Strongart数学笔记：代数K理论的代数基础小结
代数K理论
K1函子性质
K1为函子。 森田不变性
K2函子性质
K2函子定义
设R为幺环，St(R)为施坦贝格群。则K2(R)=ker(St(R)→E(R))。K2为函子。
K2函子性质
森田不变性。对任意正整数n，都有自然同构。
学科发展
学科发展
代数K理论主要介绍K0,K1,K2函子及相关的内容。对，，现已有多种定义，其中最著名的是奎伦（Quillen, D. G.)于1970年定义的。更进一步地，对i为任意整数，研究函子，这些内容可查阅有关文献。下面，凡提到模 （即环模）均指左环模，塞尔（Serre，J. P.)于1955年证明：一个仿射簇上的向量丛范畴与这个仿射簇之坐标 环上的有限生成投射模范畴等价。斯万（Swan，R. G.)于1962年又将此结果推广到紧致的豪斯多夫空间，从而给 出了拓扑K理论与代数K理论的一个紧密的，大大推动了代数K理论的发展。
设R为幺环，ProjR为R上有限生成投射模同构类的半群，则K0(R)为ProjR的格罗滕迪克群。K0为函子。
K0函子性质
1.K0为连续函子，即保持归纳极限。 2.若R为除环，则ProjR同构于，而K0(R)同构于。 3.若R为交换幺环，则K0(R)对于张量积而言是交换幺环。 4.R上可数生成投射模同构类的交换幺半群的格罗滕迪克群平凡。 5.森田不变性。对任意正整数n，都有自然同构。 6.对任意环R，ProjR相当于幂等矩阵的集合Idem(R)上GL(R)的共轭轨道。
相对K0群
切除定理：设I为环R的双边理想，则。
K1函子
K1函子定义
K1函子性质
K1函子定义
设R为幺环，E(R)为n维初等矩阵(对角元为1，且最多一个非对角元非零的矩阵)生成的GL(R)的子群。则 K1(R)=GL(R)/E(R)。
什么是代数K理论及其应用
代数K理论是数学中一个重要的分支领域，它旨在研究代数结构的各个方面，从而推动数学理论的发展和应用。
在代数K理论中，K代表一个固定的域，通常是一个特征为零的代数闭域。
代数K理论的研究内容多种多样，包括代数拓扑学、代数几何学、代数数论等等。
它涉及的概念和方法非常抽象和深奥，需要一定的数学基础才能理解和应用。
代数K理论的一个重要应用领域是代数拓扑学。
代数拓扑学旨在研究拓扑空间中的代数结构，如群、环、域等。
它的研究对象包括拓扑空间的同伦群、同调群以及基本群等。
代数K理论提供了一种刻画拓扑空间的代数方法，能够更深入地研究和理解拓扑对象的性质和结构。
在代数几何学中，代数K理论也起到了重要的作用。
代数几何学研究的是代数方程的几何性质，如曲线、曲面等。
代数K理论提供了一种分析代数几何对象的工具。
它的研究方法包括代数拓扑学、同伦论等，能够用代数结构分析和刻画代数几何对象的性质。
代数数论也是代数K理论的一个研究领域。
代数数论旨在研究代数数的性质和结构，如整数解的性质、数域的性质等。
代数K理论在代数数论中起到了推动研究的作用。
通过代数K理论的方法，人们能够研究和探索更深层次的代数数的性质和结构。
除了对数学理论的研究，代数K理论还有实际应用。
在计算机科学中，代数K理论被广泛应用于密码学、编码理论等领域。
它的抽象和严谨的理论体系，能够提供可靠和安全的密码系统，保护信息的安全。
总之，代数K理论是数学中一个重要的分支领域，它研究代数结构的各个方面，从而推动数学理论的发展和应用。
它在代数拓扑学、代数几何学、代数数论等领域都有重要的研究应用。
此外，代数K理论还在计算机科学中具有实际应用。
它的研究内容深奥、抽象，需要一定的数学基础才能理解和应用。
然而，代数K理论的发展和应用，为我们理解数学本质、解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
Strongart数学笔记：代数曲面上曲线相交数的计算与分析
代数曲面上曲线相交数的计算与分析(2015-03-0914:25:46)代数几何中的相交理论一直都是一个核心论题，特别是代数曲面上曲线的相交，已经发展出了相当丰富的理论体系，下面我们通过一个简单问题来分析曲面上相交数的特点。
约定：系数域k是特征为零的代数闭域，读者也可以认为它就是复数域C；所有的曲面与曲线都是非异的，同时作为概型是射影的。
先介绍一些背景知识，首先是相交数的定义。
在一般的正常位置，即所谓横截相交的情况下，代数曲面上曲线的相交数就是其交点的个数。
由此出发，我们定义曲面X上相交数为其除子群上满足下列条件的对Div X×Div X→Z，（C，D）→CD：（1）CD是对称的且对各因子都是双线性的。
（2）CD只与其除子类有关，即若D~E，则CD=CE.（3）若C，D有效且无公共分支，则CD=Σ_(P∈C∩D)（CD）_P，其中局部相交数)（CD）_P=dim O_(X,P)/（I_C，I_D）O_(X,P)这里一个比较有趣的情形就是自相交数D^2，我们可以把它理解为存在某个E~D，使得D^2=DE，这个操作已经成了代数曲面理论中的常识性技术，我们总可以找到这样的E 与D处在正常位置。
但假若非要对此细究，那么它实际上是由关于射影代数簇Bertini定理保证的，它说明了几乎所有的位置都是曲线的正常位置（参见【2】）。
作为这个等价替换的代价，曲线的自相交数中引入了曲面的因素，因此它可能是负的。
