轴对称图形专题
专题5.1-4轴对称图形及其性质精讲(解析版)
B．角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意；
C．高的交点为垂心，而到各顶点相等的只能是垂直平分线的交点，不符合题意；
D．△ABC 三边垂直平分线的交点上，符合题意．
故选 D．
2．（2020·湖北宜昌）如图，点 E，F，G，Q，H 在一条直线上，且 EF GH ，我们知道按如图所作的直
【答案】1：3 【解析】解：∵DE 垂直平分 AB， ∴AD＝BD， ∴S△ADE＝S△BDE， ∵∠1＝∠2，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE， ∴△BDE≌△BCE（AAS）， ∴S△BDE＝S△BCE， ∴S△AED：S△ABC＝1：3， 故答案为：1：3． 4．（2020·安徽砀山初二期末）如图，在△ABC 中，AC＝5 cm，AB 的垂直平分线交 AC 于点 N，△BCN 的周长是 8 cm，则线段 BC 的长为________ cm.
二、考点点拨与训练
考点 1：轴对称图形的识别 典例：（2020·江苏新沂初三一模）剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视 觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】 解：A 选项能够关于一条直线对称，是轴对称图形，故 A 正确； B 选项不是轴对称图形，故 B 错误； C 选项不是轴对称图形，故 C 错误；
D．
【答案】C 【解析】解：A、B、D 中的图形不是轴对称图形， C 中的图形是轴对称图形， 故选：C． 6．（2020·全国初二课时练习）我们理应对我们所得的一切心怀感恩，这是我们强大的基础.少年强则国强， 中国强则中国少年更强，中国强就是因为少年强.为了庆祝祖国生日小强做了以下几幅剪纸作品，其中是轴 对称图形的是（ ）
专题03轴对称十大重难题型(期末真题精选)(原卷版)
专题03 轴对称十大重难题型一．轴对称图形的存在性之格点类（钥匙对称轴）1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．二．轴对称的性质3．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为（用含n的式子表示）．4．如图，点P为∠AOB内部任意一点，点P与点P1关于OA对称，点P与点P2关于OB对称，OP＝8，∠AOB＝45°，则△OP1P2的面积为．三．尺规作图：轴对称，角平分，垂直平分线5．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使P A＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）6．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N 的距离分别相等（保留作图痕迹）．7．线段的垂直平分线的性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段的距离．如图，△ABC中，AB＝AC＝16cm，（1）作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接BD，如果BC＝10cm，则△BCD的周长为cm．8．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A′B′C′和△ABC 关于直线l成轴对称，其中A′点的对应为A点．（1）请画出△A′B′C′，并标出相应的字母；（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A′B′C′的面积．9．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（﹣1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，1）．（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；（2）请直接写出以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标．四．坐标的轴对称10．已知点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．1B．−1C．5D．﹣511．已知点P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（）A．0B．﹣1C．1D．（﹣3）202112．若点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，点P的坐标为（2，﹣3），那么点N 的坐标为（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）13．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．14．已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（）A．﹣2B．−32C．0D．−12五．格点等腰三角形15．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有个．16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（）A．1B．2C．3D．417．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标；满足条件的点C一共有个．六．规律类坐标与图形的变化18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）19．如图，将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次，点A依次落在点A1、A2、A3、A4…A2020的位置上，则点A2020的坐标为（）A．（2019，0）B．（2019，1）C．（2020，0）D．（2020，1）20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）七．等腰三角形判定与性质21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为．22．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．23．Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，EO∥AB，FO∥AC，若S△ABC＝32，则△OEF的周长为．24．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．那么下列结论：①BD＝DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有．（只填序号）八．等边三角形的判定与性质25．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝．26．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．九．直角三角形斜中线的灵活运用。
苏科版八上数学期末复习专题：轴对称图形
2021~2022学年苏科版八上数学期末复习专题：轴对称图形【知识整理】1、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2、角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；如图,OC是Z AOB的平分线,D是OC上一点,DE丄OA于点E,DF丄OB于点F,则DE=DF。
判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、等腰三角形概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另外一条边叫做底性质：①等腰三角形的两个底角相等；几何语言：•.•AB=AC・\Z B=Z C②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称“三线合一”）几何语言：•.•AB=AC,DBAD=DCAD（AD平分Z BAC）A ADDBC,BD=CDA判定：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
几何语言：•.•ZB=ZC.\AB=AC4、等边三角形概念：三条边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形性质：三边相等，三个内角都等于60°。
判定：①有三条边相等的三角形是等边三角形；几何语言：•.•AB=AC=BC .•.△ABC 是等边三角形② 有三个角相等的三角形是等边三角形；几何语言：•.•ZA=ZB=ZC .△ABC 是等边三角形③ 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
几何语言：•.•AB=AC ,Z B=60°・.△ABC 是等边三角形45、直角三角形① 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；几何语言：•・•在RtO ABC 中，Z C=90°,D 为AB 中点/.CD =1AB2② 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：•・•在RtO ABC 中，Z C=90°,Z A=30°・.BC=1AB2 □勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
轴对称图形练习题及答案
轴对称图形练习题及答案轴对称图形是一种在几何学中常见的图形，它具有对称轴，使得图形的任何一部分都可以沿着这条轴对折，与另一部分完全重合。
下面是一些轴对称图形的练习题及答案，供学生练习和理解轴对称图形的概念。
练习题1：在下列图形中，哪一个是轴对称图形？A. 正方形B. 圆形C. 五角星D. 所有选项答案：D. 所有选项解析：轴对称图形的定义是：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
正方形、圆形和五角星都满足这个条件，因此它们都是轴对称图形。
练习题2：如果一个轴对称图形的对称轴是垂直于地面的直线，那么这个图形的对称轴与地面的夹角是多少度？答案：90度解析：垂直于地面的直线与地面的夹角是90度，这是根据垂直的定义得出的。
练习题3：在平面直角坐标系中，如果点A(2,3)关于x轴对称的点是B，求点B的坐标。
答案：点B的坐标是(2,-3)解析：在平面直角坐标系中，如果一个点关于x轴对称，那么这个点的x坐标保持不变，而y坐标的值变为其相反数。
因此，点A(2,3)关于x轴对称的点B的坐标是(2,-3)。
练习题4：给定一个轴对称图形，如果图形的对称轴是y=x，那么这个图形的中心点是什么？答案：图形的中心点是(0,0)解析：如果一个图形的对称轴是y=x，这意味着图形关于这条直线对称。
对于任何点(x,y)在图形上，其对称点是(y,x)。
因此，图形的中心点是对称轴与原点的交点，即(0,0)。
练习题5：在一个轴对称图形中，如果图形的对称轴是一条斜线y=mx+b，那么这个图形的中心点坐标是什么？答案：图形的中心点坐标是(-b/m, b)解析：对于斜线y=mx+b，这条直线与x轴的交点是(-b/m, 0)，与y轴的交点是(0, b)。
由于图形是轴对称的，图形的中心点将位于这两个交点的中点，即(-b/m, b)。
通过这些练习题，学生可以加深对轴对称图形的理解，并掌握如何识别和应用对称轴。
部编数学八年级上册专题07轴对称及轴对称图形画法问题(解析版)含答案
2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题07 轴对称及轴对称图形画法问题一、选择题1.（2023深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．2. （2023广东省）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．符合轴对称图形的只有A选项，而B、C、D选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完全重合；故选A．【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．3. （2023湖南湘潭）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（）A. 爱B. 我C. 中D. 华【答案】C【解析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．即将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形．4.（2023江苏连云港）在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.下列图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6. 下列图形中，对称轴最多是（ ）A. 等边三角形 B. 矩形C. 正方形D. 圆【答案】D【解析】因为等边三角形有三条对称轴；矩形有两条对称轴；正方形有四条对称轴；圆有无数条对称轴.一般地，正多边形的对称轴的条数等于边数．故选D.7. （2023山东聊城）如图，在直角坐标系中，ABC V 各点坐标分别为()2,1A -，()1,3B -，()4,4C -．先作ABC V 关于x 轴成轴对称的111A B C △，再把111A B C △平移后得到222A B C △．若()22,1B ，则点2A 坐标为（ ）A. ()1,5B. ()1,3C. ()5,3D. ()5,5【答案】B【解析】三点()2,1A -，()1,3B -，()4,4C -的对称点坐标为()12,1A --，()11,3B --，()4,4C --，结合()22,1B ，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可．【详解】∵三点()2,1A -，()1,3B -，()4,4C -的对称点坐标为()12,1A --，()11,3B --，()4,4C --，结合()22,1B ，∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，的故2A 坐标为()1,3．故选B ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键．8. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用轴对称图形的概念可得答案．A ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D ．是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．9.下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．A.不是轴对称图形，故A 错误；B.不是轴对称图形，故B 错误；C.是轴对称图形，故C 正确；D.不是轴对称图形，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．10.如图,△ABC 关于直线l 的对称图形是△DEF ，下列判断错误的是（ ）A. AB=DEB.BC ∥EFC.直线l ⊥BED.∠ABC=∠DEF 【答案】B【解析】轴对称图形的相关性质。
专题13 轴对称的性质(知识点串讲)(解析版)
