第八章 层次分析法
层次分析法
决策论层次分析法一、层次分析法概述1. 层次分析法的产生背景定量分析方法对于社会科学的发展产生了巨大的促进作用，因此越来越受到重视，特别是最优化模型，曾一度在决策问题中得到非常广泛应用。
但在应用过程中，也出现了一些问题，主要体现在以下几个方面。
第一，社会问题的复杂性决定了难以构造合适的模型。
即使构造出数学模型，有时也难以准确说明问题或者难以执行。
第二，决策问题带有相当多的主观性，而这很难体现在最优化模型中第三，庞大的模型成本太大，难以理解由于存在上述问题，人们重新思考数量方法在社会科学中的作用，特别是对于决策问题，如何既考虑数学分析的精确性，又考虑人类决策思维过程及思维规律，即定性与定量相结合，正是在这种背景下，产生了层次分析法。
2. 层次分析法的发展层次分析法（The Analytic Hierarchy Pricess，以下简称AHP）是由美国运筹学家、匹兹堡大学萨第（T.L.Saaty）教授于本世纪70年代提出的，他首先于1971年在为美国国防部研究“应急计划”时运用了AHP，又于1977年在国际数学建模会议上发表了“无结构决策问题的建模—层次分析法”一文，此后AHP在决策问题的许多领域得到应用，同时AHP的理论也得到不断深入和发展。
目前每年都有不少AHP的相关论文发表，以AHP为基本方法的决策分析系统—“专家选择系统”软件也已早推向市场，并日益成熟。
AHP于1982年传入我国。
在当年召开的中美能源、资源、环境会议上萨第教授的学生高兰尼柴（H.Gholamnezhad）向中国学者介绍了这一新的决策方法。
随后，许树柏等发表了发表了国内第一篇介绍AHP的文章“层次分析法—决策的一种实用方法”（1982年）。
此后，AHP在我国得到迅速发展，1987年9月我国召开了第一届AHP学术讨论会，1988年在我国召开了第一届国际AHP学术会议，目前AHP在应用和理论方面得到不断发展与完善。
3. 层次分析法基本原理层次分析法的基本原理是排序的原理，即最终将各方法（或措施）排出优劣次序，作为决策的依据。
层次分析法(AHP法)课件
0.268 精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,
=3.010
4. 层次总排序及其一致性检验
• 计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对 重要性的权值，称为层次总排序。
• 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
Z
A层m个因素A1, A2,, Am ,
这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影 响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用 较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多 目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便 的决策方法。
是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方 法。
• 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选 择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例
令a w / w
成对比较
A
w1
w1 w2
w1
wn
w2 w2
w2
wn
ij
i
j
满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n
的正互反阵A称一致阵。
wn
w1
wn
wn
w2
wn
一致阵 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n
Aw nw
性质 • 非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量
三、层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下 四个步骤：
1. 建立层次结构模型 2. 构造判断(成对比较)矩阵 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 层次总排序及其一致性检验
1. 建立层次结构模型
• 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策 对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层 和最低层，绘出层次结构图。
第八章 AHP 层次分析法(上课用)
基本的思路
先分解后综合的系统思想, 整理和综合人们的主观判断， 先分解后综合的系统思想, 整理和综合人们的主观判断， 的系统思想 使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。 使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。 首先将所要分析的问题层次化， 首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到 层次化 的总目标，将问题分解成不同的组成因素， 的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的 相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚类组合， 相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚类组合，形成 一个多层分析结构模型 最终归结为最低层（方案、措施、 多层分析结构模型， 一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、 指标等）相对于最高层（总目标） 指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或 相对优劣次序的问题。 相对优劣次序的问题。
3、构造判断矩阵