关于相交数最简单的定理应该是Bezout定理：若P^2内两条次数分别为d和e的曲线，若它们无公共分支，则它们一共有de个交点（按重数计算）。
用这里代数曲面的理论来说，就是假若不出现自相交数的情况，那么它们的相交数就是次数的乘积。
对于更为一般的情况，我们有伴随公式与亏格公式，它们是处理相交数的问题的大杀器。
设X是非异簇Y是非异超曲面，则有典型除子的伴随公式：K_X=（K_Y+X）|X由伴随公式，我们可以得到射影空间P^n的典型除子为：K_(P^n)=-（n+1）H其中H是P^n内的P^(n-1)超平面除子类。
代数综合知识点总结
代数综合知识点总结一、代数基本概念1. 数数是代数的基本概念，包括自然数、整数、有理数和实数等。
自然数是最简单的数，包括1、2、3、4、5……；整数包括正整数、负整数和0，表示为……-3、-2、-1、0、1、2、3……；有理数是整数和分数的集合，可以表示为p/q（其中p和q为整数，且q≠0）；实数包括有理数和无理数，它们在数轴上占据了所有的点。
2. 变量代数中用字母表示的数称为变量，通常用小写字母表示。
变量可表示任意数，例如：x、y、z。
3. 系数代数中数的前面的乘数叫做系数，通常为常数，例如：2x中的2为x的系数。
4. 项代数式中加减号相连的部分叫做项，例如：3x^2、-2x、5是代数式3x^2-2x+5中的项。
5. 多项式由多个项相加或相减组成的代数式是多项式，例如：2x^3-3x^2+4x-5是一个四项的多项式。
6. 方程含有未知数的等式称为方程，通常表示为p(x)=q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式，x是未知数。
7. 不等式含有未知数的不等式称为不等式，通常表示为p(x)≥q(x)或p(x)＜q(x)。
8. 函数将一个自变量的值通过特定的运算法则映射到一个因变量上的规律关系称为函数，通常表示为y=f(x)，其中y是因变量，x是自变量，f(x)是函数关系。
二、代数运算1. 代数式的加减将相同变量的项合并在一起，即系数相加减，变量部分不变。
例如：3x+5x=8x、3x-5x=-2x。
2. 代数式的乘法将代数式中的每一项依次相乘，然后合并同类项。
例如：(2x+3y)(4x-5y)=8x^2-10xy+12xy-15y^2=8x^2+2xy-15y^2。
3. 代数式的除法将被除式与除数相除，首先要简化被除式和除数，然后进行长除法或分式除法运算。
4. 代数式化简将代数式中的括号进行展开并合并同类项，把代数式表示得最简单。
5. 代数方程的解法通过变换等式进行消元、合并同类项等操作，得到方程的解。
Strongart数学笔记：代数数论入门指南
代数数论入门指南一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。
先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。
设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。
分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X).代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为：Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。
特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A.假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。
可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n其中σ_i是L的K-共轭。
若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为：Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a)这里f"(a)称为a的微分或差分（different）.通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]).代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。
Strongart数学笔记：算子KK理论简明小结
算子KK-理论简明小结最近学了一点算子KK-理论，发现这个东西技术细节还是比较麻烦的，下面我就来整理一个大致思路，对KK-理论的概貌做一个大致的刻画，希望对能够来到这里的数学天才有所帮助。
对于KK-群有各种不同版本的定义，但最后的基本性质却是相似的，因此我们先来讨论最一般意义上的KK（A，B）.让我们先看基本约定，在KK（A，B）中，一般要求A与B是带σ-单位的分次C*-代数，这一点可以保证它强同伦与同伦关系是一致的。
此外，我们假设A是可分的，这主要是使得对应Kasparov模的等价关系一致于同伦关系，还假设B是稳定的，这可以带来KK-群的稳定性，在KK-理论中紧算子代数是可以被忽略的。