专题13 轴对称的性质知识网络重难突破知识点一轴对称图形及轴对称性质1、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．2、两个图形成轴对称如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．3、轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．典例1（2019春•青羊区期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．典例2如图，ABC∠的度数为（）∆与△A B CC∠'=︒，则B'''关于直线l对称，98A∠=︒，28A．28︒B．54︒C．74︒D．78︒【解答】解：ABC'''关于直线l对称，∆与△A B C∴∆≅△A B C'''，ABC∴∠=∠'，C CC∠'=︒，∠=︒，28A98∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．180180982854B A C故选：B．典例3（2019春•陕西期末）下列说法：（1）线段的对称轴有两条；（2）角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；（3）两个全等的等边三角形一定成轴对称；（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线两侧；（5）到直线L距离相等的点关于L对称．其中说法不正确的有()A．3 个B．2 个C．1 个D．4 个【解答】解：（1）线段的对称轴有两条，说法正确；（2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，说法错误；（3）两个全等的图形不一定组成轴对称图形，说法错误；（4）两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，说法错误；（5）到直线l距离相等的两点不一定关于l对称，说法错误；其中不正确的有4个；故选：D．知识点二利用轴对称作图1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对称轴．2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形．典例1（2019春•金牛区期末）如图，在正方形网格上有一个ABC．（1）画ABC ∆关于直线MN 的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）ABC ∆关于直线MN 的对称图形如图所示；（2）ABC ∆的面积11145141453222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，20227.5=---， 8.5=．典例2（2019春•罗湖区期末）如图，在1010⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点ABC ∆（即三角形的顶点都在格点上）（1）在图中作出ABC ∆关于直线l 对称的△111A B C （要求：A 与1A ，B 与1B ，C 与1C 相对应） （2）在（1）的结果下，连接1BB ，1AB ，则△11A BB 面积是 ；（3）在对称轴上有一点P ，当PBC ∆周长最小时，P 点在什么位置，在图中标出P 点．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求；（2）如图，△11A BB 面积是12442⨯⨯=，故答案为：4；（3）如图所示，点P 即为所求．知识点三 轴对称的应用（最短路径）基本问题：在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A 、B 的距离之和最小．变式1：在直线l上找一点P，使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小．变式2：直线m、n交于O，P是两直线间的一点，在直线m、n上分别找一点A、B，使得PAB的周长最短．典例1（2019秋•南开区期末）如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()A．B．C．D．【解答】解：作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．典例2（2017•花都区一模）四边形ABCD中，130B D∠=∠=︒，在BC、CD上分别找一点M、N，∠=︒，90BAD使三角形AMN周长最小时，则AMN ANM∠+∠的度数为()A．80︒B．90︒C．100︒D．130︒【解答】解：延长AB到A'使得BA AB''=，连接A A'''与BC、CD分别交于'=，延长AD到A''使得DA AD点M、N．∠=∠=︒，ABC ADC90∴、A'关于BC对称，A、A''关于CD对称，A此时AMN∆的周长最小，⊥，='，MB ABBA BA∴='，同理：NA NAMA MA=''，∴∠'=∠，A NADA MAB∠''=∠，∠=∠''+∠=∠''，ANM A NAD A∠=∠'+∠=∠'，22AMN A MAB A∴∠+∠=∠'+∠''，2()AMN ANM A A∠=︒，BAD130∴∠'+∠''=︒-∠=︒A A BAD18050∴∠+∠=⨯︒=︒．AMN ANM250100故选：C．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2019春•金牛区期末）下列图形中，为轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．（2019春•光明区期末）石鼓文，秦刻石文字，因其刻石外形似鼓而得名．下列石鼓文，是轴对称的是( )A．B．C．D．【解答】解：A中图形是轴对称图形，B、C、D中图形都不是轴对称图形，故选：A．3．（2019春•陕西期末）如图下面镜子里哪个是他的像？()A．A B．B C．C D．D【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．故选：B．4．（2019春•罗湖区期末）下列说法中正确的是()①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的中线也是它的高；④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④【解答】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等是正确的．②根据三角形面积公式即可得到等腰三角形两腰上的高相等，说法是正确；③等腰三角形的中线不一定是它的高，说法是错误；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，说法正确．故选：C．5．如图，ABC∆关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是()∆与DEFA ．//AB DF B ．B E ∠=∠C ．AB DE =D ．AD 的连线被MN 垂直平分【解答】解：A 、AB 与DF 不是对应线段，不一定平行，故错误；B 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，则ABC DEF ∆≅∆，B E ∠=∠，正确；C 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，则ABC DEF ∆≅∆，AB DE =，正确；D 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，A 与D 的对应点，AD 的连线被MN 垂直平分，正确．故选：A ．6．（2019秋•路北区期末）已知30AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠内部，点1P 与点P 关于OA 对称，点2P 与点P 关于OB 对称，则△12POP 是( ) A ．含30︒角的直角三角形 B ．顶角是30︒的等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：P 为AOB ∠内部一点，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为1P 、2P ， 12OP OP OP ∴==且12260POP AOB ∠=∠=︒，∴故△12POP 是等边三角形．故选：C ．7．（2017•青羊区校级自主招生）在日常生活中，有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如川80808A ，川22222A ，川12321A 等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照，如果让你负责制作以9为字母“A ”后的第一个数字，且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作( )A．500个B．300个C．100个D．50个【解答】解：以9为字母“A”后的第一个数字且有五个数字的“数字对称”牌照，即牌照是99ABA，则A有09-共10种可能，B有09-共10种可能，所以9开头的组合最多是1010100⨯=个．故选：C．8．（2018春•锦江区期末）如图，ABCBD=，过点D作AB的垂线∆的周长为16．点D是AB边的中点，2∆的周长最小值为()l，E是l上任意一点，则AECA．12B．14C．16D．18【解答】解：点D是AB边的中点，2BD=，∴==，AB BD24∆的周长为16，ABC12∴+=，AC BC如图，连接BE，点D是AB边的中点，l AB⊥，l∴是AB的垂直平分线，∴=，AE BE∴+=+，AE CE BE CEBE CE BC+，+的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴当B，E，C在同一直线上时，BE CE+=，AC BCAEC∴∆的周长最小值等于12故选：A．二、填空题（共3小题）9．（2018春•深圳期末）如图，直线l是四边形ABCD的对称轴．若//AD BC，则下列结论：（1）//=．∠；（4）AO CO=；（3）BD平分ABCAB CD；（2）AB BC其中正确的有（填序号）．【解答】解：如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，∴∠=∠，3412∠=∠，AD BC，//∴∠=∠，23∴∠=∠=∠，134∴，AB BC=，故（1）（2）正确；//AB CD由轴对称的性质，AC BD⊥，∴平分ABCBD∠，AO CO=（等腰三角形三线合一），故（3）（4）正确．综上所述，正确的是（1）（2）（3）（4）．故答案为：（1）（2）（3）（4）．10．（2019春•金牛区期末）如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，当12ABC S ∆=，8AC =时，BM MN +的最小值等于 ．【解答】解：如图，AD 是BAC ∠的平分线，∴点B 关于AD 的对称点B '在AC 上，过点B '作B N AB '⊥于N 交AD 于M ，由轴对称确定最短路线问题，点M 即为使BM MN +最小的点，B N BM MN '=+， 过点B 作BE AC ⊥于E ，8AC =，20ABC S ∆=， ∴18122BE ⨯=， 解得3BE =，AD 是BAC ∠的平分线，B '与B 关于AD 对称，AB AB ∴='，ABB ∴∆'是等腰三角形，3B N BE ∴'==，即BM MN +的最小值是3．故答案为：3．11．（2019春•市中区期末）如图，AD为等边ABC∆的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE CF=，当BF CE∠=︒．+取得最小值时，AFB【解答】解：如图1，作CH BC⊥，且CH BC=，连接BH交AD于M，连接FH，⊥，∆是等边三角形，AD BCABC∠=︒，DAC∴=，30AC BC∴=，AC CHACB∠=︒，60∠=︒，BCH90∴∠=︒-︒=︒，906030ACH∴∠=∠=︒，DAC ACH30=，AE CF∴∆≅∆，()AEC CFH SAS+=+，CE FH∴=，BF CE BF FH+的值最小，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF CE此时45FCB∠=︒，∠=︒，60FBC∴∠=︒，AFB105故答案为：105．三、解答题（共2小题）12．（2019春•青羊区期末）下面的方格图是由边长为1的42个小正方形拼成的，ABC∆的顶点A、B、C 均在小正方形的顶点上．（1）作出ABC∆关于直线m对称的△A B C'''；（2）求ABC∆的面积．【解答】解：（1）如图，△A B C'''为所作；（2）ABC∆的面积11133132123 3.5222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．13．（2019春•商河县期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，网格中有一个ABC∆．（1）请直接写出ABC∆的面积为．（2）利用方格找出点A、B、C关于直线MN的对称点D、E、F，并顺次连接D、E、F三点．（3）若点P是直线MN上的一个动点，则PC PA+的最小值为．【解答】解：（1）ABC∆的面积为：12442⨯⨯=；故答案为：4；（2）如图所示：EDF∆即为所求；（3）PC PA+的最小值为：6PA PC DC+==．故答案为：6．。
专题 轴对称图形和性质 专项训练七年级数学下册
专题5.1轴对称图形和性质（专项训练）（2023春•青秀区校级月考）1. 下列图形中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.（2023•莲湖区三模）2. 下面关于食品安全的图形中，是轴对称图形的是（）A. B.C. D.（2023•南岗区校级一模）3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.（2023•佛山一模）4. “甲骨文”是中国的一种古老文字，又称“契文”“殷墟文字”，下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.（2023春•海淀区校级月考）5. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8（2021春•威宁县校级期末）6. 在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个（2023•保亭县一模）7. 如图，ABC 与A B C '''∆关于直线l 对称，则B ∠的度数为___．（2023•大埔县校级开学）8. 如图，△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，若∠C ＝40°，∠B ＝80°，则∠F ＝______．（2023•陵水县一模）9. 如图，ABC 与A B C '''∆关于直线l 对称，则B ∠的度数为___．（2023•崖州区一模）10. 如图，如果直线l 是ABC 的对称轴，其中70B ∠=︒，则C ∠的度数为___________．（2023•定安县一模）11. 如图，点D 为ABC 的边AC 上一点，点B ，C 关于DE 对称，若6AC =，2AD =，则线段BD 的长度为______．（2022秋•西湖区校级期末）12. 如图，ABC 与DEF 关于直线l 对称，若65A ∠=︒，80B ∠=︒，则F ∠=_________．（2023•琼海一模）13. △ABC 与A B C ''' 关于直线l 对称，则∠B 的度数为________．（2022秋•宣州区期末）14. 如图，在面积为4的等边ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是_____________．（2021春•含山县期末）15. 如图，在边长为1的小正方形网格中，△AOB 的顶点均在恪点上．（1）B 点关于y 轴的对称点坐标为 ；（2）将△AOB 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A 1O 1B 1，在图中画出△A 1O 1B 1，并标出点的坐标；（3）在（2）的条件下，△AOB 边AB 上有一点P 的坐标为（a ，b ），则平移后点P 的对应点P 1的坐标为 ．（2020秋•南京期末）16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点(14)(44)(21)A B C ---，，，，，，直线l 经过点（1，0），且与y 轴平行．（1）请在图中画出△ABC ；（2）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于直线l 对称．请在图中画出△A 1B 1C 1；（3）若点P （a ，b ）关于直线l 的对称点为P 1，则点P 1的坐标是 ．（2022秋•陕州区期末）17. 如图，点M ，N 在直线l 的同侧，小东同学想通过作图在直线l 上确定一点Q ，使MQ 与QN 的和最小，那么下面的操作正确的是（ ）A. B.C. D.（2022秋•金平区期末）18. 某区计划在公路旁修建一个核酸采集点P，现有如下四种方案，则核酸采集点P到A B、两个小区之间的距离之和最短的是（）A. B.C. D.（2022秋•河口区期末）19. 如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA 于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（ ）A. 6cmB. 5cmC. 4cmD. 3cm（2022秋•香洲区期末）20. 已知30AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一定点P ，点M ，N 分别是,OA OB 上的动点，若PMN 的周长最小值为3，则OP 的长为（ ）A. 1.5B. 3C.D. （2023•紫金县校级开学）21. 如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6 cm ，则∠AOB 的度数是（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60（2022秋•湖里区期末）22. 如图，在四边形ABCD 中，C α∠=︒，90B D ∠=∠=︒，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，当AEF △的周长最小时，EAF ∠的度数为（ ）A. αB. 2αC. 180α- D. 1802α-（2022秋•东丽区期末）23. 