河南地区中考数学总复习：专题检测()三角形(Word版,含答案)

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2022河南数学中考总复习--解直角三角形(试题、含解析)

2022河南数学中考总复习--§6.3 解直角三角形五年中考考点1 锐角三角函数1.(2021天津,2,3分)tan 30°的值等于( )A.√33B.√22C.1D.2答案 A tan 30°=√33,故选A .2.(2020浙江杭州,4,3分)如图,在△ABC 中,∠C =90°,设∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,则 ( )A.c =b sin BB.b =c sin BC.a =b tan BD.b =c tan B答案 B ∵Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,∴sin B =b c,即b =c sin B ,故A 选项不成立,B 选项成立;tan B =ba ,即b =a tan B ,故C 选项不成立,D 选项不成立.故选B .3.(2019天津,2,3分)2sin 60°的值等于 ( )A.1B.√2C.√3D.2答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60°=√32,则2sin 60°=2×√32=√3.故选C .4.(2018云南,12,4分)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =1,BC =3,则∠A 的正切值为 ( )A.3B.13 C.√1010 D.3√1010答案 A ∵AC =1,BC =3,∠C =90°,∴tan A =BCAC =3.故选A .5.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cos∠AEF的值是.答案√22解析连接AF.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°.∵点E是CD的中点,AB=2,∴CE=1.∵FC=2BF,BC=3,∴BF=1,FC=2.易证△ABF≌△FCE,∴AF=EF,∠AFB=∠FEC,∵∠FEC+∠EFC=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°,∴∠AFE=90°.∴△AEF是等腰直角三角形,∴cos∠AEF=cos45°=√22.考点2解直角三角形1.(2020安徽,8,4分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cos A=45,则BD的长度为()A.94B.125C.154D.4答案C∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,cos A=ACAB =4 5 ,∴AB =5,∴BC =√AB 2-AC 2=3, ∵∠DBC =∠A , ∴cos∠DBC =BC BD =45, ∴BD =154. 故选C .思路分析先利用cos A 的值和勾股定理求出BC 的长,再利用cos ∠DBC =cos A =45求出BD 的长.2.(2020江苏苏州,7,3分)如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度,他作了如下操作:(1)在点C 处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE =α;(2)量得测角仪的高度CD =a ;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB =b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为 ( )A.a +b tan αB.a +b sin αC.a +btanα D.a +bsinα 答案 A 延长CE 交AB 于F , 由题意得,四边形CDBF 为矩形, ∴CF =DB =b ,FB =CD =a ,在Rt △ACF 中,∠ACF =α,CF =b , ∵tan∠ACF =AFCF ,∴AF =CF ·tan ∠ACF =b tan α, ∴AB =AF +BF =a +b tan α. 故选A .解题关键本题主要考查了解直角三角形,解题关键是通过构造直角三角形,将实际问题转化为数学问题.3.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°,观测旗杆底部B的仰角为45°,则旗杆AB的高度约为m.(结果取整数.参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)答案3解析∵∠BDC=45°,∠BCD=90°,∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=180°-90°-45°=45°,∴∠BDC=∠DBC,∴BC=DC=10m.,在Rt△ADC中,tan∠ADC=ACCD,∴tan53°=AC10∴AC=10tan53°≈10×1.33≈13.3m.∴AB=AC-BC=13.3-10=3.3≈3m.故答案为3.思路分析因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以可得BC=DC=10m,解直角三角形可求出AC≈13.3m,进一步可求出AB的长度.4.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A ,B 两点间的距离为90 cm .低杠上点C 到直线AB 的距离CE 的长为155 cm ,高杠上点D 到直线AB 的距离DF 的长为234 cm ,已知低杠的支架AC 与直线AB 的夹角∠CAE 为82.4°,高杠的支架BD 与直线AB 的夹角∠DBF 为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH.(结果精确到1 cm .参考数据:sin 82.4°≈0.991,cos 82.4°≈0.132,tan 82.4°≈7.500,sin 80.3°≈0.983,cos 80.3°≈0.168,tan 80.3°≈5.850)解析在Rt △CAE 中,AE =CE tan ∠CAE =155tan82.4°≈1557.500≈20.7. (3分)在Rt △DBF 中,BF =DF tan ∠DBF =234tan80.3°≈2345.850=40. (6分)∴EF =AE +AB +BF =20.7+90+40=150.7≈151. ∵四边形CEFH 为矩形, ∴CH =EF =151.即高、低杠间的水平距离CH 的长约是151 cm .(9分)思路分析根据Rt △CAE 和Rt △DBF 中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE ,BF 的长度,得EF =AE +AB +BF ,由矩形的性质可知CH =EF ,可以求出问题的答案.5.(2021河南,19,9分)开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝,卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图,他们选取的测量点A 与佛像BD 的底部D 在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m,在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像BD的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin37.5°≈0.61,cos37.5°≈0.79,tan37.5°≈0.77).解析设BD=x m,在Rt△BDA中,∠BDA=90°,∠BAD=45°,∴AD=BD=x.(3分)在Rt△CDA中,∠CAD=37.5°,∴CD=AD·tan37.5°≈0.77x.(6分)∵BC=4,∴BD-CD=4,即x-0.77x=4.解得x≈17.4.答:佛像BD的高度约为17.4m.(9分)6.(2019河南,19,9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55m的小山EC上.在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1m.参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67,√3≈1.73)解析在Rt△ACE中,∵∠A=34°,CE=55,∴AC =CEtan34°≈550.67≈82.1. ∴BC =AC -AB =82.1-21=61.1. (4分)在Rt △BCD 中, ∵∠CBD =60°,∴CD =BC ·tan 60°≈61.1×1.73≈105.7. (7分)∴DE =CD -CE =105.7-55≈51.所以炎帝塑像DE 的高度约为51 m . (9分)思路分析已知EC =55,∠A =34°,先解Rt △ACE ,求得AC 的长,由BC =AC -AB 得BC 的长,再解Rt △BCD ,求得CD 的长,从而求得DE.7.(2020河南,18,9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪,先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°,然后沿MP 方向前进16 m 到达点N 处,测得点A 的仰角为45°,测角仪的高度为1.6 m .(1)求观星台最高点A 距离地面的高度(结果精确到0.1 m .参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40,√2≈1.41);(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6 m .请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.解析 (1)如图,过点A 作AF ⊥MP ,垂足为点F ,交BC 的延长线于点E.由题意知,四边形MBCN 和四边形NCEF 均为矩形, (2分)设AE =x m ,在Rt △ACE 中,∠AEC =90°,∠ACE =45°, ∴CE =AE =x m , (3分)在Rt △ABE 中,∠AEB =90°,∠ABE =22°, ∵tan 22°=AEBE , ∴BE =AEtan22°≈x0.40=52x m , (4分)∵BE -CE =BC , ∴52x -x =16. 解得x =323≈10.67. (6分)∵EF =BM =1.6 m ,∴AF =AE +EF =10.67+1.6≈12.3 m .即观星台最高点A 距离地面的高度约为12.3 m . (7分)(2)误差为12.6-12.3=0.3(m ).(8分)可多次测量,取测量数据的平均值(答案不唯一,合理即可). (9分)8.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A ,B 在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B 船在A 船的正南方向5海里处,A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向,B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向.已知A 船的航速为30海里/小时,B 船的航速为25海里/小时,问C 船至少要等待多长时间才能得到救援?参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43,√2≈1.41解析过点C 作CD ⊥AB 交直线AB 于点D ,则∠CDA =90°. (1分)设CD =x 海里,则AD =CD =x 海里. ∴BD =AD -AB =(x -5)海里.(3分)在Rt △BDC 中,CD =BD ·tan 53°, 即x =(x -5)·tan 53°,∴x =5tan53°tan53°-1≈5×4343-1=20. (6分)∴BC =CD sin53°=x sin53°≈20÷45=25海里.∴B 船到达C 船处约需25÷25=1(小时). (7分) 在Rt △ADC 中,AC =√2x ≈1.41×20=28.2海里, ∴A 船到达C 船处约需28.2÷30=0.94(小时).(8分)而0.94<1,所以C 船至少要等待0.94小时才能得到救援. (9分) 解题技巧本题是解三角形两种典型问题中的一种. 以下介绍两种典型问题: (1)如图1,当BC =a 时,设AD =x , 则CD =x tanβ,BD =xtanα. ∵CD +BD =a , ∴xtanβ+xtanα=a , ∴x =atanαtanβtanα+tanβ.图1(2)如图2,当BC =a 时,设AD =x , 则BD =x tanα,CD =x tanβ, ∵CD -BD =a ,∴x tanβ-xtanα=a ,∴x =atanαtanβtanα-tanβ.图29.(2021江西,20,8分)图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图,图2是其侧面示意图,其中枪柄BC 与手臂MC 始终在同一直线上,枪身BA 与额头保持垂直.量得胳膊MN =28 cm ,MB =42 cm ,肘关节M 与枪身端点A 之间的水平宽度为25.3 cm (即MP 的长度),枪身BA =8.5 cm . (1)求∠ABC 的度数;(2)测温时规定枪身端点A 与额头距离范围为3~5 cm .在图2中,若测得∠BMN =68.6°,小红与测温员之间距离为50 cm .问此时枪身端点A 与小红额头的距离是否在规定范围内?并说明理由.(结果保留小数点后一位)(参考数据:sin 66.4°≈0.92,cos 66.4°≈0.40,sin 23.6°≈0.40,√2≈1.414)图1图2解析 (1)过点B 作BK ⊥MP 于点K ,由题意可知四边形ABKP 为矩形. ∴MK =MP -AB =25.3-8.5=16.8 cm . 在Rt △BMK 中,cos ∠BMK =MK MB =16.842=0.4, ∴∠BMK ≈66.4°,∴∠MBK =90°-66.4°=23.6°, ∴∠ABC =23.6°+90°=113.6°. 答:∠ABC 的度数为113.6°.(2)延长PM 交FG 于点H ,由题意得∠NHM =90°, ∵∠BMN =68.6°,∠BMK =66.4°, ∴∠NMH =180°-68.6°-66.4°=45°. 在Rt △MNH 中, cos 45°=HM MN =HM28,∴HM =28×√22≈14×1.414=19.796 cm .∴枪身端点A 与小红额头的距离为50-19.796-25.3=4.904 cm ≈4.9 cm . ∵3<4.9<5,∴枪身端点A 与小红额头的距离在规定范围内.三年模拟A组基础题组一、选择题(每题3分,共9分)1.(2021洛阳汝阳一模,5)李红同学遇到了这样一道题:√3tan(α+20°)=1,你猜想锐角α的度数应是()A.40°B.30°C.20°D.10°答案D∵√3tan(α+20°)=1,∴tan(α+20°)=√33,∵α为锐角,∴α+20°=30°,α=10°.故选D.2.(2020信阳商城一模,8)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为()A.13B.1 C.√33D.√3答案B连接BC,由题意可得AB=BC=√5,AC=√10,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,则tan∠BAC=1.故选B.3.(2020河南百校联盟一模,9)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,以B为圆心,BC长为半径画弧交AD于点E,连接CE,作BF⊥CE,垂足为F,则tan∠FBC的值为()A.12 B.25 C.310 D.13 答案D连接BE.∵以B 为圆心,BC 长为半径画弧交AD 于点E ,∴BE =BC =5,∴AE =√BE 2-AB 2=√52-32=4,∴DE =AD -AE =5-4=1,∴CE =√CD 2+DE 2=√32+12=√10,∵BC =BE ,BF⊥CE ,∴点F 是CE的中点,∴CF =12CE =√102,∴BF =√BC 2-CF 2=√52-(√102)2=3√102,∴tan∠FBC =CF BF =√1023√102=13,即tan ∠FBC 的值为13.故选D.二、解答题(共51分)4.(2021濮阳一模,18)某市为了加快5G 网络信号覆盖,在市区附近小山顶架设信号发射塔,如图,山顶上有一个信号塔AC ,已知信号塔高AC =21米,在山脚下点B 处测得塔底C 的仰角∠CBD =36.9°,塔项A 的仰角∠ABD =42.0°.求山高CD (点A ,C ,D 在同一条竖直线上).(参考数据:tan 36.9°≈0.75,sin 36.9°≈0.60,tan 42.0°≈0.90)解析由题意得,在Rt △ABD 与Rt △CBD 中,AD =BD ·tan ∠ABD =BD ·tan 42.0°≈0.90BD , CD =BD ·tan ∠CBD =BD ·tan 36.9°≈0.75BD.∵AC =AD -CD =0.15BD =21(米), ∴BD =140(米). ∴CD =0.75BD =105(米). 答:山高CD 约为105米.5.(2021郑州二模,18)某区域平面示意图如图所示,点D 在河的右侧,人民路AB 与桥BC 垂直,某校数学小组进行研学活动时,在C 处测得点D 位于西北方向,又在A 处测得点D 位于南偏东65°方向,另测得BC =628 m ,AB =400 m ,求出点D 到AB 的距离.(结果保留整数,参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)解析如图,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,过点D 作DF ⊥BC 于点F ,则四边形EBFD 是矩形, 设DE =x m ,在Rt △ADE 中,∠AED =90°, ∵tan∠DAE =DEAE , ∴AE =DE tan ∠DAE ≈x2.14,∴BE =400-x2.14, 又BF =DE =x ,∴CF =628-x ,在Rt △CDF 中,∠DFC =90°,∠DCF =45°, ∴DF =CF =628-x , 又BE =DF ,即400-x2.14=628-x , 解得x =428.故点D 到AB 的距离约是428 m .6.(2021许昌一模,18)曹魏古城是许昌的特色建筑之一,具有文化展示、旅游休闲、商业服务、特色居住等主要功能,某数学活动小组借助测角仪和皮尺测量曹魏古城南城门中间大门的高度,如图,矩形AEFB 是中间大门的截面图,他们先在城门南侧点C 处测得点A 的仰角∠ACE 为58°,然后沿直线从点C 处穿过城门到达点D ,从点D 处测得点B 的仰角∠BDF 为45°,点C 到D 的距离为38米,EF 的距离为18米,求曹魏古城南城门中间大门AE 的高度.(结果精确到1米,参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)解析设AE =x ,则BF =AE =x ,在Rt △ACE 中,∠AEC =90°,∠ACE =58°, ∴CE =AEtan58°≈x1.6, (3分)在Rt △BFD 中,∠BFD =90°,∠BDF =45°, ∴DF =BF =x ,(5分)∵CE +EF +FD =CD , ∴x1.6+18+x =38,解得x ≈12. (8分)即曹魏古城南城门中间大门AE 的高度约为12 m . (9分)7.(2021安阳二模,19)2021年“五一”期间,修复后的安阳老城东南城墙及魁星阁与市民见面,这一始建于北魏天兴元年(公元398年)的建筑,在1 600多年后,以崭新的面貌向世人展示历史印记,古代安阳“魁星取水”景观即将重现.某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度,如图所示,他们在地面一条水平步道FB 上架设测角仪,先在点F 处测得魁星阁顶端A 的仰角是26°,朝魁星阁方向走20米到达点G 处,在点G 处测得魁星阁顶端A 的仰角是45°,若测角仪CF 和DG 的高度均为1.5米,求魁星阁顶端距离地面的高度(图中AB 的值).(参考数据:sin 26°≈0.44,cos 24°≈0.90,tan 26°≈0.49,√2≈1.41,结果精确到0.1米)解析由题意知,CD=FG=20,CF=DG=BE=1.5,四边形CFBE是矩形.(1分)设AE=x,在Rt△ADE中,∵∠ADE=45°,∴AE=DE=x,(3分)在Rt△ACE中,∵tan26°=AECE =x CE,∴CE=xtan26°,∵CE-DE=CD,∴xtan26°-x=20,(6分)解得x≈19.2,(7分)∴AB=19.2+1.5=20.7.(8分)答:魁星阁顶端距离地面的高度约为20.7米. (9分)8.(2021河南名校联考,18)“青山绿水,生态农业”.某地需引水修建水库,既可蓄水灌溉,又可美化环境.据了解,水库C修建在水源A的正东方向,在水源A的北偏东75°方向有一古迹B,B与A相距14km,其中水库C在古迹B的东南方向.(1)若在水源A与水库C之间修建一条水渠,求该水渠的最短长度;(2)在古迹B的西南方向5km处有一古墓群,为了保护文物,不破坏古墓,在古墓群周围1km范围内不得进行任何土工作业,判断按照(1)中的方式修建水渠是否合理,并说明理由.(结果保留一位小数,参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,√2≈1.41)解析(1)过点B作BD⊥AC于点D,由题意得,∠BAD=15°,∠DBC=∠DCB=45°,AB=14km,BD=DC,在Rt△ADB中,BD=AB·sin15°≈14×0.26=3.64(km),AD=AB·cos15°≈14×0.97=13.58(km),∴CD=BD=3.64(km),∴AC=AD+DC=13.58+3.64≈17.2(km),根据“两点之间,线段最短”,可知线段AC的长即为所求.答:该水渠的最短长度约为17.2km.(2)按照(1)中的方式修建水渠不合理,理由如下:过点B作BE⊥BC交AC于点E,由(1)知,∠DCB=45°,CD=3.64km,∴CE=2CD=7.28(km),∴BE=CE·sin45°≈5.1(km),∵5.1-5=0.1(km),0.1km<1km,∴有破坏文物的可能,即按照(1)中的方式修建水渠不合理.思路分析(1)过点B作BD⊥AC于点D,利用锐角三角函数得出BD、AD,进而得出AC即可.(2)过点B作BE⊥BC 交AC于点E,利用锐角三角函数得出BE,与所给的数据比较大小,进而解答即可.9.(2021开封一模,18)被誉为“天下第一塔”的开封铁塔,八角十三层,其设计精巧,单是塔砖就有数十种图案,它历经战火、水患、地震等灾害,依然屹立.某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量铁塔的高度”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间实地测量.课题测量铁塔的高度测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量方案在点C 处放置高为1.3米的测角仪,此时测得塔顶端A 的仰角为58°,再沿BC 方向走20.5米到达点E 处,此时测得塔顶端A 的仰角为45°说明:E ,C ,B 三点在同一水平面上(1)请你根据表中信息帮助该数学兴趣小组求铁塔的高度;(结果精确到0.1米,参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)(2)景点介绍开封铁塔的高度为55.88米,则计算结果的误差为多少?请你说出一条可能导致计算结果产生误差的原因.解析由题意知DF =CE =20.5米,CD =EF =1.3米,过点F 作FG ⊥AB 于点G , ∴BG =CD =1.3米,设AG =x 米,在Rt △AGF 中,∠AFG =45°, ∴FG =AG =x 米,∴DG =FG -DF =(x -20.5)米,在Rt △AGD 中,∠ADG =58°, ∴tan 58°=AG DG =xx -20.5≈1.6,解得x ≈54.67米,∴AB =AG +BG =54.67+1.3≈56.0(米). ∴铁塔的高度约为56.0米. (2)56.0-55.88=0.12(米) ∴产生的误差为0.12米.原因:读数时出现误差、皮尺没有拉直、测角仪器没有摆正等.(合理即可)思路分析本题考查解直角三角形的应用—仰角问题,先在图表中找出所需信息,根据解直角三角形的“母子型”,设出参数利用锐角三角函数的边角关系,构建方程解决问题.B 组提升题组解答题(每题3分,共65分)1.(2021许昌长葛一模,18)如图,AD 是△ABC 的高,cos B =√22,sin C =35,AC =10,求△ABC 的周长.解析在Rt △ACD 中,sin C =ADAC , ∵sin C =35,AC =10, ∴35=AD 10, ∴AD =6.∴CD =√AC 2-AD 2=8. 在Rt △ABD 中,∵cos B =√22, ∴∠B =45°, ∴∠BAD =∠B =45°,∴BD=AD=6,AB=6√2.∴△ABC的周长为AB+AC+BD+CD=6√2+10+6+8=24+6√2.2.(2021新乡辉县模拟,19)如图,某小区一高层住宅楼AB高60米,附近街心花园内有一座古塔CD,小明在楼底B 处测得塔顶仰角为38.5°,到楼顶A处测得塔顶仰角为22°,求住宅楼与古塔之间的距离BD的长.(参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,sin38.5°≈0.62,cos38.5°≈0.78,tan38.5°≈0.80)解析过点A作AE⊥CD于点E,由题意可知∠CAE=22°,∠CBD=38.5°,ED=AB=60米,设大楼与塔之间的距离BD的长为x米,则AE=BD=x米,,∵在Rt△BCD中,tan∠CBD=CDBD∴CD=BD tan38.5°≈0.8x(米),,∵在Rt△ACE中,tan∠CAE=CEAE∴CE=AE tan22°≈0.4x(米),∵CD-CE=DE,∴0.8x-0.4x=60,∴x=150米,即BD =150米.答:楼与塔之间的距离BD 的长约为150米.3.(2021平顶山二模,19)一渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点B 处测得北偏东60°方向上有一海岛A ,航行10海里后到达C 处,又测得海岛A 位于北偏东53°方向上.(1)求C 处到海岛A 的距离(结果精确到0.1海里,参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33,√3≈1.73);(2)已知海岛A 的周围20海里范围内有暗礁,若渔船继续由西向东航行是否会有触礁的危险?说明理由.解析 (1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ,由题意可知, ∠BAD =60°,∠CAD =53°, (1分)设AD =x ,在Rt △ADB 中,tan ∠BAD =BD AD =BDx=√3, ∴BD =√3x ,∴CD =BD -BC =√3x -10, (3分) 在Rt △ADC 中,tan ∠CAD =CDAD , 即tan 53°=√3x -10x≈1.33,∴x ≈101.73-1.33=25, (5分) 在Rt △ADC 中,cos ∠CAD =ADAC , 即cos 53°=25AC ≈0.6, ∴AC ≈250.6≈41.7.∴C 处到海岛A 的距离约为41.7海里. (7分)(2)由(1)可知,AD=25>20,所以若渔船继续由西向东航行不会有触礁的危险.(9分)4.(2020信阳二模,19)为宣传国家相关政策,某村在一小山坡顶端的平地上竖起一块宣传牌AB,如图.某数学小组想测量宣传牌AB的高度,派一人站在山脚C处,测得宣传牌顶端A的仰角为40°,山坡CD的坡度i=1∶2,山坡CD的长度为4√5米,山坡顶点D与宣传牌底部B的水平距离为2米,求宣传牌的高度AB.(结果精确到0.1米,参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,√5≈2.24)解析延长AB交CM于点E,过点D作DF⊥CM于点F,则四边形BDFE是矩形,EF=BD=2,BE=DF,(1分)在Rt△CDF中,∵i=DF∶CF=1∶2,∴设DF=x米,则CF=2x米,(2分)∵CD=4√5米,∴x2+(2x)2=(4√5)2,解得x=4(舍负)米,(4分)∴DF=4米,CF=8米,∴CE=CF+EF=8+2=10米,BE=DF=4米.(5分)在Rt△ACE中,∵∠ACE=40°,=tan40°,∴AECE∴AE=CE·tan40°≈10×0.84=8.4米,(7分)∴AB=AE-BE=8.4-4=4.4米.(8分)答:宣传牌AB的高度约为4.4米.(9分)5.(2021南阳镇平一模,19)某数学课外兴趣小组为了测量建在山丘DE上的宝塔CD的高度,在山脚下的广场A 处测得建筑物底端点D(即山顶)的仰角为20°,沿水平方向前进20米到达B点,测得建筑物顶部点C的仰角为45°,已知山丘DE高37.69米,求塔的高度CD.(结果精确到1米,参考数据:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan 20°≈0.36)解析设CD=x米.在Rt△BCE中,∵∠CEB=90°,∠CBE=45°,∴EC=BE=(x+37.69)米,在Rt△ADE中,∵tan20°=DEAE ,∴0.36≈37.6920+x+37.69,解得x≈47米.答:塔的高度CD约为47米.思路分析本题考查解直角三角形的应用—仰角问题,根据解直角三角形的“交叉型”,设CD=x米.在Rt△ADE 中,根据tan20°=DEAE,构建方程即可解决问题.6.(2021安阳一模,18)如图所示,文峰塔是安阳著名古建筑,小明所在的课外活动小组在塔上距地面25米高的点D处,测得地面上点B的俯角α为30°,点D到塔中心轴AO的距离DE为6.5米;从地面上的点B沿BO方向走11米到达点C处,测得塔尖A的仰角β为45°,请你根据以上数据计算塔高AO.(参考数据:√3≈1.73,√2≈1.41,结果精确到0.1米)解析如图,过点D作DF⊥BC于点F,由题意可得四边形DFOE是矩形,(1分)∵DE∥BC,∴∠B=∠α=30°,(2分)在Rt△DFB中,DF=EO=25m,∠B=30°,=25×√3≈43.25(m),(5分)∴BF=DFtan∠B∵CO=BF+OF-BC,BC=11m,OF=DE=6.5m,∴CO=43.25+6.5-11=38.75(m),(7分)在Rt△AOC中,∠ACO=∠β=45°,∴AO=CO=38.75≈38.8(m).答:文峰塔高大约38.8m.(9分)7.(2021许昌禹州二模,19)2020年11月10日,“雪龙2”起航!中国第37次南极考察队从上海出发,执行南极考察任务.已知“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向上的点A处,且在C岛的北偏东58°方向上,已知B市在C岛的北偏东28°方向上,且距离C岛248km.此时,“雪龙2”船沿着AC方向以25km/h的速度运动.请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C 岛?(结果精确到1 km ,参考数据:√3≈1.73,sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43)解析过点A 作AD ⊥BC 于点D ,由题意知,∠ABC =28°+25°=53°,∠ACB =58°-28°=30°,BC =248 km , 设AD =x km ,在Rt △ABD 中,∵∠ABD =53°, ∴BD =AD tan ∠ABD =AD tan53°≈34x (km ),在Rt △ACD 中,∵∠ACD =30°, ∴CD =ADtan ∠ACD =ADtan30°=√3x (km ), ∵BD +CD =BC , ∴34x +√3x =248, 解得x ≈100(km ), ∴AD =100(km ), ∴AC =2AD =200(km ), ∴200÷25=8(h ), ∴9+8=17.答:“雪龙2”船大约17点钟到达C岛.思路分析本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题,正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键,过点A作AD⊥BC于点D,构建直角三角形,利用正切的定义表示出BD、CD,列出方程、解方程即可解答.8.(2020郑州二模,19)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线BA-AO表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可在竖直平面内转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量,AO=6.4cm,CD=8cm,AB=40cm,BC=45cm.(1)如图2,∠ABC=70°,BC∥OE.填空:①∠BAO=°;②投影探头的端点D到桌面OE的距离是cm;(2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当∠ABC=30°时,求投影探头的端点D到桌面OE的距离.(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77)解析(1)①160.(2分)②36.(5分)提示:(1)①如图1,作AG∥BC,由平行线的性质得解.②如图2,延长OA交BC于点F,在Rt△ABF中,AF=AB·sin70°≈40×0.94=37.6cm.则AF+AO-CD=36cm.(2)如图3,过点D作DH⊥OE于点H,过点B作BM⊥CD,与DC的延长线相交于点M,过点A作AF⊥BM于点F,则∠MBA=70°,∵∠ABC=30°,∴∠CBM=40°.∴MC=BC sin40°≈45×0.64=28.8cm,又AF=AB sin70°≈40×0.94=37.6cm,∴FO=AF+AO=37.6+6.4=44(cm).∴DH=FO-MC-CD=44-28.8-8=7.2(cm).答:投影探头的端点D到桌面OE的距离为7.2cm.(9分)思路分析本题考查的是解直角三角形的应用.(1)①作AG∥BC,由平行线的性质得解;②延长OA交BC于点F,构造Rt△ABF,用锐角三角函数求得AF的长,由线段的和差求解.(2)作辅助线构造Rt△ABF和Rt△BMC,解直角三角形,由线段的和差求解即可.。

