浙江省温州中学高考数学模拟试卷(3月份)(解析版)
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浙江省温州市省一级重点中学高三数学理科3月份联考试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，满分为150分，考试时间为120分钟。
一. 选择题 : （本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上） 1．复数21(1)z i =+，21z i =-，则12z z z =在复平面内的对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．“两条直线没有公共点”是“这两条直线异面”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若函数sin(2)4y x π=+的图象按向量a 方向平移可得到函数y=sin2x 的图象，则a 可以是 ( ) A ． （8π，0） B ．（-8π，0） C ．（4π，0） D ．（-4π，0） 4．已知集合{|2}1xM x x =>-，{||21|2}N x x =-<，则M ∩N 等于( ) A ．3{|1}2x x << B ．13{|}22x x -<< C ．3{|2}2x x << D ．1{|1}2x x -<<5．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 3+a 7+a 11为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )A ．S 7B ．S 11C ．S 12D ．S 136．已知A(1,6)、B(2,2)、C(4,4)，如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分包括周界)，若使目标函数(0)Z ax y a =+>取得 最大值的最优解有无穷多个， 则a 的值等于( )A ．1B ．4C ．23D ．67．在圆x 2+y 2=1上的所有点中，到直线43y x =-+的距离最大的点的坐标是( ) A ．(1,22)B ．(1,22-) C ．(1,22--) D ．(1,22-) 8．CD 是△ABC 的边AB 上的高，且22221CD CD AC BC +=，则( )A ．2A B π+= B ．2A B π+=或2A B π-=C ．2A B π+=或2B A π-=D ．2A B π+=或||2A B π-=9．若61()x 展开式中的第5项是152，设12n n S x x x ---=+++，则l i m n n S →∞=( ) A ．1 B ．12 C ．14D ．1610．已知函数2|log |y x = (x ∈[],a b )的值域为[0,2]，则点(a,b)的轨迹为图中的( )A ．线段AB 和BC B ．线段AB 和AD C ．线段DC 和BC D ．线段DC 和AD二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷上） 11．已知函数()y f x =是一个以6为最小正周期的奇函数，则f (3)= ▲ ． 12．设抛物线212x y =的焦点为F ，经过点P(2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点且点P 恰为AB 的中点，则|AF|+|BF|= ▲ ．13．在半径为6的球面上有A 、B 、C 三点，若AB=2，∠ACB=30°，则球心O 到 平面ABC 的距离为 ▲ ．14．有女学生5名，男学生2名。
浙江省温州中学高三数学3月月考试题 理 新人教A版
高三理科数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1),(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 )(312211S S S S h V++=24S R π= 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，球的体积公式 h 表示棱台的高334R V π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{2}x A x y ==，{|B y y ==，则A B =( )A ．{0}x x >B ．{0}x x ≥C ．{24}x x x ≤≥或D ．{024}x x x <≤≥或2．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩.若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是( )A ．[]1,1-B ．[2,0]-C ．[]0,2D ．[]2,2-3．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是( )A ．13cmB ．33cmC ．53cmD ．73cm4．已知条件p ：34k =，条件q ：直线()21y k x =++与圆224x y +=相切，则p 是q 的（ ）侧视图俯视图A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．将函数)(x f y =的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为22cos y x =，则函数)(x f 的表达式可以是（ ）A ．x sin 2B ．x cos 2C ．x 2sinD ．x 2cos6．如图所示的程序框图，若执行运算111112345⨯⨯⨯⨯，则在空白的执行框中，应该填入（ ）A ．(1)T T i =⋅+B ．T T i =⋅7．从6名教师中选4名开发A 、B 、C 、D 四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A 课程，则不同的选择方案共有（ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种8．在△ABC 中，(3)AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为（ ）A ．6π B．4π C ．3π D ．2π9．已知点(0,0),(1,1)O A -，若F 为双曲线122=-y x 的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP⋅的取值范围为（ ） A ．1,1)B ．C ．D ．)+∞10．如图，矩形ABCD 中，E 为边AD 上的动点，将△ABE沿直线BE 翻转成△A 1BE ，使平面A 1BE ⊥平面ABCD ，则点A 1的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．以上答案都不是非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．二项式281(x x-的展开式中，含x 的项的系数是________.12．已知,x y 是实数,且2(2i-2)1i 0x x y ++-=(其中i 是虚数单位),则|i |x y +=_____. 13．甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量ξ为两人中能达第10题图1A E DCBA标的人数，则ξ的数学期望E ξ为 ． 14．数列{}n a 满足*12211131,333n n a a a n n N +++=+∈,则=n a . 15．已知函数()'()sin cos ,6f x f x x π=+则()6f π的值为 .16．已知实数,x y 满足1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2x y 的最小值是 .17．设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，若n qm r =+（其中q ，r ∈Z ，且0r m <≤），则记()m f n r =，如2(3)1f =，3(8)2f =.下列关于该映射:m f →Z Z 的命题中，正确的是 .①若a ，b ∈Z ，则()()()m m m f a b f a f b +=+②若a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，则()()m m f ka f kb =③若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f a c f b d +=+ ④若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f ac f bd = 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.19．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知nn a b 1log 3=，记12n n S b b b =+++，111111111111133636n nT S =+++++++++++,求证：20141013.T <20．（本题满分14分）四棱锥P ABCD -底面是菱形，PA ABCD 平面⊥，60ABC ︒∠=,,E F 分别是,BC PC 的中点.（Ⅰ）求证: 平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）H 是PD 上的动点，EH 与平面PAD所成的最大角为45︒，求二面角E AF C --的正切值.21.（本题满分15分）抛物线2:4C x y =，直线AB 过抛物线C 的焦点F ，交x 轴于点P .（Ⅰ）求证：2PF PA PB =⋅；（Ⅱ）过P 作抛物线C 的切线，切点为D （异于原点）， （i ）,,DA DF DB k k k 是否恒成等差数列，请说明理由； （ii ）ABD ∆重心的轨迹是什么图形，请说明理由.22．（本题满分15分）已知32()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈） （Ⅰ）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由．理科数学参考答案2014.3 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．-56 12．1.6 14．112,13,2nnn+=⎧⎨≥⎩15．-1 16．4 17．②③④三、解答题：18（本小题满分14分）解：（Ⅰ）319．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）13n na=20.四棱锥P-ABCD底面是菱形，PA⊥面ABCD，∠ABC=060,E,F分别是BC,PC的中点.（1）求证: 面AEF⊥面PAD（2）H是PD上的动点，EH与面PAD所成的最大角为045，求二面角E-AF-C的正切值.(1)设菱形ABCD的边长为2a，则22202(2)22cos603,AE a a a a a=+-⋅=222BE AE AB+=,∴AE⊥BC,又AD||BC, ∴AE⊥AD.∵PA⊥面ABCD, ∴PA⊥AE,AE⊥面PAD, ∴面AEF⊥面PAD.（2）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ,EQ ⊥面PAC，则∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角.过点A作AH⊥PD，连接EH，∵ AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角.∵∠AHE＝045，∴AH＝AE＝，AH﹒PD＝PA﹒AD，2a﹒PA=﹒,CQ=12a,tan∠EGQ=23EQGQ=.21.(1) 即证121y y= (2) 能抛物线24(2)3x y=-22．（本题满分15分）已知32()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈） （Ⅰ）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由． （Ⅰ）解：由()0f x =得：30x ax -=或2ln(1)0x a +-= 可得0x =或2x a =且210x a +-> ∵方程()0f x =有3个不同的根，∴方程2x a =有两个不同的根 ∴0a >又∵210x a +->，且要保证x 能取到0∴10a -> 即1a < ∴01a <<．（Ⅱ）解：∵222222()()(3)ln(1)1x x a f x x a x a x a -'=-+-++-令2x t =，设2()()(3)ln(1)()1t t a g t t a t a f x t a-'=-+-+=+-∴(0)ln(1)0g a a =-->2(1)(1)(3)ln(2)2a g a a a-=--+- ∵01a << ∴21a -> ∴(1)0g >()0g a =2()2()ln(1)ln(1)22222212a a a a a a a a g a a ⋅-=-+=---- ∵01a << ∴11122a <-<，20a -> ∴()02ag <∴存在1(0,)2a t ∈，使得1()0g t =，另外有(,1)2aa ∈，使得()0g a =假设存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =则存在1x ∈，使得1()0f x '=，另外有0f '=，即2x =∴1x =，∴0f '=，即3()324ln(1)034414a a a a a ⋅---+=- 即333(1)ln(1)0442a a a --+= （*）设333()(1)ln(1)442h a a a a =--+∴3333333()ln(1)ln(1)4442444h a a a '=---+=--+∵01a << ∴3ln(1)04a -<∴()0h a '> ∴()h a 在(0,1)上是增函数 ∴()(0)0h a h >=∴方程（*）无解，即不存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x。
2021届浙江省温州市高三下学期3月高考适应性测试数学试题(解析版)
2021届浙江省温州市高三下学期3月高考适应性测试数学试题一、单选题1．已知集合{14},{25}A xx B x x =<<=≤≤∣∣，则RAB =（ ）A ．{12}xx <≤∣ B ．{12}x x <<∣ C ．{24}x x ≤<∣ D ．{45}xx ≤≤∣ 【答案】B【分析】首先求出集合B 的补集，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为{14},{25}A xx B x x =<<=≤≤∣∣，所以()(),25,R B =-∞+∞所以()R1,2A B =故选：B2．在平面直角坐标系中，不等式组10,10,1x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】C【分析】先画出区域，求出顶点坐标，再求面积.【详解】作出可行域如图所示：不等式所表示区域即为三角形ABC ，由1=01=0x y x y +-⎧⎨-+⎩，求得C (0,1),同理可求：A (1,2), B (1,0), 所以1121122ABC S AB h =⨯⨯=⨯⨯=△ 即平面区域的面积是1.故选：C3．已知,αβ是两个不重合的平面，直线l α⊥，则“//l β”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系、面面关系的性质定理及判定定理判断可得；【详解】解：因为,αβ是两个不重合的平面，直线l α⊥，若//l β，则存在直线a β⊂，满足//l a ，因为l α⊥，所以a α⊥，所以αβ⊥，故充分性成立； 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊂，或//l β，故必要性不成立； 所以“//l β”是“αβ⊥”的充分不必要条件； 故选：A4．已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，且123,,1a a a +成等比数列，则（ ）A ．1100,45a S ==B ．1100,90a S ==C ．1101,100a S ==D ．1101,55a S ==【答案】D【分析】结合题中所给的条件，利用等差数列通项公式和求和公式以及三数成等比数列的条件，列出等量关系式，求得其首项和公差，进一步求其前10项和，从而得到正确答案.【详解】因为{}n a 是递增等差数列，515S =， 所以1545152a d ⨯+=，即123a d +=，① 由123,,1a a a +成等比数列，所以2111()(21)a d a a d +=++，整理得2221111122a a d d a a d a ++=++，即21d a =，②①②联立求得111d a =⎧⎨=⎩，或139d a =-⎧⎨=⎩（舍去）所以101091011552S⨯=⨯+⨯=， 故选：D.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数列的问题，正确解题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式，以及三数成等比数列的条件.5．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列条件使得ABC 无法唯一确定的是（ ）A ．3,15,25aBC ==︒=︒ B ．3,4,40a b C ===︒ C ．3,4,40a b A ===︒D ．3,4,40a b B ===︒【答案】C【分析】对于A ：用正弦定理判断；对于B ：先由余弦定理，再用正弦定理可以求出角A 、B ，进行判断； 对于C ：由正弦定理4sin 40sin =3B ⨯，根据大边对大角，这样的角B 有2个，进行判断；.对于D ：由正弦定理计算3sin 40sin =4A ⨯，由大边对大角，这样的角A 有1个，进行判断.【详解】对于A ：∵3,15,25a B C ==︒=︒，∴A =140°， 由正弦定理得：sin sin sin a b cA B C==， ∴33sin sin15,sin =sin 25sin sin140sin sin140a ab Bc C A A =⨯=⨯=⨯⨯ ∴ABC 唯一确定；故A 正确. 对于B ：∵3,4,40a b C ===︒，由余弦定理，可得：=2524cos40c -由正弦定理：sin sin sin a b c A B C ==，有：34sin sin 40A B==可以求出角A 、B ，∴ABC 唯一确定；故B 正确. 对于C ：∵3,4,40a b A ===︒ 由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==，有：34sin 40sin B=，∴4sin 40sin =3B ⨯， ∵3,4,a b ==∴a b <∴40A B =<,这样的角B 有2个，所以ABC 不唯一，故C 错误.对于D ：∵3,4,40a b B ===︒ 由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==，有：34sin sin 40A =， ∴3sin 40sin =4A ⨯， ∵3,4,a b ==∴a b <∴40AB <=,这样的角A 有唯一一个， ∴角C 唯一，所以ABC 唯一，故D 正确. 故选：C【点睛】判断三角形解的个数的方法：（1）画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数： ①若无交点，则无解；②若有一个交点，则有一个解；③若有两个交点，则有两个解；④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
2019届浙江省温州市高三3月高考模拟数学试卷及参考答案带详细解析
2019届浙江省温州市高三3月高考模拟数学试卷（带解析）一、选择题1、当时，复数在平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、已知函数的图象如右图所示，将的图象向左平移个单位，得到的图象，则函数的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．3、在△ABC 中，“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、如图，扇形中，，是中点，是弧上的动点，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．5、已知函数，则函数的零点个数的判断正确的是（ ） A ．当时，有4个零点；当时，有1个零点B ．无论为何值，均有2个零点C ．当时，有3个零点；当时，有2个零点D ．无论为何值，均有4个零点 6、已知为单位向量，，则在的投影为（ ）A ．B ．C ．D ．7、函数的定义域是A ．B ．C ．D ．……………………二、填空题8、已知集合，，则______；______。
9、设为数列的前项和，则__10、平面向量满足，则的最小值为______。
11、由5个元素构成的集合，记的所有非空子集为每一个中所有元素的积为，则_______。
12、设则__，不等式的解集为_______。
13、函数，则函数的最小正周期为____，在内的一条对称轴方程是______。
14、记等差数列的前项和为，若则_____，______。
三、解答题15、知函数（1）当时，求函数的值域。
（2）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值。
16、正项数列满足，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：对任意的，；（Ⅲ）记数列的前项和为，证明：对任意的，。
17、已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立。
（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）对任意，恒有，求实数的取值范围。
18、已知函数在区间上有最大值4和最小值1，设。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。
2025届浙江省温州市高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析