这一个步骤是AHP决策分析中一个关键的步骤。 决策分析中一个关键的步骤。 这一个步骤是 决策分析中一个关键的步骤 ①判断矩阵表示针对上一层次中的某元素而 判断矩阵表示针对上一层次中的某元素而 上一层次中 言，评定该层次中各有关元素相对重要性程 度的判断。假定 层中因素 层中因素A 度的判断。假定A层中因素 k与下一层次中因 素B1，B2，…，Bn有联系，则我们构造的判 ， 有联系， 断矩阵如下表。 断矩阵如下表。
而言， ②其中，bij 表示对于Ak 而言，元素Bi 对Bj 的相对重要性程度的 其中， 判断值。 判断值。 一般取1， ， ， ， 等 个等级标度 其意义为：1表示 i 个等级标度， 表示B 一般取 ，3，5，7，9等5个等级标度，其意义为：为什么采用1-9 思考： 表示 思考 ：为什么采用1 级的指标比例呢？ 级的指标比例呢？ 同等重要； 表示 表示B 重要一点； 表示 表示B 重要得多； 与B j同等重要；3表示 i较B j重要一点；5表示 i较B j重要得多； 7表示 i较B j更重要；9表示 i较B j极端重要。 表示B 更重要； 表示 表示B 极端重要。 表示 表示相邻判断的中值， 个等级不够用时， 而2，4，6，8表示相邻判断的中值，当5个等级不够用时， ， ， ， 表示相邻判断的中值 个等级不够用时 以上各数的倒数，表示两目标反过来比较。 可以使用这几个数。以上各数的倒数，表示两目标反过来比较。
层次分析法
1
建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则） 和决策对象按它们之间的相互关系分为最 高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低 层为因素层。
判断矩阵一致性检验的步骤如下：
(1) 计算一致性指标 C.I.：
C.I.
max n
n 1
其中 n 为判断矩阵的阶数；
(2) 查找平均随机一致性指标 R.I.：
平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复 进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。 龚木森、许树柏1986年得出的1—15阶判断矩阵重复 计算1000次的平均随机一致性指标如下：
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是 定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而 Saaty等人提出构造：成对比较矩阵A = (aij)n×n，即： 1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比 较。 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同 的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。 成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个 因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用 Saaty的1—9标度方法给出。
在正互反矩阵A中，若 a ik a kj a ij ,(A 的元素具有 传递性)则称A为一致阵。 定理：n 阶正互反阵A的最大特征根λmax ≥n, 当且仅当 λ =n时A为一致阵
一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和 一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多 样性所决定的。但在构造两两判断矩阵时，要求判 断大体上一致，出现甲比乙极端重要，乙比丙极端 重要，而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常 识的。一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导 致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏离一致性时， 用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其 可靠程度也值得怀疑。因而必须对判断矩阵的一致 性进行检验。
层次分析法
e1
1 4.511
0.778
0.172
,
3 0.665
0.4 6 7 e2 Ae1 0.565, e2 3.014,
1.9 9 1
01.55 0.471 e2 0.184, e3 0.559, e3 3.018,
0.661 1.988
0.156 0.473 e3 0.185, e4 0.561,
（4）定义未知参数 在这种问题中，运用层次分析法建立表达式 来表达未曾定义过的量。典型的例子是价值 工程，产品的价值V被定义为
VF C
其中F,C分别为产品的功能系数与成本系数， 它们可以用层次分析来定义。下面是一个 经济学例子。
例5 弹性系数的确定 经济学中有名的Cobb-Douglas生产函 数是
e (1,2,,n )T ,则权系数可取: wi i ,i 1,2,, n
在具体计算中,当
ek 与ek 1
接近到一定程度时,就取 e ek
例1 评价影视作品的水平, 用以下三个变量作评价指标 :
x1 教育性，x2 艺术性，x3 娱乐性
设有一名专家赋值:
x2 1, x3 5, x3 3
w1, w2 ,, wn
这 n 个常数便是权系数， 层次分析法给出了确定它们 的量化方法，其过程如下：
1.成对比较
从x1, x2,, xn中任取xi , xj ,比较它们
对y贡献的大小,给xi xj 赋值如下：
xi
xj
1,当认为“xi与x
贡献程度相同”时
j
xi
xj
3,当认为“xi比x
的贡献略大”时
x1
的概率估值为0.134+0.219+0.026=0.379,
层次分析法(AHP)ppt课件
W1 W1 W1 1 a12 , , a1n a11 W1 W2 Wn W2 W2 W2 a22 1 , , a2 n a21 W1 W2 Wn A Wi aij Wj W W W n n an1 n a a 1 n2 nn W W W 1 2 n
max n n 1
刘智勇18
因素比较方法 —— 成对比较矩阵法
• 目的
• 方法