在这样的约定下，我们来看KK-群的若干基本性质。
1）同伦不变性：同伦关系导出相同的KK-群2）稳定性：与紧算子代数K或有限矩阵代数M_n的张量积保持KK-群不变3）Abel群性质：它构成Abel群。
这里的加法是通过一个特殊的降阶内自同构Θ来定义为[a]+[b]=Θdiag{a,b}，而Θ：Mn（B）→B，Θ：((b_ij))=Σw_ib_ijw_j*，其中w_i*w_j=0，若i≠j；Σw_iw_i*=1.(实际上这类似Cuntz代数的结构，在KK-群的加法定义中只用到n=2的情形）4）乘积性质：即有双线性映射：KK（A，B）×KK（B，C）→KK （A，C），它满足下面性质：4.1）单位律：1_A·x=x=x·1_B，对任何x∈KK（A，B）4.2）分配律：x·（y+z）=x·y+x·z，对任何x∈KK（A，B），y、z∈KK（B，C）4.3）结合律：(x·y)·z=x·（y·z），对任何x∈KK（A，B），y∈KK（B，C），z∈KK（C，D）5）函子性质：5.1）若f：A1→A是态射，则f^*（x）·y=f^*（x·y），对任何x∈KK（A，B)，y∈KK（B，C)5.2）若g：C→C1是态射，则x·g_*（y）=g_*（x·y），对任何x∈KK（A，B)，y∈KK（B，C)5.3）若h：B1→B2是态射，则h_*（x）·y=x·h^*（y），对任何x∈KK（A，B1)，y∈KK（B2，C)6）与K-群的联系：KK(C，B）=K_0（B）在KK-群的基础上还可以定义KK^1群为KK^1（A，B）=KK（A，B_(1))其中B_（1）是带奇分次的B⊙B，这样我们还有性质：6’）KK^1(C，B）=K_1（B)7）扩张性：若A，B平凡分次，则KK^1（A，B）=Ext（A，B）^(-1)；若A还是核C*-代数，则KK^1（A，B）=Ext（A，B）.8）Bott周期：KK（A，B）=KK（SA，SB）=KK^1（SA，B）=KK^1（A，SB).9）六项正合列（见[2]19.5.7）10）P-V正合列（见[2]19.6.1）下面简述KK-群的几种不同定义，一般我们都是先从Kasparov 模来引入KK-群的。
Strongart数学笔记：代数几何概型学习指南
Hartshorne代数几何概型部分学习指南(2014-04-1614:30:14)在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中，有这样一段话“对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革命，给代数几何带来了巨大的进步。
但是，跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。
约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特征为零的域，必要时就作为基域。
首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。
实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的，代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringed space）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。
假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。
给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=Spec R，其环层由交换环R的素谱Spec R上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(Spec R,O_Spec R)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。
X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。
概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。
环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。
感动中国2012：推荐一位自学成才的80后数学家(Strongart)
感动中国2012：推荐一位自学成才的80后数学家（Strongart）你只要在google上搜索一下“自学数学”，就能够一篇非常感人的文章，它讲述了一位网名为Strongart的年轻数学家自学成才的故事，当年华罗庚、陈景润之类的感人事迹，又一次在我们身边出现了。
Strongart，真名不详，江苏苏州人，曾在一所比较破旧的学校上小学，得到了全国奥数竞赛二等奖，初中时他自学完高中数学，开始自学数学系的分析课程，但迫于升学压力，高中时只是断断续续学了点数分高代。