2024河南中考数学复习全等、相似三角形的性质与判定强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习全等、相似三角形的性质与判定强化精练基础题1.(2023长春)如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是()A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例D.两点之间线段最短第1题图2.(2023凉山州)如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是()第2题图A.∠A＝∠DB.∠AFB＝∠DECC.AB＝DCD.AF＝DE3.已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是()第3题图A.76°B.60°C.54°D.50°4.(2023重庆B卷)如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5第4题图5.(2023河北)在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝30°，AB＝A′B′＝6，AC＝A′C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝()A.30°B.n°C.n°或180°－n°D.30°或150°图①∠B＝∠E；∠C不等于图②6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，△ADC≌△BDF，若BD＝4，CD＝2，则△ABC的面积为()第6题图A.24B.18C.12D.87.(2023陕西)如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M，若BC＝6，则线段cm的长为()A.132B.7 C.152D.8第7题图8.[新考法——条件开放性试题]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，添加一个条件使△AOB≌△COD，则这个条件可以是________．(写出一个即可)第8题图9.(2023成都)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为________．第9题图10.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，交DE于点G.若∠D＝28°，∠E＝115°，∠DAC＝50°，则∠DGB的度数为________．第10题图11.(2023江西)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝________m.第11题图12.(2022江西)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.(1)求证：△ABC∽△AEB；(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．第12题图13.(2023山东)如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED ＝∠C.(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．第13题图拔高题14.(2023武汉)如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ，AC 分别与DF ，EF 相交于G ，H 两点．若DG ＝m ，EH ＝n ，用含m ，n 的式子表示GH 的长是________．第14题图15.(2023温州)如图，已知矩形ABCD ，点E 在CB 延长线上，点F 在BC 延长线上，过点F 作FH ⊥EF 交ED 的延长线于点H ，连接AF 交EH 于点G ，GE ＝GH .(1)求证：BE ＝CF ；(2)当AB FH ＝56，AD ＝4时，求EF 的长．第15题图参考答案与解析1.A 【解析】∵O 为AA ′，BB ′的中点，∴OA ＝OA ′，OB ＝OB ′，由对顶角相等得∠AOB ＝∠A ′OB ′，在△AOB 和△A ′OB ′＝OA ′AOB ＝∠A ′OB ′＝OB ′，∴△AOB ≌△A ′OB ′(SAS)，∴AB ＝A ′B ′，即只要量出A ′B ′的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度．2.D 【解析】∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，∴当∠A ＝∠D 时，利用AAS 可得△ABF ≌△DCE ，故A 不符合题意；当∠AFB ＝∠DEC 时，利用ASA 可得△ABF ≌△DCE ，故B 不符合题意；当AB ＝DC 时，利用SAS 可得△ABF ≌△DCE ，故C 不符合题意；当AF ＝DE 时，无法证明△ABF ≌△DCE ，故D 符合题意．3.D 【解析】第一个三角形中b ，c 之间的夹角为180°－76°－54°＝50°，∠1是b ，c 之间的夹角．∵两个三角形全等，∴∠1＝50°.4.B 【解析】∵△ABC ∽△EDC ，∴AB ED ＝AC EC ＝23，∴当AB ＝6时，DE ＝9.5.C 【解析】如解图，当点C 在C 1的位置时，∠B ′C 1A ′＝∠C ＝n °，当点C 在C ′的位置时，∵AC ＝AC ′，核心A ′C ′＝A ′C 1，∴∠C ′＝∠1，∵∠B ′C 1A ′＝n °，∴∠1＝180－n °，∴∠C ′＝180－n °.第5题解图6.C 【解析】∵△ADC ≌△BDF ，∴AD ＝BD ＝4，∵DC ＝2，∴BC ＝BD ＋DC ＝4＋2＝6，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×4＝12.7.C 【解析】∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ＝12×6＝3，∴△DEF ∽△BMF ，∴DE BM ＝DF BF ＝2BF BF ＝2，∴BM ＝32，∴CM ＝BC ＋BM ＝152.8.OB ＝OD (答案不唯一)【解析】∵OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COD ，OB ＝OD ，∴△AOB ≌△COD (SAS).9.3【解析】∵△ABC ≌△DEF ，∴BC ＝EF ＝8，∵EC ＝5，∴CF ＝EF －EC ＝8－5＝3.10.87°【解析】∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B ＝∠D ＝28°，∠ACB ＝∠E ＝115°，∴∠ACG ＝65°，∵∠DAC ＝50°，∴∠GFD ＝∠AFC ＝65°，∴∠DGF ＝180°－∠D －∠DFG ＝87°.11.6【解析】由题意得△ABD ∽△AQP ，∴BD QP ＝AB AQ ，20cm ＝0.2m ，40cm ＝0.4m ，∴0.2QP ＝0.412，∴PQ ＝6m.12.(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，AC 为对角线，∴∠ACD ＝∠ACB .∵∠ACD ＝∠ABE ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠BAC ＝∠EAB ，∴△ABC ∽△AEB ；(2)解：由(1)知△ABC ∽△AEB ，∴AB AE ＝AC AB，∵AB ＝6，AC ＝4，∴6AE ＝46，∴AE ＝9.13.(1)证明：∵∠B ＝∠AED ，∴∠BEA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠CED ，∴∠BAE ＝∠CED ，在△BAE 和△CED 中，B ＝∠CBAE ＝∠CED ＝CD，∴△BAE ≌△CED (AAS)，∴EA ＝ED ，∴∠EAD ＝∠EDA ；(2)解：如解图，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，由(1)知EA ＝ED ，∵∠AED ＝∠C ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴∠AEF ＝∠DEF ＝30°，AD ＝DE ＝4，∴EF ＝DE ·cos 30°＝23，∴S △AED ＝12AD ·EF ＝12×4×23＝43.第13题解图14.m 2＋n 2【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE ＝S △FDE ，∠F ＝∠B ＝60°＝∠A ＝∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 四边形ACED ＝S △BDE ＝S △FDE ，∴S △FHG ＝S △ADG ＋S △CHE ，∵∠AGD ＝∠FGH ，∠CHE ＝∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ，△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG ＝(DG GH )2＝m 2GH 2，S △CHE S △FHG＝(EH GH )2＝n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG ＋S △CHE S △FHG ＝m 2＋n 2GH 2＝S △ADG ＋S △CHE S △FHG＝1，∴GH 2＝m 2＋n 2，解得GH ＝m 2＋n 2或GH ＝－m 2＋n 2(不合题意舍去).15.(1)证明：∵FH ⊥EF ，∴∠HFE ＝90°，∵GE ＝GH ，∴FG ＝12EH ＝GE ＝GH ，∴∠E ＝∠GFE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ＝90°，∴△ABF ≌△DCE (AAS)，∴BF ＝CE ，∴BF －BC ＝CE －BC ，即BE ＝CF ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ⊥BC ，即DC ⊥EF ，AB ＝CD ，BC ＝AD ＝4，∵FH ⊥EF ，∴CD ∥FH ，∴△ECD ∽△EFH ，∴EC EF ＝CD FH，∴EC EF ＝AB FH ＝56，设BE ＝CF ＝x ，∴EC ＝x ＋4，EF ＝2x ＋4，∴x ＋42x ＋4＝56，解得x ＝1，∴EF ＝6.。

2024河南中考数学复习一般三角形及其性质强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习一般三角形及其性质强化精练基础题1.若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是()A.1B.5C.7D.92.已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形或钝角三角形3.(2023聊城)如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE.若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为()A.65°B.75°C.85°D.95°第3题图4.如图，用三角板画△ABC的高线，下列三角板的摆放位置错误的是()5.(2023云南)如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设AC，BC的中点分别为M，N.若MN＝3米，则AB＝()第5题图A.4米B.6米C.8米D.10米6.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E.若DE ＝2，则BD的长为()A.4B.23C.2D.22第6题图7.如图，在△ABC中，AB＞BC，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长与△BCD的周长差为4，BC＝3，则AB的值为()第7题图A.3B.4C.5D.78.(2023吉林省卷)如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是________.第8题图9.如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分线与∠BAC的角平分线交于点O，则∠ABO的度数为________．第9题图10.如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，点E是CD的中点，点F是BE的中点，若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为________．第10题图参考答案与解析1.B【解析】根据三角形的三边关系得：4－3<m <4＋3，解得1<m <7，即符合的只有5.2.B3.B 【解析】∵AD ∥BE ，∴∠ADC ＝∠EBC ＝80°，∵∠CAD ＋∠ADC ＋∠ACB ＝180°，∠CAD ＝25°，∴∠ACB ＝180°－25°－80°＝75°.4.C5.B 【解析】∵点M ，N 分别是AC 和BC 的中点，∴MN 为△ABC 的中位线，∴AB ＝2MN ＝6米．6.D 【解析】如解图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，DE ＝2，∴DF ＝DE ＝2，∵∠B ＝45°，∴∠BDF ＝∠B ＝45°，∴DF ＝BF ＝2，∴BD ＝BF 2＋DF 2＝22.第6题解图7.D 【解析】∵△ABD 的周长－△BCD 的周长＝(AB ＋AD ＋BD )－(BC ＋CD ＋BD )＝4，且BD 是AC 边上的中线，即AD ＝CD ，∴△ABD 的周长－△BCD 的周长＝AB －BC ＝4，∵BC ＝3，∴AB ＝3＋4＝7.8.三角形具有稳定性9.35°【解析】∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAO ＝12∠BAC ＝35°，∵OD 垂直平分AB ，∴OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝35°.10.24【解析】如解图，连接AE ，∵点F 是BE 的中点，∴S △AEF ＝S △ABF .∵点E 是CD 的中点，∴S △ADE ＝S △ACE ，S △BDE ＝S △BCE ，∴S △ABE ＝S △BDE ＋S △ADE ＝12S △ABC ，∴S △ABC ＝2S △ABE ＝4S △ABF ＝24.第10题解图。

2022河南数学中考总复习--等腰三角形与直角三角形(试题、含解析)