2025届浙江省温州市高三3月份第一次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE '，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=的2，则E 的离心率为( ) A ．32 B ．12 C ．22 D ．233．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ）A ．12B ．16C ．20D ．84．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．155D 105 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．26．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．7．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．12m > B ．12m ≥ C ．1m D ．m 1≥8．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种 9．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( ) A ．B ．2C ．3D ．6 10．函数()2f x ax =-与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],e -∞D ．(2,e ⎤-∞⎦ 11．ABC ∆中，25BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ） A ．5B ．22C ．65D ．212．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年浙江省温州市高三(下)3月月考数学(理科)试题Word版含解析
2019-2020学年浙江省温州市高三（下）3月月考数学（理科）试题一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知向量=（2m，1），向量=（1，﹣8），若⊥，则实数m的值是（）A．﹣4 B．4 C．D．2．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．603．（5分）直线y=x﹣1与抛物线y2=2x相交于P、Q两点，抛物线上一点M与P、Q构成△MPQ的面积为，这样的点M有且只有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．25．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．6．（5分）半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l） D．（﹣∞，+∞）8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）满足f（x）≤f（a）对于x∈R恒成立，则函数（）A．f（x﹣a）一定是奇函数B．f（x﹣a）一定是偶函数C．f（x+a）一定是奇函数 D．f（x+a）一定是偶函数9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为（）A．[1，3] B．（1，3）C．D．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）可以是（）A．B．f（x）=2sin3x C．D．f（x）=2cos3x二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．（5分）函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是．14．（5分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a2），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19，④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为．15．（5分）已知++=，且与的夹角为60°，||=||，则cos＜，＞等于．16．（5分）某化工厂准备对某一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～81℃，精确度要求±1℃．现在技术员准备用分数法进行优选，则最多需要经过次试验才能找到最佳温度．三、解答题（70分）17．（12分）设函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=2+log2x（x≤1）的值域为B．（Ⅰ）求A、B；（Ⅱ）求设A∪B=U，求∁U（A∩B）．18．（12分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．19．（8分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，c=．（Ⅰ）求角C的取值范围；（Ⅱ）求4sinCcos（C）的最小值．20．（12分）已知矩阵A=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求A的特征值及对应的特征向量．21．（12分）设p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足2＜x≤5（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．22．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．2019-2020学年浙江省温州市高三（下）3月月考数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知向量=（2m，1），向量=（1，﹣8），若⊥，则实数m的值是（）A．﹣4 B．4 C．D．【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可求得m．【解答】解：由向量=（2m，1），向量=（1，﹣8），若⊥，则•=0，即2m×1+1×（﹣8）=0，解得m=4，故选B．【点评】本题考查平面向量的运用，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．2．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1=，令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．3．（5分）直线y=x﹣1与抛物线y2=2x相交于P、Q两点，抛物线上一点M与P、Q构成△MPQ的面积为，这样的点M有且只有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】M在抛物线上，设M（t，），直线与抛物线相交求出弦长PQ，利用点到直线的距离就是△MPQ 的高，即可求出满足题意的M的坐标．即可知道点M的个数．【解答】解：直线y=x﹣1与抛物线y2=2x相交于P、Q两点．联立：，解得：x2﹣4x+1=0，则Q（2，1﹣）P（2，1+）|PQ|==2．△MPQ的面积为=2×d×，解得：d=．M在抛物线上，设M（t，），d==解得：=3或=﹣3．令则有：=3…①或=﹣3…②由①△＞0，可知n有两个解．由②化简为（n﹣2）2=0，n有一个解．故M的坐标有3个．故选：C．【点评】本题查了抛物线与直线的关系的运用能力及计算能力．属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=，故a1=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．5．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．【分析】由向量的中点公式可得，代入已知式子化简即得．【解答】解：∵D为BC边中点，∴，代入已知可得，即，故可得故选D【点评】本题考查向量的基本运算，利用向量的中点公式是解决问题的关键，属中档题．6．（5分）半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r=，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．【解答】解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，设圆锥的底面半径为r，则2πr=πR，即r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥的体积V==，故选：C【点评】本题考查旋转体，即圆锥的体积，考查了旋转体的侧面展开和锥体体积公式等知识．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l） D．（﹣∞，+∞）【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）=2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选B【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题．8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）满足f（x）≤f（a）对于x∈R恒成立，则函数（）A．f（x﹣a）一定是奇函数B．f（x﹣a）一定是偶函数C．f（x+a）一定是奇函数 D．f（x+a）一定是偶函数【分析】先确定f（a）的值，再由正弦函数的性质可得到a，φ的关系式，然后代入到f（x+a）根据诱导公式进行化简，对选项进行验证即可．【解答】解：由题意可知sin（2a+φ）=1∴2a+φ=2kπ+∴f（x+a）=sin（2x+2a+φ）=sin（2x+2kπ+）=cos2x．故选D【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性．三角函数的基本性质要熟练掌握．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣2，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣2﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣2﹣4﹣8，i=4；∴S0﹣2﹣4﹣8=﹣4解得S0=10故选D．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列．10．（5分）已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为（）A．[1，3] B．（1，3）C．D．【分析】确定两个函数的值域，根据f（a）=g（b），可得g（b）∈（﹣1，1]，即可求得实数b的取值范围．【解答】解：由题可知f（x）=e x﹣1＞﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≤1，若有f（a）=g（b），则g（b）∈（﹣1，1]，即﹣b2+4b﹣3＞﹣1，即 b2﹣4b+2＜0，解得．所以实数b的取值范围为故选D．【点评】本题考查函数的值域，考查解不等式，同时考查学生分析解决问题的能力．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x【分析】利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）可以是（）A．B．f（x）=2sin3x C．D．f（x）=2cos3x【分析】由，可得，故函数f（x）的周期等于2π，据f（﹣x）=﹣f（x），可知函数f（x）是奇函数，检验各个选项．【解答】解：函数f（x）满足，∴，故函数f（x）的周期等于2π．又 f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数，同时满足这两个条件的只有B，故选B．【点评】本题考查正弦函数的奇偶性和周期性的应用．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．（5分）函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是．【分析】可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值．【解答】解：y′=1﹣2sinx=0，在区间[0，]上得x=故y=x+2cosx﹣在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，∴x=时，函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是，故答案为：．【点评】本题考查利用函数的单调性求最值、导数的应用、三角函数求值等，难度一般．14．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a2），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19，④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为 2 ．【分析】①根据抽样方法的定义和特点即可判断；②利用相关性系数r的意义去判断；③根据正态分布的特点和曲线表示的意义来判断．④根据随机变量k2的观测值k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，判断④是否为真命题．【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误，②根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r的绝对值越接近于1，故②正确；③某项测量结果ξ服从正态分布N（1，a2），则曲线关于直线x=1对称，P（ξ≤5）=P（1＜ξ＜5）+0.5=0.81，则P（1＜ξ＜5）=0.31，故P（﹣3＜ξ＜1）=0.31，即有P（ξ≤﹣3）=P（ξ＜1）﹣P（﹣3＜ξ＜1）=0.5﹣0.31=0.19，故③正确．④根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，得④是假命题．故④错误，故正确的是②③，故答案为：2【点评】本题考查命题的真假判断，涉及抽样方法的概念、相关系数的意义以及正态分布的特点和曲线表示的意义，是一道基础题．15．（5分）已知++=，且与的夹角为60°，||=||，则cos＜，＞等于﹣．【分析】由++=，||=||，可得，从而可得，代入可求，进而可求cos=．【解答】解：∵++=，||=||，∴，∴==3，∴，∴•=•（﹣﹣）==﹣=﹣，∴cos＜，＞===﹣．故答案为：．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的应用，向量的夹角公式的应用，属于向量知识的简单应用．16．（5分）某化工厂准备对某一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～81℃，精确度要求±1℃．现在技术员准备用分数法进行优选，则最多需要经过 6 次试验才能找到最佳温度．【分析】由题知试验范围为[60，81]，可得区间长度为21，将其等分21段，共有20个分点，由分数法的最优性定理可得结论．【解答】解：由已知试验范围为[60，81]，可得区间长度为21，将其等分21段，共有20个分点由分数法的最优性定理可知F7=20，即通过6次试验可从这20个分点中找出最佳点．故答案为：6．【点评】本题考查的是分数法的简单应用．一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑：（1）可能的试点总数正好是某一个（F n﹣1）．（2）所有可能的试点总数大于某一（F n﹣1），而小于（F n+1﹣1）．用分数法安排试验，一旦确定第一个试点，后续的试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定．三、解答题（70分）17．（12分）设函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=2+log2x（x≤1）的值域为B．（Ⅰ）求A、B；（Ⅱ）求设A∪B=U，求∁U（A∩B）．【分析】（Ⅰ）由log3（x﹣1）≥0，解得x≥2，可得A．由x≤1，求得log2x≤0，可得B={y|y≤2}．（Ⅱ）根据A、B以及U=A∪B=R，A∩B={2}，求得 C U（A∩B）．【解答】解：（Ⅰ）由log3（x﹣1）≥0，得x≥2，∴A={x|x≥2}．…（3分）又x≤1，∴log2x≤0，∴2+log2x≤2，∴B={y|y≤2}．…（6分）（Ⅱ）∵A={x|x≥2}，B={y|y≤2}，…（10分）∴U=A∪B=R，A∩B={2}，∴C U（A∩B）={x|x＜2，或x＞2}．…（12分）【点评】本题主要考查对数函数的定义域和最值，两个集合的交集、并集、补集的定义和求法，属于中档题．18．（12分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．【分析】（1）先求出直线l的斜率，再代入点斜式然后化为一般式方程；（2）由题意先确定圆心的位置，进而求出圆心坐标，再求出半径，即求出圆的标准方程．【解答】解：（1）∵直线l经过两点（2，1），（6，3），∴直线l的斜率k==，（2分）∴所求直线的方程为y﹣1=（x﹣2），即直线l的方程为x﹣2y=0．（5分）（2）由（1）知，∵圆C的圆心在直线l上，∴可设圆心坐标为（2a，a），（6分）∵圆C与x轴相切于（2，0）点，∴圆心在直线x=2上，∴a=1，（9分）∴圆心坐标为（2，1），半径r=1，（11分）∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．（12分）【点评】本题考查了求直线方程和圆的方程的基本题型，以及对基本公式的简单应用．19．（8分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，c=．（Ⅰ）求角C的取值范围；（Ⅱ）求4sinCcos（C）的最小值．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理分别求出sinC的取值范围即可求角C的取值范围；（Ⅱ利用三角函数的公式进行化简，即可求4sinCcos（C）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，得，．由0＜sinB≤1，得0＜sinC≤，又b＞c，故C为锐角，∴0．（Ⅱ）4sinCcos（C）=4sinC（cosC﹣）=，由0，得，故，∴4sinCcos（C）（当C=时取到等号）∴4sinCcos（C）的最小值是0．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，利用正弦定理求出C的取值范围是解决本题的关键，考查学生的计算能力．20．（12分）已知矩阵A=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求A的特征值及对应的特征向量．【分析】本题（1）根据矩阵A对应的行列多的值，知道矩阵A的逆矩阵存在，用逆矩阵公式，求出A﹣1；（2）先求出矩阵A的特征多项式，令特征多项式为0，求出特征值，再将特征值代入到方程组中，求出该特征值对应的一个特征向量，得到本题结论．【解答】解：（1）∵矩阵A=，∴矩阵A对应的行列式=1×3﹣2×4=﹣5≠0，∴矩阵A可逆，∴A﹣1=，∴A﹣1=．（2）A的特征多项式：f（λ）==（λ﹣1）（λ﹣3）﹣8=λ2﹣4λ﹣5，令f（λ）=0，得：λ=5或λ=﹣1；当λ=5时，由得特征向量，当λ=﹣1时，由得特征向量．【点评】本题考查了逆矩阵、矩阵的特征值和特征向量，本题也可以利用逆矩阵的定义求出逆矩阵，本题难度不大，属于基础题．21．（12分）设p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足2＜x≤5（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a=1代入，求出关于p的范围，从而求出p且q的范围；（2）由题意得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）当a=1时，解得1＜x＜4，即p为真时实数x的范围是：1＜x＜4，若p∧q为真，则P真且q真，∴实数x的范围是（2，4）；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B⊂A，由x2﹣5ax+4a2＜0得（x﹣4a）（x﹣a）＜0，∵a＞0，∴A=（a，4a），又B=（2，5]，则a≤2且4a＞5，解得：＜a≤2．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了充分必要条件，是一道中档题．22．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．【分析】（1）根据“好区间”的定义即可求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）根据若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，建立方程组关系即可求m、n的值；（3）根据闭函数的定义，进行验证即可得到结论．【解答】解：（1）∵y=﹣x3是减函数，∴故闭函数y=﹣x3的“好区间”是[﹣1，1]．…（3分）（2）①若f（x）是[1，16]上的增函数，则∴此时是[1，16]上的增函数，故符合题意．②若f（x）是[1，16]上的减函数，则∴此时．因为，所以在区间[1，16]上不是减函数，故不符合题意．综上：…（8分）（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]⊆[﹣1，+∞），满足；故方程f（x）=x在区间[﹣1，+∞）上有两不相等的实根．由得令则x=t2﹣1，方程可化为t2﹣t﹣k﹣1=0，且方程有两不相等的非负实根；令g（t）=t2﹣t﹣k﹣1，则…（14分）【点评】本题主要考查与函数有关的新定义问题，考查学生的理解和应用能力，综合性较强，难度较大．。
浙江省温州中学2020届高三下学期3月高考模拟测试数学试题含答案.pdf
y＝________.