如图，在四边形ABCD 中，72,90C B D ∠=︒∠=∠=︒，M ，N 分别是BC ，DC 上的点，当AMN 的周长最小时，MAN ∠的度数为（ ）A. 72︒B. 36︒C. 108︒D. 38︒24. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则AP +BP 的最小值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 725. 如图，AD 是等边△ABC 的BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上动点，当EF +CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为（ ）A. 15°B. 22.5°C. 30°D. 45°26. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=4，面积是14，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A. 6B. 8C. 9D. 1027. 如图，在等边△ABC 中，点E 是AC 边的中点，点P 是△ABC 的中线AD 上的动点，且AD ＝6，则EP +CP 的最小值是（ ）A. 12B. 9C. 6D. 3（2022秋•市北区校级期末）28. 如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，将点A 与点B 分别沿MN 和EF 折叠，使点A 、B 与点C 重合，则NCF ∠的度数为（ ）A. 18︒B. 19︒C. 20︒D. 21︒（2021秋•琼海期末）29. 如图，点D 与点D 关于AE 对称，'56CED ∠=︒，则∠AED 的度数为（ ）A. 57°B. 60°C. 62°D. 67°（2023春•城阳区期中）30. 如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若1116∠=︒，则2∠＝（ ）A. 58︒B. 68︒C. 64︒D. 54︒54（2023春•江都区月考）31. 如图1是长方形纸带，25DEF ∠=︒，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿GF 折叠成图3，则图3中的CFE ∠的度数是（ ）A. 100︒B. 105︒C. 110︒D. 120︒（2022秋•南充期末）32. 如图，长方形纸片ABCD ，P 为边AD 的中点，将纸片沿BP CP ，折叠，使点A 落在E 处，点D 落在F 处，若140∠=︒，则BPC ∠大小为（ ）A. 105︒B. 110︒C. 115︒D. 120︒（2022秋•川汇区期末）33. 如图，点D ，E 分别在ABC 的AB ，BC 边上，将BDE 沿DE 对折，使点B 与点C 重合，DE 为折痕，若70,A AC BD ∠=︒=，则B ∠的值是（ ）A. 45︒B. 60︒C. 35︒D. 40︒（2022秋•桥西区期末）34. 长方形ABCD 如图折叠，D 点折叠到D 的位置，已知40D FC '∠=︒，则∠=EFC （ ）A. 120︒B. 115︒C. 112︒D. 110︒（2022秋•路北区校级期末）35. 如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC 外的A '处，折痕为DE ．如果A CEA BDA αβγ''∠=∠=∠=，，，那么α，β，γ三个角的关系是( )A. 2γβα=+B. 2γαβ=+C. 22γαβ=+D. γαβ=+（2022秋•汝阳县期末）36. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD 、BE 为折痕，则∠EBD 的度数（ ）A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°（2022秋•禅城区期末）37. 如图把一张长方形的纸按如图那样折叠后，B 、D 两点分别落在了B '，D 点处，若6128AOB ''∠=︒，则BOG ∠的度数为( )A. 596'︒B. 5916'︒C. 574'︒D. 5744'︒（2023春•青秀区校级月考）38. 如图，长方形纸带ABCD 中，AD ∥CB ，将ABCD 沿EF 折叠，C 、D 两点分别与C ′、D ′对应，若∠1＝2∠2，则∠1的度数为_____．（2023春•新城区校级月考）39. 如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为E ．若35CBD ∠=︒，则ADE ∠的度数为________．（2022秋•山西期末）40. 如图，在长方形纸片ABCD 中，AB CD ∥，将纸片ABCD 沿EF 折叠，A ，D 两点的对应点分别为点A '，D ．若2CFE CFD ∠∠'=，则∠=AEF _________︒．（2023•长安区四模）41. 如图所示，将长方形ABCD 沿图中标示的DE 折叠，点E 在AB 边上，点A 恰好落在边BC 的点G 处，若54CDG ∠=︒，则DEG ∠的度数为___．专题5.1轴对称图形和性质（专项训练）（2023春•青秀区校级月考）【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项A能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．（2023•莲湖区三模）【2题答案】【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此解答即可．【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；C、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是解本题的关键．（2023•南岗区校级一模）【3题答案】【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误；故选：A．【点睛】掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．（2023•佛山一模）【4题答案】【答案】D【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都是轴对称图形；D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．（2023春•海淀区校级月考）【5题答案】【答案】C【解析】【分析】根据轴对称的性质画出该图形的对称轴即可求解．【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有4条．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．（2021春•威宁县校级期末）【6题答案】【答案】B【解析】【分析】根据轴对称的定义即可求解．【详解】根据轴对称的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的字有“中、日、品”3个；故选：B ．【点睛】此题主要考查轴对称图形的识别，解题的关键是熟知轴对称的定义．（2023•保亭县一模）【7题答案】【答案】100︒##100度【解析】【分析】根据轴对称的性质得出30C C '==︒∠∠，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：ABC 与A B C '''∆关于直线l 对称，∴30C C '==︒∠∠；1805030100B ∴∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．（2023•大埔县校级开学）【8题答案】【答案】40°【解析】【分析】根据轴对称的性质可得结果．【详解】∵△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，∴△ABC ≌△DEF ，∴∠F=∠C=40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了轴对称的性质．关于轴对称的两个三角形全等是解题的关键．（2023•陵水县一模）【9题答案】【答案】100︒##100度【解析】【分析】根据轴对称的性质得出30C C '==︒∠∠，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：ABC 与A B C '''∆关于直线l 对称，∴30C C '==︒∠∠；1805030100B ∴∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．（2023•崖州区一模）【10题答案】【答案】70︒##70度【解析】【分析】根据直线l 是ABC 的对称轴，得到C B ∠=∠，即可得解．【详解】解：∵直线l 是ABC 的对称轴，70B ∠=︒，∴ABC 是轴对称图形，70C B ∠=∠=︒；故答案为：70︒．【点睛】本题考查轴对称图形．根据直线l 是ABC 的对称轴，得到三角形是轴对称图形，是解题的关键．（2023•定安县一模）【11题答案】【答案】4【解析】【分析】证明BD DC =，可得结论．【详解】解：6AC = ，2AD =，624CD AC AD ∴=-=-=，B ，C 关于DE 对称，4DB DC ∴==，故答案为：4．【点睛】本题考查轴对称的性质，线段的和差定义等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．（2022秋•西湖区校级期末）【12题答案】【答案】35°##35度【解析】【分析】根据轴对称的性质与三角形的内角和等于180°可得．【详解】∵△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，∴∠A ＝∠D ＝65°，∠B ＝∠E ＝80°，∴∠F ＝180°﹣∠D ﹣∠E ＝180°﹣65°﹣80°＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查轴对称的性质与三角形的内角和，解题的关键是掌握轴对称的性质与三角形的内角和．（2023•琼海一模）【13题答案】【答案】105︒【解析】【分析】根据轴对称的性质，轴对称图形全等，则,,A A B B C C '''∠=∠=∠∠=∠，再根据三角形内角和定理即可求得【详解】 △ABC 与A B C ''' 关于直线l 对称ABC A B C '''∴△≌△∴,,A A B B C C '''∠=∠=∠∠=∠30C C '∴∠=∠=︒45A ∠=︒1804530105B ∴∠=︒-︒-︒=︒故答案为：105︒【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，全等的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键．（2022秋•宣州区期末）【14题答案】【答案】2【解析】【分析】根据AD 是等边三角形的高可知，AD 是线段BC 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质及三角形全等的判定定理可求出EBF ECF ≌△△，故阴影部分的面积等于ABD △的面积，据此即可求解．【详解】解：∵AD 是等边三角形的高，∴AD 是线段BC 的垂直平分线，∴BE CE BF CF EF EF ===，，，∴EBF ECF ≌△△，∴ABD S S = 阴影，∴122ABD ABC S S S === 阴影．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形的面积与等边三角形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.（2021春•含山县期末）【15题答案】【答案】（1）（﹣3，2）；（2）见解析，A1（-2，5），O1（-3，2），B1（0，4）；（2）（a﹣3，b＋2）．【解析】【分析】（1）根据点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（﹣x，y）解答即可；（2）利用坐标平移变换的性质分别作出O，A，B的对应点O1，A1，B1即可．（3）根据平移变换的规律解决问题即可．【详解】解：（1）∵B（3，2），∴B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2），故答案为：（﹣3，2）；（2）如图，△A1O1B1即为所求，由图可知，A1（-2，5），O1（-3，2），B1（0，4）；（3）在（2）的条件下，△AOB边AB上有一点P的坐标为（a，b），则平移后点P的对应点P1的坐标为（a﹣3，b＋2）．故答案为：（a﹣3，b＋2）．【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称、坐标与图形变换-平移，理解变换规律是解答的关键．（2020秋•南京期末）【16题答案】【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）(2,)a b -．【解析】【分析】（1）依次将点(14)(44)(21)A B C ---，，，，，表示在平面直角坐标系中，顺次连接三个点即可；（2）分别作出(14)(44)(21)A B C ---，，，，，关于直线1x =的对称点111A B C 、、，再顺畅连接111A B C 、、即可；（3）根据题意，1P P 、关于直线1x =对称，则1P P 、的横坐标的和的一半是1，纵坐标不变，据此解题．【详解】解：（1）如图所示，△ABC 即为所求；（2）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（3）设点(,)P a b 关于直线l 的对称点为1(,)P x y ，由题意得，12a x y b+⎧=⎪⎨⎪=⎩2x a y b=-⎧∴⎨=⎩1(2,)P a b ∴-故答案为：(2,)a b -．【点睛】本题考查作图—轴对称变换，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．（2022秋•陕州区期末）【17题答案】【答案】C【解析】【分析】先作点M 关于l 的对称点M ′，连接M ′N 交l 于点Q ，即可．【详解】作点M 关于直线l 的对称点M ′，再连接M ′N 交l 于点Q ，则MQ+NQ=M ′Q+NQ=M ′N ，由“两点之间，线段最短”，可知点Q 即为所求．故选C【点睛】本题主要考查轴对称的应用以及线段的性质，熟练掌握“马饮水”模型，是解题的关键．（2022秋•金平区期末）【18题答案】【答案】B【解析】【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离．【详解】解：作点A 关于直线m 的对称点A '，连接A B '交直线m 于P ，根据两点之间线段最短，可知选项B 中的核酸采集点P 到A B 、两个小区之间的距离之和最短，故选：B ．【点睛】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．（2022秋•河口区期末）【19题答案】【答案】B【解析】【分析】对称轴就是两个对称点连线的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得MP =1M P ,NP =2N P ，所以12PP =MP +MN +NP =5cm .【详解】∵P 与1P 关于OA 对称，∴OA 为线段1P P 的垂直平分线，∴MP =1M P ，同理，P 与2P 关于OB 对称，∴OB 为线段2P P 的垂直平分线，∴NP =2N P ，∵△PMN 的周长为5cm ．∴12PP =1M P +MN +2N P =MP +MN +NP =5cm ，故选B【点睛】对称轴是对称点的连线垂直平分线，再利用垂直平分线的性质是解此题的关键.（2022秋•香洲区期末）【20题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出60OD OE OP DOE ==∠=︒，，得出等边三角形DOE ，求出3DE =，求出PMN 的周长DE =，即可求出答案．【详解】解：作P 关于OA 的对称点D ，作P 关于OB 的对称点E ，连接DE 交OA 于M ，交OB 于N ，连接PM PN ，，则此时PMN 的周长最小，连接OD OE ，，∵P 、D 关于OA 对称，∴OD OP PM DM ==，，同理OE OP PN EN ==，，∴OD OE OP ==，∵P 、D 关于OA 对称，∴OA PD ⊥，∵OD OP =，∴DOA POA ∠=∠，同理POB EOB ∠=∠，∴223060DOE AOB ∠=∠=⨯︒=︒，∵OD OE =，∴DOE 是等边三角形，∴DE OD OP ==，∵PMN 的周长是3PM MN PN DM MN EN DE ++=++==，∴3OP =故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是画出符合条件的图形．