2022河南数学中考总复习--§4.3等腰三角形与直角三角形五年中考考点1等腰三角形1.(2020四川南充,6,4分)如图,在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=()A.a+b2B.a-b2C.a-bD.b-a答案C∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°,∴∠BDC=72°=∠C,∠ABD=∠A,∴BD=BC,BD=AD,∴AD=BC=b,∴CD=AC-AD=a-b.故选C.2.(2021陕西,7,3分)如图,AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒.点A、C、E共线.若AC=6cm,CD ⊥BC,则线段CE的长度为()A.6 cmB.7 cmC.6√2 cmD.8 cm答案 D 过点B ,D 分别作BF ⊥AC 于点F ,DG ⊥CE 于点G ,∴∠BCF +∠FBC =90°,∵CD ⊥BC ,∴∠BCF +∠DCG =90°,∴∠FBC =∠DCG ,又∵BC =CD ,∴Rt△FBC ≌Rt △GCD ,∴DG =CF.∵△ABC 是等腰三角形,∴CF =12AC =3 cm,∴DG =CF =3 cm,∵CD =5 cm,∴CG =√CD 2-DG 2=4 cm,∵△CDE 是等腰三角形,∴CE =2CG =8 cm .故选D .3.(2020河南,10,3分)如图,在△ABC 中,AB =BC =√3,∠BAC =30°,分别以点A ,C 为圆心,AC 的长为半径作弧,两弧交于点D ,连接DA ,DC ,则四边形ABCD 的面积为( )A.6√3B.9C.6D.3√3答案 D 根据作图可知△ACD 为等边三角形.在△ABC 中,作BE ⊥AC 于点E ,在Rt △AEB 中,AE =AB ·cos 30°=32,BE =12AB =√32,∵AB =BC ,∴AC =2AE =3,∴S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =√34AC 2+12AC ·BE =3√3.故选D .思路分析根据作图知△ACD 为等边三角形,依据△ABC 中的条件求得AC 的长及AC 边上的高,进而求得四边形ABCD 的面积.4.(2021新疆,14,5分)如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠C =70°,分别以点A ,B 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于M ,N 两点,作直线MN 交AC 于点D ,连接BD ,则∠BDC = °.答案80解析∵AB=AC,∠C=70°,∴∠ABC=∠C=70°,∴∠A=180°-∠C-∠ABC=40°.由作图可知MN是线段AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴∠ABD=∠A=40°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=80°.解题关键理解MN是线段AB的垂直平分线及垂直平分线的性质是解答本题的关键.5.(2017河南,14,3分)如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A.图2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是.答案12解析观察题图可知BC=BA=5.当BP⊥AC时,BP=4,此时AP=CP=√BC2-BP2=3,所以AC=6,所以S△ABC=1×6×4=12.26.(2020辽宁营口,17,3分)如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD 和AB 上的两个动点,连接CE ,EF ,则CE +EF 的最小值为 .答案 3√3解析过C 作CF ⊥AB 于点F ,交AD 于E ,此时CE +EF 的值最小,且CE +EF 的最小值为CF 的长. ∵△ABC 为等边三角形,边长为6,∴BF =12AB =12×6=3, ∴CF =√BC 2-BF 2=√62-32=3√3,∴CE +EF 的最小值为3√3.解题关键解决本题的关键是将CE +EF 的最小值转化为点C 到直线AB 的距离,进而借助勾股定理求出线段CF 的长.7.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰△ABC 中,BD ⊥AC ,垂足为点D ,且BD =12AC ,则等腰△ABC 底角的度数为 . 答案 15°或45°或75° 解析如图,当BA =BC 时,∵BD ⊥AC , ∴AD =CD =12AC , ∵BD =12AC ,∴AD =BD =CD ,∴∠A =∠C =12×(180°-90°)=45°. 如图,当AB =AC 且∠A 为锐角时, ∵BD =12AC =12AB , ∴∠A =30°,∴∠ABC =∠ACB =75°.如图,当AB =AC 且∠BAC 为钝角时,∵BD =12AC =12AB ,∴∠BAD =30°, ∴∠ABC =∠ACB =12×30°=15°.同理,当BC =AC 时,可求得∠CBA =∠CAB =75°或15°. 故答案为15°或45°或75°.方法点拨等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.8.(2020广东,20,6分)如图,在△ABC 中,点D ,E 分别是AB 、AC 边上的点,BD =CE ,∠ABE =∠ACD ,BE 与CD 相交于点F.求证:△ABC 是等腰三角形.证明 ∵BD =CE ,∠ABE =∠ACD ,∠DFB =∠EFC ,∴△DFB≌△EFC.(3分)∴FB=FC.∴∠FBC=∠FCB.∴∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD,即∠ABC=∠ACB.∴△ABC是等腰三角形.(6分)思路分析首先证明△DFB≌△EFC,得到FB=FC,进而证得∠FBC=∠FCB,推理得到∠ABC=∠ACB,根据等腰三角形的判定得证.解题关键解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定.考点2直角三角形1.(2020广西北部湾经济区,11,3分)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是()图1图2A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸答案C如图,过O作OE⊥CD于E,易知四边形EDFO为矩形,O为AB的中点,E为DC的中点,故DC=1寸.FO=DE=12设AO =AD =BC =OB =x 寸, 则AF =(x -1)寸,在Rt △ADF 中,AD 2=AF 2+DF 2, 即x 2=(x -1)2+102, 解得x =1012,故AB =2x =101寸.故选C .2.(2018陕西,6,3分)如图,在△ABC 中,AC =8,∠ABC =60°,∠C =45°,AD ⊥BC ,垂足为D ,∠ABC 的平分线交AD 于点E ,则AE 的长为 ( )A.2√2B.3√2C.43 √2 D.83 √2 答案 D ∵AC =8,∠C =45°,AD ⊥BC ,∴AD =AC sin 45°=4√2,过点E 作EF ⊥AB 于点F ,∵BE 是∠ABC 的平分线,∴DE =EF ,∵∠ABC =60°,AD ⊥BC ,∴∠BAE =30°,∴在Rt △AEF 中,EF =12AE ,又∵AD =4√2,DE =EF ,∴AE =23AD =83 √2.故选D .思路分析首先利用AC 的长及∠C 的正弦求出AD 的长,进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度角的性质确定DE 和AE 的数量关系,最后求出AE 的长.3.(2021浙江宁波,7,4分)如图,在△ABC 中,∠B =45°,∠C =60°,AD ⊥BC 于点D ,BD =√3.若E ,F 分别为AB ,BC 的中点,则EF 的长为 ( )A.√33 B.√32 C.1 D.√62答案 C ∵AD ⊥BD ,∴∠ADB =∠ADC =90°. 又∵∠B =45°,BD =√3,∴AD =BD =√3. 在Rt △ADC 中,∠C =60°, ∴sin C =sin 60°=AD AC =√3AC =√32, ∴AC =2.又∵点E 、F 分别为AB 、BC 的中点, ∴EF 是△BAC 的中位线, ∴EF =12AC =12×2=1.故选C .思路分析先根据等腰直角三角形求出AD 的长,然后根据直角三角形ADC 中∠C =60°,建立三角函数关系求出AC 的长,最后由三角形中位线定理得出EF =12AC =1.4.(2017河南,15,3分)如图,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,BC =√2+1,点M ,N 分别是边BC ,AB 上的动点,沿MN 所在的直线折叠∠B ,使点B 的对应点B'始终··落在边AC 上.若△MB'C 为直角三角形,则BM 的长为 . 答案√2+12或1解析在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC , ∴∠B =∠C =45°.(1)当∠MB'C =90°时,∠B'MC =∠C =45°.设BM =x ,则B'M =B'C =x ,在Rt △MB'C 中,由勾股定理得MC =√2x ,∴√2x +x =√2+1,解得x =1,∴BM =1.(2)如图,当∠B'MC =90°时,点B'与点A 重合,此时BM =B'M =12BC =√2+12.综上所述,BM 的长为√2+12或1.5.(2018河南,15,3分)如图,∠MAN =90°,点C 在边AM 上,AC =4,点B 为边AN 上一动点,连接BC ,△A'BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称.点D ,E 分别为AC ,BC 的中点,连接DE 并延长交A'B 所在直线于点F ,连接A'E.当△A'EF 为直角三角形时,AB 的长为 .答案 4或4√3解析 (1)当点A'在直线DE 下方时, 如图1,∵∠CA'F =90°,∠EA'F >∠CA'F , ∴△A'EF 为钝角三角形,不符合;(2)①当点A'在直线DE 上方且∠A'FE =90°时,如图2.∵DE ∥AB ,∴∠EDA =90°,∴A'B ∥AC.由对称知四边形ABA'C 为正方形,∴AB =AC =4;②当点A'在直线DE 上方且∠A'EF =90°时,如图3.A'E ∥AC ,∴∠A'EC =∠ACE =∠A'CE ,∴A'C =A'E.∵A'E =EC ,∴△A'CE 为等边三角形,∴∠ACB =∠A'CB =60°,∴在Rt △ACB 中,AB =AC ·tan60°=4√3;③当点A'在直线DE 上方时,∵∠EA'F <∠CA'B ,∴∠EA'F 不可能为90°. 综上所述,当△A'EF 为直角三角形时,AB 的长为4或4√3.图1图2图3思路分析由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A'可以在直线DE的下方或上方.分类讨论,当点A'在DE的下方时,△A'EF不可能为直角三角形,当点A'在直线DE上方时,∠A'EF或∠A'FE为90°时分别计算AB的长,显然∠EA'F<90°,可以排除.方法总结解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条件,结合全等、相似或勾股定理等计算得出结果.6.(2021福建,21,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.线段EF是由线段AB平移得到的,点F在边BC上,△EFD 是以EF为斜边的等腰直角三角形,且点D恰好在AC的延长线上.(1)求证:∠ADE=∠DFC;(2)求证:CD=BF.证明本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质,考查推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.(1)在等腰直角三角形EDF中,∠EDF=90°,∴∠ADE+∠ADF=90°.∵∠ACB=90°,∴∠DFC+∠ADF=∠ACB=90°,∴∠ADE=∠DFC.(2)连接AE.由平移的性质得AE∥BF,AE=BF.∴∠EAD=∠ACB=90°.又∠DCF=180°-∠ACB=90°,∴∠EAD=∠DCF.∵△EDF是等腰直角三角形,∴DE=DF.由(1)得∠ADE=∠DFC,∴△AED≌△CDF,∴AE=CD,∴CD=BF.7.(2020江苏苏州,26,10分)问题1:如图①,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求证:AB+CD=BC.问题2:如图②,在四边形ABCD中,∠B=∠C=45°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求AB+CD的值.BC解析问题1:证法一:∵∠B =90°, ∴∠APB +∠BAP =90°.∵∠APD =90°,∴∠APB +∠CPD =90°. ∴∠BAP =∠CPD.在△APB 和△PDC 中,{∠B =∠C ,∠BAP =∠CPD ,PA =DP ,∴△APB ≌△PDC (AAS). ∴AB =PC ,BP =CD , ∴AB +CD =PC +PB =BC.证法二:同证法一,可得∠BAP =∠CPD , 设∠BAP =∠CPD =α.在Rt △ABP 中,BP =PA ·sin α,AB =PA ·cos α, 在Rt △PCD 中,CD =PD ·sin α,PC =PD ·cos α, 又∵PA =PD ,∴AB =PC ,BP =CD , ∴AB +CD =PC +BP =BC.问题2:如图,分别过点A 、D 作BC 的垂线,垂足为E 、F.由问题1可知AE +DF =EF ,在Rt △ABE 和Rt △DFC 中,∠B =∠C =45°,∴AE =BE ,DF =CF ,AB =AEsin45°=√2AE ,CD =DFsin45°=√2DF.∴BC =BE +EF +CF =2(AE +DF ),AB +CD =√2(AE +DF ).∴AB+CD BC=√2(AE+DF )2(AE+DF )=√22. 解题关键本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形边与角之间的关系,通过作辅助线构造“K ”字型全等三角形是解决本题的关键.三年模拟A 组基础题组一、选择题(每题3分,共21分)1.(2021许昌一模,9)如图,在5×5的网格中,每个格点小正方形的边长均为1,△ABC 的三个顶点A ,B ,C 都在网格点的位置上,则△ABC 的边AB 上的高为 ( )A.√5B.8√55C.4√55D.2√55答案 C 由勾股定理得AB =√22+12=√5,设AB 边上的高为h ,则12AB ·h =12×2×2,∴h =4√55.故选C.2.(2021驻马店一模,5)如图,从笔直的公路l 旁一点P 出发,向西走6 km 到达l ;从P 出发向北走6 km 也到达l.下列说法错误的是 ( )A.从点P 向北偏西45°走3 km 到达lB.公路l 的走向是南偏西45°C.公路l 的走向是北偏东45°D.从点P 向北走3 km 后,再向西走3 km 到达l答案 A 如图,由题意可得△PAB 是腰长为6 km 的等腰直角三角形,则AB =6√2 km,如图所示,过P 点作AB的垂线PC交AB于点C,则PC=3√2km,则从点P向北偏西45°走3√2km到达l,选项A错误;公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°,选项B,C正确;从点P向北走3km后到达BP中点D,此时CD为△PAB的中位AP=3km,故再向西走3km到达l,选项D正确.故选A.线,故CD=12AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N 3.(2021开封一模,8)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于12两点,作直线MN,交AC于点E,交BC于点D,连接AD,若AE=3,△ABD的周长为13,则△ABC的周长是()A.16B.17C.18D.19答案D由作图知,MN⊥AC,AE=EC=3,AD=DC,∵△ABD的周长为13,∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13.∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+2AE=13+6=19.故选D.4.(2020开封一模,8)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以点A为圆心,BC的长为半径作弧交AB于点D,再分别以点A,D为圆心,以AB,AC的长为半径作弧交于点E,连接AE,DE,若点F为AE的中点,则DF的长为()A.4B.5C.6D.8答案 B 由作图可知△ADE ≌△BCA ,∴∠ADE =∠C =90°,AE =AB.又∵AC =6,BC =8,∠C =90°,∴AB =10,∵点F 为AE 的中点,∴DF =12AE =12AB =5.故选B .5.(2021驻马店一模,8)如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,利用尺规在BC 、BA 上分别截取BE 、BD ,使BE =BD.分别以D 、E 为圆心,以大于12DE 的长为半径作弧,两弧在∠CBA 内交于点F ,作射线BF 交AC 于点G ,若CG =1,P 为AB 上一动点,则GP 的最小值为 ( )A.无法确定B.12C.1D.2 答案 C 如图,过点G 作GH ⊥AB 于点H.由作图可知,BG 平分∠ABC , ∵GH ⊥BA ,GC ⊥BC , ∴GH =GC =1,根据垂线段最短,可知GP 的最小值为1.故选C.思路分析根据作图方法,判断BG 是∠ABC 的平分线,运用角平分线的性质得出点G 到AB 边的距离等于线段GC 的长,由垂线段最短可得出GC 的长即为GP 长度的最小值.6.(2021平顶山二模,8)如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,∠C =30°,以点A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交边AB ,AC 于点P ,Q.再分别以点P ,Q 为圆心,以大于12PQ 的长为半径作弧,两弧交于点E ,作射线AE 交BC 于点F.设△ABF ,△ABC 的面积分别为S 1,S 2,则S1S 2的值为( )A.12B.13C.√3D.14答案B如图,过点F作FG⊥AC于点G,由作图知AF平分∠BAC,∵∠B=90°,∠C=30°,∴∠1=∠2=30°=∠C,∴BF=GF,AB=AG=CG,∴S△ABF=S△AGF=S△CGF,∴S1S2=13.故选B.7.(2020郑州二模,9)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC中点,E为边AB上一动点(不与A,B 点重合),以点D为直角顶点,以射线DE为一边作∠MDN=90°,另一条边DN与边AC交于点F.下列结论中正确的是()①BE=AF;②△DEF是等腰直角三角形;③无论点E,F的位置如何变化,总有EF=DF+CF成立;④四边形AEDF 的面积随着点E,F的位置不同发生变化.A.①③B.②③C.①②D.①②③④答案C∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠B=∠C,BD=CD,AD⊥CD,∴∠ADC=90°,∴∠ADN+∠CDF=90°,∵∠MDN=90°,∴∠EDA+∠ADN=90°,∴∠EDA=∠CDF,∴∠BED=∠AFD,∠BDE=∠ADF,又BD=AD,∴△BED≌△AFD,∴BE=AF,DE=DF,∴△DEF是等腰直角三角形,无法判断EF=DF+CF成立.S△ABC.无论点E,F的位置如何变化,S四边形AEDF=12综上,①②正确,③④错误.故选C.二、填空题(每题3分,共6分)8.(2021许昌禹州二模,15)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,D,E分别为边AB和AC上的点,连接DE,将△ADE 沿DE折叠得到△FDE.若点F始终落在边BC上,则线段DE的取值范围为.答案3≤DE≤3√3.BC=3;解析如图1中,当AF⊥BC时,DE是△ABC的中位线,此时DE的值最小,最小值DE=12图1如图2中,当点F与点B(或点C)重合时,DE的值最大,最大值是△ABC的高,此时DE=3√3.图2综上所述,3≤DE ≤3√3.9.(2021信阳商城一模,14)如图,在边长为6的等边三角形ABC 中,点D ,E 分别是AC ,BC 的中点,连接AE ,BD ,点G ,H 分别是AE ,BD 的中点,连接GH ,则GH 的长度为 .答案 32解析 ∵△ABC 是边长为6的等边三角形, ∴AC =BC =6,∠ABC =∠BAC =60°, ∵点D ,E 分别是AC ,BC 的中点, ∴AD =BE =3,取AB 的中点F ,连接GF ,HF , ∵点G ,H 分别是AE ,BD 的中点,∴FG ∥BE ,FG =12BE =32,FH ∥AD ,FH =12AD =32,∴FG =FH =32,∠AFG =∠ABC =60°,∠BFH =∠BAC =60° ∴∠HFG =180°-∠AFG -∠BFH =60°, ∴△FGH 是等边三角形, ∴GH =FG =32.解题关键本题主要考查了三角形中位线定理,等边三角形的性质,正确作出辅助线并证得△FGH 是等边三角形是解决问题的关键.三、解答题(共13分)10.(2020许昌一模,22)(1)发现如图1,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC边上,连接CE.填空:①∠DCE的度数是;②线段CA、CE、CD之间的数量关系是;(2)探究如图2,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点D在BC边上,连接CE.请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系,并说明理由;(3)应用如图3,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=4,AB=6.若点D满足DB=DC,且∠BDC=90°,请直接写出DA的长.解析(1)①120°;②CA=CE+CD.(2)∠DCE=90°;√2CA=CD+CE.理由:∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS).∴BD=CE,∠B=∠ACE=45°.∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°.在等腰直角三角形ABC中,CB=√2CA,∵CB=CD+DB=CD+CE,∴√2CA=CD+CE.(3)DA=5√2或√2.提示:如图,根据题意画出图形,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,∵在Rt△ABC中,AB=6,AC=4,∠BAC=90°,∴BC=√AB2+AC2=√62+42=2√13.∵∠BDC=90°,DB=DC,∴DB=DC=√26,∠BCD=∠CBD=45°,∵∠BDC=∠BAC=90°,∴点B,C,A,D四点共圆,∴∠DAE=45°,∴△ADE是等腰直角三角形,∴AE=DE,∴BE=6-DE,在Rt△BED中,∵BE2+DE2=BD2,∴(6-DE)2+DE2=26,∴DE=1或DE=5,∴DA=√2或DA=5√2.思路分析(1)根据条件判定△BAD≌△CAE,再结合等边三角形的性质,可得出结论.(2)证明△BAD≌△CAE,可得出BD=CE,∠B=∠ACE=45°,运用直角三角形的性质求线段CA、CE、CD之间的数量关系.(3)由题意推出点B,C,A,D四点共圆,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,根据勾股定理得到BC=2√13,根据圆周角定理得到∠DAE =45°,进而得到△ADE 是等腰直角三角形,根据勾股定理即可得到答案.B 组提升题组一、选择题(每题3分,共12分)1.(2021平顶山一模,9)如图,在△ABC 中,AB =AC =√3,∠BAC =120°,分别以点A ,B 为圆心,以AB 的长为半径作弧,两弧相交于M ,N 两点,连接MN 交BC 于点D ,连接AD ,AN ,则△ADN 的周长为 ( )A.3+√2B.3-√2C.2-√2D.2+√3答案 D 如图,由作图可知,MN 垂直平分线段AB , ∴AD =BD ,∵AB =AC =√3,∠BAC =120°, ∴∠B =30°,AE =BE =√32,∴ED =12,BD =AD =2ED =1, Rt △AEN 中,AN =AB =√3,∴EN =√AN 2-AE 2=√(√3)2-(√32)2=32,∴DN =EN -ED =32-12=1,∴△ADN 的周长为AD +AN +DN =1+√3+1=2+√3.故选D.2.(2019郑州二模,6)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4 cm,BC =3 cm .动点P ,Q 分别从点A ,B 同时开始移动(移动方向如图所示),点P 的速度为12 cm/s,点Q 的速度为1 cm/s,点Q 移动到点C 后停止,点P 也随之停止运动.若使△PBQ 的面积为154cm 2,则点P 运动的时间是 ( )A.2 sB.3 sC.4 sD.5 s答案 B 设运动时间为t s,则AP =12t cm,BQ =t cm,则PB =(4-12t)cm,则S △PBQ =12BP ·QB =154,即12×(4-12t)×t =154.解得t 1=3,t 2=5,当t =5时,BQ =5>3,不符合题意,舍去,所以t =3.故选B .3.(2021许昌禹州二模,9)如图,已知Rt △ABO 的顶点A 在x 轴负半轴上,点B 在y 轴上,AB =4√5,B (0,4),按以下步骤作图:①分别以点A ,B 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,交于点P ,Q ;②作直线PQ 交x 轴于点C ,交y 轴于点D ,则点C 的坐标为 ( )A.(3,0)B.(-3,0)C.(3√32,0) D.(-3√32,0) 答案 B 连接BC ,由作图知直线PQ 垂直平分线段AB , ∴AC =BC ,∵B (0,4),∴OB =4, ∵AB =4√5,∴OA =√AB 2-OB 2=√(4√5)2-42=8,设OC =x ,∴AC =BC =8-x , ∵BC 2=OC 2+OB 2,∴(8-x )2=x 2+42,∴x =3,∴OC =3, ∴C (-3,0).故选B.4.(2021平顶山二模,9)如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是等腰直角三角形,且最大的正方形的边长为4.若按照图①至图③的规律设计图案,则在第n 个图中所有等腰直角三角形的面积和为( )A.4nB.8nC.4nD.32答案 A 题图①中等腰三角形面积为4;题图②中相对于题图①增加的等腰三角形面积为2×14×(2√2)2=4,所有等腰直角三角形的面积和为4×2=8;题图③中相对于题图②增加的等腰三角形面积为22×14×[4×(√22)2]2=4,所有等腰直角三角形的面积和为4×3,则第n 个图形中相对于第n -1个图形增加的等腰三角形面积为2n -1×14×[4×(√22)n -1]2=4,所有等腰直角三角形的面积和为4n.故选A .二、填空题(每题3分,共12分)5.(2021洛阳汝阳一模,15)如图,△ABC 中,AB =AC =10,tan A =2,BE ⊥AC 于点E ,D 是线段BE 上的一个动点,则CD +√55BD 的最小值是 .答案4√5解析如图,过点D作DH⊥AB于点H,过点C作CM⊥AB于点M.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,∵tan A=BEAE=2,设AE=a,BE=2a,则100=a2+4a2,∴a=2√5或-2√5(舍),∴BE=2a=4√5,同理,CM=4√5.∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA=90°,∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55,∵DH=√55BD,∴CD+√55BD=CD+DH.∴CD+DH≥CM,∴CD+√55BD≥4√5,∴CD+√55BD的最小值为4√5.思路分析在直角三角形ABE中,由tan A=2,可求得sin∠ABE=AEAB =√55,过点D作DH⊥AB于点H,构造DH的长为√55BD,过点C作CM⊥AB于点M,由垂线段最短可知CD+DH≥CM,解直角三角形ACM,求出CM的长即可解决问题.6.(2021郑州外国语学校模拟,15)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=2√3,点P是AC上的动点,连接BP,以BP为边作等边△BPQ,连接CQ,则点P在运动过程中,线段CQ长度的最小值是.答案√32解析如图,取AB的中点E,连接CE,PE.∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠CBE=60°,∵BE=AE,∴CE=BE=AE,∴△BCE 是等边三角形.∴BC=BE.∵△BPQ是等边三角形,∴∠PBQ=∠CBE=60°,∴∠QBC =∠PBE ,∵QB =PB ,∴△QBC ≌△PBE (SAS), ∴QC =PE ,∴当EP ⊥AC 时,QC 的值最小.∵AE =√3,∠A =30°,∴当PE ⊥AC 时PE =12AE =√32,∴CQ 的最小值为√32.7.(2021郑州一模,15)如图,平面直角坐标系中,点A (0,2),B (4,0),将△BCD 沿着垂直于x 轴的直线CD 折叠(点C 在x 轴上,点D 在AB 上,点D 不与A ,B 重合),点B 的对应点为点E ,则当△ADE 为直角三角形时,S△BDC S △ADE的值是 .答案310或56解析在Rt △AOB 中,AB =√AO 2+BO 2=√22+42=2√5,tan ∠ABO =AO OB =12,①当∠AED =90°时,如图,∵CD ⊥OB ,CB =CE ,设CD =x ,则BC =EC =2x ,OE =4-4x ,易证△AOE ∽△ECD ,∴AO OE =EC CD ,24-4x =2x x ,∴x =34,∴OE =1,BC =EC =32,∴AE =√OE 2+AO 2=√5,DE =√EC 2+CD 2=34√5,∴S△BDC S △ADE=12×32×3412×√5×34√5=310; ②当∠EAD =90°时,如图, ∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3,∴EO =AO ·tan ∠3=1,∴BE=OE+OB=5,∵CE=CB=52,∴CD=54,∴S△BDC=12DC·CB=2516,∴S△ADE=S△ABE-2S△BDC=12×2×5-258=158,∴S△BDCS△ADE=56;③∵tan∠ABO=12<1,∴∠ABO<45°,∴∠ADE<90°,即∠ADE不可能为直角.综上,当△ADE为直角三角形时,S△BDCS△ADE 的值是310或56.8.(2020开封一模,15)Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8,点D,E分别为AC,BC的中点,点F为AB边上一动点,将△ADF沿着DF折叠,点A的对应点为点G,且点G始终在直线DE的下方,连接GE,当△GDE为直角三角形时,线段AF的长为.答案2或3解析∵∠C=90°,∠A=30°,AB=8,∴AC=4√3.∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴AD=CD=2√3,DE∥AB,∴∠CDE=∠A=30°.(i)当∠GDE=90°时(如图1),可得∠ADG=60°,∴∠ADF=∠A=30°.过点F作FH⊥AD于点H,则AH=√3,∴AF=2.图1(ii)当∠DGE=90°时(如图2),可证△DCE≌△DGE,∴∠GDE=∠CDE=30°,∴∠ADG=120°,∴∠ADF=60°,∴∠AFD=90°,∴AF=3.图2因为DG <DE ,所以∠DEG 不可能为直角. 综上所述,AF 的长为2或3.三、解答题(共16分)9.(2021信阳商城一模,23改编)(1)问题发现如图1,△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形,且∠BAC =∠DAE =90°,直线BD 、CE 交于点F.线段BD 和CE 的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)类比探究如图2,在锐角三角形ABC 和ADE 中,∠ABC =∠ADE =α,∠ACB =∠AED =β,直线BD ,CE 交于点F.若AB =kAC ,试判断线段BD 和CE 的数量关系以及直线BD 和CE 相交所成的较小角的度数,并说明理由. 解析 (1)BD =CE ;BD ⊥CE.提示:可证明△ABD ≌△ACE 进而得出BD =CE ,BD ⊥CE. (2)∵∠ABC =∠ADE =α,∠ACB =∠AED =β, ∴△ABC ∽△ADE , ∴∠BAC =∠DAE ,ABAD =ACAE , ∴∠BAD =∠CAE , ∴△ABD ∽△ACE ,∴∠ABD =∠ACE ,BD CE =AB AC =k.∵∠BGC =∠ABD +∠BAC =∠BFC +∠ACE , ∴∠BFC =∠BAC ,∵∠BAC +∠ABC +∠ACB =180°, ∴∠BFC =∠BAC =180°-α-β.∴BD =kCE ,直线BD 和CE 相交所成的较小角的度数为180°-α-β.思路分析 (1)判定BD 与CE 的关系,可先判定△BAD ≌△CAE ,再由角之间的关系判定BD ⊥CE.(2)先证明△ABC ∽△ADE ,根据相似三角形的性质得AB AD =ACAE ,∠BAD =∠CAE ,推出△ABD ∽△ACE ,进而判定BD 与CE 的关系.10.(2020郑州二模,22)已知:△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,其中AB =AC ,AD =AE ,∠BAC =90°,∠DAE =90°.(1)观察猜想如图1,连接BE ,CD 交于点H ,再连接CE ,那么BE 和CD 的数量关系和位置关系分别是 , ; (2)探究证明将图1中的△ABC 绕点A 逆时针旋转到图2的位置时,分别取BC ,CE ,DE 的中点P ,M ,Q ,连接MP ,PQ ,MQ ,请判断MP 和MQ 的数量关系和位置关系,并说明理由; (3)拓展延伸已知AB =√2,AD =4,在(2)的条件下,将△ABC 绕点A 旋转的过程中,若∠CAE =45°,请直接写出此时线段PQ 的长.解析 (1)BE =CD ;BE ⊥CD. (2分)(2)PM =MQ ,PM ⊥MQ. ∵∠CAB =∠EAD =90°, ∴∠CAD =∠BAE. 又AC =AB ,AE =AD , ∴△CAD ≌△BAE.(4分)∴CD =BE ,∠CDA =∠BEA.∵AC ⊥AB ,AD ⊥AE ,∴CD ⊥BE. (6分) ∵BC 、CE 、DE 的中点分别为P 、M 、Q , ∴PM =12BE ,MQ =12CD ,PM ∥BE ,MQ ∥CD. ∴PM =MQ ,PM ⊥MQ. (8分) (3)√5或√13. (10分)提示:由(2)的结论可知△PMQ 为等腰直角三角形, 则PQ =√2PM =√2MQ.根据中位线定理可知PM =12BE ,MQ =12CD , 则PQ =√22CD =√22BE ,所以只需求CD 或BE 的长即可.当点C 在AE 的左侧时,CD =√52+12=√26, 所以PQ =√22×√26=√13;当点C 在AE 的右侧时,CD =√32+12=√10, 所以PQ =√22CD =√22×√10=√5. 综上,PQ 的长为√5或√13.。