C. 5＋ 1
D. 5＋ 1 2
5． “α≠β”是 “ coαs≠ coβs”的 ( )
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．函数 f(x)＝ ln|x|的图象大致为 (
)
x
7．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲 评顺序表， 若化学排在生物前面， 数学与物理不相邻且都不排在最后， 则不同的排表方法共 有( )
下列两个命题 ( )
①数列 { an} 的任意一项都是正整数； ②数列 { an} 存在某一项是 5 的倍数．
A ．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C ．①②都正确
D ．①②都错误
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题 , 多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分 , 共 36 分．
x y＋1
16．已知 F1， F 2 为椭圆 C：x2＋ y2＝1 的左、右焦点，点 43
内心 I 的轨迹方程为 ____________________________ ．
P 在椭圆 C 上移动时，△ PF 1F2 的
17．如图，在△ ABC 中，已知 AB＝ AC＝ 1，∠ A＝ 120 ，°E， F 分别是边 AB，AC 上的点， 且A→E＝ λ→AB， A→F＝ μ→AC，其中 λ， μ∈ (0,1) ，且 λ＋ 4μ＝ 1，若线段 EF ， BC 的中点分别为 M ， N，则 |M→N|的最小值为 ________．
2024浙江省高三下学期五校联考高考模拟考试数学及答案
2024年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省温州中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足1i 3iz=+−，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，{}31,N x x k k ==−∈Z ，则M N = （ ） A ．{}21,x x k k =+∈Z B ．{}31,x x k k =−∈Z C ．{}61,x x k k =+∈ZD ．{}61,x x k k =−∈Z3．已知不共线的平面向量a ，b 满足()()2a b a b λλ++∥，则正数λ=（ ）A ．1BCD ．24．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1mi i Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（ ）倍AB ．mC ．32mD ．2m5．已知函数()πcos 24f x x=+，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ−为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +−+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（ ） A ．12−或112− B ．－1或－6C ．32−或132− D ．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．188．已知双曲线()22221,0x y a b a b−=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC △为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．()2,+∞D ．+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间()2,−+∞上单调递增B ．()f x 的最小值为21e−C ．方程()2f x =的解有2个D ．导函数()f x ′的极值点为－310．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）A ．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B ．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C ．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D ．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OB OA +=恒成立，则l 始终和曲线C 1=相切，关于曲线C 的说法正确的有（ ）A ．曲线C 关于直线y x =和y x =−都对称B ．曲线C 上的点到11,22和到直线y x =−的距离相等C ．曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是D ．曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14−三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．若62a x x−展开式中的常数项为－160，则实数a =______．13．已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =−+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．14．已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC △绕点O 逆时针旋转角2π03θθ<<，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ′′′△，连接AA ′，AC ′，BA ′，BB ′，CB ′，CC ′，得到八面体ABCA B C ′′′，则该八面体体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C −．16．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分1+1． （1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P ′，求P F PF ′+； （3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB △面积的最大值．17．（15分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点．（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面1BCC B 所成线面角的大小.18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N ． 甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N i N X =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =−作为N 的估计．乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果．例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅−=<． （1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值．当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明．19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11nk n k n k c a b n +−=+=∈∑N ，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2n n b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n id a n i +−< = ≥ 的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i −项，前1i −项都取为0．试找到数列(){}int ，使得(){}{}{}innni t a T a ⋅=； （3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c −−=−+．2024年浙江省高考数学模拟卷参考答案命题：温州中学 审题：金华一中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 78 DDBBACBA第8题解析：设点(),A x y ，则可取),C，故22222222331x y y x a b a b=−=−，得2222222233a b b yb ax a +<=+，解得b a >，故离心率e >． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 ABDBCDBCD第11题解析：A ．曲线C 不关于直线y x =−对称；B ．设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy +−−−+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=−−⇔+−−−+=，成立；C．2221OP x y =+≤=，()222211228x y x y++≥≥=，成立； D ．(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy −+−+−−++≥，故曲线C位于圆()()22111x y −+−=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14−． 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．第13题解析：6244020264S S SS =+=⋅⇒=，故{}n S 的最小项是第2项． 第14题解析：ABCA B C A ABCC A B C A B BC A C AC V V V V V ′′′′′′′′−−−′′−′=+++211π12222sin 22sin 3636θθ=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅π1sin 6θ =++∈ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）由2b ac =得2sin sin sin B A C =，sin cos cos 2112sin sinsin sin cos tan tan cos BC A B C A B A CC A =⇔+==+， 故22sin 1tan cos sin 2B B B B =⇔=．（2）若π3B =，则1sin sin sin cos 2A CB B ==， 又由()1cos cos cos sin sin 2A C A C AB +=−=−得1cos cos 2A C=−，故()1cos 2A C −=−． 注：第二问直接利用积化和差公式()()()1sin sin cos cos 2A C A C A C =−−+，写对公式给3分，条件代入正确化简给3分，最终答案1分． 16．（15分）（1）记c =1a c +=+，1a c −=−，解得a =1c =，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）记椭圆的右焦点为F ′，则2PF P F PF PF a +=+=′′． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立22212x my x y =++=，得()222420m y my +++=， 故12y y −=21132ABF S y y =⋅⋅−=△令0t =>，则ABF S =≤=△m =时取到等号． 17．（15分）（1）取AB 中点M ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面， 由AM 与OD 平行且相等得平行四边形ODAM ，故AD OM ∥， 故AD ∥平面1OCC ．（2）法1（建系）：以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．设))1cos Cαα−，表示出平面1ACC A的法向量11cos sin n αα+=，由对称性得平面11BCC B的法向量21cos 1,sin n αα+=，故120n n ⋅=，解得1cos 3α=，故C，(1n =，(11,n = ， 记所求线面角为θ，则1212,sin AA n n AA θ==，故π4θ=．法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取1A C 中点N ，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面1BCC B 平面1ACC A ，故1CA ⊥平面1BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin A C AVC AV ∠=1AA 与平面11BCC B法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，因此11cos C VA ∠1AA 与平面1BCC B 所成线面角即为11π4C VA ∠=．18．（17分）（1）5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C种可能，故()2435355C P M C ===， 由Y M <，有2153X X −<⇔<，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2， 仅1种可能，故()3511510P Y M M C <===且， 因此()()()51565P Y M M P Y M M P M <=<====且．（2）分布列如下：（3）直观上可判断()E M N <，证明：()()()NNk n k nE M kP M k NP M k N ====<==∑∑．19．（17分）（1）12c =，28c =，322c =，452=． （2）()11,10,2nn t n = =≥ ，对一般的i +∈N ，()1,0,i n n i t n i = = ≠． （3）法1：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11nkn k n k bc ==+−∑，故()11nn kn k n S kbc =+−=∑…①，因此()()111121nn n n k k n S kb n b c +++=+−−+=∑…②，②－①得11n n n S c c ++=−，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 法2：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1n T n +=∀∈N ，注意 (Ⅰ)易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意 (Ⅱ)注意{}n T 是(){}int 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*nnit T 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1nn i i c S ==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中nn n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****nnnnnnx y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***nnnnnnnx y x y ωωω+=+． 因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111*****n i n n n n n n n n j i j i i j i j i a b t t b t t b S ∞∞∞∞===== == ∑∑∑∑∑．。
2020届浙江省温州中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题(解析版)
2020届浙江省温州中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题一、单选题1．已知集合{}21A x x =<，集合{}2log 0B x x =<，则A B I 等于（ ） A ．()0,1 B ．()1,0-C ．()1,1-D ．(),1-∞-【答案】A【解析】先化简集合,A B ,再求其交集. 【详解】根据题意可得集合{}11A x x =-<<,集合{}01B x x =<<,()0,1A B ∴=I ,故选:A. 【点睛】本题考查交集运算,考查解不等式,属于简单题.2．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B【解析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B 【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 4．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( )A 1BC 1D 【答案】C【解析】由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以121z z -=，其中tan φ2=， 故选C 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型. 5．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B 【点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题. 6．函数ln ()xf x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】抓住这几个选项的相同点和不同点，比如()0,1x ∈时()f x 的正负性和单调性等进行判断。
2020届浙江省温州中学高三下学期3月检测数学试题(解析版)
2020届浙江省温州中学高三下学期3月检测数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|1,2,3A a a =⊆，则A 的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8C ．255D ．256【答案】C【解析】求出集合A 的元素，再求出A 真子集的个数． 【详解】因为集合{|{1,A a a =⊆2，3}}，所以集合A 的元素是集合{1,2，3}的子集，共有8个， 所以集合A 的真子集个数为821255-=个， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了集合与元素，集合与集合的关系，属于中档题． 2．“若p 则非q ”的否命题是（ ） A ．若p 则q B ．若非p 则qC ．若非q 则pD ．若非p 则非q【答案】B【解析】直接利用已知条件求出否命题，要区别否命题和命题的否定之间的关系． 【详解】根据否命题的定义可知：“若p ，则非q ”的否命题为：“若p ⌝，则q ”． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了四个命题的应用，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题型．3．“直线()1330m x y +-+=与直线220x my -+=平行”的充要条件是m =（ ） A ．-3 B ．2C ．-3或2D ．3或2【答案】A【解析】根据直线的平行条件，得到关于m 的方程，解出检验即可． 【详解】当0m =或1m =-时，显然直线不平行， 由132m m+=，解得：3m =-或2m =， 3m =-时，直线分别为：2330x y --+=和2320x y ++=，平行， 2m =时，直线分别为：3330x y -+=和2220x y -+=，重合，故3m =-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了直线平行问题，考查充分必要条件，是一道基础题． 4．函数()sin 2sin3f x x x =+的最小正周期为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．6π【答案】B【解析】求出2y sin x =与3y sin x =的周期，然后求解最小公倍数即可． 【详解】2y sin x =的最小正周期为：π；函数3y sin x =的最小正周期为：23π， π与23π的最小公倍数为：2π， 所以函数()23f x sin x sin x =+的最小正周期为：2π． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数的最小正周期的求法，是基本知识的考查，基础题． 5．若,a b ∈R ，下列等式不可能成立有（ ）个.（1）1a b b a+=（21a b =+-（3）32a b a+=A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】分类讨论结合基本不等式判断()1；特殊值判断()2；基本不等式以及函数的最值判断()3． 【详解】对于()1：当a ，b 异号时，01a b b a+<≠，当a ，b 同号时，2a bb a +≥，故()1不可能成立．对于()2：若0a =，0b =01=≠-， 当0ab ≠1a b =+-1=，看作是点()1,1到直线10a x b y +-=的距离为1，可能成立；对于()3：32||211||3a a a a a+=++≥，y b =，令2b cos θ=，224y sin cos πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈- ⎪⎣⎝⎭，所以3||2a b a+=，不可能成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查函数的最值以及基本不等式的应用，是中档题． 6．随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-，则()D ξ的最大值为（ ） A ．89B ．1716C ．2625D ．1【答案】D【解析】求出()2P ξ=的值，求出期望，得到方差的表达式，然后求解最值即可． 【详解】随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-， 可得：()212P p ξ==-，由03110110121ppp≤-≤⎧⎪≤-≤⎨⎪≤-≤⎩，可得11,32p⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()()()()1312123144E p p p pξ=-+-+-=-．()()()222(144)31(244)12(344)1D P P P P P Pξ=-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-（）216184P P=-+-，11,32p⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当12p=时，()Dξ的最大值为1．故选：D．【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查转化思想以及方差思想的应用，是中档题．7．单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为（）A．16B．14C．13D．12【答案】C【解析】四面体的四个顶点应该在正方体的表面上的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球O，由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球O的内接四面体的体积的最大值，球O的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，由此能求出结果．【详解】要使四面体的体积最大，则四面体的四个顶点应该在正方体的表面上，了叙述方便，把此时的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球O，由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球O的内接四面体的体积的最大值，球O的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，正方体为1时，内接正四面体的体积为13．