1 A (aij ) nxn , aij 0, a ji (或aij aij 1) aij
正互反矩阵
A (aij ) , aij 0, aij 1 a ji
要比较某一层个因素对上一层因素O的影 响（例如：旅游决策解中，比较景色等5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要 性）。
1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , 2 3 4 5 6 7 8 9
结合计算过程来看AHP的基本思想
• 组合权向量的计算——层次总排序的权向量的计算 (1)计算出下一层每个元素对上一层每个元素的权向量 (2)并把下层每个元素对上层每个元素的权向量按列排成 以下表格形式 (3) 对层次总排序进行一致性检验：从高层到低层逐层进 行
刘智勇8
产生背景
• • • •
客观世界的复杂性 系统是最普遍存在的 许多决策问题无法定量化 思维方式需要改变
刘智勇9
层次分析法的基本原理
将一个复杂的无结构的问题分解为它的各个组成部分 ，将这些组成部分(或称为元素)整理成为一种递阶 层次的顾序，按照每个元素的相对重要性赋于其表 示主观判断的数量值；然后综合这些判断以决定到 底是哪个元素有着最大的权重和如何影响问题的最 终结果。
第八章层次分析法
第八章层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方式，它专门适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又有效的多准那么决策方式。
§1 层次分析法的大体原理与步骤人们在进行社会的、经济的和科学治理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由彼此关联、彼此制约的众多因素组成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这种问题的决策和排序提供了一种新的、简练而有效的建模方式。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i）成立递阶级次结构模型；（ii）构造出各层次中的所有判定矩阵；（iii）层次单排序及一致性查验；（iv）层次总排序及一致性查验。
下面别离说明这四个步骤的实现进程。
递阶级次结构的成立与特点应用AHP分析决策问题时，第一要把问题层次化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在那个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部份。
这些元素又按其属性及关系形成假设干层次。
上一层次的元素作为准那么对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次能够分为三类：（i）最高层：这一层次中只有一个元素，一样它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii）中间层：这一层次中包括了为实现目标所涉及的中间环节，它能够由假设干个层次组成，包括所需考虑的准那么、子准那么，因此也称为准那么层。
（iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各类方法、决策方案等，因此也称为方法层或方案层。
递阶级次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一样地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一样不要超过9个。
这是因为支配的元素过量会给两两比较判定带来困难。
层次分析法
五、 计算各层元素的组合权重
为了得到递阶层次结构中每一层次中所有元素相对 于总目标的相对权重，需要把第三步中的计算结果进行 适当的组合，并进行总的一致性检验。这一步是由上而 下逐层进行的。最终计算结果得出最低层次元素，即决 策方案的优先顺序的相对权重和整个递阶层次模型的判 断一致性检验。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种 新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成 组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两 比较的方法确定决策方案的相对重要性。
层次分析法在经济、科技、文化、军事、环境乃 至社会发展等方面的管理决策中都有广泛的应用。 常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、估计 和预测、投入量的分配等问题。
特征根方法的理论依据是如下的正矩阵的Perron 定 理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性： 定理 设 n 阶方阵 A > 0，λmax 为 A 的模最大的特征 根，则有 (1) λmax 必为正特征根，而且它所对应的特征向量为 正向量； (2) A 的任何其它特征根 λ 恒有 |λ| < λmax； (3) λmax 为 A 的单特征根，因而它所对应的特征向量 除差一个常数因子外是唯一的。
三、 计算单一准则下元素的相对权重
这一步是要解决在准则 Ck 下，n 个元素A1, …, An 排 序权重的计算问题。 对于 n 个元素 A1, …, An，通过两两比较得到判断矩 阵 A，解特征根问题 Aw = λmaxw 所得到的 w 经归一化后作为元素 A1, …, An 在准则 Ck 下 的排序权重，这种方法称为计算排序向量的特征根法。
阶数 R.I. 阶数 R.I. 1 0 9 1.46 2 0 10 1.49 3 0.52 11 1.52 4 0.89 12 1.54 5 1.12 13 1.56 6 1.26 14 1.58 7 1.36 15 1.59 8 1.41
第八章 层次分析法
第八章 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii ）层次单排序及一致性检验；（iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
《层次分析法教程》课件
案例二：投资项目评估
总结词
层次分析法可以用于评估投资项目的风险和收益，帮助投资者做出明智的决策。
