等离子体鞘层

9.1 无碰撞鞘层
9.1.1 鞘层基本方程
使用如下假设：（1）电子遵守温度 Te 的麦克斯韦分布；（2）离子在鞘层中无碰撞运动，
并且是冷离子（ Ti = 0 ）；（3）在等离子鞘层分界面（在 x = 0 准中性和非中性区域之间的分
界面）处 ， ne (0) = ni (0) 。像图 9.1 展示的那样，定义在 x = 0 处电势 Φ 为零，那里的离
得到
d 2Φ dx2
=
e ε0
(ne
−
ni )
（9.5）
d 2Φ dx2
=
ens ε0
⎡ ⎢exp( ⎣
eΦ Te
)
− (1−
eΦ
−
)
1 2
εs
⎤ ⎥ ⎦
(9.6)
104
这里 εs
=
1 2
Mus2
是初始离子能量。方程（9.6）是决定鞘层电势及离子和电子密度的基本的
非线性方程。然而正像我们将要在下一部分看到的那样它只在足够大的 us 下有稳定的解,而
E(x,t) = en [x − s(t)]
ε0
（9.33）
流过鞘层进入等离子体中的位移电流为
I
d
(t
)
=
ε
0
A
∂E ∂t
这里 A 是电极面积。将（9.33）式代入（9.34）式，得
（9.34）
I
d
(t
)
=
− enA
ds dt
（9.35）
由于假设鞘层内电子密度为零，流经鞘层到达极板的稳态离子流远小于位移电流，所以可
ns = n0 exp(−e Φ p Te ) ≈ 0.61n0
（9.13）
这里 nb 是等离子体的密度。
9.1.3 悬浮壁的鞘层电势 要决定等离子体和悬浮壁之间的鞘层电位降是十分简单的。假设离子流穿越鞘层不变，
在壁处离子流
Γi = nsuB
（9.14）
而电子流
Γe
=
1 4
nsυeeeΦw
Te
（9.15）
J0
=
⎛ ⎜⎝
2 3
⎞⎛ ⎟⎠ ⎜⎝
5 ⎞3 3 ⎟⎠
2
ε0
⎛ ⎜⎝
2eλi πM
⎞1 ⎟⎠
2
V03 2 s5 2
（9.31）
式（9.31）是碰撞情形的 Child 定律。如果 J0 和V0 值确定，鞘层厚度与离子平均自由程的
关系为 s ∝ λi1 5 ，所以随着气压增高，鞘层厚度变薄。
108
9.3 射频电压鞘层
x Φ
鞘层
Φp x
Φw
图 9.1
这里 nis 是鞘层边界处的离子密度。从（9.1）式中解出 u 并代入（9.2 ）式, 得到
ni
=
nis (1−
2eΦ Mus2
−
)
1 2
(9.3)
电子密度由玻尔兹曼关系给出
ne (x) = nes exp(eΦ(x) / Te )
(9.4)
设在鞘层边界处有 nes = nis = ns ，并把 ni , ne 代入到泊松方程
3
J0
=
4 9
ε
0
(
2e M
)
1 2
V02 s2
(9.22)
方程（9.22）是众所周知的平行极板的空间限制电流的 Child 定律。固定鞘层厚度 s，它给
出了两极之间的电流与电势差的函数关系。然而，如果确定离子流为
J0 = ensuB
(9.23)
我们能获得鞘层电位降、鞘层厚度和等离子体参数的关系式。它可以被用来确定鞘层厚度 s，
有
1
( d Φ )2
=
2
J0
2e −1 ( )2
1
(−Φ) 2
2 dx
ε0 M
（9.20）
这里 J0 = ensus 是离子流。求解方程（9.20）式，取负平方根（由于 dφ dx 是负的），积分
得到
3
(−Φ) 4
=
3
(
J
0
)
1 2
(
2e
−
)
1 4
x
2 ε0 M
（9.21）
考虑到在阴极 x = s ，电势φ = −V0 ，由（9.21）得到
子体区域，一定有一个有限的电场加速离子，这个区域要比鞘层宽的多，叫做预鞘层（见图
9.1）。
离子穿越预鞘层加速至玻姆速度，则有
1 2
MuB2
=
eΦ p
（9.11）
这里 Φ p 是相对于鞘层—预鞘层边界处的等离子体电势。由（9.10）式，代入玻姆速度，得
到
105
Φp
=
Te 2e
（9.12）
这在图 9.1 中已划出。鞘层边界和等离子体内部的密度比值可以从玻尔兹曼关系中得出
d 2Φ dx2
=
−
ens ε0
(1 −
eΦ
−
)
1 2
εs
考虑到初始离子动能远小于鞘层势能，方程（9.18）式能简化为
（9.18）