故选：C ． 【点睛】本题考查四面体体积的最大值的求法，考查正方体的内接四面体，外接球、球的内接四面体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．设实数列{}n a 满足10a a =>，则下面说法正确的是（ ） A ．若()*10n n a a n N +⋅=∈，则{}n a 前2019项中至少有1010个值相等B ．若()2020*1n n na a a n N -+=+∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使naM <恒成立C ．若()2*21n n n a a a n N ++⋅=∈，{}na 一定为等比数列D ．若()*nn a e n N =∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使2nnn aM C <⋅恒成立【答案】D【解析】对于A ，由抽屉原理可知前2019项中至少有1009个值相等，即其中的偶数项都为0；对于B ，由不动点理论知，()2020*1n n na a a n N -+=+∈所对应的特征函数()2020f x x x x -=+>，当a 确定时，数列{}n a 单调递增无上界；对于C ，若()2*21n n n a a a n N++⋅=∈，不排除数列的项可以为0，所以{}n a 不为等比数列；对于D ，由数学归纳法能证明：若()*nn a en N =∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使2n n n a M C <⋅恒成立．【详解】对于A ，()*10n n a a n N+⋅=∈Q ，10aa =>，∴由抽屉原理可知前2019项中至少有1009个值相等，即其中的偶数项都为0，故A 错误；对于B ，由不动点理论知，()2020*1n n na a a n N -+=+∈所对应的特征函数()2020f x x x x -=+>，∴当a 确定时，数列{}n a 单调递增无上界，故B 错误；对于C ，若()2*21n n n a a a n N ++⋅=∈，则数列的项可以为0，所以{}na 不为等比数列，故C 错误；对于D ，由数学归纳法知，当1n =时，1a a =，12a M >+，使得2nn n a M C <⋅成立；假设n k =，2k kk e MC <成立，则1n k =+，12k k k k e e e eMC +=⋅<，()()2111222212124(1)1kk k k k eMC M MM k k +++<=⋅<++Q ， ∴对应的1M 存在，∴若()*n n a e n N =∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使2nn n a M C <⋅恒成立，故D正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查抽屉原理、不动点原理、等比数列、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nxx y +>恒成立的n 有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．2021【答案】B【解析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nxx y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nxx y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1rx rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nxx y +>成立； 当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验 1124211111()()()()1222224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ．【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．10．过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ） A ．2155B ．655C ．2413D ．1913【答案】D【解析】分析可知，P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为r ，且111r AP BP=-，分直线AB 斜率存在及不存在两种情况分别讨论得解． 【详解】 如图，先固定直线AB ，设()BM f M AM =，则()()()f C f D f P ==，其中()BPf P AP=为定值，故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD V 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式，由()2,2AP BP r BP BQ r AP AQ AP AP AQ BP ⋅+==+=+，解得111r AP BP=-， 同理，当BP AP <时有，111r BP AP=-， 综上，111r AP BP=-； 当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP =-=+，则1912r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为()12y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得()()()22224548129610k x k k x k k ++-+--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则由根与系数的关系有，()()12221224821245961245k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩，211112r AP BP x ∴=-=-，注意到12x -与22x -异号，故1119r ===，设125t k =+，则11121226131919192419r ==≤⋅=，，当15169t =，即1695t =，此时125k =，故1913r ≥，又19191213>，综上外接圆半径的最小值为1913. 故选：D ． 【点睛】本题以阿波罗尼斯圆为背景，考查直线与椭圆的位置关系以及外接圆半径最小值的求解，考查运算求解能力以及数形结合思想，函数思想等，属于难题．二、填空题11．平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】[)0,p 0，2，3【解析】根据直线倾斜角的定义得出倾斜角的取值范围，考虑直线的各种不同情况可得出所过象限的个数. 【详解】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与直线方程过象限问题，是基础题．12．设平面直角坐标系中有线段AB ，其对应的直观图上的线段为''A B ，若''AB A B =，则AB 的斜率为______.【答案】0或3【解析】根据斜二侧画法，“平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 的线段长度减半”，由此得出若直线AB 与x 轴平行满足条件，当直线与x 轴不平行时，设倾斜角为θ，||AB x =计算即可求解．【详解】根据斜二侧画法知，线段AB 对应直观图上的线段''A B ， 若直线AB 与x 轴平行时，''AB A B =，此时AB 的斜率为0； 若直线AB 不与x 轴平行时，设AB 倾斜角为θ，||AB x =, 则在直观图中，据斜二侧画法及余弦定理可得：22211||(cos )(sin )cos sin cos()224A B x x x x πθθθθπ''=+-⋅⋅-，因为''AB A B =，所以22211(cos )(sin )cos sin cos()224x x x x x πθθθθπ=+-⋅⋅-，化简得3sin θθ=，即tan 3k θ==，故答案为：0或3． 【点睛】本题考查了斜二侧画法中线段长度的变化情况，余弦定理，属于中档题． 13．若抛物线24y x =与圆222x y ax +=只有一个交点，则抛物线焦点的坐标为______，a 的取值范围为______. 【答案】()1,0 ()(],00,2-∞U【解析】由抛物线的性质可得焦点的坐标，联立抛物线方程和圆方程，解方程，结合抛物线的性质和圆的性质，可得所求范围． 【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0，联立抛物线方程24y x =与圆222x y ax +=，可得()2420x a x +-=，即有0x =或24x a =-， 由抛物线的范围可得[)0,x ∈+∞，且抛物线24y x =与圆222x y ax +=只有一个交点，可得交点为原点，则240a -≤，且0a ≠，解得2a ≤且0a ≠． 故答案为：()1,0，2a ≤且0a ≠． 【点睛】本题考查抛物线和圆的方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．14．已知23i i z z +-=，i z C ∈，1,2i =，122z z -=，则12z z +的最大值为______.【答案】4【解析】本题先将1z ，2z 分别代入23i i z z +-=，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出12z z +的最大值． 【详解】由题意，可知1123z z +-=，2223z z +-=，则12121212126222z z z z z z z z z z =++-+-≥++-=++，当12z -与22z -对应的向量反向共线时，等号成立.124z z ∴+≤．故12z z +的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．15．已知正实数,,0x y z >，则12max ,max ,A x y y x ⎧⎫⎧⎫=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的最小值为______；123max ,max ,max ,B x y z y z x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭的最小值为______.【答案】 【解析】分类讨论，结合均值不等式，注意取等验证是否满足即可． 【详解】（1）若12,x y y x ≥≥时，即12xy ≤≤时，2A x x=+≥1x y ==时可取等号，若12,x y y x>>时，即2xy >时，A x y =+≥>， 若12,x y y x >>时，即01xy <<时，由01xy <<知22xy>，所以12A y x =+≥>综上可知A 的最小值为；()2当3z x≥时，25B x z z zz≥++≥+≥，当55z x y ===时可取等号；当3z x ≤时，32325333x x B x x x z x x≥++≥++=+≥55z x y ===时可取等号；综上所述，B ≥55z x y ===时可取等号；故答案为：【点睛】本题考查代数式的最值求法，考涉及均值不等式及分类讨论思想，属于中档题． 16．海面上漂浮着A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个岛屿，岛与岛之间都没有桥连接，小昊住在A 岛，小皓住在B 岛.现政府计划在这七个岛之间建造n 座桥（每两个岛之间至多建造一座桥）.若1n =，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为______；若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为______. 【答案】12130133【解析】利用古典概型、排列组合直接求解． 【详解】七个岛之间两两连接共可以有27=21C 条线路，在这21条线路中若1n =，若只建一座桥，则有21种建法，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为271121C =， 若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来可以的情况有： 若A 岛和B 岛连接，其余任选2条线路建桥，共有220C 种方法，若A 岛和B 岛不连接，再选一个岛，与A 岛和B 岛都连接，再在其他18条线路种选一条建桥，则有58111C C 种方法，若A 岛和B 岛不连接，再选两个岛，与A 岛和B 岛连接，共建3座桥，共有522C 种方法，∴若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为2211201853521++133230C C C C C =． 故答案为：121，30133． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．已知平面向量a r ，b r满足4a =r ，33b =+r ，0a b ⋅=r r .记()(),1f x b xa b x a =++-r r r r，则()()11f x f x ++-的最大值为______.【答案】3π 【解析】先表示出()()11x f x ++-，不妨设()6,0A -，()()4,0,0,33AB a b ===--u u u r rr ，点(),P x y 在直线l ：33y =+上移动，由此所求()()11f x f x ++-即为APB CPD APD BPC ∠+∠=∠-∠，进一步转化为通过求正切值来比较角度大小，进而求得最值． 【详解】()()()()()111,21,f x f x b x a b x a b x a b xa -++=+-+-++++r r r r r r r r，如图，在平面直角坐标系中，不妨设()6,0A -，()(4,0,0,33AB a b ===-u u u r rr ，点P 在直线l ：33y =+设点(),P x y ，由于33y =+b 代替计算， 则所求()()11f x f x ++-即为APB CPD APD BPC ∠+∠=∠-∠且AB BC CD ==，这里可求正切来判断角度大小，则122212116612tan 11663611x x k k b b b APD x x b x k k b b-+--∠===-++-+⋅+⋅，224tan 4bBPC b x ∠=+-，()()()()222222222222222314812364tan 313641441364b b b x b x b x APD BPC b x b x b b x b x ⎛⎫- ⎪+++-+-⎝⎭∠-∠==+-+-++⋅+-+-，不妨设2212b x t ++=，则()()2283+3tan 3768489+38316864b APD BPC b b t t∠-∠=≤==+-+-+-， 即3APD BPC π∠-∠≤，即()()11f x f x ++-的最大值为3π． 故答案为：3π． 【点睛】本题考查平面向量数量积的综合运用，考查运算求解能力以及数形结合思想，属于难题．三、解答题18．如图，在ABC ∆中，AH 为BC 边上的高线.P 为三角形内一点，由P 向三角形三边作垂线，垂足分别为D ，E ，F ，已知AH ，AC ，BC ，AB 依次构成公差为1的等差数列.（1）求ABC ∆的面积；（2）求222T PD PE PF =++的最小值. 【答案】（1）84；（2）14112295. 【解析】()1由题意，可设出1AH x =-，AC x =，1BC x =+，2AB x =+，由等面积法可求出x ，进而求得面积；()2由等面积可知141315168PD PE PF++=，再利用柯西不等式即可得到结果．【详解】()1设1AHx =-，AC x =，1BC x =+，2AB x =+，则213331122222x x x x x -+++-=⨯⨯⨯，解得13x =， ABC V ∴的面积为11412842⨯⨯=；()2141315284168PD PE PF++=⨯=Q ，()22222222168(141315)141315(||||)PD PE PF PD PE PF ∴=++≤++++， 22214112||||295T PD PE PF ∴=++≥， T ∴的最小值为14112295． 【点睛】本题巧妙地把等差数列，柯西不等式以及解三角形结合起来考查，还考查了等面积法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图，正四面体A BCD -底面的中心为O ，ACD ∆的重心为G .P 是ACD ∆内部一动点（包括边界），满足A ，P ，G 不共线且点P 到点A 的距离与到平面BCD 的距离相等.（1）证明：//AB 平面OPG ；（2）若2AB =，求四面体B OPG -体积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）43227.【解析】(1)延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点，由于O 是BCD V 的重心，从而//OG AB ，由此能证明//AB 平面OPG ．(2)作PQ AM ⊥于Q 点，可证得PQ ⊥平面ABM ，则122327P OBG BOG V S PQ -=⋅=V ，作P 到底面上的投影H ，则'HH CD ⊥于'H ，由三垂线定理得'PH CD ⊥，从而22'3PH PA =，由椭圆的第二定义得P 点的轨迹是以A 为右焦点，直线CD 为右准线的椭圆，由椭圆的对称性得当P 与'P 重合时，PQ 最大，由此能求出四面体B OPG -体积的最大值． 【详解】（1）证明：如图，延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点， 由于O 是BCD V 的重心，则B 、O 、M 共线， 且13MG MO MA MB ==， //OG AB ∴，又A ，P ，G 三点不共线，则P 不在平面ABOG 内部， 则//AB 平面OPG ．(2)作PQ AM ⊥于Q 点，由BM CD ⊥，AM CD ⊥，得CD ⊥平面ABM ， 又//PQ CD ，则PQ ⊥平面ABM ，则122327P OBG BOG V S PQ -=⋅=V ， 下面求PQ 的最大值， 作P 到底面上的投影H ，则'HH CD ⊥于'H ， 由三垂线定理得'PH CD ⊥， 则22sin 'sin3AO PHH AMO AM ∠=∠==， 由PA PH =，得22'PH PA =， 接下来，分析在平面ACD 中PQ 的最小值，由于22'PH PA =， 由椭圆的第二定义得P 点的轨迹是以A 为右焦点，直线CD 为右准线的椭圆，由椭圆的对称性得当P 与'P 重合时，PQ 最大， 此时，设''P Q x =，则'22P A x =-，)'31P K x ∴=-，22'PH PA =， )2612x x -=，解得62x =， ∴四面体B OPG -体积4322222''272727P OBGVQ -=≤=．∴四面体B OPG -体积的最大值为43227．【点睛】本题考查线面平衡地的证明，考查四面体的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．如图，(),0P a 为x 正半轴上一点.第一象限内两点(),A B A B x x <在抛物线24y x =上，满足3APB π∠=，记PB k PA=.（1）若3A x =，2k =，求a 的值；（2）若存在PAB ∆，使得1k =，求a 的取值范围. 【答案】（1）231a =；（2）83a >. 【解析】()1推导出(3,23A ，200,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，2PAB π∠=，6PBA π∠=，从而03AB AP AB ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩u u u v u u u v u u uv ，由此能求出a ． (2)设点(),0P a ，()11,A x y ，()22,B x y ，且120y y <<，点1212,22x x y y C ++⎛⎫⎪⎝⎭，AB l ：x my n =+，根据120y y <<，得0n <，联立24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，由此利用韦达定理、直线垂直、抛物线性质，结合题设条件能求出a 的取值范围． 【详解】()()1,0P a Q 为x 正半轴上一点．第一象限内两点A ，()A B B x x <在抛物线24y x =上，满足3APB π∠=，记,3A PB k x PA==，2k =，(3,23A ∴，200,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2PAB π∴∠=，6PBA π∠=，0AB AP AB ⎧⋅=⎪∴⎨=⎪⎩u u u v u u u v u u u v，(022*******4(3)(3[(3)4a y y a ⎧-=⎪⎪⎪-∴⎨⎪⎪⎤-+-=-+⎦⎪⎩， 解得06y =，1a =．(2)设点(),0P a ，()11,A x y ，()22,B x y ，且120y y <<，点1212,22x x y y C ++⎛⎫⎪⎝⎭，AB l ：x my n =+， 根据120y y <<，得0n <，取立24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，124y y m ∴+=，124y y n =-，(0)n <，点1212,22x x y y C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()22,2C m n m +，3APB π∠=Q ，1PB PA=，PAB ∴V 是等边三角形，PC AB ∴⊥，220112m m n a m-∴⋅=-+-， 222a m n ∴=++，PC =Q ，12y y =-= 213n m ∴=-+，且0n <，213m ∴>，22221782222333a m n m m m ∴=++=-++=+>．a ∴的取值范围是8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查实数值、实数取值范围的求法，考查韦达定理、直线垂直、抛物线性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．对于正整数n 与实数0a ，1a ，…，n a ，记()()()()10sin sin sin 22n n nx a x a f x a x ++=++++L .（1）若00a =，13a π=求，()1f x 的取值范围；（2）当2020n =时，判断:是否存在实数0a ，1a ，…，2020a ，使得()()20202020012f f ==成立.若存在，请求出任意一组0a ，1a ，…，2020a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）,22⎡-⎢⎣⎦；（2）不存在.证明见解析. 【解析】()1推导出()()115sin 23442f x sinx x sinx cosx x πϕ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，其中5tan ϕ=，由此能求出()1f x 的取值范围． ()2不存在满足条件的实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立，利用反证法能进行证明． 【详解】()1Q 对于正整数n 与实数0a ，1a ，⋯，n a ，记()()()()10sin sin sin 22n n nx a x a f x x a ++=+++⋯+，00a =，13a π=，()()115sin 234f x sinx x sinx x πϕ⎛⎫∴=++==+ ⎪⎝⎭，x R ∈，其中tan ϕ=()1f x ∴的取值范围是.22⎡-⎢⎣⎦()2不存在满足条件的实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立．