正如很多天才都不能适应机械化的考试那样，他第一次高考也没考上如意的大学，此后一年他主要还是自学数学，最后带着一点泛函分析与抽象代数的基础进入了一所二流大学。
大学时他学得是哲学专业，这是他的另一个兴趣所在，但很快就发现课堂上教授的东西太落后了，根本就不是他所希望的，因此基本上都是自己借图书馆的书学习。
四年下来他已经能够阅读一些英文原版文献，可是现实又一次对他开了个玩笑，最终他因为学分不够，就这样默默的离开了学校。
对于这一段经历，或许他在某个视频中的一段话颇能说明问题：当同学们还处在惊讶之中，还没来得及以崇拜的目光注视我的时候，我便已经离开了他们的视线。
离开学校后，他靠网购一些图书学习，逐渐也有了一些自己的成就。
他把自己的研学心得写进自己的新浪博客，目前点击已经超过两百万，同时还制作成PDF电子书供学友们下载，深受一些专业人士的好评。
在他小结的那些数学笔记中，抽象代数、微分几何、泛函分析只能算是基础部分，此外还包括调和分析、Banach空间结构、多复变函数论、纤维丛几何、环与模的Morita理论、代数K理论等高端内容。
一般的数学系研究生只要能够掌握其中的一部分，就已经算是比较优秀的了。
从2010年起，他开始录制数学视频讲座，目前第一期交换代数视频1-30已经完成，现在又开始教授泛函分析新课，其不看讲稿的脱口秀风格颇具大家风范。
他的视频不仅思路清晰内容丰富，还非常具有自己的个性特征，在讲述投射模时联系了代数K理论，在讲述内射模时联系了一般环论中的半单环，讲述张量积的时候则是对比了微分流形上的张量场，几乎每一讲都有这样的亮点出现。
数学代数基本理论知识点
数学代数基本理论知识点数学代数是数学的一个重要分支，它研究的是数和量之间的关系，以及运算和变化规律。
在代数学中，有一些基本理论知识点是我们学习和应用代数的基础。
本文将介绍一些常见的数学代数基本理论知识点，帮助读者更好地理解和应用代数。
1.数和代数运算数是数学的基本概念，代表了数量和大小。
在代数学中，我们研究的对象不再是具体的数值，而是用字母或符号来表示的未知数和常数。
代数运算包括加法、减法、乘法和除法等四则运算，它们遵循相应的运算规则和性质。
2.方程与不等式方程是代数学中研究的重要内容，它表示了一个等式关系。
方程由未知数、常数和运算符号组成，通过对方程进行变形和运算，我们可以求解未知数的值。
不等式是比较关系，它由不等号与方程式构成，表示数值之间的大小关系。
3.函数与图像函数是代数学中的核心概念，表示了两个变量之间的依赖关系。
函数由自变量和因变量组成，函数的表达式描述了自变量和因变量之间的对应关系。
通过绘制函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
4.多项式与因式分解多项式是代数学中的基本表达式，它由单项式的和组成。
多项式的系数和指数可以是实数或复数，通过对多项式进行因式分解，我们可以将多项式拆分为更简单的因式，方便进行运算和分析。
5.集合与集合运算集合是代数学中的一个重要概念，它是由一些确定的元素组成的整体。
集合运算包括并集、交集、补集等，通过运用这些运算，我们可以更好地理解集合之间的关系和性质。
6.数列与数列求和数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
数列的求和是求取数列中的所有数的和，通过数列求和，我们可以了解数列的性质和规律，以及数列的收敛性和发散性。
7.复数与复数运算复数是代数学中的一类数，它由实部和虚部组成，虚部用虚数单位i表示。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法等，通过复数运算，我们可以解决实数范围内无法解决的问题。
8.向量与线性代数向量是代数学中的重要工具，表示了具有大小和方向的量。
代数思想总结知识点汇总
代数思想总结知识点汇总在代数学中，最基本的概念包括代数运算性质、代数方程、多项式、函数、等式、不等式等。
代数学的基本概念和基本操作给了我们解决各种数学问题的方法和手段。
在这篇文章中，我们将介绍代数学的一些基本知识点，包括代数运算、多项式和代数方程等内容。
一、代数运算代数运算是代数学中最基本的内容之一。
代数运算包括了加法、减法、乘法和除法等操作，这些操作构成了代数系统的基础。
在代数运算中，我们需要了解各种运算的性质和规则，以便进行正确的计算。
1.1 加法、减法在代数学中，加法是最基本的运算之一。
加法运算满足交换律、结合律和单位元素等性质。
减法则是加法的逆运算，它满足减法的性质。
1.2 乘法、除法乘法是代数运算中另一个重要的运算。
乘法运算满足交换律、结合律和分配律等性质。
除法是乘法的逆运算，但是需要注意在代数中并不是所有情况都有除法。
在代数学中，我们还需要了解各种数的性质，如自然数、整数、有理数、实数和复数等。
这些数在代数运算中有着不同的性质和规则，因此我们需要对它们有一个清晰的认识。
二、多项式多项式是代数学中一个重要的概念。
多项式可以看作是单项式的和，每个单项式又包括了系数和变量的乘积。
多项式的运算包括了加法、减法、乘法和除法等操作。
通过对多项式的运算，我们可以得到各种代数式的结果，如因式分解、化简和恒等式等。
2.1 多项式的加法和减法多项式的加法和减法与常数的加减法类似，只需要将相同项的系数相加或相减即可。