（2023•紫金县校级开学）【21题答案】【答案】B【解析】【分析】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，由对称的性质得出PM=DM ，OP=OC ，∠COA=∠POA ；PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=∠POB ，得出∠AOB=12∠COD ，证出△OCD 是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【详解】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ，∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ；∵点P 关于OB 的对称点为C ，∴PN=CN ，OP=OC ，∠COB=∠POB ，∴OC=OP=OD ，∠AOB=12∠COD ，∵△PMN 周长的最小值是6cm ，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP ，∴OC=OD=CD ，即△OCD 是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B ．【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．（2022秋•湖里区期末）【22题答案】【答案】D【解析】【分析】要使AEF △的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC 和CD 的对称点A '，A ''，即可得出AA E A α'''∠+∠=，即可得出答案．【详解】解：作A 关于BC 和CD 的对称点A '，A ''，连接A A '''，交BC 于E ，交CD 于F ，∴AF A F ''=，AE A E '=，∴EA A EAA ''∠=∠，FAD A ''∠=∠，则A A '''即为AEF △的周长最小值，C α∠= ，90ABC ADC ∠=∠=︒180DAB α∴∠=︒-，()180180AA E A αα'''∴∠+∠=︒-︒-=，EA A EAA ''∠=∠ ，FAD A ''∠=∠，EAA A AF α'''∴∠+∠=，1801802EAF ααα∴∠=︒--=︒-，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E ，F 的位置是解题关键．（2022秋•东丽区期末）【23题答案】【答案】B【解析】【分析】根据要使AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC 和BC 的对称点A A '"，，即可得出72AA M A HAA ∠'∠"∠'︒+==，进而得出2AMN ANM AA M A ∠∠∠'∠"+=（+）即可得出答案．【详解】解：作A 关于BC 和CD 的对称点A A '"，，连接A A '"，，交BC 于M ，交CD 于N ，则A A '"即为AMN 的周长最小值．作DA 延长线AH ，∵108DAB ∠=︒，∴72HAA ∠'=︒，∴72AA M A HAA ∠'∠"∠'︒+==，∵MA A MAA NAD A ∠'∠'∠∠"=，=，且MA A MAA AMN NAD A ANM ∠'∠'∠∠∠"∠+=，+=，∴2272144AMN ANM MA A MAA NAD A AA M A ∠∠∠'∠'∠∠"∠'+∠"⨯︒︒+=+++=（）=＝，∴36MAN ∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E ，F 的位置是解题关键．【24题答案】【答案】A【解析】【分析】根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 在AC 上时，AP+BP 有最小值．【详解】解：连接PC ．∵EF是BC的垂直平分线，∴BP＝PC．∴PA+BP＝AP+PC．∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值＝AC＝4．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，明确点A、P、C在一条直线上时，AP+PB有最小值是解题的关键．【25题答案】【答案】C【解析】【分析】过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可．【详解】解：如图：过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，AF＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ECF＝30°．故选：C．【点睛】本题考查最短路径问题——垂线段最短，等边三角形的性质，根据垂线段最短找到点E、F是解题的关键．【26题答案】【答案】C【解析】【详解】解：连接AD，如图所示：∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=14，解得AD=7，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+12BC=7+12×4=7+2=9．故选C．【27题答案】【答案】C【解析】【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解即可．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴点E 关于AD 的对应点为点F ，∴CF 就是EP +CP 的最小值．∵△ABC 是等边三角形，E 是AC 边的中点，∴F 是AB 的中点，∴CF 是△ABC 的中线，∴CF ＝AD ＝6，即EP +CP 的最小值为6，故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．（2022秋•市北区校级期末）【28题答案】【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出100ACB ∠=︒，再根据折叠的性质得，30ACN A ︒∠=∠=，50FCE B ︒∠=∠=，进而得20NCF ∠=︒．【详解】解：∵30A ∠=︒，50B ∠=︒，∴100ACB ∠=︒，∵将点A 与点B 分别沿MN 和EF 折叠，使点A 、B 与点C 重合，∴30ACN A ︒∠=∠=，50FCE B ︒∠=∠=，∴100305020NCF ︒∠=︒-︒-︒=，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．（2021秋•琼海期末）【29题答案】【答案】C【解析】【分析】利用轴对称的性质，平角的定义求解即可．【详解】解：∵点D 与点D'关于AE 对称，∴∠AED =∠AED′，∵∠CED′=56°，∴∠AED =12（180°-∠'CED ）=12（180°-56°）=62°，故选：C ．【点睛】本题考查轴对称的性质，平角的定义等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质．（2023春•城阳区期中）【30题答案】【答案】A【解析】【分析】先标注图形，根据“两直线平行，内错角相等”得BAC ∠，再根据折叠的性质得BAD ∠，最后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案.【详解】解：如图，∵AB CD ，∴1116B A C ∠=∠=︒.由折叠可得，1582BAD BAC ∠=∠=︒.∵AB CD ，∴258B A D ∠=∠=︒.故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质等，灵活选择平行线的性质定理是解题的关键．（2023春•江都区月考）【31题答案】【答案】B【解析】【分析】根据长方形的性质和翻折的性质求出BFE ∠和BFC ∠的度数，即可求出CFE ∠的度数．【详解】解： 四边形ABCD 为长方形，AD BC ∴∥，25BFE DEF ∴∠=∠=︒．由长方形的性质可知：90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，由翻折的性质可知，图2中，180********EFC DEF ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴15525130BFC EFC BFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴图3中，13025105CFE BFC BFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案选：B ．【点睛】本题考查了翻折的性质，要充分利用长方形的性质和翻折的性质解题，从翻折变化中找到不变量是解题的关键．（2022秋•南充期末）【32题答案】【答案】B【解析】【分析】根据折叠的性质的到12APB EPB APE ∠=∠=∠，12DPC FPC DPF ∠=∠=∠，结合平角的定义及140∠=︒即可得到答案；【详解】解：∵纸片沿BP CP ，折叠，使点A 落在E 处，点D 落在F 处，∴12APB EPB APE ∠=∠=∠，12DPC FPC DPF ∠=∠=∠，∵140∠=︒，∴1801140APE DPF ∠+∠=︒-∠=︒，∴11()170401102BPC EPB FPC APE DPF ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，故选B ．【点睛】本题考查矩形中折叠及整体代换的思想，解题的关键是根据折叠得到角度相等整体代换．（2022秋•川汇区期末）【33题答案】【答案】C【解析】【分析】由折叠的性质得出B BCD ∠=∠，设B BCD x ∠=∠=，由三角形的外角的性质求出2ADC x ∠=，再由,BD CD AC BD ==可得AC CD =，则可得2ADC A x ∠=∠=．最后列方程求解即可．【详解】解：∵将BED 沿DE 折叠，使点B 与点C 重合，∴BD CD =，∴B BCD ∠=∠，设B BCD x ∠=∠=，∴2ADC B BCD x ∠=∠+∠=，∵,BD CD AC BD ==，∴AC CD =，∴2ADC A x ∠=∠=，∵70,A ∠=︒∴270x =解得：35x =，∴35B ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质及三角形的外角性质，利用折叠的性质及三角形的外角性质，理解等腰三角形的性质解题的关键．（2022秋•桥西区期末）【34题答案】【答案】D【解析】【分析】根据翻折不变性可知，DFE D FE ∠∠='，又因为40D FC ∠'=︒，根据平角的定义，可求出EFC ∠的度数．【详解】根据翻折不变性得出，DFE EFD ∠∠='，∵40180D FC DFE EFD D FC ∠∠∠∠'=︒+'+'=︒，，∴218040140EFD ∠'=︒-︒=︒，∴70EFD ∠'=︒，∴7040110EFC EFD D FC ∠∠∠='+'=︒+︒=︒．故选D ．【点睛】此题考查了角的计算和翻折变化，掌握长方形的性质和翻折不变性是解题的关键．（2022秋•路北区校级期末）【35题答案】【答案】B【解析】【分析】设,AC A D '交于点F ，由折叠得：A A '∠=∠，根据将三角形的外角的性质得出BDA A AFD AFD A CEA '''∠=∠+∠∠=∠+∠，，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设,AC A D '交于点F ，由折叠得：A A '∠=∠，BDA A AFD AFD A CEA '''∠=∠+∠∠=∠+∠， ，A CEA BDA αβγ''∠=∠=∠=，， ，2BDA γααβαβ'∴∠==++=+，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，折叠问题，熟练掌握三角形外角的性质以及折叠的性质是解题的关键．（2022秋•汝阳县期末）【36题答案】【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可知，∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′，又∠ABE +∠A ′BE +∠DBC +∠DBC ′=180°，且∠EBD =∠A ′BE +∠DBC ′，继而即可求出答案．【详解】解：根据翻折的性质可知，∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′，又∵∠ABE +∠A ′BE +∠DBC +∠DBC ′=180°，∴∠EBD =∠A ′BE +∠DBC ′=180°×12=90°．故选B ．【点睛】此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′是解题的关键．（2022秋•禅城区期末）【37题答案】【答案】B【解析】【分析】根据折叠的性质得出BOG B OG ∠=∠'，进而根据平角的定义可得1(180)2B OG AOB ''∠=∠︒-，代入数据即可求解．【详解】解： 折叠后，B 、D 两点分别落在了B '，D 点处，BOG B OG ∴∠='∠，'6128AOB ∠=︒' ，1(180)2B OG AOB ''︒∴∠=-∠()118061282=⨯︒︒'-=5916'︒．故选：B ．【点睛】本题考查了角度的计算，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（2023春•青秀区校级月考）【38题答案】【答案】72°【解析】【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x ，易证∠DEF ＝∠1＝∠FED ′＝2x ，构建方程即可解决问题．【详解】解：由翻折的性质可知：∠DEF ＝∠FED ′，∵AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠1，∵∠1＝2∠2，∴设∠2＝x ，则∠DEF ＝∠1＝∠FED ′＝2x ，∵∠2+∠DEF +∠FED ′＝180°，∴5x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠1＝2∠2＝2x ＝72°．故答案为：72°．【点睛】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．（2023春•新城区校级月考）【39题答案】【答案】20︒【解析】【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到ADB ∠和EDB ∠的度数，然后即可得到ADE ∠的度数．【详解】解：由折叠的性质可得：CDB EDB ∠=∠，AD BC ∥ ，35CBD ∠=︒，35CBD ADB ∴∠=∠=︒，90C ∠=︒ ，903555CDB ∴∠=︒-︒=︒，55EDB ∴∠=︒，553520ADE EDB ADB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：20︒．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（2022秋•山西期末）【40题答案】【答案】72【解析】【分析】设CFD x '∠=，则22CFE CFD x '∠=∠=，3EFD x '∠=，由折叠的性质得：23180x x +=︒，36272CFE ∠=︒⨯=︒，进而得出根据平行线的性质即可求解．【详解】解：设CFD x '∠=，则22CFE CFD x '∠=∠=，3EFD x '∠=，由折叠的性质得：3DFE EFD x '∠=∠=，180DFE CFE ∠+∠=︒ ，即23180x x +=︒，36x ∴=︒，36272CFE ∴∠=︒⨯=︒，AB CD ∥，72AEF CFE ∴∠=∠=︒．故答案为：72．【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，折叠性质是解题的关键．（2023•长安区四模）【41题答案】【答案】72︒##72度【解析】【分析】根据折叠的性质得出18ADE GDE ∠=∠=︒，进而根据90DEG GDE ∠=︒-∠，即可求解．【详解】解：54CDG ∠=︒ ，90905436ADG CDG ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，又11361822ADE GDE ADG ︒︒∠=∠=∠=⨯= ，90D A E D G E ∠=∠=︒90901872DEG GDE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：72︒．【点睛】本题考查了折叠的性质，熟练掌握是折叠的性质解题的关键．。
中考数学复习《轴对称》专题训练-带含有参考答案