证明如下：假设存在实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立，①先证明002n f a π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，001020221111111111221sin sin sin 11012222222222212n n n n n nf a a a a a a a ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-++-++⋯+-+≥---⋯-=-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，②由()202020f =，即：()()()012020202011sin 11sin 11sin 11022a a a ⎡⎤⎤⎡⎡⎤++++++⋯+++=⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎦⎣⎣⎦， 用两角和正弦公式展开整理，得：()()()][()()()0120200120202020202011111cos 1cos 1cos 11sin 1sin 1sin 12222sin a a a cos a a a ⎡⎤⨯++++⋯+++⨯++++⋯++⎢⎥⎣⎦，即()()()()01202020202020111cos 1cos 1111022sin a a a cos f ⎡⎤⨯++++⋯+++⨯=⎢⎥⎣⎦， ()202010f =Q ，从而()()()012020202011cos 1cos 1cos 1022a a a ++++⋯++=，下面说明()20200f x =对所有x 都成立，()()()()2020012020202011sin sin 22f x x a x a x a =++++⋯++()()()012020202011sin 11sin 11sin 1122x a x a x a ⎡⎤⎤⎡⎡⎤=-+++-+++⋯+-+⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎦⎣⎣⎦()()()()012020202011sin 1cos 1cos 1cos 122x a a a ⎡⎤=-++++⋯++⎢⎥⎣⎦()()()()012020202011cos 1sin 1sin 1sin 1022x a a a ⎡⎤+-++++⋯++=⎢⎥⎣⎦，这与002n f a π⎛⎫->⎪⎝⎭矛盾． ∴假设不成立，∴不存在满足条件的实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立．【点睛】本题考查函数的取值范围的求法，考查满足条件的是否存在的判断与证明，考查两角和正弦公式、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，属于难题． 22．已知函数()()()ln ,,01ax x b f x x b a b a +-=>>+.（1）求()f x 的最小值()g a ； （2）若数列{}n x满足：11ln 2n n x x +⎛⎫=-⎪⎝⎭且对任意正整数n ，12nx ≠.证明：1220211010x x x +++≥L . 【答案】（1）()()1,0111ln ,11a b a a g a ab a a a ⎧+<≤⎪⎪+=⎨++⎪>⎪+⎩；（2）证明见解析.【解析】(1) 去掉绝对值号可得分段函数，当1x b ≥+时，()f x ()1ln 11a x xb a a =+-++单调递增，当1x b <+时，利用导数研究函数的单调性及极值，由此能求出()f x 的最小值()g a ．（21ln 2n n x ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎭从而()()111,111a b ab lna ab lnag a min a a a ⎧⎫+++++≥=⎨⎬+++⎩⎭，进而12≥+=+，迭代即可证明结论．【详解】(1()()ln )(,,0).1ax x b f x x b a b a +-=>>+Q()f x ∴()()1ln ,1111ln ,111a x x b x b a a a x x b x b a a ⎧+-≥+⎪⎪++=⎨⎪--<+⎪++⎩，当1x b ≥+时，()()1ln 11a f x x x b a a =+-++单调递增， 当1x b <+时，()()1ln 11a f x x xb a a =--++， ()f x '1111a a a x b=-⋅++-，令()f x '0>，得1x b a>+， 若1a >时，11b b a +<+，即()f x 在1,b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，1,b a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭单调递增，此时()11()1min ab lnag a f x f b a a ++⎛⎫==+=⎪+⎝⎭， 若01a <≤时，11b b a+>+，即()f x 在(),1b b +上单调递减，()1,b ++∞单调递增， 此时，()()()1()11min a b g a f x f b a +==+=+．综上所述，()f x 的最小值()g a ()1,0111,11a b a a ab lna a a ⎧+<≤⎪⎪+=⎨++⎪>⎪+⎩．(2)证明：数列{}n x满足：11ln 2n n x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭1ln 2n n x ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎭， 由(1)知，()()111,111a b ab lna ab lna g a min a a a ⎧⎫+++++≥=⎨⎬+++⎩⎭， ()f x∴1ln 2x ⎛⎫⎛⎫=-+≥⎪ ⎪⎝⎭⎭12≥=+∴对任意正整数n ，12n x ≠，1220211010x x x ++⋯+≥+ 【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查不等式的证明，考查函数的单调性、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于难题．。
2020届浙江省温州中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题
浙江省温州中学2020年3月高考模拟测试高三数学试卷参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()C 1n kk k n n P k p p -=-（0k =，1，2，…，n ）台体的体积公式()1213V h S S =+其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高椎体的体积公式13V Sh = 其中S 表示椎体的底面积，h 表示椎体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径第I 卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =<，集合{}2log 0B x x =<，则A B I 等于（ ）A. ()0,1B. ()1,0-C. ()1,1-D. (),1-∞-2.在平面直角坐标系中，经过点P，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A. 22142x y -=B. 221714x y -=C. 22136x y -=D. 221147y x -=3.设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A. 7B. 5C. 3D. 24.若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( )1B.121D.125.“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.函数ln ()xf x x=的图象大致为（ ） A. B.C. D.7.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A. 72种B. 144种C. 288种D. 360种8.已知随机变量X 分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 方差()13D X ≤对所有()0,1ab ∈-都成立，则（ ） A. 13b ≤B. 23b ≤C. 13b ≥D. 23b ≥9.的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.12 B.12C.12D.1210.设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 任意一项都是正整数；②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确D. ①②都错误第II 卷（非选择题共110分）的的二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”.设,x y 分别为人数、猪价，则x =___，y =___.12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2cm ，体积是_____3cm .13.已知多项式(2)(1)m nx x ++=2012m n m n a a x a x a xL ++++++满足01416a a ==，，则m n +=_________，012m n a a a a +++++=L __________．14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 为ABC ∆的面积，若2cos c a B =，221124S a c =-，则ABC ∆的形状为__________，C 的大小为__________．15.已知0x >，1y >-，且1x y +=，则2231x y x y +++最小值为__________． 16.已知12,F F 为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点、点P 在椭圆C 上移动时、12PF F ∆的内心I 的轨迹方程为__________．17.如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==u u u v u u u v u u u v u u u v,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN u u u u v的最小值是_____.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，PB =，PA PC == （Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．20.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a =*n N ∈，且2n ≥）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++<L 21.已知直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a +=相交于,A B 两点.（I ）求k 与m 的关系式；（II ）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率.的22.已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.（1）求()f x 的单调区间；（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.。
2020年浙江省温州中学高考数学模拟试卷(3月份)(有解析)
2020年浙江省温州中学高考数学模拟试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3>0}，集合B={x|y=lg(x+3)}，则A∩B=()A. {x|−3<x<−1}B. {x|x>3}C. {x|−3<x<−1或x>3}D. {x|−1<x<3}2.已知双曲线x2m−y2=1的焦距为2√5，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±14x B. y=±12x C. y=±√66x D. y=±√1919x3.设变量x，y满足约束条件{x≥1,x+y≤3,2x−y≤3,则z=2x+y的最大值为()A. 1B. 6C. 5D. 44.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i1+i对应点的坐标为()A. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)5.若α,β∈R，且α≠kπ+π2(k∈Z),β≠kπ+π2(k∈Z)则“α+β=π4”是“(tanα+1)(tanβ+1)=2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要6.对于函数f(x)=log21+x1−x，下列说法正确的是()A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f(x)是非奇非偶函数D. f(x)既是奇函数又是偶函数7.某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为()A. 6B. 12C. 24D. 488.设随机变量X的概率分布列如表所示：若随机变量X 的的均值为43，则X 的方差为( )A. 78 B. 59 C. 38 D. 189. 将一边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，若顶点A ，B ，C ，D 落在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. 4π3B. 8√2π3C. 4πD. 8π10. 已知bx n +1=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a n (x −1)n 对任意x ∈R 恒成立，且a 1=9，a 2=36，则b =( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 若a >0，b <0，且a −1b =1，则1a −4b 的最小值为 ．12. 已知F 1，F 2为椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点，M 为椭圆上动点，有以下四个结论： ①|MF 2|的最大值等于3； ②|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为4； ③∠F 1MF 2的最大值为60°；④若动直线l 垂直y 轴，交此椭圆于A 、B 两点，P 为l 上满足|PA|⋅|PB|=2的点，则点P 的轨迹方程为x 22+2y 23=1或x 26+2y 29=1．以上结论正确的序号为 ．13. 已知△ABC 中，AB =1，AC =3，cosA =14，点E 在直线BC 上，且满足：BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=___________．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 对于函数y =f(x)，若在其定义域内存在x 0，使得x 0f(x 0)=1成立，则称函数f(x)具有性质P ． (1)下列函数中具有性质P 的有 (1) ． ①f(x)=−2x +2√2；②f(x)=sinx(x∈[0,2π])；③f(x)=x+1x，(x∈(0,+∞))；④f(x)=ln(x+1)．(2)若函数f(x)=alnx具有性质P，则实数a的取值范围是(2)．15.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是√3cm3，则正视图中的f(2a )=a+aln2a的值是(1)cm，该几何体的表面积是(2)cm2．16.设(x−2)1+(x−2)2+⋯+(x−2)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，则a0+a1+a2+⋯+a6=(1)；a4=(2)．17.在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a+b+c=√2+1，sinA+sinB=√2sinC，则c=；若C=π3，则△ABC的面积S=．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.(10分)已知函数f(x)=−√22sin(2ax+π4)+12+b(a>0,b>0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为π2．(1)求a,b的值;(2)求f(x)在[0,π4]上的最大值和最小值．19.如图，四棱锥S−ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=√2AB，点E在棱SC上．(Ⅰ)若SA//平面BDE，求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求AD与平面SCD所成角的正弦值．20.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n2−(2n2+2n−3)S n−6(n2+n)=0，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{c n}满足c1+4c2+9c3+⋯+n2c n=14a n，证明：对一切正整数n，有c1+c2+⋯+c n<2．21.已知椭圆x24+y2=1，直线l：y=kx+12与椭圆交于A，B两点，P为椭圆右顶点．(1)若k=1，求△PAB的面积；(2)设△PAB的外接圆与x轴另有一个交点Q(x0，0)，求x0的取值范围．22.已知函数f(x)=ax+lnx，其中a∈R．(1)若f(x)在区间[1,2]上为增函数，求a的取值范围；(2)当a=−e时，(ⅰ)证明：f(x)+2≤0；(ⅰ)试判断方程|f(x)|=lnxx +32是否有实数解，并说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．根据一元二次不等式的解法求出集合A，根据对数函数的性质求出集合B，再求出A与B的交集即可．解：A={x|x2−2x−3>0}={x|x>3或x<−1}，B={x|y=lg(x+3)}={x|x>−3}，A⋂B={x|−3<x<−1或x>3}，故选C．2.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质以及标准方程．根据题意，分析可得c的值，由双曲线的几何性质可得m+1=5，解可得m=4，即可得双曲线的标准方程，进而结合双曲线的渐近线方程计算可得答案．−y2=1的焦距为2√5，即2c=2√5，解：根据题意，双曲线x2m则c=√5，则有m+1=5，解可得m=4，−y2=1，则双曲线的标准方程为x24x；其渐近线方程为y=±12故选：B．3.答案：C解析：解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内A(2,1)的时候z最大，最大值为5，先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过点A时，z最大值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．4.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，比较基础．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i22=1+i，则对应的点的坐标为(1,1)，故选：A．5.答案：A解析：因为(tanα+1)(tanβ+1)=2，所以tanαtanβ+tanα+tanβ+1=2，tanα+tanβ=1−tanαtanβ，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1，∴α+β=π4+kπ(k∈Z).当k=0时，α+β=π4.所以，“α+β=π4”是“(tanα+1)(tanβ+1)=2”的充分不必要条件.6.答案：A解析：解：由1+x1−x>0，解得：−1<x<1，故函数f(x)的定义域是(−1,1)，关于原点对称，而f(−x)=log21−x1+x =−log21+x1−x=−f(x)，故f(x)是奇函数，故选：A．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．本题考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．解析：本题考查排列与组合的应用，分步计数原理，属于基础题．将两节数学捆在一起与语文先进行排列，在3个空隙中选两个插入化学与物理即可． 解：第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有A 22种排法，第二步：将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有A 32种方法，根据分步乘法计数原理得不同课程安排种数为A 22A 32=12．故选B ．8.答案：B解析：本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．由随机变量ξ的概率分布律、随机变量X 的均值为43，列出方程组，得，b =13，c =12，由此能求出D(ξ)． 解：由随机变量X 的概率分布律得：16+b +c =1，① ∵随机变量ξ的均值为43，∴0×16+1×b +2×c =43，② 联立①②，得b =13，c =12，∴D(X)=(0−43)2×16+(1−43)2×13+(2−43)2×12=59． 故选B ．9.答案：D解析：本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识．考查运算化简能力、推理计算能力、化归转化思想，属于中档题．取AC 中点O ，则OA =OB =OC =OD =12√22+22=√2，从而求出该球的半径为R =√2，由此能求出该球的表面积．解：将一边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，顶点A，B，C，D落在同一个球面上，取AC中点O，则OA=OB=OC=OD=12√22+22=√2，∴该球的半径为R=√2，该球的表面积为S=4π×(√2)2=8π．故选：D．10.答案：A解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．根据bx n+1=b[1+(x−1)]n+1，根据它的展开式形式，由题意可得bC n1=9，bC n2=36，由此求出b的值．解：∵bx n+1=b[1+(x−1)]n+1=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a n(x−1)n，且a1=9，a2=36，∴bC n1=9，bC n2=36，解得b=1，n=9，故选A．11.答案：9解析：本题考查利用基本不等式求最值，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用1a −4b=(1a−4b)(a−1b)=5−4ab−1ab≥5+2√(−4ab)×(−1ab)即可求解．解：1a −4b=(1a−4b)(a−1b)=5−4ab−1ab≥5+2√(−4ab)×(−1ab)=9，当且仅当a=13,b=−34时，取等号，故则1a−4b的最小值为9，故答案为9．12.答案：①②③④解析：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．由椭圆x24+y23=1，可得a=2，b=√3，c=√a2−b2=1，左、右焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)．①|MF2|≤a+c，即可判断出正误；②由|MF1|+|MF2|=2×2=4≥2√|MF1||MF2|，即可判断出正误．③当点M取短轴的一个端点时，∠F1MF2取得最大值，取M(0,√3)，则tan12∠F1MF2=cb=√33，求出即可判断出正误．④设P(x,y)，A(x1,y)，B(−x1,y)，由|PA|⋅|PB|=2，可得|x−x1||x+x1|=2，即|x2−x12|=2，又x124+y23=1，代入即可判断出正误．解：由椭圆x24+y23=1，可得a=2，b=√3，c=√a2−b2=1，左、右焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)．①|MF2|≤a+c=3，因此正确；②由|MF1|+|MF2|=2×2=4≥2√|MF1||MF2|，可得|MF1|⋅|MF2|≤4，当且仅当|MF1|=|MF2|= 2时取等号．因此正确．③当点M取短轴的一个端点时，∠F1MF2取得最大值，取M(0,√3)，则tan12∠F1MF2=cb=√33，可得12∠F1MF2=30°，因此∠F1MF2的最大值为60°，因此正确．④设P(x,y)，A(x1,y)，B(−x1,y)，∵|PA|⋅|PB|=2，∴|x−x1||x+x1|=2，即|x2−x12|=2，又x12 4+y23=1，可得x12=4(1−y23)，代入可得|x2−4(1−y23)|=2，化为P的轨迹方程为x22+2y23=1或x2 6+2y29=1，正确．以上结论正确的序号为①②③④．故答案为①②③④．13.答案：6解析：本题考查了向量的模，向量的加法和数量积运算，属于基础题．根据向量的加法和数量积的运算性质可以得出答案．解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为B ，E ，C 共线，所以3+λ=1,∴λ=−2，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+6λ|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =9+9λ2+6λ×3×1×14， =9λ2+92λ+9=9×4+92×(−2)+9=36，所以|AE⃗⃗⃗⃗⃗ |=6． 故答案为6． 