大学物理刚体运动学
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大学物理试题库刚体力学 Word 文档大学物理试题库刚体力学word文档第三章刚体力学一、刚体运动学（定轴转动）---角位移、角速度、角加速度、线量与角量的关系1、刚体做定轴转动，下列表述错误的是：【】a；各质元具备相同的角速度；b：各质元具备相同的角加速度；c：各质元具备相同的线速度；d：各质元具备相同的角位移。
2、半径为0.2m的飞轮，从静止开始以20rad/s2的角加速度做定轴转动，则t=2s时，飞轮边缘上一点的切向加速度a?=____________，法向加速度an=____________，飞轮转过的角位移为_________________。
3、刚体任何复杂的运动均可理解为_____________和______________两种运动形式的合成。
二、转动惯量1、刚体的转动惯量与______________和___________________有关。
2、长度为l，质量为m的光滑木棒，顾其一端a点旋转时的转动惯量ja=_____________，拖其中心o点旋转时的转动惯量jo=_____________________。
3、半径为r、质量为m的光滑圆盘拖其中心轴（旋转轴盘面）旋转的转动惯量j=___________。
4、【】两个匀质圆盘a和b的密度分别就是?a和?b，若?a??b，但两圆盘的质量和厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为ja和jb则：（a）ja?jb；（b）ja?jb（c）ja?jb（d）不能确定三、刚体动力学----旋转定理、动能定理、角动量定理、角动量动量1、一短为l的轻质细杆，两端分别紧固质量为m和2m的小球，此系统在直角平面内可以绕开中点o且与杆横向的水平扁平紧固轴(o轴)旋转．已经开始时杆与水平成60°角，处在静止状态．无初输出功率地释放出来以后，杆球这一刚体系统拖o轴旋转．系统拖o轴的转动惯量j＝___________．释放出来后，当杆转至水平边线时，刚体受的合外力矩m=______；角加速度______．2、一个能绕固定轴转动的轮子，除受到轴承的恒定摩擦力矩mr外，还受到恒定外力矩m的作用．若m＝20nm，轮子对固定轴的转动惯量为j＝15kgm2．在t＝10s内，轮子的角速度由??＝0增大到?＝10rad/s，则mr＝_______．3、【】银河系有一可以视作物的天体，由于引力汇聚，体积不断膨胀。
大学物理刚体力学
该式同样适用于薄圆盘
(4) 均匀球体绕其对称轴的转动惯量. 已知: 球的半径为 R , 质量 m . 3 3 m (4 R ) 设其质量密度为 方法1: 取距球心为 x 处, 厚度为dx、半径为 r 的薄圆盘为质量元 圆盘半径 体积元 质量元
r R x
2 2
r
R
x
dx
dV r dx （R x ) dx
i
d d M I I I 2 dt dt
2
定轴转动定律 : 刚体绕定轴转动时 , 作用在刚体 上的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与角 加速度的乘积.
以矢量形式表示 其中合外力矩
M Iβ
M Mi ri Fi
i i
力矩指向在转轴方位 转动惯量
I mi ri
2
则有
I x dm
2
l 2
l 2
x dx
2
2
l 2
0
1 3 1 2 x dx l ml 12 12
2
(2) 均匀细圆环绕其对称轴的转动惯量. 已知: 半径 R, 总质量 m .
I R dm R
2
2
dm
R
mR
2
dm
(3) 空心圆柱绕其对称轴的转动惯量. 已知: 内半径 R1, 外半径 R2 , 高 l , 总质量 m .