2024河南中考数学复习特殊三角形及其性质强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习特殊三角形及其性质强化精练基础题1.(2023眉山)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为()A.70°B.100°C.110°D.140°第1题图2.(2023贵州)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是()第2题图A.4mB.6mC.10mD.12m3.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AD延长线上一点，若AE＝AC，则∠AEC的度数为()A.45°B.60°C.65°D.75°第3题图4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AB＝8，则AD的长为()第4题图A.2B.23C.4D.435.如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，点P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则OP的长在竹竿AB滑动过程中的情况是()A.下滑时，OP的长度增大B.上升时，OP的长度减小C.只要滑动，OP的长度就变化D.无论怎样滑动，OP的长度不变第5题图6.如图，在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为10的是()第6题图A.线段ABB.线段BCC.线段ACD.线段BD7.(2023遂宁)若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是________三角形．8.(2023新疆维吾尔自治区)如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝________°.第8题图9.(2023江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为________cm.第9题图10.如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE ＝________．第10题图11.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，若AD＝2，则AB的长为________．第11题图12.(2023荆州)如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC 的延长线于E，连接DE，求证：CD＝CE.第12题图13.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.(1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由；第13题图(2)若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．拔高题14.(2023菏泽)△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋2a－b－3＋|c－32|＝0，则△ABC 是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形15.(2023济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于()A.180°－αB.180°－2αC.90°＋αD.90°＋2α第15题图16.(2023凉山州)如图，边长为2的等边△ABC 的两个顶点A ，B 分别在两条射线OM ，ON 上滑动，若OM ⊥ON ，则OC 的最大值是________．第16题图【解题关键点】关键点一：A ,B 中点的轨迹在以O 为圆心,12AB 长为半径的圆弧上；关键点二：利用三角形的三边关系解题．17.如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，点P 为AB 上一个动点，将△APC 沿直线CP 折叠得到△QPC ，点A 的对应点为点Q ，连接BQ ，当△PBQ 为直角三角形时，BQ 的长为________．第17题图参考答案与解析1.C 【解析】∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∵∠A ＝40°，∴∠B ＝∠ACB ＝180°－∠A 2＝180°－40°2＝70°，∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD ＝∠A ＋∠B ＝40°＋70°＝110°.2.B 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵△ABC 是等腰三角形，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝12×(180°－120°)＝30°，∴AD ＝12AB ＝6m.第2题解图3.D 【解析】∵△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，∴∠CAE ＝30°，∵AE ＝AC ，∴∠AEC＝∠ACE ＝180°－30°2＝75°.4.A 【解析】∵CD ⊥AB ，∠ACB ＝90°，∴∠ADC ＝90°＝∠ACB ，∵∠B ＝30°，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∴∠ACD ＝90°－∠A ＝30°，∵AB ＝8，∴AC ＝12AB ＝4，∴AD ＝12AC ＝2.5.D 【解析】∵∠AOB ＝90°，P 为AB 的中点，∴OP ＝12AB ，即OP 的长在竹竿AB 滑动过程中始终保持不变．6.B 【解析】由题图可得，AB ＝12＋22＝5，BC ＝12＋32＝10，AC ＝12＋42＝17，BD ＝22＋32＝13，∴线段长度为10的是线段BC .7.直角【解析】设这个三角形三个内角依次为x ，2x ，3x ，∵x ＋2x ＋3x ＝180°，∴x ＝30°，∴最大角为3x ＝90°，故这个三角形是直角三角形．8.52【解析】∵AB ＝AC ，AD ＝BD ，∴∠B ＝∠C ，∠B ＝∠BAD ，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝∠CAD ＋∠BAD ，∴180°－2∠C ＝24°＋∠C ，∴∠C ＝52°.9.2【解析】∵直尺的两对边相互平行，∴∠ACB ＝∠α＝60°，∵∠A ＝60°，∴∠ABC ＝180°－∠ACB －∠A ＝180°－60°－60°＝60°，∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝3－1＝2(cm).10.3【解析】∵CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的中线，CD ＝5，∴AB ＝2CD ＝10，∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，∴根据勾股定理得：BC ＝AB 2－AC 2＝6，∵E 为AC 的中点，∴DE 是△ABC的中位线，∴DE＝12BC＝3.11.23＋4【解析】∵BD平分∠ABC，ED∥BC，∴∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，∠AED ＝∠ABC＝30°，∴EB＝ED，∵∠A＝90°，∴ED＝2AD＝4，AE＝3AD＝23，∴AB＝AE＋BE＝AE＋ED＝23＋4.12.证明：如解图，∵BD为等边△ABC的中线，∴BD⊥AC，∠1＝60°，∴∠3＝30°.∵BD＝DE，∴∠E＝∠3＝30°，∵∠2＋∠E＝∠1＝60°，∴∠E＝∠2＝30°，∴CD＝CE.第12题解图13.解：(1)DE⊥PD，理由如下：∵PD＝PA，∴∠PDA＝∠A，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠B，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠PDA＋∠EDB＝90°，∴∠PDE＝90°，∴DE⊥PD；(2)如解图，连接PE，∵AC＝6，BC＝8，PA＝2，∴CP ＝AC －PA ＝4，PD ＝PA ＝2，设DE ＝BE ＝x ，则CE ＝8－x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理，得PE 2＝42＋(8－x )2，在Rt △PDE 中，根据勾股定理，得PE 2＝22＋x 2，∴42＋(8－x )2＝22＋x 2，解得x ＝194，∴DE ＝194.第13题解图14.D 【解析】00，要满足(a －b )2＋2a －b －3＋|c －32|＝0，则－b ＝0a －b －3＝0－32＝0＝3＝3＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，且a ＝b ，∴△ABC 为等腰直角三角形．15.C 【解析】如解图，过B 点作BG ∥CD ，连接EG ，∵BG ∥CD ，∴∠ABG ＝∠CFB ＝α.∵BG 2＝12＋42＝17，BE 2＝12＋42＝17，EG 2＝32＋52＝34，∴BG 2＋BE 2＝EG 2，∴△BEG 是直角三角形，且∠GBE ＝90°，∴∠ABE ＝∠GBE ＋∠ABG ＝90°＋α.第15题解图16.1＋3【解析】如解图，取AB 的中点D ，连接OD ，DC ，∴OC ≤OD ＋DC ，当O ，D ，C 三点共线时，OC 有最大值，最大值是OD ＋CD ，∵△ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，∴BD ＝1，BC ＝2，∴CD ＝BC 2－BD 2＝3，∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边AB的中点，∴OD＝1AB＝1，∴OD＋CD＝1＋3，即OC的最大值为1＋3.2第16题解图17.2或10【解析】∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝AC2＋AB2＝32＋42＝5，由折叠得QC＝AC＝3，PQ＝PA，∠PQC＝∠A＝90°，如解图①，△PBQ为直角三角形，且∠PQB＝90°，∴∠PQC＋∠PQB＝180°，∴B，Q，C三点共线，∴点Q在BC上，∴BQ＝BC－QC＝5－3＝2；如解图②，△PBQ为直角三角形，且∠BPQ＝90°，∴∠APQ＝90°，∵∠PQC＝∠A＝∠APQ＝90°，∴四边形PACQ是矩形，∵PQ＝PA，∴四边形PACQ是正方形，∴PQ＝PA＝AC＝3，∴PB＝AB－PA＝4－3＝1，∴BQ＝PB2＋PQ2＝12＋32＝10；当点Q在△ABC内部或点Q在BC边上时，∠PBQ≤∠ABC，∴∠PBQ是锐角；当点Q在△ABC外部时，观察图形可知∠PBQ是锐角，∴△PBQ不能是以∠PBQ为直角的直角三角形，综上所述，BQ的长为2或10.第17题解图。

2024年河南省中考数学一轮复习专题：全等三角形+课件

图（1）
图（2）
续表
任务:
（1）小明得出的依据是____（填序号）.
⑤
（2）小军作图得到的射线是的平分线吗?请判断并说明理由.
[答案] 是.理由如下:由作图可知, , .又 , , .
连接 . , , , .又 , , , ,即射线是的平分线.
考法全等三角形的判定与性质（必考）
[2021河南,23] 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.
小明:如图（1）,（1）分别在射线 , 上截取 , （点 , 不重合）;（2）分别作线段 , 的垂直平分线 , ,交点为 ,垂足分别为点 , ;（3）作射线 .射线即为的平分线.
续表
模型
图示总结
三垂直模型
_也叫双直角三角形,其中的证明多数可以用到同（等）角的余角相等这一结论,相等的角就是对应角.
续表
3.证明三角形全等的思路
基础题过考点
一题多问如图，点，分别在的边，上，连接，交于点，连接 .
考点2→
（1）已知 ,若要证明 ,则需再添加一个条件，这个条件可以是_ _______________________.
图（3）
（3）如图（3）,已知 ,点 , 分别在射线 , 上,且 .点 , 分别为射线 , 上的动点,且 ,连接 , ,交点为 ,当时,直接写出线段的长.
[答案] 2或 .
▶▶ 完成练习册相关习题
作业：
2.全等三角形的常见模型
模型
图示总结
平移模型
_可看成是由一个三角形沿其一条边所在直线平移得到.
模型
图示总结
轴对称模型
_两个三角形关于某一直线对称,关于这条直线对称的顶点就是全等三角形的对应顶点,解题时要注意隐含条件（公共边或公共角）.

河南省中考数学总复习第四章三角形第三节全等三角形好题随堂演练-人教版初中九年级全册数学试题

③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB的度数是( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
4.如图，点A，E，F，D在同一直线上，若AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．(2018·某某)如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__________________(只需写一个，不添加辅助线).
6.如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC＝3，那么OD的长为______________.
全等三角形
好题随堂演练
1．(2018·某某)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A．∠A＝∠D
B．∠ACB＝∠DBC
C．AC＝DB
D．AB＝DC
2．(人教版课本概念改编题)下列说法中，正确的个数是( )
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；
7．(2018·某某)如图，AE和BD相交于点C，∠A＝∠E，AC＝EC.求证：△ABC≌△EDC.
参考答案
1．C 2.C 3.B 4.C 5.AB＝DE
7．证明：在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC(ASA)．

2024河南中考数学复习四边形中的三角形问题强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习四边形中的三角形问题强化精练基础题1.两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝()A.α－90°B.α－45°C.180°－αD.270°－α第1题图2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠CAB＝60°，AB＝6，则BD的长为()第2题图A.8B.10C.12D.183.如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB.过点D作DE∥AB交BC于点E，若BC＝10，CE＝4，则DE的长为________．第3题图4.(2023福建)如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为________．第4题图5.(2023台州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为________．第5题图6.如图所示，任意四边形ABCD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若四边形ABCD的面积为m，那么四边形EFGH的面积是________．第6题图7.如图，在边长为5的菱形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接BD，DE，DF，EF，若BD＝8，则△DEF的面积为________．第7题图8.(万唯原创)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，E是BC的中点，连接BD，DE，若BD⊥CD，则四边形ABED的周长为_______________________________________．第8题图9.(2023临沂)如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是_____________．第9题图10.(2023甘肃省卷)如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝_______________________________________________cm.第10题图11.(2023重庆A卷改编)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于________．第11题图12.(2023广东省卷)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．第12题图拔高题13.(2023平顶山一模)如图，点E在正方形ABCD边AD上，且AE＝2DE＝2，点P是线段AB上一动点(点P不与点A重合)，连接EP，将△AEP沿EP所在直线折叠，点A的对应点为A′，过点A′作A′F⊥AB于点F，当点A′落在正方形ABCD的对角线上时，线段BF的长为_____________________________．第13题图14.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AB边上一点，将△BEC沿着CE翻折，点B的对应点为F，连接AF，当△AEF为直角三角形时，求BE的长．第14题图.把CD绕点C旋转，点D的对应点15.如图，BD为矩形ABCD的对角线，AB＝5，BC＝154为E，当CE∥BD时，求DE的长．第15题图参考答案与解析1.C 【解析】如解图，根据矩形的性质知，∠2＋∠4＝90°，∠3＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∵∠1＝α，∠1＋∠3＝180°，∴∠3＝180°－α，∴∠2＝180°－α.第1题解图2.C 【解析】已知∠CAB ＝60°，根据矩形的性质可得AO ＝BO ＝OD ，∴△AOB 是等边三角形，∵AB ＝6，∴AO ＝BO ＝AB ＝OD ＝6.∴BD ＝BO ＋OD ＝12.3.6【解析】∵DE ∥AB ，∴∠EDB ＝∠ABD ，∵AB ＝CB ，AD ＝CD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠EDB ＝∠CBD ，∴DE ＝BE ，∵BC ＝10，CE ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝10－4＝6，∴DE ＝6.4.10【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ，CD ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO ，∠DFO ＝∠BEO ，∵O 为BD 的中点，∴OD ＝OB ，∴△DOF ≌△BOE (AAS)，∴DF ＝BE ，∴CD －DF ＝AB －BE ，∴CF ＝AE ＝10.5.25【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，BC ＝AD ＝6，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠FBC ，∵CF ⊥BE ，∴∠CFB ＝90°，在△ABE 和△FCB 中，∠A ＝∠BFC ，∠AEB ＝∠FBC ，BE ＝CB ，∴△ABE ≌△FCB (AAS)，∴BF ＝AE ，∵BE ＝CB ＝6，∴AE ＝BE 2－AB 2＝62－42＝25，∴BF ＝25.6.12m 【解析】如解图，连接BD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，交EH 于点N ，∵E ，H分别为AB ，DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD ，∴AN ⊥EH ，∵E 为AB 的中点，EH ∥BD ，∴AN ＝12AM ，∴S △AEH ＝14S △ABD ，同理可得，S △FCG ＝14S △BCD ，∴S △AEH ＋S △FCG ＝14(S △ABD ＋S △BCD )＝14m ，∴S △BEF ＋S △DHG ＝14m ，∴S 四边形EFGH ＝S 四边形ABCD －(S △AEH ＋S △FCG )－(S △BEF ＋S △DHG )＝12m .第6题解图7.9【解析】如解图，连接AC 交BD 于点O ，记EF 交BD 于点G ，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，且AO ＝CO ，BO ＝DO ＝12BD ＝4，在Rt △ABO 中，AB ＝5，BO ＝4，∴AO ＝3，∴AC ＝6，∵E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，∴线段EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝3，设EF 与BD 的交点为G ，则GO ＝12BO ＝2，∵DO ＝4，∴DG ＝6，∴S △EFD ＝12EF ·DG ＝12×3×6＝9.第7题解图8.8【解析】由题知，∠BDC ＝90°，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝DE ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝∠EBD ＝∠EDB ，又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD ，∴AB ＝BE ＝AD ＝DE ，∴四边形ABED 的周长为2＋2＋2＋2＝8.9.14【解析】如解图，∵点D 是AB 靠近A 的三等分点，∴BD ＝2AD ，∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ，∴DF BC ＝AD AB ，即DF 9＝13，∴DF ＝3，∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BD BA ，即DE 6＝23，∴DE ＝4，∵得到的四边形DFCE 为平行四边形，∴CE ＝DF ＝3，CF ＝DE ＝4，∴得到的平行四边形纸片的周长为2(DF ＋DE )＝2×(3＋4)＝14.第9题解图10.23【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，则AO ＝CO ，BO ＝OD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝CD ，∠DAC ＝∠BAC ＝∠DCA ＝∠BCA ，AC ⊥BD ，∵∠DAB ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∠DAC ＝∠BAC ＝∠DCA ＝∠BCA ＝30°，∴BD ＝AB ＝6cm ，∴AO ＝AB 2－BO 2＝33(cm)，∴AC ＝2AO ＝63(cm)，∵BE ⊥AB ，DF ⊥CD ，∴∠CDF ＝∠ABE ＝90°，∴△CDF ≌△ABE (ASA)，∴AE ＝CF ，∵AE ＝CF ＝AB cos 30°＝632＝43(cm)，∴EF ＝AE ＋CF －AC ＝23(cm).第10题解图11.2α【解析】在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD ＝∠ABC ＝∠ADC ＝90°，如解图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABG ，则AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG ，∠ABG ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABG ＋∠ABC ＝180°，∴G ，B ，E ，三点共线，∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE ＋∠DAF＝45°，∴∠GAE ＝∠FAE ＝45°，在△FAE 和△GAE 中＝AGFAE ＝∠GAE ＝AE，∴△FAE ≌△GAE (SAS)，∴∠AEF ＝∠AEG ，∵∠BAE ＝α，∴∠AEB ＝90°－α，∴∠AEF ＝∠AEB ＝90°－α，∴∠FEC ＝180°－∠AEF －∠AEB ＝180°－2×(90°－α)＝2α.第11题解图12.15【解析】如解图，∵四边形ABCD ，ECGF ，IGHK 均为正方形，∴CD ＝AD ＝10，CE ＝FG ＝CG ＝EF ＝6，∠CEF ＝∠F ＝90°，GH ＝IK ＝4，∴CH ＝CG ＋GH ＝10，∴CH ＝AD ，∵∠D ＝∠DCH ＝90°，∠AJD ＝∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ (AAS)，∴CJ ＝DJ ＝5，∴EJ ＝1，∵GL ∥CJ ，∴△HGL ∽△HCJ ，∴GL CJ ＝GH CH ＝410＝25，∴GL ＝2，∴FL ＝4，∴S 阴影＝S 梯形EJLF ＝12(EJ ＋FL )·EF ＝12×(1＋4)×6＝15.第12题解图13.5－72或1【解析】∵AE ＝2DE ＝2，∴AE ＝2，DE ＝1，∴AD ＝AE ＋DE ＝2＋1＝3，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝AB ＝3，∠DAB ＝90°，由折叠的性质可得，AE ＝A ′E ＝2，∠DAB ＝∠PA ′E ＝90°，AP ＝A ′P ，∠AEP ＝∠A ′EP ，①当点A ′落在对角线AC 上时，此时点P 与点F 重合，如解图①，连接AC ，∴∠EA ′F ＝∠AFA ′＝∠EAF ＝90°，∴四边形AEA ′F 为矩形，AE ＝A ′E ，∴四边形AEA ′F 为正方形，∴AF ＝AE ＝2，∴BF ＝AB －AF ＝3－2＝1；②当点A ′落在对角线BD 上时，如解图②所示，以A 为原点，建立直角坐标系，使AB 边落在x 轴上，AD 边落在y 轴上，则点D (0，3)，B (3，0)，E (0，2)，设BD 所在直线解析式为y＝kx ＋b (k ≠0)＝b＝3k ＋b ＝－1＝3，∴BD 所在直线解析式为y ＝－x ＋3，设点A ′的坐标为(a ，－a ＋3)，∵E (0，2)，A ′E ＝2，∴(0－a )2＋[2－(－a ＋3)]2＝22，解得a ＝1＋72或1－72(舍去)，∴AF ＝1＋72，∴BF ＝AB －AF ＝3－1＋72＝5－72；综上，线段BF 的长为5－72或1.第13题解图14.解：分类讨论：①如解图①，若∠AEF ＝90°，∵∠B ＝∠BCD ＝90°＝∠AEF ，∴四边形BCFE 是矩形，∵将△BEC 沿着CE 翻折，∴CB ＝CF ，∴四边形BCFE 是正方形，∴BE ＝BC ＝AD ＝6；②如解图②，若∠AFE ＝90°，∵将△BEC 沿着CE 翻折，∴CB ＝CF ＝6，∠B ＝∠EFC ＝90°，BE ＝EF ，∵∠AFE ＋∠EFC ＝180°，∴A ，F ，C 三点共线，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝10，∵AE 2＝AF 2＋EF 2，∴(8－BE )2＝16＋BE 2，∴BE ＝3；③若∠EAF ＝90°，∵CD ＝8＞CF ＝6，∴点F 不可能落在直线AD 上，∴不存在∠EAF ＝90°，综上所述，BE ＝3或6.第14题解图15.解：如解图，当CD 绕点C 顺时针旋转时，过点E 作EF ⊥CD 于点F ，∴∠EFC ＝∠BCD ＝90°，CE ＝CD ＝5，∵BD ∥CE ，∴∠FCE ＝∠BDC ，∴△EFC ∽△BCD ，∴EF CF ＝BC CD ＝1545＝34，∵CE ＝5，∴EF ＝3，CF ＝4，∴DF ＝CD －CF ＝1，∴DE ＝EF 2＋DF 2＝32＋12＝10；当CD 绕点C 逆时针旋转时，过点D 作DF ′⊥E ′C ，交E ′C 延长线于点F ′，则E ′，C ，E 三点共线，∵CD ＝CE ，∴S △DCE ＝12DC ·EF ＝12CE ·DF ′，∴DF ′＝EF ＝3，∴CF ′＝CD 2－F ′D 2＝4，∴DE′＝F′D2＋E′F′2＝310.综上所述，DE的长为10或310.第15题解图。

2022河南数学中考总复习--三角形及其全等(试题、含解析)