多项式的加法和减法可以通过整理同类项将不同项合并为一个项，加强式子的简洁性和清晰性。
2.2 多项式的乘法多项式的乘法是代数运算中比较复杂的运算之一。
在进行多项式的乘法时，我们需要将每个单项式分别乘以另一个多项式中的每个单项式，然后将结果相加。
通过多项式的乘法，我们可以得到新的多项式，例如多项式的平方和多项式的立方等。
2.3 多项式的除法多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余式的运算。
Strongart数学笔记：浅谈代数观点下的代数簇
浅谈代数观点下的代数簇在一般线性代数群的书籍中，开头总有一个关于代数几何的综述，它主要是从代数方面来介绍代数簇理论，读过之后还是小有心得的，下面就对其代数簇理论做一个小结，假设我们的讨论都在特征为零的代数闭域k上进行。
所谓代数簇，说白了就是多项式族的公共零点集。
给定多项式环k[x_1,…,x_n]内的一个理想I，所有I内的多项式（可由其生成元代替）的公共零点就称为一个仿射代数簇。
记作V（I）；反之，给定任何仿射代数簇X，在X上限制为零的多项式集构成它的定义理想，记作I（V）。
代数簇与其定义根理想按照包含关系反序一一对应，并且有I（V（I））=rad（I），这被称为Hilbert's Nullstellenstaz （零点定理）。
这里的等号右边为什么是rad（I）内，可以考虑I=（x^n)，V（I）={x^n=0}={x=0},结果I（V（I））=（x）=rad（I）.在仿射代数簇上。
我们通常考虑所谓的Zariski topology，即把多项式的零点作为闭集的拓扑。
在仿射空间k上，其Zariski拓扑的闭集由有限个点组成，换句话说其开集非常的大，要包括它的几乎所有的点，因此非常的不满足通常的Hausdorff性质，当然通常我们只要用到它的稠密性就足够了。
此外，Zarishi拓扑不是可乘的，在k×k上去掉原点，剩下的部分是k×k上Zariski topology的开集，但却不是k上Zariski topology的积拓扑的开集。
有了拓扑之后，关于仿射代数簇的一些理论可以在拓扑空间上讨论，最常见的一条是不可约性。
拓扑空间X称为不可约的，假若C不能表示成两个真非空闭子集的并。
仿射代数簇X是不可约的iff I （X）的素理想。
假若拓扑空间是Noether的（开集满足ACC），那么它可以分解为有限个极大不可约（闭）子空间的并，这实际上就相当于交换代数中Noether rong上的准素分解。
数学代数公式知识点总结
数学代数公式知识点总结数学代数是数学的一个分支，研究数学结构中的运算规则和运算对象。
代数是数学中的一个非常重要的分支，它包括了很多内容，比如代数方程、代数运算、代数式、多项式等等。
代数是数学的基础，它与几何共同构成了数学的两大支柱。
在实际应用中，代数的应用非常广泛，它可以用来解决各种实际问题，比如建筑、经济、物理等方面的问题。
因此，对于学习数学的人来说，掌握好代数知识是非常重要的。
数学代数中有很多重要的公式和定理，这些公式和定理是数学的基础，可以帮助我们理解和解决各种问题。
下面我们来总结一些数学代数中的重要公式知识点。
一、基本代数运算公式1. 加法结合律：对任意实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)；2. 乘法结合律：对任意实数a、b和c，有(a*b)*c=a*(b*c)；3. 交换律：对任意实数a和b，有a+b=b+a，a*b=b*a；4. 分配律：对任意实数a、b和c，有a*(b+c)=a*b+a*c。
二、代数方程公式1. 一次方程：形如ax+b=0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数；2. 二次方程：形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是已知数，x是未知数；3. 一元二次方程根的求解公式：对于二次方程ax^2+bx+c=0，它的根可以用以下公式求得：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)；4. 四则运算：加、减、乘、除运算。
三、代数式展开与因式分解公式1. 代数式展开公式：（1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2；（2）三角形式识别；2. 代数式因式分解公式：（1）公因式提取法；（2）分组分解法；（3）二次根式因式分解。
四、多项式公式1. 多项式的定义：多项式是由若干项有限次幂的单项式相加（减）得到的代数表达式；2. 多项式加减法：将同类项相加（减）；3. 多项式乘法：用分配律展开，再合并同类项；4. 多项式除法：用长除法进行。