14.答案：①②④a >0或a ≤−e解析：解：(1)在 x ≠0时，f(x)=1x 有解，即函数具有性质P ，①令−2x +2√2=1x ，即−2x 2+2√2x −1=0，∵△=8−8=0，故方程有一个非0实根，故f(x)=−2x +2√2具有性质P ；②f(x)=sinx(x ∈[0,2π])的图象与y =1x 有交点，故sinx =1x 有解，故f(x)=sinx(x ∈[0,2π])具有性质P ；③令x +1x =1x ，此方程无解，故f(x)=x +1x ，(x ∈(0,+∞))不具有性质P ；④f(x)=ln(x +1)的图象与y =1x 有交点，故ln(x +1)=1x 有解，故f(x)=ln(x +1)具有性质P ；综上所述，具有性质P 的函数有：①②④，(2)f(x)=alnx 具有性质P ，显然a ≠0，方程 xlnx =1a 有根，∵g(x)=xlnx 的值域为[−1e ,+∞)，∴1a ≥−1e ，解之可得：a >0或 a ≤−e ．故答案为：①②④；(2)a >0或a ≤−e(1)在x≠0时f(x)=1x有解即函数具有性质P，逐一判断三个函数是否满足此条件，可得答案；(2)f(x)=alnx具有性质P，显然a≠0，方程xlnx=1a 有根，因为g(x)=xlnx的值域为[−1e,+∞)，所以1a ≥−1e，进而得到答案．本题考查的知识点是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．15.答案：25√3+3√7+42解析：本题考查了四棱锥是三视图、三角形与梯形面积计算公式、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由三视图可知：该几何体为四棱锥P−ABCD.其中PA⊥底面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，CD=1，AB=2，AD=√3.PA=x.由13×1+22×√3x=√3，解得x，即可得出该几何体的表面积．解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P−ABCD．其中PA⊥底面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，CD=1，AB=2，AD=√3．PA=x．∴13×1+22×√3x=√3，解得x=2．该几何体的表面积=1+22×√3+12×2×2+12×√3×2+12×√7×1+12×2×√7=5√3+3√7+42cm2．故答案为2，5√3+3√7+42．16.答案：051解析：解：在等式(x−2)1+(x−2)2+⋯+(x−2)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6中，令x=1，可得a0+a1+a2+⋯+a6=−1+1−1+1−1+1=0；a4=C40+C51⋅(−2)+C62⋅(−2)2=1−10+60=51，故答案为：0；51．在所给的等式中，令x=1，可得a0+a1+a2+⋯+a6的值．再根据二项展开式的通项公式，求得a4的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．17.答案：1√312解析：解：依题意及正弦定理得a+b=√2c，且a+b+c=√2+1，因此c+√2c=√2+1，c=1，当C=π3时，c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab=1，∴(a+b)2−3ab=1．又a+b=√2，因此2−3ab=1，∴ab=13，则△ABC的面积S=12absinC=12×13sinπ3=√312．故答案为：1；√312．先利用正弦定理把题设等式中角的正弦转化成边的关系，进而与a+b+c=√2+1联立求得c，再利用余弦定理求得ab的值，最后利用三角形面积公式求得△ABC的面积．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理常用来解决解三角形问题中的边，角问题的转化的．18.答案：解：(1)∵f(x)的图象上相邻两最高点之间的距离为π2，∴f(x)的周期为π2，∴2π2|a|=π2且a>0，∴a=2，此时， ∵f(x)的图象与x 轴相切，∴|b +12|=√22且b >0， ∴b =√22−12； (2)由(1)可得， ∵x ∈[0,π4]，∴4x +π4∈[π4,5π4]， ∴当4x +π4=5π4，即x =π4时，f(x)取得最大值√2+12； 当4x +π4=π2，即x =π16时，f(x)取得最小值0．解析：本题考查函数的图象与性质，以及三角函数在定义域上的最值． (1)利用函数的图象与性质，即可得；(2)利用函数的定义域，即可得函数y =Asin (ωx +φ)的最值．19.答案：解：建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形的边长为2，得到如下点的坐标：A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，S(0,0，2√2).(Ⅰ) 连接AC 交BD 于O ，连接OE ，∵底面ABCD 是正方形，∴O 为AC 中点，∵SA//平面BDE ，平面SAC ∩平面BDE =OE ，∴SA//EO ，且E 为SC 的中点，∴E(1,1，√2).∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，√2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,√2)， ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)⋅(−1，1，√2)=0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)⋅(1，−1，√2)=0， ∴AC ⊥BE ，AC ⊥DE ，BE 与DE 相交于点E ，∴AC ⊥平面BDE.(Ⅱ) 设平面SCD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，∵SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2√2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)，且SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，∴{2y −2√2z =0−2x =0，∴{y =√2z x =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√2,1)， 又AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，设AD 与平面SCD 所成角为θ， 则cos <m ⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=cos(π−θ)=m⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63， ∴AD 与平面SCD 所成角的正弦值为√63.解析：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形的边长为2，连接AC 交BD 于O ，连接OE ，证明：AC ⊥BE ，AC ⊥DE ，即可证明AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)求出平面SCD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求AD 与平面SCD 所成角的正弦值． 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系，将线段垂直问题及线面夹角问题，转化为向量问题是解答的关键．20.答案：(1)解：令n =1代入得a 1=4(负值舍去)．由S n 2−(2n 2+2n −3)S n −6(n 2+n)=0，n ∈N ∗．当n ≥2时，S n−12−(2(n −1)2+2(n −1)−3)S n −6((n −1)2+(n −1))=0，得[S n −(2n 2+2n)](S n +3)=0．又已知数列{a n }各项均为正数，故S n =2n 2+2n ．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n 2+2n −2(n −1)2−2(n −1)=4n ．当n =1时，a 1=4也满足上式，∴a n =4n ，n ∈N ∗;(2)证明：c 1+4c 2+9c 3+⋯+n 2c n =14a n ，①c 1+4c 2+9c 3+⋯+(n −1)2c n−1=14a n−1，n ≥2，②①−②得n 2c n =14(a n −a n−1)=1(n ≥2)，∴c n =1n 2(n ≥2)，c 1=14a 1=1，符合上式，∴c n =1n 2． 设T n =c 1+c 2+⋯+c n ．当n =1时，T 1=c 1=1<2；当n =2时，T 2=c 1+c 2=1+14=54<2；当n ≥3时，c n =1n 2<1(n−1)n =1n−1−1n ，此时T n =1+14+132+142+⋯+1n 2<1+14+(12−13)+(13−14)+⋯(1n−1−1n )=1+14+12−1n =74−1n <2．综上，对一切正整数n ，有c 1+c 2+⋯+c n <2成立．解析：此题考查了数列的通项与前n 项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大．(1)此题可以用n =1代入题中条件，利用S 1=a 1求出a 1的值，利用a n 与S n 的关系，从而求出a n ；(2)利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可证明到本题结论．21.答案：解：ⅰ因为k =1，所以直线l 为y =x +12，由{y =x +12x 2+4y 2=4消y ，得5x 2+4x −3=0 ， 则x 1+x 2=−45, x 1x 2=−35，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，所以AB =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=25√38 ， 点P 到直线l 的距离为d =|2−0+12|√12+12=5√24，所以ΔPAB 的面积为12AB ⋅d =√392． ⅰ设ΔPAB 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，令y =0，则x 2+Dx +F =(x −2)(x −x 0)，所以ΔPAB 的外接圆的方程为x 2+y 2−(2+x 0)x +Ey +2x 0=0，由{y =kx +12x 2+y 2−(2+x 0)x +Ey +2x 0=0， 消y ，得(1+k 2)x 2+(k +Ek −x 0−2)x +2x 0+E 2+14=0，所以x 2+k+Ek−x 0−21+k 2x +2x 0+E 2+141+k 2=0 (∗) 由{y =kx +12x 2+4y 2=4消y ，得(1+4k 2)x 2+4kx −3=0， 所以x 2+4k 1+4k 2x −31+4k 2=0 (∗∗)因为(∗)与(∗∗)的解都是A,B 两点的横坐标，所以(∗)与(∗∗)是同一方程，所以{k+Ek−x 0−21+k 2=4k 1+4k 22x0+E 2+141+k 2=−31+4k 2，由第二个方程得：E =−6(1+k 2)1+4k −4x 0−12，将此方程代入第一个方程化简得：−2x 0=16k 3+16k 2+19k+4(4k 2+1)(4k+1)=1+3k+11+4k 2， 因为直线l 过定点(0,12)在椭圆的内部，所以直线l 与椭圆一定相交，所以k 的取值范围为k ≠−14，设n =k +1, n ≠34，所以k+11+4k 2=n 4n 2−8n+5，10 n =0时，n 4n 2−8n+5=0，20 n ≠0且n ≠34时，n 4n 2−8n+5=14n+5n −8，设ℎ(n)=4n +5n −8，当n <0时，4n +5n −8≤−2√4n ·5n −8=−4√5−8，当且仅当n =−√52时取等号； 当n >0时， 4n +5n −8≥2√4n ·5n −8=4√5−8，当且仅当n =√52时取等号， n =34时， 4n +5n −8=4×34+534−8=53， 所以ℎ(n)⩽−4√5−8或ℎ(n)⩾4√5−8且ℎ(n )≠53，所以x 0的取值范围是[−10−3√58,−75)∪(−75,3√5−108]．解析：(1)利用椭圆的性质求解即可；(2)根据椭圆与直线的位置关系求解，进而即可得结果．22.答案：(1)解：函数f(x)定义域x ∈(0,+∞)，f′(x)=a +1x ，因为f(x)在区间[1,2]上为增函数，所以f′(x)≥0在x ∈[1,2]上恒成立，即f′(x)=a +1x ≥0，a ≥−1x 在x ∈[1,2]上恒成立，则a ≥−12；(2)证明：(ⅰ) 当a =−e 时，f(x)=−ex +lnx ，f′(x)=−ex+1x ． 令f′(x)=0，得x =1e ，令f′(x)>0，得x ∈(0,1e )，所以函数f(x)在(0,1e )单调递增．令f′(x)<0，得x ∈(1e ,+∞)，所以函数f(x)在(1e ,+∞)单调递减．所以，f(x)max =f(1e )=−e ⋅1e +ln 1e =−2，所以f(x)+2≤0成立.(ⅰ)由(ⅰ)知，f(x)max =−2，所以|f(x)|≥2，设g(x)=lnx x +32，x ∈(0,+∞)，所以g′(x)=1−lnxx 2，令g′(x)=0，得x=e．令g′(x)>0，得x∈(0,e)，所以函数g(x)在(0,e)单调递增，令g′(x)<0，得x∈(e,+∞)，所以函数g(x)在(e,+∞)单调递减；所以，g(x)max=g(e)=lnxx +32=1e+32<2，即g(x)<2．所以|f(x)|>g(x)，即|f(x)|>lnxx +32，所以，方程|f(x)|=lnxx +32没有实数解．解析：本题考查了函数的单调性最值问题，考查导数的应用、函数恒成立问题，是一道综合题．(1)求出函数的导数，分离出a，结合函数的单调性求出a的范围即可；(2)(ⅰ)解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f(x)的最大值，证出结论；(ⅰ)求出|f(x)|≥2，令g(x)=lnxx +32，求出g(x)的最大值小于|f(x)|的最小值，从而判断无解．。
浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题及答案
浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．−iB ．iC ．0D ．12．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（ ） A ．93B ．93.5C ．94D ．94.53．已知直线l:y =2x +b 与圆C:(x +2)2+(y −3)2=5有公共点，则b 的取值范围为（ ） A ．[2,12] B ．(−∞,2]∪[12,+∞) C ．[−4,6]D ．(−∞,−4]∪[6,+∞)4．三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，△ABC 为等边三角形，且AB =3，PA =2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）5．已知等比数列{a n }的首项a 1>1，公比为q ，记T n =a 1a 2⋅⋅⋅a n （n ∈N ∗），则“0<q <1”是“数列{T n }为递减数列”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．在直角梯形ABCD ，AB⊥AD ，DC//AB ，AD=DC=1，AB=2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示），若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λED ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ,μ∈R ，则2λ−μ的取值范围是（ ）8．已知a=10lg4,b=9lg5,c=8lg6，则a,b,c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a 二、多选题A．x<1B．log0.5x2>log0.5xC．3x2<3x D．|x(x−1)|=x(1−x)11．在三棱锥P−ABC中，AC⊥BC，AC=BC=4，D是棱AC的中点，E是棱AB上一点，PD=PE=2，AC⊥平面PDE，则（）12．设F为抛物线C:y2=4x的焦点，直线l:2x−ay+2b=0(a≠0)与C的准线l1，交于点A．已知l与C相切，切点为B，直线BF与C的一个交点为D，则（）A．点(a,b)在C上B．∠BAF<∠AFBC．以BF为直径的圆与l相离D．直线AD与C相切三、填空题15．直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是直角三角形，AC⊥BC，AC=6，BC=8，AA1= 4．若平面α将该直三棱柱ABC−A1B1C1截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为．16．对任意x∈(1,+∞)，函数f(x)=a x lna−aln(x−1)≥0(a>1)恒成立，则a的取值范围为．四、解答题17．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且a2+c2−b2=ac，a=√3，cosA=√53.(1)求角B及边b的值；(2)求sin(2A−B)的值.18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=a n+1a n a n+1，其前n项和为T n，求使得T n>20232024成立的n的最小值．19．如图，正三棱锥O−ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别．相交于A1、B1、C1，已知OA1=32（1）求证：B1C1⊥平面OAH；（2）求二面角O−A1B1−C1的大小．20．甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.21．设椭圆C:x29+y2b2=1(0<b<√6)，P是C上一个动点，点A(1,0)，PA长的最小值为√102．(1)求b的值：(2)设过点A且斜率不为0的直线l交C于B,D两点，E,F分别为C的左、右顶点，直线BE和直线DF的斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值．22．已知f(x)=3lnx−k(x−1).(1)若过点(2,2)作曲线y=f(x)的切线，切线的斜率为2，求k的值；(2)当x∈[1,3]时，讨论函数g(x)=f(x)−2πcosπ2x的零点个数.参考答案：1．D【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为1+i1−i =(1+i)2(1+i)(1−i)=2i2=i，所以虚部为1.故选：D．2．B【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为10×80%=8，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即93+942=93.5.故选：B.3．A【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心(−2,3)到直线l:y=2x+b的距离|−4−3+b|√1+4≤√5，解得2≤b≤12，故b的取值范围是[2,12].故选：A4．B【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H为△ABC外接圆的圆心，过点H作平面ABC的垂线，点D为PA的中点，过点D作线段PA的垂线，所作两条垂线交于点O，则点O为三棱锥外接球的球心，因为PA⊥平面ABC，且△ABC为等边三角形，PA=2,AB=3，所以四边形AHOD为矩形，AH=√33AB=√3，OH=12PA=1，所以OA=√(√3)2+12=2，即三棱锥外接球的半径R=2，.则A (0,0)，E (1,0)，D (0,1)，C (1,1则F (32,12)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λED ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，15．104π【分析】α可能是AC的中垂面，BC的中垂面，AA1的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图α有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则2R=√32+82+42=√89或2R=√62+42+42=√68或2R=√62+82+22=√104，所以S max=4πR2=104π．故答案为：104π16．[e1e,+∞)【分析】变形为a x−1lna x−1≥(x−1)ln(x−1)，构造F(t)=tlnt,t>0，求导得到单调性进而a x−1>1恒成立，故F(a x−1)>0，分当x−1∈(0,1]和x−1>1两种情况，结合g(u)=lnuu单调性和最值，得到a≥e 1e，得到答案.【详解】由题意得a x−1lna≥ln(x−1)，因为x∈(1,+∞)，所以(x−1)a x−1lna≥(x−1)ln(x−1)，即a x−1lna x−1≥(x−1)ln(x−1)，令F(t)=tlnt,t>0，则F(a x−1)≥F(x−1)恒成立，因为F′(t)=1+lnt，令F′(t)>0得，t>e−1，F(t)=tlnt单调递增，令F′(t)<0得，0<t<e−1，F(t)=tlnt单调递减，且当0<t≤1时，F(t)≤0恒成立，当t>1时，F(t)>0恒成立，因为a>1,x>1，所以a x−1>1恒成立，故F(a x−1)>0，当x−1∈(0,1]时，F(x−1)≤0，此时满足F(a x−1)≥F(x−1)恒成立，因为E、F分别是AB、AC的中点，所以AE=12AB,AF=12AC，因为AB=AC，所以AE=AF，因为H是EF的中点，所以AH⊥EF，所以AH⊥B1C1．因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，所以OA⊥平面OBC，因为B1C1⊂平面OBC，所以OA⊥B1C1，因为OA∩AH=A因此B1C1⊥面OAH．（2）作ON⊥A1B1于N，连C1N．因为OC1⊥OA1,OC1⊥OB1,OA1∩OB1=O，因为OC1⊥平面OA1B1，因为A1B1⊂平面OA1B1，所以OC1⊥A1B1，因为ON∩OC1=O，所以A1B1⊥平面OC1N，因为C1N⊂平面OC1N，所以C1N⊥A1B1，所以∠ONC1就是二面角O−A1B1−C1的平面角．过E作EM⊥OB1于M，则EM∥OA，则M是OB的中点，则g(x)在[1,m)内单调递增，在(m,3]内单调递减，且g(1)=0，可知g(m)>g(1)=0，可知g(x)在[1,m)内有且仅有1个零点，且g(3)=3ln3−2k，ln3≤k<4时，则g(x)在(m,3]内有且仅有1个零点；①当g(3)=3ln3−2k≤0，即32②当g(3)=3ln3−2k>0，即0<k<3ln3时，则g(x)在(m,3]内没有零点；2ln3)∪[4,+∞)时，g(x)在[1,3]内有且仅有1个零点；综上所述：若k∈(−∞,32若k∈[3ln3,4)时，g(x)在[1,3]内有且仅有2个零点.2【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．答案第15页，共15页。
2022年浙江温州十五校联盟高三3月份模拟考试数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷含解析注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ） A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种2．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．23．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．22C ．624- D ．624+ 5．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．62，体积为223，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D ．527．复数12i2i+=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -8．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B 等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)9．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种11．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12B ．10C 10D ．212．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省高考数学模拟试卷(1)(3月份)(解析版)