中考数学复习《轴对称》专题训练-带含有参考答案一、选择题1．下列交通标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5），那么点P关于y轴对称点N的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（4，5）C．（﹣4，﹣5）D．（﹣5，4）3．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB 的顶点均在格点上．在图中画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点，这样的线段能画（）条．A．2 B．3 C．5 D．64．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线AB=5cm，BC=8cm，则△ABD的周长为（）A．10cm B．13cm C．15cm D．16cm5．等腰三角形的周长为11，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）A．3B．5C．4或5D．3或56．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=12cm，则AC的长是（）A．12cm B．6cm C．4cm D．6√3cm7．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=3，ED=6，则EB+DC的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．如图，已知ΔABC是正三角形，D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，ED⊥BC交AB于点E，则∠EDF等于（）A．50°B．65°C．60°D．75°二、填空题9．某车标是一个轴对称图形，有条对称轴.10．在平面直角坐标系中，点M（a，3）与点N（5，b）关于y轴对称，则a﹣b＝．11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC于点D，交AB于点E．若AE=3，△ADC的周长为8，则△ABC的周长为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是．13．如图，在△ABC中AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=6，BC的长是.三、解答题14．图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求在网格中作图．（1）在图①中，连接AC，以线段AC为腰作一个等腰直角三角形ACD；（2）在图②中确定一个格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形．使其为轴对称图形．15．如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段，于点N，Q．（1）如图，当时，求的度数；（2）当时，求的度数．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点△A1B1C1的坐标．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且BF=CD，BD=CE．（1）求证：△DFE是等腰三角形；（2）若∠A=56°，求∠EDF的度数．18．如图，在△ABC中AB=AC，点D在△ABC内BD=BC，∠DBC=60°点E在△ABC外∠BCE=150°，∠ABE=60° .（1）求∠ADB的度数；（2）判断△ABE的形状并加以证明；（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8求AD的长.参考答案1．B2．A3．C4．B5．D6．B7．C8．C9．310．﹣811．1412．313．1814．（1）解：如图①所示（2）解：如图②所示15．（1）解：∵、分别是的垂直平分线∴∵∴∵∴∴（2）解：∵分别是的垂直平分线∴∴∴当P点在Q点右侧时，如图：∵∴∵∴．当P点在Q点左侧时∵∴∵∴．综上或．16．（1）解：S△ABC= 12×5×3=152（或7.5）（平方单位）（2）解：如图．（3）解：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）. 17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C在△FBD与△DCE中{BF＝CD∠B＝∠CBD＝CE∴△FBD≌△DCE．∴DF=ED，即△DEF是等腰三角形（2）解：∵AB=AC，∠A=56°∴∠B=∠C= 12(180°−56°)＝62°．∴∠EDF=∠B=62°．18．（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°在△ADB和△ADC中{AB=ACAD=ADDB=DC∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB= 12（360°﹣60°）=150°.（2）解：结论：△ABE是等边三角形.理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE在△ABD和△EBC中{AB=EB∠ADB=∠BCE=150°∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△EBC ∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形.（3）解：连接DE.∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°∴∠EDC=30°，∴EC= 12DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4.。
八年级第十三章轴对称典型例题
八年级第十三章轴对称典型例题一、关于轴对称图形概念的例题。
例题1：下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 平行四边形。
B. 三角形。
C. 梯形。
D. 正方形。
解析：1. 首先分析平行四边形，沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形。
2. 三角形有多种类型，一般三角形不是轴对称图形，但等腰三角形和等边三角形是轴对称图形，这里说三角形太笼统，不能确定是轴对称图形。
3. 梯形中，一般梯形不是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形，这里说梯形不准确。
4. 正方形沿两条对角线所在直线以及两组对边中点连线对折，直线两侧的部分都能完全重合，所以正方形是轴对称图形。
答案为D。
例题2：正六边形的对称轴有（）条。
A. 3.B. 6.C. 9.D. 12.解析：1. 正六边形可以分别沿三组对边中点连线以及三条对角线所在直线对折后完全重合。
2. 所以正六边形的对称轴有6条。
答案为B。
二、线段垂直平分线性质的例题。
例题3：如图，在△ABC中，AB = AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为14，BC = 6，则AB的长为（）A. 4.B. 6.C. 8.D. 10.解析：1. 因为DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE = BE。
2. 已知△BCE的周长为14，即BE + EC+BC = 14。
3. 又因为AE = BE，所以AC+BC=14。
4. 已知BC = 6，所以AC = 14 - 6=8。
5. 因为AB = AC，所以AB = 8。
答案为C。
例题4：已知点P在直线l外，点A、B在直线l上，且PA = PB，则直线l与线段AB的关系是（）A. l垂直但不平分AB。
B. l平分但不垂直AB。
C. l垂直且平分AB。
D. l与AB相交但不一定垂直平分。
解析：1. 因为点P在直线l外，PA = PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上。
2. 又因为两点确定一条直线，所以直线l是线段AB的垂直平分线。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：轴对称
专题13.1 轴对称知识点1：轴对称图形1.定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴。
这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.2.两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称. 这条直线叫做对称轴，折叠后互相重合的点是对应点，叫做对称点.3.轴对称图形和轴对称的区别：轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形。
4.轴对称和全等的关系：轴对称一定是全等图形，但全等图形不一定是轴对称。
知识点2：轴对称的性质（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.知识点3：线段的垂直平分线1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线.2.线段垂直平分线的性质：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（2）与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.【例题1】若下列选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有4条对称轴？（）A B C D【例题2】下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【例题3】如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P时直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM【例题4】如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．一、选择题1.下列图形中，是轴对称图形的是（）A B C D2.下列图形一定是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．平行四边形C．直角梯形D．正方形3.下列图案属于轴对称图形的是（）A B C D4.下列图形中，是轴对称图形的是（）A B C D二、解答题5.如图所示的是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出阴影部分的面积。
七年级下 专题五：轴对称图形
专题五：轴对称图形金牌数学专题系列第一部分：基础部分一、知识点： 1.什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2.什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线） 5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1：判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线； （ ） ②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴； （ ） ③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形； （ ） ④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（ ）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.lA B例3：如图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4：如图，已知：ΔABC 和直线l ，请作出ΔABC 关于直线l 的对称三角形。
轴对称图形专题练习含答案
轴对称图形专题练习练习一一、填空题1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分（），这个图形就叫做（），这条直线就是它的（）2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与（）重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做（）3、经过线段中点并且（）这条线段的直线，叫做这条线段的（）二、选择题1、下面所示的交通标志，是轴对称图形的是（）A、B、C、D、2、正方形，长方形，三角形，梯形，平行四边形中，一定是轴对称图形的有（）A、5个B、4个C、3个D、2个3、下列说法中，不正确的是（）A、等边三角形是轴对称图形B、若两个图形的对应点的连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称C、直线MN是线段AB的垂直平分线，若点P使PA＝PB，则点P在MN上，若PA≠PB，则P不在MN上D、等腰三角形的对称轴是它的中线三、解决问题如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，AE交BD于P，PE＝3cm，求点P 到AB的距离练习二一、选择题1、下列说法错误的是（）A、关于某直线对称的两个图形一定能完全重合B、全等的两个三角形一定关于某直线对称C、轴对称图形的对称轴至少有一条D、线段是轴对称图形2、轴对称图形的对称轴是（）A、直线B、线段C、射线D、以上都有可能3、下面各组点关于y轴对称的是（）A、（0，10）与（0，－10）B、（－3，－2）与（3，－2）C、（－3，－2）与（3，2）D、（－3，－2）与（－3，2）二、作图题1、如图所示，作出△ABC关于直线l的对称△A'B'C'。
2、如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等AMN参考答案练习一一、填空题1、能够互相重合，轴对称图形，对称轴2、另一个图形，对称轴3、垂直于，垂直平分线二、选择题1、D2、D3、D三、解决问题∵BD垂直平分线段AC∴BD为AC的中垂线∴AB=AC过点P做PF⊥AB，垂足为F。
生活中的轴对称(经典例题)
班级小组姓名成绩（满分120）一、轴对称现象（一）轴对称和轴对称图形（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.如图,下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个例1.变式1.下列图形中对称轴最多是()A.圆B.正方形C.角D.线段例1.变式2.如图所示的图形是由棋子围成的正方形图案，图案的每条边有4个棋子，这个图案有条对称轴.例1.变式3.如图所示的方格纸中，请你把任意五个方格涂黑，使这五个方格构成一个轴对称图形(图形不能重复，至少设计三个)二、探索轴对称的性质（一）轴对称的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例2.下列说法：①长方形的对称轴有两条；②角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴；③两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.0个例2.变式1.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A=78°,∠C'=48°,则∠B的度数为()A.48°B.54°C.74°D.78°例2.变式2.如图所示，AC垂直平分线段BD，若AB=3cm，CD=5cm，则四边形ABCD的周长是()A.11cmB.13cmC.16cmD.18cm例2.变式3.如图，把一张长方形纸ABCD折叠,使点C与点A重合，折痕为EF.如果∠DEF=123°,那么∠BAF=.（三）轴对称的性质及应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.轴对称图形对应点连线被,对应角、对应线段都.例3.变式1.如图，∠AOB内有一点P，分别画出P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为多少?例3.变式2.如图，将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB'与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为()A.16B.19C.22D.25例3.变式3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△ECD，使DE∥AC，CE交AB于点F，若∠B=α，则∠ADC的度数是(用含α的代数式表示).三、简单的轴对称图形（一）等腰三角形的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是()A.过顶点的直线B.底边上的高C.腰上的高所在的直线D.顶角平分线所在的直线例4.变式1.等边三角形对称轴的条数是()A.1B.2C.3D.4例4.变式2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是()A.6B.7C.8D.9例4.变式3.等腰三角形中有一个角是50°，那么这个等腰三角形的底角是.（二）等腰三角形的性质二（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.下列说法中正确的是()A.关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形B.全等三角形一定是关于某条直线对称的C.