结构力学三铰拱

例题：三铰拱所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线方程
y
4f l2
xl
x
计算其反力并绘制内力图
q=2kN·m C
FP=8kN
A FAy
f=4m
B
FAx
l=16m
FBx FBy
[解] 1、支座反力计算
FAy 14 kN
FBy 10 kN FAx FAy FH 12kN
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
• 荷载与跨度一定时，水平推力 与矢高成反比，且总是正的。
• 该组结论仅适合于平拱，且承 受竖向荷载。
二、内力的计算
P FSkMk FNk
y
a2
b2
a1
b1
P1 kk C
P2
f
yk
FH
FH A
xk
x
B
FAy
l1
l2
FH
FAy
l
FBy
F 0 F0 P
Sk
Ay
1
M 0 k
F x0 Ay k
P1
发生突变； • 上述公式仅适合于平拱，且
承受竖向荷载情况； • 拱的内力仍然有FS=dM/ds
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算 3 拱的内力图
由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲 线形的，内力图要通过逐点描图的方法绘制， 总的规律仍符合荷载和内力的微分关系。
• 所求截面转角，实质是求相关函数（sin φ 和 cos φ 值），可 利用三角边的关系求出；
• 顶铰左右部分截面转角分正负； • 集中力作用点剪力图和轴力图有突变，应给予注意。
第三节 竖向荷载作用下三铰拱的内力特点
绘弯矩图
36
40 48 40
M
0 K
FH y
MK
M
0 K
FH y
综合弯矩图是两种弯矩图叠加的结果（注意是竖标的叠加， 或称代数叠加），即两个曲线所夹部分，可见弯矩很小。三 铰拱弯矩下降的原因完全是由于推力造成的。
M
0 K
FH y
K MK
由 F 0
FAx A
FSK FSK0cos FHsin
FAy FP1
FAy0
FSK0 MK0
由 Fn 0
FNK FSK0sin FHcos
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算
关于内力
M 1
FS
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算
关于内力
M 1
FS FN
0 0
0
cos sin
y M 0
sin cos
F0 S
FH
• 内力图均不再为直线； • 集中力作用处，剪力图将发
生突变； • 集中力偶作用处，弯矩图将
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
当两支座在同一水平线上时，称为等高拱或平拱，否 则称为斜拱。分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反 力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对比，以便于计 算和对比分析拱的受力性质。
FP1
C FP2
f
A
B
l
FP1
FP2
1 竖向荷载作用下拱反力计算 mB 0
y
A FAx
赵州桥是我国隋代工匠李春建造的一个著名的范例。
第一节 三铰拱的组成和类型
1、工程上使用的拱结构实例
三铰拱是一种静定的拱式结构，在大跨度结构上用料 比梁省，因而在桥梁和屋盖中广泛应用。
第一节 三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
拱趾
拱顶
矢高f 起拱线
拱跨L
拱轴 拱趾
第一节 三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
FN
0 0
0
cos sin
y M 0 •
sin cos
F0 S
F H
•
•
•
三铰拱的内力不但与荷载及三个 铰的位置有关，而且与拱轴线的 形状有关； 由于推力的存在，拱的弯矩比相 应简支梁的弯矩要小; 三铰拱在竖向荷载作用下内力轴 压为主; 公式是以左半跨推导的，对右半 跨取角度为负即可；
[解] 2、求截面 3 内力
4f y l2 x(l x)
dy 4 f
dx
l2
(l 2x)
y3 3
tan3
1 2
q=2kN·m C
3 A
f=4m
l=16m
4m
q=2kN·m
FP=8kN B
FP2=8kN
M3
M
0 3
FH
y
4
kN m
FS 3
F0 S3
cos
FH
sin
0
kN
14
6
FN3
F0 S3
xk
a1
P1 A
P2 B
M k FAy xk P1 xk a1 FH yk
k
C
F x0 Ay k
P1
xk a1
FH yk
F0 Ay
F0 By
M0 k
FH
yk
FS k FAy cosk P1 cosk FH sink
F 0 P cos F sin
Ay
1
k
H
k
F0 Sk
带拉杆的拱： 在屋架中，为 消除水平推力 对墙或柱的影 响，在两支座 间增加一拉杆， 由拉杆来承担 水平推力
第一节 三铰拱的组成和类型
3. 三铰拱的分类
三铰拱 拉杆拱1
两铰拱 无铰拱
拉杆拱2
斜拱
第一节 三铰拱的组成和类型
4. 三铰拱的受力特点
FP
曲梁
FP
拱
拱的基本特点是在 竖向荷载作用下会 产生水平推力，从 而大大减小拱内弯 矩。水平推力的存 在与否是区别拱与 梁的主要标志。
cosk
FH
sink
FN k FAy sink P1 sink FH cosk
F0 Ay
P1
sink
FH
cosk
FS
0 k
sink
FH
cosk
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算
2 竖向荷载作用下指定截面内力计算
FP1
FSK
FNK
n
由 mK 0
MK
sin
FH
cos
பைடு நூலகம்
30 5
kN
40
2
10
48 40
FS(kN) M(kN.m)
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
曲拱计算步骤：
• 利用平衡方程求出拱的约束反力； • 绘制代梁的弯矩图和剪力图； • 利用拱的曲线方程计算拟求截面的位置（x,y, φ ）； • 代入拱内力计算公式计算该截面内力。
几点说明：
FAx
FAyl1 P1(l1 a1) f
M
0 C
f
FBx
FH
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算
关于反力
FAy=YAy0 FBy=YBy0 FAx=FBx =FH FH= MC0 / f
• 拱的竖向反力与其相应简支梁 的竖向反力相等；
• 水平反力只与三个铰的位置有 关而与拱轴线形状无关;
FAy A
F0 Ay
a1 P1
a2 C
f
l1 l
P1
C
X 0
b1 P2
x l2
P2
b2 F l Pb Pb 0
Ay
11
22
FAy
Pb 11
l
Pb 22
B FBx
FBy
Pibi l
F0 Ay
mA 0
FBy
Pa ii l
F0 By
B
mc 0
F0 By
FAx f P1(l1 a1) FAyl1 0