对(2)式乘以ri : 对 i 求和:
(1) (2)
2
Fr i i sin i fi r i sin i mi ra i it mi r i
2
Fr i i sini fi r i sin i mi r i
i i i
大学物理第五章 刚体力学1
特点： 1. 转动惯量具有叠加性
2. 与刚体质量分布有关 （总质量相同的刚体，质 量分布离轴越远，转动惯 量越大）
3. 转轴不同，J 不同
J miri2
i
例：如图质点系
i3
J miri2 i 1 m1r12 m2r22 m3r32
m3
r1 m1
r3 m2 r2
例：课本P182习题5.5
定轴转动定律在转动问题中的地位 律时完全 相同。
相当于平动时的牛顿第二定律
§5.3 转动惯量的计算 反映刚体转动惯性的大小
分立质点 J miri2
i
若质量连 J r 2dm
续分布:
m
由刚体内各质 元相对固定轴 的分布所决定， 与刚体的运动 及所受外力无 关。
在（SI）中，J 的单位：kgm2
L
B X
JC
L
2 L
x 2dx
2
mL2 12
A
C
-L/2
B L/2 X
J 和转轴有关 同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的
2、平行轴定理
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量
两轴平行，相距L/2。可见：
J
A＝J C＋m
L 2
2
4.一般运动——既平动又转动
o
Δ
质心的平动和绕定轴的转动结合
o
Δ
平动和转动——可以描
述所有质元（质点）的
运动。
二、刚体定轴转动的描述(运动学问题)
z 转动平面
v
P θr O
刚体
定轴
定轴转动：各质
元在自己的转动平 面内作圆周运动， 其圆心都在一条固 定不动的直线（转 轴）上。各质元的 线量一般不同（因 为半径不同）,但角 量（角位移、角速 度、角加速度）都 相同。
大学物理 刚体
4. 角动量守恒定律： M 0 L C
5. 而 L J ω 仅对固定对称轴成立：
k ω
o
L
k ω L
L k ω L
o
r
o
r
r
o
r
2 2 2 2 3 1 R m R 2 2 A M J 2 2 8 g 4 2
11
例七：质量为 m 、长为 l 的均匀长杆，一端可绕水 平的固定轴旋转。开始时，杆静止下垂。现有一质 量为 m 的子弹，以水平速度 v 击中杆后就附在杆上 随之一起摆动。设击点距离转轴为 3l / 4，求杆向上 摆动的最大角度。 解：角动量守恒，机械能守恒。
2. 刚体是特殊的质点系：
M ( ri i z i k ) ( Fi r i Fi j Fi z k ) M z ri Fi L Li (ri i zi k ) mi (ri j ) Lz mi ri 2 ( mi ri 2 )
3. 刚体的定轴转动定律：
J mi ri 2
M J
刚体在作定轴转动时，角加速度与合外力矩成正比 且方向相同皆沿转轴，与刚体的转动惯量成反比。
4
例一：质量为 m1 的物体用轻绳挂缠在 质量为 m2、半径为 R 的定滑轮上，由 静止开始释放物体。试求：物体的加 速度、滑轮的角加速度和绳的张力。
d M ( 2 r d r ) g r 2g r 2 d r
R
M 2 g
0
2 r d r 2 g R mg R 3
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
大学物理习题答案03刚体运动学
⼤学物理习题答案03刚体运动学⼤学物理练习题三⼀、选择题1.⼀⼒学系统由两个质点组成，它们之间只有引⼒作⽤。
若两质点所受外⼒的⽮量和为零，则此系统(A) 动量、机械能以及对⼀轴的⾓动量都守恒。
(B) 动量、机械能守恒，但⾓动量是否守恒不能断定。
(C) 动量守恒，但机械能和⾓动量守恒与否不能断定。
(D) 动量和⾓动量守恒，但机械能是否守恒不能断定。
[ C ]解：系统＝０合外F，内⼒是引⼒（保守内⼒）。
（１）021 F F,＝０合外F ，动量守恒。
（２）2211r F r F A ＝合。
21F F，但21r r时0A 外，因此Ｅ不⼀定守恒。
（３）21F F，2211d F d F M ＝合。
两⼒对定点的⼒臂21d d 时，0 合外M，故L 不⼀定守恒。
2. 如图所⽰，有⼀个⼩物体，置于⼀个光滑的⽔平桌⾯上，有⼀绳其⼀端连结此物体，另⼀端穿过桌⾯中⼼的⼩孔，该物体原以⾓速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从⼩孔往下拉。
则物体 (A) 动能不变，动量改变。
(B) 动量不变，动能改变。
(C) ⾓动量不变，动量不变。
(D) ⾓动量改变，动量改变。
(E)⾓动量不变，动能、动量都改变。
[ E ]解：合外⼒（拉⼒）对圆⼼的⼒矩为零，⾓动量O Rrmv L 守恒。
r 减⼩，v 增⼤。
因此p 、E k 均变化（m不变）。
3. 有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B 。