两个图形关于某条直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D.若A，B两点关于直线MN对称，则AB垂直平分MN例5.变式1.如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有个.例2.变式2.如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=.例5.变式3.有一个三角形的支架如图所示，AB=AC，小明过点A和BC边的中点D又架了一个细木条，经测量∠B=30°,你在不用任何测量工具的前提下,能得到∠BAD和∠ADC的度数吗?（三）线段和角的轴对称性（共4小题，每题3分，题组共计12分）例6.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是()A.3B.4C.5D.6例6.变式1.如图所示，下列推理中正确的个数是()①因为OC平分∠AOB，点P，D，E分别在OC，OA，OB上，所以PD=PE；②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE；③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD=PE.A.0B.1C.3D.4例6.变式2.小明把一张长方形的纸对折了两次，如图所示，使A，B都落在DC上，折痕分别是DE，DF,则∠EDF的度数为.例6.变式3.如图，已知△ABC中，DE垂直平分AC，且交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长是20，AC=8，你能计算出△ABC的周长吗？（四）等腰(边)三角形的性质的综合应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例7.在△ABC中，若BC=AC，∠A=58°，则∠C=,∠B=.例7.变式1.等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是.例7.变式2.如图P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC=.例7.变式3.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹)；（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.（五）轴对称图形的综合运用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例8.如图所示，△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB=6cm，AC=9cm，BC=12cm，则△AMN的周长为.例8.变式1.如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有个.例8.变式2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，AB+AC+BC=50cm，AB+BD+AD=40cm，则AD=cm.例8.变式3.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；照这样画下去,直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=.（六）轴对称图形的综合运用二（共4小题，每题3分，题组共计12分）例9.如图，D，E是△ABC的BC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数.例9.变式1.如图，∠1=∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，AE，BD交于点C，试说明AC=BC.例9.变式2.如图所示,△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE∥AB，AE∥BC，DE与AE交于点E，点G是AE的中点，GF∥DE，EF∥AC，EF交GF于点F，若AB=4cm，则图形ABCDEFG的外围的周长是多少?例9.变式3.如图，△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，你能说明DC⊥AC吗?四、利用轴对称进行设计（共4小题，每题3分，题组共计12分）例10.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形例10.变式1.如左下图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个大小相等的圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是右下图中的()例10.变式2.当你面对镜子的时候，右手拿笔向左挥动，对于镜子中的像来说是()A.右手拿笔,向右挥动B.左手拿笔,向左挥动C.右手拿笔,向左挥动D.左手拿笔,向右挥动例10.变式3.某一车牌在平面镜中的像是,则这辆车的实际号码是()。
八年级数学上册第2章轴对称图形专题训练3轴对称的作图习题课件新版苏科版
二 无刻度直尺作图 3. [2024兴化期末]已知图①、图②都是轴对称图形.仅用无
刻度的直尺按要求完成下列作图(保留作图痕迹，不写作 法)： (1)在图①中，作出该图形的对称轴 l ；
解：(1)如图①.
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(2)在图②中，作出点 P 的对称点P'. 解：(2)如图②.
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第2章 轴对称图形 专题训练3 轴对称的作图
一 根据已知图形、已知对称轴作图 1. 请画出已知图形(如图所示)关于直线 l 的对称图形.(保留
作图痕迹，不写画法) 解：如图.
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2. [荣德原创]如图，已知长方形纸片 ABCD 中，沿着直线 EF 折叠，求作四边形 EFCD 关于直线 EF 的对称图形.(不 要求写作法) 解：如图，四边形EFC'D'即为所求.
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四 设计轴对称图案 6. 现有如图①所示的两种瓷砖，请你从两种瓷砖中各选两
块，拼成一个新的正方形，使拼成的图案为轴对称图形 (如图②)，要求：在图③、图④中各设计一种与示例拼法 不同的轴对称图形.
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解：依照轴对称图形的定义，设计出图形，如图所示.(答 案不唯一)
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【拓展延伸】(2)①如图②，点 A ， B 在直线 l 的同侧，在 直线 l 上求一点 P ，使△ PAB 的周长最小； (2)①作法：如图②，作点 A 关于 l 的对 称点 A '，连接 A ' B 交 l 于点 P . 则点 P 就是所要求作的点.
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②如图③，点 P ， Q 是△ ABC 的边 AC ， AB 上的两个定 点，请同学们在 BC 上找一点 R ，使得△ PQR 的周长最短 (要求：不写作图过程保留作图痕迹)； ②如图③，点 R 即为所求.
人教八上：专题五--轴对称相关概念及必考题型过关(含解析)
专题五轴对称相关概念及必考题型过关一、单选题1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）A．B．C．D．2．下列几何图形中，不是轴对称图形的是（）A．正方形B．矩形C．平行四边形D．等腰直角三角形3．下列字母能看成是轴对称图形的有（）A．F B．L C．A D．G4．在平面直角坐标系中，点A(8,−4)与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（）A．(8,−4)B．(8,4)C．(−8,4)D．(−8,−4)5．下列常见的数学符号，可以看成轴对称图形的是（）A．≌B．∥C．⊥D．≠6．下列标志中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．2023年全国民航工作会议介绍了2023年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）A．春秋航空B．东方航空C．厦门航空D．海南航空8．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州成功举行，中国运动健儿发扬拼搏精神，共获得201金再次金牌榜蝉联第一．下列体育运动图标是轴对称图形的是（）．A．B．C．D．10．点P(5,1)关于x轴对称点的坐标是（）A．(−5,1)B．(5,−1)C．(−5,−1)D．(5,1)11．点(−7,9)关于直线m（直线m上各点横坐标都为2）对称点的坐标是（）A．(7,9)B．(−7,−9)C．(11,9)D．(−11,−9)12．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，将△BDE 沿DE折叠，点B的对应点B′刚好落在边AC上，若∠CB′E=30°，CE=4，则BC的长是（）A．10B．12C．13D．1414．下列交通标志中，是轴对称图形的是( )A．B．C．D．15．下列与武汉有关的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．16．如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3)，B(1,0)，以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则满足条件的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．417．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（）A．B．C．D．18．点M(3,−4)关于x轴的对称点M′的坐标是（ ）A．(3,4)B．(−3,−4)C．(−3,4)D．(−4,3)19．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．二、填空题20．点A(1,−3)关于x轴的对称点A′的坐标为．21．点P(1,−2)关于y轴对称的点的坐标为．22．等边三角形对称轴共有条．23．点A(3,−5)关于y轴的对称点A′的坐标为．24．点A(−3，2)关于y轴对称的点的坐标为．25．三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做这个三角形的．26．已知点P(a,−3)和点Q(4,b)关于y轴对称，则a+b=．三、解答题27．（1）点A(2，−3)关于y轴对称的点的坐标是__________；（2）直线l过点(1，0)，且与x轴垂直，则点B(−1，2)关于直线l对称的点的坐标是__________，点C (m，n)关于直线l对称的点的坐标是__________；（3）若点M(2a+b+4，−a+2b)和点N(4a−3b，a−b)关于直线x=a对称，求a+b的值．28．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2,4)，B(−5,1)，C(−1,1)．(1)将△ABC先向右平移三个长度单位，再向下平移四个长度单位，则平移后的点A、B、C的对应点的坐标分别是（____，____），（____，____），（____，____）；(2)画出△ABC关于直线y=−1（直线y上各点的纵坐标都为−1）对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标A1（____，____）；(3)将△ABC向右平移五个长度单位，则△ABC扫过的面积是________（直接写出结果）．29．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A(−1,−1)，B(3,−2)，C(2,1)．(1)画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；(2)分别写出点A，点B，点C的对应点A1，B1，C1的坐标是__________；(3)请用无刻度直尺在网格内作出以AC为腰的等腰直角△ACD．（保留作图痕迹）参考答案题号12345678910答案D C C B C C D B B B题号111213141516171819答案C A B A D C C A C1．D【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误；B．是轴对称图形，故本选项错误；C．是轴对称图形，故本选项错误；D．不是轴对称图形，故本选项正确．故选D．2．C【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．【详解】解：A、正方形是轴对称图形，该选项不合题意；B、矩形是轴对称图形，该选项不合题意；C、平行四边形不是轴对称图形，该选项符合题意；D、等腰直角三角是轴对称图形，该选项不合题意；故选：C．3．C【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．4．B【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【详解】解：∵点A(8,−4)与点B关于x轴对称，∴点B的坐标是(8,4)．故选：B．5．C【分析】本题考查了轴对称图形的识别．在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，此可求解．【详解】解：A. ≌无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，B. ∥无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，C. ⊥能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，是轴对称图形，D. ≠无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，故选：C．6．C【分析】根据轴对称图形的定义，进行判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．7．D【分析】根据轴对称的定义，进行判断即可得．【详解】解：A、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；B、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；C、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；D、是轴对称图形，选项说法正确，符合题意；故选：D．【点晴】本题考查了轴对称的图形，解题的关键是掌握轴对称的定义：图形沿着某一直线折叠能够完全重合的图形是轴对称图形．8．B【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：B．9．B【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．10．B【分析】本题考查关于x轴的对称点，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【详解】解：点P(5,1)关于x轴对称点的坐标是(5,−1)，故选B．11．C【分析】先根据题意得出直线m的解析式为x=2，再由对称的性质得出点(−7,9)对称点的横坐标，从而得出答案．【详解】解：根据题意，直线m的解析式为x=2，则点(−7,9)关于直线x=2的对称点的横坐标为[2−(−7)]+2=11，纵坐标为9，即对称点的坐标为(11,9)，故选：C．【点睛】本题主要考查坐标与图形变化-对称，解题的关键是掌握关于直线对称时的规律：关于直线x=m对称，P(a,b)⇒P(2m−a,b)．关于直线y=n对称，P(a,b)⇒P(a,2n−b)．12．A【分析】根据轴对称的定义判断即可．【详解】解：全面发展四个字中，可以看作是轴对称图形的是全．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴：掌握定义是解题关键．13．B【分析】根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出B′E=BE=2CE=8即可求解．【详解】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC<AC,∠CB′E=30°,CE=4，∴B′E=BE=2CE=8,∴BC=CE+BE=4+8=12.故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．14．A【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．