详细描述
投资者可以根据项目特点和需求，构建项目评估的层次结构模型，对项目的风险和收益进行量化评估 ，从而选择最优的投资项目。
案例三：供应商选择问题
总结词
层次分析法可以帮助企业更加科学地选择合适的供应商，提高采购效率和降低采购成本 。
一致性检验的限制
层次分析法在检验判断 矩阵的一致性时，对于 大型问题可能会遇到一 致性检验的限制，导致 结果的不准确。
适用范围有限
层次分析法主要适用于 具有层次结构的问题， 对于非层次化的问题可 能不太适用。
层次分析法的改进方向
引入客观评价方法
为了减少主观因素的影响，可以 考虑引入客观评价方法，如熵权 法、灰色关联分析等，来辅助确 定权重和判断矩阵。
判断矩阵的权重计算
权重计算的方法
权重计算是层次分析法的核心步骤之一，常用的方法有和积法、方根法等。这些方法都是基于判断矩阵的元素值 来计算各个因素的权重。
权重计算的结果
通过权重计算，可以得到各个因素在整体中的相对重要性程度。这些权重值可以用于后续的决策分析中，以帮助 决策者做出更加科学合理的决策。
准则层
01
准则层是层次分析法的中间层，代表实现目标所需要考虑的准 则或限制条件。
02
在制定准则层时，需要深入分析问题，识别出影响目标实现的
关键因素或限制条件。
准则层可以有多个元素，代表不同的准则或限制条件。
03
方案层
01
方案层是层次分析法的最低层，代表实现目标的具体
方案或措施。
02
在制定方案层时，需要提出具体的解决方案或措施，
层次分析法
层次分析模型
背 景
• 日常工作、生活中的决策问题 日常工作、 • 涉及经济、社会等方面的因素 涉及经济、 • 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化 大的作用， • Saaty于1970年代提出层次分析法 于 年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) • AHP——一种定性与定量相结合的、 一种定性与定量相结合的 一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法 系统化、层次化的分析方法
L L L L
a1n a2 n L ann
A 则称为成对比较矩阵 成对比较矩阵。 成对比较矩阵
比较尺度：（1~9尺度的含义） 比较尺度：（1~9尺度的含义） ：（1~9尺度的含义 尺度 含义 第i 个因素比第 j个因素同等重要 个因素稍微重要 j j 个因素明显重要 j 个因素强烈重要 j 第 i 个因素比第 个因素绝对重要 第 i 个因素比第 第 i 个因素比第 第 i 个因素比第
λ2
w2(3)
组合权向量
k 1 0.595 0.277 0.129 3.005 0.003
层对第2层的计算结果 第3层对第 层的计算结果 层对第 2 0.082 0.236 0.682 3.002 0.001 3 0.429 0.429 0.142 3 0 4 0.633 0.193 0.175 3.009 0.005 5 0.166 0.166 0.668 3 0
１ ３ ５
2,4,6,8表示第 i 个因素相对于第 j 个因素的重要程度介于上述 两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义 1 a ij = 根据 。 a ji
由上述定义知，成对比较矩阵 A = a ij
层次分析法课件ppt
按行相加为：
Wi= 1nbij
(i =1,2,….n)
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
o对向量W=（ W1， W2…… Wn)t归一 化处理:
Wi=
Wi 1nWj
(i =1,2,….n)
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓明确问题 在分析社会、经济的以及科学管
理等领域的问题时，首先要对问题有 明确的认识，弄清问题的范围，了解 问题所包含的因素，确定出因素之间 的关联关系和隶属关系。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
9 两个元素比较，一元素比另一元素极端重要
2,4,6,8 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
判断矩阵B具有如下特征：
o bii = 1 o bji = 1/ bij o bij = bik/ bjk
j1
Wi
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓层次总排序 利用层次单排序的计算结果，进
一步综合出对更上一层次的优劣顺序 ，就是层次总排序的任务。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
层次分析法的方法与原理
层次分析法的方法与原理层次分析法的方法和原理一、层次分析法简介层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。
在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。
比如选择一个旅游景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游地的景色、景点的居住条件和饮食状况以及交通状况等等。
这些因素是相互制约、相互影响的。
我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。
这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。
层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。
层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。
所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序(权数)和总排序，以作为目标(多指标)、多方案优化决策的系统方法，称为层次分析法。
二、层次分析法的定义所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序(权数)和总排序，以作为目标(多指标)、多方案优化决策的系统方法，称为层次分析法。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