2022河南数学中考总复习--4.2三角形及其全等五年中考考点1三角形的有关概念1.(2020吉林,5,2分)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为()A.85°B.75°C.65°D.60°答案B如图,∠α是△ABC的外角,所以∠α=∠ABC+∠A=45°+30°=75°.故选B.2.(2021河北,12,2分)如图,直线l,m相交于点O.P为这两直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点是()分别是点P1,P2,则P1,P2之间的距离可能．．A.0B.5C.6D.7答案B连接OP1,OP2,因为点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,根据轴对称的性质得OP1=OP,OP2=OP.根据三角形的三边关系得OP1+OP2>P1P2,因为OP=2.8,所以0<P1P2<5.6,故选B.3.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是()A.1,1,2B.1,2,4C.2,3,4D.2,3,5答案C三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、B、D均不符合.故选C.4.(2021福建,14,4分)如图,AD是△ABC的角平分线.若∠B=90°,BD=√3,则点D到AC的距离是.答案√3解析过D点作DE⊥AC于E点.∵AD是△ABC的角平分线,DB⊥AB,∴DE=BD=√3,即点D到AC的距离是√3.5.(2020北京,15,2分)如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABC S△ABD(填“>”“=”或“<”).答案=解析根据题中图形可以求得△ABC的面积为4,△ABD的面积由割补法可求,为4,所以两个三角形的面积相等.一题多解连接CD,可知CD∥AB,即点C、D到直线AB的距离相等,两个三角形同底等高,故面积相等.6.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x 2-10x +21=0的根,则三角形的周长为 . 答案 16解析 ∵x 2-10x +21=(x -3)(x -7)=0,∴x 1=3,x 2=7, ∵3+3=6,∴3不能作为该三角形的第三边长, ∴三角形的第三边长为7, ∴三角形的周长为3+6+7=16.7.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点A 的坐标为(5,0),点B 在x 轴的上方,△OAB 的面积为152,则△OAB 内部(不含边界)的整点的个数为 .答案 4或5或6解析 ∵A (5,0),S △OAB =152,点B 在x 轴的上方,∴点B 的纵坐标为3.设边OB ,AB 分别与直线y =1交于点E ,F ,与直线y =2交于点C ,D ,则BC =CE =EO ,CD ∥EF ∥OA ,∴CD =13OA =53,EF =23OA =103,∴线段CD 可以覆盖1个或2个整点,线段EF 可覆盖3个或4个整点,∴△OAB 内部(不含边界)的整点的个数为4或5或6.考点2三角形全等1.(2021重庆A卷,7,4分)如图,点B,F,C,E共线,∠B=∠E,BF=EC,添加一个条件,不能判定△ABC≌△DEF的是()A.AB=DEB.∠A=∠DC.AC=DFD.AC∥FD答案C由BF=EC可得BC=EF,又∠B=∠E,所以添加AB=DE后,根据SAS可得△ABC≌△DEF;添加∠A=∠D后,根据AAS可得△ABC≌△DEF;添加AC∥FD后,得∠ACB=∠DFE,根据ASA可得△ABC≌△DEF.添加AC=DF后,由SSA不能判定△ABC≌△DEF.故选C.2.(2019山东临沂,6,3分)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是()A.0.5B.1C.1.5D.2答案B∵CF∥AB,∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,在△ADE和△CFE中,{∠A=∠FCE,∠ADE=∠F, DE=FE,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF=3,∵AB=4,∴DB=AB-AD=4-3=1.故选B.3.(2018江苏南京,5,2分)如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c答案D∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C,又∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b.∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故选D.思路分析证明△ABF≌△CDE,得出AF=CE=a,BF=DE=b,从而推出AD=AF+DF=a+b-c.解后反思本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找全等三角形,属于中考常考题型.4.(2020北京,14,2分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD,这个条件可以是(写出一个即可).答案答案不唯一,如:D是BC的中点解析根据题意可知AB=AC,∠B=∠C,若根据“边角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加BD=CD(D是BC的中点);若根据“角边角”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BAD=∠CAD(AD平分∠BAC);若根据“角角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BDA=∠CDA(AD⊥BC或∠ADC=90°),答案不唯一.5.(2020江西,11,3分)如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为.答案82°解析∵∠EAC=49°,∴∠DAC=180°-∠EAC=131°.∵CA平分∠DCB,∴∠DCA=∠BCA,又CB=CD,CA=CA,∴△DCA ≌△BCA,∴∠DAC=∠BAC=131°,∴∠BAE=131°-∠EAC=82°.6.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:AF=DE.证明∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,∴BF=CE.在△ABF和△DCE中,{AB=DC,∠B=∠C, BF=CE,∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.7.(2021陕西,18,5分)如图,BD∥AC,BD=BC,点E在BC上,且BE=AC.求证:∠D=∠ABC.证明∵BD∥AC,∴∠EBD=∠C.(2分)∵BD=BC,BE=AC,∴△EDB≌△ABC.(4分)∴∠D=∠ABC.(5分)8.(2019江苏苏州,24,8分)如图,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.解析(1)证明:∵线段AC绕点A旋转到AF的位置,∴AC=AF.∵∠CAF=∠BAE,∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,即∠EAF =∠BAC. 在△ABC 和△AEF 中,{AB =AE ,∠BAC =∠EAF ,AC =AF ,∴△ABC ≌△AEF (SAS ), ∴EF =BC. (2)∵AE =AB ,∴∠AEB =∠ABC =65°. ∵△ABC ≌△AEF , ∴∠AEF =∠ABC =65°,∴∠FEC =180°-∠AEB -∠AEF =180°-65°-65°=50°. ∵∠FGC 是△EGC 的外角,∠GCE =28°, ∴∠FGC =∠GEC +∠GCE =50°+28°=78°.9.(2021河南,23,10分)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.图1小明:如图1,(1)分别在射线OA ,OB 上截取OC =OD ,OE =OF (点C ,E 不重合);(2)分别作线段CE ,DF 的垂直平分线l 1,l 2,交点为P ,垂足分别为点G ,H ;(3)作射线OP ,射线OP 即为∠AOB 的平分线.简述理由如下:由作图知,∠PGO =∠PHO =90°,OP =OP ,OG =OH ,所以Rt △PGO ≌Rt △PHO ,则∠POG =∠POH ,即射线OP 是∠AOB 的平分线.图2小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图2,(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)连接DE,CF,交点为P;(3)作射线OP,射线OP即为∠AOB的平分线.……任务:(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是(填序号).①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗?请判断并说明理由.(3)如图3,已知∠AOB=60°,点E,F分别在射线OA,OB上,且OE=OF=√3+1,点C,D分别为射线OA,OB上的动点且OC=OD,连接DE,CF,交点为P,当∠CPE=30°时,直接写出线段OC的长.图3解析(1)⑤(2分)(2)是.(注:若没写出判断结果,但后续证明正确,不扣分)(3分)理由如下:由作图可知,OC=OD,OF=OE.又∵∠COF=∠DOE,∴△COF≌△DOE.∴∠OFC =∠OED. (5分) 连接EF.∵OF =OE ,∴∠OFE =∠OEF. ∴∠PFE =∠PEF ,∴PF =PE. 又∵OP =OP ,OF =OE , ∴△FOP ≌△EOP. ∴∠FOP =∠EOP ,即射线OP 是∠AOB 的平分线. (8分)(3)2或2+√3. (10分)提示:连接OP.由(1)(2)可知,图形关于直线OP 对称,分情况讨论:①如图1,当点C 在线段OE 上时,连接EF ,过点C 作CG ⊥OB 于点G ,∵∠COB =60°,OE =OF =√3+1,∴△OEF 为等边三角形,∴∠OFE =60°,∵PE =PF ,∴∠EFP =12∠2=12×30°=15°,∴∠1=∠OFE -∠EFP =45°,设OG =x ,则CG =√3x ,GF =CG =√3x ,∴OG +GF =x +√3x =√3+1,∴x =1. ∴OC =2x =2;②如图2,当点C 在线段OE 的延长线上时,连接CD ,过点E 作EH ⊥OB 于点H ,同①可证∠1=45°,在Rt △EOH中,EH =OE ·sin 60°=√32(√3+1)=32+√32,OH =12OE =√32+12,在Rt △EHD中,HD =EH =32+√32,∴OD =OH +HD =2+√3,∴OC =2+√3.综上,线段OC 的长为2或2+√3.图1图2题干解读本题是以作已知角的平分线的不同方法为背景的几何综合题,小明和小军的作图过程中分别提供了相等的角和线段,可以依据三角形全等的判定和性质证明作图的正确性.在(3)中,点C,D分别为射线OA,OB上的动点,OE=OF且OE,OF为定长,需分点C,D分别在线段OE,OF上和点C,D分别在线段OE,OF的延长线上两种情况,再结合题中所提供的条件,构造等边三角形、直角三角形,通过计算可以求得线段OC的长.三年模拟A组基础题组一、选择题(每题3分,共9分)1.(2021南阳宛城一模,4)在三角板拼角活动中,小明将一副三角板按如图方式叠放,则拼出的∠α度数为()A.65°B.75°C.105°D.115°答案C根据题意得,∠ACB=45°,∠D=60°,∠DCB=90°,则∠DCA=90°-45°=45°,所以∠α=∠D+∠DCA=60°+45°=105°.故选C.2.(2020信阳二模,8)如图,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB、AC于点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于12DE长为半径作弧,两弧交于点F,作射线AF交BC于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积是()A.1B.2C.32D.52答案B由题意知AF平分∠BAC,过点G作GH⊥AC于点H,∵∠B=90°,∴GH=BG=1,∴S△ACG=12GH·AC=2.故选B.3.(2021商丘柘城一模,4)如图,△EFG的三个顶点E,G和F分别在平行线AB,CD上,FH平分∠EFG,交线段EG于点H,若∠AEF=36°,∠BEG=57°,则∠EHF的大小为()A.105°B.75°C.90°D.95°答案B∵∠AEF=36°,∠BEG=57°,∴∠FEH=180°-36°-57°=87°.∵AB∥CD,∴∠EFG=∠AEF=36°,∵FH平分∠EFG,∴∠EFH=12∠EFG=12×36°=18°,∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=180°-87°-18°=75°.故选B.思路分析本题主要考查三角形内角和定理的应用,角平分线的定义及平行线的性质,依据上述性质得出相关角的大小,由角的和差运算求出∠EHF的大小即可.二、填空题(每题3分,共6分)4.(2021信阳一模,12)一副直角三角板如图放置,AB∥EF,∠B=30°,∠F=45°,则求∠1=.答案75°解析∵AB∥EF,∠F=45°,∴∠BDF=∠F=45°,∴∠1=∠B+∠BDF=75°.5.(2020信阳一模,13)一个等腰三角形边长的数值是方程x2-6x+8=0的根,那么这个等腰三角形的周长为.答案10解析解方程x2-6x+8=0,得x1=2,x2=4,则等腰三角形的三边长分别为2,4,4.故其周长为10.三、解答题(共20分)6.(2021信阳一模,18改编)定义:三角形一个内角的平分线与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.如图,∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角,若∠A =α,请用含α的代数式表示∠E.解析 ∵BE 平分∠ABC ,CE 平分∠ACD , ∴∠EBD =12∠ABC ,∠ECD =12∠ACD , ∵∠ECD =∠E +∠EBD ,∴∠E =∠ECD -∠EBD =12(∠ACD -∠ABC )=12∠A =12α.7.(2021郑州三模,22改编)如图,两个等腰直角△ABC 和△CDE 中,∠ACB =∠DCE =90°. (1)观察猜想如图1,点E 在BC 上,线段AE 与BD 的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明把△CDE 绕直角顶点C 旋转到图2的位置,(1)中的结论还成立吗?说明理由.解析 (1)AE =BD ;AE ⊥BD. (2)结论成立.理由如下:如图,延长AE 交BD 于点H ,交BC 于点O.在△ABC和△CDE中,AC=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE,∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD,∠EAC=∠CBD,∵∠EAC+∠AOC=90°,∠AOC=∠BOH,∴∠BOH+∠OBH=90°,∴∠OHB=90°,即AE⊥BD.思路分析本题考查几何变换、等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质.(1)根据条件证明△ACE≌△BCD即可.(2)结论不变.在图2中,延长AE交BD于点H,交BC于点O,证明△ACE≌△BCD,可以求得结论.8.(2020中原名校三模,22(1)(2))问题呈现:已知等边三角形ABC边BC的中点为点D,∠EDF=120°,∠EDF的两边分别交直线AB,AC于点E,F,现要探究线段BE,CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系.(1)特例研究:如图1,当点E,F分别在线段AB,AC上,且DE⊥AB,DF⊥AC时,请直接写出线段BE,CF与BC的数量关系:;(2)问题解决:如图2,当点E落在射线BM上,点F落在线段AC上时,(1)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,请通过证明探究出线段BE,CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系.解析(1)BE+CF=1BC.(3分)2(2)不成立.理由如下:如图,分别过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,易证得△BDG≌△CDH,则BG=CH,DG=DH.∵∠A=60°,∠DGA=∠DHA=90°,∴∠GDH=120°,∵∠EDF=120°,∴∠FDH=∠EDG,则△DGE≌△DHF,∴EG=FH,∴CF-FH=CF-EG=CF-(BE+BG)=CF-BE-BG=CH,即CF-BE=2CH,在Rt△DCH中,CD=2CH,∴CF-BE=CD,即CF-BE=1BC.(8分)2思路分析(1)根据等边三角形的性质和直角三角形的性质可得出线段BE、CF和BC之间的关系.(2)过点D 作AB、AC的垂线,结合题中的条件构造全等三角形,依据全等的性质找出相等线段,判断三条线段的数量关系.B组提升题组一、选择题(每题3分,共6分)1.(2020驻马店二模,7)如图,在△ABC中,∠BAC=80°,以点B为圆心,以任意长度为半径画弧交BA,BC于点D,E,分别以点D,E为圆心,以大于1DE的长度为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP;以点C为圆心,以任意长度为半径2画弧交AC,BC于点M,N,分别以点M,N为圆心,以大于1MN的长度为半径画弧,两弧交于点Q,作射线CQ.若BP与CQ2相交于点O,则∠BOC的度数是()A.100°B.110°C.120°D.130° 答案 D 由作图知BP ,CQ 分别平分∠ABC ,∠ACB , 则∠OBC =12∠ABC ,∠OCB =12∠ACB , ∴∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠ACB ), ∴180°-∠BOC =12(180°-∠A ), ∴∠BOC =90°+12∠A =130°.故选D .2.(2021开封二模,10)如图,将△ABC 沿着过BC ,AB 的中点D ,E 所在的直线折叠,使点B 落在AC 边上的B 1处,称为第一次操作,点D 到AC 的距离为h 1;还原纸片后,再将△BDE 沿着过BD ,BE 的中点D 1,E 1所在的直线折叠,使点B 落在DE 边上的B 2处,称为第二次操作,点D 1到AC 的距离记为h 2,按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到点D n -1到AC 的距离记为h n ,若h 1=1,则h n 的值为 ( )A.2-12n -1B.2-12nC.1+12n -1D.1+12n答案 A 如图,过点B 作BG ⊥AC 于点G 交DE 于点F ,交D 1E 1于点M ,过点D 作DH ⊥AC 于点H ,∵D ,E 分别为BC ,BA 的中点,∴BD =DC ,DE ∥AC ,∴DE ⊥BF ,∴∠BFD =∠DHC =90°,∠BDF =∠C , ∴△BFD ≌△DHC ,∴BF =DH =FG , 即h 1=12BG =1,∴BG =2, 同理BM =12BF =12,即h 2=2-12, ∴h 3=2-122,…,h n =2-12n -1.故选A .一题多解过点B 作BG ⊥AC 于点G ,交DE 于点F ,交D 1E 1于点M ,,∵D ,E 分别为BC ,AB 的中点,∴DE ∥AC ,DE =12AC ,∴BF BG =BD BC =12,∴BF =FG =12BG =1,∴BG =3,同理,BM =12BF =12,∴h 2=2-12,∴h 3=2-122,…,h n =2-12n -1.故选A .二、填空题(每题3分,共9分)3.(2021濮阳二模,14)如图,在△ABC 中,已知AB =4,AD ⊥BC ,垂足为D ,BD =2CD ,若E 是AD 的中点,则EC = .答案 2解析取BD 的中点F ,连接EF , ∵E 是AD 的中点, ∴EF =12AB =2, ∵BD =2CD ,∴FD =CD , ∵AD ⊥BC ,∴EC =EF =2.4.(2020信阳二模,13)如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,∠B =36°,AD 是BC 边上的中线,将△ACD 沿AD 折叠,使点C 落在点F 处,DF 交AB 于点E ,则∠DEB = .答案 108°解析在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,∴∠C =90°-∠B =54°.∵D 是BC 的中点,∴DA =DC ,∴∠DAC =∠C =54°,∴∠ADC =∠ADF =72°,∴∠EDB =180°-2×72°=36°,∴∠DEB =180°-∠B -∠EDB =180°-36°-36°=108°.5.(2019郑州一模,14)如图,已知△ABC ≌△DCE ≌△GEF ,三条对应边BC 、CE 、EF 在同一条直线上,连接BG ,分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、K ,其中S △PQC =3,则图中三个阴影部分的面积和为 .答案 39解析 ∵△ABC ≌△DCE ≌△GEF , ∴∠ACB =∠DEC =∠GFE ,BC =CE =EF. ∴AC ∥DE ∥GF.∴PC KE =12,PC GF =BC BF =13,∴KE =2PC ,GF =3PC. 又∵DK =DE -KE =3PC -2PC =PC , 易证△DQK ≌△CQP.设△DQK 的边DK 长为x ,DK 边上的高为h , 则12xh =3,整理得xh =6, ∴S △BPC =12x ·2h =xh =6.∴S 四边形CEKQ =12×3x ·2h -3=3xh -3=3×6-3=18-3=15,S △EFG =12×3x ·2h =3xh =18. ∴三个阴影部分的面积和为6+15+18=39.三、解答题(共25分)6.(2021许昌二模,18改编)如图,在△ABC 中,∠BAC =90°. (1)尺规作图,作出经过A ,B ,C 三点的☉O ;(不写作法,保留作图痕迹) (2)连接AO 并延长,交☉O 于点D ,连接DB ,DC. 求证:△BDC ≌△CAB.解析 (1)如图所示,☉O 即为所求.(2)证明:∵OA =OD ,OB =OC , ∴四边形ABDC 是平行四边形, ∴CD =AB ,BD =CA ,在△BDC 和△CAB 中{CD =BA ,BD =CA ,BC =CB ,∴△BDC ≌△CAB (SSS ).7.(2019开封一模,22(1)(2))(1)操作:如图1,点O 为线段MN 的中点,直线PQ 与MN 相交于点O ,请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形;(不写画法)(2)根据上述操作得到的经验完成探究活动:如图2,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE =∠EAF ,AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.解析(1)如图①.(1分)(2)结论:AB=AF+CF.(2分)证明:如图②分别延长AE、DF交于点M,∵E为BC的中点,∴BE=CE,∵AB∥CD,∴∠BAE=∠M.在△ABE与△MCE中,{∠BAE=∠M,∠AEB=∠MEC, BE=CE,∴△ABE≌△MCE(AAS),∴AB=MC,∵∠BAE=∠EAF,∴∠EAF=∠M,∴AF=MF,∴AB=MC=MF+FC=AF+FC.(6分)8.(2021濮阳二模,23)(1)[问题背景]如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是直线BC上的一点,将线段AD 绕点A逆时针旋转90°至AE,连接CE,求证:△ABD≌△ACE;(2)[尝试应用]如图2,在(1)的条件下,延长DE,AC交于点G,BF⊥AB交DE于点F,求证FG=√2AE;(3)[拓展创新]如图3,A 是△BDC 内一点,∠ABC =∠ADB =45°,∠BAC =90°,BD =√3,直接写出△BDC 的面积为 .解析 (1)[问题背景]证明:如图1∵∠BAC =∠DAE =90°,∴∠DAB =∠EAC ,在△ABD 和△ACE 中{AD =AE ,∠DAB =∠EAC ,AB =AC ,∴△ABD ≌△ACE (SAS ).(2)[尝试应用]证明:如图2,过点D 作DK ⊥DC 交FB 的延长线于点K.∵DK ⊥CD ,BF ⊥AB ,∴∠BDK =∠ABK =90°,∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴∠ABC =∠ACB =45°,∴∠DBK =∠K =45°,∴DK =DB ,∵△ABD ≌△ACE ,∴∠ABD =∠ACE =135°,DB =EC =DK ,∴∠ECG =45°,∵BF ⊥AB ,CA ⊥AB ,∴AG ∥BF ,∴∠G =∠DFK.在△ECG 和△DKF 中{∠ECG =∠K ,∠G =∠DFK ,CE =KD ,∴△ECG ≌△DKF (AAS ),∴DF =EG ,∵DE =√2AE ,∴DF +EF =√2AE ,∴EG +EF =√2AE ,即FG =√2AE.(3)[拓展创新]32.提示:如图3中,过点A 作AE ⊥AD 交BD 于点E ,连接CE ,∵∠ADB =45°,∠DAE =90°,∴△ADE 与△ABC 都是等腰直角三角形,∠DEA =45°,同法可证△ABD ≌△ACE ,∴CE =BD =√3,∵∠AEC =∠ADB =45°,∴∠CED =∠AEC +∠DEA =90°,∴S △BDC =12·BD ·CE =12×√3×√3=32.思路分析本题考查旋转变换,三角形全等的性质与判定及等腰直角三角形的性质.(1)根据条件,用“边角边”判定全等.(2)以DB 为边,点D 为直角顶点作辅助线构造等腰直角三角形,证明全等,将FG 的长转化为DE ,而DE =√2AE ,求得结论.(3)作辅助线构造“手拉手模型”的全等三角形,证出CE 即为△DBC 的边BD 上的高,即可求出面积.。

河南省实验中学数学三角形填空选择检测题(Word版含答案)