A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀。
它们对通过环⼼并与环⾯垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则(A)A J >B J (B) A J < B J(C) A J =B J (D) 不能确定A J 、B J 哪个⼤。
[ C ]解：2222mR dm R dm R dm r J， J 与m 的分布⽆关。
另问：如果是椭圆环，J 与质量分布有关吗？（是）4. 光滑的⽔平桌⾯上，有⼀长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O ⾃由转动，其转动惯量为31mL 2，起初杆静⽌。
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
大物刚体力学公式总结
大物刚体力学公式总结一、基本概念刚体力学是研究刚体运动和静力学平衡条件的一个分支学科。
所谓刚体是指形状不变的物体，其内部各点间的距离在运动或受力作用下保持不变。
刚体的运动可以分为平动和转动两种类型。
二、刚体运动的描述刚体的平动运动可以用质点的运动来描述，质点的位置可以用位矢来表示。
刚体的转动运动可以用刚体固定在某一轴上的角度来描述。
刚体的运动状态可以用位移、速度和加速度来表示，其中位移是位置的变化量，速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率。
三、刚体力学的基本公式1.平动运动的基本公式：•位移公式：位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
即 S = V0t + (1/2)at2；•速度公式：速度等于初速度加上加速度乘以时间。
即 V = V0 + at；•加速度公式：加速度等于速度差除以时间。
即 a = (V - V0) / t。
2.转动运动的基本公式：•角位移公式：角位移等于角速度乘以时间。
即θ = ωt；•角速度公式：角速度等于角位移除以时间。
即ω = θ / t；•角加速度公式：角加速度等于角速度差除以时间。
即α = (ω - ω0) / t。
3.平衡条件公式：•平衡条件一：物体受力的合力等于零。
即ΣF = 0；•平衡条件二：物体受力的合力矩等于零。
即ΣM = 0。
四、刚体的平衡问题刚体在平衡时，其受力和受力矩必须满足平衡条件。
通过平衡条件可以解决刚体的平衡问题，例如平衡杆的支点位置计算、悬挂物体的平衡问题等。
刚体的平衡问题还涉及到力的作用点的选取、力的方向的确定等。
通过恰当选择作用点和确定力的方向，可以简化刚体的平衡问题的求解。
五、刚体力学问题的求解步骤1.定义问题：明确刚体的运动类型和求解目标。
2.给定条件：根据实际情况给出题目的已知条件。
3.分析问题：根据题目所给条件，分析问题的物理本质和特点。
4.建立模型：根据问题的要求，建立适当的物理模型。
5.进行计算：根据已知条件和所建模型，进行计算求解。
大学物理刚体归纳总结
大学物理刚体归纳总结在大学物理学习中，刚体是一个重要的概念，广泛应用于力学、动力学和静力学等领域。
本文将对刚体的定义、特点以及相关定理进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和掌握刚体的基本知识。
一、刚体的定义和特点刚体是指可以看作一个整体、无论受到什么力都能保持形状不变的物体。
在实际应用中，我们常常将刚体简化为点、线或面，以便进行研究和计算。
刚体具有以下特点：1. 形状不变性：无论刚体受到外力的作用，其形状都不会发生改变。
2. 外力作用点的变化不引起内部构件间相对位置的改变：即刚体内各个质点之间的相对位置保持不变。
3. 刚体内各个质点之间的相对位置保持不变：即刚体内构件间的距离和角度不会发生变化。
二、刚体的运动学性质1. 刚体的平动：刚体作平动时，刚体上每个点的速度都相同，且方向相同。
2. 刚体的转动：刚体作转动时，刚体上的各点绕着同一条轴旋转。
这个轴称为刚体的转轴，刚体绕转轴的转动速度相同。
刚体平衡的条件是力矩的和等于零。
力矩是由力对刚体产生的转动效果，其大小与力的大小、作用点到转轴的距离和力的夹角相关。
四、刚体静力学定理与公式1. 雅可比定理：在刚体有多个力作用时，可以将这些力简化为只有一个力等效，该力的大小、方向和作用点都与原有多个力相同，这个力称为合力。
2. 力的合成定理：当刚体上有多个力作用时，可以将这些力合成为一个结果力，该力等效于原有多个力的合力。
3. 力矩的平衡条件：对于处于平衡状态的刚体，刚体上力矩的和必须等于零。
4. 平衡条件的应用：根据刚体平衡条件，可以解决各种与刚体平衡有关的问题，如悬挂物体的平衡、天平的平衡等。
五、刚体动力学定理与公式1. Euler定理：刚体绕固定轴的转动，转动惯量与角加速度和转矩之间存在关系，即转动惯量等于转矩与角加速度的比值。