五、代数几何公式1. 平面直角坐标系下的距离公式：两点A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)间的距离公式为√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)；2. 空间直角坐标系下的距离公式：三维空间中两点A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)间的距离公式为√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)；3. 点到直线的距离公式；4. 点到平面的距离公式；5. 圆与直线、圆与圆的位置关系公式；6. 直线与直线、平面与平面的位置关系公式；7. 二次曲线方程；参数方程。
初中代数知识点总结
初中代数知识点总结代数是数学中的一个重要分支，它是研究数和抽象符号之间的关系的学科。
在初中数学教学中，代数是一个重要的知识点。
本文将对初中代数的一些重要概念和技巧进行总结。
一、代数符号与基本运算法则1. 代数符号：代数中常用的符号包括英文字母和希腊字母。
英文字母通常用来表示未知数或变量，如x、y、a、b等；希腊字母常用来表示已知量或常数，如π、α、β等。
2. 加法和减法法则：加法的结合律是a+(b+c)=(a+b)+c；减法的法则是a-b=a+(-b)。
3. 乘法和除法法则：乘法的结合律是a(bc)=(ab)c；除法的法则是a÷b=a ×(1/b)，其中b≠0。
二、整式与多项式1. 整式：由常数、变量和它们的乘积与幂次的和组成的代数式称为整式。
整式可以包含单项式、多项式和零项。
2. 单项式：只包含一个项的整式，如3x、2xy。
3. 多项式：由多个项相加组成的整式，如2x+3y、x²+2xy+y²。
4. 零项：形如0的整式。
三、一元一次方程1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，其中a≠0，称为一元一次方程。
解一元一次方程的通常步骤是消元和求解。
2. 消元法：通过加减乘除等运算将含有未知数的项集中在一起，从而将方程化为较简单的形式。
3. 求解：通过逆运算，将方程的未知数解出来，并用解检验原方程是否成立。
四、因式分解与最大公因数1. 因式分解：将一个整式拆解成几个整式的乘积的过程称为因式分解。
常用的因式分解方法有公因式提取法和公式法。
2. 公因式提取法：将多项式中的公因式提取出来，然后再进行拆分。
3. 公式法：通过运用代数公式，将整式转化为较简单的形式。
4. 最大公因数：多个整数或整式的公共因数中最大的一个称为最大公因数。
可以通过求最大公因数来化简分式和解方程等。
五、二元一次方程组1. 二元一次方程组：由两个一元一次方程组成的方程组称为二元一次方程组。
解二元一次方程组的方法有代入法、消元法和等式相减法。
Strongart数学笔记：Munkres《代数拓扑基础》的阅读与思考
Munkres《代数拓扑基础》的阅读与思考原本是去年看完Munkres《代数拓扑基础》中译本之后写成的文章，一年之后自然又有了一些新收获，所以就补充一点新的体会重发出来。
先来说说读这个书所需要的预备知识，主要就是代数与拓扑两个方面的了。
其实书中对一些基础的知识都预先做了大致的介绍，所以起点还是比较低的，但若是已经掌握一些基本技术，那么就可以把注意集中到拓扑的主要内容上了。
代数方面，最好了解一点模正合列，特别是要把图表追赶的技术玩熟（尽管书中一般只涉及Abel群的情形），要是再了解一点Hom、Ext、Tor函子与张量积就更好了。
拓扑方面嘛，正规空间的知识是必须的，但更主要是商空间的理论，像20与37节都是很精彩的补充，而对复形的理解最好先了解一点凝聚拓扑（coherent topology），还有就是了解一点常见曲面的粘合与剖分将是非常有益的。
我想，这些知识大概可以从Munkres的第一本《拓扑学》中找到，虽然我没看过那本书，但它的口碑是不错的。
接着，我来简单介绍一下这本书的特色：从取材来看，这本书其实更适合叫做《同调论》，因为它主要就是处理复形的同调。
书里对同伦也就介绍了同论等价的概念，主要遇到的只是其特例形变收缩，目的还是为了得出同调群的相等（同伦不变性）。
其实，我以前曾见到过一本中文的《同调论》，其内容和这本书大致类似，现在新出的一本中文的《同调论》，仍然是依照着它的模式。
就内容来说，此书是从直观出发，直到引入许多比较“前卫”的概念。
书中对单纯形有很多具体的剖分，比如环面与Klein瓶都是经常出现的角色，对一些比较抽象的定理也独具匠心的在习题中安排了具体的例证。
我想，代数拓扑虽然有点抽象，但毕竟还不是同调代数，许多几何化的材料还是必不可少的。
同时，作者也引入了像无穷复形、同调流形这些同类书籍中不常见的概念，特别在链的意义上处理了同调与上同调的关系，这对进一步深入学习都是有所帮助的。
可见，此书内容还是比较丰富的，但同时编排还比较灵活，读起来有移步换景的感觉。
代数基本定理总结知识点
代数基本定理总结知识点在本文中，我们将深入探讨代数基本定理，并总结其知识点。
1. 代数基本定理的表述代数基本定理可以表述为：任何一个次数大于等于1的复系数多项式方程在复数域上都至少有一个复数解。
换句话说，对于形如\[P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0=0\]的多项式方程，如果多项式的次数n大于等于1，系数a_k为复数，那么该多项式方程必定有解。
2. 代数基本定理的证明代数基本定理最早的证明可以追溯到18世纪，由数学家欧拉和高斯分别给出了不同的证明方法。