层次分析法ppt
当 C.R.< 0.10 时，便认为 判断矩阵具有可以接受的一致 性。当C.R. ≥0.10 时，就需要调 整和修正判断矩阵，使其满足 C.R.< 0.10 ，从而具有满意的 一致性。
6/20/2013
层次分析法（AHP）具体步骤：
层次单排序 层次单排序就是把本层所有各 元素对上一层来说，排出评比顺序 ，这就要计算判断矩阵的最大特征 向量，最常用的方法是和积法和方 根法。
6/20/2013
对于多阶判断矩阵，引入平 均随机一致性指标 R.I.(Random Index),下表给出了1-15阶正互反矩 阵计算1000次得到的平均随机一致 性指标 。
6/20/2013
n
1
2
3
4
5
6
7
8
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
n
9
10
11
12
13
14
15
6/20/2013
标 度
1 3
定义与说明 两个元素对某个属性具有同样重要性 两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要
5
7 9 2,4,6,8
两个元素比较，一元素比另一元素明显重要
两个元素比较，一元素比另一元素重要得多 两个元素比较，一元素比另一元素极端重要 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度 两个元素的反比较
6/20/2013
1/bij
判断矩阵B具有如下特征： o bii = 1 o bji = 1/ bij o bij = bik/ bjk (i,j,k=1,2,….n)
6/20/2013
判断矩阵中的bij是根据资料 数据、专家的意见和系统分析人 员的经验经过反复研究后确定。 应用层次分析法保持判断思维的 一致性是非常重要的，只要矩阵 中的bij满足上述三条关系式时， 就说明判断矩阵具有完全的一致 性。
《层次分析法》课件
企业在制定战略决策时，需要考虑多种因素，如市场环境、 竞争态势、自身资源等。层次分析法可以将这些因素按照重 要性进行排序，帮助企业明确重点，制定出更符合实际情况 的战略计划。
资源分配问题
总结词
层次分析法可以用于解决资源分配问题，通过对不同方案进行权重分析和比较 ，确定最优的资源分配方案。
详细描述
它通过构建层次结构模型，将决策问题分解为不同的组成因素，并根据 因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合，形
成一个多层次的分析结构模型。
在这个模型中，上一层次的元素作为准则，对下一层次元素起支配作用 ，通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性。
层次分析法的起源与发展
1980年代初，美国运筹学家 T.L.Saaty首次提出层次分析法。
经过多年的发展，层次分析法已经广 泛应用于各个领域，如经济计划、财 政预算、资源分配、人才选拔等。
该方法最初应用于解决复杂的决策问 题上，特别是那些难以完全用定量方 法来处理的决策问题。
层次分析法的发展也经历了多个阶段 ，包括理论方法的完善、应用领域的 拓展以及计算机软件的普及等。
层次分析法的应用领域
在资源有限的情况下，如何将资源合理分配到各个部门或项目中，是企业管理 者面临的重要问题。层次分析法可以对各种资源分配方案进行评估和比较，为 企业提供科学的决策依据。
风险评估问题
总结词
层次分析法可以用于风险评估，通过对风险因素进行分析和权重排序，帮助企业 识别和评估潜在的风险。
详细描述
企业在经营过程中面临多种风险，如市场风险、财务风险、技术风险等。层次分 析法可以对各种风险因素进行权重分析和排序，帮助企业识别出主要的风险来源 ，从而采取相应的措施进行防范和控制。
层次分析法课件
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1 通过一致 性检验
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标） ( 2) ( 2) ( 2) T 的权向量为 w ( w1 ,, wn )
…Cn
…Bn … n
最大特征根 1
2
w2(3)
权向量
w1(3)
… wn(3)
组合权向量
k 1
第3层对第2层的计算结果 2 3 4 5
w
( 3) k
0.595 0.277 0.129
3.005 0.003
0.082 0.236 0.682
3.002 0.001
0.429 0.429 0.142
对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
成对比较阵和权向量 比较尺度aij
Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
2 3 稍强 4 5 强 6 7 8 9 绝对强
层次分析法的优点
• 系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、 综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、 测试分析并列）； • 实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方 法不能解决的问题； • 简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者 直接了解和掌握。
层次分析法的局限
• 囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案； • 粗略——定性化为定量，结果粗糙；
0
收 岸 入 间 C2 商 业 C3
自 豪 感 C8
层次分析法
（一）层次分析法简介层次分析法其实是主观赋权法的一种，主观赋权法是由评价者对评价指标进行主观上的赋权，主要是通过评价者的对评价指标进行打分，从而获得定量化的数据，常用的还有德尔菲法。
通过主观赋权法对评价指标权重系数进行确定，能够反映评价者的经验知识以及主观意向，是较为常用的指标赋权方法。
但是想要获取较为准确的评价结果，必须要做大量的工作，务必对大量的评价者进行咨询，然后其评价结果也相对主观。
相对而言，客观赋权法的影响因素主要来源于客观环境。
常见的客观赋权法有因子分析法、主成分分析法、嫡值法等。