2. 动量定理：外力矩与刚体的角动量之间存在关系，外力矩等于刚体的角动量关于时间的变化率。
3. 动能定理：刚体的动能与角速度和转动惯量之间存在关系，动能等于转动惯量与角速度平方的乘积的一半。
大学物理04刚体
合外力矩沿着转 轴方向的分量
----微分形式
冲量矩
Mdt dL
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
L2
L1
J2
J1
----积分形式
如果转动惯量变化了
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
J22
J11
二当、刚M体定0 轴转动角动量守恒
B两滑轮的角加速度分别为 A和 B ，不 计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角加速
度大小满足（A ）
A A B
R
R
B A B
C A B
m
F
A
B
[例12]质量为mA的物体A静止在光滑水平面 上，它和一质量不计的绳索相连接，此绳 索跨过一半径为R、质量为mc的圆柱形滑 轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B 竖直悬挂。圆柱形滑轮可绕其几何中心轴
0.5m
JC 1 0.32 2 0.52
0.59kg m2
例4质量m,长度L 的均质细杆的转动惯量 （1）转轴过杆的端点
dm m
dl L
dm
dx
x
J L x2dm L x2dx 1 mL2
0
0
3
（2）转轴过杆的中点
dm dx x
J
单位：kg m2
连续分布有
r 2dl 线分布，为线密度
J
r
2dm
r
2
ds
面分布， 为面密度
r 2 dV 体分布，为体密度
大学物理_第06章 刚体力学
接触点相同线速度时： 1r1 2r2
联立解得：
1
J1
J1 ( r1 r2
)2
J2
0
2
r1 r2
J1
J1
(
r1 r2
)2
J
2
0
书上177页
解： dm
2 rdr
m2 rdr R2
2mrdr R2
df
2mrdr R2
g
dM
r
2mrdr R2
g et
2mr 2dr R2
g
M
R
dM
0
R 0
2mr 2 dr R2
dm dV
其中、、分别为质量线密度、面密度和体密度。
转动惯量
2）. 转动惯量的计算：
质点、圆环、圆筒绕中心轴转动
z
z
Rm
oR m
R
m
o
质点的转动惯量为
Jo mR2
对于匀质圆环和薄圆筒，因各质元到轴的垂直距
离都相同，则有
Jo mR2
圆盘、圆柱绕中心轴转动
对于质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘取半径为 r宽
需要一个动力学方程 — 角动量定理
角动量定理： M dL
dt
转轴转动角动量表达式：
Mz
dLz dt
转轴分量角动量定理表达式：
n
Lz z mi (xi2 yi2 ) z J i1
转动定律：
Mz
dLz dt
d (J)
dt
J
d
dt
J
z v
r
P
当刚体绕固定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速 度的乘积等于外力对此轴的合力距。 — 定轴转动定律
大学物理第八讲、刚体运动学
2. 各质元作圆周运动的半径在相同的时间内转过的 角度相同。 ω 推论：所有质元都具有相同的角位 移、角速度和角加速度。 vi 三、刚体定轴转动的描述 ★用角量描述最为方便。
角速度矢量
o
ri
)
θ
∆mi
x
ω的方向平行于转轴。与转动方向成右旋关系时为
正，反之为负。
dθ ω= ω = dt
dt = J
ω
J
M0 M1
∫
ω
0
kt t dt − dω 1 J =∫ = ω M − e (1 ) 0 0 M 0 − kω J a
21
例：质量为m的均质细杆长为l，可绕过一端的O轴转 动。设杆自水平静止释放，求： ⑴当杆与水平方向成 θ 角时的角加速度； ⑵杆过铅直位置时的角速度; ⑶ 杆过铅直位置时，轴作用于杆上的力N。 解：杆受重力和轴的支承力，后者对轴无力矩。 y l ⑴ 重力矩：M = mg cosθ N z l 2 x o θ 转动定理： M = J α 1 2 J = ml 3
j
i
∆rij = c
ri
rj
o
3
刚体平动的特征 对上式求导得
结论
rj = ri + ∆rij v j = vi
c 平动：∆rij = a j = ai
∆rij
j
i
ri
rj
o
刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度， 和相同的运动轨迹。 ●任意一点的运动规律即可代表整个刚体的平动 规律。 ●通常用质心的运动来描述刚体整体的平动规律。
2 l /2 2
J= J C + md A
2