2021届浙江省高考数学模拟试卷（1）（3月份）姓名班级学号一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}，则A∩B=()A. {2}B. {0,2}C. (0,2]D. [0,2]2.已知复数z=5i3+4i(i是虚数单位)，则z的共轭复数z对应的点在A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限3.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为()A. 12+√3B. 8+√3+√7C. 8+2√3+√7D. 10+√3+√724.若x，y满足约束条件{x−y≥02x+y≤6x+y≥2，则y+2x+1的最大值是()A. 72B. 3 C. 2 D. 325.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，若将y= f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位后，得到的图象关于原点对称，则m的最小值为()A. π24B. π12C. π6D. π36.已知f(x)=x2−2ax+1在区间[2,8]上为单调递增函数，则实数a的取值范围是()A. [8,+∞)B. (−∞,2]C. [2,+∞)D. (−∞,8]7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若则△ABC的形状为( )A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不确定8. 对于任意的实数a ，b ，记max(a,b)={a(a ≥b)b(a <b)，若F(x)=max{f(x),g(x)}(x ∈R)，其中函数y =f(x)(x ∈R)是奇函数，且当x >0时，f(x)=(x −1)2−2；函数y =g(x)(x ∈R)是正比例函数，其图象与x ≥0时函数y =f(x)的图象如图所示，则下列关于函数y =F(x)的说法中，正确的是( )A. y =F(x)为奇函数B. y =F(x)在(−3,0)上为增函数C. y =F(x)的最小值为−2，最大值为2D. 以上说法都不正确9. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，AD =1，AA 1=2，点E 为C 1D 1的中点，则二面角B 1−A 1B −E 的余弦值为( )A. −√33B. −√32C. √33D. √3210. 直角三角形ABC 中，A =90°，B =60°，B ，C 为双曲线E 的两个焦点，点A 在双曲线E 上，则该双曲线的离心率为( )A. √3+1B. √2+1C. √3D. √2二、单空题（本大题共7小题，共36分，单空每题6分，多空每题4分）11. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =n 2a n (n ∈N ∗)，则数列{a n }的通项公式为______ ．12. 已知a 为常数，函数f(x)=√a−x 2−√1−x 2的最小值为−23，则a 的所有值为______． 13. 已知点O 为直角坐标系的原点，A(1,0)，实数x ，y 满足不等式{2x −y −1≤0x +2y −8≤03x +y −4≥0点P(x,y)在不等式组形成的区域上移动，则OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______ ． 14. (x −2x )6的展开式中的所有项系数和为______ ，展开式的常数项是______ (用数字作答)．15. 若tan(α−π4)=16，则tanα=______ ，cos2α=______ ．16. 小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢;如果两次是一正一反，那么我赢.”小红赢的概率是 ，据此判断该游戏 (填“公平”或“不公平”)．17. 已知实数x ，y ，z 满足{xy +2z =1x 2+y 2+z 2=5，则xyz 的最小值为 ；此时z = ．四、解答题（本大题共5小题，共74分）18. 已知函数f(x)=2cosxsin(x +π3)−√3sin 2x +sinxcosx ．(1)若x ∈[−π12,π6]，求函数f(x)的最值；(2)记锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f(A)=0，b +c =4，求△ABC 面积的最大值．19. 如图，斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠ACB =90°，点B 1在底面ABC 上的射影恰为BC 的中点，且BC =CA =AA 1．(Ⅰ)求证：平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1； (Ⅱ)求证：BC 1⊥AB 1；(Ⅲ)求二面角B −AB 1−C 1的余弦值．20. 已知数列{a n }的首项0,1>=t t a ，，n =1，2，……(1)若t =，求是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)若对一切都成立，求t 的取值范围．21. 已知点F(1,0)，直线l ：x =−1，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离．(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)是否存在过N(4,2)的直线m ，使得直线m 被曲线C 截得的弦AB 恰好被点N 所平分？22. 若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”.已知，为自然对数的底数)．(Ⅰ)求的极值；(Ⅱ)函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}={0,1，2}，则A∩B={0,2}．故选：B．根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与计算问题，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z=5i3+4i =5i(3−4i)(3+4i)(3−4i)=5i(3−4i)25=45+35i，∴z=45−35i，则复数z对应的点的坐标为(45,−35)，在第四象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱柱体切去一个角．如图所示：AB=√12+(√3)2=2，所以S表=2×12×(1+2)×2+12×2×2×√32+2×2+12×2×2=6+√3+4+2=12+√3． 故选：A ．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y ≤6x +y ≥2的可行域如图：令z =y+2x+1，则z 的几何意义是点(x,y)与点D(−1,−2)的斜率． 联立{x +y =2x −y =0，解得C(1,1)，由可行域可得CD 的斜率最大． 由k CD =1+21+1=32， 可得z =y+2x+1的最大值为32． 故选：D ．作出可行域，利用目标函数z =y+2x+1的几何意义是点(x,y)与点D(−1,−2)的斜率．由可行域可得AD 的斜率最小，CD 的斜率最大．本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义是解决本题的关键，注意使用数形结合，是中档题．5.【答案】B【解析】解：由图可知A=2，34T=11π12−π6，T=π，∴ϖ=2．∵由图可得点(π6,2)在函数图象上，可得：2sin(2×π6+φ)=2，解得：2×π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，∴由|φ|<π2，可得：φ=π6，∴f(x)=2sin(2x+π6).若将y=f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位后，得到的函数解析式为：y=2sin(2x−2m+π6).∵得到的图象关于原点对称，∴−2m+π6=kπ2，k∈Z，解得：m=π12−kπ4，k∈Z，∵m>0，∴m的最小值为π12．故选：B．利用y=Asin(ωx+φ)的图象特征，求出函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，再根据y= Asin(ωx+φ)的图象变换规律及正弦函数的图象和性质，求得m的最小值．本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：∵f(x)=x2−2ax+1的对称轴为x=a，又f(x)的图象是开口向上的抛物线，在[2,8]上递增，所以a≤2，故选：B．根据二次函数的图象的开口向上以及在[2,8]上递增，所以对称轴在区间左边．本题考查了二次函数的性质与图，属基础题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查正弦定理的应用，考查了两角和与差的三角函数，考查了转化思想，属于基础题．由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出sin A，进一步求得∠A，即可得解．【解答】解：由acosB+bcosA=csinA，结合正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=sinCsinA，∴sin(B+A)=sinCsinA，可得：sinC=sinCsinA，在△ABC中，∵sinC≠0，∴sinA=1，又0<A<π，∴A=π，2则△ABC的形状为直角三角形．故选：A．8.【答案】D【解析】解：设x<0，则−x>0，故f(−x)=(−x−1)2−2=(x+1)2−2，又y=f(x)为奇函数，故f(x)=−f(−x)=−(x+1)2+2(x<0)，x，由图可知，正比例函数g(x)过(3,1)，则g(x)=13作出F(x)完整图象(实线部分)如图所示：由图象可知，y=F(x)的图象不关于原点对称，故其不为奇函数，且在(−3,0)上不为增函数，没有最大值、最小值，故选：D．根据条件可求出f(x)在x<0时的解析式为f(x)=−(x+1)2+2，根据给出的定义可以画出F(x)的图象，数形结合逐一进行判断即可．本题考查新定义函数问题，考查函数利用奇偶性求解析式，数形结合思想，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：建立空间直角坐标系如图所示，由题意知各点坐标如下：D(0,0，0)、B(1,2，0)、A 1(1,0，2)、E(0,1，2)； A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)， 设平面A 1BE 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则n ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0； {−x +y =02y −2z =0，令z =1，n ⃗ =(1,1，1)； 平面B 1A 1B 的法向量为m⃗⃗⃗ =(1,0，0)； 设二面角B 1−A 1B −E 的大小为θ，由题意知θ为锐角； 所以cosθ=|cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||=|(1,1,1)⋅(1,0,0)√3⋅1|=√33． 所以二面角B 1−A 1B −E 的余弦值√33．故选：C ．根据直线与平面位置关系，利用空间向量内积，计算二面角的余弦值．本题考查了长方体性质，考查了空间直线与平面位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：不妨设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，设A 在双曲线右支上， ∵A =90°，B =60°， ∴C =30°，则BC =2c ，则AB =12BC =c ， 则AC =√3c ， ∵AC −AB =2a ，∴√3c −c =2a ，即(√3−1)c =2a ， 即e =ca =√3−1=√3+1)(√3+1)(√3−1)=2(√3+1)2=√3+1，故选：A根据直角三角形的边角关系，以及双曲线的定义和性质，建立方程关系求出a，c的关系进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的性质，结合三角形的边角关系建立方程关系是解决本题的关键．11.【答案】a n=2n(n+1)【解析】解：因为S n=n2a n(n∈N∗)，所以当n≥2时，S n−1=(n−1)2a n−1，故a n=S n−S n−1=n2a n−(n−1)2a n−1，整理可得a na n−1=n−1n+1，故a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅a n−2a n−3…a3a2⋅a2a1⋅a1=n−1n+1⋅n−2n⋅n−3n−1…24⋅13⋅1=2n(n+1)，当n=1时，a1=1也适合上式，故数列{a n}的通项公式为a n=2n(n+1)．故答案为：a n=2n(n+1)．利用数列的第n项与数列前n项和之间的关系，得到a na n−1=n−1n+1，然后利用迭乘法求解数列通项公式即可．本题考查了数列通项公式的求解，主要考查了数列的第n项与数列前n项和之间关系的应用，迭乘法求解数列通项公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题．12.【答案】4或14【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的最值，属于较难题目．由题意可得显然a>0，且a≠1，讨论a>1，0<a<1，求得f(x)的导数，可得极值点，且为最值点，代入f(x)，计算可得最值，解方程可得a的值．【解答】函数f(x)=√a−x2−√1−x2，显然a>0，且a≠1，由f(−x)=−f(x)，可得f(x)为奇函数， f′(x)=(√a−x 2−√1−x 2)−x(−2x2a−x 2−−2x21−x 2)222，令f′(x)=0，得√a−x 2=√1−x 2，则x 2=aa+1， 所以f′(x)>0，得(a −1)[a −(a +1)x 2]>0， ①当0<a <1是，函数f(x)的定义域为[−√a,√a]，由f′(x)>0得−√a ≤x <−√a a+1或√aa+1<x ≤a ， 由f′(x)<0得−√a a+1<x <√aa+1，函数f(x)在[−√a,−√a a+1),(√a a+1,√a]上单调递增，在(−√a a+1,√aa+1)单调递减， 因为f(−√a)=√a√1−a f(√aa+1)=√aa−1， 所以f(x)min =f(√aa+1)=√aa−1=−23， 解得a =14;②当a >1时函数f(x)的定义域为[−1,1]，由f′(x)>0得−√aa+1<x <√aa+1， 由f′(x)<0得x ∈[−1,−√aa+1),(√aa+1,1]， 所以f(x)在(−√aa+1,√aa+1)上单调递增，在[−1,−√aa+1),(√aa+1,1]单调递减， 又f(−√aa−1)=−√aa−1,f(1)=√a−1，所以f(x)min =f(−√aa−1)=−√a a−1=−23， 解得a =4．综上a 得所有值为14或4．故答案为14或4．13.【答案】[0,√22]【解析】解：如图所示，画出约束条件{2x −y −1≤0x +2y −8≤03x +y −4≥0的可行域： B(1,1)，D(0,4)． 设<OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=θ． 则OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=cosθ．tan∠AOB =1，可得∠AOB =π4． ∵D 在y 轴上，∴∠AOD =π2． ∴cosθ∈[0,√22]． ∴则OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[0,√22]． 故答案为：[0,√22]．画出约束条件{2x −y −1≤0x +2y −8≤03x +y −4≥0的可行域，B(1,1)，D(0,4).设<OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=θ.即可OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=cosθ．本题考查了线性规划的可行域、数量积运算，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】1 −160【解析】解：令x =1代入(x −2x )6可得：(1−21)66=1， 所以二项式展开式的所有项的系数和为1，展开式的常数项为C 63 x 3(−2x )3=−160， 故答案为：1，−160．令x =1即可求出各项的系数和，再根据二项式即可求出常数项．本题考查了二项式定理的应用，考查了展开式的各项的系数和求解常数项的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．15.【答案】75 −1237【解析】解：tanα=tan(α−π4+π4)=tan(α−π4)+11−tan(α−π4)=16+11−16=1+66−1=75， cos2α=cos 2α−sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−49251+4925=25−4925+49=−2474=−1237故答案为：75，−1237．根据两角和差的正切公式，以及倍角公式，结合弦化切进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的正切公式以及弦化切进行转化是解决本题的关键，是基础题．16.【答案】14;不公平【解析】【解答】解：所有可能出现的结果如下表所示：因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反，所以出现两个正面的概率为14，一正一反的概率为24=12，因为二者概率不等，所以游戏不公平．故答案为14；不公平．【分析】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．17.【答案】−20−7√7;2+√7【解析】解：由xy+2z=1，可得xy=1−2z．∴5=x2+y2+z2≥2xy+z2=z2−4z+2，∴z2−4z−3≤0，∴2−√7≤z≤2+√7，∴xyz=(1−2z)z=−2z2+z=−(z−14)2+18≥−2(2+√7)2+(2+√7)=−20−7√7．∴当z=2+√7时，xyz的最小值为−20−7√7．故答案为：−20−7√7；2+√7．由xy+2z=1，可得xy=1−2z，因此5=x2+y2+z2≥2xy+z2=z2−4z+2，解出z的范围，再由xyz=(1−2z)z=−2z2+z求出最小值即可．本题考查了方程与不等式的性质、二次函数的单调性，考查了转化思想，推理能力与计算能力，属中档题．18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2cosxsin(x+π3)−√3sin2x+sinxcosx=sinxcosx+√3cos2x−√3sin2x+sinxcosx=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3 ).∵x∈[−π12,π6]，∴π6≤2x+π3≤2π3，∴12≤sin(2x+π3)≤1，故函数f(x)的最大值为2，最小值为1．(2)锐角△ABC中，由f(A)=0可得sin(2A+π3)=0，∴A=π3．∵b+c=4≥2√bc，当且仅当b=c时取等号，故bc≤4，即bc的最大值为 4．故△ABC面积S=12bc⋅sinA=√34bc≤√3，故△ABC面积的最大值为√3．【解析】(1)利用两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为f(x)=2sin(2x+π3)，由x∈[−π12,π6]，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)的最值．(2)锐角△ABC中，由f(A)=0可得A=π3.利用基本不等式求得bc≤4，即bc的最大值为4，由此求得△ABC的面积S=12bc⋅sinA的最大值．本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，以及基本不等式的应用，属于中档题．19.【答案】证明：(Ⅰ)∵B1在底面ABC上的射影为D，∴B1D⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴B1D⊥AC，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∵B1D∩BC=D，∴AC⊥平面BCC1B1，∵AC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1．(Ⅱ)连结B1C，∵在平行四边形BCC1B1中，BC=CC1，∴平行四边形BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1，∵AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1，∵B1C∩AC=C，∴BC1⊥平面ACB1，∵AB1⊂平面ACB1，∴BC1⊥AB1．解：(Ⅲ)作BH⊥AB1于H，连结C1H，∵AB1⊥BC1，BH∩BC1=B，∴AB1⊥平面BHC1，∴∠BHC1是二面角B−AB1−C1的平面角，设BC=2，则BC1=2√3，B1A=2√2，BH=√142，由Rt△BB1H≌Rt△C1B1H，得C1H=BH=√142，∴cos∠BHC1=BH2+C1H2−BC122BH⋅C1H =72+72−122×√142×√142=−57．∴二面角B−AB1−C1的余弦值为−57．【解析】(Ⅰ)推导出B1D⊥平面ABC，B1D⊥AC，BC⊥AC，从而AC⊥平面BCC1B1，由此能证明平面ACC1A1⊥平面BCC1B1．(Ⅱ)连结B1C，推导出B1C⊥BC1，AC⊥BC1，从而BC1⊥平面ACB1，由此能证明BC1⊥AB1．(Ⅲ)作BH⊥AB1于H，连结C1H，则∠BHC1是二面角B−AB1−C1的平面角，由此能求出二面角B−AB1−C1的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.【答案】(1)将所给关系式取导数，即得递推关系式，从而得证，(2)0< t<1【解析】试题分析：(1)由题意，，所以，又因为，……4分所以数列{}是首项为，公比为的等比数列，……5分根据等比数列的通项公式得，所以.……7分(2)由(1)知，，……9分由，知，故由得，……10分即(−1)()+1<(−1)()+1得−1>0，又t >0，则0<t <1.……13分考点：本小题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项公式、等比数列的判定和通项公式的求解，以及恒成立问题的解决．点评：由数列的递推关系式求数列的通项公式有累加法、累乘法和构造新数列法，要根据递推关系式的形式恰当选择．21.【答案】解：(Ⅰ)因点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，所以点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线x =−1为准线的抛物线，…(2分) 其方程为y 2=4x.…(4分)(Ⅱ)解法一：假设存在满足题设的直线m.设直线m 与轨迹C 交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 依题意，得{x 1+x 2=8y 1+y 2=4.…(5分) ①当直线m 的斜率不存在时，不合题意．…(6分)②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y −2=k(x −4)，…(7分) 联立方程组{y −2=k(x −4)y 2=4x，消去y ，得k 2x 2−(8k 2−4k +4)x +(2−4k)2=0，(∗) …(8分) ∴x 1+x 2=8k 2−4k+4k =8，解得k =1.…(9分)此时，方程(∗)为x 2−8x +4=0，其判别式大于零，…(10分)∴存在满足题设的直线m …(11分)且直线m 的方程为：y −2=x −4即x −y −2=0.…(12分)解法二：假设存在满足题设的直线m.设直线m 与轨迹C 交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 依题意，得{x 1+x 2=8y 1+y 2=4.…(5分) ∵A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在轨迹C 上，∴有{y 12=4x 1...(1)y 22=4x 2 (2)，将(1)−(2)，得y 12−y 22=4(x 1−x 2).…(7分) 当x 1=x 2时，弦AB 的中点不是N ，不合题意，…(8分) ∴y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2=1，即直线AB 的斜率k =1，…(9分)注意到点N 在曲线C 的张口内(或：经检验，直线m 与轨迹C 相交) ∴存在满足题设的直线m …(11分)且直线m 的方程为：y −2=x −4即x −y −2=0.…(12分)【解析】(Ⅰ)根据点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，利用抛物线的定义，可得点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线x =−1为准线的抛物线，从而可求抛物线方程为y 2=4x ；(Ⅱ)解法一：假设存在满足题设的直线m.设直线m 与轨迹C 交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由中点坐标公式可得{x 1+x 2=8y 1+y 2=4，直线m 的斜率存在，设直线m 的方程与抛物线方程联立，消去y ，利用x 1+x 2=8k 2−4k+4k 2=8，可得结论；解法二：假假设存在满足题设的直线m.设直线m 与轨迹C 交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由中点坐标公式可得{x 1+x 2=8y 1+y 2=4，利用点差法求直线的斜率，从而可得结论．本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．22.【答案】(Ⅰ)当时，取极小值，其极小值为．(Ⅱ)函数和存在唯一的隔离直线．【解析】试题分析：(Ⅰ)，. 2分当时，．当时，，此时函数递减；3分当时，，此时函数递增；4分∴当时，取极小值，其极小值为.5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．可设隔离直线的斜率为，则直线方程为：，即．由，可得，当时恒成立．，由，得.6分下面证明，当时恒成立．令，则，当时，.8分当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减；∴当时，取极大值，其极大值为.10分从而，即恒成立．∴函数和存在唯一的隔离直线.12分考点：导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的极值。