15．D【分析】本题考查的是轴对称图形，根据轴对称图形的概念判断．把一个图形沿某条直线对折，如果图形能够能够重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．【详解】解：A、B、C中的图形都不是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；D中的图形是轴对称图形，故D符合题意．故选：D．16．C【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键，并注意分类思想的运用．根据已知条件，分三种情况讨论：①过点B作CB⊥AB，使BC=AB，过点C作CD⊥x轴于点D，根据已知点的坐标，求出OA，OB，证明△AOB≌△BDC，然后根据全等三角形的性质求出OD和CD，即可求出点C的坐标；②过点A作CA⊥AB，使AC=AB，过点C作CE⊥y轴于点E，利用全等三角形的性质求出EC和OE，从而求出点C的坐标；③在①中的图形中，过点B作BC″⊥AC′，过点C″作C″M⊥OD，C″N⊥OA，根据等腰三角形的性质，求出点C的坐标即可．【详解】解：分三种情况讨论：①如图所示：过点B作CB⊥AB，使BC=AB，过点C作CD⊥x轴于点D，∵∠AOB=∠ABC=90°，∴∠OAB+∠ABO=∠ABO+∠CBD=90°，∴∠OAB=∠CBD，∵A(3,0)，B(1,0)，O(0,0)，∴OA=3，OB=1，在△AOB和△BDC中，∠OAB=∠CBD∠AOB=∠BDC，AB=BC∴△AOB≌△BDC(AAS)，∴OB=CD=1，OA=BD=3，∴OD=1+3=4，∴点C(4,1)；②如图所示：过点A作CA⊥AB，使AC=AB，过点C作CE⊥y轴于点E，∴∠CEA =∠BAC =90°，∵A (3,0)，B (1,0)，O (0,0)，∴OA =3，OB =1，∵∠AOB =∠CEA =90°，∴∠OAB +∠ABO =∠OAB +∠CAE =90°，∴∠ABO =∠CAE ，在△AOB 和△BDC 中，∠ABO =∠CAE ∠AOB =∠CEA AB =AC，∴△AOB≌△CEA (AAS)，∴OB =AE =1，OA =EC =3，∴OE =OA +AE =3+1=4，∴点C (3,4)；③如图所示：过点B 作BC ″⊥AC ′，过点C ″作C ″M ⊥OD ，C ″N ⊥OA ，∵A (3,0)，B (1,0)，O (0,0)，∴OA =3，OB =1，∴AB =OA 2+OB 2=32+12=10，∵△ABC ′是等腰直角三角形，∴BC ′=AB =10，∴AC ′=BC ′2+AB 2=(10)2+(10)2=25，∴C ″是AC ′的中点，∴BC ″=AC ″=12AC ′=5，OM =12OD =2，BC ″⊥AC ′，C ″M ⊥OD ，C ″N ⊥OA ，∴∠C ″MO =∠C ″NO =∠AOB =90°，∴四边形OMC ″N 是矩形，∴NC ″=OM =2，∴AN =AC 2−NC ″2=(5)2−22=1AC ″2−NC ″2=(5)2−22=1，∴ON=OA−AN=3−1=2，∴C″的坐标为(2,2)，综上可知：满足条件的点C的个数为3，故选：C．17．C【分析】根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得．【详解】A、不是轴对称图形，此项不符题意B、不是轴对称图形，此项不符题意C、是轴对称图形，此项符合题意D、不是轴对称图形，此项不符题意故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．18．A【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【详解】解：点M(3,−4)关于x轴的对称点M′的坐标是(3,4),故选：A．19．C【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.【详解】A、B、D都不是轴对称图形，故不符合题意；C是轴对称图形，故符合题意.故选C.【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键. 20．(1,3)【分析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，“对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”．据此解答即可．【详解】解：点A(1,−3)）关于x轴的对称点A′的坐标为(1,3)．故答案为：(1,3)．21．(−1,−2)【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．【详解】解：点P(1,−2)关于y轴对称的点的坐标为(−1,−2)．故答案为：(−1,−2)．22．3【分析】根据等边三角形的性质和对称轴的概念求解即可．【详解】分别沿等边三角形的三条高所在直线将三角形对折，高所在直线两边的图形都能重合，所以等边三角形的对称轴有3条．故答案为：3．【点睛】此题考查等边三角形的性质和对称轴，解题关键在于掌握等边三角形的性质．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴．23．(−3,−5)【分析】点关于y轴的对称的点的特点是纵坐标不变，横坐标变为相反数，由此即可求解．【详解】解：根据题意得，点A(3,−5)关于y轴的对称点A′的坐标为(−3,−5)，故答案为：(−3,−5)．【点睛】本题主要考查坐标系中点对称的特点，掌握点关于轴对称的特点是解题的关键．24．(3，2)【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此即可得出答案，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解此题的关键．【详解】解：点A(−3，2)关于y轴对称的点的坐标为(3，2)，故答案为：(3，2)．25．重心【分析】此题考查三角形重心的定义，熟记定义是解题的关键．三角形的三条中线的交点叫三角形的重心．【详解】解：三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，故答案为：重心．26．−7【分析】本题考查了点坐标关于y轴对称的变化规律，先根据点坐标关于y轴对称的变化规律得出a、b的值，再代入求值即可．【详解】解：∵点P(a,−3)和点Q(4,b)关于y轴对称，∴a=−4，b=−3，∴a+b=−4+(−3)=−7．故答案为：−7．27（（（（∴（∴28(2)【分析】此题主要考查了作图-平移变换，作图-轴对称变换，解答本题的关键要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．（1）△ABC向右平移三个长度单位，再向下平移四个长度单位，则平移后点A、B、C的对应的坐标分别是横坐标加上3，纵坐标减4可得答案；（2）先作出直线y=−1，再作出A、B、C关于直线的对称点，连线并写出其坐标即可；（3）△ABC向右平移五个长度单位可得△A2B2C2,△ABC扫过的面积即为梯形BAA2C2的面积．【详解】（1）如图1所示：△ABC向右平移三个长度单位，再向下平移四个长度单位后到达△A′B′C′位置，∴A′(1,0),B′(−2,−3),C′(2,−3)，故答案为：1,0,−2,−3,2,−3；（2）△ABC关于直线y=−1(直线y上各点的纵坐标都为−1)对称的△A1B1C1，如图2，A1的坐标A1 (−2,−6)；故答案为：−2,−6；（3）如图3，∴△ABC扫过的面积：(5+9)×3÷2=21．故答案为：21．29．(1)作图见解析(2)(1，−1)，(−3，−2)，(−2，1)(3)作图见解析【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．（1）描出点依次连线即可，分别作出点A，点B，点C关于y轴的对应点A1，B1，C1，连线即可；（2）根据图象即可得到点A1，B1，C1的坐标，；（3）根据题意，△ACD是以AC为腰的等腰直角三角形，作AC⊥AD交于点A或AC⊥CD交于点C即可；【详解】（1）解：△ABC和△A1B1C1如图所示：（2）解：A1(1，−1),B1(−3，−2),C1(−2，1),故答案为：(1，−1)，(−3，−2)，(−2，1)（3）解：∵△ACD是等腰直角三角形，以AC为腰时，∴AC=CD,∵AC2=22+32=13,∴CD2=22+32=13,则△ACD如图所示：。
轴对称(全章知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册基础
专题13.12轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【知识点二】作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【知识点三】等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用轴对称的性质求值【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P 在四边形ABCD 的内部，且点P 与点M 关于AD 对称，PM 交AD 于点G ，点P 与点N 关于BC 对称，PN 交BC 于点H ，MN 分别交AD BC ，于点E F ，．（1）连接PE PF ，，若12cm MN =，求PEF !的周长；（2）若134C D ∠+∠=︒，求HPG ∠的度数．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，将ABC V 沿着AC 折叠，使点B 恰好落在CD 上的点B '处，若110BAD ∠=︒，则ACB =∠（）A ．55︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．【题型2】利用折叠的特征求值【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上；将AED '△沿ED '折叠得到A ED ''△且点A '恰好落在边BC 上．（1）若77BFE ∠=︒，则BFC '∠=．（2）若50A D B '∠='︒，求A EF '∠的度数．【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E F 、分别在边AB CD 、上，将纸带沿EF 折叠，点A D 、的对应点分别为A ''、D ，若235∠=︒，则1∠的度数为（）A ．62.5︒B ．72.5︒C ．55︒D ．45︒【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 和DCB △中，90,,A D AC BD ∠=∠=︒相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若30BED ∠='︒，则BCD '∠的大小为．【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．（1）试说明AD 垂直平分EF ；（2）若8628ABC AB AC S === ，，，求DE 的长．【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若7AC =，12BC =，则ADC △的周长为（）A ．12B ．14C ．19D ．26【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF BC ⊥交BC 于F ，8AC =，12BC =，则BF 的长为．【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，BD 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，15CDG ∠=︒．（1）求证：AD AG =；（2）试判断CDE 的形状，并说明理由．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BD =，DE AB ⊥于点E ，若4BC =，BDC 的周长为10，则AE 的长为．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明CEF △是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果,,a b c 为三角形的三边长，且满足()()()0a b b c c a ---=，那么该三角形的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接BD ，CE 交于点F ．（1）BD CE 的值为；（2）BFC ∠的度数为︒.【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是边AB 的中点，CH AB ⊥于点H ，CD 平分ACB ∠．（1）求证：CD 平分MCH ∠；（2）过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，求证：CM EM =；（3）AEM △是什么三角形？证明你的猜想．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，CD AB ⊥于点D ，若1BD =，则AD 的长度为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是CAB △的平分线，DE 垂直平分AB ，若3CD =，则BD =．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AC 的中点，CE AB ⊥，BD 与CE 交于点O ，且BE CD =．下列说法错误的是（）A ．BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点EB ．3BDC ABD ∠=∠C ．当E 为AB 中点时，ABC V 是等边三角形D ．当E 为AB 中点时，34BOC AEC S S =△△【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在ABC V 中，5030B C ︒∠∠=︒=，，A 是高，以点A 为圆心，A 长为半径画弧，交AC 于点E ，再分别以B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部交于点F ，作射线AF ，则DAF ∠=．2、拓展延伸【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰ABC V 中，CA CB =，30B ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒、30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当P 运动到AB 中点时，α=__________度；（2）当45α=︒时，请写出图中所有的等腰三角形（ABC V 除外）__________．（3）在点P 的滑动过程中，当PCD △的形状是以PC 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（PMN 除外）．不用说明理由．。
(完整版)小学三年级轴对称图形专题练习
小学三年级数学轴对称图形专项练习一、填空。
1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（），折痕所在的直线叫做（）。
2、圆的对称轴有（）条，半圆形的对称轴有（）条。
3、在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）相等。
4、（）三角形有三条对称轴，（）三角形有一条对称轴。
5、正方形有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，等腰梯形有（）条对称轴。
6、如果把一个图形沿着一条直线折过来，直线两侧部分能够完全重合，那么这个图形就叫做___________，这条直线叫做________．7、对称轴_______连结两个对称点之间的线段．8、宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形，•请再写出三个这样的汉字：_________．9、长方形有_____条对称轴，正方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴．10、如图是一种常见的图案，这个图案有_____条对称轴，请在图上画出对称轴．11、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为. 12、下列图形中是轴对称图形的在括号里画“√”。
二、选择题。
1、下列英文字母中，是轴对称图形的是（）A、S B 、H C、P D、Q2、下列各种图形中，不是轴对称图形的是（）3、下图是一些国家的国旗，其中是轴对称图形的有（）A、4个B、3个C、2个D、1个4、下列图形中：角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形，其中一定是轴对称图形的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个5、下列图形中，对称轴最多的是（）。
A、等边三角形 B 、正方形 C 、圆 D、长方形6、下面不是轴对称图形的是（）。