虽然客观赋权法能够克服主观一些不利的影响因素，所获得的结果也有较强的数学理论基础，但是其并不能完全符合权重的基本性质，没有对指标本身的重要性进行考虑。
为此，本文为了能够更加全面的对数据进行分析，同时采用主观赋权法和客观赋权法进行比较研究，主要采用层次分析法和主成分因子分析法。
“层次分析法（analytic hierarchy process,AHP）是美国运筹学家T.L.Satty教授于20世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的定性与定量分析相结合的多准则决策方法[31]”。
其主要是指将与决策有关的所有影响因素分为目标层、准则层、方案层等层次，并以此基础进行定性和定量分析的一种方法。
其将复杂的问题用有序递阶层次结构表示，并且根据指标的优劣进行对比排序，然后进行指标相对重要性的两两比较，给出与其相对应的比例标度，构造上层某个指标对下层相对应指标的判断矩阵，以确定相关指标对上层指标的相对重要序列。
此外，还要对其一致性进行检验，才能进行目标下的因素单排序，最后将各子目标下因素的排序逐层汇总后，通过计算获得总目标下因素的总排序，从而得出不同要素或评价对象的优劣权重值，为决策和评价提供依据[32]。
（二）模糊综合评价法“模糊综合评价方法是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级状况进行综合性评级的一种方法[33]”。
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第八章 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii ）层次单排序及一致性检验；（iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有、、 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
1P 2P 3P 在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。
可以建立如下的层次结构模型。
目标层 选择旅游地O准则层 景色 费用 居住 饮食 旅途C措施层P1P 2P 3P1.2 构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。
此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
为看清这一点，可作如下假设：将一块重为1千克的石块砸成小块，你可以精确称出它们的重量，设为，现在，请人估计这n 小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。
n n w w ,,1Λ设现在要比较个因子n },,{1n x x X Λ=Z 对某因素的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty 等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。
即每次取两个因子和，以表示和对i x i x Z j x ij a j x 的影响大小之比，全部比较结果用矩阵表示，称X Z −A n n ij a A ×=)(为之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。
容易看出，若与对i x Z j x 的影响之比为，则与对i x Z ij a j x 的影响之比应为ijji a a 1=。
n n ij a A ×=)(定义1 若矩阵满足 ij ji a a 1=（i ），（ii ）0>ij a n j i ,,2,1,Λ=） （则称之为正互反矩阵(易见，)。
1=ii a n i ,,1Λ=关于如何确定的值，Saaty 等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。
下表列出了1~9标度的含义：ij a从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。
Saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9标度最为合适。
2)1(−n n 最后，应该指出，一般地作次两两判断是必要的。
有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作1−n 个比较就可以了。
这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。
进行2)1(−n n 次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。
1.3 层次单排序及一致性检验A max λ判断矩阵对应于最大特征值的特征向量W ，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。
但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。
如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A 的元素还应当满足：ik jk ij a a a =，n k j i ,,2,1,,Λ=∀ （1）定义2 满足关系式（1）的正互反矩阵称为一致矩阵。
A 需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵是否严重地非一致，以便确定是否接受A 。
A max λ定理1 正互反矩阵的最大特征根必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。
A max λ。
的其余特征值的模均严格小于A 为一致矩阵，则定理2 若A 必为正互反矩阵。
（i ）（ii ）A 的转置矩阵也是一致矩阵。
T A A A 1)(rank =A （iii ）的任意两行成比例，比例因子大于零，从而（同样，的任意两列也成比例）。
（iv ）A 的最大特征值n =max λ，其中为矩阵n A 的阶。
A 的其余特征根均为零。