在现代数学中，代数基本定理的证明可以通过多种方法完成，例如复变函数论、拓扑学等。
其中，基于复变函数论的证明方法利用了柯西定理，而基于拓扑学的证明方法则需要运用度量紧致性等性质。
3. 代数基本定理的意义代数基本定理揭示了复数域上多项式方程的性质，它对于数学的各个分支都有着重要的意义。
在解析几何中，代数基本定理说明了复数域上的多项式方程对应于射影几何中的代数曲线，它揭示了代数曲线与解析几何的内在联系。
在复变函数论中，代数基本定理为全纯函数的性质研究提供了重要的工具，例如利用了代数基本定理，我们可以证明全纯函数的零点分布性质，从而推导出全纯函数的级数展开等结论。
在拓扑学中，代数基本定理可以应用于度量空间的紧致性问题，例如代数基本定理说明了复平面上的有界闭集是紧致的，这对于拓扑学的研究有着深远的影响。
4. 代数基本定理的推论代数基本定理还有一些重要的推论，例如：（1）一个次数为n的复系数多项式方程在复数域上的n个复数根（计重数）。
（2）一个次数为n的复系数多项式方程可以完全分解为n个一次因子的乘积，其中每个一次因子对应一个复数根。
这些推论揭示了多项式方程的根和因子分解的性质，可以应用于多项式方程的求解和因子分解等问题。
5. 代数基本定理的应用代数基本定理在数学的各个领域都有着重要的应用，例如：（1）在数论中，代数基本定理可以应用于证明不可约多项式的存在性，从而揭示了整数环上多项式的性质。
初中数学代数知识点总结
初中数学代数知识点总结代数是数学中的一个重要分支，是研究数的运算和各种数的关系、性质的一门学科。
在初中数学中，代数知识是一个重点和难点，它是学习高中数学的基础。
下面我们来总结初中数学代数知识点。
一、代数表达式代数表达式是抽象符号表示的数学式子，它包含有字母、数字和运算符号。
代数表达式可以用来描述数的运算关系。
常见的代数表达式有单项式、多项式、开平方式、分式等形式。
我们需要掌握代数表达式的展开和化简等运算法则。
二、方程和不等式方程是含有一个或多个未知数的等式，方程中的未知数称为方程的根。
我们需要掌握一元一次方程、一元二次方程和一元一次不等式、一元二次不等式的求解方法。
求解方程和不等式需要灵活运用等式的性质和方程的变形法则。
三、函数函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
函数可以用一个公式或一个图表来表示。
我们需要掌握一元一次函数、一元二次函数和绝对值函数的图像特征、性质和应用。
学习函数需要了解函数的定义、定义域、值域、单调性等概念。
四、等式的性质和运算法则在解方程和化简代数表达式时，我们需要运用等式的性质和运算法则。
常见的等式性质有等式的对称性、传递性、加法逆性、乘法逆性等。
常见的等式运算法则有加减法原则、乘除法原则、消去法则等。
熟练掌握等式的性质和运算法则可以简化求解过程。
五、平方根和立方根平方根是一个数的平方等于给定数的非负数根，立方根是一个数的立方等于给定数的根。
我们需要了解开平方和开立方的概念，并学会求解含有开方的方程和计算开方的近似值。
在计算平方根和立方根时，可以运用平方根和立方根的性质简化运算。
六、集合运算集合运算是对集合进行操作的一种数学运算。
常见的集合运算有并集、交集、补集和差集等。
我们需要掌握集合运算的定义、性质和运算法则，并能熟练地运用集合运算解决实际问题。
七、数列数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
我们需要了解数列的概念、性质和求和公式，并学会判断数列的类型（等差数列、等比数列、等差数列）。
代数思想总结知识点
代数思想总结知识点代数思想是数学中的一种重要思维方式和方法论，是研究和处理数与数之间关系的一种数学工具。
代数思想的核心是代数结构的研究和应用，通过对对象的抽象和运算的定义，研究其性质和特征，并尽可能用符号表示和一般化。
代数思想在计算科学、物理学、工程学等众多领域具有广泛的应用。
一、代数基本概念和运算法则1. 数的基本概念：自然数、整数、有理数、实数、复数等。
2. 代数运算的基本概念：加法、减法、乘法、除法。
3. 数的性质和运算法则：交换律、结合律、分配律等。
二、代数方程与不等式1. 代数方程的基本概念：未知数、系数、次数、解等。
2. 一元一次方程：解方程的方法（等式方程、逆运算法、代入法等）。
3. 一元二次方程：求根公式、因式分解法、配方法等。
4. 代数不等式：不等式的基本性质和解法（图像法、分析法等）。
三、代数运算与函数1. 代数运算符号的应用：代数表达式的展开、因式分解、合并同类项、提取公因子等。
2. 函数的基本概念：自变量、因变量、定义域、值域、图像等。
3. 基本函数及其性质：线性函数、平方函数、绝对值函数、反比例函数等。
4. 复合函数与反函数：复合函数的定义与性质、反函数的定义与求法等。
四、代数式的应用1. 代数式的建立：根据实际问题建立代数关系式。
2. 代数式的应用：解决问题、求解等。
3. 代数方程与几何问题：根据几何问题建立代数方程。
4. 代数模型的建立：根据实际情况建立代数模型。
五、代数结构和抽象思维1. 代数结构的分类与研究：群、环、域等代数结构的定义及性质。