河南省实验中学数学三角形填空选择检测题（Word 版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，若60,84,A BEH HFG n ︒︒︒∠=∠=∠=，则n =__________.【答案】78.【解析】【分析】利用ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D=12∠A=30︒，利用外角定理得到∠DEH=96︒，由EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48︒，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78︒.【详解】∵ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180︒，∠A+∠ABC+∠ACB=180︒， ∴∠D=12∠A=30︒， ∵84BEH ︒∠=,∴∠DEH=96︒,∵EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，∴∠DEG=∠HEG=48︒，∠DFG=∠HFG n ︒=,∵∠DFG=∠D+∠DEG=78︒，∴n=78.故答案为：78.【点睛】此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D=12∠A=30︒是解题的关键.2．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为_____．【答案】30°【解析】【分析】延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=53°，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，∵BD是∠ABC的平分线在△BDE与△BDF中，ABD CBDBD BDAED DFC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，又∵∠BAD+∠CAD＝180°∠BAD+∠EAD＝180°∴∠CAD＝∠EAD，∴AD为∠EAC的平分线，过D点作DG⊥AC于G点，在Rt△ADE与Rt△ADG中，AD ADDE DG=⎧⎨=⎩，∴△ADE≌△ADG（HL），∴DE＝DG，∴DG＝DF．在Rt△CDG与Rt△CDF中，CD CD DG DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL），∴CD为∠ACF的平分线，∠ACB＝74°，∴∠DCA＝53°，∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠DCA﹣∠ACB＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°．故答案为：30°【点睛】本题考查了多边形的外角和内角，能熟记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．3．如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的两条直角边XY、XZ改变位置，但始终满足经过B、C两点．如果△ABC中，∠A＝52°，则∠ABX＋∠ACX=_________________．【答案】38°【解析】∠A＝52°，∴∠ABC+∠ACB=128°，∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX＋∠ACX=128°-90°=38°.4．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________．【答案】6【解析】∵多边形内角和与外角和共1080°，∴多边形内角和=1080°−360°=720°，设多边形的边数是n ，∴(n−2)×180°=720°，解得n=6.故答案为6.点睛：先根据多边形的外角和为360°求出其内角和，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．5．如图，在△ABC 中，∠C=46°，将△ABC 沿着直线l 折叠，点C 落在点D 的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．【答案】92°．【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C ，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C ，∠3=∠2+∠C'，则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°，则∠1﹣∠2=92°．故答案为：92°．【点睛】考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.6．已知ABC 中，90A ∠=，角平分线BE 、CF 交于点O ，则BOC ∠= ______ ．【答案】135【解析】解：∵∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∵角平分线BE 、CF 交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =45°，∴∠BOC =180°﹣45°=135°．故答案为：135°．点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．7．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．【答案】12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．8．如图，∠A=50°，∠ABO=28°，∠ACO=32°，则∠BOC=______°.【答案】110【解析】已知∠A=50°，∠ABO=28°，∠ACO=32°，根据三角形外角的性质可得∠BDC=∠A+∠ABO=78°，∠BOC=∠BDC+∠ACO=110°．9．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B 的大小是_____．【答案】40°【解析】【分析】根据外角的概念求出∠ADC的度数，再根据垂直的定义、四边形的内角和等于360°进行求解即可得.【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为_____．【答案】10°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据翻折变换的性质可得∠CA′D=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°，∵折叠后点A落在边CB上A′处，∴∠CA′D＝∠A＝50°，由三角形的外角性质得，∠A′DB＝∠CA′D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°．故答案为：10°．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．二、八年级数学三角形选择题（难）11．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠F的度数为（）A．120°B．135°C．150°D．不能确定【答案】B【分析】先根据∠1+∠2=90°得出∠EAM+∠EDN的度数，再由角平分线的定义得出∠EAF+∠EDF的度数，根据AE⊥DE可得出∠3+∠4的度数，进而可得出∠FAD+∠FDA的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°．故选B．【点睛】本题查的是三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．12．如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C两点的距离d的长度为（）A．4cm B．2cm C．4cm或2cm D．小于或等于4cm，且大于或等于2cm【答案】D【解析】试题分析：①当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论；②当A，B，C三点不在一条直线上时，根据三角形三边关系讨论.解：当点A、B、C在同一条直线上时，①点B在A、C之间时：AC=AB+BC=3+1=4；②点C 在A、B之间时：AC=AB-BC=3-1=2，当点A、B、C不在同一条直线上时，A、B、C三点组成三角形，根据三角形的三边关系AB-BC＜AC＜AB+BC，即2＜AC＜4，综上所述，选D.故选D.点睛：本题主要考查点与线段的位置关系..利用分类思想得出所有情况的图形是解题的关键，13．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是四边形ABCD内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为7、9、10，则四边形DHOG的面积为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】分析：连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，S△OAE=S△OBE，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG．详解：连接OC，OB，OA，OD，∵E、F、G、H依次是各边中点，∴△AOE和△BOE等底等高，∴S△OAE=S△OBE，同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，∵S四边形AEOH=7，S四边形BFOE=9，S四边形CGOF=10，∴7+10=9+S四边形DHOG，解得，S四边形DHOG=8．故选B.点睛：本题考查了三角形的面积．解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论．14．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】B【解析】如图，满足条件的点C共有4个．故选B．15．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】试题解析：设这个多边形的边数为n，由题意可得：（n-2）×180°=1260°，解得n=9，∴这个多边形的边数为9，故选D．16．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】C【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°=3×360°，解得n=8，∴这个多边形为八边形．故选C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．17．如果一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是（）A．八边形B．十四边形C．十边形D．十二边形【答案】D【解析】【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【详解】这个正多边形的边数是n，根据题意得：（n﹣2）•180°=1800°解得：n=12．故选D．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到∠D=12∠A．解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC，又∠D=∠1﹣∠2，∠A=∠ACE﹣∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．19．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D【解析】【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．故选D．20．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．。

2024年河南中考数学专题复习：+一般三角形及其性质+课件

例1题图④
(5)如图⑤，已知DE是线段AC的垂直平分线，BC＝9，则△ABD的周长为 ____1_7___；【解题依据】此问用到的垂直平分线的性质是： _________________________________________. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
例1题图⑤
重难考法突破
知
三角
识特关殊联线段/
性质
示意图
数学表示
拓展延伸
形三中角形内直角线平分线(文的字交语点言，) 就(是图三形语角言形)内接圆(符的号圆语言心)，三角形三边垂直
的平特分线的交点，就是三角形外接圆的圆心，∵复DE习是时△A可B联C 系(1三)外角心形：三的角内形接的
殊圆线与外接圆垂．直 DE是△ABC
中BC边上的垂三条边的垂直平分
一、回归教材：证明三角形内角和是180°
例2
一题多解法如图，在△ABC中，请利用尺规作图添加辅助
线证明：∠A＋∠B＋∠C＝180°.(只保留作图痕迹，不写作法)
【解法提示】根据尺规作图可知，CD∥AB， ∴∠A＝∠ACD，∠DCE＝∠B， ∵∠ACB＋∠ACD＋∠DCE＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°；
2
第三边的一半 ________________)∴△CDE∽△CBA，∴S△CDE＝ S△ABC＝3.
1 4
例1题图③
(4)如图④，已知AD平分∠BAC，DE⊥AC.若DE＝2，则△ABD的面积为 ____8____；【解题依据】此问用到的角平分线的性质是： ____________________________________．角平分线上的点到角两边的距离相等
，
CD
三角形三条中
∴BD＝12 _________＝线的交点为三

河南省中考数学总复习第四章三角形真题帮

第一节角、订交线与平行线1.[2014河南,3]波及考点:角均分线、直角如图 , 直线 AB,CD 订交于点O,射线 OM均分∠ AOC,ON⊥OM若.∠ AOM=35°, 则∠ CON的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°(第 1 题)(第 2题)2.[2018河南,12]波及考点:直角、补角如图 , 直线 AB,CD订交于点O,EO⊥AB 于点 O,∠EOD=50°, 则∠ BOC 的度数为.3.[2010河南,10]波及考点:三角形内角和定理的推论将一副直角三角板如图搁置, 使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合 , 则∠1的度数为.4.[2015河南,4]波及考点:平行线的性质、补角如图 , 直线 a,b 被直线 c,d 所截 , 若∠ 1=∠2, ∠3=125°, 则∠4 的度数为 ()A.55°B.60°C.70°D.75°5.[2011 河南 ,2] 波及考点 : 平行线的性质、补角如图 , 直线 a,b 被直线 c 所截 ,a ∥b, 若∠ 1=35°, 则∠2的大小为()A.35°B.145°C.55°D.125°(第5题)(第 6题)6.[2013河南,10]波及考点:平行线的性质将一副直角三角板ABC和 EDF 如图搁置 ( 此中∠ A=60°, ∠F=45°), 使点 E 落在 AC 边上 , 且ED∥BC,则∠ CEF 的度数为.第二节三角形及其性质1.[2016河南,6]波及考点:垂直均分线、勾股定理、中位线如图 , 在△ ABC中, ∠ACB=90°,AC=8,AB=10.DE 垂直均分 AC交 AB于点 E, 则 DE的长为 () A.6 B.5 C.4 D.3(第1题)(第2题)2.[2011河南,8]波及考点:等腰三角形的性质、角均分线如图 , 在△ ABC中 ,AB=AC,CD均分∠ ACB,∠A=36°, 则∠ BDC 的度数为.3.[2017河南,15]波及考点:折叠、勾股定理如图 , 在 Rt△ABC中, ∠A=90°,AB=AC,BC= +1, 点 M,N分别是边BC,AB上的动点 , 沿 MN所在的直线折叠∠ B, 使点 B 的对应点B' 一直落在边 AC 上. 若△ MB'C 为直角三角形, 则 BM的长．．为.4.[2012河南,15]波及考点:折叠、三角函数如图 , 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠B=30°,BC=3. 点 D是 BC边上一动点( 不与点 B,C 重合 ),过点 D作 DE⊥BC交 AB边于点 E, 将∠B沿直线 DE翻折 , 点 B落在射线 BC上的点 F 处 . 当△ AEF 为直角三角形时,BD 的长为.5.[2010河南,15]波及考点:切线、三角函数如图 ,Rt △ABC 中, ∠C=90°, ∠ABC=30°,AB=6, 点D 在 AB 边上 , 点 E 是 BC边上一点 ( 不与点B,C 重合 ), 且 DA=DE,则 AD的取值范围是.第三节全等三角形1.[2009河南,17]波及考点:全等三角形的判断与性质、垂直均分线以下图 , ∠BAC=∠ABD,A C=BD,点 O是 AD,BC的交点 , 点 E 是 AB的中点 . 试判断 OE和 AB的地点关系 , 并给出证明 .2.[2010河南,17]波及考点:等腰三角形、轴对称、全等三角形的判断如图 , 四边形 ABCD是平行四边形 , △AB'C 和△ ABC对于 AC所在的直线对称,AD 和 B'C 订交于点 O,连结 BB'.(1)请直接写出图中全部的等腰三角形( 不增添字母 );(2)求证 : △AB'O≌△ CDO.3.[2017河南,22]波及考点:等腰直角三角形、旋转、全等三角形的判断与性质如图 (1),在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E 分别在边 AB,AC上,AD=AE,连结 DC,点 M,P,N 分别为 DE,DC,BC的中点 .(1)察看猜想图(1) 中 , 线段 PM与 PN的数目关系是, 地点关系是.(2)研究证明把△ ADE绕点 A 逆时针旋转到图(2) 的地点 , 连结 MN,BD,CE,判断△ PMN的形状 , 并说明原因 . (3)拓展延长把△ ADE绕点 A 在平面内自由旋转, 若 AD=4,AB=10,请直接写出△ PMN面积的最大值.图 (1)图(2)4.[2016河南,22]波及考点:线段和差、等边三角形、全等三角形的判断与性质(1)发现图 (1)如图 (1),点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空 : 当点 A 位于时,线段AC的长获得最大值, 且最大值为( 用含 a,b 的式子表示 ).(2) 应用点 A 为线段 BC外一动点 , 且 BC=3,AB=1. 如图 (2) 所示 , 分别以 AB,AC为边 , 作等边三角形ABD 和图 (2)等边三角形ACE,连结 CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段 , 并说明原因 ;②直接写出线段BE长的最大值 .(3) 拓展如图 (3),在平面直角坐标系中, 点 A 的坐标为 (2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点 , 且 PA=2,PM=PB,∠BPM=90°. 请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标 .图 (3)备用图5.[2014河南,22]波及考点:等边三角形、等腰直角三角形、全等三角形的判断与性质、圆(1) 问题发现如图 (1), △ACB 和△ DCE均为等边三角形 , 点 A,D,E 在同向来线上 , 连结 BE.填空 :①∠ AEB 的度数为;②线段 AD,BE之间的数目关系为.(2) 拓展研究如图 (2), △ACB和△ DCE均为等腰直角三角形 , ∠ACB=∠DCE=90°, 点 A,D,E 在同向来线上 ,CM 为△ DCE中 DE边上的高 , 连结 BE. 请判断∠ AEB 的度数及线段 CM,AE,BE之间的数目关系 , 并说明原因 .(3)解决问题如图 (3),在正方形ABCD中,CD=. 若点 P 知足 PD=1,且∠ BPD=90°, 请直接写出点A到BP的．．．．距离 .图(1)图(2)图(3)第四节相像三角形1.[2010河南,4]波及考点:中位线、平行线分线段成比率如图,△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,则下列结论: ①BC=2DE;②△ ADE∽△ ABC;③= . 此中正确的有()A.3 个B.2 个C.1 个D.0 个(第 1题) (第2题)2.[2015 河南 ,10] 波及考点 : 平行线分线段成比率、解方程如图 , △ABC中 , 点 D,E 分别在边 AB,BC 上,DE∥AC.若 BD=4,DA=2,BE=3,则 EC= . 3.[2012 河南 ,14] 波及考点 : 旋转、相像三角形的判断与性质、三角形面积如图 , 在 Rt△ABC中, ∠C=90°,AC=6,BC=8.把△ ABC 绕 AB边上的点 D顺时针旋转90°后获得△A'B'C',A'C'交AB于点 E. 若 AD=BE,则△ A'DE 的面积是.4.[2018河南,22]波及考点:全等三角形的判断与性质、相像三角形的判断与性质、勾股定理(1) 问题发现如图 (1), 在△ OAB和△ OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°, 连结AC,BD 交于点 M.填空 :①的值为;②∠ AMB的度数为.(2) 类比研究如图 (2), 在△O AB 和△ OCD中, ∠AOB=∠COD=90°, ∠OAB=∠OCD=30°, 连结AC,交 BD的延长线于点 M.请判断的值及∠ AMB的度数 , 并说明原因 .(3) 拓展延长在(2) 的条件下 , 将△ OCD绕点 O在平面内旋转 ,AC,BD 所在直线交于点M.若 OD=1,OB= , 请直接写出当点 C 与点 M重合时 AC的长 .图 (1)图(2)备用图5.[2015河南,22]波及考点:相像三角形的判断与性质、旋转、勾股定理如图 (1),在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E 分别是边 BC,AC的中点 , 连结 DE.将△ EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转, 记旋转角为α.(1)问题发现①当α=0°时 ,=;②当α=180°时 ,=.(2) 拓展研究试判断 : 当 0°≤α <360°时 ,的大小有无变化. 请仅就图 (2) 的情况给出证明.(3)问题解决当△ EDC旋转到 A,D,E 三点共线时 , 直接写出线段BD的长 .图 (1)图(2)备用图6.[2012 河南 ,22] 波及考点 : 相像三角形的判断与性质、平行四边形类比、转变、从特别到一般等思想方法, 在数学学习和研究中常常用到, 以下是一个事例 , 请增补完好 . 原题 : 如图 (1), 在 ?ABCD中 , 点 E 是 BC边的中点 , 点 F 是线段 AE上一点 ,BF 的延长线交射线 CD于点 G.若=3, 求的值 .(1) 试尝试究在图 (1) 中 , 过点 E 作 EH∥AB 交 BG于点 H, 则 AB和 EH的数目关系是,CG 和 EH的数量关系是, 的值是.(2) 类比延长如图 (2), 在原题的条件下 , 若=m(m>0), 则的值是( 用含 m的代数式表示 ), 试写出解答过程 .(3) 拓展迁徙如图 (3), 梯形 ABCD中,DC∥AB,点 E 是 BC 的延长线上一点,AE 和 BD 订交于点 F. 若=a, =b(a>0,b>0), 则的值是( 用含 a,b 的代数式表示 ).图 (1)图 (2)图 (3)第五节锐角三角函数及其应用种类一背对背型1.[2016 河南 ,19] 如图 , 小东在教课楼距地面 9 米高的窗口 C处 , 测得正前面旗杆顶部 A点的仰角为 37°, 旗杆底部 B点的俯角为 45°. 升旗时 , 国旗上端悬挂在距地面2.25 米处 . 若国旗随国歌声徐徐升起, 并在国歌播放45 秒结束时抵达旗杆顶端 , 则国旗应以多少米 / 秒的速度匀速上涨 ?( 参照数据 :sin 37 °≈ 0.60,cos 37 °≈ 0.80,tan 37 °≈ 0.75)种类二母子型2.[2017河南,19]以下图,我国两艘海监船A,B 在南海海疆巡航, 某一时辰 , 两船同时收到指令 , 立刻前去营救遇险抛锚的渔船 C.此时 ,B 船在 A 船的正南方向 5 n mile处,A船测得渔船 C 在其南偏东45°方向 ,B 船测得渔船 C 在其南偏东53°方向 . 已知 A 船的航速为30 n mile/h,B 船的航速为25 n mile/h,问C船起码要等候多长时间才能获得营救.( 参照数据 :sin53°≈,cos 53 °≈,tan 53 °≈,≈1.41)3.[2015河南,20]以下图,某数学活动小组选定丈量小河对岸大树BC 的高度 , 他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是30°, 朝大树方向下坡走 6 米抵达坡底 A 处, 在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是48°. 若坡角∠ FAE=30°, 求大树的高度.( 结果保存整数. 参照数据 :sin48°≈ 0.74,cos 48 °≈ 0.67,tan 48°≈ 1.11,≈1.73)4.[2014河南,19]如图,在中俄“海上结合—2014”反潜演习中, 我军舰 A 测得潜艇 C的俯角为 30°, 位于军舰 A 正上方 1 000 米的反潜直升机 B 测得潜艇 C 的俯角为68°. 试依据以上数据求出潜艇 C 走开海平面的下潜深度.( 结果保存整数. 参照数据 :sin 68°≈ 0.9,cos68°≈ 0.4,tan 68°≈ 2.5,≈1.7)5.[2013河南,19]我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库, 依据工程计划, 需对原水库大坝进行混凝土培厚加高, 使坝高由本来的162 米增添到176.6 米, 以抬高蓄水位. 如图是某一段坝体加高工程的截面表示图, 此中原坝体的高为BE, 背水坡坡角∠ BAE=68°, 新坝体的高为DE,背水坡坡角∠ DCE=60°. 求工程竣工后背水坡底端水平方向增添的宽度AC(结果精确到 0.1 米. 参照数据 :sin 68°≈ 0.93,cos 68°≈ 0.37,tan 68°≈ 2.48,≈1.73).6.[2012 河南 ,20] 某旅馆为庆贺开业 , 在楼前悬挂了很多宣传条幅 . 以下图 , 一条幅从楼顶 A 处放下 ,在楼前点 C 处拉直固定 . 小明为了丈量此条幅的长度 , 他先在楼前 D 处测得楼顶 A 点的仰角为 31°,再沿 DB方向行进 16 米抵达 E 处 , 测得点 A 的仰角为 45°. 已知点 C 到大厦的距离BC=7 米, ∠ABD=90°. 请依据以上数据求条幅的长度( 结果保存整数. 参照数据 :tan31°≈ 0.60,sin 31°≈ 0.52,cos 31°≈ 0.86).7.[2011河南,19]以下图,中原福塔(河南广播电视塔) 是世界第一高钢塔. 小明所在的课外活动小组在距地面268 米高的室外参观层的点D处 , 测得地面上点 B 的俯角α为 45°, 点D 到 AO的距离 DG为 10 米 ; 从地面上的点 B 沿 BO方向走 50 米抵达点 C 处 , 测得塔尖 A 的仰角β为 60°. 请你依据以上数据计算塔高AO,并求出计算结果与实质塔高388 米之间的误差.( 参照数据 : ≈1.732,≈1.414,结果精准到0.1米)8.[2009河南,20]以下图,电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2.90 m 的顶灯 . 已知梯子由两个同样的矩形面构成, 每个矩形面的长都被六条踏板七均分, 使用时梯脚的固定跨度为 1 m, 矩形面与地面所成的角α 为78°.李师傅的身高为 1.78 m, 当他爬升到头顶距天花板 0.05~0.20 m时,安装起来比较方便. 他此刻竖直站立在梯子的第三级踏板上, 请你经过计算判断他安装能否比较方便?( 参照数据 :sin 78°≈ 0.98,cos 78°≈ 0.21,tan 78°≈ 4.70)种类三其余种类9.[2018河南,20]“高低杠”是女子体操独有的一个竞技项目, 其竞赛器械由高、低两根平行杠及若干支架构成, 如图 (1),运动员可依据自己的身高和习惯在规定范围内调理高、低两杠间的距离 . 某兴趣小组依据高低杠器械的一种截面图编制了以下数学识题, 请你解答 .如图 (2) 所示 , 底座上 A,B 两点间的距离为90 cm,低杠上点 C 到直线 AB的距离 CE的长为 155cm,高杠上点 D到直线 AB的距离 DF的长为 234 cm, 已知低杠的支架 AC与直线 AB的夹角∠ CAE 为 82.4 °, 高杠的支架 BD与直线 AB的夹角∠ DBF 为 80.3 °. 求高、低杠间的水平距离 CH的长.( 结果精确到 1 cm. 参考数据 :sin82.4 °≈ 0.991,cos82.4 °≈ 0.132,tan 82.4 °≈ 7.495,sin 80.3°≈ 0.986,cos 80.3°≈ 0.168,tan 80.3°≈ 5.850)图 (1)图(2)1.C第一节角、订交线与平行线OM∵射线平分∠A OC,∴∠ MOC=∠AOM=35°. ∵ON⊥OM,∴∠ MON=90°, ∴∠ CON=90°- 35°=55°.2.140 °∵EO⊥AB,∴∠ EOD+∠BOD=90°, ∴∠ BOD=90° - ∠EOD=40°, ∴∠ BOC=180° -∠BOD=140°. 3.75 ° ∠1=45°+30°=75°.4.A如图,∵∠ 1=∠2,∴a∥b,∴∠ 4=∠5=180°- ∠3=180° - 125°=55°.5.B依据两直线平行, 同位角相等 , 得∠2的补角为35°, 因此∠ 2=180° - 35°=145°.6.15 °在Rt△ABC中, ∠A=60°, ∴∠ ACB=30°.在Rt△DEF中, ∠F=45°, ∴∠ DEF=45°. ∵DE∥BC,∴∠ DEC=∠ACB=30°, ∴∠ CEF=∠DEF -∠DEC=45° -3 0°=15°.第二节三角形及其性质1.D依据题意可知,DE 是 AC的垂直均分线 , ∵∠ ACB=90°, ∴DE∥BC,∴DE是△ ABC的中位线. ∵BC==6, ∴DE= BC=3.应选 D.2.72 °因为AB=AC,所以∠B=∠ACB= (180 ° - ∠A)=72°.因为CD 平分∠ACB, 所以∠A CD=36°, 因此∠ BDC=∠A+∠ACD=72°.3.或1∵∠ A=90°,AB=AC,∴∠ B=∠C=45°.由折叠的性质可得, ∠BMN=∠B'MN,∠BNM=∠B'NM,BM=B'M.分两种情况:(1)当∠B'MC=90°时, ∠BMN+∠B'MN=90°, ∴∠ BMN=45°. ∵∠ B=45°, ∴∠ BNM=90°, ∴∠ B'NM=90°, ∴B,N,B ' 三点共线.∵点B'在边AC上,∴点B'与点 A 重合,此时点N 是AB 的中点. ∵∠ BAC=90°, ∴∠ BNM=∠BAC,∴NM∥AC,∴NM是△ ABC的中位线,∴BM= BC=.(2)当∠ CB'M=90°时 , ∵∠ C=45°, ∴∠ B'MC=45°, ∴B'M=B'C. 设 BM=x,则 B'M=B'C=x,CM= +1-x.在等腰直角三角形 MB'C 中 ,CM= B'M, 即 +1-x= x, 解得 x=1, ∴BM=1.综上所述 ,BM 的长为或 1.4.1或2AC=BC·tan30°=.分三种情况. ①当∠AFE=90°时, ∠AFC=180° - ∠AFE- ∠EFD=180° - ∠AFE- ∠B=60°, ∴∠ FAC=30°, ∴FC=AC·tan30°=1, ∴BD=DF= BF= (BC- FC)=1. ②当∠EAF=90°时 , 点 F 在点 C 的右侧, ∠AFC=90° - ∠B=60°, ∴CF= =1, ∴BD=DF= BF= (BC+FC)=2. ③∵∠ AEF=180° - ∠DEF- ∠BED=180° - 2∠BED=60°, ∴∠ AEF 不行能为直角 . 故答案为 1或 2.5.2 ≤AD<3以点D为圆心,AD的长为半径画圆.①如图(1),当☉D与BC相切,即DE⊥BC时,AD获得最小值 . ∵∠ ABC=30°, ∴DE= BD.∵AB=6,AD=DE,∴AD=2;②如图(2),当☉D 与BC订交,且交点为B,C 时 ,AD 获得最大值 , 为 AB=3.故 AD的取值范围为2≤AD<3.图(1)图(2)第三节全等三角形1.OE⊥AB.证明 : ∵在△ BAC 和△ ABD 中 ,∴△ BAC≌△ ABD,∴∠ OBA=∠OAB,∴O B=OA.又∵ AE=BE,∴OE⊥AB.2.(1) △ABB', △AOC 和△ BB'C.(2) 证明 : 在?ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠D,由轴对称知 ,AB'=AB, ∠ABC=∠AB'C,∴A B'=CD,∠AB'O=∠D.在△ AB'O 和△ CDO中,∴△ AB'O≌△ CDO.3.(1)PM=PN PM⊥PN(2)等腰直角三角形 .原因以下 :由旋转可得 , ∠BAD=∠CAE.又 AB=AC,AD=AE,∴△ BAD≌△ CAE,∴B D=CE,∠ABD=∠ACE.∵点 P,M 分别是 DC,DE的中点 ,∴PM是△ DCE的中位线 ,∴PM= CE且 PM∥CE.同理可证PN= BD且 PN∥BD,∴P M=PN,∠MPD=∠ECD,∠PNC=∠DBC,∴∠ MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD,∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN,∴∠ MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°,即△ PMN为等腰直角三角形 .(3).4.(1)CB的延长线上a+b(2) ①DC=BE.原因以下 :∵△ ABD和△ ACE都为等边三角形,∴A D=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠ BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠ CAD=∠EAB,∴△ CAD≌△ EAB,∴DC=BE.②BE 长的最大值是 4.(3) 线段 AM的最大值为3+2 , 此时点 P 的坐标为 (2- ,).5.(1) ①60°②AD=BE(2) ∠AEB=90°,AE=2CM+BE.原因 : ∵△ ACB 和△ DCE均为等腰直角三角形 , ∠ACB=∠DCE=90°,∴A C=BC,CD=CE,∠ACB- ∠DCB=∠DCE- ∠DCB,即∠ ACD=∠BCE,∴△ ACD≌△ BCE,∴A D=BE,∠BEC=∠ADC.∵∠ ADC=∠DCE+∠CED,∴∠ AEB=∠BEC-∠CED=∠ADC- ∠CED=∠DCE=90°.在等腰直角三角形DCE中 ,CM为斜边 DE上的高 ,∴CM=DM=ME,∴D E=2CM,∴A E=DE+AD=2CM+BE.(3)或.第四节相像三角形1.A由题意得,DE是△ ABC的中位线,∴DE= BC,DE∥BC,∴BC=2DE,△ADE∽△ ABC,∴=, 即= . 故正确的结论有 3 个, 选 A.2. ∵DE∥AC,∴= , 即= , ∴EC= .3.6 由旋转可知∠A'DA=90°, ∴∠ A'DE=90°, ∴∠ A'DE=∠A'C'B ', 又∵∠ DA'E=∠C'A'B', ∴△ A'DE∽△ A'C'B', ∴= , 设AD=A'D=x,∵A'C'=AC=6,B'C'=BC=8, ∴DE= x, 又∵ AB= = =10, ∴x+ x+x=10, 解得 x=3, ∴DE= x=4, ∴S△A'DE = A'D·DE= ×3×4=6.4.(1) ①1②40°(2)= , ∠AMB=90°.原因以下 :∵∠ AOB=∠COD=90°, ∠OAB=∠OCD=30°,∴= = , ∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠ AOC=∠BOD,∴= = , ∠CAO=∠DBO.设 AO,BM交于点 N,∵∠ ANM=∠BNO,∴∠ AMB=∠AOB=90°.(3)AC 的长为 2或3.5.(1) ①②(2)无变化 .证明:在题图 (1) 中,∵DE是△ ABC的中位线 ,∴DE∥AB,∴= , ∠EDC=∠B=90°.如题图 (2), ∵△ EDC 在旋转过程中形状、大小不变, ∴= 仍旧建立 ,即 = ,又∵∠ ACE=∠BCD=α,∴△ ACE∽△ BCD,∴= .在 Rt△ABC中 ,AC===4,∴= = ,∴= ,∴的大小无变化 .(3)4 或.6.(1)AB=3EH CG=2EH(2)作 EH∥AB 交 BG于点 H, 则△ EFH∽△ AFB,∴= =m,∴AB=mEH.∵A B=CD,∴CD=mEH.∵EH∥AB∥CD,∴△ BEH∽△ BCG,∴= =2, ∴CG=2EH,∴== .(3)ab( 提示 : 过 E 作 EH∥AB 交 BD的延长线于点H)第五节锐角三角函数及其应用1. 过点 C 作 CD⊥AB,垂足为点D,则 DB=9米 .在 Rt△CBD中, ∠BCD=45°,∴CD==9( 米 ).在 Rt△ACD中, ∠ACD=37°,∴AD=CD·tan 37 °≈ 9×0.75=6.75( 米),∴A B=AD+BD=6.75+9=15.75(米).(15.75- 2.25) ÷45=0.3( 米 / 秒),故国旗应以约0.3 米/ 秒的速度匀速上涨.2. 过点 C 作 CD⊥AB,交 AB的延长线于点D, 则∠ CDA=90°.已知∠ CAD=45°, 设C D=x n mile,则AD=CD=x n mile,∴BD=AD-AB=(x-5)n mile.在 Rt△BDC中,CD=BD·tan 53 °, 即x=(x- 5) ·tan 53 °,∴x=≈=20,∴BC==≈=25(n mile),∴B船抵达 C 船处约需25÷25=1(h).在 Rt△ADC中 ,AC= x≈1.41 ×20=28.2(n mile),∴A船抵达 C 船处约需28.2 ÷30=0.94(h).∵0.94<1,∴C船起码要等候约0.94 h才能获得营救.3. 延长 BD交 AE于点 G,过点 D作 DH⊥AE 于点 H.由题意知∠ BGA=∠DAE=30°,DA=6,∴G D=DA=6,∴GH=AH=DA·cos 30 °=6×=3,∴G A=6 .设 BC的长为 x 米 .在 Rt△GBC中 ,GC=== x.在 Rt△ABC中 ,AC==.∵GC-AC=GA,∴ x- =6 ,∴x≈13,即大树的高度约为13 米.4.过点 C 作 CD⊥AB,交 BA的延长线于点 D, 则 AD即为潜艇 C 的下潜深度 . 依据题意得∠ ACD=30°, ∠BCD=68°.设 AD=x, 则 BD=BA+AD=1 000+x.在 Rt△ACD中 ,CD=== x,在 Rt△BCD中,BD=CD·tan 68 °,∴1 000+x= x·tan 68 °,∴x= ≈≈308,∴潜艇 C 走开海平面的下潜深度约为308 米.5. 在 Rt△BAE中, ∠BAE=68°,BE=162 米,∴AE= ≈≈65.32( 米 ).在 Rt△DCE中, ∠DCE=60°,DE=176.6 米,∴CE=≈≈102.08(米),∴AC=CE-AE=102.08- 65.32=36.76 ≈36.8( 米 ).即工程竣工后背水坡底端水平方向增添的宽度AC约为 36.8 米 .6. 设 AB=x米 .∵∠ AEB=45°, ∠ABE=90°,∴B E=AB=x米 .在 Rt△ABD中,tan ∠D= , 即 tan 31 °=,∴x=≈=24, 即 AB≈ 24 米 .在 Rt△ABC中 ,AC===25( 米 ),即条幅的长度约为25 米.7.∵DE∥BO,α=45°,∴∠ DBF=α=45°,∴在 Rt△DBF中 ,BF=DF=268.∵B C=50,∴C F=BF-BC=268-50=218.由题意知 , 四边形 DFOG是矩形 ,∴F O=DG=10,∴C O=CF+FO=218+10=228.在 Rt△ACO中, β=60°,∴AO=CO·tan 60 °≈ 228×1.732 ≈394.9.394.9-388=6.9,即塔高 AO约为 394.9 米 , 计算结果与实质塔高 388 米之间的偏差为 6.9 米.8. 如图 , 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,过点 D作 DF⊥BC于点 F.∵A B=AC,∴CE= BC=0.5.在 Rt△AEC中 ,∵tan 78 °=,∴A E=EC·tan 78 °≈ 0.5 ×4.70=2.35.又∵ sinα==,∴D F= ·AE= ·AE≈1.007,∴李师傅站在第三级踏板上时 , 头顶距地面的距离约为 1.007+1.78=2.787, ∴头顶与天花板的距离约为 2.90- 2.787 ≈0.11.∵0.05<0.11<0.20,∴此时他安装比较方便.9. 在 Rt△CAE中 ,AE==≈≈20.7(cm).在 Rt△DBF中 ,BF==≈=40(cm).故 EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150≈.7151(cm).易知四边形CEFH为矩形 ,∴C H=EF=151 cm,即高、低杠间的水平距离CH的长约是 151 cm.。