j i ij w w a =（v ）若A 的最大特征值max λ对应的特征向量为，则T n w w W ),,(1Λ=，，即n j i ,,2,1,Λ=∀⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111 定理3 阶正互反矩阵n n =max λA 为一致矩阵当且仅当其最大特征根，且当正互反矩阵n >max λA 。
非一致时，必有根据定理3，我们可以由max λ是否等于来检验判断矩阵n A 是否为一致矩阵。
由于特征根连续地依赖于，故ij a max λ比大得越多，n A 的非一致性程度也就越严重，},,{1n x x X Λ=Z max λ 在对因素对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出的影响中所占的比重。
因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。
对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：（i ）计算一致性指标CI1max −−=n nCI λRI 9,,1Λ=n RI ，Saaty 给出了（ii ）查找相应的平均随机一致性指标。
对的值，如下表所示：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45RI 的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值max 'λ，并定义1'max −−=n n RI λ。
（ⅲ）计算一致性比例CR RICI CR = 当时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
10.0<CR 1.4 层次总排序及一致性检验上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。
我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。
总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。
m A A ,,1ΛA 设上一层次（层）包含共m 个因素，它们的层次总排序权重分别为。
又设其后的下一层次（层）包含n 个因素m a a ,,1ΛB n B B ,,1Λ，它们关于的层次单排序权重分别为j A nj j b b ,,1Λ（当与无关联时，i B B A 0=ij b ）。
现求j 层中各因素关于总目标的权重，即求B n b b ,,1Λ层各因素的层次总排序权重，计算按下表所示方式进行，即，∑==m j j iji a b b 1n i ,,1Λ=。
对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。
这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。
但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。
B 设层中与相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为，（），相应的平均随机一致性指标为（已在层次单排序时求得），则j A )(j CI m j ,,1Λ=)(j RI B )()(j RI j CI 、层总排序随机一致性比例为∑∑===m j jm j jaj RI aj CI CR 11)()( 当时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。
10.0<CR§2 层次分析法的应用在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（i ）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（ii ）如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。
层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。
但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（i ）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。
（ii ）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。
AHP 至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法。
AHP 方法经过几十年的发展，许多学者针对AHP 的缺点进行了改进和完善，形成了一些新理论和新方法，像群组决策、模糊决策和反馈系统理论近几年成为该领域的一个新热点。
在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。
现再分析一个实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。
例2 挑选合适的工作。
经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。
该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示。
A1B 2B 4B 3B 5B 6B 1 1 1 4 1 1/21B 1 1 2 4 1 1/22B 1 1/2 1 5 3 1/2 3B 4B 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/31 1 1/3 3 1 15B 2 2 2 3 3 16B（方案层）1B1C 2C 2B 1C 2C 3C 3C 1C 1 1/4 1/2 1 1/4 1/51C 2C 4 1 3 4 1 1/22C 3C 2 1/3 1 5 2 13C3B1C 2C 4B 1C 2C 3C 3C 1C 1 3 1/3 1 1/3 51C 2C 1/3 1 7 3 1 72C 3C 3 1/7 1 1/5 1/7 13C5B1C 2C 1C 2C 3C 6B 3C 1C 1 1 7 1 7 91C 2C 1 1 7 1/7 1 12C 3C 1/7 1/7 1 1/9 1 13C （层次总排序）如下表所示。