2. 抽象代数思维：用符号表示和一般化对象，从具体到抽象的思维方式和方法。
3. 代数应用问题的抽象：将实际问题抽象为代数模型，进行数学建模和求解。
4. 代数结构的应用：在计算科学、物理学、工程学等领域的应用。
以上是对代数思想的一些基本知识点进行总结和概括，代数思想作为数学中的一种重要思维方式和方法论，具有广泛而深刻的应用。
通过对代数基本概念和运算法则的学习，我们能够建立和解决代数方程和不等式，掌握代数运算与函数的相关知识，应用代数式解决实际问题，培养抽象思维和代数模型建立能力。
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代数K理论的代数基础小结
最近我在读一点代数K理论，尽管这是个比较年轻的分支，但是却在代数数论、代数几何、代数拓扑、算子代数等理论中都有着广泛的应用，可以说是代数学中的“泛函分析”。
代数K理论自然是建立抽象代数的基础之上，特别需要交换与非交换环的内容，下面我就结合环上K0、K1群，对所需的代数基础作一点简单的小结。
所谓环R的K0群，就是R上的f.g.（有限生成）投射模在同构下的等价类的半群完备化，也就是相应等价类的Grothendieck群。
这里考虑f.g.条件，是因为在无限生成的条件下，会出现类似Hilbert Hotel的情况，使得K=2K→K=0.这样一来，环上的f.g.投射模就比一般的投射模更受关注，最常见的问题就是问它们什么时候是自由的。
一个答案是需要环是PID，因为PID上f.g.模有类似Abel 群的结构定理；另一个答案则是局部环（未必交换），这可以通过推广Nakayama lemma来证明。
顺便说一下，即使不要求f.g.条件，在局部环上的投射模也都是自由的，只是证明起来要麻烦一些啊！
对于K0.K1群而言，比较重要的一类环就是Dedekind domain （DD），它是交换的遗传环，有着各种等价的描述：
1）从环的结构上看，DD就是一维的Noether的整闭整环。
这里的整闭条件常常用来说明某个环不是DD，比如Z[√-5]就是PID但不是DD的典型例子。
2）从局部化构造来看，DD是Noether的局部DVR.这就使得对任意素理想p，都可以做p-adic赋值。
3）从理想的角度来看：DD的分式理想构成群。
此等价于其任意（分式）理想均可逆。
4）从模的角度来看：DD的f.g.投射模是理想的直和。
注意比较一下遗传条件，其理想实际上就是投射模。
此外，DD还有一些重要的性质：
a）1+1/2的Noether性：理想由两个元素生成，并且其中一个元素可以事先给定。
b）理想的因子分解性：可以分解为素理想（=极大理想）的乘积。
因此，相应的理想运算可以转化为素理想因子指数的运算，特别其准素理想是素理想的幂。
c）DD必为半局部环或半单环，前者即为PID.特别有
DD∩UFD→PID.
d）DD的环稳定度为2：就是说其矩阵环的能够生成整个环R的行的最小数是2，这样就可以用二阶矩阵群来刻画K1群，导出所谓的Mennicke symbol.
所谓环R的K1群，是由其特殊线性群GL(R)对初等群E(R)取模得到，也就是说可以它在初等变换下不变。
这样一来，线性代数中的行与列的初等变换就成了需要关注的焦点，如果能够通过这样的初等变换得到一个形如diag[a,1,…,1]的对角阵，那么就可以得到一个通往K1(R)的满射。
然而，这里的初等变换是在一般环上建立的，如何做除法消元就成了一个重要的问题。
对于除环而言，逆的存在是天然的，因此完全可以满足消元的要求。
接着我们来看局部环，关键在于其不在极大理想内的元素必可逆，也就可以得到相应矩阵环的任一行都必有一个单位元素。
对此我要稍微详细的解释一下，有人也许会想假若其矩阵环A某一行都在极大理想m内，那么其行列式det（A）也应在m内，假若有AB=I，则有det （A）det（B）=1，这使得det（A）变成了单位！遗憾的是，这样的解释是错误的，因为非交换环不能像交换环那样随便写行列式。
比如在最简单的四元数代数中，有对角矩阵的乘法
diag[i,i]diag[j,j]=diag[k,k],但相应的行列式却是
(-1)(-1)=(-1)(!)恰当的解释应该回到矩阵的乘法上，假若A的第i 行在m内，则AB的第i行也在m内，这与AB的（i,i）元素是1矛盾！此外，还有一种可能的情况就是欧式环，它可以通过范数最小元的方法来达到整除消元的目的。
然而，不讨论行列式只能给出到K1群的满射，这自然是不能令人满意的。
因此，我们还得探索非交换环上的行列式需要另外探索，基本思想是先找出行列式的典型性质，然后看看有没有什么类似的构
造也满足此性质，可惜其中的技术略显复杂，我也就不再这里罗嗦了，有兴趣的读者可以去参阅代数K理论的相关书籍。
本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。
然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。
这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！
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