大学物理课件：刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 ：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体 动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质
6.1 刚体运动学(大学物理)
1、转动惯量
刚体转动时，刚 体内的各质点作圆周 运动，刚体的动能等 于各质点动能之和。
mn
m1
rn
r1
r2 m2
1 1 1 2 2 2 Ek m1v1 m2v2 mnvn 2 2 2 n n 1 1 2 2 mivi mi (ri ) i 1 2 i 1 2 1 n 2 2 ( miri ) 2 i 1
1 l 1 2 2 J ml m ml 结果与前相同。 3 12 2
t
0
1 2 0 0 t t 2
v v 2a( x x0 )
2 2 0
2 ( )
2 2 0 0
匀变速转动
六 角量与线量之间的关系
1、位移与角位移之间的关系 刚体转过 刚体上的一点 位移 s
o
r
s
x
s r
第六章 刚体力学
本章主要内容：
6－1 刚体的运动 6－2 刚体的角动量、转动动能、转动惯量
6－3 力矩
刚体定轴转动定律
6－4 定轴转动的动能定理 6－5 刚体对定轴的角动量守恒定律
6－6 进动*
本章学习要求
2.理解转动惯量、力矩的概念，掌握转动定律。 3.掌握刚体转动的动能定理、角动量定理。
1.掌握刚体定轴转动的特点，理解角坐标、角位移 角速度、角加速度的概念。
1 n 刚体的转动动能 Ek ( miri2 ) 2 2 i 1 1 2 与平动动能比较 Ek mv 2 n 2 miri ：相对于转轴的特征的物理量
i 1
转动惯量的定义：
单位：kg ·m2
J m r
i 1
大学物理03-刚体力学基础
J
r
m
2
dm
• 刚体的形状（质量分布）
16
J
注 意
r
m
2
dm
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例3-2 一均匀细棒，质量为 m ，长为 l 。求该棒对下列转轴 的转动惯量：（1）通过棒中心且与棒垂直的轴；（2）通过 棒的一端且与棒垂直的轴。 解：取如图坐标，在棒上任取质元，到转轴的垂直距离为x， 长度为 d x，该质元的质量为 dm = (m/l )dx (质量为线分布)。 A L/2 C
S
O
Mz r d
P
F
M r F
O r
F
P
F
F //
大小： M rF sin Fd 方向： 由右手螺旋法则确定
转动平面
F 应该理解为外力在转动平面内的 分力F//
转动平面
在定轴转动中，M 的方向只有两种可能指向。若先选 定了转轴的正方向，则 M 与转轴方向一致时取正 值，反之为负值
11
(3) 如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等 于各个力矩的代数和
M
i i i
ri Fi
12
2
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体可视为由许多质点组成的，而每一个质点都遵从质点力学 的规律。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出。
Fi f i mi ai mi ri
一、力对转轴的力矩
力是引起质点运动状态变化的原因，而力 矩是引起转动物体运动状态变化的原因
(2) 外力F 不在转动平面内（任意力） 可将 F 分解为转动平面内的分力 F// 和垂直于转动平面的分力F F不能引起刚体转动状态的变化 力矩：
大学物理-刚体定轴转动
F Fz F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
18
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
M ji
第5 刚体的定轴转动 §1 刚体的运动 §2 刚体定轴转动的运动定律
1
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
2
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
j
定义转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
z
O rj
Fej
m j
Fij
转动定律 M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
24
转动定律 M J
讨论 （1）M 0， ω不变
（2） M
J （3） M J J d
dt
25
三 转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
等都相同．
刚体平动 质点运动
3
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
4
一般运动
= (平动)+(转动)
原则: 随某点(基点)的平动
+ 过该点的定轴转动 基点任选。