河南省实验中学数学三角形解答题(篇)(Word版含解析)

河南省实验中学数学三角形解答题（篇）（Word 版含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分EPK ∠，求HPQ ∠的度数.【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=.【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明；（2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-12∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.【详解】(1)//AB CD ，理由如下：如图1，图1∵1∠与2∠互补，∴12180∠+∠=︒，又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠，∴180AEF CFE ∠+∠=︒，∴//AB CD ；(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，图2∴180BEF EFD ∠+∠=︒．又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，∴1(2)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥．∵GH EG ⊥，∴//PF GH ；(3)如图3，∵PHK HPK ∠=∠，2PKG HPK ∴∠=∠.又∵GH EG ⊥，∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠．∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠．∵PQ 平分EPK ∠，∴1452QPK EPK HPK ∠=∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.2．阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究一：如图1．在△ABC 中，已知O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现1902BOC A ︒∠=+∠．理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，∴112ABC ∠=∠，122ACB ∠=∠； ∴()0011112()18090222ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=-∠=-∠， ∴11180(12)180909022BOC A A ︒︒︒︒⎛⎫∠=-∠+∠=--∠=+∠ ⎪⎝⎭（1）探究二：如图2中，已知O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？并说明理由．（2）探究二：如图3中，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？【答案】（1）12BOC A ∠=∠，理由见解析；（2）1902BOC A ︒∠=-∠．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OBC =12∠ABC ，∠OCD =12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠OCD =12∠ACD =12∠A +∠OBD ，∠BOC =∠OCD -∠OBC ，然后整理即可得解；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；（1）12BOC A ∠=∠，理由如下： ∵BO 和CO 分别是ABC ∠与ACD ∠的平分线， ∴12OBD ABC ∠=∠，12OCD ACD ∠=∠，又∵ACD ∠是ABC 的一个外角， ∴1122OCD ACD A OBD ∠=∠=∠+∠， ∵OCD ∠是BOC 的一个外角， ∴1122BOC OCD OBD A OBD OBD A ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠ 即12BOC A ∠=∠ （2）∵BO 与CO 分别是∠CBD 与∠BCE 的平分线，∴∠OBC =12∠CBD ，∠OCB =12∠BCE 又∵∠CBD 与∠BCE 都是△ABC 的外角，∴∠CBD =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，∴∠OBC =12∠CBD =12（∠A +∠ACB ），∠OCB =12∠BCE =12（∠A +∠ABC ）， ∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ） ∴1902BOC A ︒∠=-∠ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．3．（1）如图1，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；②设AED ∠的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）③∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．(2)如图2，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A 与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.【答案】（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②∠1=180°−2x,∠2=180°−2y；③∠A=12（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=12（∠2-∠1），见详解【解析】【分析】（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-12∠1，y=90-12∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=12（∠1+∠2）；（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②）∵∠AED=x，∠ADE=y，∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；③∠A=12（∠1+∠2）；∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，∴x=90-12∠1，y=90-12∠2，∴∠A=180°-x-y=190-（90-12∠1）-（90-12∠2）=12（∠1+∠2）．（2））∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，∴∠A′=∠A，又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，整理得，2∠A=∠2-∠1．∴∠A=12（∠2-∠1）．【点睛】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．如图①所示，在三角形纸片ABC 中，70C ∠=︒，65B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点A 落在ABC 内的点A '处.（1）若140∠=︒，2∠=________.（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，直接写出结论.②当点A 落在四边形BCDE 外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，A ∠，1∠，2∠之间又存在什么关系？请说明．（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的123456∠+∠+∠+∠+∠+∠和是________.【答案】(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.【解析】【分析】（1）根据题意，已知70C ∠=︒，65B ∠=︒，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ，由两个平角∠AEB 和∠ADC 得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；②利用两次外角定理得出结论；（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：（1）∵70C ∠=︒，65B ∠=︒，∴∠A ′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，∴∠A ′ED+∠A ′DE =180°-∠A ′=135°，∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A ′ED+∠A ′DE ）=360°-310°=50°；（2）①122A ∠+∠=∠,理由如下由折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ，∵∠AEB+∠ADC=360°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A ′DE-∠AED-∠A ′ED=360°-2∠ADE-2∠AED ，∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED ）=2∠A ；②221A ∠=∠+∠，理由如下：∵2∠是ADF 的一个外角∴2A AFD ∠=∠+∠.∵AFD ∠是A EF '△的一个外角∴1AFD A '∠=∠+∠又∵A A '∠=∠∴221A ∠=∠+∠（3）如图由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．【点睛】题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．5．如图，在△ABC 中，已知AD BC ⊥于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠（1）试探究EAD ∠与C B ∠∠、的关系；（2）若F 是AE 上一动点，当F 移动到AE 之间的位置时，FD BD ⊥,如图2所示，此时EFD C B ∠∠∠与、的关系如何？（3）若F 是AE 上一动点，当F 继续移动到AE 的延长线上时，如图3，FD BC ⊥，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.【答案】（1）∠EAD=12（∠C-∠B），理由见解析；（2）∠EFD=12（∠C-∠B），理由见解析；（3）∠AFD=12（∠C-∠B）成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）由图不难发现∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC；（2）作AG BC⊥于G转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决；（3）作AH BC于H转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决．【详解】解：（1）∠EAD=12（∠C-∠B）.理由如下：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）∴∠EAC=12[180°-（∠B+∠C）]∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，∵∠EAD=∠EAC-∠DAC∴∠EAD=12 [180°-（∠B+∠C ）]-（90°-∠C ）=12（∠C-∠B ）．（2）∠EFD=12（∠C-∠B ）.理由如下：作AG BC ⊥于G由（1）可知∠EAG=12（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AG BC ⊥∴FD ∥AG∴∠EAG=∠EFD ∴∠EFD=12（∠C-∠B ）（3）∠AFD=12（∠C-∠B ）．理由如下：作AH BC ⊥于H由（1）可知∠EAH=12（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AH BC ⊥∴FD ∥AH∴∠EAH=∠AFD ∴∠AFD=12（∠C-∠B ）【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的定义和三角形内角和定理是解答此题的关键．6．如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.(1)用“8字型”如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________；(2)造“8字型”如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________;(3)发现“8字型”如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线.①图中共有________个“8字型”；②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.【答案】(1)360°；(2)540；(3)①6；②x=5.【解析】分析：（1）根据题意即可得到结论；（3）①由图形即可得到结论；②根据三角形内角和为180°的性质即可证得关系为∠D+∠B=2∠F，再根据∠B、∠D、∠F的比值，即可求得x的值；详解：（1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK，∠C+∠D=∠GHK+∠HGK，∠E+∠F=∠HGK+∠GKH，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）=2×180°=360°，故答案为：360°；（2）如图，连结BC，∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC ，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五边形FABCD 的内角和，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）•180°=540°，故答案为：540°；（3）①图中共有6个“8字型”；故答案为：6．②：∵CF 平分∠BCD ，EF 平分∠BED∴∠DEG=∠AEG ，∠ACH=∠BCH ，∵在△DGE 和△FGC 中，∠DGE=∠FGC∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH∵在△BHC 和△FHE 中，∠BHC=∠FHE∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG∴∠D+∠B=2∠F ；∵∠B ：∠D ：∠F=4：6：x ，∠D+∠B=2∠F ，∴x=5．点睛：考查了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．如图1：ABC 中，AD 是高，AE 是BAC ∠的平分线，=40=70ABC ACB ，∠︒∠︒．（1）求EAD ∠的度数（2）当==ABC ACB αβ∠∠，，请用αβ，表示EAD ∠，并写出推导过程（3）当AE 是BAC ∠的外角FAC ∠的平分线，如图2则此时EAD ∠的度数是多少，用,αβ表示，直接写出结果．【答案】（1）15o ;(2) -2EAD βα∠=;(3) 902EAD αβ-∠=︒+【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，利用角平分线的定义得∠EAC=12∠BAC=35°，而∠DAC=90°-∠C=20°，通过∠EAD=∠EAC-∠DAC 即可得到结果．（2）猜想∠DAE=12（β-α），重复（1）的过程找出∠BAD 和∠BAE 的度数，二者做差即可得出结论；（3）作∠BAC 的内角平分线AE ′，根据角平分线的性质求出∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=12∠CAB+12∠CAF=90°，进而求出∠DAE 的度数. 【详解】解:（1）40,70,ABC ACB ∠=︒∠=︒180704070BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒,AE 是BAC ∠的平分线，1=352BAE CAE BAC ∴∠=∠=∠︒, 在ACD Rt 中，9020CAD C ∠=︒-∠=︒,15EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒.（2）,,ABC ACB αβ∠=∠=180BAC αβ∴∠=︒--,AE 是BAC ∠的平分线，1111=180--=90--2222BAE CAE BAC αβαβ∴∠=∠=∠︒︒（）, 在Rt △A CD 中，90CAD β∠=︒-，-=2EAD CAE CAD βα∴∠=∠-∠. （3）902EAD αβ-∠=︒+.如图，作∠CAB 的内角平分线AE′，则∠DAE′=-2βα．因为AE 是∠ACB 的外角平分线，所以∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=12∠CAB+12∠CAF=12（∠CAB+∠CAF ）=90°，所以∠DAE=90°-∠DAE′=90°--2βα=902αβ-︒+．即∠DAE 的度数为902αβ-︒+. 【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3）作辅助线是关键．8．如图 (1)所示，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，连接AD ，MD ，BC ，BD ， MC ，AC ，S △DMC ，S △DAC 和S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝2DAC DBC S S+.(1)如图 (2)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 不平行时，S △DMC =2DBC DAC S S +是否仍然成立?请说明理由； (2)如图 (3)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 相交于点O 时，S △DMC 与S △DAC ，S △DBC 有什么样的数量关系?试说明你的结论．【答案】(1) S △DMC =2DAC DBC S S +仍成立，理由见解析； (2)S △DMC =2DBC DAC S S -，理由见解析.【解析】【分析】（1）先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC ，DMC ，DBC 都是同底，而由于AB ∥DC ，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A ，M ，B 分别作BC 的垂线AE ，MN ，BF ，AE ∥MN ∥BF ，由于M 是AB 中点，因此MN 是梯形AEFB 的中位线，因此MN=12（AE+BF ），三个三角形同底因此结论①是成立的．（2）本题可以利用AM=MB ，让这两条边作底边来求解，三角形ADB 中，小三角形的AB 边上的高都相等，那么三角形ADM 和DBM 的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD ，OMD 的和就等于三角形BMD 的面积，同理三角形AOC 和OMC 的面积和等于三角形CMB 的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系．【详解】(1)当AB 与CD 不平行时，S △DMC =2DAC DBC S S+仍成立．分别过点A ，M ，B 作CD 的垂线AE ，MN ，BF ，垂足分别为E ，N ，F.∵M 为AB 的中点，∴MN ＝12(AE+BF)，∴S △DAC +S △DBC =12DC·AE+12DC·BF ＝12DC·(AE+BF)= 12DC·2MN=DC·MN=2S △DMC .∴S △DMC =2DAC DBC S S +； (2)S △DMC =2DBC DAC S S-.理由：∵M 是AB 的中点，∴S △ADM ＝S △BDM ，S △ACM =S △BCM ,而S △DBC =S △BDM +S △BCM +S △DMC ,① S △DAC =S △ADM +S △ACM -S △DMC ,②∴①-②得S △DBC -S △DAC =2S △DMC ,故S △DMC =2DBC DAC S S-.【点睛】本题考查了三角形中位线和梯形，解题的关键是掌握三角形中位线定理和梯形的概念.9．（1）如图①∠1＋∠2与∠B ＋∠C 有什么关系？为什么？（2）把图①△ABC 沿DE 折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B ＋∠C(填“＞”“＜”“=”)，当∠A ＝40°时，∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2＝______.（3）如图③,是由图①的△ABC 沿DE 折叠得到的,如果∠A ＝30°,则x ＋y ＝360°－（∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2）＝360°－＝ ,猜想∠BDA ＋∠CEA 与∠A 的关系为【答案】见解析.【解析】【分析】试题分析：（1）根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C ；（2）△ABC 沿DE 折叠，∠1+∠2=∠B+∠C ，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，（3）根据以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A ．试题解析：解：（1）∠1+∠2 = ∠B+∠C ，理由如下：在△ADE 中，∠1+∠2 = 180°- ∠A在△ABC 中，∠B+∠C = 180°- ∠A∴ ∠1+∠2 = ∠B+∠C（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=∠B+∠C ，当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，所以∠BDA+∠CEA 与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 三角形内角和．【详解】请在此输入详解！10．已知:如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:_____________________；(2)在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)；(3)如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可).【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）35°；（3）2∠P=∠B+∠D【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．（3）参照（2）的解题思路.【详解】解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P-∠D=∠B-∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）由（2）的解题步骤可知，∠P与∠D、∠B之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D．【点睛】考查三角形内角和定理, 角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.。

