Strongart数学笔记：代数K理论的代数基础小结

代数K理论的代数基础小结

最近我在读一点代数K理论，尽管这是个比较年轻的分支，但是却在代数数论、代数几何、代数拓扑、算子代数等理论中都有着广泛的应用，可以说是代数学中的“泛函分析”。代数K理论自然是建立抽象代数的基础之上，特别需要交换与非交换环的内容，下面我就结合环上K0、K1群，对所需的代数基础作一点简单的小结。

所谓环R的K0群，就是R上的f.g.（有限生成）投射模在同构下的等价类的半群完备化，也就是相应等价类的Grothendieck群。这里考虑f.g.条件，是因为在无限生成的条件下，会出现类似Hilbert Hotel的情况，使得K=2K→K=0.这样一来，环上的f.g.投射模就比一般的投射模更受关注，最常见的问题就是问它们什么时候是自由的。一个答案是需要环是PID，因为PID上f.g.模有类似Abel 群的结构定理；另一个答案则是局部环（未必交换），这可以通过推广Nakayama lemma来证明。顺便说一下，即使不要求f.g.条件，在局部环上的投射模也都是自由的，只是证明起来要麻烦一些啊！

对于K0.K1群而言，比较重要的一类环就是Dedekind domain （DD），它是交换的遗传环，有着各种等价的描述：

1）从环的结构上看，DD就是一维的Noether的整闭整环。这里的整闭条件常常用来说明某个环不是DD，比如Z[√-5]就是PID但不是DD的典型例子。

2）从局部化构造来看，DD是Noether的局部DVR.这就使得对任意素理想p，都可以做p-adic赋值。

3）从理想的角度来看：DD的分式理想构成群。此等价于其任意（分式）理想均可逆。

4）从模的角度来看：DD的f.g.投射模是理想的直和。注意比较一下遗传条件，其理想实际上就是投射模。

此外，DD还有一些重要的性质：

a）1+1/2的Noether性：理想由两个元素生成，并且其中一个元素可以事先给定。

b）理想的因子分解性：可以分解为素理想（=极大理想）的乘积。因此，相应的理想运算可以转化为素理想因子指数的运算，特别其准素理想是素理想的幂。

c）DD必为半局部环或半单环，前者即为PID.特别有

DD∩UFD→PID.

d）DD的环稳定度为2：就是说其矩阵环的能够生成整个环R的行的最小数是2，这样就可以用二阶矩阵群来刻画K1群，导出所谓的Mennicke symbol.

所谓环R的K1群，是由其特殊线性群GL(R)对初等群E(R)取模得到，也就是说可以它在初等变换下不变。这样一来，线性代数中的行与列的初等变换就成了需要关注的焦点，如果能够通过这样的初等变换得到一个形如diag[a,1,…,1]的对角阵，那么就可以得到一个通往K1(R)的满射。然而，这里的初等变换是在一般环上建立的，如何做除法消元就成了一个重要的问题。

对于除环而言，逆的存在是天然的，因此完全可以满足消元的要求。接着我们来看局部环，关键在于其不在极大理想内的元素必可逆，也就可以得到相应矩阵环的任一行都必有一个单位元素。对此我要稍微详细的解释一下，有人也许会想假若其矩阵环A某一行都在极大理想m内，那么其行列式det（A）也应在m内，假若有AB=I，则有det （A）det（B）=1，这使得det（A）变成了单位！遗憾的是，这样的解释是错误的，因为非交换环不能像交换环那样随便写行列式。比如在最简单的四元数代数中，有对角矩阵的乘法

diag[i,i]diag[j,j]=diag[k,k],但相应的行列式却是

(-1)(-1)=(-1)(!)恰当的解释应该回到矩阵的乘法上，假若A的第i 行在m内，则AB的第i行也在m内，这与AB的（i,i）元素是1矛盾！此外，还有一种可能的情况就是欧式环，它可以通过范数最小元的方法来达到整除消元的目的。

然而，不讨论行列式只能给出到K1群的满射，这自然是不能令人满意的。因此，我们还得探索非交换环上的行列式需要另外探索，基本思想是先找出行列式的典型性质，然后看看有没有什么类似的构

造也满足此性质，可惜其中的技术略显复杂，我也就不再这里罗嗦了，有兴趣的读者可以去参阅代数K理论的相关书籍。

本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！

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