差方法总共包含 如下四类的方程：
K N aa x ˆ BT K s 0
B 0 W T 0 C 0 C 0 W x
1
（5-1-19）
然后将k代入（5-1-16）式即可求得改正数V的值， 进而可以按下面公式求得观测值和参数的平差值。
将（5-1-22）式代入（5-1-16）式，整理可得 （5-1-27） 在实际计算时，当列出函数模型（5-1-11）、（5-11 1 1 N N N N N N 12）式后，即可计算 aa、 aa 、 bb 、 bb 、 cc、cc 和 We ， ˆ ，再由（5-1-27）式求 然后根据（5-1-26）式解算 x 得观测值的改正数V。最后根据（5-1-20）、（5-1-21） 式求得观测值的平差值和参数的平差值，完成求平差 值的工作。
（5-2-3）
二、各种向量的协因数阵
为了评定某些量的精度和研究向量之间的相关性，要 用到它们的协因数阵以及它们之间的互协因数阵。在 ˆ，K，K ，V，L ˆ， L，W，X 附有条件的条件平差中，基本向量有： s 现已知观测值的协因数阵，为求其它量的协因数阵和 互协因数阵，最基本的思路是把它们表达成已知协因 数阵的线性函数，然后根据协因数传播律进行求解。 根据原理可以写出这些向量的基本表达式如下：
uc c1
s1
0
s u u 1
C ~ x Wx 0
s1
(5-1-17)式称为附有条件的条件平差的法方程，其系 数矩阵对称，所以仍是一个对称线性方程组。可将 其写成如下形式： 0 K W N aa B BT T ˆ 0 C x 0 0 （5-1-18） C 0 0 K s W x 由上式可以解得
V,
n1
ˆ , K, Ks x u 1 c1
s1
方程的个数和待定量的个数相同，可唯一确定各未知 数。 解算此基础方程，通常是先从（5-1-14）式解得：
V P A K QA K
T T n1
1
（5-1-16）
上式称为改正数方程。
将此式代入（5-1-11）式，则有：
cn nn nc