2024河南中考数学复习全等、相似三角形的常考模型强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习全等、相似三角形的常考模型强化精练1. (2023东营)如图，△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，∠ADE ＝60°.若BD ＝4DC ，DE ＝2.4，则AD 的长为( )A. 1.8B. 2.4C. 3D. 3.2第1题图2. (2023重庆A 卷)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，连接A D.过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F .若BE ＝4，CF ＝1，则EF 的长度为________．第2题图3. 如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，点M ，N 分别为AB ，AC 边上的点，且∠MDN ＝60°，连接MN ，则△AMN 的周长为________．第3题图4.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别为AB ，AD 上一点，且AF ＝14AD ，若∠CEF ＝90° 则AE 的长为________.第4题图5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为AC的中点，连接BD，CE⊥BD 交AB于点E，则CE的长为________．第5题图6. 如图，已知在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠CAB＝∠EAF，BE分别与AC，CF交于点D，O.(1)求证：BE＝CF；(2)当∠BAC＝70°时，求∠BOC的度数．第6题图参考答案与解析1. C 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，∴∠CAD ＋∠ADC ＝120°，∵∠ADE ＝60°，∴∠BDE ＋∠ADC ＝120°，∴∠CAD ＝∠BDE ，∴△ADC ∽△DEB ，∴AD DE ＝AC DB ，∵BD ＝4DC ，∴设DC ＝x ，则BD ＝4x ，∴BC ＝AC ＝5x ，∴AD2.4 ＝5x 4x ，∴AD ＝3.2. 3 【解析】∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠AFC ＝90°，∴∠BAE ＋∠ABE ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＋∠F AC ＝90°，∴∠F AC ＝∠ABE ，在△ABE 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEA ＝∠AFC ∠ABE ＝∠CAF AB ＝CA，∴△ABE ≌△CAF (AAS)，∴BE ＝AF ＝4，AE ＝CF ＝1，∴EF ＝AF －AE ＝4－1＝3.3. 2 【解析】如解图，以点D 为旋转中心，将△DMB 顺时针旋转120°，得到△DEC ，∵△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且∠BDC ＝120°，∴∠ACD ＝∠MBD ＝∠MBC ＋∠DBC ＝60°＋30°＝90°，∠DCE ＝∠MBD ＝90°，∴E ，C ，N 三点在同一条直线上，又∵△CDE ≌△BDM ，∴∠CDE ＝∠BDM ，DE ＝DM ，∠NDE ＝∠NDC ＋∠CDE ＝∠NDC ＋∠BDM ＝∠BDC －∠MDN ＝120°－60°＝60°，在△DMN 和△DEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧DM ＝DE ∠MDN ＝∠EDN DN ＝DN，∴△DMN ≌△DEN (SAS)，∴MN ＝EN ＝CE ＋CN ＝BM ＋CN ，∴△AMN 的周长为AM ＋AN ＋MN ＝AM ＋AN ＋BM ＋CN ＝AB ＋AC ＝1＋1＝2.第3题解图4. 2 【解析】∵AF ＝14AD ，∴AF ＝1，∵∠CEF ＝90°，∴∠AEF ＋∠CEB ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝90°，∵∠CEB ＋∠ECB ＝90°，∴∠FEA ＝∠ECB .∴△AEF ∽△BCE ，∴AE BC ＝AF BE ，∴AE 4 ＝1BE，∴AE ·BE ＝4，∵AE ＋BE ＝4，∴AE ＝4－BE ，∴(4－BE )·BE ＝4，解得BE ＝2，∴AE ＝2.5. 121317【解析】如解图，过点A ，B 分别作AC ，BC 的垂线，两垂线相交于点G ，延长CE 交AG 于点H ，∵△ACB 是直角三角形，∴四边形ACBG 为矩形，∵D 为AC 的中点，AC ＝4，∴CD ＝AD ＝2，∵BC ＝3，∴BD ＝CD 2＋BC 2 ＝22＋32 ＝13 ，∵CE ⊥BD ，∴∠CDB ＋∠DCH ＝90°，∠CDB ＋∠DBC ＝90°，∴∠DCH ＝∠DBC ，∴△AHC ∽△CDB ，∴CH BD ＝AC CB ＝AH CD ，即CH 13 ＝43＝AH 2 ，∴CH ＝4133 ，AH ＝83 ；在矩形ACBG 中，AH ∥CB ，∴△AEH ∽△BEC ，∴AH BC ＝HE CE ＝CH －CE CE ，即833 ＝4133－CE CE ，解得CE ＝121317.第5题解图6. (1)证明：∵∠CAB ＝∠EAF ，∴∠CAB ＋∠CAE ＝∠EAF ＋∠CAE ，∴∠BAE ＝∠CAF ，在△BAE 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAE ＝∠CAF AE ＝AF， ∴△BAE ≌△CAF (SAS)，∴BE ＝CF ；(2)解：由(1)得△BAE ≌△CAF ，∴∠ABE ＝∠ACF ，又∵∠CDO ＝∠BDA ，∴△COD ∽△BAD ，∴∠BOC ＝∠BAC ＝70°.。

2024河南中考数学真题分类卷第十四讲全等三角形 (含答案)

2024河南中考数学真题分类卷第十四讲全等三角形命题点1全等三角形的判定与性质类型一平移型1.(2023益阳)如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C 作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为()第1题图A.5B.4C.3D.22.(2023乐山)如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE.求证：△ABD≌△BCE.第2题图3.(2023柳州)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF.有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE.(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF.你选取的条件为(填写序号)________(只需选一个条件，多选不得分)，你判定△ABC≌△DEF 的依据是________(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证：AB∥DE.第3题图类型二轴对称型4.(2023金华)如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是()第4题图A.SSSB.SASC.AASD.HL5.(2023云南)如图，OB平分∠AOC，D，E，F分别是射线OA，射线OB，射线OC上的点，D，E，F与O点都不重合，连接ED，EF.若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件是()第5题图A.OD＝OEB.OE＝OFC.∠ODE＝∠OEDD.∠ODE＝∠OFE6.(2023兰州)如图①是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图②所示，AB＝AE，AC ＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．第6题图7.(2023衡阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，且BD＝CE.求证：AD ＝AE.第7题图8.(2023南充)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF 分别与AC交于点M，N.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)ME＝NF.第8题图类型三旋转型考向1共顶点旋转9.(2022宜宾)如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BO D.求证：△AOB≌△CO D.第9题图10.(2020徐州)如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.(1)求证：AE＝BD；(2)求∠AFD的度数．第10题图11.(2022北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE.(1)比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．第11题图考向2不共顶点旋转12.(2023成都)如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC ＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是()第12题图A.BC＝DEB.AE＝DBC.∠A＝∠DEFD.∠ABC＝∠D源自北师七下P94第12题13.(2023青岛)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°.(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)连接AE，CF，已知________(从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号)，请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．条件①：∠ABD＝30°；条件②：AB＝B C.(注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分)第13题图类型四三垂直型14.(2022陕西)如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A，C，E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为()第14题图A.6cmB.7cmC.62cmD.8cm15.(2023益阳)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝A B.求证：△CED≌△AB C.第15题图16.(2023恩施州)如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG 于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF.第16题图其他类型17.(2023包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E(异于点C)，连接DE，则BE的长为________．第17题图18.(2023陕西)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A.求证：DE＝B C.第18题图19.(2020温州)如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE.(1)求证：△ABC≌△DCE；(2)连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．第19题图命题点2全等三角形的实际应用20.(2023扬州)如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据．配出来的玻璃不一定．．．符合要求的是()第20题图A.AB，BC，CAB.AB，BC，∠BC.AB，AC，∠BD.∠A，∠B，BC21.(2022柳州)如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA,连接BC并延长到点E，使CE＝CB,连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC(SAS)，∴________．第21题图参考答案与解析1.C【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠A＝∠CBF，∵DE∥CF，∴∠DEA＝∠CFB，∴△ADE≌△BCF(AAS)，∴BF＝AE＝3.2.证明：∵AD∥BE，BD∥CE，∴∠A＝∠EBC，∠DBA＝∠C，∵B是线段AC的中点，∴AB＝BC，在△ABD和△BCE中，A＝∠EBC＝BCDBA＝∠C，∴△ABD≌△BCE(ASA).3.(1)解：①，SSS或②，SAS；(2)证明：由△ABC≌△DEF得∠BAC＝∠EDF，∵点A，D，C，F在同一条直线上，∴AB∥DE(同位角相等，两直线平行).4.B【解析】在△ABO与△DCO＝ODAOB＝∠DOC＝OC，∴△ABO≌△DCO(SAS).5.D【解析】由题意得：∠AOB＝∠BOC，OE＝OE，若使△DOE≌△FOE，则需OD＝OF或除已知外的一组对应角相等即可．根据选项可知∠ODE＝∠OFE.6.解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，∴∠BAC＝∠EAD.在△ABC和△AED ＝AEBAC＝∠EAD＝AD，∴△ABC≌△AED(SAS).∴∠C＝∠D＝50°.7.证明：∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，又∵BD＝CE，∴在△ABD和△ACE ＝ACB＝∠C＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE.8.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC＝AB＝CB，∠DAE＝∠DCF，又∵BE＝BF，∴AB－BE＝CB－BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，＝CDDAE＝∠DCF＝CF，∴△ADE≌△CDF(SAS)；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝∠DCB，AC平分∠DAB，∠DCB，∴∠EAM＝∠FCN，又∵△ADE≌△CDF，∴∠AEM＝∠CFN，又∵AE＝CF，∴△MAE≌△NCF，∴ME＝NF.9.证明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC－∠AOD＝∠BOD－∠AOD，∴∠DOC＝∠BOA.在△AOB和△COD中，＝OC，BOA＝∠DOC＝OD∴△AOB≌△COD(SAS).10.(1)证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，＝BC，ACE＝∠BCD＝CD∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD；(2)解：如解图，设BC与AE交于点N，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ANC＝90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠A＝∠B，∵∠ANC＝∠BNF，∴∠B＋∠BNF＝∠A＋∠ANC＝90°，∴∠AFD＝∠B＋∠BNF＝90°.第10题解图11.解：(1)∠BAE＝∠CAD，BM＝BE＋MD.证明：由旋转的性质得，∠DAE＝α，AE＝AD，∵∠BAC＝α，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD.∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴BE＝CD.∵M是BC的中点，∴BM＝CM＝CD＋MD＝BE＋MD；(2)NE＝ND.证明：如解图，连接AM、AN，∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，即∠AMB＝∠AMC＝90°，∴∠AMN＋∠BMN＝90°.∵MN⊥AB，∴∠ABC＋∠BMN＝90°，∴∠AMN＝∠ABC.∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，∴∠ABC＝∠ADE，∴∠AMN＝∠ADN，∴A、D、M、N四点共圆，∴∠AND＝∠AMD＝90°.∵AD＝AE，∴NE＝ND.第11题解图12.B13.(1)证明：∵BE＝FD，∴BE＋EF＝FD＋EF，即BF ＝DE .∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CDE .在△ABF 和△CDE BAF ＝∠DCEABF ＝∠CDE ＝DE，∴△ABF ≌△CDE (AAS)；(2)解：若选择条件①：四边形AECF 是菱形，证明：如解图①，由(1)可知△ABF ≌△CDE ，第13题解图①∴AF ＝CE ，∠AFB ＝∠CED ，∴AF ∥CE ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵∠BAF ＝90°，∠ABD ＝30°，∴AF ＝12BF ，∵BE ＝EF ，∵AE 为△ABF 的中线，∴AE ＝12AF ，∴AE ＝AF ，∴平行四边形AECF 是菱形．若选择条件②：四边形AECF 是菱形．证明：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，第13题解图②由(1)可知△ABF ≌△CDE ，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．∴AO＝CO.∵AB＝BC，∴BO⊥AC，即EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．14.D【解析】如解图，分别过点B、D作BF⊥AC于点F，DG⊥CE于点G，∴∠BFC＝∠CGD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∵CD⊥BC，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵AB＝BC＝CD＝5，AC＝6，∴CF＝3，△BCF≌△CDG，∴CG＝BF＝BC2－CF2＝4，∴CE＝8.第14题解图15.证明：∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠A，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CE＝AB，∴△CED≌△ABC(ASA).16.证明：∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC＝∠CFD＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCE＋∠DCF＝90°，BC＝CD，∴∠EBC＝∠FCD，在△EBC和△FCD中，BEC＝∠CFD＝90°，EBC＝∠FCD＝CD∴△EBC≌△FCD，∴BE＝CF，CE＝DF，∴CE＝CF＋EF＝BE＋EF，∴DF＝BE＋EF.17.32－3【解析】∵AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝32，∠A＝∠B，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠DCB，∵DC＝DE，∴∠DCB＝∠DEC，∴∠BDC＝∠DEC，∴∠ADC＝∠DEB，∴△ADC≌△BED(AAS)，∴AD＝BE＝AB－DB＝AB－BC＝32－3.18.证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B.又∵CD＝AB，∠DCE＝∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA).∴DE＝BC.19.(1)证明：∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，∴△ABC≌△DCE(AAS)；(2)解：由(1)得CE＝BC＝5，∵∠ACE＝90°，AC＝12，∴AE＝AC2＋CE2＝144＋25＝13.20.C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A 已知AB，BC，CA，根据SSS，得到三角形与原三角形全等√B 已知∠B是AB，BC的夹角，根据SAS，得到三角形与原三角形全等√C 已知∠B不是AB，AC的夹角，无法得到三角形与原三角形全等×D 已知∠A，∠B，BC，根据AAS，得到三角形与原三角形全等√21.解：CA，∠DCE＝∠ACB，CB，DE＝AB.。

河南地区2021年中考数学总复习：专题检测(4)三角形(Word版,含答案)

河南地区2021年中考数学总复习：专题检测（4）三角形（Word 版，含答案）(建议时间：90分钟总分：100分)一、选择题(本大题共9个小题，每题3分，共27分)1．如图，能判定EB ∥AC 的条件是( A )A ．∠A ＝∠ABEB ．∠A ＝∠EBDC ．∠C ＝∠ABCD ．∠C ＝∠ABE第1题图第2题图2．将一把直尺与一块三角板如图放置，假定∠1＝45°，那么∠2为( C )A ．115°B ．120°C ．135°D ．145°3．等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是( C )A ．50°B ．80°C ．50°或80°D ．20°或80°4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 区分交AB ，AC 于M ，N ，那么△AMN 的周长为( C )A ．12B ．4C ．8D ．不确定第4题图第5题图5．如图，在△ABC 中，点D ，E 区分在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝13，那么S △ADE ∶S四边形BCED 的值为( C )A ．1∶ 3B ．1∶3C ．1∶8D ．1∶96．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，那么AB 的长为( B )A ．2aB ．22aC ．3aD 433a第6题图第7题图7．如图，∠ABC ＝∠DCB ，以下所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是( D )A ．∠A ＝∠DB ．AB ＝DC C ．∠ACB ＝∠DBCD ．AC ＝BD8．如图，点C与某修建物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同窗从点C动身，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该修建物顶端A的俯角为20°，那么修建物AB的高度约为(准确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)(A)A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米第8题图第9题图9．如下图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E，AD＝AB，衔接BE交AD于点F，以下结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③S△ABF＝3S△DEF；④△DEF∽△DAE.其中正确的有(C)A．1个B．4个C．3个D．2个二、填空题(本大题共5个小题，每题3分，共15分)10．如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，那么∠2＋∠3＝200°.第10题图第11题图11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，D是BC上一点，BD＝5，DE⊥AB，垂足为E，那么线段DE的长为 3 .12．在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM.当AM⊥BM时，BC的长为8 .第12题图第13题图13．如图，AB＝AC，DB＝DC，假定∠ABC为60°，BE＝3 cm，那么AB＝ 6 cm.14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，那么当△ABM为直角三角形时，AM三、解答题(本大题共4个小题，共58分)15．(14分)：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延伸线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)假定∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的长．(1)证明：∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE .∵CF ∥AB ，∴∠DAE ＝∠CFE .在△ADE 与△FCE 中，⎩⎨⎧ ∠DAE ＝∠CFE ，∠AED ＝∠FEC ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE (AAS)；(2)解：∵点E 是CD 的中点，DE ＝2，∴CD ＝2DE ＝4.∵点D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴BD ＝CD ＝4.∵CF ∥AB ，∠DCF ＝120°，∴∠BDC ＝180°－∠DCF ＝60°.又∵BD ＝CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴BC ＝CD ＝4. 16．(14分)如图，在△ABC 中，AC ＝4，D 为BC 边上的一点，CD ＝2，且△ADC 与△ABD 的面积比为1∶3.(1)求证： △ADC ∽△BAC;(2)当AB ＝8时，求AD 的长度．(1)证明：∵△ADC 与△ABD 的面积比为1∶3，CD ＝2，∴BD ＝3DC ＝6，∴BC ＝BD ＋CD ＝8.在△BAC 与△ADC 中，BC AC ＝AC DC ＝2，∠BCA ＝∠ACD ，∴△ADC ∽△BAC ；(2)解：∵△ADC ∽△BAC ，∴AD DC ＝BA AC .又∵AB＝8，AC＝4，CD＝2，∴AD＝2×84＝4.17．(15分)如图，AB为一斜坡，其坡角为19.5°，紧挨着斜坡AB底部A处有一高楼，一数学活动小组量得斜坡长AB＝15 m，在坡顶B处测得楼顶D处的仰角为45°，其中测量员小刚的身高BC＝1.7 m，求楼高AD.(参考数据：sin 19.5°≈13，cos 19.5°≈1920，tan 19.5°≈2057，结果准确到0.1 m)解：作CF⊥AD于点F，如解图所示，那么四边形AECF为矩形．∴AE＝CF，AF＝CE＝BE＋BC.在Rt△ABE中，∵AB＝15，∴BE＝15sin 19.5°，AE＝15cos 19.5°.在Rt△CDF中，∵∠DCF＝45°，∴DF＝CF＝AE，∴AD＝DF＋AF＝AE＋BC＋BE＝15cos 19.5°＋1.7＋15sin 19.5°≈21.0(m)．答：楼高AD约为21.0 m．18．(15分)数学兴味小组想应用所学的知识了解某广告牌的高度(图中GH的长)，经测量知CD＝2 m，在B处测得点D的仰角为60°，在A处测得点C的仰角为30°，AB＝10 m，且A，B，H三点共线，请依据以上数据计算GH的长．(3≈1.73，要求结果准确到0.1 m)解：如解图所示，过点D作DE⊥AH于点E，设DE＝x m，那么CE＝(x＋2)m.在Rt△BED中，BE＝DEtan∠DBE＝33x.在Rt△AEC中，AE＝CEtan∠CAE＝3(x＋2)．∵AE－BE＝AB＝10，∴3(x＋2)－33x＝10，解得x＝53－3.∴GH＝CE＝CD＋DE＝2＋53－3＝53－1≈7.7(m)．答：GH的长约为7.7 m.。

2024年河南省中考数学专题复习第五章+第三节+四边形中的三角形问题+课件

PA－PE取得最大值，最大值为AE，
例1题图④
∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝4，BE＝ BC＝3，在 Rt△ABE中，
1 2
根据勾股定理得，AE＝ AB2 BE2 ＝5，∴PA－PE的最大值为5；
例1题图④
②(2022.15考法)若EF⊥BC交AD于点F，BP＝
3 5
BE，点B关于AP的对称
考情分析
背景
设问
涉及三角形的知识点
矩形
求线段长
勾股定理
正方形
求线段长
全等，中位线，勾股定理
正方形
判断三角形的形状、求线段的比值
相似，勾股定理
矩形
求字母的值
相似，勾股定理
平行四边形
求点坐标
勾股定理菱形Fra bibliotek求字母的值
勾股定理
年份题号题型分值 2017 9 选择题 3 2016 10 选择题 3 2015 7 选择题 3 2015 15 填空题 3
点B′落在EF上，求BE的长．
②解：如解图，连接AB′，由对称的性质得，∠AB′P＝∠B＝90°，
B′P＝BP＝
3 5
BE，AB′＝AB＝4，∴∠PB′E＋∠AB′F＝90°，∵∠B′AF
＋∠AB′F＝90°，∴∠PB′E＝∠B′AF，∵EF⊥BC，∠FAB＝∠B＝90°，
∴四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，∠PEB′＝∠AFB′＝90°，
2
【涉及三角形的知识点】①中位线②勾股定理
例1题图①
(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，点O为AC的中点，连接BO并延长交AD于点E，连接CE，且BE⊥AC.①求证：四边形ABCE 为菱形；

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