d 2Φ dx2
=
−
ens ε0
(−
eΦ
−
)
1 2
εs
（9.19）
用 dΦ dx 乘（9.19）式后，从 0 到 x 积分，选择在 x = 0 处， Φ = 0 和 dΦ dx = −E = 0 ，
在一般情况下，射频电压鞘层要比直流电压鞘层更复杂，电子密度、离子密度、电场 等放电参量都是位置和时间的复杂函数。为了得到解析结果，必须进行简化处理。我们作
如下假设：（a）离子的响应时间远大于场的变化周期（ω pi ω ），离子响应时间平均电场；； (b)电子响应瞬时电场（ω pe ω ），是射频放电的载流子；(c)电子的温度远小于鞘层的平
鞘层厚度 s。这个积分必需数值方法解，典型的鞘层厚度是几个德拜长度。
9.1.4 Child 定律鞘层
106
对于阴极鞘层，通常鞘层电压降远大于 Te ，因此 ne ~ nseeΦ Te → 0 ，鞘层里只有离子
存在，到达阴极的电流几乎都是离子电流。假设在鞘层中离子运动是无碰撞的，则稳定的
自洽离子密度是不均匀的。略去方程（9.6）式右边电子密度项，则泊松方程为
第九章 等离子体鞘层理论
在有界的等离子体边缘存在着约束带电粒子的电势。这能使到达器壁的正电流和负电流 平衡。在通常情况下，等离子体是由数量相等的正离子和电子组成，其中电子比离子更易移 动得多，因而等离子体相对器壁呈正电性。在等离子体和壁之间的非电中性区域称作鞘层。 如果在两个电极之间加上电压，电流平衡得到维持时，每个电极可以分别吸引电流，这样在 阴极附近形成一个非电中性区域，通常称为阴极鞘层。在弱电离等离子体中维持等离子体的 能量通常来自于被加热的电子，离子同背景气体几乎达到平衡。电子温度有几电子伏特，而 离子是冷的。在这种情况下，鞘层电势能加速单能离子，而电子密度由于波尔兹曼因子而减 小了。为了维持离子流的连续，在电中性的等离子体和非电中性的鞘层之间一定存在一个过 渡层或称预鞘层，它将导致在鞘层边界处离子的速度达到玻姆速度。当射频电压加到电极上 时，能形成一个随时间变化鞘层，鞘层边界能随时间振荡。对于负高压脉冲形成的鞘层，在 电压脉冲施加的瞬间，电场将电子从鞘层中驱逐，留下一个离子密度均匀的鞘层，随后离子 不断注入靶中，鞘层边界向等离子体中扩展，这将在“等离子体侵入离子注入”中发生。如 果中性气体是负电性的，以至于电子附着是显著的，负电荷分成了电子和负离子。如果负离 子比例很大，负电荷运动能被大大减少，将改变鞘层边界条件。
∫ Vs (t) =
s Edx = − en s2
0
ε0 2
（9.38）
109
将（9.36）式代入（9.38）式，得到
Vs
(t)
=
−
en 2ε0
2
(s
+
1 2
s02
−
2s
s0
sin ωt
−
1 2
s02
cos
2ωt)
（9.39）
尽管离子在鞘层中的传导电流是很小的，但他确定了鞘层的平均厚度 s 。设鞘层中稳态的离
以认为流经鞘层的电流就是位移电流。让 Id (t) = Irf (t) ，这里 Irf (t) = I0 cosωt 是线路中电
流，积分（9.35）式，得
s(t) = s − s0 sinωt
（9.36）
这里
s0
=
I0 enω
A
（9.37）
是鞘层厚度相对于直流值 s 的正弦振荡幅值。积分（9.33）式，得到鞘层电压表达式
us 在准中性的预鞘层区域获得。
9.1.2 玻姆鞘层判据
用 dΦ 乘以(9.6)再积分到 x 就可得到第一步积分 dx
∫ ∫ Φ dΦ d ( dΦ )dx = ens
0 dx dx dx
ε0
Φ 0
dΦ dx
⎡ ⎢exp( ⎣
eΦ Te
)
−
(1 −
eΦ εs
−1
)2
⎤ ⎥ ⎦
dx
消去 dx, 再对 Φ 积分，我们得到
（9.7）
1 2
( d Φ )2 dx
=
ns ε0
⎡ ⎢Te ⎣
eΦ exp( )
Te
− Te
+Biblioteka 2εs (1−eΦ
)
1 2
εs
−
2ε s
⎤ ⎥ ⎦
(9.8)
这里我们已经在 x = 0 处, 令 Φ = 0 和 dΦ = 0 。方程（9.8）可以由数值积分得到 Φ(x) 。 dx
显然，方程（9.8）有解要求其右边应该是正的。 实际上，这意味着在鞘层区域，电子密度