A、长方形B、平行四边形C、圆D、半圆7、要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用第（）种画法。
AB、c8、图中的图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是 ( )9、找出下面图形中是轴对称图形，并且有两条对称轴的是（）A．B．C．D．三、操作题：1、下列图形是轴对称图形吗？如果是，分别画出它们的对称轴。
专题03《轴对称》(学生版)
专题03 轴对称1．轴对称图形与轴对称的相关概念（1）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．2．轴对称的性质（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形．（2）轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．（3）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（4）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（5）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上．3．轴对称与轴对称图形的区别与联系区别：（1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；（2）轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的．联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．4．线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤先找到关键点，画出关键点的对应点，然后按照原图顺序依次连接各点．6．关于坐标轴对称的点的坐标的关系（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）．（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．（3）点（x，y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x，-y）．7．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（简写成等边对等角）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，（简写成三线合一）．8．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成等角对等边）．9．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60度．10．等边三角形的判定（1）三个角都相等的三角形是等腰三角形．（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．11．含30度角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．12．最短路径问题利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题．考点一、轴对称图形例1 （2020永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【名师点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．考点二、轴对称的性质例2（2020哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，∴∠C=40°，∵△ADB与△ADB/关于直线AD对称，点B的对称点是B/，∴∠AB/B=∠B=50°，∴∠ACB/=∠AB/B-∠C=10°，故选：A.【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的两个部分也是全等图形，轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．考点三、利用轴对称设计图案的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格例3 （2020吉林）图①、图②、图③都是33点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图②中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图③中，画一个DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．【答案】（1）（2）（3）见解析．【解析】（1）如图①，MN 即为所求；（2）如图②，PQ 即为所求；（3）如图③，△DEF 即为所求．【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解本题的关键．考点四、图形的剪拼例4 （2020武汉一模）小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），AOB ∠的度数是 ．【答案】22.5︒【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到AOB ∠的度数是22.5︒．【名师点睛】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键． 考点五、轴对称与最小值例5 （2020荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD （点D 在点C 右侧）在x 轴上移动()0,2A ，()0,4B ，连接AC 、BD ，则AC BD +的最小值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】设C（m，0），∵CD=2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（-2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴P/，连接MP/，此时P/M+P/N的值最小.∵N（-2，4），Q（0，-2）P/M+P/N的值最小值=P/N+P/=∴AC+BD的最小值为故选：B.【名师点睛】本题考查对称轴—最短问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题.考点六、线段垂直平分线的性质例6 （2020枣庄）如图，在ABCBC=，5AC=，∆中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若6则ACE∆的周长为()A．8B．11C．16D．17【答案】B【解析】DE 垂直平分AB ，AE BE ∴=，ACE ∴∆的周长AC CE AE =++AC CE BE =++AC BC =+56=+11=，故选B ．【名师点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．考点七、坐标与图形变化--对称例7 （2020济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在格点上如果将△ABC 先沿y 轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B 的对应点B'的坐标为（ ）A ．（1，7）B ．（0，5）C ．（3，4）D ．（-1，2）【答案】C 【解析】由坐标系可得B （-1，1），将△ABC 先沿y 轴翻折得到B 点对应点（3，1）再向上平移3个单位长度，点B 的对应点/的坐标为（3，1+3），即（3，4），故选：C.【名师点睛】本题考查了坐标与图形变化--对称和平移，熟练掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．考点八、等腰三角形的性质例8 （2020齐齐哈尔）等腰三角形的两边长分别为3，4，其这个等腰三角形周长是 ．【答案】10或11．【解析】由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3时，三角形三边长为3，3，4，334+>，能构成三角形；周长=3+3+4=10，（2）当腰长为4时，三角形三边长为3，4，4，周长=3+4+4=11，故答案为：10或11．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．考点九、等腰三角形的判定例9 （2020黄冈模拟）如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，BC 与AD 交于点E ，AC ＝BD ，求证：AE ＝BE ．【答案】见解析【解析】证明：∵∠C ＝∠D ＝90°，∴△ACB 和△BDA 是直角三角形，在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，{AB =BA AC =BD， ∴Rt △ACB ≌Rt △BDA （HL ），∴∠ABC ＝∠BAD ，∴AE ＝BE ．【名师点睛】本题考查了全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．考点十、等边三角形的性质例10 （2020常州）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若△AFC 是等边三角形，则∠B= °．【答案】30【解析】∵EF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠B=∠BCF ，∴△ACF 为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°，故答案为：30.【名师点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用垂直平分线的性质求出∠B=∠BCF 是解本题的关键．考点十一、等边三角形的性质与判定例11 （2020宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B ，C 为小路端点）和一棵小树（A 为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC= 米．【答案】48【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵BC=48米，∴AC=48米.故答案为：48.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABC 是等边三角形．考点十二、含30度角的直角三角形例12 （2020黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，，则BD的长度为．【答案】．【解析】∵∠C=90°，∠ADC=60°，∴∠DAC=30°，∴CD=12 AD，∵∠B=30°，∠ADC=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AD，∴BD=2CD，∵∴，∴∴故答案为：【名师点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半的性质，属于基础题，速记性质是解题的关键.1.（2020宜昌）下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片．从对称美的角度看，拍得最成功的是（）A．B．C．D．2．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是（）A．100°B．104°C．108°D．112°3.（2020潜江模拟）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°4.（2019·广西北部湾）如图，在△ABC中AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹可知∠BCG的度数为（）A. 40°B. 45°C.50°D.60°5．（2020大连）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴的对称的点的坐标是（）A．（3，1）B．（3，−1）C．（−3，1）D．（−3，−1）6.（2020毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长（）A．13 B. 17 C. 13或17 D.13或107．（2020聊城）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120° B. 130° C. 145° D.150°8.（2020武汉东西湖模拟）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条9．（2020成都一模）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（）A．10 B．16 C．8 D．410．如图，在△ABC 中，AB =AC =11，∠BAC =120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点E ，则DF 的长为（ ）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．611.（2020温州模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。
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轴对称图形专题
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则底角的度数为．
2.已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC 是等边三角形；④AB=AO+AP．其中正确的是（）
A．①③④B．①②③C．①③D．①②③
6..如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
则下列结论一定正确的是（）
A．AD=BD B．AE=AC C.ED+EB=DB D．AE+CB=AB
7.等腰三角形中有一个角等于110°，则它的一个底角的度数是° .
8. 如图，△ABC中，AB+BC=12，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是. 9．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA，垂足为D，PD=5，则点P到OB的距离是.
10.一个边长为3和5的直角三角形，第三边的平方为 .
11.如图，△ABC≌△DCB，∠DBC=20°，则∠AOB=°．
12.如图等边△ABC中，BD=CE,AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为.
13如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC=6，△BCD的面积为12，则ED的长为.
14．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积cm2．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是13，则AB=．
16．如图，等边△ABC中，N是线段AB上的中点，∠BAC的平分线交BC于D，AD=4，M是AD上的动点，连接BM、MN,则BM+MN的最小值为_．
17.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则
第15题
BF等于多少
18.如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一
点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
19.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒
2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止
运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
20.如图，已知△ABC中，AB=AC,E、D为边AB、AC上的点，且BE=CF，BF=CD，
⑴求证：△DEF为等腰三角形；
⑵若∠B=80º，求∠EFD的度数
21.如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．
⑴若∠C=40º，求∠BAE的度数；
⑵试说明AB、DE、DC三条线段的之间的关系。
⑶若△ABE周长16cm，AD=6cm，求AC长．。