大学物理 刚体汇总
如果转轴是固定不动的，则刚体的转动称为定轴转动。 刚体的一般运动可看成刚体质心的平动与绕过质心的
轴的定轴转动的合运动。
3、描述刚体转动的物理量
转动平面：垂直于转动轴所作的平面
刚体重任一质点都在各自的转
动平面内作圆周运动，且具有相同
的角位移、角速度、角加速度。描
述刚体转动的物理量是角位移、角 速度、角加速度等。
转动平00面 θ
X
P
以刚体中的P点为例。 (1) 角位移
ω
开始时质点P在X轴，经t时间,
转过的角度为θ，θ即为角位移。
方向规定： 俯视转轴观察时，刚体
沿反时针方向转时时，θ为 正值；刚体沿顺时针方向转 动时，θ为负值。
合外力矩
M Firi sini
合内力矩
firi sini
刚体对OZ定轴的转动惯量 I miri2
以两质点为例
r1 f1 r2 f2 f1d f2d 0
r1
f1
内力中任一对作用力与反作用 力大小相等方向相反，则任一对作 用力与反作用力的力矩相加为零。
d r2
f2
合内力矩
与动量
P
mV
相似，动量矩是描述刚体绕定轴转动
状态的一个物理量。
二、 刚体冲量矩
冲量矩表示力矩在时间过程中的累积效应，是描述刚 体的转动状态发生改变的物理量。
冲量矩： 刚体所受合外力矩与力矩作用时间的乘积。
在dt时间元内，冲量矩为 Mdt
t2
在t1→t2时间内，冲量矩为 Mdt
米·牛顿·秒
t1
三、 角动量定理(动量矩定理)
0
大学物理 刚体力学
试计算飞轮的角加速
rO
F
mg
解 (1)
Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad s -2 J 0.5
(2) mg T ma
Tr J a r
两者区别
rO
mgr 98 0.2 -2 21 . 8 rad s J mr 2 0.5 10 0.22
3、转动惯量
(1)定义
J mi ri2
在（SI）中，J 的单位：kgm2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。 (2) 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布 ②转轴的位置 (3) 转动惯量的计算
m1
①质量离散分布的刚体
J mi ri2
二、刚体定轴转动的转动定律
1.力矩
力
改变质点的运动状态
改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
力矩
（1） 力矩的定义式
M
M r F
大小：M Fr sin Fd M rF （2） 物理意义
是决定刚体转动的物理量,表明力的大 小、方向和作用点对物体转动的影响。
z
M
PP
x
参考 方向
x x
转动平面 转轴
（2）角速度
d dt
角速度方向用右手螺旋法则确定。
定轴转动的角速度仅有沿转轴的两个方向。
用正负号表示方向
d
（3） 角加速度
角加速度方向与 加速转动 相同。 方向相反
方向一致; 减速转动
（4） 角量与线量的关系
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t 50
(2)t=25s 时飞轮的角速度为
从开始制动到静止，飞轮的角位移
及转数N分别为
0t5025
5 0 05 001 t 1 2 5 t2 0125 ra 0d
257.85(rasd1)
的方向与0相同；
2
N 21225＝ 062转 5
对轴的角动量和对轴的力矩,
讨论
矢量代数的一般处理方式：在具体的坐标系中，角动量（或 力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。
F ir isiin fir isiθ in (Δ m ir i2)
i
i
i
合外力矩M 合内力矩=0
I－转动惯量
M=I —转动定理
dω dt
d2 θ dt2
定轴转动定理（律）在转动问题中的地位 相当于平动时的牛顿第二定律
例:几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上， 讨论
如果这几个力的矢量和为零，则此刚体
刚体的平动时可看成质点。
(3)刚体的转动
刚体中各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动.
转轴固定不动,称为定轴转动.
(4)转动运动学的物理量
转动平面：任取一垂直于转轴的平面
P为刚体上一质点，在转动平面
转轴
内绕0点作圆周运动。
具有角 d ,位 角移 速 ,角 度加速 . 度
再任取一点K，在同一个dt内，
F
F
F1
0 rP
F2
o
转动平面
r轴
r
F轴
o
M zk ˆr F
将 F 分F 解 1 和 F 2 。 成
F 1与转轴 F 2在 平转 行 动 ，平
M F 1对 转 r 动 F2 无 （贡 有献 效， 力仅 矩考 ）F2虑 ， 。
F1 M 、 ,对转动无贡献
2.2 转动定理
fi
Fi
第3步，算出力对z轴的力矩.