2022年浙江省温州市苍南县龙港中学高考数学适应性试卷(3月份)+答案解析(附后)
2022年浙江省温州市苍南县龙港中学高考数学适应性试卷（3月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.3.某几何体三视图如图所示，则该几何体体积是( )A. B. 2 C. D.4.已知平面，直线；；，，，则“，”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知实数x，y满足，则的取值范围是( )A. B. C. D.6.已知复数，，满足，，则( )A. B. 2 C. D. 47.根据国家关于加强禁毒教育要求，龙港中学举办了“禁毒知识竞赛”，采用抽题问答形式．设抽题盒中a 道简单题，b道中等题，c道难题，且规定：抽中简单题并回答正确得1分，抽中中等题并回答正确得2分，抽中难题并回答正确得3分．现在从盒子中取出1道题并回答正确，记所得分为若，，则a：b：( )A. 4：1：1B. 5：2：1C. 6：3：1D. 6：3：28.如图所示，在直角坐标系中轴未画出已知O为原点，A，B均为函数的极值点，在点A，B之间，则函数的图象可能是( )A. B. C. D.9.在正四面体ABCD中，P，Q分别为棱AB，CD中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，M是EF 中点，且满足，则M的轨迹是( )A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10.已知数列满足，，记数列前n项和为，则( )A. B. C. D.二、填空题：本题共7小题，共36分。
11.数学家刘徽在《九章算术》中提出了一个勾股定理的证明方法《青朱出入图》，如图所示，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”意思是：直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，引弦为正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．弦方再开方即为弦长．设朱方正方形边长是a，青方正方形边长是b，青朱出入后所得正方形边长是c，面积分别记为，，，若，，则______，______.12.若二项展开式…，则______，______.13.等差数列满足，则的取值范围是______.14.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则______，的面积是______.15.已知抛物线，焦点F，F在准线上的投影为，抛物线上有一点P，的重心为G ，则直线的斜率最大值是______.此时，若圆与直线相切，______.16.龙港中学高三数学组计划从9名教师男4女中选出1个队长，1个副队长，3个队员组成5人排球队参加教职工排球比赛，要求队中至少2名男教师，共有______选法用数字作答17.已知平面向量，，，，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是______.三、解答题：本题共5小题，共74分。
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浙江省温州中学高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．当＜m＜1时，复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）3．在△ABC中，“sinA＞”是“A＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，将f（x）的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=sin2x B．g（x）=cos2x C．D．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=30，S4=120，设b n=1+log3a n，那么数列{b n}的前15项和为（）A．152 B．135 C．80 D．166．已知，为单位向量，|+|=|﹣|，则在+的投影为（）A．B．﹣C． D．7．已知函数，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点C．无论k为何值，均有2个零点D．无论k为何值，均有4个零点8．如图，扇形AOB中，OA=1，∠AOB=90°，M是OB中点，P是弧AB上的动点，N是线段OA上的动点，则的最小值为（）A．0 B．1 C．D．1﹣二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．已知集合，B={y|y=2x，x∈R}，则A= ；（∁R A）∩B= ．10．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则d= ，S6= ．11．函数，则函数的最小正周期为，在[0，π]内的一条对称轴方程是．12．设则f（f（1））= ，不等式f（x）＞2的解集为．13．由5个元素构成的集合M={4，3，﹣1，0，1}，记M的所有非空子集为M1，M2，…，M31，每一个M i（i=1，2，…31）中所有元素的积为m i，则m1+m2+…+m31= ．14．平面向量满足，则的最小值为．15．设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则S1+S2+…+S100= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q一真一假，求实数m的取值范围．17．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设f（x）=．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．18．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），对任意实数x，不等式恒成立，（Ⅰ）求f（﹣1）的取值范围；（Ⅱ）对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求实数a的取值范围．20．已知正项数列{a n}满足a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，a1=1．（1）求a2的值；（2）证明：对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；（3）记数列{a n}的前n项和为S n，证明：对任意n∈N*，2﹣≤S n＜3．2017年浙江省温州中学高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．当＜m＜1时，复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．即可得出．【解答】解：当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点（3m﹣2，m﹣1）位于第四象限．故选：D．2．函数的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得＜x＜1．∴函数的定义域是（﹣，1）．故选：B．3．在△ABC中，“sinA＞”是“A＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先看由sinA能否得到：A时，根据y=sinx在上的单调性即可得到，而A时显然满足A；然后看能否得到sinA，这个可通过y=sinx在（0，π）上的图象判断出得不到sinA，并可举反例比如A=．综合这两个方面便可得到“sinA＞”是“A＞”的充分不必要条件．【解答】解：△ABC中，若A∈（0，]，=sin，所以sinA得到A；若A，显然得到；即sinA能得到A；而，得不到sinA，比如，A=，；∴“sinA”是“A”的充分不必要条件．故选A．4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，将f（x）的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=sin2x B．g（x）=cos2x C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过（，0），即可求解ω，φ可得f（x）的解析式，通过图象向左平移个单位，得到g（x）的解析式．【解答】解：由图象可知，，可得T=π，∴=2．、得函数f（x）=sin（2x+φ）又f（x）图象过（，0），可得sin（2×+φ）=0，∵0＜φ＜π，∴+φ=π，可得φ=．∴函数f（x）=sin（2x+）图象向左平移个单位，得sin[（2x+）+]=sin（2x+）=g（x）．则函数g（x）的解析式为g（x）=sin（2x+）．故选D．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=30，S4=120，设b n=1+log3a n，那么数列{b n}的前15项和为（）A．152 B．135 C．80 D．16【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，则q≠1．由a1+a3=30，S4=120，可得=30，=120，解得a1，q．进而得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q≠1．∵a1+a3=30，S4=120，∴=30，=120，解得a1=q=3．∴a n=3n．设b n=1+log3a n=1+n那么数列{b n}的前15项和==135．故选：B．6．已知，为单位向量，|+|=|﹣|，则在+的投影为（）A．B．﹣C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可知，这样对两边平方，进行数量积的运算便可得出，从而可以求出，进而得出的值，而在的投影为，进行数量积的运算可以求出的值，从而便可得出在的投影．【解答】解：根据条件，；由得：；∴；∴；∴；∴；∴在的投影为：===．故选：C．7．已知函数，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点C．无论k为何值，均有2个零点D．无论k为何值，均有4个零点【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+1的零点个数；【解答】解：分四种情况讨论．（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=＞1；（2）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤﹣1，k2x≤﹣k，可得k2x+k ≤0，y有一个零点，若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；故选B．8．如图，扇形AOB中，OA=1，∠AOB=90°，M是OB中点，P是弧AB上的动点，N是线段OA上的动点，则的最小值为（）A．0 B．1 C．D．1﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立坐标系，设P（cosα，sinα），N（t，0），用α，t表示出，利用三角函数的性质和α，t的范围求出最小值．【解答】解；分别以OA，OB为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设P（cosα，sinα），N（t，0），则0≤t≤1，0≤α≤，M（0，），∴=（﹣cosα，﹣sinα），=（t﹣cosα，﹣sinα）．∴=﹣（t﹣cosα）cosα﹣sinα（﹣sinα）=cos2α+sin2α﹣tcosα﹣sinα=1﹣sin（α+φ）．其中tanφ=2t，∵0≤α≤，0≤t≤1，∴当α+φ=，t=1时，取得最小值1﹣=1﹣．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．已知集合，B={y|y=2x，x∈R}，则A= [0，2] ；（∁R A）∩B= （2，+∞）．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【分析】解不等式2x﹣x2≥0即可求出集合A，进而求出∁R A，根据指数函数的值域可得出B=（0，+∞），进行交集的运算即可求出（∁R A）∩B．【解答】解：解2x﹣x2≥0得，0≤x≤2；∴A=[0，2]；2x＞0；∴B=（0，+∞）；∁R A=（﹣∞，0）∪（2，+∞）；∴（∁R A）∩B=（2，+∞）．故答案为：[0，2]，（2，+∞）．10．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则d= 3 ，S6= 48 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵，∴+d=20，解得d=3．∴S6==48．故答案为：3，48．11．函数，则函数的最小正周期为π，在[0，π]内的一条对称轴方程是x=，或x=．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数=cos2x+cos2xcos﹣sin2xsin=cos2x﹣sin2x=cos（2x+），则函数的最小正周期为=π．令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，结合x在[0，π]内，可得f（x）在[0，π]内的一条对称轴方程是x=，或x=，故答案为：π；或．12．设则f（f（1））=1，不等式f（x）＞2的解集为．【考点】其他不等式的解法；函数的值．【分析】根据函数的解析式求出f（1）的值是2，从而求出f（2）的值即可；不等式f（x）＞2即2e x ﹣1＞2或log3（x2﹣1）＞2，即e x﹣1＞1=e0，或x2﹣1＞9，解出即可．【解答】解：，f（1）=2•e1﹣1=2，故f（f（1））=f（2）=log3（4﹣1）=1，若f（x）＞2，则2e x﹣1＞2（x＜2）或log3（x2﹣1）＞2（x≥2），即e x﹣1＞1=e0，或x2﹣1＞9，解得：1＜x＜2或x＞，故答案为：1，13．由5个元素构成的集合M={4，3，﹣1，0，1}，记M的所有非空子集为M1，M2，…，M31，每一个M i（i=1，2，…31）中所有元素的积为m i，则m1+m2+…+m31= ﹣1 ．【考点】子集与真子集．【分析】根据子集的元素中是否含0分类，再写出所有不含0元素的子集，然后计算求解．【解答】解：∵M i中，含有元素0的集合中所有元素的积等于0．不含有元素0的非空子集有15个，∴m1+m2+…+m31=4+3+（﹣1）+1+4×3+4×（﹣1）+4×1+3×（﹣1）+3×1+（﹣1）×1+4×3×（﹣1）+4×3×1+4×（﹣1）×1+3×（﹣1）×1+4×3×（﹣1）×1=﹣1故答案是﹣114．平面向量满足，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】分别设设=（x1，y1），=（x2，y2），=（1，0），由题意可得化为（y1﹣y2）2=3，只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．利用基数量积运算、本不等式可求答案．【解答】解：设=（x1，y1），=（x2，y2）．∵满足||=1，∴不妨取=（1，0）．∵，∴x1=1，x2=2．∴=（1，y1），=（2，y2）．∵|﹣|=2，∴=2，化为（y1﹣y2）2=3．只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．∴•=2+y1y2=2﹣（﹣y1）y2≥2﹣=，当且仅当﹣y1=y2=时取等号．∴则的最小值为．故答案为：15．设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则S1+S2+…+S100= ．【考点】数列的求和．【分析】由递推式求出数列的首项，当n≥2时分n为偶数和奇数求出a n，代入后分组，然后利用等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：由，n∈N*，当n=1时，，．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，即．若n为偶数，则，∴（n为正奇数）；若n为奇数，则．∴（n为正偶数）．则，，．，，．…．∴S1+S2+…+S100=（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+…+（﹣a99+a100）===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q一真一假，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1），解得m．（2）命题q成立：△＜0，解得m，根据命题p和命题q一真一假即可得出．【解答】解：（1），解得m＞2．（2）命题q成立：△＜0，1＜m＜3，p真q假：；p假q真：，解得1＜m≤2，∴m≥3或1＜m≤2．17．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设f（x）=．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（I）根据二次函数的性质判断g（x）的单调性，根据最值列出方程组解出a，b；（II）化简不等式，分离参数得k≤（）2﹣+1在[﹣1，1]上恒成立，设t=，利用换元法得出h （t）=t2﹣2t+1在[，2]上的最小值即可得出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）的函数图象开口向上，对称轴为x=1，∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得a=1，b=0．（Ⅱ）由已知可得f（x）=x+﹣2，∵不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，即2x+﹣2﹣k•2x≥0在[﹣1，1]上恒成立，∴k≤（）2﹣+1在[﹣1，1]上恒成立，令t=，则k≤t2﹣2t+1=（t﹣1）2恒成立，t∈[，2]，设h（t）=（t﹣1）2，则h min（t）=h（1）=0，∴k≤0．∴k的取值范围是[0，+∞）．18．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围，求出f（x）的取值范围，即得最值；（2）先根据f（C）=0求出C的值，再根据向量共线以及正弦、余弦定理求出a、b的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1．…∵﹣≤x≤，∴，∴，从而﹣1﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤0．则f（x）的最小值是，最大值是0．…（2），则，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴，解得C=．…∵向量与向量共线，∴sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=2．…19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），对任意实数x，不等式恒成立，（Ⅰ）求f（﹣1）的取值范围；（Ⅱ）对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求实数a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ））根据不等式，先令x=1，可得f（1）=2，即a+b+c=2，再由不等式恒成立，结合二次函数的判别式小于等于0，及配方思想，可得a的范围，进而得到f（﹣1）=4a﹣2，可得范围．（2）对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，f（x）max﹣f（x）min≤1，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知f（1）≥2，f（1）≤2，∴f（1）=2，∴a+b+c=2，∵对任意实数x都有f（x）≥2x，即ax2+（b﹣2）x+c≥0恒成立，∴，由a+b+c=2，∴a=c，b=2﹣2a，此时，∵对任意实数x都有成立，∴，∴f（﹣1）=a﹣b+c=4a﹣2的取值范围是（﹣2，0]．（Ⅱ）对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1等价于在[﹣3，﹣1]上的最大值与最小值之差M≤1，由（1）知，即，对称轴：，据此分类讨论如下：（ⅰ）当﹣2＜x0≤﹣1即时，，．（ⅱ）当﹣3＜x0≤﹣2，即时，恒成立．（ⅲ）当x0≤﹣3，即时，M=f（﹣1）﹣f（﹣3）=4﹣12a≤1．综上可知，．20．已知正项数列{a n}满足a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，a1=1．（1）求a2的值；（2）证明：对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；（3）记数列{a n}的前n项和为S n，证明：对任意n∈N*，2﹣≤S n＜3．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由代入法，解方程可得a2，注意负值舍去；（2）由题意可得可得a n2﹣4a2n+1+a n﹣2a n+1+4a2n+1=0，因式分解，即可得证；（3）运用（2）的结论，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，a1=1，即有a12+a1=3a22+2a2=2，解得a2=（负的舍去）；（2）证明：a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，可得a n2﹣4a2n+1+a n﹣2a n+1+4a2n+1=0，即有（a n﹣2a n+1）（a n+2a n+1+1）+4a2n+1=0，由于正项数列{a n}，即有a n+2a n+1+1＞0，4a2n+1＞0，则有对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；（3）由（1）可得对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；即为a1≤2a2，可得a2≥，a3≥a2≥，…，a n≥，前n项和为S n=a1+a2+…+a n≥1+++…+==2﹣，又a n2+a n=3a2n+1+2a n+1＞a2n+1+a n+1，即有（a n﹣a n+1）（a n+a n+1+1）＞0，则a n＞a n+1，数列{a n}递减，即有S n=a1+a2+…+a n＜1+1+++…+=1+=3（1﹣）＜3．则有对任意n∈N*，2﹣≤S n＜3．2017年4月5日。