M zk ˆr F
r F ( x i ˆ y ˆ j) ( F x i ˆ F y ˆ j) (xFy yFx)kˆ
转轴 z
F
o
转动平面
r轴
r
F轴
o
结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩
2 转动定理 转动惯量（刚体动力学）
2.1力对转轴的力矩.
将第2式两边乘以ri 对刚体中所有 质点求和：
F ir isiin fir isiθ in Δ m ir i2
F ir isiin fir isiθ in (Δ m ir i2)
i
i
i
合外力矩M 合内力矩=0 I－转动惯量
F ir isiin fir isiθ in Δ m ir i2
O ri
i i P(mi )
取质 P( 点 mi)受外F 力 i、 内力fi，
并设 F i、f i都在转动平面内。
现对P质点mi写出法、切向 运动方程（按牛顿定）律：
F ico i fs icθ o i s Δ m ia i n Δ m ir iω 2
F isi i n fisθ i i Δ n m ia i Δ m ir i
也转过同样的d角。
0 d
K d
因为： d，d。
dt
dt
所以：刚体中任何其它质点都具有相同的，，
dt
P
参考方向
即(，， )三量具有普遍性。知一点 的(，， )，可知整个刚体的运动。 故用(,,）描写刚体的转动。
所以：定轴转动刚体中任何其它质点
都具有相同的，，
1.2 角速度矢量
转轴
v
P
0 r
的方向由右手 确螺定旋 。定则
1. 刚体运动学
1.1 刚体的平动和转动
(1) 刚体、刚体的平动
刚体：无论在多大的外力作用下，总是保持其形状、大小 不变，理想化的模型。
(2) 刚体的平动
刚体内任何一条给定的直线,在运动 中始终保持它的方向不变。
各质点具有相同的速度和 加速度，所以刚体平动时任何 一点的运动都可代表整个刚体 的运动。
(A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变．
答案：( D )
参考解答：在应用转动定律M=I 时应注意M是合外力矩，是外力
v r 2 π k ( i 4 3 j 5 k ) 8 π i 6 π j
还可解行列式
i j k
0 0 2π
6j 8i
3 4 5
刚体运动学综合例题: 一飞轮转速n =1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t =50 s后静止。
(1)外力在垂直于转轴的平面内。
MF
p力F的作用点。
M r F
p
0 r
方 向 ，大 M小 rF sin 如果： 方 向 ,
M ,(同)向 加速转动。
M ,(反向— ） 阻减 力速 矩。
(2) 外力不在垂直于转轴的平面内
P63 结论：z轴转动平面内的分量 的运算就是对z轴的力矩。
转轴 z
v与之间的矢量关系：
v r
（圆周： 运 v动 r）
例设：某一时刚刻体 刚以 体每 上分 一钟点6P0的转位绕置z轴矢做量匀为速：运r 动,3i ( 沿4 jz 轴5 正k 方向)，
（单位为“10-2m”），若以“10-2ms-1”为单位，则该时刻P点
的速度为：
解： 2k 单 ： (r 位 s a 1 )d ,
(yz F zy ) F i ˆ ( zx F xz )F ˆ j ( xy F yx ) k F ˆ
Mz (xFyyFx)
求力对z 轴的力矩Mz的(教材)简化步骤： Mz(xFyyFx)
第1步，通过质点画z轴转动平面（过质点垂直转轴的平面，即 过质点的xy平面）
第2步，认定位矢和力在转动平面内的分量,
L r P L x i ˆ L yˆ j L z k ˆ
P63
Lz ：质点对z轴的角动量 M r F M x i ˆ M yˆ j M z k ˆ
Mz ：质点对z 轴的力矩 M r F ( x i ˆ y ˆ j z k ˆ ) ( F x i ˆ F y ˆ j F z k ˆ )
(1)求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；
0
(2)求制动开始后t =25s 时飞轮的角速度 ；
解(1)初角速度为0 =21500/60=50 rad/s，方向如图
对于匀变速转动，应用以角量表示的运动方程，
Or
在t=50s 时刻 =0，代入方程 =0+ t 得
0 50 ra s 2 d 3 .1r4a s 2 d